50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 20)

Câu 1:

Hàm số $x^{4} - x^{2} + 3$ có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $a b = - 1 < 0,$ suy ra hàm số có 3 điểm cực trị

Chú ý: Hàm số trùng phương $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ (với $a \neq 0$ )

+) Có 1 cực trị khi $a b \geq 0.$

+) Có 3 cực trị khi $a b < 0.$

Câu 2:

Cho

\log_{a} b > 0

và a, b là các số thực với

a \in (0; 1) .

Khi đó kết luận nào sau đây đúng?

A. b > 0.

B. b > 1.

C. $0 < b \neq 1.$

D. $0 < b < 1.$

Xem đáp án

Đáp án D

Do $\{\begin{cases} a \in (0; 1) \\ \log_{a} b > 0 \end{cases} \Rightarrow 0 < b < 1.$

Chú ý: $\log_{a} b > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a, b \in (0; 1) \\ a, b > 1 \end{array}$ và $\log_{a} b < 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} a \in (0; 1) \\ b > 1 \end{cases}$ hoặc $\{\begin{cases} a > 1 \\ b \in (0; 1) \end{cases} .$

Câu 3:

Tìm đạo hàm của hàm số $y = 10^{2 x + 1} .$

A. $y^{'} = (2 x + 1) {.10}^{2 x} .$

B. $y^{'} = \frac{(2 x + 1) {.10}^{2 x + 1}}{\ln 10} .$

C. $y^{'} = {2.10}^{2 x} \ln 10.$

D. $y^{'} = {20.10}^{2 x} \ln 10.$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có ${(a^{u})}^{'} = u^{'} a^{u} \ln a \Rightarrow y^{'} = {(10^{2 x + 1})}^{'} = {2.10}^{2 x + 1} \ln 10 = {20.10}^{2 x} \ln 10.$

Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm $M (2; - 3)$ là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó số phức $\bar{z}$ có phần thực, phần ảo lần lượt là

A.-3 và 2

B. 2 và -3

C. -2 và 3

D. 2 và 3

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $M (2; - 3) \Rightarrow z = 2 - 3 i$

$\Rightarrow \bar{z} = 2 + 3 i \Rightarrow \bar{z}$ có phần thực, phần ảo lần lượt là 2 và 3.

Câu 5:

Cho số phức z thỏa mãn $z = \bar{z} .$ Trong những khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng?

A. z là số ảo

B. z là số thực

C. z = 0

D. –z là số thuần ảo

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $z = a + b i,$ khi đó: $z = \bar{z} \Leftrightarrow a + b i = a - b i \Leftrightarrow 2 b i = 0 \Rightarrow z = a$ là số thực.

Câu 6:

Cho hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x + 2} .$ Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty) .$

C. Hàm số không có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất.

D. Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận.

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: $ℝ \ \{- 2\} .$ Ta có $y^{'} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} > 0, \forall x \neq - 2.$

Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$

Suy ra A sai (đúng phải là hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó).

Chú ý : Ở đây B đúng vì hàm số đồng biến trên $(- 2; + \infty)$ thì cũng sẽ đồng biến trên $(2; + \infty)$

Câu 7:

Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên nửa khoảng $(- 2; 3]$ như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên nửa khoảng -2;3 như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng (ảnh 1)

A. Hàm số không có điểm cực đại.

B. $\underset{x \in (- 2; 3]}{\max y} = 4.$

C. $\underset{x \in (- 2; 3]}{\min y} = - 3.$

D. Cực tiểu của hàm số bằng 2.

Xem đáp án

Đáp án B

+) Hàm số đạt cực đại tại $x = 0 \to$ A sai.

+) Giá trị lớn nhất của hàm số là $\underset{x \in (- 2; 3]}{\max y} = 4 \to$ B đúng.

+) Hàm số không xác định tại $x = - 2 \Rightarrow$ không có giá trị nhỏ nhất $\to$ C sai.

+) Cực tiểu của hàm số là giá trị cực tiểu của hàm số. Nên cực tiểu của hàm số là 1 $\to$ D sai.

Câu 8:

Có 10 cuốn sách Toán khác nhau. Chọn ra 3 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách ?

A. 30.

B. $C_{10}^{3} .$

C. $A_{10}^{3} .$

D. $3^{10} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Chọn ra 3 cuốn sách từ 10 cuốn (không quan tâm tới thứ tự) nên số cách chọn là: $C_{10}^{3} .$

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình

x + y - z + 1 = 0

và

2 x - y + 2 z - 3 = 0.

Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng d?

A. $\vec{n_{1}} = (1; - 4; - 3) .$

B. $\vec{n_{2}} = (1; 4; - 3) .$

C. $\vec{n_{3}} = (2; 1; 3) .$

D. $\vec{n_{4}} = (1; - 2; - 2) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

\{\begin{cases} {\vec{n}}_{(P)} = (1; 1; - 1) \\ {\vec{n}}_{(Q)} = (2; - 1; 2) \end{cases} \Rightarrow {\vec{u}}_{d} = [{\vec{n}}_{(P)}, {\vec{n}}_{(Q)}] = (1; - 4; - 3) .

Câu 10:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = x - \frac{3}{{(x + 1)}^{3}} .

A. $\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{2 {(x + 1)}^{2}} + C .$

B. $\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} + C .$

C. $\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2 {(x + 1)}^{2}} + C .$

D. $\int f (x) d x = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + C .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

\int f (x) d x = \int (x - \frac{3}{{(x + 1)}^{3}}) d x = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2 {(x + 1)}^{2}} + C .

Câu 11:

Đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{16 - x^{4}}}{- x^{2} + 4 x - 3}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện $\{\begin{cases} 16 - x^{4} \geq 0 \\ - x^{2} + 4 x - 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 \leq x \leq 2 \\ x \neq 1, x \neq 3 \end{cases} \Leftrightarrow x \in [- 2; 2] \ \{1\} \Rightarrow$ Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang (Vì không chứa $- \infty$ hoặc $+ \infty$ nên không tồn tại $\lim_{x \to + \infty} y$ ).

Xét $- x^{2} + 4 x - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \end{array}$

+) Với $x = 1 \Rightarrow \sqrt{16 - x^{4}} = \sqrt{15} \neq 0 \Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng.

+) Với $x = 3 \Rightarrow \sqrt{16 - x^{4}}$ không xác định nên x = 3 không phải là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là đường x = 1.

Câu 12:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $\log_{a} b = 2, \log_{a} c = 3.$ Tính giá trị của $T = \log_{c} \frac{\sqrt{a}}{b} .$

A. $T = \frac{5}{6} .$

B. $\frac{3}{4} .$

C. $T = - \frac{1}{2} .$

D. $- \frac{2}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

T = \log_{c} \frac{\sqrt{a}}{b} = \frac{1}{2} \log_{c} a - \log_{c} b = \frac{1}{2 \log_{a} c} - \frac{\log_{a} b}{\log_{a} c} = \frac{1}{2.3} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{2} .

Câu 13:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào (ảnh 1)

A. $y = 3^{- x} .$

B. $y = 3^{x} .$

C. $y = \log_{3} x .$

D. $y = - \log_{3} x .$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số xác định trên tập $ℝ \to$ Loại C, D.

Hàm số đồng biến trên $(- \infty; + \infty) \to$ Loại A.

Câu 14:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

A. $f (x) = 2 x^{4} - 1.$

B. $f (x) = \ln x .$

C. $f (x) = e^{- x} + \frac{1}{x} .$

D. $f (x) = \frac{2 x + 3}{x + 1} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta dễ thấy hàm số

f (x) = \ln x

đồng biến trên

(0; + \infty)

(y^{'} = \frac{1}{x} > 0, \forall x > 0) .

Câu 15:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm là

f^{'} (x) .

Đồ thị

y = f^{'} (x)

được cho như hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn

[0; 3]

là

Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f'(x). Đồ thị y = f'(x) được cho như hình vẽ bên (ảnh 1)

A. f(0)

B. f(2)

C. f(3)

D. không xác định được

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có dấu của $f^{'} (x)$ trên $[0; 3]$ như sau:

Suy ra bảng biến thiên:

Suy ra $\min_{[0; 3]} f (x) = f (2) .$

Câu 16:

Cho hình nón có chu vi đáy là

8 π

cm và thể tích khối nón là

16 π c m^{3} .

Khi đó đường sinh l của hình nón có độ dài là

A. $l = 3 \sqrt{2} c m .$

B. $l = 2 \sqrt{3} c m .$

C. $l = 5 c m .$

D. $l = \sqrt{7} c m .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $C = 2 π r = 8 π \Rightarrow r = 4 c m .$

Suy ra:

V = \frac{1}{3} π r^{2} . h = 16 π \Rightarrow h = 3 c m \Rightarrow l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = 5 c m .

Câu 17:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm

I (1; - 1; 2)

cắt mặt phẳng

(α) : x - 2 y + 2 z - 1

theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính r = 3. Khi đó diện tích mặt cầu (S) là

A. $5 π .$

B. $52 π .$

C. $24 π .$

D. $13 π .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $h = d (I, (α)) = \frac{|1 + 2 + 4 - 1|}{3} = 2$

$\Rightarrow R = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \Rightarrow S = 4 π R^{2} = 52 π .$

Câu 18:

Biết

z = 1 - 2 i

là nghiệm phức của phương trình

z^{2} + a z + b = 0

với

a, b \in ℝ .

Khi đó

a - b

bằng bao nhiêu?

A. $a - b = - 7.$

B. $a - b = 7.$

C. $a - b = - 3.$

D. $a - b = 3.$

Xem đáp án

Đáp án A

Cách 1: Do $z = 1 - 2 i$ là nghiệm thức của phương trình $z^{2} + a z + b = 0 \Rightarrow {(1 - 2 i)}^{2} + a (1 - 2 i) + b = 0$

$\Leftrightarrow a + b - 3 - 2 (a + 2) i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + b - 3 = 0 \\ a + 2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 2 \\ b = 5 \end{cases} \Rightarrow a - b = - 7.$

Cách 2:

Phương trình bậc 2 với hệ số thực có 2 nghiệm phức là 2 số phức liên hợp của nhau.

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm $z_{1} = 1 - 2 i$ và $z_{2} = 1 + 2 i$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = - (z_{1} + z_{2}) = - 2 \\ b = z_{1} . z_{2} = 5 \end{cases} \Rightarrow a - b = - 7.$

Câu 19:

Tính giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin^{2} x - \frac{2}{27 \cos x}$ trên khoảng $(0; \frac{π}{2}) .$

A. $\frac{2}{3} .$

B. $\frac{1}{3} .$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2} .$

D. $\frac{\sqrt{2}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $\cos x = t \Rightarrow \sin^{2} x = 1 - t^{2}, x \in (0; \frac{π}{2}) \Rightarrow t \in (0; 1)$

Khi đó $y = 1 - t^{2} - \frac{2}{27 t} \Rightarrow y^{'} = - 2 t + \frac{2}{27 t^{2}}, y^{'} = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \in (0; 1) .$

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\max_{(0; 1)} y = y (\frac{1}{3}) = \frac{2}{3} .$

Câu 20:

Biết $C_{n}^{1} + C_{n}^{2} = 210.$ Hỏi đâu là khẳng định đúng ?

A. $n \in (5; 8) .$

B. $n \in (10; 15) .$

C. $n \in (22; 25) .$

D. $n \in (19; 22) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện $\{\begin{cases} n \in ℕ * \\ n \geq 2 \end{cases} .$ Khi đó phương trình tương đương:

$n + \frac{n (n - 1)}{2} = 210 \Leftrightarrow n^{2} + n - 420 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} n = 20 \\ n = - 21 \end{array} \overset{n \geq 2}{\to} n = 20 \in (19; 22) .$

Câu 21:

Tìm công thức tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y = f (x), y = g (x)

và hai đường thẳng

x = a, x = b

như hình dưới đây.

Tìm công thức tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) (ảnh 1)

A. $S = \int_{a}^{c} [f (x) - g (x)] d x + \int_{c}^{b} [g (x) - f (x)] d x .$

B. $S = \int_{a}^{c} [g (x) - f (x)] d x + \int_{c}^{b} [f (x) - g (x)] d x .$

C. $S = |\int_{a}^{b} [g (x) - f (x)] d x| .$

D. $S = |\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x| .$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào hình vẽ cho ta biết:

+) Trên $[a; c] : f (x) \geq g (x)$ hay $f (x) - g (x) \geq 0.$

+) Trên $[c; b] : g (x) \geq f (x)$ hay $g (x) - f (x) \geq 0.$

Do đó: $S = \int_{a}^{b} |g (x) - f (x)| d x = \int_{a}^{c} |f (x) - g (x)| d x + \int_{c}^{b} |f (x) - g (x)| d x$

$= \int_{a}^{c} [f (x) - g (x)] d x + \int_{c}^{b} [g (x) - f (x)] d x .$

Câu 22:

Phương trình $9^{x} - {3.3}^{x} + 2 = 0.$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ với $x_{1} < x_{2} .$ Tính giá trị của $A = 2 x_{1} + 3 x_{2}$

A. A = 0.

B. $A = 4 \log_{3} 2.$

C. $A = 3 \log_{3} 2.$

D. A = 2.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình

9^{x} - {3.3}^{x} + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 3^{x} = 1 \\ 3^{x} = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} = 0 \\ x_{2} = \log_{3} 2 \end{array} \Rightarrow A = 2 x_{1} + 3 x_{2} = 3 \log_{3} 2

Câu 23:

Biết hàm số $y = - x^{4} + 2 x^{2} - 1$ có đồ thị là một trong bốn đồ thị liệt kê ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là đồ thị nào?

A. Biết hàm số y = -x^4 + 2x^2 - 1 có đồ thị là một trong bốn đồ thị liệt kê ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là đồ thị nào (ảnh 1)

B. Biết hàm số y = -x^4 + 2x^2 - 1 có đồ thị là một trong bốn đồ thị liệt kê ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là đồ thị nào (ảnh 2)

C. Biết hàm số y = -x^4 + 2x^2 - 1 có đồ thị là một trong bốn đồ thị liệt kê ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là đồ thị nào (ảnh 3)

D. Biết hàm số y = -x^4 + 2x^2 - 1 có đồ thị là một trong bốn đồ thị liệt kê ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là đồ thị nào (ảnh 4)

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $a = - 1 < 0,$ suy ra “điểm cuối” của đồ thị có hướng đi xuống loại C.

Ta có $a b = - 2 < 0,$ suy ra hàm số có 3 cực trị $\to$ loại B.

Do $d = - 1 < 0,$ suy ra đồ thị cắt trục hoành Oy tại điểm có hoành độ âm.

Câu 24:

Cho tích phân $I = \int_{1}^{e} x^{2} . \ln^{2} x d x .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $I = {x^{3} \ln^{2} x|}_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} x^{2} \ln x d x .$

B. $I = {x^{3} \ln^{2} x|}_{1}^{e} - \frac{2}{3} \int_{1}^{e} x^{2} \ln x d x .$

C. $I = {\frac{1}{3} x^{3} \ln^{2} x|}_{1}^{e} - \frac{2}{3} \int_{1}^{e} x^{2} \ln x d x .$

D. $I = {\frac{1}{3} x^{3} \ln^{2} x|}_{1}^{e} - 4 \int_{1}^{e} x \ln x d x .$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt

\{\begin{cases} u = \ln^{2} x \\ d v = x^{2} d x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{2 \ln x}{x} d x \\ v = \frac{x^{3}}{3} \end{cases} .

Khi đó

I = {\frac{1}{3} x^{3} \ln^{2} x|}_{1}^{e} - \frac{2}{3} \int_{1}^{e} x^{2} \ln x d x .

Câu 25:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxyz, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z. Biết rằng số phức

w = \bar{z} + i

được biểu diễn bởi một trong bốn điểm P, Q, R, S như hình vẽ. Hỏi điểm biểu diễn w là điểm nào?

Trên mặt phẳng tọa độ Oxyz, điểm M là điểm biểu diễn của số phức z (ảnh 1)

A. P.

B. Q.

C. R.

D. S.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

M (x; 1) \Rightarrow z = x + i \Rightarrow w = \bar{z} + i = x \Rightarrow

điểm biểu diễn w là điểm S.

Câu 26:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,

\hat{A B C} = \hat{A S C} = 60 ° .

Biết SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Thể tích V của khối chóp S.ABCD là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC = góc ASC = 60 độ (ảnh 1)

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{2} .$

B. $V = \frac{3 a^{3}}{2} .$

C. $V = \frac{a^{3}}{2} .$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Do ABC là tam giác cân và $\hat{A B C} = 60 °$ nên tam giác ABC đều $\Rightarrow S_{A B C D} = 2 S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

Lại có: $S A = \frac{A C}{\tan \hat{A S C}} = \frac{a}{\tan 60 °} = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{a^{3}}{6} .$

Câu 27:

Biết $\int_{3}^{4} \frac{d x}{(x + 1) (x - 2)} = a \ln 2 + b \ln 5 + c,$ với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính $S = a - 3 b + c .$

A. S = 3

B. S = 2

C. S = -2

D. S = 0

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $I = \int_{3}^{4} \frac{d x}{(x + 1) (x - 2)} = {\frac{1}{3} \ln |\frac{x - 2}{x + 1}||}_{3}^{4} = \frac{1}{3} \ln \frac{8}{5} = \ln 2 - \frac{1}{3} \ln 5 + 0 = a \ln 2 + b \ln 5 + c .$

Do $a, b, c \in ℚ \Rightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - \frac{1}{3} \\ c = 0 \end{cases} \Rightarrow S = a - 3 b + c = 2.$

Chú ý: Ta có công thức tính nhanh tích phân

\int \frac{d x}{(a x + b) (c x + d)} = \frac{1}{a d - b c} \ln |\frac{a x + b}{c x + d}| .

Câu 28:

Cho khối lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có thể tích là V. Một hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và đỉnh là tâm của hình vuông $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} .$ Khi đó thể tích của khối nón đó là

Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' có thể tích là V. Một hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (ảnh 1)

A. $\frac{V}{3} .$

B. $\frac{V}{6} .$

C. $\frac{π V}{12} .$

D. $\frac{π V}{6} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi cạnh của hình lập phương là a khi đó ta có $V = a^{3} .$

Hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và đỉnh là tâm của hình vuông $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} R = \frac{a \sqrt{2}}{2} \\ h = a \end{cases} \Rightarrow V_{(N)} = \frac{1}{3} h π R^{2} = \frac{1}{6} π a^{3} = \frac{π V}{6} .$

Câu 29:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + 2 y - m z + 2 = 0$ và đường thẳng $Δ : \frac{x - 1}{- 2} = \frac{y}{n} = \frac{z + 2}{4}$ (với $m, n \in ℝ$ và $n \neq 0$ ). Biết $Δ$ vuông góc với (P). Khi đó tổng $m + n$ bằng bao nhiêu?

A. $m + n = - 2.$

B. $m + n = 2.$

C. $m + n = 7.$

D. $m + n = - 5.$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\{\begin{cases} {\vec{n}}_{(P)} = (1; 2; - m) \\ {\vec{u}}_{Δ} = (- 2; n; 4) \end{cases} .$ Do $Δ$ vuông góc với (P), suy ra ${\vec{n}}_{(P)}, {\vec{u}}_{Δ}$ cùng phương.

Do đó:

\frac{1}{- 2} = \frac{2}{n} = \frac{- m}{4} \Leftrightarrow \{\begin{cases} n = - 4 \\ m = 2 \end{cases} \Rightarrow m + n = - 2.

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và

A B = 2 a, B C = a .

Biết hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy (ABCD) là trung điểm H của AB. Biết góc tạo bởi 2 mặt (SBC) và (ABCD) bằng

60 ° .

Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SC và HD.

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a. Biết hình chiếu vuông góc của S (ảnh 1)

A. $h = \frac{a \sqrt{66}}{11} .$

B. $h = \frac{a \sqrt{264}}{11} .$

C. $h = \frac{a \sqrt{30}}{5} .$

D. $h = \frac{a \sqrt{30}}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Dựng hình bình hành HDCE.

Suy ra $H D / / C E \Rightarrow H D / / (S C E) .$

Khi đó: $h = d (H D, S C) = d (H D, (S C E)) = d (H, (S C E)) = H K$

(như hình vẽ). Ta có: $E C = H D = \sqrt{A H^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{2} .$

Suy ra: $H I = \frac{S_{H D C E}}{E C} = \frac{S_{A B C D}}{E C} = \frac{2 a^{2}}{a \sqrt{2}} = a \sqrt{2} .$

Tam giác SAB cân tại S và $(S B, (A B C D)) = \hat{S B A} = 60 ° .$

Suy ra $Δ S A B$ đều cạnh $A B = 2 a \Rightarrow S H = a \sqrt{3} .$

Ta có: $\frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{S H^{2}} + \frac{1}{H I^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{1}{2 a^{2}} = \frac{5}{6 a^{2}}$

$\Rightarrow H K = \frac{a \sqrt{30}}{5} .$

Vậy $d (H D, S C) = \frac{a \sqrt{30}}{5} .$

Câu 31:

Biết $y = 2017 x - 2018$ là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại điểm có hoành độ $x = x_{0} .$ Biết $g (x) = x f (x) - 2017 x^{2} + 2018 x - 1.$ Tính giá trị của $g^{'} (x_{0}) .$

A. $g^{'} (x_{0}) = 0.$

B. $g^{'} (x_{0}) = 1.$

C. $g^{'} (x_{0}) = - 2018.$

D. $g^{'} (x_{0}) = 2017.$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $g^{'} (x) = f (x) + x f^{'} (x) - 4034 x + 2018.$

Suy ra: $g^{'} (x_{0}) = f (x_{0}) + x_{0} f^{'} (x_{0}) - 4034 x_{0} + 2018$ (*)

Gọi $M (x_{0}; f (x_{0}))$ là tiếp điểm của tiếp tuyến, suy ra: $\{\begin{cases} f^{'} (x_{0}) = 2017 \\ f (x_{0}) = 2017 x_{0} - 2018 \end{cases}$ (2^*)

Thay (2^*) vào (*), ta được

g^{'} (x_{0}) = 2017 x_{0} - 2018 + x_{0} .2017 - 4034 x_{0} + 2018 = 0.

Câu 32:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục, có đạo hàm cấp hai trên

ℝ

và có đồ thị (C) như hình vẽ. Biết

Δ

là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ

x = 0.

Tính tích phân

I = \int_{0}^{1} x {f^{'}}^{'} (x^{2}) d x .

Cho hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm cấp hai trên R và có đồ thị (C) như hình vẽ (ảnh 1)

A. $\frac{1}{4} .$

B. 2.

C. 4

D. $\frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $t = x^{2} \Rightarrow \{\begin{cases} d t = 2 x d x \\ x : 0 \to 1 \Rightarrow t : 0 \to 1 \end{cases} .$

Khi đó: $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} {f^{'}}^{'} (t) d t = \frac{1}{2} {f^{'} (t)|}_{0}^{1} = \frac{1}{2} . (f' (1) - f' (0))$ (*)

Do hàm số $y = f (x)$ có điểm cực trị $x = 1 \Rightarrow f^{'} (1) = 0.$

Phương trình đường thẳng $Δ : \frac{x}{1} + \frac{y}{1} = 1 \Leftrightarrow y = - x + 1$ (1)

Suy ra hệ số góc của đường thẳng $Δ$ là $- 1 \Rightarrow f^{'} (0) = - 1$ (2).

Thay (1), (2) vào (*), ta được: $I = \frac{1}{2} . (0 - (- 1)) = \frac{1}{2} .$

Câu 33:

Cho hàm số $y = \sqrt{\log_{\frac{1}{5}} (\log_{5} \frac{x^{2} + 1}{x + 3})}$ có tập xác định là D. Khi đó có bao nhiêu số thuộc tập hợp D là số nguyên ?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện $\log_{\frac{1}{5}} (\log_{5} \frac{x^{2} + 1}{x + 3}) \geq 0 = \log_{\frac{1}{5}} 1 \Leftrightarrow 0 < \log_{5} \frac{x^{2} + 1}{x + 3} \leq 1$

$\Leftrightarrow \log_{5} 1 < \log_{5} \frac{x^{2} + 1}{x + 3} \leq \log_{5} 5 \Leftrightarrow 1 < \frac{x^{2} + 1}{x + 3} \leq 5$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{x^{2} - x - 2}{x + 3} > 0 \\ \frac{x^{2} - 5 x - 14}{x + 3} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} - 3 < x < - 1 \\ x > 2 \end{array} \\ [\begin{array}{l} x < - 3 \\ - 2 \leq x \leq 7 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 2 \leq x < - 1 \\ 2 < x \leq 7 \end{array} \Rightarrow D = [- 2; - 1) \cup (2; 7] .$

Khi đó: $\{\begin{cases} x \in D \\ x \in ℤ \end{cases} \to x \in \{- 2; 3; 4; 5; 6; 7\} :$ có 6 số nguyên.

Câu 34:

Trong không gian Oxyz, cho vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và

x = π,

biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng x,

(0 \leq x \leq π)

là một tam giác đều cạnh là

2 \sqrt{\sin x} .

Tính thể tích của vật thể đó.

A. $V = 2 \sqrt{3} π .$

B. $V = 8.$

C. $V = 2 \sqrt{3} .$

D. $V = 8 π .$

Xem đáp án

Đáp án C

Tam giác đều cạnh $2 \sqrt{\sin x}$ có diện tích: $S (x) = \frac{{(2 \sqrt{\sin x})}^{2} . \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \sin x .$

Suy ra thể tích vật thể là:

V = \int_{0}^{π} S (x) d x = \int_{0}^{π} \sqrt{3} \sin x d x = - {\sqrt{3} \cos x|}_{0}^{π} = - \sqrt{3} (- 1 - 2) = 2 \sqrt{3} .

Câu 35:

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d} .$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = ax + b/ cx + d. Mệnh đề nào sau đây là đúng (ảnh 1)

A. ad > bc > 0

B. 0 > ad > bc

C. ad < bc < 0

D. 0 < ad < bc

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào đồ thị ta có:

+) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, suy ra:

$y^{'} = \frac{a d - b c}{{(c x + d)}^{2}} < 0,$ với $x \neq - \frac{d}{c} \Leftrightarrow a d - b c < 0 \Leftrightarrow a d < b c (*) \to$ loại A, B.

+) Đồ thị cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ $x = - \frac{b}{a} > 0 \Leftrightarrow a b < 0$ (1).

+) Đồ thị có tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c} > 0 \Leftrightarrow a c > 0$ (2).

Từ (1), (2) $\Rightarrow a^{2} b c < 0 \Leftrightarrow b c < 0$ (2*) (vì $a \neq 0$ ).

Từ (*), (2^*) $\Rightarrow a d < b c < 0.$

Câu 36:

Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại $\{5; 3\}$ là

A. $12 π .$

B. $18 π .$

C. $24 π .$

D. $36 π .$

Xem đáp án

Đáp án D

Để trả lời được câu hỏi ta cần xác định được khối đa diện đều loại $\{5; 3\}$ có bao nhiêu mặt và mỗi mặt có bao nhiêu đỉnh (cạnh) ?

+) Loại $\{5; 3\}$ cho ta biết mỗi mặt có 5 đỉnh (5 cạnh) hay mỗi mặt là một ngũ giác (chia thành 3 tam giác), suy ra tổng các góc của một mặt là: $3.180 ° = 3 π$ (rad) (*).

+) Loại $\{5; 3\}$ là khối đa diện mười hai mặt đều, nên có 12 mặt (2^*).

Từ (*) và (2^*), suy ra tổng các góc của tất cả các mặt là: $12.3 π = 36 π .$

Chú ý: Một đa giác n cạnh (n đỉnh) có tổng các góc là: $(n - 2) .180 ° = (n - 2) π .$

Câu 37:

Tính

\lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{{(\sin x + \cos x + 1)}^{2018} + 2^{2018} . (\sin x - 2)}{4 x^{3} - π^{2} x} .

A. $\frac{2^{2019}}{π^{2}} .$

B. $- \frac{{1009.2}^{2017}}{π^{2}} .$

C. $- \frac{2^{2018}}{π^{2}} .$

D. $\frac{{1009.2}^{2018}}{π^{2}} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $L = \lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{{(\sin x + \cos x + 1)}^{2018} + 2^{2018} . (\sin x - 2)}{4 x^{3} - π^{2} x}$

$= \lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{[{(\sin x + \cos x + 1)}^{2018} + 2^{2018} \sin x] - 2^{2019}}{x - \frac{π}{2}} . \frac{1}{4 x (x + \frac{π}{2})} .$

Đặt $f (x) = {(\sin x + \cos x + 1)}^{2018} + 2^{2018} . \sin x .$

Khi đó $L = f^{'} (\frac{π}{2}) . \lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{4 x (x + \frac{π}{2})} = f^{'} (\frac{π}{2}) . \frac{1}{2 π^{2}} .$

Ta có: $f^{'} (x) = 2018. {(\sin x + \cos x + 1)}^{2017} . (\cos x - \sin x) + 2^{2018} . \cos x \Rightarrow f^{'} (\frac{π}{2}) = - {2018.2}^{2017} .$

Suy ra $L = - {2018.2}^{2017} . \frac{1}{2 π^{2}} = - \frac{{1009.2}^{2017}}{π^{2}} .$

Chú ý: Cho hàm số

y = f (x)

thì

f^{'} (x_{0}) = \lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}} .

Câu 38:

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn

\int_{0}^{2} \frac{d x}{a x + b} = \frac{2}{a} \ln 2

và

\int_{0}^{2} \frac{d x}{b x + a} = \frac{1}{b} \ln \frac{2 a + 1}{3} .

Khi đó tổng

T = a + b

bằng bao nhiêu ?

A. $T = 7.$

B. $T = 3.$

C. $T = 9.$

D. $T = 5.$

Xem đáp án

Đáp án D

Với $a, b > 0,$ ta có:

+) $\int_{0}^{2} \frac{d x}{a x + b} = \frac{1}{a} {\ln |a x + b||}_{0}^{2} = \frac{1}{a} \ln \frac{2 a + b}{b} = \frac{2}{a} \ln 2 \Rightarrow \frac{2 a + b}{b} = 4 \Leftrightarrow 2 a = 3 b$ (*).

+) $\int_{0}^{2} \frac{d x}{b x + a} = \frac{1}{b} {\ln |b x + a||}_{0}^{2} = \frac{1}{b} \ln \frac{2 b + a}{a} = \frac{1}{b} \ln \frac{2 a + 1}{3}$

$\Rightarrow \frac{2 b + a}{a} = \frac{2 a + 1}{3} \Leftrightarrow 6 b + 3 a = 2 a^{2} + a$ (2*)

Thay (*) vào (2^*), ta được: $4 a + 3 a = 2 a^{2} + a \Leftrightarrow 2 a (a - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} a = 0 \\ a = 3 \end{array} \overset{a > 0}{\to} a = 3 \overset{(*)}{\to} b = 2.$

Suy ra $T = a + b = 5.$

Câu 39:

Cho số phức z thỏa mãn $(2 - i) |z| - \frac{25}{\bar{z}} = 6 - 2 i .$ Khi đó $|z|$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

A. $(2; 4) .$

B. $(4; 6) .$

C. $(9; 11) .$

D. $(11; 14) .$

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện bài toán tương đương: $(2 - i) |z| - 6 + 2 i = \frac{25}{\bar{z}} \Leftrightarrow (2 |z| - 6) - (|z| - 2) i = \frac{25}{\bar{z}} .$

$\Rightarrow (2 |z| - 6) - (|z| - 2) i = |\frac{25}{\bar{z}}| \Leftrightarrow \sqrt{{(2 |z| - 6)}^{2} + {(|z| - 2)}^{2}} = \frac{25}{|\bar{z}|}$ . (*)

Đặt $t = |z| > 0,$ khi đó (*) có dạng: $\sqrt{{(2 t - 6)}^{2} + {(t - 2)}^{2}} = \frac{25}{t} \Leftrightarrow 5 t^{2} - 28 t + 40 = \frac{625}{t^{2}}$

$\Leftrightarrow 5 t^{4} - 28 t^{3} + 40 t^{2} - 625 = 0 \Leftrightarrow (t - 5) (5 t^{3} - 3 t^{2} + 25 t + 125) = 0$ (2*)

Do $(5 t^{3} - 3 t^{2} + 25 t + 125) = 0 \Leftrightarrow t (5 t^{2} - 3 t + 25) + 125 > 0, \forall t > 0,$ suy ra:

(2*) $\Leftrightarrow t = 5 \Leftrightarrow |z| = 5 \in (4; 6) .$

Câu 40:

Xét hàm số $f (x) = e^{x} (a \sin x + b \cos x)$ với a, b là tham số thực. Biết rằng tồn tại $x \in ℝ$ để $f^{'} (x) + {f^{'}}^{'} (x) = 10 e^{x} .$ Khi đó, nhận định nào sau đây đúng?

A. $a^{2} + b^{2} = 10.$

B. $a^{2} + b^{2} \geq 10.$

C. $|a - b| \leq \sqrt{10} .$

D. $a + b = \sqrt{10} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f^{'} (x) = e^{x} (a \sin x + b \cos x) + e^{x} (a \cos x - b \sin x)$

$= e^{x} [(a - b) \sin x + (a + b) \cos x]$

$= e^{x} [A \sin x + B \cos x]$ với $A = a - b; B = a + b .$

$\Rightarrow {f^{'}}^{'} = e^{x} [(A - B) \sin x + (A + B) \cos x] = e^{x} . (- 2 b \sin x + 2 a \cos x) .$

Suy ra: $10 e^{x} = f^{'} (x) + {f^{'}}^{'} (x) = e^{x} [(a - 3 b) \sin x + (3 a + b) \cos x]$

$\Leftrightarrow (a - 3 b) \sin x + (3 a + b) \cos x = 10.$

Điều kiện phương trình có nghiệm: ${(a - 3 b)}^{2} + {(3 a + b)}^{2} \geq 10^{2} \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} \geq 10.$

Câu 41:

Gọi S là tập hợp các số có ba chữ số có dạng $\bar{a b c} .$ Tính xác suất để rút ngẫu nhiên 1 số từ tập S thỏa mãn a, b, c là ba cạnh của một tam giác cân, đồng thời là tam giác nhọn

A. $\frac{1}{72} .$

B. $\frac{3}{50} .$

C. $\frac{4}{25} .$

D. $\frac{61}{900} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Số các số có ba chữ số là: $n (Ω) = 9.10.10 = 900.$

Gọi A là biến cố rút 1 số từ tập S thỏa mãn a, b, c là ba cạnh của một tam giác vừa cân, vừa nhọn.

Do tam giác cân, nên ta gọi ba cạnh của tam giác lần lượt là: a;b;c với a=c.

Gọi $α$ là góc ở đỉnh cân (hình vẽ).

Khi đó tam giác nhọn $\Leftrightarrow c o s α = \frac{2 a^{2} - b^{2}}{2 a^{2}} > 0 \Leftrightarrow 2 a^{2} > b^{2} .$

Vậy điều kiện để tam giác cân đồng thời nhọn là: $\{\begin{cases} 2 a > b \\ 2 a^{2} > b^{2} \end{cases} \Leftrightarrow 2 a^{2} > b^{2} .$

+) Với $a = 1 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow Δ$ đều được lấy ra từ số 111, nghĩa là có 1 cách.

+) Với $a = 2 \Rightarrow b \in \{1; 2\} \Rightarrow$ số khả năng $1 + 3 = 4$ (cách) (gồm 1 tam giác đều, 3 tam giác cân không đều).

+) Với $a = 3 \Rightarrow b \in \{1; 2; 3; 4\} \Rightarrow$ số khả năng $1 + 3.3 = 10$ (cách)

+) Với $a = 4 \Rightarrow b \in \{1; 2; 3; 4; 5\} \Rightarrow$ số khả năng $1 + 4.3 = 13$ (cách)

+) Với $a = 5 \Rightarrow b \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7\} \Rightarrow$ số khả năng $1 + 6.3 = 19$ (cách)

+) Với $a = 6 \Rightarrow b \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\} \Rightarrow$ số khả năng $1 + 7.3 = 22$ (cách)

+) Với $a \in \{7; 8; 9\} \Rightarrow b \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\} \Rightarrow$ số khả năng $3. (1 + 8.3) = 75$ (cách)

Suy ra $n (A) = 1 + 4 + 10 + 13 + 19 + 22 + 75 = 144.$

Vậy xác suất cần tính là: $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{144}{900} = \frac{4}{25} .$

Câu 42:

Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm

A (- 1; - 4; 4), B (1; 7; - 2), C (1; 4; - 2) .

Mặt phẳng

(P) : 2 x + b y + c z + d = 0

đi qua điểm A. Đặt

h_{1} = d (B, (P)); h_{2} = 2 d (C, (P)) .

Khi

h_{1} + h_{2},

đạt giá trị lớn nhất, tính

T = b + c + d .

A. $T = 52.$

B. $T = 33.$

C. $T = 65.$

D. $T = 77.$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta dựng thêm điểm D sao cho C là trung điểm của $A D \Rightarrow D (3; 12; - 8)$

Gọi H₁, H₃ lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, D lên mặt phẳng (P). Khi đó: $d (D, (P)) = 2 d (C, (P)) = h_{2} = D H_{3} .$

Trường hợp 1: B, C cùng phía với mặt phẳng (P) (hình vẽ).

Gọi I, H lần lượt là trung điểm của $B D, H_{1} H_{3} \Rightarrow I (2; \frac{19}{2}; - 5)$

Suy ra: $h_{1} + h_{2} = B H_{1} + D H_{3} = 2 I H \leq 2 I A = 33$ (*)

Trường hợp 2: B, C khác phía với mặt phẳng (P) (hình vẽ).

Suy ra: $h_{1} + h_{2} \leq B I + D I = B D = \sqrt{65}$ (2^*).

Từ (*), (2^*) suy ra: ${(h_{1} + h_{2})}_{\max} = 33.$

Dấu “=” xảy ra khi $I A ⊥ (P)$

$\Rightarrow \vec{n_{(P)}} = \vec{I A} = (- 3; - \frac{27}{2}; 9) / / (2; 9; - 6) .$

Suy ra phương trình $(P) : 2 (x + 1) + 9 (y + 4) - 6 (z - 4) = 0$

$\Leftrightarrow (P) : 2 x + 9 y - 6 z + 62 = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} b = 9 \\ c = - 6 \\ d = 62 \end{cases} \Rightarrow T = 65.$

Câu 43:

Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) VÀ (DBC) chứa trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết $B C = a, \hat{B A C} = 60 °, \hat{B D C} = 30 ° .$ Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

A. $V = \frac{\sqrt{39} π a^{3}}{54} .$

B. $V = \frac{13 \sqrt{39} π a^{3}}{54} .$

C. $V = \frac{13 \sqrt{39} π a^{3}}{27} .$

D. $V = \frac{π a^{3}}{27} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Do $(A B C) \cap (D B C) = B C$ và $(A B C) ⊥ (D B C)$ nên theo mô hình 3, ta có:

$R_{c} = \sqrt{R_{1}^{2} + R_{2}^{2} - (\frac{B C^{2}}{2})}$ với lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và DBC.

Ta có: $\{\begin{cases} R_{1} = \frac{B C}{2 \sin A} = \frac{a}{2 \sin 60 °} = \frac{a}{\sqrt{3}} \\ R_{2} = \frac{B C}{2 \sin D} = \frac{a}{2 \sin 30 °} = a \end{cases} .$

$\Rightarrow R_{c} = \sqrt{{(\frac{a}{\sqrt{3}})}^{2} + a^{2} - (\frac{a^{2}}{2})} = \frac{a \sqrt{39}}{6} \Rightarrow V = \frac{4}{3} π R_{c}^{3} = \frac{13 \sqrt{39} π a^{3}}{54} .$

Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) VÀ (DBC) chứa trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau (ảnh 1)

Câu 44:

Cho hàm số $f (x) = (m^{3} - 1) x^{3} + 3 x^{2} + 3 (m - 2) x + 4.$ Biết $f (x) \leq 0$ với $\forall x \in [3; 5] .$ Khi đó có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn $[- 100; 100] ?$

A. 100

B. 101

C. 99

D. 201

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f (x) \leq 0$ với $\forall x \in [3; 5] .$

$\Leftrightarrow (m^{3} - 1) x^{3} + 3 x^{2} + 3 (m - 2) x + 4 \leq 0, \forall x \in [3; 5] .$

$\Leftrightarrow {(m x)}^{3} + 3 m x \leq x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 4, \forall x \in [3; 5] .$

$\Leftrightarrow {(m x)}^{3} + 3 m x \leq {(x - 1)}^{3} + 3 (x - 1), \forall x \in [3; 5] .$

$\Leftrightarrow g (m x) \leq g (x - 1)$ với $g (t) = t^{3} + 3 t$ là hàm số đồng biến.

$\Leftrightarrow m x \leq x - 1, \forall x \in [3; 5] \Leftrightarrow m \leq \frac{x - 1}{x} = 1 - \frac{1}{x} = h (x), \forall x \in [3; 5] \Leftrightarrow m \leq \min_{[3; 5]} h (x) .$

Ta có $h^{'} (x) = \frac{1}{x^{2}} > 0, \forall x \in [3; 5],$ suy ra $h (x)$ đồng biến trên $[3; 5] \Rightarrow \min_{[3; 5]} h (x) = h (3) = \frac{2}{3} .$

Vậy $m \leq \frac{2}{3} \to_{m \in ℤ}^{m \in [- 100; 100]} m : - 100 \to 0,$ nghĩa là có 101 số nguyên m.

Câu 45:

Có bao nhiêu giá trị nguyên $m \in [- 10; 10]$ để phương trình $2018^{\sin (2 x - \frac{π}{3}) - \frac{m}{2}} . \log_{2019} (\sin 2 x - m + 12) = \log_{2019} (\sqrt{3} \cos 2 x + 12)$ có 4 nghiệm thuộc $[\frac{π}{6}; \frac{5 π}{3}] ?$

A. 3

B. 1

C. 9

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\sin (2 x - \frac{π}{3}) - \frac{m}{2} = \frac{1}{2} \sin 2 x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x - \frac{m}{2} = \frac{\sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x - m}{2} .$

Đặt $\{\begin{cases} u = \sin 2 x - m + 12 \\ v = \sqrt{3} \cos 2 x + 12 \end{cases},$ khi đó phương trình có dạng: $2018^{\frac{u - v}{2}} . \log_{2019} u = \log_{2019} v \Leftrightarrow \frac{{(\sqrt{2018})}^{u}}{{(\sqrt{2018})}^{v}} . \log_{2019} u = \log_{2019} v$

$\Leftrightarrow {(\sqrt{2018})}^{u} . \log_{019} u = {(\sqrt{2018})}^{v} \log_{2019} v \Leftrightarrow f (u) = f (v)$ trong đó $f (t) = {(\sqrt{2018})}^{t} . \log_{2019} t$

$\Leftrightarrow u = v \Leftrightarrow \sin 2 x - m + 12 = \sqrt{3} \cos 2 x + 12 \Leftrightarrow \sin (2 x - \frac{π}{3}) = \frac{m}{2}$ (*)

Do $x \in [\frac{π}{6}; \frac{5 π}{3}] \Rightarrow (2 x - \frac{π}{3}) \in [0; 3 π]$ nên để (*) có 4 nghiệm thì: $0 \leq \frac{m}{2} < 1$

$\Leftrightarrow 0 \leq m < 2 \overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{0; 1\} :$ có giá trị m thỏa mãn.

Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc -10;10 để phương trình (ảnh 1)

Câu 46:

Cho hàm số $y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có bảng biến thiên như sau. Khi đó phương trình $|f (x)| = m$ có bốn nghiệm $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ thỏa mãn $x_{1} < x_{2} < x_{3} < 1 < x_{4} .$ khi và chỉ khi

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

A. $0 < m < 6.$

B. $3 < m < 6.$

C. $2 < m < 6.$

D. $4 < m < 6.$

Xem đáp án

Đáp án B

Từ bảng biến thiên của hàm số $y = f (x),$ ta suy ra bảng biến thiên của hàm số $y = |f (x)|$ như sau:

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d có bảng biến thiên như sau (ảnh 2)

Vì bài toán quan tâm tới việc sắp thứ tự các nghiệm với giá trị x = 1 do đó ta cần tính được giá trị của hàm số tại x = 1. Nhưng ta nhận thấy M(0;6) và N(2;0) là hai điểm cực trị của hàm số. Khi đó, trung điểm I(1;3) của MN cũng thuộc đồ thị hàm số hay $f (1) = 3$ nên ta có bảng biến thiên sau:

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d có bảng biến thiên như sau (ảnh 3)

Dựa vào bảng biến thiên này, suy ra phương trình $|f (x)| = m$ có bốn nghiệm $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ thỏa mãn $x_{1} < x_{2} < x_{3} < 1 < x_{4}$ khi và chỉ khi $3 < m < 6.$

Câu 47:

Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{1} = 2

và

u_{n + 1} = \frac{2 u_{n}}{\sqrt[3]{3 u_{n}^{3} + 8}}

với

\forall n \geq 1.

Hỏi có tất cả bao nhiêu số hạng của dãy

(u_{n})

có giá trị thuộc đoạn

[\frac{1}{\sqrt[9]{2018}}; 1] ?

A. 31

B. 30

C. 2017

D. 2018

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $u_{n + 1} = \frac{2 u_{n}}{\sqrt[3]{3 u_{n}^{3} + 8}} \Leftrightarrow u_{n + 1}^{3} = \frac{8 u_{n}^{3}}{3 u_{n}^{3} + 8} \Leftrightarrow 8 u_{n + 1}^{3} + 3 u_{n}^{3} . u_{n + 1}^{3} - 8 u_{n}^{3} = 0.$

$\Leftrightarrow \frac{8}{u_{n}^{3}} + 3 - \frac{8}{u_{n + 1}^{3}} = 0 \Leftrightarrow \frac{8}{u_{n + 1}^{3}} = \frac{8}{u_{n}^{3}} + 3$ (*)

Đặt $v_{n} = \frac{8}{u_{n}^{3}} \overset{(*)}{\to} v_{n + 1} = v_{n} + 3,$ suy ra $(v_{n})$ là một cấp số cộng có $\{\begin{cases} v_{1} = \frac{8}{u_{1}^{3}} = 1 \\ d = 3 \end{cases} .$

Khi đó $\Rightarrow v_{n} = v_{1} + (n - 1) d = 3 n - 2 \Rightarrow \frac{8}{u_{n}^{3}} = 3 n - 2 \Leftrightarrow u_{n}^{3} = \frac{8}{3 n - 2} .$

Xét các số hạng: $u_{n} \in [\frac{1}{\sqrt[9]{2018}}; 1] \Leftrightarrow u_{n}^{3} \in [\frac{1}{\sqrt[3]{2018}}; 1] \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt[3]{2018}} \leq \frac{8}{3 n - 2} \leq 1$

$\Leftrightarrow 8 \leq 3 n - 2 \leq 8. \sqrt[3]{2018} \Leftrightarrow 3,3 \leq n \leq 34,4 \overset{n \in ℕ *}{\to} n : 4 \to 34,$ có 31 số hạng.

Câu 48:

Cho hai số phức

z_{1}, z_{2}

thỏa mãn

|z_{1} - 1 + 3 i| = 4

và

|z_{2} - 1 + i| = |\bar{z_{2}} + 2 + 3 i| .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

T = |z_{1} - z_{2}|

bằng bao nhiêu?

A. $\frac{1}{2} .$

B. $\frac{1}{15} .$

C. $\frac{1}{10} .$

D. $\frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $\{\begin{cases} M (z_{1}) \\ M (z_{2}) \end{cases},$ khi đó: $|z_{1} - 1 + 3 i| = 4 \Leftrightarrow M I = 4$ với $I (1; - 3) .$

Suy ra M thuộc đường tròn tâm $I (1; - 3),$ bán kính $R = 4.$

Ta có: $|z_{2} - 1 + i| = |\bar{z_{2}} + 2 + 3 i| \Leftrightarrow |z_{2} - 1 + i| = |z_{2} + 2 - 3 i| \Leftrightarrow N A = N B$ trong đó: $\{\begin{cases} A (1; - 1) \\ B (- 2; 3) \end{cases} .$

Suy ra N thuộc đường thẳng $Δ : 6 x - 8 y + 11 = 0$ là đường trung trực của AB.

Khi đó: $T = |z_{1} - z_{2}| = M N \geq M_{0} H$ với H là hình chiếu vuông góc của I trên $Δ$ và $I H \cap (C) = \{M_{0}\}$ (như hình vẽ)

Ta có: $M_{0} H = I H - I M_{0}$

$= d (I, Δ) - R = \frac{|6 + 24 + 11|}{\sqrt{6^{2} + 8^{2}}} - 4 = \frac{1}{10} .$

Suy ra $T \geq \frac{1}{10} \Rightarrow T_{\min} = \frac{1}{10} .$

Câu 49:

Cho hình trụ (T) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R, hai đáy là hai hình tròn (O) và $(O^{'}) .$ Gọi $A A^{'}$ và $B B^{'}$ là hai đường sinh bất kì của (T) và M là một điểm di động trên đường tròn (O). Thể tích lớn nhất của khối chóp $M . A A^{'} B^{'} B$ bằng bao nhiêu?

A. $\frac{R^{3} \sqrt{3}}{4} .$

B. $\frac{R^{3} \sqrt{3}}{2} .$

C. $\frac{3 R^{3} \sqrt{3}}{4} .$

D. $\frac{R^{3} \sqrt{3}}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB $\Rightarrow M H ⊥ (A A^{'} B^{'} B) .$

Khi đó: $V_{M . A A^{'} B^{'} B} = \frac{1}{3} M H . S_{A A^{'} B^{'} B} = \frac{1}{3} M H . A B . A A^{'} = \frac{R}{3} M H . A B .$

Vậy để ${(V_{M . A A^{'} B^{'} B})}_{\max} \Leftrightarrow {(M H . A B)}_{\max} .$

Khi AB cố định thì ${(M H . A B)}_{\max} \Leftrightarrow M H_{\max} \Leftrightarrow$ M nằm chính giữa cung lớn AB, suy ra $O \in M H \Rightarrow$ H là trung điểm của AB.

Đặt $O H = x \Rightarrow \{\begin{cases} M H = M O + O H = R + x \\ A B = 2 H B = 2 \sqrt{O B^{2} - O H^{2}} = 2 \sqrt{R^{2} - x^{2}} \end{cases} .$

Suy ra: $M H . A B = (R + x) .2 \sqrt{R^{2} - x^{2}}$

$\Leftrightarrow {(M H . A B)}^{2} = 4 {(R + x)}^{2} . (R^{2} - x^{2})$

$= \frac{4}{3} (R + x) (R + x) (R + x) . (3 R - 3 x)$

$\leq \frac{4}{3} {(\frac{(R + x) + (R + x) + (R + x) + (3 R - 3 x)}{4})}^{4} = \frac{27 R^{4}}{4} .$

Dấu “=” xảy ra khi: $R + x = 3 R - 3 x \Leftrightarrow x = \frac{R}{2} .$

Suy ra

M H . A B \leq \frac{3 \sqrt{3} R^{2}}{2} \Rightarrow V_{M . A A^{'} B^{'} B} \leq \frac{R}{3} . \frac{3 \sqrt{3} R^{2}}{2} = \frac{R^{3} \sqrt{3}}{2} \Rightarrow {(V_{M . A A^{'} B^{'} B})}_{\max} = \frac{R^{3} \sqrt{3}}{2} .

Cho hình trụ (T) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R, hai đáy là hai hình tròn (O) (ảnh 1)

Câu 50:

Cho khối đa diện tám mặt đều (bát diện đều) có thể tích bằng V. Gọi $V^{'}$ là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tám mặt đều đã cho. Tính tỉ số $\frac{V^{'}}{V} .$

A. $\frac{1}{3} .$

B. $\frac{2}{3} .$

C. $\frac{1}{9} .$

D. $\frac{2}{9} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $S A B C D S^{'}$ là khối đa diện đều cạnh a.

Khi đó: $V_{S A B C D S^{'}} = \frac{1}{3} S S^{'} . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a . \sqrt{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

Khối đa diện có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tám mặt đều $S A B C D S^{'}$ là hình lập phương có cạnh MN (như hình vẽ bên).

Gọi I là trung điểm của CD.

Khi đó: $\frac{M N}{S S^{'}} = \frac{I M}{I S} = \frac{1}{3} \Rightarrow M N = \frac{1}{3} S S^{'} = \frac{a \sqrt{2}}{3} .$

Khi đó thể tích hình lập phương: $V^{'} = {(\frac{a \sqrt{2}}{3})}^{3} = \frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{27} .$

Suy ra $\frac{V^{'}}{V} = \frac{\frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{27}}{\frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}} = \frac{2}{9}$

Chú ý: Khối bát diện đều cạnh a có thể tích: $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} .$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 20)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan