50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 4)

Câu 1:

(P) : 2 x + y - z + 1 = 0.

Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng (P) ?

A. $(0; - 2; - 1) .$

B. $(2; 1; - 1) .$

C. $(1; 1; 4) .$

D. $(- 2; - 1; - 4) .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta thấy chỉ có điểm $(2; 1; - 1)$ không thuộc mặt phẳng $(P) .$

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên $ℝ$ có bảng biến thiên sau:

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R có bảng biến thiên sau. Phương trình f(x) = -8 có số nghiệm thực là (ảnh 1)

Phương trình $f (x) = - 8$ có số nghiệm thực là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án B

Số nghiệm cần tìm là số giao điểm của đường thẳng $y = - 8$ và đồ thị hàm số $y = f (x) .$

Từ bảng biến thiên ta thấy chỉ có duy nhất 1 giao điểm giữa hai đồ thị.

Câu 3:

Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 người vào một bàn tròn?

A. 6!.

B. 5!.

C. 2.5!.

D. 2.4!.

Xem đáp án

Đáp án B

Chọn 1 người làm vị khách danh dự ngồi ở vị trí cố định vậy 5 người còn lại có 5! cách xếp.

Vậy có 5! cách.

Câu 4:

Cho các khẳng định sau với

0 < a \neq 1; b, c \neq 0.

\begin{array}{l} 1. l o g_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c . \\ 2. \log_{a} (b^{2}) = 2 \log_{a} b . \\ 3. \log_{a} (b^{2} + c^{2}) \geq \log_{a} (2 |b c|) . \end{array}

Số khẳng định sai là

A. 0.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Xem đáp án

Đáp án C

Khẳng định 1 sai vì các số có thể âm.

Khẳng định 2 sai vì b có thể âm.

Khẳng định 3 sai vì nếu $a < 1$ thì chiều bất đẳng thức là ngược lại.

Câu 5:

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\int \frac{1}{x} d x = \ln x + C .$

B. $\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} \ln |a x + b| + C, (a \neq 0) .$

C. $\int \frac{1}{x + 1} d x = \ln x + C .$

D. $\int \frac{1}{x - 1} d x = \ln (x - 1) + C .$

Xem đáp án

Đáp án B

Sử dụng bảng nguyên hàm ta được $\int \frac{1}{a x + b} d x = \frac{1}{a} \ln |a x + b| + C, (a \neq 0) .$

Câu 6:

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

M (1; 2; - 4) .

Khoảng cách từ M đến trục Oz bằng

A. $\sqrt{6} .$

B. $\sqrt{5} .$

C. 3.

D. $2 \sqrt{5} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi hình chiếu của M lên trục Oz là $M^{'} \Rightarrow M^{'} (0,0, - 4)$

$M M^{'} = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 4 - (- 4))}^{2}} = \sqrt{5} .$

Câu 7:

Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có M là điểm nằm trong tứ giác ABCD sao cho $S_{A B C D} = 5 S_{A B M} .$ Gọi O' là điểm bất kì nằm trong (A'B'C'D'). Tỉ số thể tích hình chóp O'.ABM và hình lăng trụ ABCD.AB'C'D' bằng

A. $\frac{1}{15} .$

B. $\frac{1}{5} .$

C. $\frac{3}{5} .$

D. $\frac{1}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

\frac{V_{O^{'} A B M}}{V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}} = \frac{\frac{1}{3} d (O^{'}, (A B C D)) . S_{A B M}}{d (O^{'}, (A B C D)) . S_{A B C D}} = \frac{1}{3} . \frac{1}{5} = \frac{1}{15} .

Câu 8:

Một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{2 x + 2}{{(x + 1)}^{2}}$ là

A. $\ln {(x + 1)}^{2} .$

B. $\ln^{2} (x + 1) .$

C. $\ln (x^{2} + 2 x) .$

D. $\ln^{2} (x^{2} + 2 x) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

\int \frac{2 x + 2}{{(x + 1)}^{2}} d x = \int \frac{2}{x + 1} d x = 2 \ln |x + 1| + C = \ln {(x + 1)}^{2} + C .

Câu 9:

Cho số phức $z = 2 - 5 i .$ Khi đó mô đun của $z^{- 1}$ là

A. $\frac{\sqrt{13}}{13} .$

B. $\frac{\sqrt{29}}{29} .$

C. $\sqrt{5} .$

D. $\frac{\sqrt{17}}{17} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $|\frac{1}{z}| = |\frac{1}{2 - 5 i}| = \frac{\sqrt{29}}{29} .$

Câu 10:

Cho hình trụ có thể tích bằng 16pa³, đường kính đáy bằng 4a. Chiều cao của hình trụ bằng

A. 2a.

B. 4a.

C. 6a.

D. 8a.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

V_{t r u} = π r^{2} h \Leftrightarrow π .4 a^{2} . h = 16 π a^{3} \Rightarrow h = 4 a .

Câu 11:

Giá trị của $\lim \frac{2 n^{3} + n - n^{4}}{n^{2} (2 n^{2} + 1)}$ bằng

A. -1.

B. +¥.

C. $- \frac{1}{2} .$

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Cách 1. Dùng casio.

Nhập $\frac{2 X^{3} + X - X^{4}}{X^{2} (2 X^{2} + 1)} \to C A L C \to X = 10^{5} \to$ ta tính được $\lim_{} \frac{2 n^{3} + n - n^{4}}{n^{2} (2 n^{2} + 1)} = \frac{- 1}{2} .$

Cách 2. Có $\lim_{} \frac{2 n^{3} + n - n^{4}}{n^{2} (2 n^{2} + 1)} = \lim \frac{\frac{2}{n} + \frac{1}{n^{3}} - 1}{2 + \frac{1}{n^{2}}} = \frac{- 1}{2}$ vì $\lim \frac{1}{n^{k}} = 0, \forall k > 0.$

(Ta nhìn tử số và mẫu số sẽ thấy có bậc của n lớn nhất đều bằng 4 nên giới hạn ở đây sẽ bằng tỉ lệ hệ số của chúng là $- \frac{1}{2}$ )

Mở rộng: Khi tính giới hạn dãy số ta chỉ cần giữ lại số hạng có số mũ cao nhất, ở đây đa thức dạng $n^{k}$ thì chỉ cần giữ lại k lớn nhất, $a^{n}$ chỉ cần giữ lại a lớn nhất.

Như bài này ta có $\lim_{} \frac{2 n^{3} + n - n^{4}}{n^{2} (2 n^{2} + 1)} = \lim \frac{- n^{4}}{n^{2} (2 n^{2})} = \frac{- 1}{2} .$

Câu 12:

Hàm số $y = x^{3} - x^{2} - x - 5$ đạt cực đại tại

A. $x = - \frac{1}{3} .$

B. $x = 2.$

C. $x = 3.$

D. $x = 4.$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

y^{'} = 3 x^{2} - 2 x - 1 \Rightarrow y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1, x = - \frac{1}{3} .

Câu 13:

Nghiệm của phương trình

10^{\log 2} = 3 x + 5

là

A. $- \frac{1}{4} .$

B. 2.

C. $- 1.$

D. $- \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

10^{\log 2} = 3 x + 5 \Leftrightarrow 2 = 3 x + 5 \Leftrightarrow x = - 1.

Câu 14:

Cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 6 y + 4 z + 5 = 0.$ Bán kính của mặt cầu (S) là

A. 3.

B. 2.

C. 4.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 6 y + 4 z + 5 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 9.$

Vậy

R = \sqrt{9} = 3.

Câu 15:

Cho hình nón có diện tích xung quanh là

S_{x q} = 10 π c m^{2},

bán kính đáy

R = 3 c m .

Khi đó đường sinh của hình nón là

A. $l = \frac{10}{3} c m .$

B. $l = 4 c m .$

C. $l = 6 c m .$

D. $l = 7 c m .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

S_{x q} = π . r . l \Rightarrow l = \frac{S_{x q}}{π . r} = \frac{10}{3} .

Câu 16:

Cho $\log_{a} b = 2; \log_{a} c = 5; A = \frac{\sqrt{a} b^{3} \sqrt[5]{c}}{a^{3} \sqrt[4]{b^{2}} c^{2}} .$ Giá trị biểu thức $\log_{A} a$ bằng

A. $- \frac{13}{2} .$

B. $- \frac{2}{13} .$

C. $\frac{40}{3} .$

D. $\frac{3}{40} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Cách 1. Ta có $\{\begin{cases} \log_{a} b = 2 \\ \log_{a} c = 5 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} b = a^{2} \\ c = a^{5} \end{cases}$

$\Rightarrow A = \frac{\sqrt{a} b^{3} \sqrt[5]{c}}{a^{3} \sqrt[4]{b^{2}} c^{2}} = \frac{\sqrt{a} . {(a^{2})}^{3} . \sqrt[5]{a^{5}}}{a^{3} . \sqrt[4]{{(a^{2})}^{2}} . {(a^{5})}^{2}} = \frac{a^{\frac{15}{2}}}{a^{14}} = a^{- \frac{13}{2}} \Rightarrow \log_{A} a = \log_{a^{- \frac{13}{2}}} a^{1} = - \frac{2}{13} .$

Cách 2. Ta cho a bằng một giá trị bất kì, sau đó sẽ tìm được b, c và A.

Câu 17:

Cho

z = a + b i

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Phần thực là a và phần ảo là bi.

B. Điểm biểu diễn z là $(a; b) .$

C. $z^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a b i .$

D. $|z| = a^{2} + b^{2} .$

Xem đáp án

Đáp án B

A sai vì phần ảo là b

C sai vì $z^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 a b i$

D sai vì

|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} .

Câu 18:

Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số

y = \frac{x + \sqrt{2020}}{\sqrt{x^{2} - 2020}}

là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án C

Dùng casio nhập $\frac{X + \sqrt{2020}}{\sqrt{X^{2} - 2020}} \overset{C A L C}{\to} [\begin{array}{l} X = 99999 \overset{K Q}{\to} 1 \\ X = - 99999 \overset{K Q}{\to} - 1 \\ X = \sqrt{2020,0001} \overset{K Q}{\to} + \infty \\ X = - \sqrt{2020,0001} \overset{K Q}{\to} 0 \end{array}$

$\Rightarrow y = \pm 1$ là tiệm cận ngang và $x = \sqrt{2020}$ là tiệm cận đứng.

Câu 19:

Cho tứ diện ABCD có $A D = 14, B C = 6.$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD và $M N = 8.$ Gọi a là góc giữa hai đường thẳng BC và MN. Khi đó, tana bằng

A. $\frac{2 \sqrt{2}}{3} .$

B. $\sqrt{3} .$

C. $\frac{1}{2} .$

D. $\frac{\sqrt{2}}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi P là trung điểm của cạnh CD, ta có $α = \hat{(M N, B C)} = \hat{(M N, N P) .}$

Trong tam giác MNP, ta có $\cos \hat{M N P} = \frac{M N^{2} + P N^{2} - M P^{2}}{2 M N . N P} = \frac{1}{2} .$

Suy ra $\hat{M N P} = 60^{o} .$

Suy ra $t a n α = \sqrt{3} .$

Cho tứ diện ABCD có AD = 14, BC = 6. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD và MN = 8. Gọi a là góc giữa hai đường thẳng BC và MN. Khi đó, tana bằng (ảnh 1)

Câu 20:

Cho hàm số $y = \frac{2 - x}{x + 1} .$ Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1) \cup (- 1; + \infty) .$

B. Hàm số nghịch biến trên $ℝ \ \{1\} .$

C. Hàm số nghịch biến trên $ℝ .$

D. Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1), (- 1; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y^{'} = - \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} < 0, \forall x \in ℝ \ \{- 1\}$

Þ Hàm số nghịch biến trên $(- \infty; - 1), (- 1 + \infty) .$

Câu 21:

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 3$ và đường thẳng $y = x$ là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị $x^{3} - 4 x + 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = \frac{- 1 \pm \sqrt{13}}{2} \end{array}$

Câu 22:

Tập nghiệm của bất phương trình $5^{\log_{\frac{1}{3}} (\frac{x - 2}{x})} < 1$ là

A. $(2; + \infty) .$

B. $(- \infty; 0) .$

C. $(0; 2) .$

D. $(0; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện $\frac{x - 2}{x} > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < 0 \\ x > 2 \end{array}$

Ta có $5^{\log_{\frac{1}{3}} (\frac{x - 2}{x})} < 1 \Leftrightarrow \log_{\frac{1}{3}} (\frac{x - 2}{x}) < 0 \Leftrightarrow \frac{x - 2}{x} > 1 \Leftrightarrow x < 0$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(- \infty; 0) .$

Câu 23:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai (ảnh 1)

A. Phương trình $f (x) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.

B. Đồ thị hàm số luôn đồng biến trong khoảng $(- 1; + \infty) .$

C. Hàm số có điểm cực đại nhỏ hơn điểm cực tiểu.

D. Hàm số có hệ số $a > 0.$

Xem đáp án

Đáp án B

Khẳng định A đúng do đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.

Khẳng định B sai do dễ thấy trong khoảng $(- 1; 0)$ đồ thị hàm số đi xuống nên trong khoảng này hàm số nghịch biến.

Khẳng định C đúng do điểm cực đại của hàm số nằm bên trái điểm cực tiểu.

Khẳng định D đúng do đồ thị hàm số có xu hướng đi lên khi $x \to + \infty .$

Câu 24:

Tập xác định của hàm số $y = \log_{2 x - 1} (x^{2} - 3 x + 2)$ là

A. $(1; + \infty) .$

B. $(2; + \infty) .$

C. $(\frac{1}{2}; 1) \cup (2; + \infty) .$

D. $(\frac{1}{2}; 1) .$

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện

\{\begin{cases} 2 x - 1 > 0 \\ 2 x - 1 \neq 1 \\ x^{2} - 3 x + 2 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \frac{1}{2} < x < 1 \\ x > 2 \end{array} .

Câu 25:

Cho $I = \int_{0}^{1} f (2 x + 3) d x = 4.$ Khi đó giá trị của $\int_{3}^{5} f (x) d x$ bằng

A. 1.

B. 2.

C. 8.

D. 11.

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt

t = 2 x + 3 \Rightarrow d t = 2 d x \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int_{3}^{5} f (t) d t = 4 \Rightarrow \int_{3}^{5} f (t) d t = 8.

Câu 26:

Hàm số $y = 3 x^{3} + 4 x - 2$ có giá trị nhỏ nhất trên $[1; 3]$ bằng

A. 2.

B. 4.

C. 5.

D. 30.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y = 3 x^{3} + 4 x - 2 \Rightarrow y^{'} = 9 x^{2} + 4 > 0, \forall x \in [1; 3]$

Vậy giá trị nhỏ nhất là

y (1) = 5.

Câu 27:

Tọa độ hình chiếu vuông góc của

M (6; 0; 0)

trên đường thẳng

Δ : \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 2}

là

A. $(- 2; 2; 1) .$

B. $(1; - 2; 0) .$

C. $(4; 0; - 1) .$

D. $(2; 2; 0) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M^{'} (t + 1; 2 t; - 2 t + 2)$ là hình chiếu của M lên D. Ta có $\begin{array}{l} \vec{M M^{'}} = (t - 5; 2 t; - 2 t + 2), \vec{u_{Δ}} = (1; 2; - 2) \\ \vec{M M^{'}} . \vec{u_{Δ}} = 0 \Leftrightarrow t - 5 + 4 t + 4 t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M^{'} = (2; 2; 0) . \end{array}$

Câu 28:

Cho số phức

z = a + b i .

Khi đó số

|z - \bar{z}|

bằng

A. $2 (a^{2} + b^{2}) .$

B. $2 b .$

C. $4 b^{2} .$

D. $2 |b| .$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $|z - \bar{z}| = |a + b i - a + b i| = |2 b i| = 2 |b| .$

Câu 29:

Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có chiều cao bằng 6a và đường chéo 10a. Thể tích khối lăng trụ này là

A. 64a³.

B. 96a³.

C. 192a³.

D. 200a³.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\begin{array}{l} A C = \sqrt{{(10 a)}^{2} - {(6 a)}^{2}} = 8 a \Rightarrow A B = A D = 4 a \sqrt{2} \\ \Rightarrow V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = 6 a . {(4 a \sqrt{2})}^{2} = 192 a^{3} . \end{array}$

Câu 30:

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm $A (3; 1; 2), B (- 1; 3; 4), C (4; - 1; 3) .$ Điểm D thỏa mãn ABCD là hình bình hành. Khi đó, tọa độ điểm D là

A. $(8; - 3; 1) .$

B. $(1; - 2; 4) .$

C. $(1; 0; 1) .$

D. $(2; 4; - 1) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có ABCD là hình bình hành

$\vec{A D} = \vec{B C} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{D} - 3 = 5 \\ y_{D} - 1 = - 4 \\ z_{D} - 2 = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{D} = 8 \\ y_{D} = - 3 \\ z_{D} = 1 \end{cases} \Rightarrow D (8; - 3; 1) .$

Câu 31:

Gieo 2 đồng xu A và B một cách độc lập với nhau. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Xác suất để khi gieo hai đồng xu hai lần thì cả hai đồng xu đều ngửa là

A. $\frac{1}{16}$

B. $\frac{1}{64}$

C. $\frac{1}{32}$

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

Xác suất gieo hai đồng xu một lần đều xuất hiện mặt ngửa là $\frac{1}{2} . \frac{1}{4} = \frac{1}{8} .$

Do đó, xác suất gieo hai đồng xu 1 lần đều xuất hiện mặt ngửa là $\frac{1}{8} . \frac{1}{8} = \frac{1}{64} .$

Câu 32:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có

A B = a, A D = a \sqrt{3} .

Khoảng cách giữa hai đường thẳng DD' và AC' bằng

A. $\frac{a \sqrt{3}}{4} .$

B. $a \sqrt{3} .$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2} .$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $d (D D^{'}, A C^{'}) = d (B B^{'}, A C^{'}) .$

Ta có $A^{'} C^{'} = \sqrt{{(A^{'} B^{'})}^{2} + {(B^{'} C^{'})}^{2}} = 2 a .$

Kẻ $B^{'} H ⊥ A^{'} C^{'} .$

$B^{'} H = \frac{A^{'} B^{'} . B^{'} C^{'}}{A^{'} C^{'}} = \frac{a . a \sqrt{3}}{2 a} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Vì $B B^{'} / / (A C C^{'} A^{'})$ nên $d (B B^{'}, A C^{'}) = d (B B^{'}, (A C C^{'} A^{'}))$

$d (B B^{'}, (A C C^{'} A^{'})) = B^{'} H = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Nên $d (B B^{'}, A C^{'}) = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Câu 33:

Cho hàm số

y = \frac{2}{3} x^{3} - 2 m x^{2} - m + 2.

Có bao nhiêu giá trị của m để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên

[1; 3]

bằng 6?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án A

Cách 1. Xét $y^{'} = 0 \Leftrightarrow 2 x^{2} - 4 m x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 m \end{array} .$

Trường hợp 1: $2 m \leq 1 \Leftrightarrow m \leq \frac{1}{2} .$ Khi đó $\underset{x \in [1; 3]}{m a x} y = y (3) = 20 - 19 m = 6 \Leftrightarrow m = \frac{14}{19}$ (loại)

• Trường hợp 2: $1 < 2 m < 3 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < \frac{3}{2} .$ Khi đó $\underset{x \in [1; 3]}{m a x} y = y (1)$ hoặc $\underset{x \in [1; 3]}{m a x} y = y (3)$

+) $y (1) = 6 \Leftrightarrow m = - \frac{10}{9}$ (loại)

+) $y (3) = 6 \Leftrightarrow m = \frac{14}{19},$ khi đó $y (1) = \frac{26}{57}$ (thỏa mãn).

• Trường hợp 3: $2 m \geq 3 \Leftrightarrow m \geq \frac{3}{2} .$ Khi đó $\underset{x \in [1; 3]}{m a x} y = y (1) = - 3 m + \frac{8}{3} = 6 \Leftrightarrow m = - \frac{10}{9}$ (loại).

Cách 2. Giá trị lớn nhất của hàm số chỉ đạt tại $f (1), f (3), f (2 m)$ (vì $0 \notin (1; 3)$ ).

Biện luận sẽ thấy $f (2 m)$ không thể lớn nhất, từ đó chỉ so sánh $f (1)$ và $f (3) .$

Giả sử $\underset{x \in [1; 3]}{m a x} f (x) = f (1) = 6$ tìm ra m thay vào $f (1), f (3), f (2 m)$ (vì $0 \notin (1; 3)$

Biện luận sẽ thấy $f (2 m)$ không thể lớn nhất, từ đó chỉ so sánh $f (1)$ và $f (3) .$

Giả sử $\underset{x \in [1; 3]}{m a x} f (x) = f (1) = 6$ tìm ra m thay vào $f (3)$ xem có lớn hơn không, tương tự làm với $f (3) .$

Câu 34:

Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 20 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng 16p(cm²). Thể tích của quả bóng bằng bao nhiêu? (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân)

Một quả bóng bầu dục có khoảng cách giữa 2 điểm xa nhất bằng 20 cm và cắt quả bóng bằng mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó thì được đường tròn có diện tích bằng 16p(cm2). Thể tích của quả bóng bằng bao nhiêu? (Tính gần đúng đến hai chữ số thập phân) (ảnh 1)

A. 0,15 (lít).

B. 0,38 (lít).

C. 0,5 (lít).

D. 1 (lít).

Xem đáp án

Đáp án B

Quả bóng bầu dục sẽ có dạng elip, đặt tọa độ $O x y, x_{A} = 10$ và $x_{B} = - 10.$

Ta có diện tích đường tròn thiết diện là

$S = π r^{2} = 16 π \Rightarrow r = 4 \Rightarrow y_{C} = 4$ và $y_{D} = - 4.$

Ta sẽ có phương trình elip $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

$\Rightarrow y = π \int_{- 4}^{4} 16 (1 - \frac{x^{2}}{100}) d x \approx 380 (c m^{3}) = 0,38 (1) .$

Câu 35:

Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức

ω = (1 + i \sqrt{3}) - 1 - \sqrt{3}

biết số phức z thỏa mãn

|z - 1| \leq 2

là

A. Hình tròn ${(x - 3)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} \leq 16.$

B. Đường tròn ${(x - 3)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 16.$

C. Hình tròn ${(x - 3)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} \leq 4$ .

D. Đường tròn ${(x - 3)}^{2} + {(y - \sqrt{3})}^{2} = 4.$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi số phức $z = (a + b i) .$

Ta có $(1) \Leftrightarrow |a + b i - 1| \leq 2 \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} + b^{2} \leq 4.$ Điểm M biểu diễn số phức

$\begin{array}{l} ω = (1 + i \sqrt{3}) z - 1 - \sqrt{3} = (1 + i \sqrt{3}) . (a + b i) - 1 - \sqrt{3} \\ \Leftrightarrow ω = (a - b \sqrt{3} - 1) + a \sqrt{3} + b - \sqrt{3} \\ \Rightarrow |ω| = \sqrt{{(a - b \sqrt{3} - 1)}^{2} + {(a \sqrt{3} + b - \sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{4 {(a - 1)}^{2} + 4 b^{2}} \leq 4.4 = 16 \end{array}$

Câu 36:

Một hình nón được cắt bởi một mặt phẳng (P) song song với đáy. Mặt phẳng này chia với mặt xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau như hình vẽ. Gọi (N₁) là hình nón có đỉnh A, bán kính đáy HM; (N₂) là hình nón có đỉnh A, bán kính đáy OD. Tỉ số thể tích của khối nón (N₁) và khối nón (N₂) là

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{8}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có mặt phẳng (P) chia với mặt xung quanh của hình nón thành hai phần có diện tích bằng nhau $\Rightarrow \frac{S_{x q (N_{1})}}{S_{x q (N_{2})}} = \frac{1}{2}$

Ta có $M N / / C D$ nên theo định lí Ta-let ta có $\frac{A M}{A D} = \frac{A H}{A O} = \frac{H M}{O D} = k$

$\begin{array}{l} \frac{S_{x q (N_{1})}}{S_{x q (N_{2})}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{π . H M . A M}{π . O D . A D} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{π . k . O D . k . A D}{π . O D . A D} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow k^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \frac{V_{(N_{1})}}{V_{(N_{2})}} = \frac{π . H M^{2} . A H}{π . O D^{2} . A O} = \frac{π . {(k . O D)}^{2} . k . A O}{π . O D^{2} . A O} = k^{3} = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} = \frac{\sqrt{2}}{4} . \end{array}$

Câu 37:

Cho phương trình đường thẳng

(d) : \frac{x}{4} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{1}

và đường thẳng

(d^{'}) : x + 1 = y = z + 1

. Mặt cầu có bán kính lớn nhất thỏa mãn tâm I nằm trên (d’), đi qua

A (3; 2; 2)

và tiếp xúc với đường thẳng d có phương trình

A. ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

B. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 1.$

C. ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

D. ${(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + z^{2} = 9.$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi tâm $I (t + 1; t; t + 1) .$

Khi đó $\vec{A I} = (t - 2; t - 2; t - 1), A I = \sqrt{3 t^{2} - 10 t + 9} .$

Lấy $N (0; 2; 3) \in d, \vec{N I} = (t + 1, t - 2, t - 2) .$

Ta có $d (I, d) = \frac{|[\vec{N I}, \vec{u_{d}}]|}{|\vec{u_{d}}|} = \frac{|3 t - 9| \sqrt{2}}{3 \sqrt{2}} = |t - 3| .$

Có $d (I, d) = A I \Leftrightarrow |t - 3| = \sqrt{3 t^{2} - 10 t + 9} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = 2 \end{array} .$

Do bán kính lớn nhất nên chọn $t = 0.$ Khi đó phương trình mặt cầu là ${(x - 1)}^{2} + y^{2} + {(z - 1)}^{2} = 9.$

Câu 38:

Có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 4 m x + m - 2$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân?

A. 2.

B. 1.

C. 3.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} - 3 m x^{2} + 4 m x + m - 2 = 0 (*)$

Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ lập thành cấp số nhân $\Rightarrow x_{2}^{2} = x_{1} . x_{3}$

Theo Vi-et ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a} \\ x_{1} . x_{2} + x_{1} . x_{3} + x_{2} . x_{3} = \frac{c}{a} \\ x_{1} . x_{2} . x_{3} = - \frac{d}{a} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{1} . x_{2} . x_{3} = 2 - m \\ x_{2}^{2} = x_{1} . x_{3} \end{cases} \Rightarrow m = 2 - x_{2}^{3}$

Thay tất cả vào phương trình (*) ta có $x_{2} (3 x_{2} - 4) (x_{2}^{3} - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{2} = 0 \Rightarrow m = 2 \\ x_{2} = \frac{4}{3} \Rightarrow n = - \frac{10}{27} \\ x_{2} = \sqrt[3]{2} \Rightarrow m = 0 \end{array}$

Thử lại, chỉ có $m = 2$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 39:

Theo số liệu của Tổng cục thống kê, năm 2016 dân số Việt Nam ước tính khoảng 94444200 người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm ở Việt Nam được duy trì ở mức 1,07% . Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức $S = A . e^{N r}$ (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm). Cứ tăng dân số với tỉ lệ như vậy thì năm bao nhiêu dân số Việt Nam ở mức 120 triệu người?

A. 2037.

B. 2040.

C. 2038.

D. 2039.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $S = 120000000, A = 94444200, r = 1,07 %$

$\Rightarrow 120000000 = 94444200 e^{1,07 % N} \Rightarrow N \approx 22,38$ (năm)

Vây sau 23 năm nữa dân số đạt mức 120 triệu người hay năm 2039, dân số Việt Nam ở mức 120 triệu.

Câu 40:

Cho hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = \log_{2} x, y = 0, x = 4.$ Đường thẳng $x = 2$ chia hình phẳng đó thành 2 hình có diện tích là $S_{1} > S_{2} .$ Tỷ lệ thể tích $\frac{S_{1} - 2}{S_{2}}$ là

A. 2.

B. $\frac{7}{4} .$

C. 3.

D. $\frac{1}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\log_{2} x = 0 \Leftrightarrow x = 1.$

Hai hình phẳng được tạo thành có diện tích là $S_{2} = \int_{1}^{2} |\log_{2} x| d x = 2 - \frac{1}{\ln 2}$ và $S_{1} = \int_{2}^{4} |\log_{2} x| d x = 6 - \frac{2}{\ln 2} .$ Tỷ lệ $\frac{S_{1} - 2}{S_{2}} = 2.$

Câu 41:

Cho số phức z thỏa mãn

|z| = 1.

Tổng giá trị lớn nhất

M_{\max}

và giá trị nhỏ nhất

M_{\min}

của biểu thức

M = |z^{2} + z + 1| + |z^{3} + 1|

bằng

A. 6.

B. 9.

C. 3.

D. 10.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $M \leq {|z|}^{2} + |z| + 1 + {|z|}^{3} + 1 = 5,$ khi $z = 1 \Rightarrow M = 5 \Rightarrow M_{\max} = 5.$

Mặt khác: $M = \frac{|1 - z^{3}|}{|1 - z|} + |1 + z^{3}| \geq \frac{|1 - z^{3}|}{2} + \frac{|1 + z^{3}|}{2} \geq \frac{|1 - z^{3} + 1 + z^{3}|}{2} = 1,$

Khi

z = - 1 \Rightarrow M = 1 \Rightarrow M_{\min} = 1.

Câu 42:

Cho hàm số

y = f^{'} (x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số

y = g (x) = f (x^{2} - 2 x)

có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 2.

B. 3.

C. 1.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $g^{'} (x) = 2 (x - 1) f^{'} (x^{2} - 2 x)$

$\begin{array}{l} g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2 (x - 1) f^{'} (x) (x^{2} - 2 x) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ f^{'} (x^{2} - 2 x) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x^{2} - 2 x = 1 \\ x^{2} - 2 x = - 1 \\ x^{2} - 2 x = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 1 + \sqrt{2} \\ x = 1 - \sqrt{2} \\ x = 2 \\ x = 0 \end{array} \end{array}$

Ta có $f^{'} (x^{2} - 2 x) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 2 x > 1 \\ - 1 < x^{2} - 2 x < 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < 1 - \sqrt{2} \\ x > 1 + \sqrt{2} \\ 0 < x < 1 \\ 1 < x < 2 \end{array}$

Bảng xét dấu của $g^{'} (x)$

Cho hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = g(x) = f(x^2 - 2x) có bao nhiêu điểm cực đại (ảnh 1)

Bảng biến thiên của hàm $y = g (x)$

Vậy hàm số $y = g (x) = f (x^{2} - 2 x)$ có hai điểm cực đại.

Câu 43:

Số giá trị nguyên không lớn hơn 10 của m để bất phương trình $(m - 1) \log_{\frac{1}{2}}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 (m - 5) \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 2} + 4 m - 4 \geq 0$ có nghiệm trên $[\frac{5}{2},4] .$

A. 14.

B. 13.

C. 15.

D. 12.

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện $x > 2$

Ta có $(m - 1) \log_{\frac{1}{2}}^{2} {(x - 2)}^{2} - 4 (m - 5) \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 2} + 4 m - 4 \geq 0$

$\Leftrightarrow 4 (m - 1) \log_{\frac{1}{2}}^{2} (x - 2) + 4 (m - 5) \log_{\frac{1}{2}} (x - 2) + 4 m - 4 \geq 0$

Đặt $t = \log_{\frac{1}{2}} (x - 2) .$ Do $x \in [\frac{5}{4}; 4] \Rightarrow t \in [- 1; 1]$

$\begin{array}{l} 4 (m - 1) t^{2} + 4 (m - 5) t + 4 m - 4 \geq 0 \Leftrightarrow m (t^{2} + t + 1) \geq t^{2} + 5 t + 1 \\ \Leftrightarrow m \geq \frac{t^{2} + 5 t + 1}{t^{2} + t + 1} = f (t) \end{array}$

Xét $f (t) = \frac{t^{2} + 5 t + 1}{t^{2} + t + 1}$ trên $[- 1; 1]$

$f^{'} (t) = \frac{4 - 4 t^{2}}{{(t^{2} + t + 1)}^{2}} \geq 0, \forall t \in [- 1; 1] \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên đoạn $[- 1; 1]$

$\Rightarrow m \geq \frac{t^{2} + 5 t + 1}{t^{2} + t + 1}$ có nghiệm trên $[- 1; 1] \Leftrightarrow m \geq \underset{[- 1; 1]}{m i n} f (t) \Leftrightarrow m \geq f (- 1) = - 3$

$\to_{m \in [- 3; 10]}^{m \in ℤ}$ Có 14 giá trị của m thỏa mãn.

Câu 44:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x + 2 (C)$ và đường thẳng $d : y = m (x + 2) .$ Tích các giá trị của m để diện tích hai hình phẳng $S_{1} = S_{2}$

A. $- \frac{1}{4} .$

B. 1.

C. $\frac{3}{2} .$

D. 9.

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} - 3 x + 2 = m (x + 2) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 \\ {(x - 1)}^{2} = m \end{array} (*)$

Để d và (C) giới hạn 2 hình phẳng thì (*) có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow 0 < m \neq 9$

Nếu $m = 1, d$ đi qua điểm uốn $(0; 2)$ của (C). Khi đó $S_{1} = S_{2} = \int_{- 2}^{0} (x^{3} - 4 x) d x = 4$

Nếu $0 < m < 1 : S_{1} > 4 > S_{2}$

Nếu $1 < m < 9 : S_{1} < 4 < S_{2}$

Nếu $m > 9 \Rightarrow 1 - \sqrt{m} < - 2; 1 + \sqrt{m} > 4$ khi đó $\begin{array}{l} S_{1} = \int_{1 - \sqrt{m}}^{- 2} |x^{3} - 3 x + 2 - m (x + 2)| d x \\ S_{2} = \int_{- 2}^{1 + \sqrt{m}} |x^{3} - 3 x + 2 - m (x + 2)| d x \\ S_{2} - S_{1} = 2 m \sqrt{m} > 0 \end{array}$

Vậy $m = 1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 45:

Cho hàm số $f (x) = \int_{1}^{\sqrt{x}} (4 t^{3} - 8 t) d t .$ Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $f (x)$ trên đoạn [2;5]. Khi đó, $M + m$ bằng

A. 8.

B. 12.

C. 7.

D. 9.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f (x) = \int_{1}^{\sqrt{x}} (4 t^{3} - 8 t) d t = (t^{4} - 4 t^{2}) |\begin{array}{l} \sqrt{x} \\ 1 \end{array} = x^{2} - 4 x + 3,$ với $x \geq 2.$

$f^{'} (x) = 2 x - 4; f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 2 \in [2; 5] .$

$f (2) = - 1; f (5) = 8.$ Suy ra $M + m = 7.$

Câu 46:

Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

y = x^{3} - 3 m x + 2

cắt đường tròn tâm

I (1; 1)

, bán kính bằng 1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng

\frac{1}{2} .

A. $m = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2} .$

B. $m = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} .$

C. $m = \frac{2 \pm \sqrt{5}}{2} .$

D. $m = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{\begin{array}{l} 3 \end{array}} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} - 3 m$ nên $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} = m .$

Đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 m x + 2$ có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m > 0.$

Ta có $y = x^{3} - 3 m x + 2 = \frac{1}{3} x (3 x^{2} - 3 m) - 2 m x + 2 = \frac{1}{3} x . y^{'} - 2 m x + 2.$

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 m x + 2$ có phương trình $Δ : y = - 2 m x + 2$

Ta có $S_{Δ I A B} = \frac{1}{2} I A . I B . \sin \hat{A I B} = \frac{1}{2} \sin \hat{A I B} \leq \frac{1}{2}$

Diện tích tam giác IAB lớn nhất bằng $\frac{1}{2}$ khi $\sin \hat{A I B} = 1 \Leftrightarrow A I ⊥ B I .$

Gọi H là trung điểm AB ta có $I H = \frac{1}{2} A B = \frac{\sqrt{2}}{2} d_{(I; Δ)}$

Mà $d_{(I; Δ)} = \frac{|2 m + 1 - 2|}{\sqrt{4 m^{2} + 1}}$

$\begin{array}{l} d_{(I; Δ)} = \frac{|2 m + 1 - 2|}{\sqrt{4 m^{2} + 1}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow |4 m - 2| = \sqrt{2 (4 m^{2} + 1)} \\ \Leftrightarrow 8 m^{2} - 16 m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{2 \pm \sqrt{3}}{2} . \end{array}$

Câu 47:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có

B B^{'} = a,

góc giữa đường thẳng BB' và (ABC) bằng 60°, tam giác ABC vuông tại C và góc

\hat{B A C} = 60^{o} .

Hình chiếu vuông góc của điểm B' lên (ABC) trùng với trọng tâm của DABC . Thể tích của khối tứ diện A'.ABC theo a bằng

A. $\frac{13 a^{3}}{108} .$

B. $\frac{7 a^{3}}{106} .$

C. $\frac{15 a^{3}}{108} .$

D. $\frac{9 a^{3}}{208} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC và trọng tâm của DABC.

Ta có $B^{'} G ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{(B B^{'}, (A B C))} = \hat{B^{'} B G} = 60^{o} .$

$V_{A^{'} . A B C} = \frac{1}{3} . S_{Δ A B C} . B^{'} G = \frac{1}{6} A C . B C . B^{'} G$

Xét DB'BG vuông tại G, có $\hat{B^{'} B G} = 60^{o} \Rightarrow B^{'} G = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Đặt $A B = 2 x .$ Trong DABC vuông tại C có $\hat{B A C} = 60^{o} .$

$\Rightarrow A C = \frac{A B}{2} = x, B C = x \sqrt{3}$

Do G là trọng tâm $Δ A B C \Rightarrow B N = \frac{3}{2} B G = \frac{3 a}{4} .$

Trong DBNC vuông tại C, ta có $B N^{2} = N C^{2} + B C^{2}$

$\Leftrightarrow \frac{9 a^{2}}{16} = \frac{x^{2}}{4} + 3 x^{2} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{9 a^{2}}{52} \Rightarrow x = \frac{3 a}{2 \sqrt{13}} \Rightarrow \{\begin{cases} A C = \frac{3 a}{2 \sqrt{13}} \\ B C = \frac{3 a \sqrt{3}}{2 \sqrt{13}} \end{cases}$

Vậy $V_{A^{'} A B C} = \frac{1}{6} . \frac{3 a}{2 \sqrt{13}} . \frac{3 a \sqrt{3}}{2 \sqrt{13}} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{9 a^{3}}{208} .$

Câu 48:

Cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 z + 1 = 0

và đường thẳng

d : \{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = t \\ z = m + t \end{cases} .

Tổng các giá trị của m để d cắt (S) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho các mặt phẳng tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau

A. -5.

B. -1.

C. -4.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án A

Để d cắt mặt cầu tại 2 điểm phân biệt A, B thì phương trình ${(2 - t)}^{2} + t^{2} + {(m + t)}^{2} - 2 (2 - t) + 4 (m + t) + 1 = 0 (1)$ có 2 nghiệm phân biệt.

Ta có $(1) \Leftrightarrow 3 t^{2} + 2 (m + 1) t + m^{2} + 4 m + 1 = 0$

(1) có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ^{'} > 0 \Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} - 3 m^{2} - 12 m - 3 > 0 \Leftrightarrow m^{2} + 5 m + 1 < 0$

Pt có 2 nghiệm phân biệt, áp dụng Vi-ét $\{\begin{cases} t_{1} t_{2} = \frac{m^{2} + 4 m + 1}{3} \\ t_{1} + t_{2} = \frac{- 2}{3} (m + 1) \end{cases}$

Khi đó, $\vec{I A} = (1 - t_{1}; t_{1}; m + 2 + t_{1}), \vec{I B} = (1 - t_{2}; t_{2}; m + 2 + t_{2})$

Vậy $\vec{I A} . \vec{I B} = (1 - t_{1}) (1 - t_{2}) + t_{1} t_{2} + (m + 2 + t_{1}) (m + 2 + t_{2}) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3 t_{1} t_{2} + (m + 1) (t_{1} + t_{2}) + {(m + 2)}^{2} + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow m^{2} + 4 m + 1 - \frac{2}{3} {(m + 1)}^{2} + {(m + 2)}^{2} + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - 4 \end{array} (T M) . \end{array}$

Câu 49:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M (3; 2; 1) .$ Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, mặt phẳng nào song song với mặt phẳng (P) ?

A. $3 x + 2 y + z + 14 = 0.$

B. $2 x + y + 3 z + 9 = 0.$

C. $2 x + 2 y + z - 14 = 0.$

D. $2 x + y + z - 9 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $A (a; 0; 0); B (0; b; 0); C (0; 0; c)$

Phương trình mặt phẳng (P) có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 (a b c \neq 0)$

Vì (P) qua M nên $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 (1)$

Ta có $\vec{M A} = (a - 3; - 2; - 1); \vec{M B} = (- 3; b - 2; - 1);$ $\vec{B C} = (0; - b; c); \vec{A C} = (- a; 0; c) .$

Vì M là trục tâm của tam giác ABC nên $\{\begin{cases} \vec{M A} . \vec{B C} = 0 \\ \vec{M B} . \vec{A C} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 b = c \\ 3 a = c \end{cases} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $a = \frac{14}{3}; b = \frac{14}{2}; c = 14.$ Khi đó phương trình $(P) : 3 x + 2 y + z - 14 = 0$

Vậy mặt phẳng song song với (P) là $3 x + 2 y + z + 14 = 0.$

Câu 50:

Cho parabol $(P) : y = - x^{2} + 2 x,$ có đỉnh S và A là giao điểm khác O của (P) và trục hoành. M là điểm di động trên cung nhỏ SA, tiếp tuyến của (P) tại M cắt Ox, Oy tại E, F. Khi đó, tổng diện tích 2 tam giác cong MOF và MAE có giá trị nhỏ nhất bằng

Cho parabol (P) y = -x^2 + 2x có đỉnh S và A là giao điểm khác O của (P) và trục hoành. M là điểm di động trên cung nhỏ SA, tiếp tuyến của (P) tại M cắt Ox, Oy tại E, F. Khi đó, tổng diện tích 2 tam giác cong MOF và MAE có giá trị nhỏ nhất bằng (ảnh 1)

A. $\frac{23}{24} .$

B. $\frac{13}{14} .$

C. $\frac{32}{33} .$

D. $\frac{28}{27} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $S (1; 1), A (2; 0)$

$y^{'} = - 2 x + 2$

Tiếp tuyến tại $M (m; 2 m - m^{2}),1 \leq m \leq 2$ có phương trình $y = (2 - 2 m) (x - m) + 2 m - m^{2} \Leftrightarrow y = (2 - 2 m) x + m^{2}$

+, Với $m = 1$ ta có $M (1; 1) \equiv S \Rightarrow$ Không tồn tại điểm $F \Rightarrow m = 1$ không thỏa mãn.

+, Với $1 < m \leq 2$ ta có $E (0; m^{2}); F (\frac{m^{2}}{2 m - 2}; 0)$

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và trục hoành $S = \int_{0}^{2} |- x^{2} + 2 x| d x = \frac{4}{3} .$

Ta có $S_{O E F} = \frac{1}{2} |\frac{m^{4}}{2 m - 2}| = \frac{m^{4}}{4 (m - 1)}$

Ta thấy $S_{M O F} + S_{M A E} = S_{O E F} - S, (S_{M O F} + S_{M A E}) \min \Leftrightarrow (S_{O E F}) \min$

Ta có $\underset{m \in (1; 2]}{m i n} \frac{m^{4}}{4 (m - 1)} = \frac{64}{27} \Leftrightarrow m = \frac{4}{3}$

$\Rightarrow (S_{M O F} + S_{M A E}) \min = \frac{64}{27} - \frac{4}{3} = \frac{28}{27}$ khi $m = \frac{4}{3} .$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 4)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan