50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 8)

Câu 1:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào (ảnh 1)

A. $y = - x^{3} - 3 x^{2} - 2$

B. $y = x^{3} + 3 x^{2} - 2$

C. $y = x^{3} - 3 x^{2} - 2$

D. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 2$

Xem đáp án

Đáp án B.

Từ hình dáng đồ thị ta có $a > 0$ . Loại phương án A, D.

Mặt khác, đồ thị cắt trục hoành tại điểm $x = - 1 \Rightarrow$ Chỉ có $y = x^{3} + 3 x^{2} - 2$ thỏa mãn.

Câu 2:

Cho dãy số $(u_{n})$ có số hạng tổng quát $u_{n} = 2 n + 3$ . Công sai của dãy số $(u_{n})$ là:

A. $d = - 2$

B. $d = 3$

C. $d = 5$

D. $d = 2$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có $u_{n + 1} - u_{n} = 2 (n + 1) + 3 - (2 n + 3) = 2$ là hằng số.

Suy ra dãy

(u_{n})

là cấp số cộng với công sai

d = 2

.

Câu 3:

Mặt phẳng $(P) : x - 3 y + 2 = 0$ có vectơ pháp tuyến là

A. $\vec{n_{P}} = (- 1; 3; 2)$

B. $\vec{n_{P}} = (1; 0; - 3)$

C. $\vec{n_{P}} = (1; - 3; 0)$

D. $\vec{n_{P}} = (1; - 3; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $x - 3 y + 2 = 0 \Leftrightarrow 1. x - 3. y + 0. z + 2 = 0$ . Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n_{P}} = (1; - 3; 0)$ .

Câu 4:

Cho $\int_{1}^{2} f (x) d x = 3; \int_{1}^{5} f (x) d x = - 2$ . Giá trị của $\int_{2}^{5} f (u) d u$ bằng

A. 5

B. – 5

C. 1

D. – 1

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có

\int_{2}^{5} f (u) d u = \int_{2}^{5} f (x) d x = \int_{1}^{5} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x = - 2 - 3 = - 5

.

Câu 5:

Nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (x - 4) - \log_{3} (2) > 0$ là

A. $x > 6$

B. $x > 4$

C. Vô nghiệm

D. $0 < x < 1$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $\log_{3} (x - 4) - \log_{3} (2) > 0 \Leftrightarrow \log_{3} (x - 4) > \log_{3} (2) \Leftrightarrow x - 4 > 2 \Leftrightarrow x > 6$ .

Câu 6:

Cho hình chóp có chiều cao

h

và diện tích đá

S

. Thể tích khối chóp bằng

A. $3 S . h$

B. $\frac{S . h}{3}$

C. $S . h$

D. $\frac{S . h}{6}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Thể tích khối chóp bằng $V = \frac{1}{3} S h$ .

Câu 7:

Cho khối trụ có diện tích xung quanh là $S_{x q} = 10 π c m^{2}$ , đường sinh $l = 5 c m$ . Khi đó, bán kính đáy của khối trụ là

A. 2 cm

B. 2 dm

C. 1 cm

D. 1 dm

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có công thức tính diện tích xung quanh khối trụ $= 2 π . r . l \Rightarrow r = \frac{10. π}{2. π .1} = 1 (c m)$ .

Câu 8:

Đạo hàm của hàm số

y = 3^{x}

là

A. $3^{x} . \ln 3$

B. $3^{x}$

C. $\frac{3^{x}}{\ln 3}$

D. $3^{x} . \log 3$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có công thức ${(a^{x})}^{'} = a^{x} . \ln (a)$ nên ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} . \ln (3)$ .

Câu 9:

Mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y - 20 = 0

có bán kính bằng

A. 2

B. 25

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 2 y - 20 = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 25 = 5^{2} = R^{2}$

Vây $R = 5$ .

Câu 10:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y f(x) có bảng biến thiên như sau. Kết luận nào sau đây đầy đủ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) (ảnh 1)

Kết luận nào sau đây đầy đủ về đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = f (x)$ ?

A. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y = \pm 1$ .

B. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = \pm 1$ .

C. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y = \pm 1$ , tiệm cận đứng $x = - 1$ .

D. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang $y = 1$ , tiệm cận đứng $x = - 1$ .

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 1 \Rightarrow y = - 1$ là tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = 1 \Rightarrow y = 1$ là tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số $y = f (x)$ không có tiệm cận đứng.

Câu 11:

Cho 2 điểm

A (1; 3; 2), B (5; 1; - 2)

. Tọa độ trung điểm

M

của đoạn thẳng

A B

là

A. $M (2; 2; 0)$

B. $M (3; 2; 0)$

C. $M (3; 2; 2)$

D. $M (3; 2; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2}) \Rightarrow M (3; 2; 0)$ .

Câu 12:

Một hộp có chứa 8 bóng đèn màu đỏ và 5 bóng đèn màu xanh. Số cách chọn được một bóng đèn trong hộp đó là

A. 13

B. 5

C. 8

D. 40

Xem đáp án

Đáp án A.

Để chọn được 1 bóng đèn trong hộp ta có 2 trường hợp.

TH1. Chọn được bóng đèn màu đỏ có 8 cách.

TH2. Chọn được bóng đèn màu xanh có 5 cách.

Do đó theo quy tắc cộng ta có 8 + 5 = 13 cách.

Câu 13:

Cho số phức $z = 2 - 3 i$ .Tọa độ điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ là

A. $M (2; 3)$

B. $M (2; - 3)$

C. $M (- 2; 3)$

D. $M (3; 2)$

Xem đáp án

Đáp án B.

Điểm $M$ biểu diễn số phức $z = 2 - 3 i \Rightarrow M (2; - 3)$ .

Câu 14:

Cho đồ thị hàm số

y = f (x)

. Diện tích

S

của hình phẳng (phần tô đậm trong hình dưới) là

A. $S = \int_{- 2}^{3} f (x) d x$

B. $S = \int_{- 2}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{3} f (x) d x$

C. $S = \int_{0}^{- 2} f (x) d x + \int_{0}^{3} f (x) d x$

D. $S = \int_{- 2}^{0} f (x) d x + \int_{3}^{0} f (x) d x$

Xem đáp án

Đáp án C.

Theo hình vẽ, ta có

S = \int_{- 2}^{3} |f (x) d x| = - \int_{- 2}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{- 2} f (x) d x + \int_{0}^{3} f (x) d x

Câu 15:

Cho mặt cầu $(S)$ có chu vi đường tròn đi qua tâm cầu bằng $π a$ . Diện tích mặt cầu $(S)$ là

A. $4 π a^{2}$

B. $π a^{2}$

C. $\frac{π a^{2}}{4}$

D. $π a^{2} \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi $R$ là bán kính mặt cầu $(S)$ .

Ta có

2 π R = π a \Rightarrow R = \frac{a}{2} \Rightarrow

Diện tích mặt cầu

(S)

là

S = 4 π R^{2} = π a^{2}

.

Câu 16:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x + 1 (C)$ . Xác định giá trị của $m$ để hàm số $(C)$ đạt cực đại tại điểm có hoành độ $x = - 1$ ?

A. $m = - 1$

B. $m = 1$

C. $\forall m \in ℝ$

D. $m \in \emptyset$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 3 m = 0 \Leftrightarrow x^{2} = m$

Để hàm số có cực đại thì $m > 0$ ; khi đó ta có $[\begin{array}{l} x = \sqrt{m} \\ x = - \sqrt{m} \end{array}$ .

Do hệ số

a > 0

nên điểm cực đại sẽ là

x = - \sqrt{m} = - 1 \Rightarrow m = 1

.

Câu 17:

Nếu

A_{x}^{2} = 110

thì

A. $x = 11$

B. $x = 10$

C. $x = 11$ hoặc $x = 10$

D. $x = 0$

Xem đáp án

Đáp án A.

Cách 1. Ta có $A_{x}^{2} = 100 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 2 \\ \frac{x!}{(x - 2)!} = 110 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 2 \\ x (x - 1) = 110 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 2 \\ x^{2} - x - 110 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 11$

Cách 2. Thử đáp án: Sử dụng Casio.

Câu 18:

Cho điểm

A (- 3; - 1; 0)

và đường thẳng

Δ : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}

. Khoảng cách từ điểm

A

đến đường thẳng

Δ

bằng

A. $\sqrt{21}$

B. $\sqrt{20}$

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án A.

Đường thẳng $Δ$ có vecto chỉ phương $\vec{u} (1; 2; - 1)$ và điểm $M (2; 0; 1) \in Δ$ .

Ta có

\vec{M A} (- 5; - 1; - 1) \Rightarrow d (A, Δ) = \frac{|[\vec{M A}, \vec{u}]|}{|\vec{u}|} = \frac{3 \sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{21}

.

Câu 19:

Phương trình $\log_{3} (3 x - 2) = 3$ có nghiệm là

A. $\frac{25}{3}$

B. $\frac{29}{3}$

C. $\frac{11}{3}$

D. 87

Xem đáp án

Đáp án B.

Điều kiện $x > \frac{2}{3}$ .

Ta có $\log_{3} (3 x - 2) = 3 \Leftrightarrow 3 x - 2 = 3^{3} \Leftrightarrow x = \frac{29}{3}$ .

Câu 20:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x + 3$ trên đoạn $[- 3; \frac{3}{2}]$ là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 3; y^{'} = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

Tính $f (- 3), f (- 1), f (1), f (\frac{3}{2})$ bằng phím CALC sẽ thấy hàm số có giá trị lớn nhất là $f (- 1) = 5$ .

Câu 21:

Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy

A B C

là tam giác vuông cân tại

B

và

A C = 2 a

. Hình chiếu vuông góc của

A^{'}

trên mặt phẳng

(A B C)

là trung điểm

H

của cạnh

A B

và

A^{'} A = a \sqrt{2}

. Thể tích

V

của khối lăng trụ đã cho là

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng ABC là trung điểm H của cạnh AB và A'A = a căn bậc 2 của 2 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho là (ảnh 1)

A. $V = a^{3} \sqrt{3}$

B. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{6}$

C. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$

D. $V = 2 a^{3} \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Từ giả thiết suy ra $B A = B C = a \sqrt{2}$ .

Tam giác vuông $A^{'} H A$ , có $A^{'} H = \sqrt{A {A^{'}}^{2} - A H^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Diện tích tam giác $A B C$ là $S_{A B C} = \frac{1}{2} B A . B C = a^{2}$ .

Vậy $V = S_{A B C} . A^{'} H = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{2}$ .

Câu 22:

Cho số phức

w = i z - (i + 2) \bar{z}

với

z = 2 - 3 i

. Khi đó,

w

bằng

A. $2 + 6 i$

B. $2 - 6 i$

C. $3 - 4 i$

D. $3 + 4 i$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $w = i z - (i + 2) \bar{z} = i (2 - 3 i) - (i + 2) (2 + 3 i) = 2 - 6 i$ .

Câu 23:

Cho hàm số

y = \frac{2 x - 1}{x + 1}

. Tiếp tuyến của

(C)

tại điểm có hoành độ bằng 2 có phương trình

A. $y = - \frac{1}{3} x + \frac{5}{3}$

B. $y = - \frac{1}{2} x + 2$

C. $y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}$

D. $y = \frac{1}{2} x$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $y^{'} = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}}$

Tại $x_{0} = 2 \Rightarrow \{\begin{cases} y_{0} = 1 \\ {y^{'}}_{0} = \frac{1}{3} \end{cases} \Rightarrow$ Phương trình tiếp tuyến là $y = \frac{1}{3} . (x - 2) + 1 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3}$ .

Câu 24:

Tập hợp điểm biểu diễn các số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z - 2 + 3 i| = |z + 2 i|$ là đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây?

A. $4 x - 2 y - 9 = 0$

B. $4 x + 2 y + 9 = 0$

C. $4 x - 2 y + 9 = 0$

D. $4 x + 2 y - 9 = 0$

Xem đáp án

Đáp án A.

Đặt $z = x + y i$

Ta có $|z - 2 + 3 i| = |z + 2 i| \Leftrightarrow |x + y i - 2 + 3 i| = |x + y i + 2 i|$

$\Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = x^{2} + {(y + 2)}^{2}$

$\Leftrightarrow - 4 x + 6 y + 13 = 4 y + 4$

$\Leftrightarrow 4 x - 2 y - 9 = 0$

Câu 25:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{2 \sqrt{x + 3}}{2 \sqrt{x + 3} + x}

sau phép đặt

t = \sqrt{x + 3}

là

A. $F (t) = 4 t + \ln |t - 1| - 9 \ln |t + 3| + C$

B. $F (t) = 4 t - \ln |t + 1| + 9 \ln |t - 3| + C$

C. $F (t) = 4 t - \ln |t - 1| + 9 \ln |t + 3| + C$

D. $F (t) = 4 t + \ln |t + 1| - 9 \ln |t - 3| + C$

Xem đáp án

Đáp án A.

Đặt $t = \sqrt{x + 3} \Leftrightarrow t^{2} = x + 3 \Rightarrow 2 t d t = d x$ khi đó ta có $\int \frac{2 \sqrt{x + 3}}{2 \sqrt{x + 3} + x} d x = \int \frac{2 t .2 t d t}{t^{2} + 2 t - 3} = \int \frac{4 (t^{2} + 2 t - 3) + (t + 3) - 9 (t - 1)}{(t + 3) (t - 1)} d t$

$= \int (4 + \frac{1}{t - 1} - \frac{9}{t + 3}) d t = 4 t + \ln |t - 1| - 9 \ln |t + 3| + C$

Câu 26:

Phương trình

3^{x^{2} - 5 x} = \frac{1}{81}

có tổng các nghiệm là

A. 5

B. – 3

C. 3

D. – 5

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $3^{x^{2} - 5 x} = \frac{1}{81} \Leftrightarrow 3^{x^{2} - 5 x} = 3^{- 4} \Leftrightarrow x^{2} - 5 x = - 4 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 4 \end{array}$

Câu 27:

Cho khối chóp

S . A B C D

có thể tích bằng 2, diện tích đáy

A B C D

bằng 6. Khoảng cách cách từ đỉnh

S

đến mặt phẳng

(A B C D)

là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . d (S; (A B C D)) . S_{A B C D} \Leftrightarrow d (S; (A B C D)) = \frac{3. V_{S . A B C D}}{S_{A B C D}} = 1$ .

Câu 28:

Cho đồ thị hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (x)|$ là

Cho đồ thị hàm số y = f(x) như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y = trị tuyệt đối của f(x) là (ảnh 1)

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án B.

Từ đó đồ thị hàm số đã cho ta suy ra đồ thị của hàm $y = |f (x)|$ là

Ta thấy hàm số có ba cực trị.

Câu 29:

Nếu $" \log_{3} = a "$ thì $\frac{1}{\log_{81} 100}$ bằng

A. $a^{4}$

B. $16 a$

C. $\frac{a}{8}$

D. $2 a$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có $\frac{1}{\log_{81} 100} = \log_{100} 81 = \log_{10^{2}} 3^{4} = \frac{4}{2} \log_{10} 3 = 2 \log 3 = 2 a$ .

Câu 30:

Cho 2 đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = 5 - 4 t \\ z = 1 + m t \end{cases}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 3 - 2 t \\ z = 1 - t \end{cases}$ .

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc $[- 4; 4]$ để 2 đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ chéo nhau?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $d_{1} : \{\begin{cases} A (0; 5; 1) \\ \vec{u_{d_{1}}} = (2; - 4; m) \end{cases}; d_{2} : \{\begin{cases} B (2; 3; 1) \\ \vec{u_{d_{2}}} = (1; - 2; - 1) \end{cases} \Rightarrow \vec{A B} (2; - 2; 0)$

2 đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \{\begin{cases} [\vec{u_{d_{1}}}, \vec{u_{d_{2}}}] . \vec{A B} \neq 0 \\ \vec{u_{d_{1}}} \neq \vec{u_{d_{2}}} \end{cases}$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} [\vec{u_{d_{2}}} . \vec{A B}] . \vec{u_{d_{1}}} \neq 0 \\ \vec{u_{d_{1}}} \neq \vec{u_{d_{2}}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2.2 - 4.2 - 2. m \neq 0 \\ \frac{2}{1} = \frac{- 4}{- 2} \neq \frac{m}{- 1} \end{cases} \Leftrightarrow m \neq - 2$

Kết hợp với điều kiện $m \in [- 4; 4]$ , tập giá trị của $m$ là $S = \{- 4; - 3; - 1; 0; 1; 2; 3; 4\}$ .

Câu 31:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên sau.

Tập hợp các giá trị

m

để phương trình

f (x) = m + 2

có hai nghiệm phân biệt là

A. $(- 2; + \infty)$

B. $ℝ \ \{- 2\}$

C. $(- 2; + \infty) \cup \{- 3\}$

D. $(- 3; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án C.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để $f (x) = m + 2$ có hai nghiệm phân biệt thì $[\begin{array}{l} m + 2 = - 1 \\ m + 2 > 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 3 \\ m > - 2 \end{array}$ .

Câu 32:

Số các giá trị nguyên không âm để bất phương trình $3^{\cos^{2} x} + 2^{\sin^{2} x} \geq m {.3}^{\sin^{2} x}$ có nghiệm là

A. 1

B. 5

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt $\sin^{2} x = t (0 \leq t \leq 1)$

Khi đó, bất phương trình trở thành $3^{(1 - t)} + 2^{t} \geq m {.3}^{t} \Leftrightarrow \frac{3}{3^{t}} + 2^{t} \geq m {.3}^{t} \Leftrightarrow \frac{3}{{(3^{t})}^{2}} + {(\frac{2}{3})}^{t} \geq m$ .

Đặt $y = \frac{3}{9^{t}} + {(\frac{2}{3})}^{t} (0 \leq t \leq 1) \Rightarrow y^{'} = 3. {(\frac{1}{9})}^{t} . \ln \frac{1}{9} + {(\frac{2}{3})}^{t} . \ln \frac{2}{3} < 0$

$\Rightarrow$ Hàm số luôn nghịch biến.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra $m \leq 4$ thì bất phương trình có nghiệm.

Suy ra các giá trị nguyên không âm cần tìm là $\{4; 3; 2; 1; 0\}$ .

Câu 33:

Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy $A B C$ là tam giác đều cạnh bằng $a$ . Hình chiếu vuông góc của $A^{'}$ xuống mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm của $A B$ . Mặt bên $(A A^{'} C^{'} C)$ tạo với đáy một góc bằng $α$ . Biết thể tích khối lăng trụ bằng $\frac{3 a^{3}}{16}$ , khi đó $α$ bằng

A. $90 °$

B. $45 °$

C. $30 °$

D. $60 °$

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi $H$ là trung điểm $A B \Rightarrow A^{'} H ⊥ (A B C)$ .

Vẽ $H K ⊥ A C$ tại $K \Rightarrow \hat{A^{'} K H} = α$ .

$A H = \frac{A B}{2} = \frac{a}{2}; K H = A H . \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{4} \Rightarrow A^{'} H = H K \tan α$

V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A^{'} H . S_{A B C} = \frac{3 a^{3}}{16} \Rightarrow \tan α = 1 \Leftrightarrow α = 45 °

.

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bàng a . Hình chiếu vuông góc của A' xuống mặt phẳng ABC là trung điểm của AB . Mặt bên AA'C'C tạo với đáy một góc bằng . Biết thể tích khối lăng trụ bằng , khi đó bằng (ảnh 1)

Câu 34:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = 1/f(x) - 1 là (ảnh 1)

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ là

A. 2

B. 3

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C.

Từ bảng biến thiên ta thấy $f (x) = 1$ có 3 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $x = - 1$ .

Vậy đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ có 3 tiệm cận đứng.

Từ bảng ta có $\lim_{x \to + \infty} f (x) = 3 \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{f (x) - 1} = \frac{1}{2}; \lim_{x \to + \infty} f (x) = - 1 \Rightarrow \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{f (x) - 1} = - \frac{1}{2}$ .

Nên đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ có 2 tiệm cận ngang.

Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ là 5.

Câu 35:

Giá trị của $\int_{- m}^{m} \frac{\sin^{3} x - x}{\cos^{4} x + \cos^{2} x + 1} d x$ bằng

A. 0

B. $m π^{2}$

C. $- 2 m π$

D. $\frac{π}{m}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Xét hàm số $f (x) = \frac{\sin^{3} x - x}{\cos^{4} x + \cos^{2} x + 1}$

$f (- x) = \frac{\sin^{3} (- x) - (- x)}{\cos^{4} x + \cos^{2} x + 1} = \frac{x - \sin^{3} x}{\cos^{4} x + \cos^{2} x + 1} = - f (x)$

Vậy hàm $f (x)$ là hàm lẻ . $\Rightarrow \int_{- m}^{m} f (x) d x = 0, \forall m \in ℝ$

Câu 36:

Cho điểm $M \in (H) : y = f (x) = \frac{3 x - 5}{x - 2}$ thỏa mãn tổng khoảng cách từ $M$ đến 2 tiệm cận của $(H)$ là nhỏ nhất. Khi đó, tổng tung độ các điểm $M$ bằng

A. 4

B. 6

C. 10

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $y = f (x) = \frac{3 x - 5}{x - 2}$ có tiệm cận đứng là $x = 2$ ; tiệm cận ngang $y = 3$ .

Gọi $M (m; 3 + \frac{1}{m - 2}) \in (H)$

Khi đó tổng khoảng cách từ $M$ đến 2 tiệm cận của $(H)$ là

$d = |x_{M} - 2| + |y_{M} - 3| = |m - 2| + \frac{1}{|m - 2|} \geq 2$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow |m - 2| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} M (1; 2) \\ M (3; 4) \end{array}$ .

Câu 37:

Cho hai số phức

z_{1}

và

z_{2}

thỏa mãn

|z_{1}| = |z_{2}| = 1

và

|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{3}

. Giá trị

|z_{1} - z_{2}|

là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi $z_{1} = a + b i$ và $z_{2} = x + y i$ . Ta có $|z_{1}| = |z_{2}| = 1 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = x^{2} + y^{2} = 1$

Lại có $|z_{1} + z_{2}| = \sqrt{3} \Leftrightarrow {(a + x)}^{2} + {(b + y)}^{2} = 3 \Leftrightarrow 2 a x + 2 b y = 1$

Xét ${|z_{1} - z_{2}|}^{2} = {(a - x)}^{2} + {(b - y)}^{2} = a^{2} + x^{2} + b^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y = 2 - 1 = 1$ . Vậy $|z_{1} - z_{2}| = 1$ .

Câu 38:

Một khối đèn laze có dạng khối 12 mặt đều, biết rằng diện tích của mỗi mặt là 10 cm². Khi đó thể tích của khối đèn gần nhất với số nào sau đây?

Một khối đèn laze có dạng khối 12 mặt đều, biết rằng diện tích của mỗi mặt là 10 cm2. Khi đó thể tích của khối đèn gần nhất với số nào sau đây (ảnh 1)

A. 136,89 cm³

B. 103,13 cm³

C. 107,38 cm³

D. 131,12 cm³

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi $O$ là tâm của khối cầu ngoại tiếp đa diện đều 12 mặt đã cho. Gọi $A, B, C, D, E$ là các đỉnh của một mặt và tâm đường tròn ngoại tiếp $A B C D E$ là $I$ .

Ta có $S_{I A B} = 2 = \frac{1}{2} . I A . I B . \sin 72 ° \Rightarrow I A = I B = \frac{2}{\sqrt{\sin 72 °}}$ .

Theo định lí sin ta có $\frac{A B}{\sin 72 °} = \frac{I A}{\sin 54 °} \Rightarrow A B \approx 2,41 c m$ .

Ta có công thức tính nhanh thể tích khối 12 mặt đều cạnh $a$ là $V = \frac{a^{3} (15 + 7 \sqrt{5})}{4} \approx 107,38 c m^{3}$ .

Câu 39:

Cho tích phân $I = \int_{0}^{2} x^{3} \sqrt{x^{2} + 1} d x = \frac{a}{15} + \frac{10 \sqrt{b}}{3}$ với $a; b \in ℕ *$ .

Giá trị của $a^{2} + b - 1$ là

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Xem đáp án

Đáp án D.

Đặt $t = \sqrt{x^{2} + 1} \Rightarrow \{\begin{cases} x^{2} = t^{2} - 1 \\ x d x = t d t \end{cases}$ . Đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \\ x = 2 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} t = 1 \\ t = \sqrt{5} \end{cases}$ .

Suy ra $I = \int_{1}^{\sqrt{5}} (t^{2} - 1) t . d t = {(\frac{t^{5}}{5} - \frac{t^{3}}{3})}_{1}^{\sqrt{5}} = \frac{2}{15} + \frac{10 \sqrt{5}}{3}$

Do đó $a = 2, b = 5 \Rightarrow a^{2} + b - 1 = 8$ .

Câu 40:

Cho tam giác

O A B

có tọa độ các điểm

A (3; 0; 0), B (0; 4; 0)

. Phương trình đường phân giác trong của

\hat{O A B}

là

A. $d : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 2 t \\ z = t \end{cases}$

B. $d : \{\begin{cases} x = 3 - 3 t \\ y = \frac{3}{2} t \\ z = 0 \end{cases}$

C. $d : \{\begin{cases} x = 3 - 3 t \\ y = - \frac{3}{2} t \\ z = 0 \end{cases}$

D. $d : \{\begin{cases} x = 3 + 3 t \\ y = \frac{3}{2} t \\ z = 0 \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $O A = 3; O B = 4; A B = 5$

Gọi $D$ là chân đường phân giác trong hạ từ $A$ của tam giác $O A B$ .

Theo tính chất đường phân giác ta có $\frac{D O}{D B} = \frac{A O}{A B} = \frac{3}{5} \Rightarrow \vec{O D} = \frac{3}{5} \vec{D B} \Rightarrow D (0; \frac{3}{2}; 0) \Rightarrow \vec{A D} (- 3; \frac{3}{2}; 0)$

Câu 41:

Cho đồ thị hàm số $y = x^{4} - 5 x^{2} + m$ tạo với trục $O x$ các phân diện tích như hình vẽ. Để $S_{2} = S_{1} + S_{3}$ thì $m$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Cho đồ thị hàm số y = x^4 - 5x^2 + m tạo với trục Ox các phân diện tích như hình vẽ. Để S2 = S1 + S3 thì m thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây (ảnh 1)

A. $(- 1; 3)$

B. $(1; 5)$

C. $(5; 8)$

D. $(- 5; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án B.

Trên tia $O x$ , gọi hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và $O x$ là $x = a, x = b (a, b > 0)$ (như hình vẽ).

$\Rightarrow b^{4} - 5 b^{2} + m = 0 (1)$

Ta thấy đồ thị hàm số $y = x^{4} - 5 x^{2} + m$ có trục đối xứng là $O y$ .

$\Rightarrow S_{2} = S_{1} + S_{3} \Leftrightarrow S_{2} = 2 S_{3}$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{a} (x^{4} - 5 x^{2} + m) d x = - \int_{a}^{b} (x^{4} - 5 x^{2} + m) d x$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{b} (x^{4} - 5 x^{2} + m) d x = 0$

$\Leftrightarrow \frac{b^{5}}{5} - \frac{5}{3} b^{3} + m b = 0 \Rightarrow \frac{b^{4}}{5} - \frac{5}{3} b^{2} + m = 0 (2)$ (do $b > 0$ )

Từ (1) và (2), trừ vế theo vế ta có $\frac{4}{5} b^{4} - \frac{10}{3} b^{2} = 0 \Rightarrow b^{2} = \frac{25}{6}$ (do $b > 0$ ).

Thay vào (1) ta được $m = \frac{125}{36}$ .

Câu 42:

Cho hai điểm

A (1; 1; 3)

và

B (4; 1; - 1)

. Điểm

M

thỏa mãn

\frac{M A}{M B} = \frac{3}{5}

đồng thời cách mặt phẳng

(P) : 2 x + y + 2 z - 5 = 0

một khoảng bằng 1. Tập hợp tất các các điểm

M

là

A. Mặt cầu

B. Đường elip

C. Đường tròn

D. Đường thẳng

Xem đáp án

Đáp án C.

Từ $\frac{M A}{M B} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow 5 M A = 3 M B$ , ta gọi tọa độ $M (x, y, z)$ dễ có điểm $M$ thuộc mặt cầu, lại do $M$ thuộc mặt phẳng cách $(P)$ một khoảng bằng 1 nên $M$ thuộc giao của mặt phẳng đó và mặt cầu. Vậy quỹ tích là đường tròn.

Câu 43:

Giả sử anh T có 180 triệu đồng muốn đi gửi ngân hàng trong 18 tháng. Trong đó có hai ngân hàng A và ngân hàng B tính lãi với các phương thức như sau.

* Ngân hàng A: Tiền tiết kiệm được tính theo hình thức lãi kép với lãi suất 1,2% / tháng trong 12 tháng đầu tiên và lãi suất 1,0% / tháng trong 6 tháng còn lại.

* Ngân hàng B: Mỗi tháng anh T gửi vào ngân hàng 10 triệu theo hình thức lãi kép với lãi suất là 0,8% / tháng.

Gọi $T_{A}, T_{B}$ (đơn vị triệu đồng và làm tròn đến số thập phân thứ nhất) lần lượt là số tiền (cả gốc lẫn lãi) anh T nhận được khi gửi lần lượt ở ngân hàng A và B. Mối liên hệ giữa $T_{A}, T_{B}$ nào sau đây là đúng?

A. $T_{B} - T_{A} = 26,2$

B. $T_{A} = T_{B} + 26,2$

C. $T_{A} - T_{B} = 24,2$

D. $T_{B} = T_{A} + 24,2$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ø Khi anh T gửi ngân hàng A:

· Trong 12 tháng đầu tiên số tiền anh T có là $T_{12} = a {(1 + r)}^{n} = 180. {(1 + 0,012)}^{12} = 207,7$ (triệu đồng).

· Trong 6 tháng còn lại số tiền anh T có cả gốc lẫn lãi là $T_{A} = 207,7. {(1 + 0,01)}^{6} = 220,5$ (triệu đồng).

Ø Khi anh T gửi ngân hàng B:

· Cuối tháng thứ 18, anh T có số tiền cả gốc lẫn lãi là $T_{B} = \frac{a}{m} . [{(1 + m)}^{n} - 1] (1 + m)$

Với $m = 0,8 %, n = 18, a = 10$ triệu đồng. $\Rightarrow T_{B} = \frac{a}{m} . [{(1 + m)}^{n} - 1] (1 + m) = 194,3$ (triệu đồng).

Do đó $T_{A} - T_{B} = 26,2$ triệu đồng.

Câu 44:

Cho khối lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

. Các mặt phẳng

(A B^{'} C)

và

(A^{'} B C^{'})

chia lăng trụ thành 4 phần. Thể tích phần nhỏ nhất trong 4 phần được tạo ra bằng bao nhiêu thể tích

V

của lăng trụ bằng 1?

A. $\frac{1}{24}$

B. $\frac{1}{12}$

C. $\frac{1}{8}$

D. $\frac{1}{36}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $A B^{'} \cap A^{'} B = M; B C^{'} \cap B^{'} C = N$ . Do $A B B^{'} A^{'}, B C C^{'} B^{'}$ là các hình chữ nhật nên $M, N$ lần lượt là trung điểm của $A^{'} B, C^{'} B$ .

Gọi $V_{1} = V_{B . B^{'} M N}, V_{2} = V_{B . A C N M}, V_{3} = V_{B^{'} . A^{'} C^{'} N M}, V_{4} = V_{A A^{'} M C C^{'} N}$ .

$\Rightarrow \{\begin{cases} V_{2} = V_{B^{'} . A B C} - V_{1} = \frac{1}{3} V - V_{1} \\ V_{3} = V_{B . A^{'} B^{'} C^{'}} - V_{1} = \frac{1}{3} V - V_{1} \\ V_{2} = V - (V_{1} + V_{2} + V_{3}) = \frac{1}{3} V + V_{1} \end{cases}$

Ta có $\frac{V_{B . B^{'} M N}}{V_{B . B^{'} A^{'} C^{'}}} = \frac{B M}{B A^{'}} . \frac{B N}{B C^{'}} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{B . B^{'} M N} = \frac{1}{4} V_{B . B^{'} A^{'} C^{'}} = \frac{1}{12} V = \frac{1}{12}$

$\Rightarrow V_{2} = V_{3} = \frac{1}{4}; V_{4} = \frac{5}{12}$

Vậy thể tích phần nhỏ nhất là $V_{1} = \frac{1}{12}$ .

Câu 45:

Cho hàm số

y = |(x^{2} - 1) x (x - 2) + m|

. Có bao nhiêu giá trị nguyên của

m \in [- 2019; 2020]

để hàm số có 5 điểm cực trị?

A. 2020

B. 2019

C. 4040

D. 4039

Xem đáp án

Đáp án B.

Xét hàm số $f (x) = (x^{2} - 1) x (x - 2) + m (C)$ .

Ta có $f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} - 2 x + 2$ .

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \\ x_{2} = \frac{1}{2} \\ x_{3} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{array}$

Do hàm số $y = f (x)$ có 3 điểm cực trị nên để hàm số $y = |f (x)|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình $f (x) = 0$ có 2 nghiệm (không trùng với các điểm cực trị) hay đồ thị hàm số $y = f (x)$ cắt trục $O x$ tại 2 điểm phân biệt.

Dựa vào bảng biến thiên suy ra : $f (x_{2}) < 0 \Leftrightarrow m + \frac{9}{16} < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{9}{16}$ .

$\to_{m \in [- 2019; 2020]}^{m \in ℤ}$ Có 2019 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Câu 46:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho mặt cầu $(S) : {(x - 2 m)}^{2} + {(y + m)}^{2} + {(z + 2 m)}^{2} - 9 m^{2} + 4 m - 1 = 0$ . Biết khi $m$ thay đổi thì $(S)$ luôn chứa một đường tròn cố định. Bán kính đường tròn đó bằng

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{3}$

C. 1

D. $\frac{4}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Giả sử $M (x, y, z)$ là điểm thuộc đường tròn $(C)$ cố định với mọi số thực $m$ .

Ta có ${(x - 2 m)}^{2} + {(y + m)}^{2} + {(z + 2 m)}^{2} - 9 m^{2} + 4 m - 1 = 0, \forall m \in ℝ$

$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 + 2 m (- 2 x + y + 2 z + 2) = 0, \forall m \in ℝ$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 x + y + 2 z + 2 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0 \end{cases}$

Vậy đường tròn $(C)$ là giao tuyến của mặt cầu $(S') : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ (tâm $O (0; 0; 0)$ , bán kính $R = 1$ ) và mặt phẳng $(P) : - 2 x + y + 2 z + 2 = 0$ Ta có $d (O; (P)) = \frac{2}{3} \Rightarrow$ Bán kính đường tròn $(C)$ là $r = \sqrt{R^{2} - (\frac{2}{3}})^{2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

Câu 47:

Một khối cầu có bán kính là 5 (dm), người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng 3 (dm) để làm một chiếc lu đựng nước (như hình vẽ). Thể tích chiếc lu bằng

A. $\frac{100}{3} π (d m^{3})$

B. $\frac{43}{3} π (d m^{3})$

C. $41 π (d m^{3})$

D. $132 π (d m^{3})$

Xem đáp án

Đáp án D.

Cách 1. Trên hệ trục tọa độ $O x y$ , xét đường tròn $(C) : {(x - 5)}^{2} + y^{2} = 25$ .

Ta có ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 25 \Leftrightarrow y = \pm \sqrt{25 - {(x - 5)}^{2}} = \pm \sqrt{10 x - x^{2}}$

$\Rightarrow$ Nửa trên trục $O x$ của $(C)$ có phương trình $y = \sqrt{10 x - x^{2}}$

Nếu cho nửa trên trục $O x$ của $(C)$ quay quanh trục $O x$ ta được mặt cầu bán kính bằng 5.

Nếu cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{10 x - x^{2}}$ , trục $O x$ , hai đường thẳng $x = 0; x = 2$ quay quanh trục $O x$ ta sẽ được khối tròn xoay chính là phần cắt đi của khối cầu trong đề bài.

$\Rightarrow$ Thể tích vật thể tròn xoay khi cho $(H)$ quay quanh $O x$ là $V_{1} = π \int_{0}^{2} (10 x - x^{2}) d x = π {(5 x^{2} - \frac{x^{3}}{3})}_{0}^{2} = \frac{52 π}{3}$

Thể tích khối cầu là $V_{2} = \frac{4}{3} π {.5}^{3} = \frac{500 π}{3}$

Thể tích chiếc lu là $V = V_{2} - 2 V_{1} = \frac{500 π}{3} - 2. \frac{52 π}{3} = 132 π (d m^{3})$ .

Cách 2. Hai phần cắt đi có thể tích bằng nhau, mỗi phần là một chỏm cầu có thể tích $V_{1} = π h^{2} (R - \frac{h}{3}) = \frac{52 π}{3}$ với $R = 5 d m, h = 2 d m$ .

Thể tích khối cầu là $V_{2} = \frac{4}{3} π {.5}^{3} = \frac{500 π}{3}$ .

Vậy thể tích của chếc lu là $V = V_{2} - 2 V_{1} = 132 π$ .

Câu 48:

Một người muốn xây một cái bể chứa nước, dạng một khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 288 dm³. Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng / m³. Nếu người đó biết xác định các kích thước của bể hợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất. Hỏi người đó phải trả chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể đó là bao nhiêu?

A. 1.08 triệu đồng

B. 0,91 triệu đồng

C. 1,68 triệu đồng

D. 0,54 triệu đồng

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi $x (x > 0)$ chiều rộng của đáy bể.

+ Chiều dài của đáy bể là $2 x$ .

+ Chiều cao của bể là $\frac{0,144}{x^{2}}$ .

- Diện tích cần xây $2 x^{2} + \frac{0,864}{x}$ .

Xét $f (x) = 2 x^{2} + \frac{0,864}{x}$ .

Ta có $f^{'} (x) = 4 x - \frac{0,864}{x^{2}} \Rightarrow f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0,6$ .

- Bảng biến thiên :

Từ bảng biến thiên ta có $\min f (x) = 2,16$ .

Vậy chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây bể là 2,16.500000 = 1080000 đồng.

Câu 49:

Cho số phức

z = \frac{i - m}{1 - m (m - 2 i)}, m \in ℝ

. Xác định giá trị nhỏ nhất của số thực

k

sao cho tồn tại

m

để

|z - 1| \leq k

A. $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

B. $k = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

C. $k = \sqrt{5} - 1$

D. $k = \sqrt{3} - 1$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $z = \frac{i - m}{- i^{2} + 2 m i - m^{2}} = \frac{- 1}{i - m} \Rightarrow z - 1 = \frac{1 - m + i}{m - i}$

$|z - 1| = \frac{|1 - m + i|}{|m - i|} = \sqrt{\frac{m^{2} - 2 m + 2}{m^{2} + 1}}$

$\Rightarrow |z - 1| \leq k \Leftrightarrow \{\begin{cases} k \geq 0 \\ \frac{m^{2} - 2 m + 2}{m^{2} + 1} \leq k^{2} \end{cases}$

Xét hàm số $f (m) = \frac{m^{2} - 2 m + 2}{m^{2} + 1}$ .

Ta có $f^{'} (m) = \frac{2 (m^{2} - m - 1)}{{(m^{2} + 1)}^{2}} \Rightarrow f^{'} (m) = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Lập bảng biến thiên ta có $\min f (m) = f (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ .

$\Rightarrow$ Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow k^{2} \geq \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \Leftrightarrow k \geq \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

Vậy $k = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ là giá trị phải tìm.

Câu 50:

Cho hàm số

y = f (x)

xác định trên đoạn

[0; \frac{π}{2}]

thỏa mãn

\int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x = \frac{π - 2}{2}

. Tích phân

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x

bằng

A. $\frac{π}{4}$

B. 0

C. $\frac{π}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [f^{2} (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4})] d x$ .

Ta có $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) - 2 \sqrt{2} . f (x) . \sin (x - \frac{π}{4}) + 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x$

$\Leftrightarrow I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2} d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x$

Có $\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin^{2} (x - \frac{π}{4}) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [1 - \cos (2 x - \frac{π}{2})] d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [1 - \sin 2 x] d x = {(x + \frac{1}{2} \cos 2 x)}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{π - 2}{2}$

Mà $I = \frac{π - 2}{2} \Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2} d x = 0 (1)$

Vì $y = {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2}$ liên tục và không âm nên $\Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})]}^{2} d x \geq 0$

Dấu ‘=’ xảy ra $\Leftrightarrow f (x) - \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4}) = 0$ .

$\Leftrightarrow f (x) = \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4})$

$\Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{2} . \sin (x - \frac{π}{4}) d x = 0$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 8)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan