Thứ sáu, 29/03/2024
IMG-LOGO
Trang chủ THI THỬ THPT QUỐC GIA Toán Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 20)

  • 2368 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Hàm số x4x2+3  có bao nhiêu điểm cực trị ?

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có ab=1<0,  suy ra hàm số có 3 điểm cực trị

 Chú ý: Hàm số trùng phương y=ax4+bx2+c  (với a0 )

+) Có 1 cực trị khi ab0.

+) Có 3 cực trị khi ab<0.


Câu 2:

Cho logab>0  và a, b là các số thực với a0;1.  Khi đó kết luận nào sau đây đúng?
Xem đáp án

Đáp án D

Do a0;1logab>00<b<1.

Chú ý:  logab>0a,b0;1a,b>1logab<0a0;1b>1  hoặc a>1b0;1.


Câu 3:

Tìm đạo hàm của hàm số y=102x+1.

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có au'=u'aulnay'=102x+1'=2.102x+1ln10=20.102xln10.


Câu 4:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M2;3  là điểm biểu diễn số phức z. Khi đó số phức z¯   có phần thực, phần ảo lần lượt là

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có M2;3z=23i

 z¯=2+3iz¯ có phần thực, phần ảo lần lượt là 2 và 3.


Câu 5:

Cho số phức z thỏa mãn z=z¯.  Trong những khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng?

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt z=a+bi,  khi đó: z=z¯a+bi=abi2bi=0z=a là số thực.


Câu 6:

Cho hàm số y=2x1x+2.  Mệnh đề nào sau đây sai ?

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: \2.  Ta có y'=5x+22>0,x2.

Suy ra hàm số đồng biến trên từng khoảng ;2    2;+

Suy ra A sai (đúng phải là hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó).

Chú ý : Ở đây B đúng vì hàm số đồng biến trên 2;+  thì cũng sẽ đồng biến trên 2;+


Câu 7:

Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên nửa khoảng 2;3  như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên nửa khoảng -2;3 như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng (ảnh 1)

 

Xem đáp án

Đáp án B

+) Hàm số đạt cực đại tại x=0 A sai.

+) Giá trị lớn nhất của hàm số là maxyx2;3=4  B đúng.

+) Hàm số không xác định tại x=2  không có giá trị nhỏ nhất  C sai.

+) Cực tiểu của hàm số là giá trị cực tiểu của hàm số. Nên cực tiểu của hàm số là 1  D sai.


Câu 8:

Có 10 cuốn sách Toán khác nhau. Chọn ra 3 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách ?
Xem đáp án

Đáp án B

Chọn ra 3 cuốn sách từ 10 cuốn (không quan tâm tới thứ tự) nên số cách chọn là: C103.


Câu 10:

Tìm nguyên hàm của hàm số fx=x3x+13.
Xem đáp án

Đáp án C

Ta có fxdx=x3x+13dx=x22+32x+12+C.

Câu 11:

Đồ thị hàm số y=16x4x2+4x3  có bao nhiêu đường tiệm cận?

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện 16x40x2+4x302x2x1,x3x2;2\1  Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang (Vì không chứa  hoặc +   nên không tồn tại limx+y ).

Xét x2+4x3=0x=1x=2

+) Với x=116x4=150x=1  là tiệm cận đứng.

+) Với x=316x4  không xác định nên x = 3 không phải là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng là đường x = 1.


Câu 12:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn logab=2,logac=3.  Tính giá trị của T=logcab.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có T=logcab=12logcalogcb=12logaclogablogac=12.323=12.

Câu 13:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số xác định trên tập  Loại C, D.

Hàm số đồng biến trên ;+  Loại A.


Câu 14:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?

Xem đáp án

Đáp án B

Ta dễ thấy hàm số f(x)=lnx  đồng biến trên 0;+   y'=1x>0,x>0.

Câu 15:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f'(x).  Đồ thị y=f'(x)  được cho như hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên đoạn 0;3  
Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f'(x).  Đồ thị y = f'(x)  được cho như hình vẽ bên (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án B

Ta có dấu của f'x  trên 0;3  như sau:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f'(x).  Đồ thị y = f'(x)  được cho như hình vẽ bên (ảnh 2)

Suy ra bảng biến thiên:

Cho hàm số f (x) có đạo hàm là f'(x).  Đồ thị y = f'(x)  được cho như hình vẽ bên (ảnh 3)

Suy ra min0;3fx=f2.


Câu 16:

Cho hình nón có chu vi đáy là 8π  cm và thể tích khối nón là  16π cm3. Khi đó đường sinh l của hình nón có độ dài là
Xem đáp án

Đáp án C

Ta có C=2πr=8πr=4 cm.

Suy ra: V=13πr2.h=16πh=3 cml=r2+h2=5 cm.

Câu 18:

Biết z=12i  là nghiệm phức của phương trình z2+az+b=0  với a,b.  Khi đó ab  bằng bao nhiêu?
Xem đáp án

Đáp án A

Cách 1: Do z=12i  là nghiệm thức của phương trình z2+az+b=012i2+a12i+b=0

a+b32a+2i=0a+b3=0a+2=0a=2b=5ab=7.

Cách 2:

Phương trình bậc 2 với hệ số thực có 2 nghiệm phức là 2 số phức liên hợp của nhau.

Suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm z1=12i    z2=1+2i

a=z1+z2=2b=z1.z2=5ab=7.


Câu 19:

Tính giá trị lớn nhất của hàm số y=sin2x227cosx  trên khoảng 0;π2.

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt cosx=tsin2x=1t2,x0;π2t0;1

Khi đó y=1t2227ty'=2t+227t2,y'=0t=130;1.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có max0;1y=y13=23.


Câu 20:

Biết Cn1+Cn2=210.  Hỏi đâu là khẳng định đúng ?

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện n*n2.  Khi đó phương trình tương đương: 

n+nn12=210n2+n420=0n=20n=21n2n=2019;22.


Câu 21:

Tìm công thức tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị hàm số y=f(x),y=g(x)  và hai đường thẳng x=a,x=b  như hình dưới đây.
Tìm công thức tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào hình vẽ cho ta biết:

+) Trên a;c:f(x)g(x)  hay f(x)g(x)0.

+) Trên c;b:g(x)f(x)  hay g(x)f(x)0.

Do đó:  S=abg(x)f(x)dx=acf(x)g(x)dx+cbf(x)g(x)dx

=acf(x)g(x)dx+cbg(x)f(x)dx.


Câu 22:

Phương trình 9x3.3x+2=0.  có hai nghiệm x1,x2  với  x1<x2.Tính giá trị của A=2x1+3x2

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình 9x3.3x+2=03x=13x=2x1=0x2=log32A=2x1+3x2=3log32

Câu 23:

Biết hàm số y=x4+2x21  có đồ thị là một trong bốn đồ thị liệt kê ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là đồ thị nào?

 

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có a=1<0,  suy ra “điểm cuối” của đồ thị có hướng đi xuống loại C.

Ta có ab=2<0,  suy ra hàm số có 3 cực trị  loại B.

Do d=1<0,  suy ra đồ thị cắt trục hoành Oy tại điểm có hoành độ âm.


Câu 24:

Cho tích phân I=1ex2.ln2xdx.  Mệnh đề nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt u=ln2xdv=x2dxdu=2lnxxdxv=x33.  Khi đó I=13x3ln2x1e231ex2lnxdx.

Câu 26:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC^=ASC^=60°.  Biết SA vuông góc với mặt đáy (ABCD). Thể tích V của khối chóp S.ABCD là
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC = góc ASC = 60 độ (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án D

Do ABC là tam giác cân và ABC^=60°  nên tam giác ABC đều SABCD=2SABC=a232.

Lại có: SA=ACtanASC^=atan60°=a3V=13SA.SABCD=a36.


Câu 27:

Biết 34dxx+1x2=aln2+bln5+c,  với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính S=a3b+c.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có I=34dxx+1x2=13lnx2x+134=13ln85=ln213ln5+0=aln2+bln5+c.

Do a,b,ca=1b=13c=0S=a3b+c=2.

Chú ý: Ta có công thức tính nhanh tích phân dxax+bcx+d=1adbclnax+bcx+d.

Câu 28:

Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D'  có thể tích là V. Một hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và đỉnh là tâm của hình vuông A'B'C'D'.  Khi đó thể tích của khối nón đó là

Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D'  có thể tích là V. Một hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi cạnh của hình lập phương là a khi đó ta có V=a3.

Hình nón có đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và đỉnh là tâm của hình vuông A'B'C'D'

R=a22h=aVN=13hπR2=16πa3=πV6.


Câu 29:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x+2ymz+2=0  và đường thẳng Δ:x12=yn=z+24  (với m,n  n0 ). Biết Δ vuông góc với (P). Khi đó tổng m+n bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có nP=1;2;muΔ=2;n;4.  Do Δ  vuông góc với (P), suy ra nP,uΔ  cùng phương.

Do đó: 12=2n=m4n=4m=2m+n=2.

Câu 30:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và AB=2a,BC=a.  Biết hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy (ABCD) là trung điểm H của AB. Biết góc tạo bởi 2 mặt (SBC) và (ABCD) bằng 60°.  Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SC và HD.
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a.  Biết hình chiếu vuông góc của S (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án C

Dựng hình bình hành HDCE.

Suy ra  HD//CEHD//SCE.

Khi đó: h=dHD,SC=dHD,SCE=dH,SCE=HK

(như hình vẽ). Ta có:EC=HD=AH2+AD2=a2.

Suy ra:HI=SHDCEEC=SABCDEC=2a2a2=a2.

Tam giác SAB cân tại S và SB,ABCD=SBA^=60°.

Suy ra ΔSAB  đều cạnh AB=2aSH=a3.

Ta có:  1HK2=1SH2+1HI2=13a2+12a2=56a2

HK=a305.

 Vậy dHD,SC=a305.

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a.  Biết hình chiếu vuông góc của S (ảnh 2)


Câu 31:

Biết y=2017x2018  là phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x)  tại điểm có hoành độ x=x0.  Biết g(x)=xf(x)2017x2+2018x1.  Tính giá trị của g'x0.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:g'x=fx+xf'x4034x+2018.

Suy ra: g'x0=fx0+x0f'x04034x0+2018  (*)

Gọi Mx0;fx0  là tiếp điểm của tiếp tuyến, suy ra: f'x0=2017fx0=2017x02018  (2*)

Thay (2*) vào (*), ta được g'x0=2017x02018+x0.20174034x0+2018=0.

Câu 32:

Cho hàm số y=f(x) liên tục, có đạo hàm cấp hai trên  và có đồ thị (C) như hình vẽ. Biết Δ  là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x=0.  Tính tích phân I=01xf''x2dx.
Cho hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm cấp hai trên R và có đồ thị (C) như hình vẽ (ảnh 1)
Xem đáp án

Đáp án D

Đặt t=x2dt=2xdxx:01t:01.

Khi đó: I=1201f''tdt=12f't01=12.f'1f'0   (*)

Do hàm số y=fx  có điểm cực trị x=1f'1=0.

Phương trình đường thẳng Δ:x1+y1=1y=x+1  (1)

Suy ra hệ số góc của đường thẳng Δ  1f'0=1  (2).

Thay (1), (2) vào (*), ta được: I=12.01=12.


Câu 33:

Cho hàm số y=log15log5x2+1x+3  có tập xác định là D. Khi đó có bao nhiêu số thuộc tập hợp D là số nguyên ?

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện   log15log5x2+1x+30=log1510<log5x2+1x+31

log51<log5x2+1x+3log551<x2+1x+35

x2x2x+3>0x25x14x+303<x<1x>2x<32x72x<12<x7D=2;12;7.

Khi đó: xDxx2;3;4;5;6;7: có 6 số nguyên.


Câu 35:

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số  y=ax+bcx+d. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y = ax + b/ cx + d.  Mệnh đề nào sau đây là đúng (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào đồ thị ta có:

+) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định, suy ra:

 y'=adbccx+d2<0,với xdcadbc<0ad<bc*  loại A, B.

+) Đồ thị cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ  x=ba>0ab<0(1).

+) Đồ thị có tiệm cận ngang y=ac>0ac>0  (2).

Từ (1), (2) a2bc<0bc<0  (2*) (vì a0 ).

Từ (*), (2*)  ad<bc<0.


Câu 36:

Tổng các góc của tất cả các mặt của khối đa diện đều loại 5;3  

Xem đáp án

Đáp án D

Để trả lời được câu hỏi ta cần xác định được khối đa diện đều loại 5;3 có bao nhiêu mặt và mỗi mặt có bao nhiêu đỉnh (cạnh) ?

+) Loại 5;3  cho ta biết mỗi mặt có 5 đỉnh (5 cạnh) hay mỗi mặt là một ngũ giác (chia thành 3 tam giác), suy ra tổng các góc của một mặt là:3.180°=3π  (rad) (*).

+) Loại 5;3  là khối đa diện mười hai mặt đều, nên có 12 mặt (2*).

Từ (*) và (2*), suy ra tổng các góc của tất cả các mặt là:12.3π=36π.

Chú ý: Một đa giác n cạnh (n đỉnh) có tổng các góc là:  n2.180°=n2π.


Câu 37:

Tính limxπ2sinx+cosx+12018+22018.sinx24x3π2x.
Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: L=limxπ2sinx+cosx+12018+22018.sinx24x3π2x

=limxπ2sinx+cosx+12018+22018sinx22019xπ2.14xx+π2.

Đặt  fx=sinx+cosx+12018+22018.sinx.

Khi đó L=f'π2.limxπ214xx+π2=f'π2.12π2.

Ta có: f'x=2018.sinx+cosx+12017.cosxsinx+22018.cosxf'π2=2018.22017.

Suy ra L=2018.22017.12π2=1009.22017π2.

Chú ý: Cho hàm số y=fx  thì f'x0=limxx0fxfx0xx0.
 

Câu 38:

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 02dxax+b=2aln2  02dxbx+a=1bln2a+13.  Khi đó tổng T=a+b  bằng bao nhiêu ?
Xem đáp án

Đáp án D

Với a,b>0,  ta có:

+)  02dxax+b=1alnax+b02=1aln2a+bb=2aln22a+bb=42a=3b(*).

+)  02dxbx+a=1blnbx+a02=1bln2b+aa=1bln2a+13

2b+aa=2a+136b+3a=2a2+a (2*)

Thay (*) vào (2*), ta được: 4a+3a=2a2+a2aa3=0a=0a=3a>0a=3*b=2.

Suy ra T=a+b=5.


Câu 39:

Cho số phức z thỏa mãn 2iz25z¯=62i.  Khi đó z  thuộc khoảng nào trong các khoảng sau?

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện bài toán tương đương:2iz6+2i=25z¯2z6z2i=25z¯.

   2z6z2i=25z¯2z62+z22=25z¯. (*)

Đặt t=z>0,  khi đó (*) có dạng: 2t62+t22=25t5t228t+40=625t2

5t428t3+40t2625=0t55t33t2+25t+125=0 (2*)

Do 5t33t2+25t+125=0t5t23t+25+125>0,t>0,  suy ra:

(2*)t=5z=54;6.


Câu 40:

Xét hàm số f(x)=exasinx+bcosx  với a, b là tham số thực. Biết rằng tồn tại x  để f'(x)+f''(x)=10ex.  Khi đó, nhận định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:f'x=exasinx+bcosx+exacosxbsinx

=exabsinx+a+bcosx

 =exAsinx+Bcosx với A=ab;B=a+b.

f''=exABsinx+A+Bcosx=ex.2bsinx+2acosx.

Suy ra: 10ex=f'x+f''x=exa3bsinx+3a+bcosx

a3bsinx+3a+bcosx=10.

Điều kiện phương trình có nghiệm: a3b2+3a+b2102a2+b210.


Câu 41:

Gọi S là tập hợp các số có ba chữ số có dạng abc¯.   Tính xác suất để rút ngẫu nhiên 1 số từ tập S thỏa mãn a, b, c là ba cạnh của một tam giác cân, đồng thời là tam giác nhọn

Xem đáp án

Đáp án C

Số các số có ba chữ số là: nΩ=9.10.10=900.

Gọi A là biến cố rút 1 số từ tập S thỏa mãn a, b, c là ba cạnh của một tam giác vừa cân, vừa nhọn.

Do tam giác cân, nên ta gọi ba cạnh của tam giác lần lượt là: a;b;c với a=c.

Gọi α  là góc ở đỉnh cân (hình vẽ).

Khi đó tam giác nhọn  cosα=2a2b22a2>02a2>b2.

Vậy điều kiện để tam giác cân đồng thời nhọn là:2a>b2a2>b22a2>b2.

+) Với a=1b=1Δ  đều được lấy ra từ số 111, nghĩa là có 1 cách.

+) Với a=2b1;2  số khả năng 1+3=4  (cách) (gồm 1 tam giác đều, 3 tam giác cân không đều).

+) Với a=3b1;2;3;4  số khả năng 1+3.3=10  (cách)

+) Với a=4b1;2;3;4;5  số khả năng  1+4.3=13 (cách)

+) Với a=5b1;2;3;4;5;6;7  số khả năng 1+6.3=19  (cách)

+) Với a=6b1;2;3;4;5;6;7;8  số khả năng 1+7.3=22  (cách)

+) Với a7;8;9b1;2;3;4;5;6;7;8;9  số khả năng 3.1+8.3=75  (cách)

Suy ra nA=1+4+10+13+19+22+75=144.

Vậy xác suất cần tính là: PA=nAnΩ=144900=425.

Gọi S là tập hợp các số có ba chữ số có dạng abc  Tính xác suất để rút ngẫu nhiên 1 số từ tập S thỏa mãn a, b, c là ba cạnh của một tam giác cân, đồng thời là tam giác nhọn  (ảnh 1)


Câu 42:

Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A1;4;4,B1;7;2,C1;4;2.   Mặt phẳng  P:2x+by+cz+d=0 đi qua điểm A. Đặt h1=dB,P;h2=2dC,P.  Khi h1+h2,  đạt giá trị lớn nhất, tính T=b+c+d.
Xem đáp án

Đáp án C

Ta dựng thêm điểm D sao cho C là trung điểm của ADD3;12;8

Gọi H1, H3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của B, D lên mặt phẳng (P). Khi đó:dD,P=2dC,P=h2=DH3.

Trường hợp 1: B, C cùng phía với mặt phẳng (P) (hình vẽ).

Gọi I, H lần lượt là trung điểm của BD,H1H3I2;192;5

Suy ra:  h1+h2=BH1+DH3=2IH2IA=33(*)

Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(-1;-4;4), B(1;7;-2), C(1;4;-2) (ảnh 1)

Trường hợp 2: B, C khác phía với mặt phẳng (P) (hình vẽ).

Suy ra:  h1+h2BI+DI=BD=65(2*).

Từ (*), (2*) suy ra: h1+h2max=33.

Dấu “=” xảy ra khi  IAP 

nP=IA=3;272;9//2;9;6.

Suy ra phương trình P:2x+1+9y+46z4=0

P:2x+9y6z+62=0b=9c=6d=62T=65.

Trong không gian với trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(-1;-4;4), B(1;7;-2), C(1;4;-2) (ảnh 2)


Câu 43:

Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) VÀ (DBC) chứa trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Biết BC=a,BAC^=60°,BDC^=30°.  Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là

Xem đáp án

Đáp án B

Do ABCDBC=BC ABCDBC  nên theo mô hình 3, ta có:

 Rc=R12+R22BC22 với lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và DBC.

Ta có:  R1=BC2sinA=a2sin60°=a3R2=BC2sinD=a2sin30°=a.

Rc=a32+a2a22=a396V=43πRc3=1339πa354.

Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) VÀ (DBC) chứa trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau (ảnh 1)


Câu 44:

Cho hàm số f(x)=m31x3+3x2+3m2x+4.  Biết f(x)0  với x3;5.  Khi đó có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 100;100?

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: fx0  với x3;5.

m31x3+3x2+3m2x+40,x3;5.

mx3+3mxx33x2+6x4,x3;5.

mx3+3mxx13+3x1,x3;5.

 gmxgx1 với gt=t3+3t   là hàm số đồng biến.

mxx1,x3;5mx1x=11x=hx,x3;5mmin3;5hx.

Ta có h'x=1x2>0,x3;5, suy ra hx  đồng biến trên  3;5min3;5hx=h3=23.

Vậy m23mm100;100m:1000,  nghĩa là có 101 số nguyên m.


Câu 45:

Có bao nhiêu giá trị nguyên m10;10  để phương trình 2018sin2xπ3m2.log2019sin2xm+12=log20193cos2x+12 có 4 nghiệm thuộc π6;5π3?

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:sin2xπ3m2=12sin2x32cos2xm2=sin2x3cos2xm2.

  Đặt u=sin2xm+12v=3cos2x+12,  khi đó phương trình có dạng: 2018uv2.log2019u=log2019v2018u2018v.log2019u=log2019v

 2018u.log019u=2018vlog2019vfu=fv trong đó ft=2018t.log2019t

 u=vsin2xm+12=3cos2x+12sin2xπ3=m2 (*)

Do xπ6;5π32xπ30;3π  nên để (*) có 4 nghiệm thì: 0m2<1

 0m<2mm0;1:có giá trị m thỏa mãn.

Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc -10;10  để phương trình  (ảnh 1)


Câu 46:

Cho hàm số y=fx=ax3+bx2+cx+d  có bảng biến thiên như sau. Khi đó phương trình fx=m  có bốn nghiệm  x1,x2,x3,x4thỏa mãn x1<x2<x3<1<x4.  khi và chỉ khi

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d  có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án B

Từ bảng biến thiên của hàm số y=fx,  ta suy ra bảng biến thiên của hàm số y=fx  như sau:

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d  có bảng biến thiên như sau (ảnh 2)

Vì bài toán quan tâm tới việc sắp thứ tự các nghiệm với giá trị x = 1 do đó ta cần tính được giá trị của hàm số tại x = 1. Nhưng ta nhận thấy M(0;6) và N(2;0) là hai điểm cực trị của hàm số. Khi đó, trung điểm I(1;3) của MN cũng thuộc đồ thị hàm số hay f1=3  nên ta có bảng biến thiên sau:

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d  có bảng biến thiên như sau (ảnh 3)

Dựa vào bảng biến thiên này, suy ra phương trình fx=m  có bốn nghiệm x1,x2,x3,x4  thỏa mãn x1<x2<x3<1<x4  khi và chỉ khi 3<m<6.


Câu 47:

Cho dãy số un với u1=2  un+1=2un3un3+83  với n1.  Hỏi có tất cả bao nhiêu số hạng của dãy un  có giá trị thuộc đoạn 120189;1?
Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:un+1=2un3un3+83un+13=8un33un3+88un+13+3un3.un+138un3=0.

 8un3+38un+13=08un+13=8un3+3 (*)

Đặt vn=8un3*vn+1=vn+3,  suy ra vn  là một cấp số cộng có v1=8u13=1d=3.

Khi đó vn=v1+n1d=3n28un3=3n2un3=83n2.

Xét các số hạng: un120189;1un3120183;112018383n21

 83n28.201833,3n34,4n*n:434, có 31 số hạng.


Câu 48:

Cho hai số phức z1,z2  thỏa mãn z11+3i=4  z21+i=z2¯+2+3i.  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=z1z2  bằng bao nhiêu?
Xem đáp án

Đáp án C

Gọi Mz1Mz2,  khi đó: z11+3i=4MI=4  với I1;3.

Suy ra M thuộc đường tròn tâm I1;3, bán kính R=4.

Ta có:  z21+i=z2¯+2+3iz21+i=z2+23iNA=NB trong đó: A1;1B2;3.

Suy ra N thuộc đường thẳng Δ:6x8y+11=0  là đường trung trực của AB.

Khi đó:  T=z1z2=MNM0H với H là hình chiếu vuông góc của I trên Δ    IHC=M0(như hình vẽ)

Ta có:  M0H=IHIM0

=dI,ΔR=6+24+1162+824=110.

Suy ra T110Tmin=110.

Cho hai số phức z1, z2  thỏa mãn môdun z1 - 1 + 3i = 4 (ảnh 1)


Câu 49:

Cho hình trụ (T) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R, hai đáy là hai hình tròn (O) và (O').  Gọi AA'  BB'  là hai đường sinh bất kì của (T) và M là một điểm di động trên đường tròn (O). Thể tích lớn nhất của khối chóp M.AA'B'B  bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB MHAA'B'B.

Khi đó:  VM.AA'B'B=13MH.SAA'B'B=13MH.AB.AA'=R3MH.AB.

Vậy để VM.AA'B'BmaxMH.ABmax.

Khi AB cố định thì MH.ABmaxMHmax  M nằm chính giữa cung lớn AB, suy ra OMH H là trung điểm của AB.

Đặt  OH=xMH=MO+OH=R+xAB=2HB=2OB2OH2=2R2x2.

Suy ra:  MH.AB=R+x.2R2x2

MH.AB2=4R+x2.(R2x2)

=43R+xR+xR+x.3R3x

43R+x+R+x+R+x+3R3x44=27R44.

Dấu “=” xảy ra khi:  R+x=3R3xx=R2.

Suy ra MH.AB33R22VM.AA'B'BR3.33R22=R332VM.AA'B'Bmax=R332.
Cho hình trụ (T) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R, hai đáy là hai hình tròn (O) (ảnh 1)

Câu 50:

Cho khối đa diện tám mặt đều (bát diện đều) có thể tích bằng V. Gọi V'  là thể tích của khối đa diện có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tám mặt đều đã cho. Tính tỉ số V'V.

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi SABCDS'  là khối đa diện đều cạnh a.

Khi đó: VSABCDS'=13SS'.SABCD=13.a.2.a2=a323.

Khối đa diện có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối tám mặt đều SABCDS'   là hình lập phương có cạnh MN (như hình vẽ bên).

Gọi I là trung điểm của CD.

Khi đó: MNSS'=IMIS=13MN=13SS'=a23.

Khi đó thể tích hình lập phương: V'=a233=2a3227.

 Suy ra V'V=2a3227a323=29

Chú ý: Khối bát diện đều cạnh a có thể tích: V=a323.

Cho khối đa diện tám mặt đều (bát diện đều) có thể tích bằng V (ảnh 1)


Bắt đầu thi ngay