50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 13)

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R khác 1, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới (ảnh 1)

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\lim_{x \to - \infty} y = - 3 \Rightarrow y = - 3$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to + \infty} y = 2 \Rightarrow y = 2$ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\lim_{x \to 1^{+}} y = + \infty \Rightarrow x = 1$ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị đã cho có ba đường tiệm cận.

Câu 2:

Cho mặt cầu có diện tích là

72 π (c m^{2})

. Bán kính

R

của khối cầu là:

A. $R = 3 \sqrt{2} (c m)$

B. $R = 6 (c m)$

C. $R = 3 (c m)$

D. $R = \sqrt{6} (c m)$

Xem đáp án

Đáp án A

Có $S = 4 π R^{2} = 72 π \Rightarrow R = \sqrt{\frac{72 π}{4 π}} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} (c m)$ .

Câu 3:

Trong không gian $O x y z$ , cho điểm $H (- 1; 3; 2)$ , hình chiếu $H$ của trên mặt phẳng $(O y z)$ có tọa độ là:

A. $(- 1; 0; 0)$

B. $(0; 3; 2)$

C. $(- 1; 0; 2)$

D. $(- 1; - 3; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án B

Hình chiếu của $H$ trên mặt phẳng $(O y z)$ là $H' (0; 3; 2)$ .

Câu 4:

Hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình bên:

Hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Hỏi hàm y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây (ảnh 1)

Hỏi hàm $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \frac{3}{2}; - 1)$

B. $(\frac{1}{2}; + \infty)$

C. $(0; \frac{1}{2})$

D. $(- \frac{1}{2}; 0)$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \frac{3}{2}; - 1)$ .

Câu 5:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $(0; + \infty)$ ?

A. $y = \log_{\frac{1}{e}} x$

B. $y = \log_{\sqrt{2}} x$

C. $y = \log_{\frac{2}{3}} x$

D. $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số $y = \log_{a} x$ đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi $a > 1$ .

Vì $\sqrt{2} > 1$ nên hàm số $y = \log_{\sqrt{2}} x$ đồng biến trên tập xác định $(0; + \infty)$ .

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 6 z - 2 = 0

. Mặt cầu

(S)

có bán kính

R

là:

A. $R = 2 \sqrt{3}$

B. $R = \sqrt{12}$

C. $R = 4$

D. $R = 4$

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 a x + 2 b y + 2 c z + d = 0$ (với $a = - 2; b = 1; c = 3; d = - 2$ ) có bán kính $R = \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} - d} = 4$ .

Câu 7:

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $3^{x} = 2$ :

A. $S = \{\frac{2}{3}\}$

B. $S = \{\log_{3} 2\}$

C. $S = \emptyset$

D. $S = \{\log_{2} 3\}$

Xem đáp án

Đáp án B

$3^{x} = 2 \Leftrightarrow x = \log_{3} 2$ .

Vậy tập nghiệm $S$ của phương trình đã cho là $S = \{\log_{3} 2\}$

Câu 8:

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ , trục hoành và đường thẳng $x = 4$ . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng $(H)$ quanh trục $O x$ bằng:

A. $4 π$

B. $16 π$

C. $2 π$

D. $8 π$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

$V = π \int_{0}^{4} {(\sqrt{x})}^{2} d x = π \int_{0}^{4} x d x = π \frac{x^{2}}{2} |_{0}^{4} = 8 π$ .

Câu 9:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có $u_{1} = - 2$ và $q = 2$ . Tính tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

A. $S_{8} = 510$

B. $S_{8} = - 510$

C. $S_{8} = 1025$

D. $S_{8} = - 1025$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $S_{8} = u_{1} . \frac{1 - q^{8}}{1 - q} = - 2. \frac{1 - 2^{8}}{1 - 2} = - 510$ .

Câu 10:

Cho

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = 2

và

\int_{- 1}^{1} g (x) d x = - 3

, khi đó

\int_{- 1}^{1} [f (x) + \frac{1}{3} g (x)]

bằng:

A. -3

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\int_{- 1}^{1} [f (x) + \frac{1}{3} g (x)] d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \frac{1}{3} \int_{- 1}^{1} g (x) d x = 2 + \frac{1}{3} . (- 3) = 1$

Câu 11:

Kí hiệu $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ . Giá trị của $|z_{1}| + |z_{2}|$ bằng

A. 4

B. 2

C. 1

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $z^{2} - 2 z + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} z = 1 + \sqrt{3} i \\ z = 1 - \sqrt{3} i \end{array} \Rightarrow |z_{1}| = |z_{2}| = 2 \Rightarrow |z_{1}| + |z_{2}| = 4$ .

Câu 12:

Thể tích khối chóp có diện tích đáy $\sqrt{3} a^{2}$ và chiều cao $2 a$ là:

A. $V = 2 \sqrt{3} a^{3}$

B. $V = \sqrt{3} a^{3}$

C. $V = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3}$

D. $V = \frac{2 \sqrt{2}}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Thể tích khối chóp: $V = \frac{1}{3} B h = \frac{1}{3} \sqrt{3} a^{2} .2 a = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a^{3}$ .

Câu 13:

Trong không gian $O x y z$ , phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua ba điểm $A (2; 0; 0), B (0; - 2; 0), C (0; 0; 1)$ là:

A. $x - y + 2 z + 2 = 0$

B. $2 x - 2 y + z - 2 = 0$

C. $x - y + 2 z - 2 = 0$

D. $2 x - 2 y + z + 2 = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình mặt phẳng $(P)$ viết theo đoạn chắn: $\frac{x}{2} + \frac{y}{- 2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x - y + 2 z - 2 = 0$ .

Câu 14:

Số tập hợp con có 5 phần tử của một tập hợp có 10 phần tử là:

A. $C_{10}^{5}$

B. $\frac{10!}{5!}$

C. $A_{10}^{5}$

D. 50

Xem đáp án

Đáp án A

Số tập hợp con cần tìm là số tổ hợp chập 5 của 10 phần tử $C_{10}^{5}$ .

Câu 15:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{- 1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R khác -1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

Số nghiệm thực của phương trình $2 f (x) - 4 = 0$ là:

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $2 f (x) - 4 = 0 \Leftrightarrow f (x) = 2$

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và đường thẳng $y = 2$ .

Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số $y = f (x)$ cắt đường thẳng $y = 2$ tại 2 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $2 f (x) - 4 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 16:

Cho hình chóp

S . A B C

có

S A ⊥ (A B C), S A = 2 a \sqrt{3}, A B = 2 a

, tam giác vuông cân tại

B

. Gọi

M

là trung điểm của

S B

. Góc giữa đường thẳng

C M

và mặt phẳng

(S A B)

bằng:

A. $90^{0}$

B. $60^{0}$

C. $45^{0}$

D. $30^{0}$

Xem đáp án

Đáp án C

Có $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$

Có $B M$ là hình chiếu của $C M$ lên mặt phẳng $(S A B)$ .

Suy ra $(C M, (S A B)) = \hat{C M B}$

Ta có: $\tan \hat{C M B} = \frac{B C}{M B} = \frac{2 A B}{S B} = \frac{2 A B}{\sqrt{S A^{2} + A B^{2}}} = \frac{2.2 a}{\sqrt{{(2 a \sqrt{3})}^{2} + {(2 a)}^{2}}} = 1$

Vậy $(C M, (S A B)) = 45^{0}$ .

Câu 17:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{0,5} (x - 3) + 1 \geq 0$ là:

A. $(3; \frac{7}{2}]$

B. $(3; + \infty)$

C. $(3; 5]$

D. $(- \infty; 5)$

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện $x > 3$ .

$\log_{0,5} (x - 3) + 1 \geq 0 \Leftrightarrow \log_{0,5} (x - 3) \geq - 1 \Leftrightarrow x - 3 \leq 2 \Leftrightarrow x \leq 5$

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là $S = (3; 5]$

Câu 18:

Cho hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 1

có đồ thị

(C)

. Tiếp tuyến của

(C)

có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 x + 6$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số là: $k = y' (x_{0}) = 3 x_{0}^{2} - 6 x_{0} + 6 = 3 (x_{0}^{2} - 2 x_{0} + 1) + 3 = 3 {(x_{0} - 1)}^{2} + 3 \geq 3$

Vậy hệ số góc nhỏ nhất là 3 đạt được tại $M (3; 19)$ .

Câu 19:

Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm $f (x) = \sin 2 x$ và $F (\frac{π}{4}) = 1$ . Tính $F (\frac{π}{6})$ ?

A. $F (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$

B. $F (\frac{π}{6}) = 0$

C. $F (\frac{π}{6}) = \frac{3}{4}$

D. $F (\frac{π}{6}) = \frac{5}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

F (\frac{π}{4}) - F (\frac{π}{6}) = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} f (x) d x = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} \sin 2 x d x = - \frac{1}{2} \cos 2 x |_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{4}} = \frac{1}{4} \Rightarrow F (\frac{π}{6}) = \frac{3}{4}

.

Câu 20:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Hàm số $y = f' (x)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số $y = g (x) = f (2 - x)$ đồng biến trên khoảng:

Cho hàm số y = f(x) . Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = g(x) = f(2 - x) đồng biến trên khoảng (ảnh 1)

A. $(1; 3)$

B. $(2; + \infty)$

C. $(- 2; 1)$

D. $(- \infty; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $g' (x) = (2 - x)' . f' (2 - x) = - f' (2 - x)$ .

Hàm số đồng biến khi $g' (x) > 0 \Leftrightarrow f' (2 - x) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 - x < - 1 \\ 1 < 2 - x < 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 3 \\ - 2 < x < 1 \end{array}$ .

Câu 21:

Trong không gian với hệ trục tọa độ

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1

và mặt phẳng

(P) : 2 x - y - 2 z + m = 0

. Tìm giá trị không âm của tham số để mặt cầu

(S)

và mặt phẳng

(P)

tiếp xúc với nhau.

A. $m = 2$

B. $m = 1$

C. $m = 5$

D. $m = 0$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1 \Rightarrow I (2; 1; 1)$ và bán kính $R = 1$

Vì mặt phẳng

(P)

tiếp xúc mặt cầu

(S)

nên

d (I; (P)) = R \Leftrightarrow \frac{|m + 1|}{3} = 1 \Leftrightarrow |m + 1| = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 4 \end{array}

.

Câu 22:

Cho hai số thực $a, b > 0$ thỏa mãn $a^{2} + 9 b^{2} = 10 a b$ . Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

A. $\log (a + 3 b) = \log a + \log b$

B. $\log (\frac{a + 3 b}{4}) = \frac{\log a + \log b}{2}$

C. $\log (a + 1) + \log b = 1$

D. $2 \log (a + 3 b) = \log a + \log b$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $a, b > 0; a^{2} + 9 b^{2} = 10 a b \Leftrightarrow {(a + 3 b)}^{2} = 16 a b \Leftrightarrow {(\frac{a + 3 b}{4})}^{2} = a b$ .

Lấy logarit cơ số 10 cả hai vế của đẳng thức trên, ta được: $\log {(\frac{a + 3 b}{4})}^{2} = \log (a b) \Leftrightarrow 2 \log (\frac{a + 3 b}{4}) = \log a + \log b \Leftrightarrow \log (\frac{a + 3 b}{4}) = \frac{\log a + \log b}{2}$ .

Câu 23:

Biết hàm số

f (x) = x^{3} + a x^{2} + 2 x - 1

và

g (x) = - x^{3} + + b x^{2} - 3 x + 1

có chung ít nhất một điểm cực trị. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

|a| + |b|

bằng:

A. $\sqrt{30}$

B. $2 \sqrt{6}$

C. $3 + \sqrt{6}$

D. $3 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Theo giả thiết, $f' (x) = 0, g' (x) = 0$ có chung ít nhất một nghiệm, gọi nghiệm chung đó là $x_{0}$ .

Ta có: $\{\begin{cases} 3 x_{0}^{2} + 2 a x_{0} + 2 = 0 \\ - 3 x_{0}^{2} + 2 b x_{0} - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - \frac{3 x_{0}^{2} + 2}{2 x_{0}} \\ b = \frac{3 x_{0}^{2} + 3}{2 x_{0}} \end{cases}$

Nên $P = |a| + |b| = \frac{6 x_{0}^{2} + 5}{2 |x_{0}|} \geq \frac{2 \sqrt{6 x_{0}^{2} .5}}{2 |x_{0}|} = \sqrt{30}$ .

Câu 24:

Cho đồ thị của ba hàm số $y = a^{x}; y = b^{x}; y = c^{x}$ như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

Cho đồ thị của ba hàm số y = a^x, y = b^x, y = c^x như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng (ảnh 1)

A. $b > a > c > 0$

B. $c > b > a > 0$

C. $b > c > a > 0$

D. $c > a > b > 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $a, b, c > 0$ . Từ đồ thị suy ra $0 < a < 1; b > 1; c > 1 (1)$

Mặt khác $\forall x > 0$ , ta có: $b^{x} > c^{x} \Rightarrow b > c (2)$ .

Từ (1) và (2) suy ra $b > c > a > 0$ .

Câu 25:

Cho số phức

z

thỏa mãn

(3 - 2 i) \bar{z} - 4 (1 - i) = (2 + i) z

. Mô đun của

z

là:

A. $\sqrt{10}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$

C. $\sqrt{5}$

D. $\sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $z = x + y i, x, y \in ℝ$

Ta có: $\begin{array}{l} (3 - 2 i) \bar{z} - 4 (1 - i) = (2 + i) z \Leftrightarrow (3 - 2 i) (2 - i) \bar{z} - 4 (1 - i) (2 - i) = 5 z \\ \Leftrightarrow (4 - 7 i) (x - y i) - 5 (x + y i) = 4 - 12 i \Leftrightarrow (- x - 7 y) - (7 x + 9 y) i = 4 - 12 i \end{array}$

Ta có hệ: $\{\begin{cases} x + 7 y = - 4 \\ 7 x + 9 y = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 1 \end{cases}$ .

Vậy $z = 3 - i$ nên $|z| = \sqrt{3^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{10}$ .

Câu 26:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$ trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ là:

A. $π$

B. $- 1$

C. 1

D. Không tồn tại

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\begin{array}{l} y' = \frac{\sin x}{\cos^{2} x}; \\ \{\begin{cases} y' = 0 \\ x \in (\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}) \end{cases} \Leftrightarrow x = π \end{array}$

Bảng biến thiên:

Vậy: $\max_{(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})} y = - 1$

Câu 27:

Gọi $z_{1}$ và $z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 2 z + 10 = 0$ . Tính $A = |z_{1}^{2}| + |z_{2}^{2}|$

A. $A = 20$

B. $A = 10$

C. $A = 30$

D. $A = 50$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $z^{2} - 2 z + 10 = 0 (1)$ có $Δ' = 1 - 10 = - 9 < 0$ nên (1) có hai nghiệm phức là $z_{1} = 1 + 3 i$ và $z_{2} = 1 - 3 i$

Ta có: $A = |{(1 - 3 i)}^{2}| + |{(1 + 3 i)}^{2}| = |- 8 - 6 i| + |- 8 + 6 i| = \sqrt{{(- 8)}^{2} + 6^{2}} + \sqrt{{(- 8)}^{2} + 6^{2}} = 20$

Vậy $A = 20$ .

Câu 28:

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A' B' C'$ có đáy là tam giác vuông cân, biết $A B = A C = a$ . Góc tạo bởi mặt phẳng $(A' B C)$ và mặt phẳng đáy bằng $45^{0}$ . Tính thể tích khối trụ $A B C . A' B' C'$ theo $a$ .

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{a^{3}}{2}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

D. $\frac{a^{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $B C$ .

$\begin{array}{l} \Rightarrow A M ⊥ B C, A' M ⊥ B C \\ \Rightarrow \hat{((A' B C), (A B C))} = \hat{A' M A} = 45^{0} \end{array}$

Tam giác $A B C$ vuông cân tại $A$ có $A M = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Tam giác $A' A M$ vuông cân tại $A$ có $A A' = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Vậy $V_{A B C . A' B' C'} = A' A . S_{A B C} = \frac{a \sqrt{2}}{2} . \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$ .

Câu 29:

Cho hình trụ

(T)

có bán kính đáy

R

, trục

O O'

bằng

2 R

và mặt cầu

(S)

có đường kính là

O O'

. Gọi

S_{1}

=là diện tích mặt cầu

(S)

,

S_{2}

là diện tích toàn phần của hình trụ

(T)

. Khi đó

\frac{S_{1}}{S_{2}}

bằng?

A. $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2}{3}$

B. $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{6}$

C. $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 1$

D. $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Diện tích mặt cầu: $S_{1} = 4 π R^{2}$ .

Diện tích toàn phần của hình trụ: $S_{2} = 4 π R^{2} + 2 π R^{2} = 6 π R^{2}$

Suy ra: $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{2}{3}$ .

Câu 30:

Trong không gian $O x y z$ , cho đường thẳng $d$ là giao tuyến của mặt phẳng $(O x y)$ với mặt phẳng $(α) : x + y = 1$ . Tính khoảng cách từ điểm $A (0; 0; 1)$ đến đường thẳng $d$ .

A. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\sqrt{6}$

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Xác định được:

\begin{array}{l} M (1; 0; 0) \in d, \vec{u} = (- 1; 1; 0), \vec{M A} = (- 1; 0; 1) \\ \Rightarrow d (A; d) = \frac{|[\vec{M A}, \vec{u_{d}}]|}{|\vec{u_{d}}|} = \frac{\sqrt{6}}{2} \end{array}

Câu 31:

Phương trình $\cos^{3} x + \cos x + 2 \cos^{2} x = 0$ có bao nhiêu nghiệm thuộc ?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\begin{array}{l} \cos^{3} x + \cos x + 2 \cos^{2} x = 0 \Leftrightarrow \cos x (\cos^{2} x + 2 \cos x + 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \cos x = - 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = π + k 2 π \end{array} \end{array}$

Theo yêu cầu của bài toán ta có: $[\begin{array}{l} 0 \leq \frac{π}{2} + k π \leq 2 π \\ 0 \leq π + k 2 π \leq 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2} \\ - \frac{1}{2} \leq k \leq \frac{1}{2} \end{array}$

Do $k \in ℤ$ nên $k = 0$ hoặc $k = 1$ . Khi đó ta có các nghiệm là $x = \frac{π}{2}; x = π$ hoặc $x = \frac{3 π}{2}$ .

Câu 32:

Cho lăng trụ đứng tam giác

A B C . A' B' C'

có đáy là một tam giác vuông cân tại

B, A B = B C = a, A A' = a \sqrt{2}, M

là trung điểm

B C

. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A M

và

B' C

.

A. $\frac{a \sqrt{7}}{7}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{2 a}{\sqrt{5}}$

D. $a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

+) Gọi $E$ là trung điểm của $B B'$ .

Khi đó: $E M / / B' C \Rightarrow B' C / / (A M E)$ .

Ta có: $d (B' C, A M) = d (B' C, (A M E)) = d (C, (A M E)) = d (B, (A M E))$ .

+) Xét khối chóp $B . A M E$ có các cạnh $B E, A B, B M$ đôi một vuông góc nên $\frac{1}{d^{2} (B, (A M E))} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{M B^{2}} + \frac{1}{E B^{2}} = \frac{7}{a^{2}}$ .

$\Rightarrow d (B, (A M E)) = \frac{a \sqrt{7}}{7}$ .

Vậy $d (B' C, A M) = \frac{a \sqrt{7}}{7}$ .

Câu 33:

Cho hàm số $y = \frac{4 x - 5}{x + 1}$ có đồ thị $(H)$ . Gọi $M (x_{0}; y_{0})$ với $x_{0} < 0$ là một điểm thuộc đồ thị $(H)$ thỏa mãn tổng khoảng cách từ $M$ đến hai đường tiệm cận của $(H)$ bằng 6. Tính giá trị biểu thức $S = {(x_{0} + y_{0})}^{2}$ ?

A. $S = 0$

B. $S = 9$

C. $S = 1$

D. $S = 4$

Xem đáp án

Đáp án B

Vì điểm $M$ thuộc đồ thị $(H)$ nên $y_{0} = \frac{4 x_{0} - 5}{x_{0} + 1}$ .

Từ đề bài ta có đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = - 1$ và tiệm cận ngang là $y = 4$ .

Khoảng cách từ điểm $M (x_{0}; y_{0})$ đến đường tiệm cận đứng bằng $|x_{0} + 1|$ .

Khoảng cách từ điểm $M (x_{0}; y_{0})$ đến đường tiệm cận ngang bằng $|y_{0} - 4| = |\frac{4 x_{0} - 5}{x_{0} + 1} - 4| = \frac{9}{|x_{0} + 1|}$ .

Từ đó ta có $\begin{array}{l} |x_{0} + 1| + \frac{9}{|x_{0} + 1|} = 6 \Leftrightarrow {(|x_{0} + 1|)}^{2} - 6 |x_{0} + 1| + 9 = 0 \\ \Leftrightarrow |x_{0} + 1| = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 2 (L) \\ x_{0} = - 4 (T M) \end{array} \end{array}$

Do đó $M (- 4; 7)$ . Suy ra $S = 9$ .

Câu 34:

Tìm tất cả các giá trị thực của

m

để bất phương trình

4^{x} - {2.2}^{x} + 2 - m \leq 0

có nghiệm

x \in [0; 2]

(

m

là tham số).

A. $m < 10$

B. $m \geq 1$

C. $1 \leq m \leq 10$

D. $m \geq 10$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = 2^{x}$ . Vì $x \in [0; 2]$ nên ta có $t \in [1; 4]$ .

Bất phương trình trở thành $t^{2} - 2 t + 2 - m \leq 0 \Leftrightarrow t^{2} - 2 t + 2 \leq m$ .

Xét hàm số $\begin{array}{l} f (t) = t^{2} - 2 t + 2 - m, t \in [1; 4] \\ f' (t) = 2 t - 2 \\ f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \in [1; 4] \\ f (1) = 1; f (4) = 10 \end{array}$

Bất phương trình $4^{x} - {2.2}^{x} + 2 - m \leq 0$ có nghiệm $x \in [0; 2] \Leftrightarrow$ bất phương trình $t^{2} - 2 t + 2 \leq m$ có nghiệm $t \in [1; 4] \Leftrightarrow 1 \leq m \leq 10$ .

Câu 35:

Cho hàm số $f (x)$ xác định trên $[1; + \infty)$ , biết $x . f' (x) - 2 \sqrt{\ln x} = 0, f (\sqrt[4]{e}) = 2$ . Giá trị $f (e)$ bằng:

A. $\frac{5}{3}$

B. $\frac{8}{3}$

C. $\frac{10}{3}$

D. $\frac{19}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $f (x)$ xác định trên $[1; + \infty)$ nên $x . f' (x) - 2 \sqrt{\ln x} = 0 \Leftrightarrow f' (x) = \frac{2 \sqrt{\ln x}}{x} (1)$

Lấy tích phân hai vế (1) trên đoạn , ta được: $\begin{array}{l} \int_{\sqrt[4]{e}}^{e} f' (x) d x = \int_{\sqrt[4]{e}}^{e} \frac{2 \sqrt{\ln x}}{x} d x \Leftrightarrow \int_{\sqrt[4]{e}}^{e} f' (x) d x = 2 \int_{\sqrt[4]{e}}^{e} \sqrt{\ln x} d (\ln x) \\ \Leftrightarrow f (e) - f (\sqrt[4]{e}) = \frac{4}{3} \sqrt{\ln^{3} x} |_{\sqrt[4]{e}}^{e} \Leftrightarrow f (e) = \frac{7}{6} + 2 = \frac{19}{6} \end{array}$

Câu 36:

Tập hợp các số phức $w = (1 + i) z + 1$ với $z$ là số phức thỏa mãn $f (2) = 1$ là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó.

A. $4 π$

B. $2 π$

C. $3 π$

D. $π$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có đặt $w = x + y i$ thì:

$\begin{array}{l} w = (1 + i) z + 1 \Leftrightarrow w = (1 + i) (z - 1) + i + 2 \Leftrightarrow w - i - 2 = (z - 1) + i (z - 1) \\ \Leftrightarrow |w - i - 2| = |(z - 1) + i (z - 1)| \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 {(z - 1)}^{2} \leq 2 \\ \Rightarrow R = \sqrt{2} \Rightarrow S = π R^{2} = 2 π \end{array}$

Câu 37:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{- 1; 2\}$ , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R khác -1,2 , liên tục trên các khoảng xác định của nó và có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ là:

A. 5

B. 4

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\begin{array}{l} \lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{f (x) - 1} = 0 \\ \lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{f (x) - 1} = \frac{- 1}{2} \end{array}$

Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận nagng là: $y = 0; y = - \frac{1}{2}$

Dựa vào đồ thị ta thấy $f (x) - 1 = 0 \Leftrightarrow f (x) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{1}, x_{1} < - 1 \\ x = x_{2}, - 1 < x_{2} < 1 \\ x = x_{3}, 1 < x_{3} < 2 \\ x = x_{4}, x_{4} > 2 \end{array}$

Do đó đồ thị hàm số $y = \frac{1}{f (x) - 1}$ có 4 đường tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 6 đường tiệm cận.

Câu 38:

Một công ty sản xuất một loại cốc giấy hình nón có thể tích

27 c m^{3}

. Với chiều cao

h

và bán kính đáy là .Tìm

r

để lượng giấy tiêu thụ ít nhất.

A. $r = \sqrt[4]{\frac{3^{6}}{2 π^{2}}}$

B. $r = \sqrt[6]{\frac{3^{8}}{2 π^{2}}}$

C. $r = \sqrt[4]{\frac{3^{8}}{2 π^{2}}}$

D. $r = \sqrt[6]{\frac{3^{6}}{2 π^{2}}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h \Rightarrow h = \frac{3 V}{π r^{2}}$ .

Độ dài đường sinh là: $l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 V}{π r^{2}})}^{2} + r^{2}} = \sqrt{{(\frac{81}{π r^{2}})}^{2} + r^{2}} = \sqrt{\frac{3^{8}}{π^{2} r^{4}} + r^{2}}$ .

Diện tích xung quanh của hình nón là: $S_{x q} = π r l = π r \sqrt{\frac{3^{8}}{π^{2} r^{4}} + r^{2}} = π \sqrt{\frac{3^{8}}{π^{2} r^{2}} + r^{4}}$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được giá trị nhỏ nhất là khi $r = \sqrt[6]{\frac{3^{8}}{2 π^{2}}}$ .

Câu 39:

Parabol $y = \frac{x^{2}}{2}$ chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng $2 \sqrt{2}$ thành hai phần $S$ và $S'$ như hình vẽ. Tỉ số $\frac{S}{S'}$ thuộc khoảng nào sau đây?

Parabol y = x^2/2 chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 2 căn bậc 2 của 2 thành hai phần S và S' như hình vẽ (ảnh 1)

A. $(\frac{2}{5}; \frac{1}{2})$

B. $(\frac{1}{2}; \frac{3}{5})$

C. $(\frac{3}{5}; \frac{7}{10})$

D. $(\frac{7}{10}; \frac{4}{5})$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình đường tròn: $x^{2} + y^{2} = 8 \Rightarrow y = \sqrt{8 - x^{2}}$ (nửa đường tròn phía trên $O x$ ).

Hệ phương trình giao điểm của đường tròn và parabol $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 8 \\ y = \frac{x^{2}}{2} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x = - 2 \\ y = 2 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases} \end{array}$ .

Diện tích hình tròn $S_{t r} = 8 π$ .

Diện tích phần bôi đen $S = \int_{- 2}^{2} |\sqrt{8 - x^{2}} - \frac{x^{2}}{2}| d x = 7,6165...$ .

Tỉ lệ $\frac{S}{S'} = \frac{S}{S_{t r} - S} = 0,43482...$

Câu 40:

Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

, cho hình thang cân

A B C D

có hai đáy

A B, C D

thỏa mãn

C D = 2 A B

và diện tích bằng 27, đỉnh

A (- 1; - 1; 0)

. Phương trình đường thẳng chứa cạnh

C D : \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{1}

. Tìm tọa độ điểm

D

biết

x_{B} > x_{A}

?

A. $D (- 2; - 5; 1)$

B. $D (- 3; - 5; 1)$

C. $D (2; - 5; 1)$

D. $D (3; - 5; 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Đường thẳng $C D$ qua $M (2; - 1; 3)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u} (2; 2; 1)$

Gọi $H (2 + 2 t; - 1 + 2 t; 3 + t)$ là hình chiếu của $A$ lên $C D$ , ta có: $\vec{A H} . \vec{u} = 0 \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow H (0; - 3; 2), d (A; C D) = A H = 3$ .

Từ giả thiết ta có $A B + C D = 3 A B = \frac{2 S}{A H} = 18 \Rightarrow A B = 6, D H = 3, H C = 9$

Đặt $\vec{A B} = k \vec{u} \Rightarrow k > 0$ (do $x_{B} > x_{A}$ ) $\Rightarrow k = \frac{|\vec{A B}|}{|\vec{u}|} = 2 \Rightarrow \vec{A B} (4; 4; 2) \Rightarrow B (3; 3; 2)$ .

$\begin{array}{l} \vec{H C} = \frac{9}{6} \vec{A B} (6; 6; 3) \Rightarrow C (6; 3; 5) \\ \vec{H D} = - \frac{3}{6} \vec{A B} (- 2; - 2; - 1) \Rightarrow D (- 2; - 5; 1) \end{array}$

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ xác định trên $ℝ$ và thỏa mãn $f (2) = 1$ . Đồ thị hàm số $f' (x)$ được cho bởi hình bên.

Tìm giá trị cực tiểu $y_{C T}$ của hàm số $f (x)$ .

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ( a khác 0) xác định trên R và thỏa mãn f(2) = 1 (ảnh 1)

A. $y_{C T} = - 3$

B. $y_{C T} = 1$

C. $y_{C T} = - 1$

D. $y_{C T} = - 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì đồ thị hàm $f' (x)$ cắt $O x$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x = - 1$ và $x = 1$ nên $f' (x) = k (x - 1) (x + 1)$ với $k$ là số thực khác 0.

Vì đồ thị hàm $f' (x)$ đi qua điểm $(0; - 3)$ nên ta có $- 3 = - k \Leftrightarrow k = 3$ . Suy ra $f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Mà $f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ nên ta có được $a = 1, b = 0, c = - 3$

Từ đó $f (x) = x^{3} - 3 x + d$ . Mặt khác $f (2) = 1$ nên $d = - 1$

Suy ra $f (x) = x^{3} - 3 x - 1$ .

Ta có: $f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array}$ .

Bảng biến thiên:

Vậy $y_{C T} = - 3$

Câu 42:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ và $f (x) + f (\frac{π}{2} - x) = \frac{\cos x}{{(1 + \sin x)}^{2}}, \forall x \in [0; \frac{π}{2}]$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$

A. $I = \frac{1}{4}$

B. $I = 1$

C. $I = \frac{1}{2}$

D. $I = 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét tích phân $I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$ . Đặt $u = \frac{π}{2} - x \Rightarrow d u = - d x$ .

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow u = \frac{π}{2}; x = \frac{π}{2} \Rightarrow u = 0$

Suy ra

\begin{array}{l} I_{1} = - \int_{\frac{π}{2}}^{0} f (\frac{π}{2} - x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\frac{π}{2} - x) d x \Rightarrow 2 I_{1} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\frac{π}{2} - x) d x \\ \Rightarrow 2 I_{1} = (\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) + f (\frac{π}{2} - x)) d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{{(1 + \sin x)}^{2}} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d (1 + \sin x)}{{(1 + \sin x)}^{2}} \\ = - \frac{1}{1 + \sin x} |_{0}^{\frac{π}{2}} = - (\frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{2} \Rightarrow I_{1} = \frac{1}{4} \end{array}

Câu 43:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục và có đạo hàm trên $ℝ$ . Có đồ thị hàm số $y = f' (x)$ như hình vẽ bên. Biết phương trình $2 f (x) > x^{2} + m$ đúng với mọi $x \in [- 2; 3]$ khi và chỉ khi:

Cho hàm số f(x) liên tục và có đạo hàm trên R . Có đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên (ảnh 1)

A. $m > 2 f (3) - 9$

B. $m < 2 f (- 2) - 4$

C. $m > 2 f (0)$

D. $m < 2 f (1) - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $2 f (x) > x^{2} + m \Leftrightarrow 2 f (x) - x^{2} > m$ , với mọi $x \in [- 2; 3]$ .

Đặt $g (x) = 2 f (x) - x^{2}$ xét trên đoạn $x \in [- 2; 3]$ .

$g' (x) = 2 [f' (x) - x]$ .

Vẽ đường thẳng $y = x$ cùng với đồ thị hàm số $y = f' (x)$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Ta có: $g' (x) = 0 \Leftrightarrow f' (x) = x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 2 \\ x = 1 \\ x = 3 \end{cases}$

Bảng biến thiên:

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f' (x), y = x, x = - 2, x = 1$

Gọi $H$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f' (x), y = x, x = 1, x = 3$

Dựa vào đồ thị dễ thấy $S > H \Leftrightarrow S - H > 0$

Ta có: $\begin{array}{l} \int_{- 2}^{3} \frac{g' (x)}{2} d x = \frac{1}{2} [\int_{- 2}^{1} g' (x) d x + \int_{1}^{3} g' (x) d x] = \frac{1}{2} (S - H) > 0 \\ \Rightarrow \int_{- 2}^{3} \frac{g' (x)}{2} d x > 0 \Leftrightarrow \frac{g (x)}{2} |_{- 2}^{3} > 0 \Leftrightarrow \frac{g (3) - g (2)}{2} > 0 \Leftrightarrow g (3) - g (2) > 0 \\ \Rightarrow \min_{x \in [- 2; 3]} g (x) = g (- 2) \end{array}$

Để bất phương trình $g (x) = 2 f (x) - x^{2} > m$ đúng với mọi $x \in [- 2; 3]$ thì $\min_{x \in [- 2; 3]} g (x) > m \Rightarrow g (- 2) > m \Leftrightarrow m < 2 f (- 2) - 4$ .

Câu 44:

Cho parabol

(P) : y = x^{2}

và hai điểm

A, B

thuộc

(P)

sao cho

A B = 2

. Tìm diện tích lớn nhất của hình phẳng giới hạn bởi

(P)

và đường thẳng

A B

.

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{3}{4}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $A (a; a^{2}), B (b; b^{2})$ với $a < b$ . Ta có $A B = 2 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4$

$\begin{array}{l} A B : \frac{x - a}{b - a} = \frac{y - a^{2}}{b^{2} - a^{2}} \Leftrightarrow \frac{x - a}{1} = \frac{y - a^{2}}{b + a} \Leftrightarrow y = (a + b) (x - a) + a^{2} \Leftrightarrow y = (a + b) x - a b \\ S = \int_{a}^{b} ((a + b) x - a b - x^{2}) d x = \int_{a}^{b} (x - a) (b - x) d x \end{array}$

Đặt $t = x - a$ .

Suy ra $S = \int_{0}^{b - a} t (b - a - t) d t = \int_{0}^{b - a} ((b - a) t - t^{2}) d t = \frac{(b - a) t^{2}}{2} |_{0}^{b - a} - \frac{t^{3}}{3} |_{0}^{b - a} = \frac{{(b - a)}^{3}}{6}$

Ta có: ${(b - a)}^{2} + {(b^{2} - a^{2})}^{2} = 4 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} (1 + {(b + a)}^{2}) = 4 \Leftrightarrow {(b - a)}^{2} = \frac{4}{1 + {(a + b)}^{2}} \leq 4$ .

Suy ra $b - a \leq 2 \Rightarrow S = \frac{{(b - a)}^{3}}{6} \leq \frac{2^{3}}{6} = \frac{4}{3}$ .

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} a + b = 0 \\ b - a = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = 1 \\ a = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow A (- 1; 1), B (1; 1)$ .

Câu 45:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: $|z - 1| = \sqrt{34}; |z + 1 + m i| = |z + m + 2 i|$ (trong đó $m$ là số thực) và sao cho $|z_{1} - z_{2}|$ là lớn nhất. Khi đó giá trị của $|z_{1} + z_{2}|$ bằng:

A. $\sqrt{2}$

B. 10

C. 2

D. $\sqrt{130}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $M, N$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức $z_{1}, z_{2}$

Gọi số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$

Ta có $|z - 1| = \sqrt{34} \Rightarrow M, N$ thuộc đường tròn $(C)$ có tâm $I (1; 0)$ , bán kính $R = \sqrt{34}$

Mà $|z + 1 + m i| = |z + m + 2 i| \Leftrightarrow |(x + 1) + (y + m) i| = |(x + m) + (y + 2) i|$

$\Leftrightarrow (2 - 2 m) x + (2 m - 4) y - 3 = 0 \Rightarrow M, N$ thuộc đường thẳng $(d) : (2 - 2 m) x + (2 m - 4) y - 3 = 0$ .

Do đó $M, N$ là giao điểm của $d$ và đường tròn $(C)$

Ta có $|z_{1} - z_{2}| = M N$ nên $|z_{1} - z_{2}|$ lớn nhất $\Leftrightarrow M N$ lớn nhất.

$\Leftrightarrow M N$ là đường kính của đường tròn tâm $I$ bán kính 1.

Khi đó $|z_{1} + z_{2}| = 2 |\vec{O I}| = 2. O I = 2$

Câu 46:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $2 a$ . Tam giác $S A B$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $α$ là góc tạo bởi đường thẳng $S D$ và mặt phẳng $(S B C)$ , với $α < 45^{0}$ . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S . A B C D$ .

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB vuông tại S (ảnh 1)

A. $4 a^{3}$

B. $\frac{8 a^{3}}{3}$

C. $\frac{4 a^{3}}{3}$

D. $\frac{2 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $D'$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $S A D D'$ .

Khi đó $D D' / / S A$ mà $S A ⊥ (S B C)$ nên $D D' ⊥ (S B C)$ .

Ta có $\hat{(S D, (S B C))} = α = \hat{D S D'} = \hat{S D A}$ , do đó $S A = A D . \tan α = 2 a \tan α$

Đặt $\tan α = x, x \in (0; 1)$

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $A B$ , ta có $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{4 a^{2}}{3} . S H$

Do đó $V_{S . A B C D}$ đạt giá trị lớn nhất khi $S H$ lớn nhất.

Vì $Δ S A B$ vuông tại $S$ nên

$S H = \frac{S A . A B}{A B} = \frac{S A \sqrt{A B^{2} - S A^{2}}}{A B} = \frac{2 a x \sqrt{4 a^{2} - 4 a^{2} x^{2}}}{2 a} = 2 a x \sqrt{1 - x^{2}} \leq 2 a . \frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{2} = a$ .

Từ đó $\max S H = a$ khi $\tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $\max V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} a .4 a^{2} = \frac{4}{3} a^{3}$ .

Câu 47:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho đường thẳng $d_{m} : \frac{x - 4 m + 3}{2 m - 1} = \frac{y - 2 m - 3}{m + 1} = \frac{z - 8 m - 7}{4 m + 3}$ với $m \notin \{- 1; - \frac{3}{4}; \frac{1}{2}\}$ . Biết khi $m$ thay đổi thì $d_{m}$ luôn nằm trong một mặt phẳng $(P)$ cố định. Phương trình mặt phẳng $(P)$ là:

A. $x + 5 y + 2 z - 6 = 0$

B. $x + 10 y - 3 z - 6 = 0$

C. $x - 10 y + 3 z - 6 = 0$

D. $x + 10 y - 3 z + 6 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình tham số của $d_{m} : \{\begin{cases} x = 4 m - 3 + (2 m - 1) t \\ y = 2 m - 3 + (m + 1) t \\ z = 8 m + 7 + (4 m + 3) t \end{cases}$

Cho $t = - 2$ ta được $x = - 1, y = z = 1$ . Suy ra $d_{m}$ luôn qua điểm $M (- 1; 1; 1)$ .

Gọi $\vec{n} = (a; b; c)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$

Do $d_{m} \subset (P) \Rightarrow$ phương trình $a (2 m - 1) + b (m + 1) + c (4 m + 3) = 0$ nghiệm đúng với mọi $m \notin \{- 1; - \frac{3}{4}; \frac{1}{2}\}$ .

$\Leftrightarrow m (2 a + b + 4 c) - a + b + 3 c = 0$ nghiệm đúng với mọi $m \notin \{- 1; - \frac{3}{4}; \frac{1}{2}\}$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a + b + 4 c = 0 \\ - a + b + 3 c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} c = - 3 a \\ b = 10 a \end{cases}$ .

Ta chọn $a = 1$ suy ra $b = 10; c = - 3$

Phương trình qua $(P)$ có dạng $x + 10 y - 3 z - 6 = 0$

Câu 48:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ . Nếu phương trình $f (x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt thì phương trình $2 f (x) . f'' (x) = {[f' (x)]}^{2}$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

A. 1 nghiệm

B. 4 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. 2 nghiệm

Xem đáp án

Đáp án D

Xét phương trình $2 f (x) . f'' (x) = {[f' (x)]}^{2} \Leftrightarrow 2 f (x) . f'' (x) - {[f' (x)]}^{2} = 0$ .

Xét hàm số $g (x) = 2 f (x) . f'' (x) - {[f' (x)]}^{2}$ với mọi $x \in ℝ$

Ta có: $g' (x) = 2 f' (x) . f'' (x) - 2 f (x) f''' (x) - 2 f' (x) f'' (x) = - 2 f (x) . f''' (x)$

Mặt khác:

+ Có $f''' (x) = - 6$

+ Gọi $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ là ba nghiệm của phương trình: $f (x) = 0$ .

Khi đó $g' (x) = 0 \Leftrightarrow - 2 f (x) . f''' (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{1} \\ x = x_{2} \\ x = x_{3} \end{array}$

Bảng biến thiên:

Ta nhận xét rằng theo giả thiết phương trình $f (x) = 0$ có ba nghiệm phân biệt nên ta có $f (x) = (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})$ thì $f' (x) = (x - x_{2}) (x - x_{3}) + (x - x_{1}) (x - x_{3}) + (x - x_{1}) (x - x_{2})$ .

Suy ra $- [f' {(x_{2})}^{2}] = - {[(x_{2} - x_{1}) (x_{2} - x_{3})]}^{2} < 0$ nên từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số $y = g (x)$ cắt trục hoành tối đa tại hai điểm phân biệt nên phương trình $g (x) = 0$ có tối đa hai nghiệm.

Câu 49:

Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn các điều kiện $x, y \geq 0; z \geq - 1$ và $\log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y$ . Khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{3 x + y} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{x + 2 z + 3}$ tương ứng bằng:

A. $4 \sqrt{2}$

B. 6

C. $6 \sqrt{3}$

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

Từ giả thiết ta có: $\begin{array}{l} \log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y \Leftrightarrow 1 + \log_{2} \frac{x + y + 1}{4 x + y + 3} = 2 x - y + 1 \\ \Leftrightarrow \log_{2} \frac{2 x + 2 y + 2}{4 x + y + 3} = 2 x - y + 1 \Leftrightarrow \log_{2} \frac{2 x + 2 y + 2}{4 x + y + 3} = (4 x + y + 3) - (2 x + 2 y + 2) \\ \Leftrightarrow \log_{2} (2 x + 2 y + 2) + (2 x + 2 y + 2) = \log_{2} (4 x + y + 3) + (4 x + y + 3) \end{array}$

Xét hàm $f (t) = \log_{2} t + t$ có $f' (t) = \frac{1}{t \ln t} + 1 > 0 \Rightarrow f (t)$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

$\Rightarrow f (2 x + 2 y + 2) = f (4 x + y + 3) \Leftrightarrow 2 x + 2 y + 2 = 4 x + y + 3 \Leftrightarrow y = 2 x + 1$ .

Thay vào biểu thức $T$ ta được $T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{3 x + y} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{x + 2 z + 3} = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{5 x + 1} + \frac{{(2 x + 3)}^{2}}{x + 2 z + 3}$

Áp dụng bất đẳng thức: $T = \frac{{(x + z + 1)}^{2}}{5 x + 1} + \frac{{(2 x + 3)}^{2}}{x + 2 z + 3} \geq \frac{{(x + z + 1 + 2 x + 3)}^{2}}{5 x + 1 + x + 2 z + 3} = \frac{{(3 x + z + 4)}^{2}}{6 x + 2 z + 4} = \frac{1}{2} . \frac{{(3 x + z + 4)}^{2}}{3 x + z + 2}$

Đặt $\begin{array}{l} t = 3 x + z + 2 \\ \Rightarrow T \geq \frac{1}{2} . \frac{{(t + 2)}^{2}}{t} = \frac{1}{2} (t + \frac{4}{t} + 4) \geq \frac{1}{2} . (2. \sqrt{t . \frac{4}{t}} + 4) = 4 \end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $\{\begin{cases} y = 2 x + 1 \\ t = 2 = 3 x + z + 2 \\ \frac{x + z + 1}{5 x + 1} = \frac{2 x + 3}{x + 2 z + 3} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = z = 0 \\ y = 1 \end{cases}$

Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T$ là $T_{\min} = 4$ .

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho điểm $A (0; 8; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 72$ và điểm $B (9; - 7; 23)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ lớn nhất. Giả sử $\vec{n} = (1; m; n) (m, n \in ℤ)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ , tính tích $m . n$ .

A. $m . n = 2$

B. $m . n = - 2$

C. $m . n = 4$

D. $m . n = - 4$

Xem đáp án

Đáp án D

Cách 1:

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (5; - 3; 7)$ và bán kính $R = 6 \sqrt{2}$

$\vec{I A} = (- 5; 11; - 5) \Rightarrow I A = \sqrt{171} > 6 \sqrt{2}$ nên điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu.

$\vec{I B} = (4; - 4; 16) \Rightarrow I B = 12 \sqrt{2} > 6 \sqrt{2}$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu.

$\Rightarrow$ $A, I, B$ không thẳng hàng.

Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và tiếp xúc với $(S)$ nên khi $(P)$ thay đổi thì tập hợp các đường thẳng qua $A$ và tiếp điểm tạo thành hình nón.

Gọi $(A B, (P)) = α \Rightarrow d (B, (P)) = A B . \sin α$ đạt giá trị lớn nhất $A, B, I, H$ đồng phẳng $\Leftrightarrow (A I B) ⊥ (P)$ ( $H$ là hình chiếu của $B$ lên $(P)$ ).

Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và nhận $\vec{n} = (1; m; n)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x + m y - n z - 8 m - 2 n = 0$ .

Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S) \Leftrightarrow d (I, (P)) = R$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{|5 n - 11 m + 5|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6 \sqrt{2} \Leftrightarrow {(5 n - 11 m + 5)}^{2} = 72 (1 + m^{2} + n^{2}) \\ \Leftrightarrow 49 m^{2} - 47 n^{2} - 110 m n + 50 n - 110 m - 47 = 0 (1) \end{array}$

Ta có: $[\vec{I A}, \vec{I B}] = (156; 70; - 24)$ .

Gọi $\vec{n_{1}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A I B)$ , chọn $\vec{n_{1}} = (13; 5; - 2)$

Do $(A I B) ⊥ (P) \Leftrightarrow \vec{n_{1}} . \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 13 + 5 m - 2 n = 0 (2)$

Thế (2) vào (1) ta được phương trình: $2079 m^{2} + 8910 m + 6831 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - \frac{6831}{2079} (l) \end{array}$

Thay $m = - 1$ vào (2) suy ra: $n = 4$

Vậy $m . n = - 4$ .

Cách 2:

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (5; - 3; 7)$ và bán kính $R = 6 \sqrt{2}$

Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và nhận $\vec{n} = (1; m; n)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x + m y + n z - 8 m - 2 n = 0$ .

Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ :

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow d (I, (P)) = R \Leftrightarrow \frac{|5 n - 11 m + 5|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow d (B, (P)) = \frac{|21 n - 15 m + 9|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = \frac{|5 n - 11 m + 5 - 4 m + 16 n + 4|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} \\ \leq \frac{|5 n - 11 m + 5| + 4 |4 n - m + 1|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} \leq 6 \sqrt{2} + 4 \frac{\sqrt{(4^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}) (n^{2} + m^{2} + 1)}}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 18 \sqrt{2} \end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{n}{4} = \frac{m}{- 1} = \frac{1}{1} \Leftrightarrow m = - 1; n = 4$

Vậy $m . n = - 4$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 13)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan