50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 7)

Câu 1:

Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là 3; 9; 27; 81;... . Tìm số hạng tổng quát

u_{n}

của cấp số nhân đã cho.

A. $u_{n} = 3^{n - 1}$

B. $u_{n} = 3^{n}$

C. $u_{n} = 3^{n + 1}$

D. $u_{n} = 3 + 3^{n}$

Xem đáp án

Đáp án B

Cấp số nhân

3; 9; 27; 81; ... \Rightarrow \{\begin{cases} u_{1} = 3 \\ q = \frac{9}{3} = 3 \end{cases} \Rightarrow u_{n} = u_{1} q^{n - 1} = {3.3}^{n - 1} = 3^{n}

Câu 2:

Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

A. $y = \frac{- x}{x + 1}$

B. $y = \frac{- x + 1}{x + 1}$

C. $y = \frac{- 2 x + 1}{2 x + 1}$

D. $y = \frac{- x + 2}{x + 1}$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào hình vẽ đề cho ta có:

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = - 1$ . Vậy loại phương án C.

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ $x = 1$ . Vậy loại phương án A, D.

Vậy ta chọn phương án B.

Câu 3:

Nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin x . c o s 2 x$ là

A. $\int f (x) d x = \frac{1}{6} \cos 3 x - \frac{1}{2} \sin x + C$

B. $\int f (x) d x = \frac{1}{6} \cos 3 x + \frac{1}{2} \sin x + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{\cos^{3} x}{3} + \cos x + C$

D. $\int f (x) d x = \frac{- 2 \cos^{3} x}{3} + \cos x + C$

Xem đáp án

Đáp án D

$\int \sin x . c o s 2 x d x = \int (2 \cos^{2} x - 1) \sin x d x = - \int (2 \cos^{2} x - 1) d (\cos x) = \frac{- 2 \cos^{3} x}{3} + \cos x + C$

Câu 4:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình bên dưới

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên dưới. Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) là (ảnh 1)

Số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f (x)$ là

A. 3

B. 1

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Từ bảng biến thiên ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to - \infty} f (x) = - 1 \\ \lim_{x \to + \infty} f (x) = 1 \end{cases}$

Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là $y = \pm 1$ .

Câu 5:

Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 80 sản phẩm tốt và 20 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ hộp, tính xác suất để 4 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt.

A. $\frac{A_{80}^{4}}{A_{100}^{4}}$

B. $\frac{C_{80}^{4}}{C_{100}^{4}}$

C. $\frac{80!}{100!}$

D. $\frac{C_{20}^{4}}{C_{100}^{4}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Số cách chọn ra 4 sản phẩm từ hộp là $C_{100}^{4}$ .

Để 4 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt thì số cách là $C_{80}^{4}$ .

Vậy xác suất để 4 sản phẩm lấy ra đều là sản phẩm tốt là $\frac{C_{80}^{4}}{C_{100}^{4}}$ .

Câu 6:

Một hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông có cạnh bằng a. Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng

A. $S = π a^{2}$

B. $S = \frac{π a^{2}}{2}$

C. $S = 2 a^{2}$

D. $S = 2 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là $S = 2 π r l$ ;

Mà $r = \frac{a}{2}, l = a$ .

Vậy $S = 2 π \frac{a}{2} a = π a^{2}$ .

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình chiếu của điểm $M (1; - 3; 5)$ trên mặt phẳng $(O x y)$ có tọa độ là

A. $(1; - 3; 5)$

B. $(1; - 3; 0)$

C. $(1; - 3; 1)$

D. $(1; - 3; 2)$

Xem đáp án

Đáp án B

Hình chiếu của $M (1; - 3; 5)$ lên mặt phẳng $(O x y)$ thì sẽ có độ cao $z_{M} = 0$ hay tọa độ hình chiếu H của M lên mặt phẳng $(O x y)$ là $H (1; - 3; 0)$ .

Câu 8:

Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức

P = \frac{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} - \sqrt[3]{a b}

là

A. 0

B. $- 1$

C. 1

D. $- 2$

Xem đáp án

Đáp án A

P = \frac{a^{\frac{1}{3}} \sqrt{b} + b^{\frac{1}{3}} \sqrt{a}}{\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}} - \sqrt[3]{a b} = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}} a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} - {(a b)}^{\frac{1}{3}} = \frac{a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} (b^{\frac{1}{6}} + a^{\frac{1}{6}})}{a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}} - {(a b)}^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} - {(a b)}^{\frac{1}{3}} = 0

Câu 9:

Cho

f (x)

là hàm số lẻ và liên tục trên

[- a; a]

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$

B. $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 0$

C. $\int_{- a}^{a} f (x) d x = 2 \int_{- a}^{a} f (x) d x$

D. $\int_{- a}^{a} f (x) d x = - 2 \int_{0}^{a} f (x) d x$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{- a}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{a} f (x) d x$

Xét tích phân $\int_{- a}^{0} f (x) d x$ . Đặt $t = - x \Rightarrow d x = - d t$ . Đổi cận $\{\begin{cases} x = - a \Rightarrow t = a \\ x = 0 \Rightarrow t = 0 \end{cases}$

Do $f (x)$ là hàm số lẻ và liên tục trên $[- a; a]$ nên $f (- x) = - f (x) \Rightarrow f (- t) = - f (t)$

Khi đó $\int_{- a}^{0} f (x) d x = - \int_{a}^{0} f (- t) d t = - \int_{a}^{0} [- f (t)] d t = \int_{a}^{0} f (t) d t = - \int_{0}^{a} f (t) d t = - \int_{0}^{a} f (x) d x$

Vậy $\int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{- a}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{a} f (x) d x = - \int_{0}^{a} f (x) d x + \int_{0}^{a} f (x) d x = 0$

Câu 10:

Cho đồ thị hàm số $y = a^{x}$ và $y = \log_{b} x$ như hình vẽ.

Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho đồ thị hàm số y = a^x và logarit cơ số b của x như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng (ảnh 1)

A. $0 < a < \frac{1}{2} < b$

B. $0 < a < 1 < b$

C. $0 < b < 1 < a$

D. $0 < a < 1,0 < b < \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $y = a^{x}$ đi qua $(0; 1)$ suy ra đồ thị hàm số $(1)$ là đồ thị của hàm nghịch biến nên $0 < a < 1$ .

Xét đồ thị hàm số $y = \log_{b} x$ đi qua $(1; 0)$ suy ra đồ thị của hàm số (2) là đồ thị của hàm đồng biến suy ra $b > 1$ .

Vậy $0 < a < 1 < b$

Câu 11:

Điểm biểu diễn của số phức $z = \frac{1}{2 - 3 i}$ là:

A. $(3; - 2)$

B. $(\frac{2}{13}; \frac{3}{13})$

C. $(- 2; 3)$

D. $(4; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án B

$z = \frac{1}{2 - 3 i} = \frac{2 + 3 i}{(2 - 3 i) (2 + 3 i)} = \frac{2}{13} + \frac{3}{13} i$

Suy ra điểm biểu diễn của số phức $z = \frac{1}{2 - 3 i}$ là: $(\frac{2}{13}; \frac{3}{13})$ .

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = - 3 + t \\ z = 1 + t \end{cases}$ và mặt phẳng $(P) : m^{2} x - 2 m y + (6 - 3 m) z - 5 = 0$ . Tìm m để $d / / P$

A. $[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - 6 \end{array}$

B. $[\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 6 \end{array}$

C. $[\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - 6 \end{array}$

D. $m = - 6$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có d đi qua $M (2; - 3; 1)$ và có VTCP $\vec{u} (- 1; 1; 1)$

Và $(P)$ có vectơ pháp tuyến: $\vec{n} (m^{2}; - 2 m; 6 - 3 m)$

Để $d / / (P)$ thì $\{\begin{cases} \vec{u} ⊥ \vec{n} \\ M \notin (P) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{u} . \vec{n} = 0 \\ M \notin (P) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} (- 1) . m^{2} - 2 m + 6 - 3 m = 0 \\ 2 m^{2} - 2 (- 3) m + 6 - 3 m - 5 \neq 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - m^{2} - 5 m + 6 = 0 \\ 2 m^{2} + 3 m + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m = - 6$ và $m = 1$ .

Câu 13:

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z = 0$ cắt các tia $O x, O y, O z$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ (khác O). Phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là

A. $\frac{x}{2} - \frac{y}{4} - \frac{z}{6} = 1$

B. $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1$

C. $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 0$

D. $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} - \frac{z}{6} = 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Do cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z = 0$ cắt các tia $O x, O y, O z$ lần lượt tại các điểm $A, B, C$ (khác O) nên $A (2; 0; 0), B (0; 4; 0), C (0; 0; 6)$ .

Phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là: $\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1$ .

Câu 14:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết cạnh bên

S A = 2 a

và vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{4 a^{3}}{3}$

B. $2 a^{3}$

C. $\frac{a^{3}}{3}$

D. $\frac{2 a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S_{A B C D} . S A = \frac{1}{3} a^{2} .2 a = \frac{2 a^{3}}{3}

Câu 15:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định, liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số $y = |f (x)|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án B

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị $y = f (x)$ có 2 điểm cực trị nằm phía trên trục Ox và cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất. Suy ra đồ thị $y = |f (x)|$ sẽ có 3 điểm cực trị.

Câu 16:

Hai người A, B đang chạy xe ngược chiều nhau thì xảy ra va chạm, hai xe tiếp tục di chuyển theo chiều của mình thêm một quãng đường nữa thì dừng hẳn. Biết rằng sau khi va chạm, một người di chuyển tiếp với vận tốc

v_{1} (t) = 6 - 3 t

mét trên giây, người còn lại di chuyển với vận tốc

v_{2} (t) = 12 - 4 t

mét trên giây. Tính khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn.

A. 25 mét

B. 22 mét

C. 20 mét

D. 24 mét

Xem đáp án

Đáp án D

Thời gian người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm là: $6 - 3 t = 0 \Leftrightarrow t = 2$ giây.

Quãng đường người thứ nhất di chuyển sau khi va chạm là: $S_{1} = \int_{0}^{2} (6 - 3 t) d t = (6 t - \frac{3 t^{2}}{2}) |\begin{array}{l} ^{2} \\ _{0} \end{array} = 6$ mét.

Thời gian người thứ hai di chuyển sau khi va chạm là: $12 - 4 t = 0 \Leftrightarrow t = 3$ giây.

Quãng đường người thứ hai di chuyển sau khi va chạm là: $S_{2} = \int_{0}^{3} (12 - 4 t) d t = (12 t - 2 t^{2}) |\begin{array}{l} ^{3} \\ _{0} \end{array} = 18$ mét.

Khoảng cách hai xe khi đã dừng hẳn là: $S = S_{1} + S_{2} = 6 + 18 = 24$ mét.

Câu 17:

Cho hàm số

f (x) = \frac{x - m^{2}}{x + 8}

với m là tham số thực. Giả sử

m_{0}

là giá trị dương của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn

[0; 3]

bằng

- 3

. Giá trị

m_{0}

thuộc khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây?

A. $(2; 5)$

B. $(1; 4)$

C. $(6; 9)$

D. $(20; 25)$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét hàm số $f (x) = \frac{x - m^{2}}{x + 8}$ trên $[0; 3]; f^{'} (x) = \frac{8 + m^{2}}{{(x + 8)}^{2}} > 0$ nên hàm số đồng biến trên $[0; 3]$ . Suy ra $\min_{[0; 3]} f (x) = f (0) = - \frac{m^{2}}{8}$

Ta có $\min_{[0; 3]} f (x) = - 3 \Leftrightarrow - \frac{m^{2}}{8} = - 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \sqrt{6} \\ m = - 2 \sqrt{6} \end{array}$

$\Rightarrow m_{0} = 2 \sqrt{6} \in (2; 5)$ .

Câu 18:

Cho số phức $z = a + b i$ , với $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a + b i + 2 i (a - b i) + 4 = i$ , với i là đơn vị ảo. Tìm mô đun của $ω = 1 + z + z^{2}$

A. $|ω| = \sqrt{229}$

B. $|ω| = \sqrt{13}$

C. $|ω| = 229$

D. $|ω| = 13$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $a + b i + 2 i (a - b i) + 4 = i \Leftrightarrow \{\begin{cases} a + 2 b = - 4 \\ b + 2 a = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 3 \end{cases}$ . Suy ra $z = 2 - 3 i$ .

Do đó $ω = 1 + z + z^{2} = - 2 - 15 i$ . Vậy $|ω| = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 15)}^{2}} = \sqrt{229}$ .

Câu 19:

Cho hình lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy là tam giác đều cạnh a,

A^{'} B

tạo với mặt phẳng đáy góc

60 °

. Thể tích khối lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

bằng

A. $\frac{3 a^{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3}}{4}$

C. $\frac{3 a^{3}}{4}$

D. $\frac{3 a^{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án C

Góc giữa $A^{'} B$ và $(A B C)$ là $\hat{A^{'} B A} = 60 °$ .

$A A^{'} = A B . \tan 60 ° = a \sqrt{3}$ .

S_{Δ A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \Rightarrow V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} . S_{Δ A B C} = \frac{3 a^{3}}{4}

.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, A'B tạo với mặt phẳng đáy góc 60 độ . Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng (ảnh 1)

Câu 20:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên $ℝ$ biết $f^{'} (x) = x^{2} (x - 1) {(x^{2} + x - 2)}^{3} {(x - 5)}^{4}$ . Số điểm cực trị của hàm số là

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $f^{'} (x) = x^{2} {(x - 1)}^{4} {(x + 2)}^{3} {(x - 5)}^{4}$ .

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (nghiệm bội 2), $x = 1$ (nghiệm bội 4), $x = 5$ (nghiệm bội 4), $x = - 2$ (nghiệm bội 3). Bảng xét dấu đạo hàm

Như vậy hàm số chỉ có 1 điểm cực trị.

Câu 21:

Cho

A = 2^{a} . {(2^{a} {.2}^{a^{2}} {.2}^{a^{3}} {...2}^{a^{9}})}^{a - 1}

. Giá trị của a khi

A = 2^{2^{5}}

?

A. $a = 2$

B. $a = \sqrt{2}$

C. $a = 5$

D. $a = 4$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $S = a + a^{2} + ... + a^{9} \Rightarrow a . S = a^{2} + a^{3} + ... + a^{10} \Rightarrow (a - 1) S = a^{10} - a$

$A = 2^{a} . {(2^{S})}^{a - 1} = 2^{S . (a - 1) + a} = 2^{a^{10}} = 2^{2^{5}} \Rightarrow a^{10} = 2^{5} \Rightarrow a^{10} = {(\sqrt{2})}^{10} \Rightarrow a = \sqrt{2}$

Câu 22:

Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a, có diện tích xung quanh là

A. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{3}}{3}$

B. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{2}}{3}$

C. $S_{x q} = \frac{π a^{2}}{3}$

D. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử hình nón ngoại tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a như hình vẽ bên. Ta có:

+) Bán kính đáy $R = O C = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

+) Độ dài đường sinh $l = A C = a$ .

Vậy diện tích xung quanh hình nón $S_{x q} = π R l = π . \frac{a \sqrt{3}}{3} a = \frac{π a^{2} \sqrt{3}}{3}$ .

Câu 23:

Cho hàm số

y = f (x) = e^{\frac{1}{x (x + 1)}}

. Tính giá trị biểu thức

T = f (1) . f (2) ... f (2017) . \sqrt[2018]{e}

A. $T = 1$

B. $T = e$

C. $T = \frac{1}{e}$

D. $T = e^{\frac{1}{2018}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f (x) = e^{\frac{1}{x (x + 1)}} \Leftrightarrow f (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}}}{e^{\frac{1}{x + 1}}}$

$\Rightarrow T = f (1) . f (2) ... f (2017) . \sqrt[2018]{e} = \frac{e}{e^{\frac{1}{2}}} . \frac{e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{3}}} ... \frac{e^{\frac{1}{2017}}}{e^{\frac{1}{2018}}} . e^{\frac{1}{2018}} \Leftrightarrow T = e$

Câu 24:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và có đạo hàm trên $ℝ \ \{\pm 1\}$ . Hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số $y = f (x)$ có bao nhiêu tiệm cận?

A. 1

B. 4

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị có hai tiệm cận đứng là $x = 1, x = - 1$ và hai tiệm cận ngang là $y = - 3; y = 3$ .

Câu 25:

Kí hiệu $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - 2 z + 9 = 0$ . Giá trị của $|z_{1} + z_{2}| + |z_{1} - z_{2}|$ bằng

A. $2 + 4 \sqrt{2}$

B. $2 + 4 i \sqrt{2}$

C. 6

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình có $Δ = - 8 < 0$ , nên phương trình có 2 nghiệm phức là $z_{1} = 1 + 2 i \sqrt{2}; z_{2} = 1 - 2 i \sqrt{2}$ . Ta có $z_{1} + z_{2} = 2, z_{1} - z_{2} = 4 i \sqrt{2}$ .

Do đó $|z_{1} + z_{2}| + |z_{1} - z_{2}| = 2 + 4 \sqrt{2}$ .

Câu 26:

Để lấy nước tưới cây, ông An cần xây một bể chứa nước có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp đậy. Nếu bể cần có thể tích 50m³ và chiều dài gấp 4 lần chiều rộng thì chiều cao bằng bao nhiêu để chi phí vật liệu thấp nhất.

A. 4,5m

B. 5m

C. 2,5m

D. 2m

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi chiều rộng của bể là $x (m), x > 0$ . Khi đó chiều dài $4 x (m)$ và chiều cao $\frac{50}{4 x^{2}} = \frac{25}{2 x} (m)$ .

Diện tích các mặt cần xây: $S (x) = 4 x^{2} + 2 (x + 4 x) . \frac{25}{2 x^{2}} = 4 x^{2} + \frac{250}{2 x} (m^{2})$

$S^{'} (x) = 8 x - \frac{250}{2 x^{2}} = 0 \Leftrightarrow x^{3} = \frac{125}{8} \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}$

Chi phí thấp nhất khi $S (x)$ đạt giá trị nhỏ nhất trên $(0; + \infty)$ . Do đó $x = 2,5 (m)$ .

Câu 27:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm $M (1; 2; 3)$ , gọi $A, B, C$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M lên các trục $O x, O y, O z$ . Khi đó khoảng cách từ điểm $O (0; 0; 0)$ đến mặt phẳng $(A B C)$ có giá trị bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\sqrt{6}$

C. $\frac{6}{7}$

D. $\frac{1}{\sqrt{14}}$

Xem đáp án

Đáp án C

$A, B, C$ lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục $O x, O y, O z$ .

$\Rightarrow A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3)$

$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $(A B C)$ là $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$

$\Rightarrow d (O; (A B C)) = \frac{6}{\sqrt{6^{2} + 3^{2} + 2^{2}}} = \frac{6}{7}$ .

Câu 28:

Trong hình vẽ bên có đồ thị các hàm số $y = a^{x}, y = b^{x}, y = \log_{c} x$ . Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây?

Trong hình vẽ bên có đồ thị các hàm số y = a^x, y = b^x, y = logarit cơ số c của x . Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây (ảnh 1)

A. $a < c < b$

B. $c < a < b$

C. $a < b = c$

D. $b < c < a$

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số $y = a^{x}$ nghịch biến trên $ℝ$ nên ta có: $0 < a < 1$ .

Các hàm số $y = b^{x}, y = \log_{c} x$ đồng biến trên tập xác định của nó nên ta có: $\{\begin{cases} b > 1 \\ c > 1 \end{cases}$

Xét đồ thị hàm số $y = \log_{c} x$ , ta có: $\log_{c} 2 > 1 \Leftrightarrow c < 2$ .

Xét đồ thị hàm số $y = b^{x}$ , ta có: $b^{1} > 2 \Leftrightarrow b > 2$ .

Do đó: $0 < a < c < b$ .

Câu 29:

Tìm hệ số của $x^{6}$ trong khai triển ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1}$ với $x \neq 0$ , biết n là số nguyên dương thỏa mãn $3 C_{n + 1}^{2} + n P_{2} = 4 A_{n}^{2}$

A. $210 x^{6}$

B. $120 x^{6}$

C. 120

D. 210

Xem đáp án

Đáp án D

Từ phương trình $3 C_{n + 1}^{2} + n P_{2} = 4 A_{n}^{2} \Rightarrow n = 3$

Với $n = 3$ , ta có ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{3 n + 1} = {(\frac{1}{x} + x^{3})}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(\frac{1}{x})}^{10 - k} . {(x^{3})}^{k} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . x^{4 k - 10}$

Hệ số của $x^{6}$ ứng với $4 k - 10 = 6 \Leftrightarrow k = 4 \Rightarrow$ hệ số cần tìm $C_{10}^{4} = 210$ .

Câu 30:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(α) : x - 3 y + z = 0$ và $(β) : x + y - z + 4 = 0$ . Phương trình tham số của đường thẳng d là

A. $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = t \\ z = - 2 + 2 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = 2 - t \\ y = - t \\ z = - 2 - 2 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $y = t$ , ta có $\{\begin{cases} x + z = 3 t \\ x - z = - 4 - t \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = - 2 + t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}$

Vậy phương trình tham số của d là $\{\begin{cases} x = - 2 + t \\ y = t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}$

Câu 31:

Cho khối chóp S.ABC có

S A ⊥ (A B C)

, tam giác ABC vuông tại

B, A C = 2 a, B C = a,

S B = 2 a \sqrt{3}

. Tính góc giữa SA và mặt phẳng

(S B C)

.

A. $45 °$

B. $30 °$

C. $60 °$

D. $90 °$

Xem đáp án

Đáp án B

Kẻ $A H ⊥ S B (H \in S B)$ (1)

Theo giả thiết ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ S A \\ B C ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ A H$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra, $A H ⊥ (S B C)$ . Do đó góc giữa SA và mặt phẳng $(S B C)$ bằng góc giữa SA và SH bằng góc $\hat{A S H}$

Ta có $A B = \sqrt{A C^{2} - B C^{2}} = a \sqrt{3}$

Trong tam giác vuông $Δ S A B$ ta có $\sin A S B = \frac{A B}{S B} = \frac{a \sqrt{3}}{2 a \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ .

Vậy $\hat{A S B} = \hat{A S H} = 30 °$ . Do đó góc giữa SA và mặt phẳng $(S B C)$ bằng $30 °$ .

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ như hình bên.

Hỏi hàm số $g (x) = f (x^{2} - 5)$ có bao nhiêu khoảng nghịch biến?

Cho hàm số y = f(x) . Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên. Hỏi hàm số g(x) = f(x^2 - 5) có bao nhiêu khoảng nghịch biến (ảnh 1)

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $g^{'} (x) = 2 x . f^{'} (x^{2} - 5)$ ;

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f^{'} (x^{2} - 5) = 0 \end{array} \overset{t h e o d o t h i f^{'} (x)}{\leftarrow} [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - 5 = - 4 \\ x^{2} - 5 = - 1 \\ x^{2} - 5 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \\ x = \pm \sqrt{7} \end{array}$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

Câu 33:

Một trang trại mỗi ngày thu hoạch được một tấn rau. Mỗi ngày, nếu bán rau với giá 30000 đồng/kg thì hết sạch rau, nếu giá bán cứ tăng thêm 1 nghìn đồng/kg thì số rau thừa lại tăng thêm 20 kg. Số rau thừa này được thu mua làm thức ăn chăn nuôi với giá 2000 đồng/kg. Hỏi số tiền bán rau nhiều nhất trang trại có thể thu được mỗi ngày là bao nhiêu?

A. 32420000 đồng

B. 32400000 đồng

C. 34400000 đồng

D. 34240000 đồng

Xem đáp án

Đáp án A

Trang trại đó bán tăng x nghìn đồng thì số tiền bán mỗi một kg rau là $(30 + x)$ (nghìn đồng) $(x \geq 0)$ .

Số rau thừa là $20 x, (x \leq 50)$ .

Tổng số rau bán được là $(1000 - 20 x)$ kg.

Tổng số tiền thu được là: $T = (1000 - 20 x) (30 + x) + 20 x .2 = - 20 x^{2} + 440 x + 30000$

Ta có $T = - 20 x^{2} + 440 x + 30000 = 32420 - 20 {(x - 11)}^{2} \leq 32420$ nghìn đồng.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x = 11$ .

Vậy số tiền bán rau nhiều nhất mà trang trại có thể thu được mỗi ngày là 32420000 đồng.

Câu 34:

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình

(2 x^{2} - 5 x + 2) [\log_{x} (7 x - 6) - 2] = 0

bằng

A. $\frac{17}{2}$

B. 9

C. 8

D. $\frac{19}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện $\{\begin{cases} 0 < x \neq 1 \\ x > \frac{6}{7} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{6}{7} < x \neq 1 (*)$ .

Phương trình $(2 x^{2} - 5 x + 2) [\log_{x} (7 x - 6) - 2] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 \\ \log_{x} (7 x - 6) - 2 = 0 \end{array}$

+ Phương trình $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \frac{1}{2} \end{array}$ . Kết hợp với điều kiện $(*) \Rightarrow x = 2$ .

+ Phương trình $\log_{x} (7 x - 6) - 2 = 0 \Leftrightarrow 7 x - 6 = x^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 7 x + 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 6 \end{array}$

Kết hợp điều kiện $(*) \Rightarrow x = 6$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = 2; x = 6$ suy ra tổng các nghiệm bằng 8.

Câu 35:

Cho tam giác đều ABC có diện tích bằng

\sqrt{3}

quay xung quanh cạnh AC của nó. Tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành.

A. $V = \frac{7}{8} π$

B. $V = π$

C. $V = \frac{7}{4} π$

D. $V = 2 π$

Xem đáp án

Đáp án D

$S_{A B C} = \sqrt{3} \Rightarrow A B = B C = C A = 2$ . Chọn hệ trục vuông góc Oxy sao cho $O (0; 0), A (1; 0), C (0; - \sqrt{3})$ với O là trung điểm AC. Phương trình đường thẳng AB là $y = \sqrt{3} (x - 1)$ , thể tích khối tròn xoay khi quay ABO quanh trục AC (trùng Ox) tính bởi $V^{'} = π \int_{0}^{1} \sqrt{3} (x - 1) d x = π$ .

Vậy thể tích cần tìm $V = 2 V^{'} = 2 π$ .

Câu 36:

Cho lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 4. Hình chiếu vuông góc của

A^{'}

trên mp

(A B C)

trùng với tâm của đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

. Gọi M là trung điểm cạnh AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và

B^{'} C

bằng

A. 2

B. $\sqrt{2}$

C. 1

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC

$\Rightarrow G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có $A^{'} G ⊥ (A B C)$ .

Dựng hình chiếu H của $B^{'}$ trên mặt phẳng $(A B C) \Rightarrow$ Tứ giác ABHG là hình bình hành và $A G = B H = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, B H ⊥ B C$ .

Xét tam giác BHC vuông tại B, ta có: $\tan \hat{B C H} = \frac{B H}{B C} = \frac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \hat{B C H} = 30 °$

Do đó $\hat{A C H} = \hat{A C B} + \hat{B C H} = 90 °$ hay $A C ⊥ H C$ .

Mà $A C ⊥ B^{'} H$ . Do đó: $A C ⊥ B^{'} C$ tại C hay $M C ⊥ B^{'} C$ tại C (1)

Ta lại có $M C ⊥ B M$ tại M (2)

Từ (1),(2) $\Rightarrow M C$ là đoạn vuông góc chung của BM và $B^{'} C$ .

Do đó $d (B M, B^{'} C) = M C = 2$

Câu 37:

Cho hai số phức

z_{1}, z_{2}

thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau

|z - 1| = \sqrt{34}; |z + 1 + m i| = |z + m + 2 i|

(trong đó m là số thực) và sao cho

|z_{1} - z_{2}|

là lớn nhất. Khi đó giá trị của

|z_{1} + z_{2}|

bằng

A. $\sqrt{2}$

B. 10

C. 2

D. $\sqrt{130}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi M, N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức $z_{1}, z_{2}$ .

Gọi số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ .

Ta có $|z - 1| = \sqrt{34} \Rightarrow$ M, N thuộc đường tròn $(C)$ có tâm $I (1; 0)$ , bán kính $R = \sqrt{34}$ .

Mà $|z + 1 + m i| = |z + m + 2 i| \Leftrightarrow |(x + 1) + (y + m) i| = |(x + m) + (y + 2) i|$

$\Leftrightarrow (2 - 2 m) x + (2 m - 4) y - 3 = 0 \Rightarrow$ M, N thuộc đường thẳng $(d) : (2 - 2 m) x + (2 m - 4) y - 3 = 0$ .

Do đó M, N là giao điểm của d và đường tròn $(C)$ .

Ta có $|z_{1} - z_{2}| = M N$ nên $|z_{1} - z_{2}|$ lớn nhất $\Leftrightarrow$ MN lớn nhất.

$\Leftrightarrow$ MN là đường kính của đường tròn tâm I bán kính $\sqrt{34}$ .

Khi đó $|z_{1} + z_{2}| = 2 |\vec{O I}| = 2. O I = 2$

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, $A B = B C = a, A D = 2 a$ . Tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác S.ABC.

A. $6 π a^{2}$

B. $10 π a^{2}$

C. $3 π a^{2}$

D. $5 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi H là trung điểm AD, ta có $S H ⊥ (A B C D)$ .

Gọi M, I lần lượt là trung điểm AC, SB $\Rightarrow$ MI là trục đường tròn ngoại tiếp .

$\Rightarrow I A = I B = I C$ .

Mà $Δ S H B$ vuông tại $H \Rightarrow I S = I B = I H = \frac{S B}{2}$ .

Do đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác S.ABC.

Ta có $S H = a \sqrt{3}, B H = a \sqrt{2} \Rightarrow S B = a \sqrt{5} \Rightarrow R = \frac{S B}{2} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác S.ABC là $4 π R^{2} = 4 π \frac{5 a^{2}}{4} = 5 π a^{2}$

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm

A (- 1; 2; 2), B (3; - 1; - 2), C (- 4; 0; 3)

. Tọa độ điểm I trên mặt phẳng

(O x z)

sao cho biểu thức

|\vec{I A} - 2 \vec{I B} + 3 \vec{I C}|

đạt giá trị nhỏ nhất là

A. $I (- \frac{19}{2}; 0; \frac{15}{2})$

B. $I (- \frac{19}{2}; 0; - \frac{15}{2})$

C. $I (\frac{19}{2}; 0; \frac{15}{2})$

D. $I (\frac{19}{2}; 0; - \frac{15}{2})$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $K (x_{K}; y_{K}; z_{K})$ sao cho: $\vec{K A} - 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C} = \vec{0} \Rightarrow K (- \frac{19}{2}; 2; \frac{15}{2})$

Ta có: $|\vec{I A} - 2 \vec{I B} + 3 \vec{I C}| = |\vec{I K} + \vec{K A} - 2 (\vec{I K} + \vec{K B}) + 3 (\vec{I K} + \vec{K C})|$

$= |2 \vec{I K} + (\vec{K A} - 2 \vec{K B} + 3 \vec{K C})| = |2 \vec{I K}| = 2 I K$

Do đó: ${|\vec{I A} - 2 \vec{I B} + 3 \vec{I C}|}_{\min} \Leftrightarrow I K_{\min} \Leftrightarrow I K ⊥ (O x z)$

Hay I là hình chiếu vuông góc của K lên $(O x z) \Rightarrow I (- \frac{19}{2}; 0; \frac{15}{2})$ .

Câu 40:

Cho

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2 + 3 \tan x}}{1 + \cos 2 x} d x = a \sqrt{5} + b \sqrt{2}

, với

a, b \in ℝ

. Giá trị biểu thức

A = a + b

là

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{7}{12}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{4}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2 + 3 \tan x}}{1 + \cos 2 x} d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2 + 3 \tan x}}{2 \cos^{2} x} d x$

Đặt $u = \sqrt{2 + 3 \tan x} \Rightarrow u^{2} = 2 + 3 \tan x \Rightarrow 2 u d u = \frac{3}{\cos^{2} x} d x$

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow u = \sqrt{2}$

$x = \frac{π}{4} \Rightarrow u = \sqrt{5}$ . Khi đó $I = \frac{1}{3} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} u^{2} d u = \frac{1}{9} u^{3} |\begin{array}{l} ^{\sqrt{5}} \\ _{\sqrt{2}} \end{array} = \frac{5 \sqrt{5}}{9} - \frac{2 \sqrt{2}}{9}$

Do đó $a = \frac{5}{9}, b = - \frac{2}{9} \Rightarrow a + b = \frac{1}{3}$ .

Câu 41:

Ông B gửi 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,8%/ tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho tháng tiếp theo và từ tháng thứ hai trở đi, mỗi tháng ông B gửi thêm vào tài khoản với số tiền 2 triệu đồng. Hỏi sau đúng 2 năm số tiền ông B nhận được cả gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Biết rằng trong suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông B không rút tiền ra (kết quả được làm tròn đến hàng nghìn).

A. 169.871.000 đồng

B. 171.761.000 đồng.

C. 173.807.000 đồng

D. 169.675.000 đồng.

Xem đáp án

Đáp án B

Với 100 triệu ban đầu số tiền cả lãi và gốc thu được sau hai năm là $T_{1} = 100. {(1 + 0,8 %)}^{24} {.10}^{6} = 121074524$

Mỗi tháng tiếp theo gửi 2 triệu thì tổng số tiền cả lãi và gốc là $T_{2} = \frac{2}{0,008} . [{(1 + 0,008)}^{23} - 1] . (1 + 0,008) 10^{6} = 50686310$

Vậy tổng số tiền là

T = T_{1} + T_{2} = 171.761.000

Câu 42:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số $g (x) = f (- x^{2} + 3 x)$ đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số g(x) = f(-x^2 + 3x) đồng biến trên khoảng nào (ảnh 1)

A. $(0; 1)$

B. $(1; 2)$

C. $(4; + \infty)$

D. $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $g^{'} (x) = (- 2 x + 3) . f^{'} (- x^{2} + 3 x)$ ;

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 2 x + 3 = 0 \\ f^{'} (- x^{2} + 3 x) = 0 \end{array} \overset{t h e o d o t h i f (x)}{\leftarrow} [\begin{array}{l} x = \frac{3}{2} \\ - x^{2} + 3 x = - 2 \\ - x^{2} + 3 x = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{3}{2} \\ x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \\ x = 0 \\ x = 3 \end{array}$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.

Câu 43:

Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

m + \sqrt{m + 1 + \sqrt{1 + \sin x}} = \sin x

có nghiệm là

[a; b]

. Giá trị của

a + b

bằng

A. 4

B. $\frac{1}{2} - \sqrt{2}$

C. 3

D. $- \frac{1}{4} - \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $\Leftrightarrow (m + 1 + \sqrt{1 + \sin x}) + \sqrt{m + 1 + \sqrt{1 + \sin x}} = (1 + \sin x) + \sqrt{1 + \sin x}$

Xét hàm số $f (t) = t^{2} + t$ với $t \in [0; + \infty)$ .

Hàm này đồng biến trên $[0; + \infty)$ nên suy ra $f (\sqrt{m + 1 + \sqrt{1 + \sin x}}) = f (\sqrt{1 + \sin x})$

$\Leftrightarrow \sqrt{m + 1 + \sqrt{1 + \sin x}} = \sqrt{1 + \sin x} \Leftrightarrow m + 1 + \sqrt{1 + \sin x} = 1 + \sin x \Leftrightarrow m = \sin x - \sqrt{1 + \sin x}$

Đặt $u = \sqrt{1 + \sin x}$ , vì $\sin x \in [- 1; 1] \Leftarrow u \in [0; \sqrt{2}]$

Phương trình trở thành: $m = u^{2} - u - 1$

Xét hàm $g (u) = u^{2} - u - 1$ với $u \in [0; \sqrt{2}]$

Ta có $g^{'} (u) = 2 u - 1; g^{'} (u) = 0 \Leftrightarrow u = \frac{1}{2}$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow - \frac{5}{4} \leq m \leq 1 - \sqrt{2}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} a = - \frac{5}{4} \\ b = 1 - \sqrt{2} \end{cases} \Rightarrow a + b = - \frac{1}{4} - \sqrt{2}$

Câu 44:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên $[\frac{1}{2}; 2]$ và thỏa mãn $f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x$ .Tính tích phân $I = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x$ .

A. $I = \frac{1}{2}$

B. $I = \frac{3}{2}$

C. $I = \frac{5}{2}$

D. $I = \frac{7}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Từ giả thiết, thay x bằng $\frac{1}{x}$ ta được $f (\frac{1}{x}) + 2 f (x) = \frac{3}{x}$

Do đó ta có hệ $\{\begin{cases} f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x \\ f (\frac{1}{x}) + 2 f (x) = \frac{3}{x} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = 3 x \\ 4 f (x) + 2 f (\frac{1}{x}) = \frac{6}{x} \end{cases} \Rightarrow f (x) = \frac{2}{x} - x$

Khi đó

I = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} (\frac{2}{x^{2}} - 1) d x = (- \frac{2}{x} - x) |\begin{array}{l} ^{2} \\ _{\frac{1}{2}} \end{array} = \frac{3}{2}

Câu 45:

Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính R, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện.

Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính R, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất có thể của viên đá cảnh sau khi đã hoàn thiện (ảnh 1)

A. $\frac{4 \sqrt{3} π R^{3}}{3}$

B. $\frac{4 \sqrt{3} π R^{3}}{9}$

C. $\frac{4 \sqrt{3} π R^{3}}{6}$

D. $\frac{3 \sqrt{3} π R^{3}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án B

Giả sử 2x là chiều cao hình trụ $(0 < x < R)$ (xem hình vẽ)

Bán kính của khối trụ là $r = \sqrt{R^{2} - x^{2}}$ . Thể tích khối trụ là: $V = π (R^{2} - x^{2}) 2 x$

Xét hàm số $V (x) = π (R^{2} - x^{2}) 2 x,0 < x < R$ ,

Có $V^{'} (x) = 2 π (R^{2} - 3 x^{2}) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{R \sqrt{3}}{3}$

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là $\frac{2 R \sqrt{3}}{3}; V_{\max} = \frac{4 π R^{3} \sqrt{3}}{9}$

Câu 46:

Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn có độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình tròn có bán kính bằng 60 cm. Tính thể tích V của chiếc trống (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

A. $V = 344963$ cm³

B. $V = 344964$ cm³

C. $V = 208347$ cm³

D. $V = 208346$ cm³

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ (trục hoành là trục của chiếu trống, gốc tọa độ là trung điểm của đường cao chiếu trống, đơn vị: dm).

Gọi $(E)$ là elip có phương trình $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ thì ảnh của $(E)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u} (0; 6)$ là elip $(E^{'})$ có phương trình $\frac{x^{2}}{16} + \frac{{(y - 6)}^{2}}{9} = 1$ .

Suy ra, phương trình của đường sinh là: $y = 6 - \frac{3}{4} \sqrt{16 - x^{2}}$

Do đó, thể tích của chiếc trống là:

V = π \int_{- 4}^{4} {(6 - \frac{3}{4} \sqrt{16 - x^{2}})}^{2} d x \approx 344,964 (d m^{3})

.

Câu 47:

Trong không gian Oxyz, cho $A (0; 1; 2), B (0; 1; 0), C (3; 1; 1)$ và mặt phẳng $(Q) : x + y + z - 5 = 0$ .Xét điểm M thay đổi thuộc $(Q)$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$ bằng

A. 12

B. 0

C. 8

D. 10

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ và $G (1; 1; 1)$

Khi đó ta có: $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {\vec{M A}}^{2} + {\vec{M B}}^{2} + {\vec{M C}}^{2}$

$= {(\vec{M G} + \vec{G A})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G B})}^{2} + {(\vec{M G} + \vec{G C})}^{2}$

$= 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2} + 2 \vec{M G} (\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C}) = 3 {\vec{M G}}^{2} + {\vec{G A}}^{2} + {\vec{G B}}^{2} + {\vec{G C}}^{2}$

$= 3 M G^{2} + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$

Do các điểm A, B, C, G cố định nên $G A^{2} + G B^{2} + G C^{2}$ không đổi.

Suy ra $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$ \nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất. Do đó M là hình chiếu vuông góc của G lên $(Q) \Rightarrow M G = d (G; (Q)) = \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow 3 M G^{2} = 4$

Lại có: $G A^{2} = 2; G B^{2} = 2; G C^{2} = 4$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2}$ bằng 12.

Câu 48:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng

(P)

chứa BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa hai mặt phẳng

(P)

và

(B C D)

có số đo là

α

thỏa mãn

\tan α = \frac{5 \sqrt{2}}{7}

. Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE và BCDE lần lượt là

V_{1}, V_{2}

. Tính tỉ số

\frac{V_{1}}{V_{2}}

.

A. $\frac{3}{8}$

B. $\frac{1}{8}$

C. $\frac{3}{5}$

D. $\frac{5}{8}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $(P) \equiv (E B C)$

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, F là trung điểm của BC và $I = A G \cap E F$

Do ABCD là tứ diện đều $\Rightarrow A G ⊥ (B C D) \Rightarrow A G ⊥ F D$

$A G = \sqrt{A D^{2} - D G^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Mặt khác: ABCD là tứ diện đều nên $A F ⊥ B C (A B = A C)$ và $D F ⊥ B C (A B = A C)$ $\Rightarrow (A F D) ⊥ B C \Rightarrow E F ⊥ B C$

Ta có: $\{\begin{cases} E F ⊥ B C \\ D F ⊥ B C \\ (P) \cap (D B C) = B C \end{cases} \Rightarrow ((E B C), (D B C)) = (E F, D F) = \hat{E F D}$ (vì $A G ⊥ F D$ ). $\Rightarrow \hat{E F D} = α$

$I G = F G . \tan α = \frac{a \sqrt{3}}{6} . \frac{5 \sqrt{2}}{7} = \frac{5 a \sqrt{6}}{42}$

Dựng $E K / / F D, K \in A G$ và đặt $\frac{A E}{A D} = x$

$\frac{E K}{G D} = x \Rightarrow \frac{E K}{2 F G} = x \Rightarrow \frac{E K}{F G} = 2 x \Rightarrow \frac{I K}{I G} = 2 x \Rightarrow I K = 2 x . I G = 2 x . \frac{5 a \sqrt{6}}{42}$

Suy ra: $\frac{A K}{A G} = x \Rightarrow A K = x A G = x . \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Ta có: $A G = A K + I K + I G \Leftrightarrow \frac{a \sqrt{6}}{3} = x . \frac{a \sqrt{6}}{3} + 2 x . \frac{5 a \sqrt{6}}{42} + \frac{5 a \sqrt{6}}{42} \Rightarrow x = \frac{3}{8}$

$\Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{1} + V_{2}} = \frac{A E}{A D} = \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{3}{5}$ .

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Mặt phẳng (P) chứa BC cắt cạnh AD tại E. Biết góc giữa hai mặt phẳng P và BCD có số đo là a thỏa mãn tana = 5 căn bậc 2 của 2/ . Gọi thể tích của hai tứ diện ABCE và BCDE lần lượt là . Tính tỉ số (ảnh 1)

Câu 49:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng $(P) : 2 x - y - z - 2 = 0$ , $(Q) : x - 2 y + z + 2 = 0, (R) : x + y - 2 z + 2 = 0$ và $(T) : x + y + z = 0$ . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc $(T)$ và tiếp xúc với $(P), (Q), (R)$ ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử mặt cầu $(S)$ có tâm $I = (a; b; c) \in (T) \Rightarrow a + b + c = 0$

Theo đề bài, ta có $d [I, (P)] = d [I, (Q)] = d [I, (R)]$

$\Leftrightarrow \frac{|2 a - b - c - 2|}{\sqrt{6}} = \frac{|a - 2 b + c + 2|}{\sqrt{6}} = \frac{|a + b - 2 c + 2|}{\sqrt{6}}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} |2 a - b - c - 2| = |a - 2 b + c + 2| \\ |2 a - b - c - 2| = |a + b - 2 c + 2| \end{cases} \overset{a + b + c = 0}{\leftrightarrow} \{\begin{cases} |3 a - 2| = |3 b - 2| \\ |3 a - 2| = |3 c - 2| \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} a = b \\ 3 a + 3 b = 4 \end{array} \\ [\begin{array}{l} a = c \\ 3 a + 3 c = 4 \end{array} \end{cases}$

Trường hợp 1 $\{\begin{cases} a + b + c = 0 \\ a = b \\ a = c \end{cases} \Rightarrow I (0; 0; 0)$

Tương tự cho ba trường hợp còn lại ta chọn được đáp án D.

Câu 50:

Xét các số phức

z_{1} = x - 2 + (y + 2) i; z_{2} = x + y i (x, y \in ℝ, |z_{1}| = 1)

. Phần ảo của số phức

z_{2}

có môđun lớn nhất bằng

A. $- 5$

B. $- (2 + \frac{\sqrt{2}}{2})$

C. $2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $M (x; y)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z_{2}$

Ta có: $|z_{1}| = 1 \Leftrightarrow |x - 2 + (y + 2) i| = 1 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 1 (T)$ .

Đường tròn $(T)$ có tâm $I (2; - 2)$ , bán kính $R = 1$ , có $O I = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$

Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $z_{2}$ là đường tròn $(C)$ có tâm O, bán kính OM.

Bài yêu cầu: Tìm số phức $z_{2}$ có: $|z_{2}| = x^{2} + y^{2}$ lớn nhất.

Bài toán trở thành: Tìm vị trí điểm $M (x; y) \in (C)$ sao cho $O M_{\max} \Leftrightarrow O M = O I + R = 2 \sqrt{2} + 1$

$\frac{|\vec{O M}|}{|\vec{O I}|} = \frac{2 \sqrt{2} + 1}{2 \sqrt{2}} = 1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}} \Rightarrow \vec{O M} = (1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) . \vec{O I} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{M} = (1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) . x_{1} \\ y_{M} = (1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) . y_{1} \end{cases}$

$\Rightarrow y_{M} = (1 + \frac{1}{2 \sqrt{2}}) . (- 2) = - 2 - \frac{\sqrt{2}}{2} = - (2 + \frac{\sqrt{2}}{2})$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 7)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan