50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 3)

Câu 1:

A (1,1,0); B (2,0,3); C (3,2, - 3)

, tọa độ trọng tâm G của

Δ A B C

là

A. $G (2,1, - 1)$

B. $G (2,1,0)$

C. $G (2,0, - 1)$

D. $G (- 2,1,0)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3}) \Rightarrow G (2,1,0)

Câu 2:

Cho hàm số có $f' (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 1$ . Xác định hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $A (1; 2)$

A. $- 2$

B. $- 1$

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $A (1,2)$ là $f' (1) = 1 - 4 + 1 = - 2$

Câu 3:

Cho hàm số

f (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 6 x + 5}

. Hàm số

f (x)

liên tục trên khoảng nào đây?

A. $(- \infty; 3)$

B. $(2; 3)$

C. $(2; + \infty)$

D. $ℝ$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số có dạng phân thức hữu tỉ xác định $\Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 5 \neq 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq 5 \end{cases}$

Câu 4:

Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của các hàm số $y = a^{x}, y = \log_{b} x$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho a, b, c là các số thực dương khác 1. Hình vẽ bên là đồ thị của các hàm số y = a^x, y = logarit cơ số b của x . Khẳng định nào sau đây là đúng (ảnh 1)

A. $a < 1 < b$

B. $a < b < 1$

C. $b < a < 1$

D. $1 < a < b$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta thấy hàm số $y = a^{x}$ nghịch biến $\Rightarrow a < 1$ ; hàm số $y = \log_{b} x$ đồng biến $\Rightarrow b > 1 \Rightarrow a < 1 < b$

Câu 5:

Thể tích vật thể tròn xoay được tạo nên khi cho đồ thị hàm số

y = f (x)

quay quanh trục Ox như hình vẽ là

A. $\int_{- \frac{1}{2}}^{1} f (x) d x$

B. $π \int_{- \frac{1}{2}}^{1} f (x) d x$

C. $\int_{- \frac{1}{2}}^{1} f^{2} (x) d x$

D. $π \int_{- \frac{1}{2}}^{1} f^{2} (x) d x$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có công thức tính thể tích khi quay đồ thị hàm số $y = f (x)$ quanh trục Ox là: $V = π \int_{- \frac{1}{2}}^{1} f^{2} (x) d x$

Câu 6:

Biết $\int_{^{\frac{1}{3}}}^{1} f (3 u) d u = 5$ , khi đó $\int_{1}^{3} f (x) d x$ bằng

A. 5

B. $\frac{5}{3}$

C. $- 6$

D. 15

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $x = 3 u \Rightarrow d x = 3 d u$

Đổi cận

u = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 1; u = 1 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow \int_{\frac{1}{3}}^{1} f (3 u) d u = \frac{1}{3} \int_{1}^{3} f (x) d x = 5 \Rightarrow \int_{1}^{3} f (x) d x = 15

Câu 7:

Tập xác định của hàm lũy thừa $y = x^{- 2}$ là

A. $ℝ \ \{0\}$

B. $ℝ$

C. $(0; + \infty)$

D. $[0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có hàm số $y = x^{α}$ có $α = - 2$ là số nguyên âm $\Rightarrow$ Tập xác định của hàm số là $ℝ \ \{0\}$

Câu 8:

Số phức $z = 4 - 3 i$ có số phức liên hợp là

A. $4 - 3 i$

B. $3 - 4 i$

C. $4 + 3 i$

D. $3 + 4 i$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

z = 4 - 3 i \Rightarrow \bar{z} = 4 + 3 i

Câu 9:

Thể tích khối cầu có đường kính bằng 2a là

A. $\frac{4}{3} π a^{3}$

B. $\frac{32}{3} π a^{3}$

C. $\frac{16}{3} π a^{3}$

D. $4 π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có khối cầu có đường kính bằng 2a $\Rightarrow$ bán kính bằng $a \Rightarrow V = \frac{4}{3} π a^{3}$

Câu 10:

Phương trình đường thẳng d đi qua $A (2,0,1)$ và có $\vec{u_{d}} = (1; 1; 2)$ có dạng

A. $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 \\ z = 2 + t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = - t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 + t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình đường thẳng d đi qua $A (2,0,1)$ và có $\vec{u_{d}} = (1; 1; 2)$ là $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$

Câu 11:

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu?

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$

C. $x^{2} + y^{2} + 2 z^{2} - 2 x + 4 y + 2 z = 3$

D. $x^{2} + y^{2} - z^{2} + 6 x - 2 y + 2 z = 5$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình mặt cầu có dạng ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} + {(z - c)}^{2} = R^{2} (R > 0)$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + a^{2} + b^{2} + c^{2} - R^{2} = 0$

$\Rightarrow$ Chỉ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$ thỏa mãn

Câu 12:

Cho hàm số $y = f (x)$ có $\underset{x \to + \infty}{\lim f} (x) = 1; \lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ . Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận ngang?

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Theo định nghĩa về tiệm cận ta có $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 1 \Rightarrow y = 1$ là tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số $y = f (x)$ có 1 tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 1$ .

Câu 13:

Khối bát diện đều có tổng số cạnh là

A. 4

B. 6

C. 8

D. 12

Xem đáp án

Đáp án D

Nhìn hình vẽ ta thấy khối bát diện đều có tổng tất cả 12 cạnh.

Câu 14:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số?

A. 24

B. 12

C. 64

D. 32

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi số cần tìm là $\bar{a b c}$

Chọn a từ 4 số có 4 cách chọn, chọn b từ 4 số có 4 cách chọn,

chọn c từ 4 số có 4 cách chọn.

Vậy có tất cả $4.4.4 = 64$ số

Câu 15:

Cho hình lăng trụ $A B C . A' B' C'$ có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc $60^{o}$ và hình chiếu của A lên mặt phẳng $(A' B' C')$ trùng với trung điểm của $B' C'$ . Độ dài đoạn vuông góc chung của $A A'$ và $B' C'$ bằng

A. $a \sqrt{3}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{3 a}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi K là trung điểm của $B' C'$

Từ K kẻ $K H ⊥ A A'$

Ta có $\{\begin{cases} A K ⊥ B' C' \\ A' K ⊥ B' C' \end{cases} \Rightarrow B' C' ⊥ (A K A') \Rightarrow B' C' ⊥ H K$

$\{\begin{cases} B' C' ⊥ H K \\ K H ⊥ A A' \end{cases} \Rightarrow d (A A'; B' C') = K H$

$\begin{array}{l} A' K = \frac{a \sqrt{3}}{2}; A K = A' K . \tan 60^{o} = \frac{3 a}{2} \\ \frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{A' K^{2}} + \frac{1}{A K^{2}} \Leftrightarrow H K = \frac{A' K . A K}{\sqrt{A' K^{2} + A K^{2}}} = \frac{3 a}{4} \end{array}$

Câu 16:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc [-5;5] để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc $[- 5; 5]$ để đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm phân biệt?

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Đường thẳng $y = m$ cắt đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại 2 điểm phân biệt $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 4 \\ m = 6 \end{array}$

Vậy có 1 giá trị của m thuộc $[- 5; 5]$ thỏa mãn là $m = - 4$ .

Câu 17:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau. Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành biết f(0) = 0 (ảnh 1)

Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành biết $f (0) = 0$

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f (0) = 0$ suy ra đồ thị hàm số sẽ giao với trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Câu 18:

Xác định m để hàm số $f (x) = \frac{x + m}{x - 2}$ nghịch biến trên các khoảng của tập xác định?

A. $ℝ \ \{0\}$

B. $(- \infty; 0)$

C. $(- 2; + \infty)$

D. $[0; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f (x) = \frac{x + m}{x - 2} \Rightarrow f' (x) = \frac{- 2 - m}{{(x - 2)}^{2}} < 0 \Leftrightarrow - 2 - m < 0 \Rightarrow m > - 2$

Câu 19:

Thể tích khối chóp OABC bằng bao nhiêu biết

O (0,0,0); A (3,0,0); B (0,2,0); C (0,0,1)

?

A. 2

B. 3

C. 6

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Cách 1: Ta có $V_{O . A B C} = \frac{1}{6} |[\vec{O A}; \vec{O B}] . \vec{O C}| = 1$

Cách 2: Dễ thấy hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc

$\Rightarrow V_{A . O B C} = \frac{1}{3} . O A . S_{O B C} = \frac{1}{6} O A . O B . O C = 1$

Câu 20:

Cho $\log_{5120} 80 = \frac{x . \log_{x} 2. \log_{5} x + 1}{\log_{x} 3. \log_{3} 4. \log_{5} x + x \log_{5} x + 1}$ giá trị của x là:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

Sử dụng Casio nhập $\frac{X \log_{X} 2. \log_{5} X + 1}{\log_{X} 3. \log_{3} 4. \log_{5} X + X \log_{5} X + 1} - \log_{5120} 80 \overset{C A L C}{\to} X =$

Trong các phương án ta thấy với $X = 4$ được kết quả 0

Câu 21:

Xác định giá trị thực của tham số m để hàm số $y = x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - m x + 1$ đạt cực trị tại $x = 1$ ?

A. $m = - 3$

B. $m = - 6$

C. $m = 3$

D. $m = 6$

Xem đáp án

Đáp án D

Xét hàm $y = x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - m x + 1 \Rightarrow y' = 3 x^{2} + 3 x - m$

Hàm số đạt cực trị tại

x = 1 \Rightarrow y' (1) = 0 \Leftrightarrow 3 + 3 - m = 0 \Rightarrow m = 6

Câu 22:

Bất phương trình ${(\frac{1}{5})}^{8 x - 25} > 1$ có nghiệm là

A. $x > \frac{1}{2}$

B. $x < \frac{1}{2}$

C. $x > \frac{25}{8}$

D. $x < \frac{25}{8}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có bất phương trình

\Leftrightarrow 5^{25 - 8 x} > 5^{0} \Leftrightarrow 25 - 8 x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{25}{8}

Câu 23:

Cho $F (x) = \int x e^{x} d x$ . Khi đó, $F (x)$ bằng

A. $x e^{x} + e^{x} + C$

B. $- x e^{x} + e^{x} + C$

C. $x e^{x} - 2 e^{x} + C$

D. $x e^{x} - e^{x} + C$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = e^{x} \end{cases}$

$F (x) = \int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + C$

Câu 24:

Giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 1$ trên đoạn $[1; 3]$ là

A. $\max_{[1; 3]} f (x) = \frac{67}{27}$

B. $\max_{[1; 3]} f (x) = - 2$

C. $\max_{[1; 3]} f (x) = - 7$

D. $\max_{[1; 3]} f (x) = - 4$

Xem đáp án

Đáp án B

Cách 1: Ta có $f' (x) = 3 x^{2} - 4 x - 4 \Rightarrow f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \in [1; 3] \\ x = - \frac{2}{3} \notin [1; 3] \end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} f (1) = - 4 \\ f (2) = - 7 \\ f (3) = - 2 \end{cases} \Rightarrow \max_{[1; 3]} f (x) = - 2$

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE7 và nhập hàm $f (X) = X^{3} - 2 X^{2} - 4 X + 1$ với thiết lập Start 1, End 3, Step 0,2

Quan sát bảng giá trị F(X) ta thấy giá trị lớn nhất F(X) bằng $- 2$ khi $X = 3$

Câu 25:

Gọi $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ là 2 nghiệm phức của phương trình ${(z + \frac{3}{z})}^{2} - (z + \frac{3}{z}) - 2 = 0$ . Khi đó, $A = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} + {|z_{3}|}^{2} + {|z_{4}|}^{2}$ bằng

A. 12

B. $\sqrt{21}$

C. 8

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có ${(z + \frac{3}{z})}^{2} - (z + \frac{3}{z}) - 2 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} z + \frac{3}{z} = 2 \\ z + \frac{3}{z} = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 1 \pm i \sqrt{2} \\ z = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2} \end{array}$

Sử dụng Casio ta có $A = {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} + {|z_{3}|}^{2} + {|z_{4}|}^{2} = 12$

Câu 26:

Thể tích khối đa diện có đỉnh là tâm của các mặt của hình hình lập phương cạnh 2a là

A. $\frac{8 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

B. $\frac{4 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

C. $\frac{4 a^{3}}{3}$

D. $\frac{2 \sqrt{2} a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có khối đa diện có đỉnh là tâm của các mặt của

hình lập phương là 1 hình bát diện đều

Cạnh của khối bát diện đều là

$\begin{array}{l} \frac{B D}{2} = \frac{\sqrt{{(2 a)}^{2} + {(2 a)}^{2}}}{2} = a \sqrt{2} \\ \Rightarrow V = \frac{\sqrt{2}}{3} . {(a \sqrt{2})}^{3} = \frac{4 a^{3}}{3} \end{array}$

Câu 27:

Diện tích xung quanh hình nón bằng bao nhiêu khi biết thiết diện đi qua trục và vuông góc với đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2?

A. $π$

B. $3 π$

C. $4 π$

D. $2 π$

Xem đáp án

Đáp án D

Thiết diện đi qua trục và vuông góc với đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2

$\Rightarrow$ hình nón có đường sinh bằng 2 và bán kính đáy bằng l

$\Rightarrow S_{x q} = π . r . l = 2 π$

Câu 28:

Cho số phức

z = 2 + i

. Mô đun của số phức

w = z^{2} - 1

là

A. $\sqrt{5}$

B. $2 \sqrt{5}$

C. $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

D. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

w = z^{2} - 1 = {(2 + i)}^{2} - 1 = 2 + 4 i \Rightarrow |w| = \sqrt{4 + 16} = 2 \sqrt{5}

Câu 29:

Cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16

. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua

A (1,3,2)

và tiếp xúc với (S) là

A. $x - 1 = 0$

B. $y - 3 = 0$

C. $x - y + z = 0$

D. $z - 2 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; - 1; 2)$ ; bán kính $R = 4$

Ta có $d (I, (P)) = R = 4; A I = 4 = R \Rightarrow A$ là hình chiếu của I trên (P)

$\Rightarrow \vec{n_{(P)}} = \vec{A I} = (0; - 4; 0)$

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là $y - 3 = 0$

Câu 30:

Gieo một con súc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là?

A. $\frac{12}{36}$

B. $\frac{11}{36}$

C. $\frac{6}{36}$

D. $\frac{8}{36}$

Xem đáp án

Đáp án B

Số phần tử của không gian mẫu là $|Ω| = 6.6 = 36$

Gọi A là biến cố “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm”.

Để tìm số phần tử của biến cố A, ta đi tìm số phần tử của biến cố đối $\bar{A}$ là “Không xuất hiện mặt sáu chấm” $\Rightarrow |Ω_{\bar{A}}| = 5.5 = 25$

Vậy xác suất cần tính

P (A) = 1 - P (\bar{A}) = \frac{11}{36}

Câu 31:

Tích các nghiệm của phương trình $2^{x^{2} + 3} = 16$ là

A. 1

B. 2

C. $- 1$

D. $- 2$

Xem đáp án

Đáp án C

2^{x^{2} + 3} = 16 \Leftrightarrow 2^{x^{2} + 3} = 2^{4} \Leftrightarrow x^{2} + 3 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 1

Câu 32:

Cho tứ diện ABCD có $A (4; 1; 1), B (1; 4; 1), C (1; 1; - 2), D (1; 1; 1)$ . Tổng ba tọa độ của tâm mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện ABCD là

A. 0

B. 5

C. $\frac{5}{2}$

D. $\frac{9}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $I (a; b; c)$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD

Ta có $\{\begin{cases} I A = I B \\ I A = I C \\ I A = I D \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(a - 4)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b - 4)}^{2} + {(c - 1)}^{2} \\ {(a - 4)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c + 2)}^{2} \\ {(a - 4)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} = {(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a - b = 0 \\ a + c = 2 \\ 2 a - 5 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{5}{2} \\ b = \frac{5}{2} \\ c = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là $I (\frac{5}{2}; \frac{5}{2}; - \frac{1}{2})$

Câu 33:

Cho hàm số

f (x)

xác định trên

[0; π] \ \{\frac{π}{2}\}

thỏa mãn

f' (x) = \tan x, f (0) = 1

và

f (π) = - 1

. Giá trị

f (\frac{π}{4}) - f (\frac{3 π}{4})

bằng

A. $π \sqrt{2}$

B. $π^{2} + 1$

C. $- 2 \ln \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f (x) = \int \tan x d x = - \ln |\cos x| + C$

+ Với $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ có $f (x) = - \ln (\cos x) + C$ mà $f (0) = 1 \Rightarrow C = 1$

+Với $\frac{π}{2} < x \leq π$ có $f (x) = - \ln (- \cos x) + C$ mà $f (π) = - 1 \Rightarrow C = - 1$

Vậy $f (\frac{π}{4}) - f (\frac{3 π}{4}) = 2$

Câu 34:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó, đồ thị hàm số $y = ||f (x)| + 2|$ là hình nào trong các hình sau?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó, đồ thị hàm số y =( trị tuyệt đối của f(x) +2) là hình nào trong các hình sau (ảnh 1)

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó, đồ thị hàm số y =( trị tuyệt đối của f(x) +2) là hình nào trong các hình sau (ảnh 2)

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 3

D. Hình 4

Xem đáp án

Đáp án A

Từ đồ thị hàm số $y = f (x) \to y = |f (x)| \to y = |f (x)| + 2 \to y = ||f (x)| + 2|$

$y = f (x)$ $y = |f (x)|$ $y = |f (x)| + 2$ $y = ||f (x)| + 2|$

- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số $y = f (x)$ phía trên trục hoành

- Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số $y = f (x)$ nằm phía dưới trục hoành

Tịnh tiến đồ thị hàm số $y = |f (x)|$ lên trên 2 đơn vị

- Giữ nguyên phần đồ thị hàm số $y = |f (x)| + 2$ phía trên trục hoành

- Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số $y = |f (x)| + 2$ nằm phía dưới trục hoành

Câu 35:

Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 500 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

A. $m = 5. \frac{{1,12}^{3}}{{1,12}^{3} - 1}$ (triệu đồng)

B. $m = 5. \frac{{1,01}^{3}}{{1,01}^{3} - 1}$ (triệu đồng)

C. $m = \frac{500.1,03}{3}$ (triệu đồng)

D. $m = \frac{{120.1,12}^{3}}{{1,12}^{3} - 1}$ (triệu đồng)

Xem đáp án

Đáp án B

Khi vay một số tiền P với lãi suất r/ tháng thì số tiền m phải trả mỗi tháng để sau k tháng hết nợ được tính theo công thức: $m = r P . \frac{{(1 + r)}^{k}}{{(1 + r)}^{k} - 1}$

Áp dụng với P = 500 triệu, r = 1%, k =3 ta có $m = 1 % .500. \frac{{(1 + 1 %)}^{3}}{{(1 + 1 %)}^{3} - 1} = 5. \frac{{1,01}^{3}}{{1,01}^{3} - 1}$ (triệu đồng)

Câu 36:

Cho khối cầu có bán kính bằng 5. Xác định độ dài bán kính đáy của khối trụ nội tiếp khối cầu đã cho, biết diện tích xung quanh của hình trụ bằng một nửa diện tích mặt cầu.

A. $\sqrt{\frac{5}{2}}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

C. $\frac{5}{\sqrt{2}}$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Đây là mặt cắt ngang của khối trụ nội tiếp khối cầu (B là tâm đường tròn đáy khối trụ, AB là bán kính, O là tâm khối cầu).

Diện tích mặt cầu là $S = 4 π R^{2} = 100 π$

Gọi bán kính đáy khối trụ là $A B = x \Rightarrow O B = \sqrt{25 - x^{2}}$

Diện tích xung quanh của khối trụ là $S_{x q} = 2 π r h = 2 π . x .2. \sqrt{25 - x^{2}}$

Do diện tích xung quanh của hình trụ bằng một nửa diện tích mặt cầu $\begin{array}{l} \Rightarrow 2 π . x .2. \sqrt{25 - x^{2}} = \frac{100 π}{2} \\ \Leftrightarrow x \sqrt{25 - x^{2}} = \frac{25}{2} \Leftrightarrow x = \frac{5}{\sqrt{2}} \end{array}$

Câu 37:

Cho hàm số

f (x) = 2^{2 + x} - 2^{2 - x}

và tích phân

I = \int_{- 2}^{2} (e^{f (x)} - e^{- f (x)}) d x

. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $I \in (- 1; 2)$

B. $I \in (2; 4)$

C. $I \in (- 5; - 3)$

D. $I \in (7; 10)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f (x) = 2^{2 + x} - 2^{2 - x} \Rightarrow f (- x) = 2^{2 - x} - 2^{2 + x} = - f (x) \Rightarrow f (x)$ là hàm lẻ

Xét hàm $g (x) = e^{f (x)} - e^{- f (x)}$

Ta có $g (- x) = e^{f (- x)} - e^{- f (x)} = e^{- f (x)} - e^{f (x)} = - g (x)$ (do là hàm lẻ)

\Rightarrow g (x)

là hàm lẻ

\Rightarrow I = \int_{- 2}^{2} g (x) d x = \int_{- 2}^{2} (e^{f (x)} - e^{- f (x)}) d x = 0

Câu 38:

Số phức

z = a + b i

biết

z = 1 + i + i^{2} + 2 i^{3} + 3 i^{4} + ... + 2017 i^{2018}

. Giá trị của

a + b

là

A. 0

B. $- 2020$

C. 3

D. 2018

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $1 + x + x^{2} + ... + x^{2017} = \frac{x^{2017} - 1}{x - 1}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 1 + 2 x + ... + 2017 x^{2016} = \frac{2017 x^{2016} (x - 1) - x^{2017} + 1}{{(x - 1)}^{2}} \\ \Rightarrow z = 1 + i + i^{2} + 2 i^{3} + 3 i^{4} + ... + 2017 i^{2018} \\ = 1 + i + i^{2} (1 + 2 i + 3 i^{2} + ... + 2017 i^{2016}) \\ = 1 + i - \frac{2017 i^{2016} (i - 1) - i^{2017} + 1}{{(i - 1)}^{2}} \\ = 1 + i + 1008 + 1008 i = 1009 + 1009 i \end{array}$

Câu 39:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị của đạo hàm $y = f' (x)$ như hình vẽ. Biết $f (1) = 2$ khí đó $f (3)$ bằng

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của đạo hàm y = f'(x) như hình vẽ. Biết f(1) = 2 khí đó f(3) bằng (ảnh 1)

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\int_{1}^{3} f' (x) d x = {f (x)|}_{1}^{3} = \int_{1}^{2} x d x + \int_{2}^{3} (4 - x) d x = 3$

$\Leftrightarrow f (3) - f (1) = 3 \Rightarrow f (3) = 5$

Câu 40:

Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 4a. Hai mặt phẳng

(S A B)

và

(S A D)

cùng vuông góc với đáy. Tam giác SAB có diện tích bằng

\frac{8 a^{2} \sqrt{6}}{3}

. Côsin của góc tạo bởi đường thẳng SD và mặt phẳng

(S B C)

bằng.

A. $\frac{\sqrt{19}}{5}$

B. $\frac{\sqrt{6}}{5}$

C. $\frac{6}{25}$

D. $\frac{19}{25}$

Xem đáp án

Đáp án A

+) Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên mặt phẳng $(S B C)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \hat{(S D, (S B C))} = \hat{H S D} \Rightarrow \cos \hat{(S D, (S B C))} = \cos \hat{H S D} = \frac{S H}{S D} \\ +) S_{S A B} = \frac{1}{2} S A . A B = \frac{1}{2} S A .4 a = \frac{8 a^{2} \sqrt{6}}{3} \Rightarrow S A = \frac{4 a \sqrt{6}}{3} \\ +) V_{D . S B C} = \frac{1}{3} D H . S_{S B C} v à V_{D . S B C} = V_{S . B C D} = \frac{1}{3} . S A . S_{B C D} = \frac{1}{3} . \frac{4 a \sqrt{6}}{3} . \frac{1}{2} .4 a .4 a = \frac{32 a^{3} \sqrt{6}}{9} \\ \Rightarrow \frac{1}{3} D H . S_{S B C} = \frac{32 a^{3} \sqrt{6}}{9} \Rightarrow D H = \frac{32 a^{3} \sqrt{6}}{3 S_{S B C}} (1) \end{array}$

+) Từ $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B \Rightarrow S_{S B C} = \frac{1}{2} B C . S B = \frac{1}{2} .4 a . S B = 2 a . S B$

$+) S B^{2} = S A^{2} + A B^{2} = {(\frac{4 a \sqrt{6}}{3})}^{2} + 16 a^{2} = \frac{80 a^{2}}{3} \Rightarrow S B = a \sqrt{\frac{80}{3}} \Rightarrow S_{S B C} = 2 a^{2} \sqrt{\frac{80}{3}}$

Thế vào (1) $\Rightarrow D H = \frac{32 a^{3} \sqrt{6}}{3.2 a^{2} \sqrt{\frac{80}{3}}} = \frac{4 a \sqrt{10}}{5}$

$\begin{array}{l} +) S D^{2} = S A^{2} + A D^{2} = {(\frac{4 a \sqrt{6}}{3})}^{2} + 16 a^{2} = \frac{80 a^{2}}{3} \Rightarrow S D = a \sqrt{\frac{80}{3}} \\ \Rightarrow S H^{2} = S D^{2} - H D^{2} = \frac{80 a^{2}}{3} - {(\frac{4 a \sqrt{10}}{5})}^{2} = \frac{304 a^{2}}{15} \\ \Rightarrow S H = a \sqrt{\frac{304}{15}} \Rightarrow \cos \hat{(S D; (S B C))} = \frac{S H}{S D} = \frac{a \sqrt{\frac{304}{15}}}{a \sqrt{\frac{80}{3}}} = \frac{\sqrt{19}}{5} \end{array}$

Câu 41:

Để lợp ngói một ngôi nhà có dạng mái nhà là lăng trụ đứng thì hết số tiền là 5 triệu đồng (một mái ngói gồm mặt trước nhà và sau nhà). Biết rằng đáy của lăng trụ là tam giác đều có cạnh bằng một nửa chiều dài của mái nhà. Biết thể tích của lăng trụ là

4 \sqrt{3} (m^{3})

. Gọi số tiền cần để lợp

1 m^{2}

mái ngói là x (triệu đồng). Giá trị của x là

A. 0,3125

B. 0,31

C. 0,3

D. 0,32

Xem đáp án

Đáp án A

Phần ngói cần lợp là phần được tô đậm

Gọi độ dài $A D = a \Rightarrow C D = 2 a$

$V_{A D M . N B C} = S_{Δ A M D} . C D = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2} .2 a = 4 \sqrt{3} \Rightarrow a = 2 (m)$

Diện tích mái đã lợp là $S_{A B N M} + S_{C D M N} = 2.4.2 = 16 (m^{2})$

Số tiền cần lợp $1 m^{2}$ mái ngói là $\frac{5}{16} = 0,3125$

Câu 42:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x - 2 y + z = 5$ ; và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z}{5}$ . Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và tạo với (P) một góc nhỏ nhất. Khi đó, tọa độ vectơ pháp tuyến của (Q) là

A. $(7; 4; - 6)$

B. $(44; 47; 20)$

C. $(44; - 47; 20)$

D. $(7; 4; 6)$

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử mặt phẳng (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường thẳng $d'$ .

Gọi $A = d \cap (P)$ , lấy $B \in d$ .

Kẻ $B H ⊥ (P), B C ⊥ d' \Rightarrow H C ⊥ d' \Rightarrow ((P), (Q)) = \hat{B C H} = α$

Để $α_{\min}$ thì $\tan α$ nhỏ nhất

Ta thấy $\tan α = \frac{B H}{C H} \geq \frac{B H}{A H} (C H \leq A H)$

Mà $\frac{B H}{A H}$ không đổi nên $\tan α$ nhỏ nhất khi $\tan α = \frac{B H}{A H} h a y α = \hat{B A H} (C \equiv A)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow d ⊥ d' \Leftrightarrow \vec{u_{d'}} = [\vec{u_{d}}; \vec{n_{p}}] = (14; 8; - 12) \\ [\vec{u_{d}}; \vec{u_{d'}}] = (- 88; 94; - 40) \Rightarrow \vec{n_{Q}} = (44; - 47; 20) \end{array}$

Câu 43:

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm và không nhỏ hơn 10 của m để bất phương trình

\frac{\sin 3 x + 2 \cos 3 x}{2 \sin^{2} \frac{3 x}{2} + \sin 3 x + 2} \geq m - 1

đúng

\forall x \in ℝ

?

A. 10

B. 11

C. 12

D. 15

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $y = \frac{\sin 3 x + 2 \cos 3 x}{2 \sin^{2} \frac{3 x}{2} + \sin 3 x + 2}$

$\Leftrightarrow y = \frac{\sin 3 x + 2 \cos 3 x}{\sin 3 x - \cos 3 x + 3}$

(Vì $\sin 3 x - \cos 3 x + 3 > 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow$ Hàm số luôn xác định trên $ℝ$ )

$\Leftrightarrow (y - 1) \sin 3 x - (y + 2) \cos 3 x = - 3 y (*)$

Vì bất phương trình $\frac{\sin 3 x + 2 \cos 3 x}{2 \sin^{2} \frac{3 x}{2} + \sin 3 x + 2} \geq m - 1$ đúng $\forall x \in ℝ$ $\Leftrightarrow {(y - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} \geq 9 y^{2} \Leftrightarrow 7 y^{2} - 2 y - 5 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{- 5}{7} \leq y \leq 1$ nên (*) luôn có nghiệm

Yêu cầu bài toán $m - 1 \leq - \frac{5}{7} \Leftrightarrow m \leq \frac{2}{7} . \to_{m \in ℤ}^{- 10 \leq m \leq \frac{2}{7}} m = \{- 10; - 9; ...; - 1\}$

Câu 44:

Tổng các nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 100 của bất phương trình ${[\log_{2} x + \log_{\frac{1}{4}} (x + 3)]}^{x - 4} \geq 1$ bằng

A. 4944

B. 4947

C. 4939

D. 4933

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện $x > 0$

$\begin{array}{l} B P T \Leftrightarrow (x - 4) \log_{2} [\log_{2} x - \log_{2} \sqrt{x + 3}] \geq \log_{2} 1 \\ \Leftrightarrow (x - 4) \log_{2} (\log_{2} \frac{x}{\sqrt{x + 3}}) \geq 0 (*) \end{array}$

· Nếu $x = 4$ thì (*) được nghiệm đúng nên $x = 4$ là 1 nghiệm của bất phương trình

· Nếu $x > 4$ thì (*) $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 4 \\ \log_{2} \log_{2} \frac{x}{\sqrt{x + 3}} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 4 \\ \log_{2} \frac{x}{\sqrt{x + 3}} \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 4 \\ \frac{x}{\sqrt{x + 3}} \geq 2 \end{cases} \Leftrightarrow x \geq 6$

· Nếu $x < 4$ thì (*) $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 4 \\ \log_{2} (\log_{2} \frac{x}{\sqrt{x + 3}}) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 4 \\ 0 < \log_{2} \frac{x}{\sqrt{x + 3}} \leq 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 4 \\ 1 < \frac{x}{\sqrt{x + 3}} \leq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \frac{1 + \sqrt{13}}{2} < x \leq 4$ .

Vậy nghiệm của (*) là $\frac{1 + \sqrt{13}}{2} < x \leq 4$ hoặc $x \geq 6$

Câu 45:

Cho hàm số

y = f (x)

không âm và có đạo hàm trên

[0; \frac{π}{4}]

thỏa mãn

f (x) = \frac{f' (x)}{\cos x}

. Biết

f (0) = 1

, giá trị của

f (\frac{π}{4})

là

A. $e^{2 x}$

B. $e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

C. $\ln (e - 1)$

D. $e^{2 - π}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\frac{f' (x)}{f (x)} = \cos x \Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{f' (x)}{f (x)} d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos x d x$

$\Rightarrow \ln {t|}_{f (0)}^{f (\frac{π}{4})} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \ln f (\frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Câu 46:

Cho hàm số $y = \frac{- x}{2 x + 1}$ có đồ thị là (C) và đường thẳng d có phương trình $y = x + m$ (m là tham số). Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B là lớn nhất?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án A

Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm phương trình $\frac{- x}{2 x + 1} = x + m \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \neq - \frac{1}{2} \\ g (x) = 2 x^{2} + 2 (m + 1) x + m = 0 \end{cases}$

(d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' > 0 \\ g (- \frac{1}{2}) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} + 1 > 0, \forall m \\ - \frac{1}{2} \neq 0 \end{cases}$

Gọi tọa độ giao điểm của (d) và (C) là $\{\begin{cases} A (x_{1}; x_{1} + m) \\ B (x_{2}; x_{2} + m) \end{cases} \overset{V i - e t}{\to} \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - m - 1 \\ x_{1} . x_{2} = \frac{m}{2} \end{cases}$

$\Rightarrow (2 x_{1} + 1) . (2 x_{2} + 1) = - 1$

Do $y' = - \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}} \Rightarrow \{\begin{cases} k_{A} = - \frac{1}{{(2 x_{1} + 1)}^{2}} \\ k_{B} = - \frac{1}{{(2 x_{2} + 1)}^{2}} \end{cases} \Rightarrow k_{A} + k_{B} = - [\frac{1}{{(2 x_{1} + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(2 x_{2} + 1)}^{2}}]$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $\frac{1}{{(2 x_{1} + 1)}^{2}} + \frac{1}{{(2 x_{2} + 1)}^{2}} \geq \frac{2}{|(2 x_{1} + 1) . (2 x_{2} + 1)|} = 2 \Leftrightarrow k_{A} + k_{B} \leq - 2$

Vậy

\max (k_{A} + k_{B}) = - 2 \Leftrightarrow 2 x_{1} + 1 = - (2 x_{2} + 1) \Rightarrow x_{1} + x_{2} = - 1 \Leftrightarrow m = 0

Câu 47:

Xét các số phức $|z|$ thỏa mãn $|z| = 2$ . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức $w = \frac{2 + 2 i z}{1 + z}$ là

A. đường tròn

B. đường thẳng

C. elip

D. đoạn thẳng

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $w = \frac{2 + 2 i z}{1 + z} \Leftrightarrow w (1 + z) = 2 + 2 i z$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow z (w - 2 i) = 2 - w \\ \Leftrightarrow |z (w - 2 i)| = |2 - w| \\ \Leftrightarrow 2. |w - 2 i| = |2 - w| \end{array}$

Đặt $w = x + y i \Rightarrow 4 (x^{2} + {(y - 2)}^{2}) = {(x - 2)}^{2} + y^{2} \Leftrightarrow 3 x^{2} + 3 y^{2} + 4 x - 16 y + 12 = 0$

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là 1 đường tròn.

Câu 48:

Cho tứ diện đều SABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Thể tích nhỏ nhất

V_{\min}

của khối tứ diện SAMN là

A. $V_{\min} = \frac{\sqrt{2}}{18}$

B. $V_{\min} = \frac{4}{9}$

C. $V_{\min} = \frac{\sqrt{2}}{27}$

D. $V_{\min} = \frac{\sqrt{2}}{36}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi E là trung điểm của BC. Qua B, C lần lượt kẻ đường thẳng song song với MN và cắt đường thẳng AE tại P, Q.

Theo định lí Talet, ta có $\{\begin{cases} \frac{A B}{A M} = \frac{A P}{A G} \\ \frac{A C}{A N} = \frac{A Q}{A G} \end{cases} \Rightarrow \frac{A B}{A M} + \frac{A C}{A N} = \frac{A P}{A G} + \frac{A Q}{A G} = \frac{A P + A Q}{A G}$

Mặt khác $Δ B P E = Δ C Q E \Rightarrow P E = Q E \Rightarrow A P + A Q = (A E + P E) + (A E - Q E) = 2 A E$

Do đó $\frac{A B}{A M} + \frac{A C}{A N} = \frac{2 A E}{A G} = 2. \frac{3}{2} = 3 \Rightarrow \frac{1}{A M} + \frac{1}{A N} = 3$

Đặt $\{\begin{cases} A M = x \\ A N = y \end{cases} \Rightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3$

Vì SABC là tứ diện đều $\Rightarrow S G ⊥ (A B C)$ và $S G = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Do đó $V_{S A M N} = \frac{1}{3} S_{Δ A M N} . S G = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} A M . A N \sin 60^{o}) . S G = \frac{\sqrt{2}}{12} A M . A N = \frac{\sqrt{2}}{12} x y$

Ta có $3 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{2}{\sqrt{x y}} \Leftrightarrow \sqrt{x y} \geq \frac{2}{3} \Leftrightarrow x y \geq \frac{4}{9} \Rightarrow V_{\min} = \frac{\sqrt{2}}{27}$

Câu 49:

Cho mặt phẳng (P) có phương trình: $(2 m^{2} + m + 3) x + (2 m^{2} + m - 3) y + (- 2 m^{2} - m + 3) z + 2 m^{2} + m + 9 = 0$ . Biết rằng (P) luôn chứa một đường thẳng $Δ$ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ tới đường thẳng $Δ$ bằng

A. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

B. 3

C. $\frac{\sqrt{5}}{4}$

D. $\frac{3}{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $(2 m^{2} + m + 3) x + (2 m^{2} + m - 3) y + (- 2 m^{2} - m + 3) z + 2 m^{2} + m + 9 = 0, \forall m \in ℝ$

$\Leftrightarrow 2 m^{2} (x + y - z + 1) + m (x + y - z + 1) + 3 (x - y + z + 3) = 0, \forall m \in ℝ$

$\Rightarrow Δ = (Q) \cap (R)$ với $(Q) : x + y - z + 1 = 0; (R) : x - y + z + 3 = 0$

Ta có $A (- 2; 1; 0); B (- 2; 2; 1) \in (P) v à (Q) \Rightarrow A, B \in Δ$

Đường thẳng $Δ$ qua $A (- 2; 1; 0)$ và nhận $\vec{A B} (0; 1; 1)$ là một vectơ chỉ phương có phương trình $\{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 1 + t (t \in ℝ) \\ z = t \end{cases} \Rightarrow d (O; Δ) = \frac{|[\vec{O A}; \vec{A B}]|}{|\vec{A B}|} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Câu 50:

Cho hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ thỏa mãn $\{\begin{cases} a + b + c + d > 0 \\ 9 a + 5 b + 3 c + 2 d < 0 \end{cases}$ và hàm số đồng biến trên một khoảng có độ dài vô hạn. Xác định số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số đồng biến trên khoảng vô hạn $\Rightarrow a > 0 (1)$ (Chưa chắc hàm số sẽ luôn đồng biến trên $ℝ$ - trường hợp này sẽ nhiều em kết luận luôn như vậy)

Ta có $\{\begin{cases} a + b + c + d > 0 \\ 9 a + 5 b + 3 c + 2 d < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (1) > 0 \\ f (2) + f (1) < 0 \end{cases} \Rightarrow f (2) < 0$

$\Rightarrow$ Trên (1;2) đồ thị cắt trục hoành và có chiều đi xuống. (2)

Từ (1) và (2) ta có bảng biến thiên

Dựa vào bẳng biến thiên, ta kết luận đồ thị hàm số sẽ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 3)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan