50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 5)

Câu 1:

z = 1 + i

. Số phức nghịch đảo của

z

có điểm biểu diễn là

A. $(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2})$ .

B. $(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ .

C. $(1; - 1)$ .

D. $(- 1; - 1)$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

\frac{1}{z} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i

Þ Điểm biểu diễn của số phức

\frac{1}{z}

là

(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2})

.

Câu 2:

Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh

a

thì có diện tích bằng

A. $a^{3}$ .

B. $\frac{4 π a^{3}}{3}$ .

C. $3 π a^{2}$ .

D. $12 π a^{2} \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $R = O D = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow S = 4 π {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} = 3 π a^{2}$ .

Câu 3:

Hàm số

y = f (x)

liên tục và có đạo hàm trên

ℝ

, đồ thị hàm số

y = f^{'} (x)

như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số

y = f (x)

là

Hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên R , đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) là (ảnh 1)

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án C

Từ hình vẽ thấy $f^{'} (x) = 0$ có 2 nghiệm và $f^{'} (x) = 0$ đổi dấu khi đi qua hai nghiệm

Þ hàm số $y = f (x)$ có 2 điểm cực trị.

Câu 4:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = \cos 2 x$ là

A. $- \frac{1}{2} \sin 2 x + C$ .

B. $\sin 2 x + C$ .

C. $\frac{1}{2} \sin 2 x + C$ .

D. $- \sin 2 x + C$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Có $\int \cos 2 x d x = \frac{1}{2} \sin 2 x + C$ .

Câu 5:

Hàm số $y = x . \ln x$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. $(\frac{1}{e}; + \infty)$ .

B. $(0; + \infty)$ .

C. $(0; \frac{1}{e})$ .

D. $(0; 1)$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y^{'} = \ln x + 1$ . Hàm số đồng biến $\Leftrightarrow y^{'} > 0 \Leftrightarrow \ln x > - 1 \Leftrightarrow x > \frac{1}{e}$ .

Câu 6:

Phương trình mặt phẳng

(α)

đi qua 3 điểm

A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 1)

có dạng

A. $x + 2 y + x - 4 = 0$ .

B. $2 x + y + 2 z - 2 = 0$ .

C. $x + 2 y + z - 2 = 0$ .

D. $2 x + y + 2 z + 2 = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình mặt phẳng đoạn chắn đi qua 3 điểm là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow 2 x + y + 2 z - 2 = 0$ .

Câu 7:

Nghiệm của bất phương trình $4^{x - 1} \geq 2^{x - 1}$ là

A. $x \leq 0$ .

B. $x \geq 1$ .

C. $x \geq 2$ .

D. $x \geq 3$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $4^{x - 1} \geq 2^{x - 1} \Leftrightarrow \frac{1}{4} {.2}^{2 x} - \frac{1}{2} {.2}^{x} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2^{x} \geq 2 \\ 2^{x} \leq 0 \end{array} \Leftrightarrow x \geq 1$ .

Câu 8:

Giá trị $I = \int_{a}^{b} 2 x d x$ được tính là

A. $b^{2} - a^{2}$ .

B. $b^{2} + a^{2}$ .

C. $b - a$ .

D. $b + a$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $I = \int_{a}^{b} 2 x d x = {x^{2}|}_{a}^{b} = b^{2} - a^{2}$ .

Câu 9:

Một khu di tích nọ có bốn cửa Đông, Tây, Nam, Bắc. Một người đi vào tham quan rồi đi ra. Người đó có bao nhiêu cách đi để cửa đi vào và đi ra là khác nhau?

A. 8.

B. 12.

C. 14.

D. 64.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có 4 cách chọn cửa đi vào và 3 cách chọn cửa đi ra (Do cửa đi vào và đi ra khác nhau)

Do đó theo quy tắc nhân có $4.3 = 12$ cách đi.

Câu 10:

Số mặt đối xứng của bát diện đều là

A. 1.

B. 6.

C. 9.

D. 7.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có hình bát diện đều như hình vẽ

Sẽ có các mặt phẳng đối xứng là

Vậy bát diện đều có 9 mặt phẳng đối xứng.

Câu 11:

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{4} + 3 x^{2}$ và đồ thị hàm số $y = x^{2} + 3$ là

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có phương trình hoành độ giao điểm $x^{4} + 3 x^{2} = x^{2} + 3 \Leftrightarrow x^{4} + 2 x^{2} - 3 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 1 \\ x^{2} = - 3 (l) \end{array} \Leftrightarrow x = \pm 1$ .

Þ Đồ thị hàm số $y = x^{4} + 3 x^{2}$ cắt đồ thị hàm số $y = x^{2} + 3$ tại hai giao điểm.

Câu 12:

Cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 - t \\ z = 3 t \end{cases} (t \in ℝ)$ . Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng $d$ :

A. $(5; - 1; 3)$ .

B. $(1; 1; 0)$ .

C. $(1; 1; 3)$ .

D. $(3; 3; 3)$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $d : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 1 - t \\ z = 3 t \end{cases} (t \in ℝ)$ Þ Điểm $A (1; 1; 0) \in d$ .

Câu 13:

Trong khai triển ${(x - y)}^{11}$ , hệ số của số hạng chứa $x^{8} y^{3}$ là

A. $- C_{11}^{3}$ .

B. $C_{11}^{8}$ .

C. $C_{11}^{3}$ .

D. $- C_{11}^{5}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có ${(x - y)}^{11} = \sum_{k = 0}^{11} {(- 1)}^{k} C_{11}^{k} x^{11 - k} y^{k}$ .

Số hạng chứa $x^{8} y^{3}$ ứng với $\{\begin{cases} 11 - k = 8 \\ k = 3 \end{cases} \Leftrightarrow k = 3$ .

Þ Hệ số của số hạng chứa $x^{8} y^{3}$ là ${(- 1)}^{3} C_{11}^{3} = - C_{11}^{3}$ .

Câu 14:

Cho mặt phẳng $(P) : x + 2 y + z + 1 = 0$ và mặt phẳng $(Q) : m x + 2 y + z + 1 = 0$ . Xác định $m$ để hai mặt phẳng đã cho song song?

A. $m = 0$ .

B. $m = 1$ .

C. $m = 2$ .

D. $m = \emptyset$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $(P) // (Q) \Leftrightarrow \frac{m}{1} = \frac{2}{2} = \frac{1}{1} \neq \frac{1}{1}$ Þ Không tồn tại $m$ thỏa mãn đề.

Câu 15:

Modun của số phức $z = 3 + 4 i$ bằng

A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $|z| = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ .

Câu 16:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ .

B. $y = \frac{x + 3}{2 x + 1}$ .

C. $y = \frac{x}{2 x + 1}$ .

D. $y = \frac{x - 1}{2 x + 1}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta thấy đồ thị hàm số đi qua điểm $O (0; 0)$ Þ chỉ có hàm số $y = \frac{x}{2 x + 1}$ thỏa mãn.

Câu 17:

Cho hình chóp

S . A B C D

có

S A, S B, S C

đôi một vuông góc với nhau và

S A = S B = S C = a

. Gọi

M

là trung điểm của

A B

, góc giữa hai đường thẳng

S M

và

B C

bằng

A. $30 ° .$

B. $60 °$ .

C. $90 °$ .

D. $120 °$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Qua B kẻ đường thẳng d song song với SM và cắt đường thẳng SA tại N.

Do đó $(\hat{S M; B C}) = (\hat{B N; B C})$

Ta có $S M // B N$ và M là trung điểm của AB

$\Rightarrow S N = S A = S C = a \Rightarrow N C = \sqrt{S C^{2} + S N^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Mặt khác, $N B = 2 S M = A B = \sqrt{S A^{2} + S B^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Mà $B C = \sqrt{S B^{2} + S C^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow Δ N B C$ là tam giác đều. Vậy $\hat{N B C} = 60 ° \Rightarrow (\hat{S M, B C}) = 60 °$ .

Câu 18:

Hàm số $y = \log_{2} x$ có đạo hàm là

A. $\frac{1}{x . \ln 2}$ .

B. $\frac{\ln 2}{x}$ .

C. $\frac{x}{\ln 2}$ .

D. $x . \ln 2$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có công thức tổng quát ${(\log_{a} x)}^{'} = \frac{1}{x . \ln a} \Rightarrow {(\log_{2} x)}^{'} = \frac{1}{x . \ln 2}$ .

Câu 19:

Cho hàm số

y = \frac{x - 1}{x + 1} (C)

. Phương trình tiếp tuyến của

(C)

tại điểm có hoành độ bằng 1 là

A. $y = \frac{1}{2} x - \frac{11}{2}$ .

B. $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ .

C. $y = - \frac{1}{2} x - \frac{15}{2}$ .

D. $y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y^{'} = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ . tại $x_{0} = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} y_{0} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = 0 \\ y^{'} (x_{0}) = \frac{2}{{(x_{0} + 1)}^{2}} = \frac{1}{2} \end{cases}$

Þ Phương trình tiếp tuyến

y = y^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + y_{0} = \frac{1}{2} (x - 1) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}

.

Câu 20:

Kết quả của biểu thức

P = \log_{2} 3. \log_{3} 4 + \log_{4} 3. \log_{3} 2

A. $\frac{5}{2}$ .

B. 2.

C. $\frac{1}{2}$ .

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $P = \log_{2} 3. \log_{3} 4 + \log_{4} 3. \log_{3} 2 = \log_{2} 4 + \log_{4} 2 = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ .

Câu 21:

Một chất điểm chuyển động với vận tốc $v (t) = 3 t^{2} + 2 (m/s)$ . Quãng đường vật di chuyển trong 3s kể từ thời điểm vật đi được 135 m (tính từ thời điểm ban đầu) là

A. 135 m.

B. 393 m.

C. 302 m.

D. 168 m.

Xem đáp án

Đáp án B

Quãng đường vật di chuyển được tính từ thời điểm ban đầu đến thời điểm $t = k (s)$ là $S_{t} = \int_{0}^{k} (3 t^{2} + 2) d x = {(t^{3} + 2 t)|}_{o}^{k} = k^{3} + 2 k$

Theo bài ra ta có $S_{t} = 135 \Leftrightarrow k^{3} + 2 k - 135 = 0 \Leftrightarrow k = 5 (s)$

Quãng đường vật đi được trong 3s kể từ thời điểm vật đi được 135m là $\int_{5}^{8} (3 t^{2} + 2) d x = 393 (m)$ .

Câu 22:

Nghiệm của phương trình $3 z + (2 + 3 i) (1 - 2 i) = 5 + 4 i$ trên tập số phức là

A. $1 - \frac{5}{3} i$ .

B. $- 1 + \frac{5}{3} i$ .

C. $1 + \frac{5}{3} i$ .

D. $- 1 - \frac{5}{3} i$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Cách 1. Ta có $z = \frac{5 + 4 i - (2 + 3 i) (1 - 2 i)}{3} = - 1 + \frac{5}{3} i$ .

Cách 2. Nhập $3 X + (2 + 3 i) (1 - 2 i) - 5 - 4 i$ rồi dùng CALC thử lần lượt các đáp án.

Câu 23:

Cho đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ có dạng như hình vẽ. Khi đó hàm số $y = f (x)$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Cho đồ thị hàm số y = f'(x) có dạng như hình vẽ. Khi đó hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây (ảnh 1)

A. $(- \infty; \frac{1}{2})$ .

B. $(1; \frac{11}{5})$ .

C. $(\frac{1}{4}; 1)$ .

D. $(- \infty; \frac{1}{2}), (\frac{1}{4}; \frac{7}{4})$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Từ đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ ta thấy $y^{'} < 0 \Leftrightarrow x \in (1; \frac{11}{5})$ .

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; \frac{11}{5})$ .

Câu 24:

Người ta tạo một quả cầu gai bằng cách dựng ra phía ngoài mỗi mặt của hình lập phương (cạnh bằng 1) một hình chóp tứ giác đều đáy là mặt hình lập phương (các hình chóp tứ giác đều là bằng nhau). Gọi

A, B, C, D, E, F

là đỉnh của mỗi hình chóp đều, và thể tích khối đa diện

A B C D E F

bằng

\frac{32}{3}

. Tính thể tích của khối cầu gai đó.

Người ta tạo một quả cầu gai bằng cách dựng ra phía ngoài mỗi mặt của hình lập phương (cạnh bằng 1) một hình chóp tứ giác đều đáy là mặt hình lập phương (các hình chóp tứ giác đều là bằng nhau). Gọi là đỉnh của mỗi hình chóp đều, và thể tích khối đa diện bằng . Tính thể tích của khối cầu gai đó. (ảnh 1)

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. $\frac{16}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Đa diện ABCDEF tạo thành từ 6 đỉnh của 6 hình chóp là các đỉnh của một bát diện đều có cạnh bằng x.

Gọi O là tâm hình lập phương $\Rightarrow O = B D \cap C E$ Þ Thể tích của bát diện đều là $V_{1} = 2. \frac{1}{3} A O . S_{B C D E} = \frac{x^{3} \sqrt{2}}{3} \Leftrightarrow \frac{x^{3} \sqrt{2}}{3} = \frac{32}{3} \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{2} \Rightarrow A O = \frac{x}{\sqrt{2}} = 2$ .

Khi đó chiều cao của hình chóp đều là $A I = \frac{3}{2}$ .

Thể tích của mỗi hình chóp tứ giác đều là $V_{2} = \frac{1}{3} . \frac{3}{2} .1 = \frac{1}{2}$ .

Vậy thể tích của khối cầu gai là $V = 1 + 6. \frac{1}{2} = 4$ .

Câu 25:

Cho

a, b > 0

thỏa mãn:

a^{\frac{1}{2}} > a^{\frac{1}{3}}, b^{\frac{2}{3}} > b^{\frac{3}{4}}

khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $0 < a < 1, b > 1$ .

B. $0 < b < 1 < a$ .

C. $0 < a < 1, 0 < b < 1$ .

D. $a > 1, b > 1$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

\{\begin{cases} a^{\frac{1}{2}} > a^{\frac{1}{3}} \Leftrightarrow a > 1 (do \frac{1}{2} > \frac{1}{3}) \\ b^{\frac{2}{3}} > b^{\frac{3}{4}} \Leftrightarrow 0 < b < 1 (do \frac{2}{3} < \frac{3}{4}) \end{cases} \Leftrightarrow 0 < b < 1 < a

.

Câu 26:

Cho tứ diện đều $A B C D$ . Xác định số hình nón tạo thành khi quay tứ diện quanh trục $A B$ là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án B

Trong tứ diện đều, các cặp cạnh đối là vuông góc và thuộc mặt trung trực của cạnh kia.

Gọi M là trung điểm AB khi đó $M C = M D$ nên thực chất ta chỉ thu được hai mặt nón là nón đỉnh A và nón đỉnh B với đáy chung là đường tròn tâm M bán kính MD.

Câu 27:

Tập hợp các điểm cách đều 3 điểm

A (3; 0; 0); B (0; 3; 0); C (0; 0; 3)

là đường thẳng có phương trình

A. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 1 + t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

B. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 1 + t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

C. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 + t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

D. $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Tập hợp các điểm M cách đều ba điểm $A, B, C$ là đường thẳng $Δ$ đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$ .

Ta có $\vec{n_{(A B C)}} = [\vec{A B}; \vec{A C}] = (9; 9; 9)$ .

Do $Δ A B C$ là tam giác đều nên đường thẳng $Δ$ sẽ đi qua trọng tâm $G (1; 1; 1)$ của $Δ A B C$ và nhận vectơ $\vec{u_{Δ}} = (1; 1; 1)$ làm một vectơ chỉ phương.

Þ Phương trình đường thẳng

Δ : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + t \\ z = 1 + t \end{cases} (t \in ℝ)

.

Câu 28:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên sau.

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên sau. Khẳng định nào sau đây là đúng (ảnh 1)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2.

B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1.

C. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1.

D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng -1 và 1.

Xem đáp án

Đáp án A

Từ bảng biến thiên ta thấy

+ $f (x) \leq 2, \forall x \in ℝ$ và $f (0) = 2$ nên giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2 tại $x = 0$ .

+ Vì $\lim_{x \to - \infty} f (x) = - 1$ nên $f (x) > - 1, \forall x \in ℝ$ Þ Hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

Câu 29:

Một bình chứa 16 viên bi trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen, 3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi. Xác suất lấy được cả 3 viên bi đỏ là

A. $\frac{1}{560}$ .

B. $\frac{1}{16}$ .

C. $\frac{1}{28}$ .

D. $\frac{143}{280}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Số phần tử của không gian mẫu là $n (Ω) = C_{16}^{3}$ .

Gọi A là biến cố. “Lấy được cả ba viên bi đỏ”.

$\Rightarrow n (A) = C_{3}^{3} \Rightarrow P_{A} = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{C_{3}^{3}}{C_{16}^{3}} = \frac{1}{560}$ .

Câu 30:

Hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng (ảnh 1)

A. $a > 0, b > 0, c < 0, d > 0$ .

B. $a < 0, b < 0, c < 0, d < 0$ .

C. $a > 0, b < 0, c < 0, d > 0$ .

D. $a > 0, b > 0, c > 0, d < 0$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Từ hình dáng đồ thị hàm số ta có $a > 0$ .

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d > 0$ .

Ta có $y^{'} = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ .

Hàm số có hai điểm cực trị $x_{C D}, x_{C T}$ là nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$

và thỏa mãn $- 1 < x_{C D} < 0; x_{C T} > 1 \Rightarrow \{\begin{cases} x_{C D} + x_{C T} > 0 \\ x_{C D} . x_{C T} < 0 \end{cases} (*)$

Theo định lí Vi-et ta có:

$(*) \Leftrightarrow \{\begin{cases} - \frac{2 b}{3 a} > 0 \Rightarrow \frac{b}{a} < 0 \to_{}^{a > 0} b < 0 \\ \frac{c}{3 a} < 0 \Rightarrow \frac{c}{a} < 0 \to_{}^{a > 0} c < 0 \end{cases}$ .

Câu 31:

Cho mặt phẳng $(P) : 2 x + y + 2 z - 9 = 0$ và điểm $A (3; 2; 5)$ . Hình chiếu của điểm $A$ lên mặt phẳng $(P)$ có tọa độ là

A. $(1; 1; 3)$ .

B. $(1; - 1; 3)$ .

C. $(1; 1; - 3)$ .

D. $(- 1; - 1; 3)$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $Δ$ là đường thẳng chứa điểm A và vuông góc với $(P) \Rightarrow Δ : \{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 2 + t \\ z = 5 + 2 t \end{cases} (t \in ℝ)$

$A^{'}$ là hình chiếu của A lên $(P)$ nên $A^{'} = Δ \cap (P) \Rightarrow A^{'} (3 + 2 t; 2 + t; 5 + 2 t)$

$\Rightarrow 2 (3 + 2 t) + (2 + t) + 2 (5 + 2 t) - 9 = 0 \Leftrightarrow t = - 1$ .

Vậy $A^{'} (1; 1; 3)$ .

Câu 32:

Biết $I = 2 \int_{0}^{1} \frac{x^{2} d x}{(x + 1) \sqrt{x + 1}} = \frac{a + b \sqrt{2}}{c} (a, b, c \in ℝ)$ . Giá trị $a + b + c$ là

A. 7.

B. 9.

C. 13.

D. 17.

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = \sqrt{x + 1} \Rightarrow x = t^{2} - 1 \Rightarrow d x = 2 t d t$ .

Đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \\ x = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} t = 1 \\ t = \sqrt{2} \end{cases}$

Khi đó $I = 4 \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{{(t^{2} - 1)}^{2}}{t^{3}} t d t = 4 \int_{1}^{\sqrt{2}} (t^{2} - 2 + \frac{1}{t^{2}}) d t = 4 {(\frac{t^{3}}{3} - 2 t - \frac{1}{t})|}_{1}^{\sqrt{2}} = \frac{32 - 22 \sqrt{2}}{3}$ .

Vậy $a + b + c = 13$ .

Câu 33:

Trong không gian với hệ tọa độ

O x y z

, cho

A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)

với

a, b, c > 0

. Biết mặt phẳng

(A B C)

qua

I (1; 3; 3)

và thể tích tứ diện

O A B C

đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó phương trình

(A B C)

là

A. $3 x + 3 y + z - 15 = 0$ .

B. $x + 3 y + 3 z - 19 = 0$ .

C. $3 x + y + z - 9 = 0$ .

D. $x + y + 3 z - 13 = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $(A B C) : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .Mà $I (1; 3; 3) \in (A B C)$ nên $\frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c} = 1$ .

Ta có $V_{O A B C} = \frac{1}{6} |[\vec{O A}, \vec{O B}] . \vec{O C}| = \frac{1}{6} a b c$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có ${(\frac{1}{a} + \frac{3}{b} + \frac{3}{c})}^{3} \geq \frac{27.9}{a b c} \Rightarrow a b c \geq 243$ .

Vậy $\min V_{O A B C} = \frac{81}{2} \Leftrightarrow a = 3, b = 9, c = 9$ .

Þ Phương trình

(A B C) : 3 x + y + z - 9 = 0

.

Câu 34:

Cho hàm số $y = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 (m - 1) x + m^{3}}}$ với $m$ là tham số thực và $m > \frac{1}{2}$ .

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án B

Xét phương trình $x^{2} + 2 (m - 1) x + m^{2} = 0$ có $Δ^{'} = 1 - 2 m < 0, \forall m > \frac{1}{2}$ .

Þ Phương trình vô nghiệm nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to + \infty} \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 (m - 1) x + m^{2}}} = 1 \Rightarrow y = 1$ là tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to - \infty} y = \lim_{x \to - \infty} \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 (m - 1) x + m^{2}}} = - 1 \Rightarrow y = - 1$ là tiệm cận ngang.

Vậy đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận.

Câu 35:

Xác định

m

để bất phương trình

9^{x} - {4.3}^{x} + 3 > m

có nghiệm thuộc

(0; + \infty)

.

A. $m \in ℝ$ .

B. $m < - 1$ .

C. $m < 0$ .

D. $m \in \emptyset$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = 3^{x} > 0$ .

Để bất phương trình $9^{x} - {4.3}^{x} + 3 > m$ có nghiệm thuộc khoảng $(0; + \infty)$ thì bất phương trình $t^{2} - 4 t + 3 > m$ có nghiệm thuộc $(1; + \infty)$ .

Xét bảng biến thiên của hàm số $f (t) = t^{2} - 4 t + 3$ trên $(1; + \infty)$ .

Từ bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm thuộc $(1; + \infty)$ với $\forall m \in ℝ$ .

Câu 36:

Một tấm nhôm hình chữ nhật có hai kích thước là $ a$ và $2 a$ ( $ a$ là độ dài có sẵn). Người ta cuốn tấm nhôm đó thành một hình trụ. Nếu hình trụ được tạo thành có chu vi đáy bằng $2 a$ thì thể tích của nó bằng

A. $\frac{a^{3}}{π}$ .

B. $π a^{3}$ .

C. $\frac{a^{3}}{2 π}$ .

D. $2 π a^{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi bán kính đáy là R. Hình trụ có chu vi đáy bằng $2 a$ nên $2 π R = 2 a \Leftrightarrow R = \frac{a}{π}$ .

Vậy thể tích khối trụ $V = π R^{2} h = π {(\frac{a}{π})}^{2} a = \frac{a^{3}}{π}$ (đvtt).

Câu 37:

Cho hàm số

y = f (x)

xác định trên

ℝ \ \{- 2; 2\}

thỏa mãn

f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} - 4}

. Biết

f (3) + f (- 3) = 3; f (1) + f (- 1) = 6

. Giá trị của

f (- 4) + f (0) + f (5) = \frac{1}{4} (a \ln 3 + b \ln 7) + c

khi đó

a + b + c

bằng

A. 7.

B. 2.

C. 3.

D. 39.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = \frac{1}{x^{2} - 4} \Rightarrow f (x) = \int \frac{d x}{x^{2} - 4} = \{\begin{cases} \frac{1}{4} \ln |\frac{x - 2}{x + 2}| + C_{1}, x > 2 \\ \frac{1}{4} \ln |\frac{x - 2}{x + 2}| + C_{2}, - 2 < x < 2 \\ \frac{1}{4} \ln |\frac{x - 2}{x + 2}| + C_{3}, x < - 2 \end{cases}$

Thay vào các dữ kiện ta có: $\{\begin{cases} f (3) + f (- 3) = 3 \\ f (1) + f (- 1) = 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} C_{1} + C_{3} = 3 \\ C_{2} = 3 \end{cases}$

$\Rightarrow f (- 4) + f (0) + f (5) = \frac{1}{4} (2 \ln 3 - \ln 7) + 6$

Vậy $a + b + c = 7$ .

Câu 38:

Cho bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$ như hình

Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như hình . Để hàm số y = trị tuyệt đối của f(x) + m có 5 điểm cực trị thì giá trị của m thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây (ảnh 1)

Để hàm số $y = |f (x) + m|$ có 5 điểm cực trị thì giá trị của $m$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. $(2; 3)$ .

B. $(- 1; 0)$ .

C. $(0; 1)$ .

D. $(- 2; - 1)$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Do số điểm cực trị của hàm số $y = |f (x) + m|$ bằng tổng số điểm cực trị của hàm số $y = f (x) + m$ và số nghiệm của phương trình $f (x) + m = 0 (*)$ (không kể nghiệm bội chẵn)

Từ bảng biến thiên ta có hàm số $y = f (x)$ có hai điểm cực trị.

Þ Hàm số $y = f (x) + m$ có hai điểm cực trị.

Þ Hàm số $y = |f (x) + m|$ có 5 điểm cực trị Û Phương trình $f (x) + m = 0$ có ba nghiệm phân biệt (không kể nghiệm bội chẵn)

Û Đường thẳng $y = - m$ cắt đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại ba điểm phân biệt.

$\Leftrightarrow 0 < - m < 1 \Leftrightarrow - 1 < m < 0$ .

Câu 39:

Cho hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $30 °$ . Hình chiếu $H$ của điểm $A$ trên mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ thuộc đường thẳng $B^{'} C^{'}$ . Khoảng cách giữa $A A^{'}$ và $B^{'} C^{'}$ bằng

A. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

B. $a$ .

C. $\frac{a}{2}$ .

D. $a \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Tam giác $A H A^{'}$ vuông tại H nên $A^{'} H = A A^{'} . \cos 30 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì $A^{'} B^{'} C^{'}$ là tam giác đều cạnh a, H thuộc đường thẳng $B^{'} C^{'}$ và $A^{'} H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ nên $A^{'} H ⊥ B^{'} C^{'}$ hay H là trung điểm của $B^{'} C^{'}$ .

Mặt khác $A H ⊥ B^{'} C^{'}$ nên $B^{'} C^{'} ⊥ (A A^{'} H) \Rightarrow A A^{'} ⊥ B^{'} C^{'}$ .

Kẻ đường cao HK của tam giác $A A^{'} H$ thì HK chính là khoảng cách giữa $A A^{'}, B^{'} C^{'}$ .

Do

A A^{'} . H K = A H . A^{'} H

nên

H K = \frac{\frac{a}{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{a \sqrt{3}}{4}

.

Câu 40:

Cho các khẳng định sau.

I. $|x + y| \geq |x| + |y|$ với $x, y$ là các số phức. II. $|{(x + y)}^{2}| \geq |x^{2}| + |y^{2}|$ véc-tơ

III. $|x - y| \geq |x| - |y|$ véc-tơ

Số các khẳng định sai trong các khẳng định sau là

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án A

Khẳng định I sai vì nếu x, y là các số thực trái dấu thì sẽ không thỏa mãn đẳng thức.

Khẳng định II sai vì cho $x = - y$ ta có điều ngược lại.

Khẳng định III là đúng. Đây chính là bất đẳng thức tam giác.

Câu 41:

Tập hợp các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $|z + 4| + |z - 4| = 10$ là

A. Đường tròn tâm $O (0; 0)$ và bán kính $R = 4$ .

B. Đường elip có phương trình $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ .

C. Những điểm $M (x; y)$ trong mặt phẳng $O x y$ thỏa mãn phương trình $\sqrt{{(x + 4)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - 4)}^{2} + y^{2}} = 12$ .

D. Đường elip có phương trình $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M (x; y)$ là điểm biểu diễn của số phức $z = x + y i (x; y \in ℝ)$ .

Gọi $A (4; 0)$ là điểm biểu diễn của số phức $z = 4$ .

Gọi $B (- 4; 0)$ là điểm biểu diễn của số phức $z = - 4$ .

Khi đó $|z + 4| + |z - 4| = 10$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(x + 4)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - 4)}^{2} + y^{2}} = 10$

$\Leftrightarrow M A + M B = 10 (*)$

Þ Tập hợp các điểm M là elip nhận $A, B$ là các tiêu điểm.

Gọi phương trình của elip là $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, (a > b > 0, a^{2} = b^{2} + c^{2})$

Từ (*) ta có $\{\begin{cases} 2 a = 10 \\ A B = 2 c \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 5 \\ c = 4 \end{cases} \Rightarrow b^{2} = a^{2} - c^{2} = 9$ .

Vậy quỹ tích các điểm M là elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .

Câu 42:

Cho hàm số

y = f (x)

có đồ thị

y = f^{'} (x)

như hình bên. Gọi

M

và

m

lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

y = f (x)

trên

[- 1; 4]

. Khi đó,

M + m

bằng

A. $f (- 1) + f (4)$ .

B. $f (- 1) + f (\frac{1}{2})$ .

C. $f (2) + f (\frac{1}{2})$ .

D. $f (2) + f (4)$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$

+ Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x)$ trên $[- 1; 4]$ ta đi so sánh $f (- 1)$ và $f (2)$

Ta có $\int_{- 1}^{a} f^{'} (x) d x + \int_{a}^{2} f^{'} (x) d x = \int_{- 1}^{2} f^{'} (x) d x < 0$

$\Leftrightarrow {f (x)|}_{- 1}^{2} < 0$

$\Leftrightarrow f (2) - f (- 1) < 0 \Rightarrow f (2) < f (- 1) \Rightarrow M = f (- 1)$ .

+ Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = f (x)$ trên $[- 1; 4]$ ta đi so sánh $f (a)$ và $f (4)$

Ta có $\int_{a}^{2} f^{'} (x) d x + \int_{2}^{4} f^{'} (x) d x = \int_{a}^{4} f^{'} (x) d x < 0$

$\Leftrightarrow {f (x)|}_{a}^{4} < 0$

$\Leftrightarrow f (4) - f (a) < 0 \Rightarrow f (4) < f (a) \Rightarrow m = f (4)$ .

$\Rightarrow M + m = f (- 1) + f (4)$ .

Câu 43:

Cho phương trình

\log_{2} (4^{x} + 2^{3 x} - 8) = x + m

. Giá trị của

m

để phương trình có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng nằm trong khoảng nào sau đây?

A. $(- 1; 0)$ .

B. $(0; 2)$ .

C. $(2; 4)$ .

D. $(- 4; - 3)$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\log_{2} (4^{x} + 2^{3 x} + 8) = x + m \Leftrightarrow 4^{x} + 2^{3 x} - 8 = 2^{m} {.2}^{x}$ .

Đặt $t = 2^{x} (t > 0)$ khi đó ta có phương trình $t^{3} + t^{2} - 2^{m} . t - 8 = 0 (*)$ .

Phương trình $\log_{2} (4^{x} + 2^{3 x} + 8) = x + m$ có ba nghiệm $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ lập thành cấp số cộng hay $x_{1} + x_{3} = 2 x_{2}$ .

Û Phương trình (*) có ba nghiệm dương $t_{1}, t_{2}, t_{3}$ thỏa $t_{1} . t_{3} = t_{2}^{2}$ .

Theo định lý Vi-ét ta có $t_{1} . t_{2} . t_{3} = 8 \Rightarrow t_{2}^{3} = 8 \Rightarrow t_{2} = 2$ thay vào (*) ta được $m = 1$ .

Câu 44:

Một thùng rượu có dạng khối tròn xoay với đường sinh là một phần của parabol, bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (như hình vẽ). Khi đó, thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu?

Một thùng rượu có dạng khối tròn xoay với đường sinh là một phần của parabol, bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính là 40cm, chiều cao thùng rượu là 1m (như hình vẽ). Khi đó, thể tích của thùng rượu (đơn vị lít) là bao nhiêu (ảnh 1)

A. 425,2 lít.

B. 425162 lít.

C. 212581 lít.

D. 212,6 lít.

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $(P) : y = a x^{2} + b x + c$ là parabol đi qua điểm $A (0,5; 0,3)$ và có đỉnh $S (0; 0; 4)$ (hình vẽ)

$\Rightarrow (P) : y = - \frac{2}{5} x^{2} + 0,4$ .

Khi đó, thể tích thùng rượu bằng thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi $(P) : y = - \frac{2}{5} x^{2} + 0,4 x$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = \pm 0,5$ quay quanh trục Ox.

Thể tích thùng rượu là

$V = π \int_{- 0.5}^{0.5} {(- \frac{2}{5} x^{2} + 0,4)}^{2} d x = 2 π \int_{- 0.5}^{0.5} {(- \frac{2}{5} x^{2} + 0,4)}^{2} d x = \frac{203 π}{1500} \approx 0,4252 (m^{3}) \approx 425,2 (lít)$ .

Câu 45:

Cho hàm số

y = \frac{\cos x + 2}{10 \cos x - m}

. Xác định

m

để hàm số đồng biến trên

(\frac{π}{3}; \frac{π}{2})

.

A. $m \geq - 20$ .

B. $m < - 20$ .

C. $[\begin{array}{l} - 20 < m < 0 \\ m > 5 \end{array}$ .

D. $[\begin{array}{l} - 20 < m \leq 0 \\ m \geq 5 \end{array}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = \cos x \Rightarrow y = \frac{t + 2}{10 t - m} \Rightarrow y^{'} = \frac{- m - 20}{{(10 t - m)}^{2}}$ .

Với $x \in (\frac{π}{3}; \frac{π}{2})$ thì $t \in (0; \frac{1}{2})$

Hàm số $y = \frac{\cos x + 2}{10 \cos x - m}$ đồng biến trên $(\frac{π}{3}; \frac{π}{2})$

Û Hàm số $y = \frac{t + 2}{10 t - m}$ nghịch biến trên $(0; \frac{1}{2})$

$\Leftrightarrow y^{'} < 0, \forall t \in (0; \frac{1}{2})$

$\Leftrightarrow \frac{m + 20}{{(10 t - m)}^{2}} \leq 0, \forall t \in (0; \frac{1}{2})$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m + 20 < 0 \\ \frac{m}{10} \notin (0; \frac{1}{2}) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 20 \\ m \notin (0; 5) \end{cases} \Leftrightarrow m < - 20$ .

Câu 46:

Cho tứ diện đều $A B C D$ có cạnh bằng $a$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B, B C$ và $E$ là điểm đối xứng với $B$ qua $D$ . Mặt phẳng $(M N E)$ chia khối tứ diện $A B C D$ thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh $A$ có thể tích $V$ . Khi đó, $V$ bằng

A. $V = \frac{7 \sqrt{2} a^{3}}{216}$ .

B. $V = \frac{11 \sqrt{2} a^{3}}{216}$ .

C. $V = \frac{13 \sqrt{2} a^{3}}{216}$ .

D. $V = \frac{\sqrt{2} a^{3}}{18}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Thể tích khối tứ diện $A B C D$ cạnh $a$ là $V_{A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .

Gọi $P = E N \cap C D$ và $Q = E M \cap A D$

$\Rightarrow P, Q$ lần lượt là trọng tâm của $Δ B C E$ và $Δ A B E$ .

Thể tích khối đa điện chứa đỉnh A là $V = V_{A B C D} - V_{P Q D . N M B} = V_{A B C D} - (V_{M . B N E} - V_{Q . P D E})$ .

Gọi S là diện tích tam giác $B C D \Rightarrow S_{Δ C D E} = S_{Δ B N E} = S$ .

$S_{Δ P D E} = \frac{1}{3} . S_{Δ C D E} = \frac{S}{3}$ .

Gọi $h$ là chiều cao của tứ diện $A B C D$

$\Rightarrow d [M, (B C D)] = \frac{h}{2}; d [Q, (B C D)] = \frac{h}{3}$

$\Rightarrow V_{M . B N E} = \frac{1}{2} S_{Δ B N E} . d [M, (B C D)] = \frac{S . h}{6}; V_{Q . P D E} = \frac{1}{3} S_{Δ P D E} . d [Q, (B C D)] = \frac{S . h}{27}$ .

Vậy thể tích khối đa diện chứa đỉnh A là

$S V = \frac{1}{3} S h - (\frac{S h}{6} - \frac{S h}{27}) = \frac{11}{18} . \frac{1}{3} S h = \frac{11}{18} . \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{11 \sqrt{2} a^{3}}{216}$ .

Câu 47:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên tập xác định và thỏa mãn $2 f (x) . [1 - 2 x^{2} . f (x)] = x . f^{'} (x); f (2) = \frac{2}{3}$ . Khi đó, $\int_{1}^{3} f (x) . (x^{3} - \frac{10}{x}) d x$ bằng

A. 4.

B. 10.

C. $\frac{25}{2}$ .

D. $\frac{21}{2}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $2 f (x) . [1 - 2 x^{2} . f (x)] = x . f^{'} (x) \Leftrightarrow 2 f (x) - 4 x^{2} . f^{2} (x) = x . f^{'} (x)$

$\Leftrightarrow 2 x . f (x) - 4 x^{3} . f^{2} (x) = x^{2} . f^{'} (x)$

$\Leftrightarrow \frac{2 x . f (x) - x^{2} . f^{'} (x)}{f^{2} (x)} = 4 x^{3}$

$\Leftrightarrow {(\frac{x^{2}}{f (x)})}^{'} = 4 x^{3} \Leftrightarrow \int {(\frac{x^{2}}{f (x)})}^{'} d x = \int 4 x^{3} d x \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{f (x)} = x^{4} + C \Leftrightarrow f (x) = \frac{x^{2}}{x^{4} + C}$ .

Mà $f (2) = \frac{2}{3} \Leftrightarrow \frac{2^{2}}{2^{4} + C} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow C = - 10 \Rightarrow f (x) = \frac{x^{2}}{x^{4} - 10}$ .

Ta có

\int_{1}^{3} f (x) . (x^{3} - \frac{10}{x}) d x = \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{x^{4} - 10} . (x^{3} - \frac{10}{x}) d x = 4

.

Câu 48:

Trong không gian với hệ trục tọa độ

O x y z

cho mặt phẳng

(P) : 3 x + y - z + 5 = 0

và hai điểm

A (1; 0; 2), B (2; - 1; 4)

. Tập hợp các điểm

M (x; y; z)

nằm trên mặt phẳng

(P)

sao cho tam giác

M A B

có diện tích nhỏ nhất là đường thẳng có phương trình

A. $\{\begin{cases} x = - \frac{13}{11} - t \\ y = t \\ z = \frac{2}{11} - 2 t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

B. $\{\begin{cases} x = 1 - t \\ y = t \\ z = - 2 - 2 t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

C. $\{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = - \frac{2}{11} - t \\ z = \frac{20}{11} + 2 t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

D. $\{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = - t \\ z = 2 + 2 t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\vec{A B} = (1; - 1; 2)$ , vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n_{(P)}} = (3; 1; - 1)$ .

Ta thấy hai điểm $A, B$ nằm cùng 1 phía với mặt phẳng $(P)$ và $A B$ song song với $(P)$ .

Điểm $M \in (P)$ sao cho tam giác $A B M$ có diện tích nhỏ nhất

$\Leftrightarrow S_{Δ A B C} = \frac{A B . d (M; A B)}{2}$ nhỏ nhất

$\Leftrightarrow d (M; A B)$ nhỏ nhất, hay $M \in Δ = (P) \cap (Q)$ , $(Q)$ là mặt phẳng đi qua $A B$ và vuông góc với $(P)$ .

$\Rightarrow Δ // A B$ hay $Δ$ nhận $\vec{A B} = (1; - 1; 2)$ là một vectơ chỉ phương.

Ta có vectơ pháp tuyến của $(Q)$ là $\vec{n_{(Q)}} = [\vec{A B}; \vec{n_{(P)}}] = (- 1; 7; 4)$

Þ Phương trình mặt phẳng $(Q) : - 1 (x - 1) + 7 y + 4 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 7 y - 4 z + 7 = 0$

Þ Tập hợp các điểm $M (x; y; z)$ thỏa mãn hệ phương trình $\{\begin{cases} x - 7 y - 4 z + 7 = 0 \\ 3 x + y - z + 5 = 0 \end{cases}$ .

Chọn $x = - 1 \Rightarrow y = - \frac{2}{11}; z = \frac{20}{11}$

$\Rightarrow Δ : \{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = - \frac{2}{11} - t \\ z = \frac{20}{11} + 2 t \end{cases} (t \in ℝ)$ .

Câu 49:

Cho hàm số

y = f (x) = x^{3} + 3 x - 4

. Có bao nhiêu giá trị của tham số

m

để phương trình

{(f (x))}^{3} = \sqrt[3]{f (x) + m} + m

có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. Vô số.

B. 2.

C. 4.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $u = \sqrt[3]{f (x) + m} \Rightarrow u^{3} = f (x) + m$ . Khi đó, ${(f (x))}^{3} = u + m$

$\Rightarrow u^{3} + u = {(f (x))}^{3} + f (x) (*)$

Xét hàm số $g (x) = x^{3} + x \Rightarrow g^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0, \forall x \in ℝ$

Þ Hàm số $y = g (x)$ luôn đồng biến trên $ℝ$

$\Leftrightarrow (*) \Leftrightarrow u = f (x) \Leftrightarrow {(f (x))}^{3} - m = f (x) \Leftrightarrow {(f (x))}^{3} - f (x) = m (* *)$

Đặt $t = f (x) \Rightarrow (* *) \Leftrightarrow t^{3} - t = m$

Xét hàm số $y = f (x) = x^{3} + 3 x - 4 \Rightarrow f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3 > 0, \forall x \in ℝ$

Þ Hàm số $y = f (x)$ luôn đồng biến trên $ℝ$

Þ Mỗi giá trị của t cho duy nhất một nghiệm của phương trình $x^{3} + 3 x - 4 = t$

Þ Phương trình ${(f (x))}^{3} = \sqrt[3]{f (x) + m} + m$ có đúng hai nghiệm phân biệt thì phương trình $t^{3} - t = m$ có đúng hai nghiệm phân biệt.

Xét hàm số $f (t) = t^{3} - t \Rightarrow f^{'} (t) = 3 t^{2} - 1$

$f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình $t^{3} - t = m$ có đúng hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

Câu 50:

Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho mặt phẳng $(P) : 3 x - 3 y + 2 z + 37 = 0$ và các điểm $A (4; 1; 5), B (3; 0; 1), C (- 1; 2; 0)$ . Biết $M$ thuộc $(P)$ sao cho biểu thức $S = \vec{M A} . \vec{M B} + \vec{M B} . \vec{M C} + \vec{M C} . \vec{M A}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tọa độ điểm $M$ là

A. $(- 4; 7; - 2)$ .

B. $(- 3; 6; - 5)$ .

C. $(1; 8; - 8)$ .

D. $(- 2; 5; - 8)$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $M (x; y; z)$ .

Do $M \in (P)$ nên $3 x - 3 y + 2 z + 37 = 0$ .

Có $\vec{M A} = (4 - x; 1 - y; 5 - z), \vec{M B} = (3 - x; - y; 1 - z), \vec{M C} = (- 1 - x; 2 - y; - z)$ .

Khi đó $S = 3 [{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} - 5]$ .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có: $[3 (x - 2) - 3 (y - 1) + 2 {(z - 2)}^{2}] \leq (3^{2} + 3^{2} + 2^{2}) [{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2}]$

$\Leftrightarrow 44^{2} \leq 22 (\frac{S}{3} + 5) \Leftrightarrow S \geq 249$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{- 3} = \frac{z - 2}{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 4 \\ y = 7 \\ z = - 2 \end{cases}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 5)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan