50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 18)

Câu 1:

Cho hàm số $f (x)$ có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu đạo hàm dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là sai (ảnh 1)

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

Từ bảng xét dấu đạo hàm ta thấy trên khoảng $(0; + \infty)$ hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 1)$ và đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$ . Vậy kết luận hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ là sai.

Câu 2:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số nào sau đây (ảnh 1)

A. $y = x^{3} - 2 x^{2} + 3$

B. $y = - x^{3} + 2 x^{2} + 3$

C. $y = x^{4} - 3 x^{2} + 3$

D. $y = - x^{3} - 2 x^{2} + 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Đồ thị hàm số có hình dạng của hàm bậc ba nên loại đáp án C.

Hàm số có hệ số $a > 0$ nên chọn đáp án A.

Câu 3:

Với a là số thực dương tùy ý khác 1 và b là số thực tùy ý, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $a = \log_{b} (a^{b})$

B. $b = {(a^{b})}^{a}$

C. $b = {(b^{a})}^{b}$

D. $b = \log_{a} (a^{b})$

Xem đáp án

Đáp án D

Theo tính chất của logarit, ta có $\log_{a} (a^{b}) = b$

Câu 4:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Đồ thị của hàm số $y = 2^{x}$ và $y = \log_{2} x$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = - x$

B. Đồ thị của hai hàm số $y = e^{x}$ và $y = \ln x$ đối xứng với nhau qua đuường thẳng $y = x$

C. Đồ thị của hai hàm số $y = 2^{x}$ và $y = \frac{1}{2^{x}}$ đối xứng với nhau qua trục hoành

D. Đồ thị của hai hàm số $y = \log_{2} x$ và $y = \log_{2} \frac{1}{x}$ đối xứng với nhau qua trục tung

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ và đồ thị hàm số $y = \log_{a} x$ đối xứng với nhau qua đường phân giác góc phần tư thứ nhất $(y = x)$

Câu 5:

Nếu

\int_{1}^{2} f (x) d x = 3, \int_{2}^{5} f (x) d x = - 1

thì

\int_{1}^{5} f (x) d x

bằng

A. 2

B. -2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

$\int_{1}^{5} f (x) d x = \int_{1}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{5} f (x) d x = 3 - 1 = 2$

Câu 6:

Đặt $I = \int_{1}^{2} (2 m x + 1) d x$ , m là tham số thực. Tìm m để $I = 4$ .

A. $m = 2$

B. $m = - 2$

C. $m = 1$

D. $m = - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

$I = \int_{1}^{2} (2 m x + 1) d x = (m x^{2} + x) |_{1}^{2} = 4 m + 2 - m - 1 = 3 m + 1$ .

$I = 4 \Leftrightarrow m = 1$

Câu 7:

Cho số phức $z_{1} = 2 - i, z_{2} = 1 + 2 i$ . Môđun của số phức $w = z_{1} + z_{2} - 3$ là

A. $|w| = 1$

B. $|w| = 5$

C. $|w| = 4$

D. $|w| = 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $w = 2 - i + 1 + 2 i - 3 = i \Rightarrow |w| = 1$

Câu 8:

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao 3h là

A. $V = 3 B h$

B. $V = B h$

C. $V = 2 B h$

D. $V = \frac{1}{3} B h$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

V = h^{'} . S_{d ¸ y} = 3 h B = 3 B h

Câu 9:

Cho đường thẳng cố định d, tập hợp các đường thẳng song song với d cách d một khoảng không đổi là

A. Hình trụ xoay tròn

B. Mặt trụ tròn xoay

C. Khối trụ tròn xoay

D. Mặt nón tròn xoay

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào định nghĩa sách giáo khoa ta có đáp án là mặt trụ tròn xoay.

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{- 2}$ . Một vectơ chỉ phương của d là:

A. $\vec{u_{1}} (1; - 1; 2)$

B. $\vec{u_{2}} (- 1; - 1; 2)$

C. $\vec{u_{4}} (1; 1; - 2)$

D. $\vec{u_{3}} (2; 1; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Một vectơ chỉ phương của d là $\vec{u_{1}} (1; - 1; 2)$

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\vec{a} = (2; 1; - 2)$ và vectơ $\vec{b} = (1; 0; 2)$ . Tìm tọa độ vectơ $\vec{c}$ là tích có hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$

A. $\vec{c} = (2; 6; - 1)$

B. $\vec{c} = (4; 6; - 1)$

C. $\vec{c} = (4; - 6; - 1)$

D. $\vec{c} = (2; - 6; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án D

Áp dụng công thức tính tích có hướng trong hệ trục tọa độ Oxyz ta được $\vec{c} = [\vec{a}; \vec{b}] = (2; - 6; - 1)$

Câu 12:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (1; 2; 3), B (- 3; 0; 1)$ . Mặt cầu nhận AB làm đường kính có phương trình là

A. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 6$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 6$

C. ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 6$

D. ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 6$

Xem đáp án

Đáp án A

$I = (- 1; 1; 2)$ là trung điểm của AB và $R = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} \sqrt{{(- 3 - 1)}^{2} + {(0 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

Vậy phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính là

{(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = \frac{3}{2}

Câu 13:

Từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. $7^{4}$

B. $P_{7}$

C. $C_{7}^{4}$

D. $A_{7}^{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Số các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ 7 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là $A_{7}^{4}$ số.

Câu 14:

Cho cấp số nhân

(u_{n})

có số hạng đầu

u_{1} = 2

và công bội

q = 3

. Giá trị

u_{2019}

bằng

A. ${2.3}^{2018}$

B. ${3.2}^{2018}$

C. ${2.3}^{2019}$

D. ${3.2}^{2019}$

Xem đáp án

Đáp án A

Áp dụng công thức của số hạng tổng quát $u_{n} = u_{1} . q^{n - 1} = {2.3}^{2018}$

Câu 15:

Đường thẳng $y = x + 1$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ tại hai điểm M, N. Độ dài đoạn thẳng MN bằng

A. $\sqrt{2}$

B. 2

C. $2 \sqrt{2}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = x + 1$ và đồ thị hàm số $y = \frac{2 x - 1}{x - 1}$ là nghiệm của phương trình $x + 1 = \frac{2 x - 1}{x - 1} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x = 0, (x \neq 1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ .

Giả sử $M (0; 1), N (2; 3)$ . Độ dài đoạn thẳng $M N = 2 \sqrt{2}$

Câu 16:

Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

y = x^{3} - 3 x + 1

luôn cắt đường thẳng

y = m

tại ba điểm phân biệt

A. $- 1 \leq m \leq 1$

B. $- 1 < m < 3$

C. $- 1 < m \leq 1$

D. $- 1 \leq m \leq 3$

Xem đáp án

Đáp án B

TXĐ: $D = R$ .

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \end{array}$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên để đồ thị hàm số $y = x^{3} - 3 x + 1$ luôn cắt đường thẳng $y = m$ tại ba điểm phân biệt thì $- 1 < m < 3$

Câu 17:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn $[- 20; 10]$ để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} - 4 x + m}}$ có hai đường tiệm cận đứng?

A. 20

B. 21

C. 22

D. 23

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng $\Leftrightarrow$ phương trình $x^{2} - 4 x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác $- 2$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2^{2} - m > 0 \\ {(- 2)}^{2} - 4. (- 2) + m \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 4 \\ m \neq - 12 \end{cases}$ .

Do m nguyên và $m \in [- 20; 10]$ nên $m \in \{- 20; - 19; ...; - 13; - 11; ...; 2; 3\}$ , gồm 23 giá trị thỏa mãn.

Câu 18:

Cho hàm số

y = \sin x + 2

. Tìm giá trị cực đại của hàm số trên đoạn

[- π; π]

A. 1

B. $\frac{π}{2}$

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Tập xác định: $D = R$ .

$y^{'} = \cos x$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

Do $x \in [- π; π]$ nên x thuộc $\{- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}\}$

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: giá trị cực đại của hàm số là 3 trên đoạn $[- π; π]$ .

Câu 19:

Cho hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số y = ax^4 + bx^2 + c có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng (ảnh 1)

A. $a > 0, b < 0, c < 0$

B. $a < 0, b < 0, c < 0$

C. $a < 0, b > 0, c < 0$

D. $a > 0, b < 0, c > 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\lim_{x \to \pm \infty} y = - \infty$ nên $a < 0$ .

Khi $x = 0$ suy ra $y = c$ . Đồ thị cắt trục Oy tại $y = - 3 \Rightarrow c = - 3 < 0$

Ta có: $y^{'} = 4 a x^{3} + 2 b x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = - \frac{b}{2 a} \end{array}$

Đồ thị hàm số có 3 cực trị nên $- \frac{b}{2 a} > 0 \Rightarrow a b < 0 \Rightarrow b > 0$

Câu 20:

Nếu $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}} > a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ và $\log_{b} (\frac{3}{4}) < \log_{b} (\frac{4}{5})$ thì

A. $0 < a < 1, b > 1$

B. $0 < b < 1, a > 1$

C. $a > 1, b > 1$

D. $0 < a < 1, 0 < b < 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Do $\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{\sqrt{2}}{2}$ và $a^{\frac{\sqrt{3}}{3}} > a^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ nên suy ra $0 < a < 1$

Do $\frac{3}{4} < \frac{4}{5}$ và $\log_{b} (\frac{3}{4}) < \log_{b} (\frac{4}{5})$ nên suy ra $b > 1$

Câu 21:

Cho các hàm số $y = \log_{a} x, y = b^{x}, y = c^{x}$ có đồ thị như hình bên. Chọn khẳng định đúng.

Cho các hàm số y = logarit cơ số a của x , y = b^x , y = c^x có đồ thị như hình bên. Chọn khẳng định đúng (ảnh 1)

A. $c > b > a$

B. $a > b > c$

C. $b > c > a$

D. $b > a > c$

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào đồ thị ta suy ra $0 < a < 1; b, c > 1$ .

Dựa vào giao điểm của đường thẳng $x = 1$ với các đồ thị hàm số $y = b^{x}, y = c^{x}$ ta suy ra $c < b$

Vậy $b > c > a$

Câu 22:

Tập nghiệm của bất phương trình ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2} > 2^{4 - 3 x}$ là

A. $(- \infty; 1)$

B. $(2; + \infty)$

C. $(1; 2)$

D. $(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

+ Ta có: ${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - 2} > 2^{4 - 3 x} \Leftrightarrow 2^{2 - x^{2}} > 2^{4 - 3 x}$

$\Leftrightarrow 2 - x^{2} > 4 - 3 x \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 2$

Vậy $x \in (1; 2)$

Câu 23:

Tìm nguyên hàm

F (x) = \int \sin^{2} 2 x d x

A. $F (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \cos 4 x + C$

B. $F (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \sin 4 x + C$

C. $F (x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \sin 4 x$

D. $F (x) = \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} \sin 4 x + C$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $F (x) = \int \sin^{2} 2 x d x = \int \frac{1 - \cos 4 x}{2} d x = \frac{1}{2} \int 1 d x - \frac{1}{2} \int \cos 4 x d x$

$= \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \int \cos 4 x d (4 x) = \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \sin 4 x + C$

Câu 24:

Cho số phức z thỏa mãn $(2 - i) z + \frac{1 + 5 i}{1 + i} = 7 + 10 i$ . Môđun của số phức $w = z^{2} + 20 + 3 i$ là

A. 5

B. 3

C. 25

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $(2 - i) z + \frac{1 + 5 i}{1 + i} = 7 + 10 i \Leftrightarrow (2 - i) z + 3 + 2 i = 7 + 10 i \Leftrightarrow (2 - i) z = 4 + 8 i$

Suy ra: $z = \frac{4 + 8 i}{2 - i} = 4 i$ nên $w = {(4 i)}^{2} + 20 + 3 i = 4 + 3 i$ . Vậy $|w| = 5$ .

Câu 25:

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

|\frac{\bar{z}}{3} + 1 + 2 i| = 5

là

A. Đường tròn tâm $I (- 3; 6)$ , bán kính $R = 15$ .

B. Đường tròn tâm $I (- 3; 6)$ , bán kính $R = 5$ .

C. Đường tròn tâm $I (- 1; 2)$ , bán kính $R = 5$ .

D. Đường tròn tâm $I (3; - 6)$ , bán kính $R = 15$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi $z = x + y i, x, y \in R$ thì $\bar{z} = x - y i, \frac{\bar{z}}{3} = \frac{x}{3} - \frac{y}{3} i$ .

Vậy $|\frac{\bar{z}}{3} + 1 + 2 i| = |(\frac{x}{3} + 1) + (2 - \frac{y}{3}) i|$ suy ra ${(\frac{x}{3} + 1)}^{2} + {(2 - \frac{y}{3})}^{2} = 5^{2}$

$\Leftrightarrow {(x + 3)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 15^{2}$ .

Vậy điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm $I (- 3; 6)$ , bán kính $R = 15$

Câu 26:

Khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SBC là tam giác đều cạnh a, tam giác ABC vuông tại A. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{24} a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{32} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{2}}{36} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

$Δ S A B = Δ S A C$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) nên suy ra $A B = A C$ mà $Δ A B C$ lại vuông tại A nên nó là tam giác vuông cân tại A do đó $A B = A C = \frac{B C}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

$Δ S A B$ vuông tại A nên $S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Thể tích khối chóp S.ABC là $V = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} . A B . A C . S A = \frac{1}{6} {(\frac{a}{\sqrt{2}})}^{3} = \frac{\sqrt{2}}{24} a^{3}$

Câu 27:

Cho tam giác ABC đều cạnh a. Quay tam giác ABC quanh đường cao AH ta được hình nón tròn xoay. Diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón bằng

A. $\frac{π a^{2}}{2}$

B. $\frac{π a^{2}}{3}$

C. $π a^{2}$

D. $2 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Mặt cầu nội tiếp hình nón có 1 đường tròn lớn nội tiếp tam giá đều ABC (cạnh a).

Nên mặt cầu đó có bán kính $r = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Vậy diện tích mặt cầu cần tìm là $V = 4 π r^{2} = 4 π {(\frac{a \sqrt{3}}{6})}^{2} = \frac{π a^{2}}{3}$

Câu 28:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (- 2; 1; 4), B (4; 3; - 2)$ . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

A. $3 x + y + 3 z - 8 = 0$

B. $3 x + y - 3 z - 2 = 0$

C. $3 x + y - 3 z - 8 = 0$

D. $6 x + 2 y - 6 z - 2 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi I là trung điểm của AB . $\Rightarrow I (1; 2; 1)$

Giả sử $(P)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn AB $\Rightarrow \{\begin{cases} I \in (P) \\ \vec{n_{P}} = \vec{A B} = (6; 2; - 6) = 2 (3; 1; - 3) \end{cases}$

Vậy phương trình mặt phẳng $(P) : 3 x + y - 3 z - 2 = 0$

Câu 29:

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng

(P) : x + 2 y + 2 z - 10 = 0

và

(Q) : x + 2 y + 2 z - 3 = 0

bằng

A. $\frac{8}{3}$

B. $\frac{7}{3}$

C. 3

D. $\frac{4}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét thấy $(P)$ và $(Q)$ là hai mặt phẳng song song với nhau.

Cách 1: Trên $(P)$ lấy $M (0; 0; 5)$

Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là

$d ((P), (Q)) = d (M, (Q)) = \frac{|0 + 2.0 + 2.5 - 3|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{7}{3}$

Cách 2:

$(P) : A x + B y + C z + D = 0$ và $(P^{'}) : A x + B y + C z + D^{'} = 0$

Thì $d ((P), (P^{'})) = \frac{|D - D^{'}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$

Áp dụng $d ((P), (Q)) = \frac{|- 10 - (- 3)|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = \frac{7}{3}$ .

Câu 30:

Cho lăng trụ tam giác đều

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi M là trung điểm của

A A^{'}

. Gọi góc giữa đường thẳng

M B^{'}

và mặt phẳng

(B C C^{'} B^{'})

là

α

, góc

α

thỏa mãn đẳng thức nào dưới đây?

A. $\sin α = \frac{\sqrt{6}}{4}$

B. $\sin α = - \frac{\sqrt{6}}{4}$

C. $\cos α = \frac{\sqrt{6}}{4}$

D. $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi J là trung điểm của BC $\Rightarrow A J ⊥ (B C C^{'} B^{'})$ , tam giác ABC đều cạnh a nên $A J = \frac{a \sqrt{3}}{2}; M B^{'} = a \sqrt{2}$ .

Ta có: $\sin (M B^{'}, (B C C^{'} B^{'})) = \frac{d (M; (B C C^{'} B^{'}))}{M B^{'}} = \frac{d (A; (B C C^{'} B^{'}))}{M B^{'}} = \frac{A J}{M B^{'}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$ .

Câu 31:

Một nhóm học sinh gồm có 4 nam và 5 nữ, chọn ngẫu nhiên ra 2 bạn. Tính xác suất để 2 bạn được chọn có 1 nam và 1 nữ.

A. $\frac{4}{9}$

B. $\frac{5}{18}$

C. $\frac{5}{9}$

D. $\frac{7}{9}$

Xem đáp án

Đáp án C

Chọn 2 học sinh trong 9 học sinh có $C_{9}^{2}$ cách $\Rightarrow n (Ω) = C_{9}^{2}$ .

Gọi A là biến cố “2 học sinh được chọn có 1 nam và 1 nữ”. $\Rightarrow n (A) = C_{4}^{1} . C_{5}^{1}$

Xác suất cần tìm là $P (A) = \frac{C_{4}^{1} . C_{5}^{1}}{C_{9}^{2}} = \frac{5}{9}$ .

Câu 32:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Đồ thị $y = f^{'} (x)$ như hình bên. Biết $f (- 1) + f (0) - 2 f (1) = f (3) - f (2)$ . Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $[- 1; 3]$ là

Cho hàm số y = f(x). Đồ thị y = f'(x) như hình bên (ảnh 1)

A. $f (- 1)$

B. $f (0)$

C. $f (3)$

D. $f (2)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$

Vậy $\max_{[- 1; 3]} f (x) = f (1)$

Từ bảng biến thiên ta có $f (0) < f (1), f (2) < f (1)$ vậy $f (0) + f (2) < 2 f (1)$

Khi đó $f (- 1) + f (0) - 2 f (1) = f (3) - f (2) \Leftrightarrow f (0) + f (2) - 2 f (1) = f (3) - f (- 1)$

Vậy $f (3) - f (- 1) < 0 \Rightarrow f (3) < f (- 1)$

Khi đó $\min_{[- 1; 3]} f (x) = f (3)$ .

Câu 33:

Cho hàm số $y = (m + 1) x^{4} - 2 x^{2} + 1$ ( với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị đều nhỏ hơn 1.

A. $- 1 < m < 0$

B. $m > - 1$

C. $0 < m < 1$

D. $m > 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Trường hợp 1. Nếu $m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1$ thì hàm số đã cho trở thành $y = 2 x^{2} + 1$ , hàm số này có một điểm cực trị, do đó ta loại trường hợp này.

Trường hợp 2. Nếu $m + 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq - 1$

Ta có $y^{'} = 4 (m + 1) x^{3} - 4 x = 4 x [(m + 1) x^{2} - 1]$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ (m + 1) x^{2} - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = \frac{1}{m + 1} (1) \end{array}$

Hàm số đã cho có ba điểm cực trị đều nhỏ hơn 1 khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 và nhỏ hơn 1.

Hay

0 < \frac{1}{m + 1} < 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{m + 1} > 0 \\ \frac{1}{m + 1} < 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{m + 1} > 0 \\ \frac{- m}{m + 1} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m > - 1 \\ [\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 0 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow m > 0

Câu 34:

Tìm m để phương trình $- \log_{2}^{3} x + m \log_{2} x + 2 = 0$ có nghiệm duy nhất.

A. $m < 3$

B. $m \leq 3$

C. $m > 0$

D. $m \geq 0$

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $\log_{2} x = t$ , ta được phương trình $- t^{3} + m t + 2 = 0, t \in R$ .

Để phương trình $- \log_{2}^{3} x + m \log_{2} x + 2 = 0$ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình $- t^{3} + m t + 2 = 0, t \in R$ có nghiệm duy nhất.

Ta thấy $t = 0$ không là nghiệm của phương trình $- t^{3} + m t + 2 = 0$ .

Khi đó $- t^{3} + m t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{t^{3} - 2}{t} = t^{2} - \frac{2}{t}$ .

Số nghiệm pt là số giao điểm của đồ thị $y = f (t) = t^{2} - \frac{2}{t}$ và đường thẳng $y = m$

$f^{'} (t) = 2 t + \frac{2}{t^{2}} = \frac{2 t^{3} + 2}{t^{2}} = 0 \Rightarrow t = - 1$

BBT

Dựa vào BBT, ta có $m < 3$

Cách khác: Thử điểm cực biên ở mỗi phương án chọn, cụ thể thử với $m = 0; m = 3; m = - 1$

Câu 35:

Anh A có một mảnh đất bồi ven sông, anh muốn trồng cây trên mảnh đất này, để tính chi phí anh cho lên bản vẽ thì thấy mảnh đất có hình parabol như hình vẽ. Chiều cao GH = 4m, chiều rộng AB = 4m, AC = BD = 0,9m. Anh A dự định trồng rau ở phần hình chữ nhật CDEF (tô màu), mua phân bón và cây giống là 50000 đồng/m², còn các phần để trắng trồng cà chua có giá là 30000 đồng/m². Hỏi tổng chi phí để hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. 443000 (đồng)

B. 553500 (đồng)

C. 320000 (đồng)

D. 370000 (đồng)

Xem đáp án

Đáp án A

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho AB trùng với Ox, A trùng O khi đó parabol có đỉnh $G (2; 4)$ và đi qua gốc tọa độ.

Gọi phương trình của parabol là $y = a x^{2} + b x + c$ .

Do đó ta có $\{\begin{cases} c = 0 \\ \frac{- b}{2 a} = 2 \\ 2^{2} a + 2 b + c = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 4 \\ c = 0 \end{cases}$ .

Nên phương trình parabol là $y = f (x) = - x^{2} + 4 x$ .

Diện tích của cả mảnh đất là $S = {\int_{0}^{4} (- x^{2} + 4 x) d x = (- \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2})|}_{0}^{4} = \frac{32}{3} \approx 10,67 (m^{2})$

Do vậy chiều cao $C F = D E = f (0, 9) = 2,79 (m); C D = 4 - 2.0,9 = 2,2 (m)$ .

Diện tích phần hình chữ nhật là $S_{C D E F} = C D . C F = 6,138 \approx 6,14 (m^{2})$

Diện tích phần trồng cà chua là $S_{x h} = S - S_{C D E F} = 10,67 - 6,14 = 4,53 (m^{2})$

Nên tiền trồng rau là $6,14.50000 = 307000$ và tiền trồng cà chua là $4,53.30000 = 136000$

Vậy tổng chi phí là 443000 đồng.

Câu 36:

Cho hàm số

f (x)

liên tục trên R đồng thời thỏa mãn

f (x) + f (- x) = 3 - 2 \cos x

, với mọi

x \in R

. Tính tích phân

I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x

?

A. $I = \frac{π}{2} + 2$

B. $I = \frac{3 π}{2} - 2$

C. $I = \frac{π - 1}{3}$

D. $I = \frac{π + 1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = - x \Rightarrow d t = - d x$ . Đổi cận $x = - \frac{π}{2} \Rightarrow t = \frac{π}{2}; x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = - \frac{π}{2}$

Khi đó, $I = - \int_{\frac{π}{2}}^{- \frac{π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- t) d t = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x$

Mặt khác: $f (x) + f (- x) = 3 - 2 \cos x$

Ta có: $2 I = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} [f (x) + f (- x)] d x = \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (3 - 2 \cos x) d x \Rightarrow I = \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (3 - 2 \cos x) d x$ .

Do $f (x) = 3 - 2 \cos x$ là hàm số chẵn trên đoạn $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$

Nên $I = \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} (3 - 2 \cos x) d x = 2. \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (3 - 2 \cos x) d x = (3 x - 2 \sin x) |_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{3 π}{2} - 2$ .

Câu 37:

Cho các số phức z thỏa mãn $(2 + i) |z| = \frac{5}{z} - 1 - 3 i$ . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = (3 - 4 i) z + 1$ là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

A. $r = 25$

B. $r = 1$

C. $r = \sqrt{5}$

D. $r = 5$

Xem đáp án

Đáp án D

$(2 + i) |z| = \frac{5}{z} - 1 - 3 i \Leftrightarrow (2 + i) |z| + 1 + 3 i = \frac{5}{z}$

$\Leftrightarrow (2 |z| + 1) + (|z| + 3) i = \frac{5}{z}$

Lấy môđun 2 vế $\sqrt{{(2 |z| + 1)}^{2} + {(|z| + 3)}^{2}} = \frac{5}{|z|}$ .

Đặt $|z| = t; t \geq 0$ khi đó ta có phương trình $t^{4} + 2 t^{3} + 2 t^{2} - 5 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow |z| = 1$ .

Khi đó $w = (3 - 4 i) z + 1 \Rightarrow w - 1 = (3 - 4 i) z \Rightarrow |w - 1| = |(3 - 4 i) z|$

$|w - 1| = |(3 - 4 i)| . |z| = 5$ .

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w là đường tròn tâm $I (1; 0); r = 5$

Câu 38:

Một mặt cầu $(S)$ bán kính R. Một hình trụ có chiều cao h và bán kính đáy bằng r nội tiếp trong mặt cầu. Tính h và R sao cho diện tích xung quanh hình trụ là lớn nhất.

A. $h = R \sqrt{2}$

B. $h = \frac{R \sqrt{2}}{2}$

C. $h = 2 R$

D. $h = R$

Xem đáp án

Đáp án A

Cắt hình trụ theo mặt phẳng qua trục của hình trụ, ta được hình chữ nhật ABCD, như hình vẽ. Ta thấy $4 R^{2} = h^{2} + 4 r^{2} \geq 2 \sqrt{4 h^{2} r^{2}} = 4 h r$

$\Leftrightarrow 2 π R^{2} \geq 2 π h r \Leftrightarrow S_{x q} \leq 2 π R^{2}$

Dấu ”=” xảy ra khi $h = 2 r = R \sqrt{2}$ và diện tích xung quanh của mặt trụ lớn nhất là $2 π R^{2}$ .

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 1}{2}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 1 - 3 t \\ y = - 2 + t \\ z = - 1 - t \end{cases}$ . Phương trình đường thằng nằm trong $(α) : x + 2 y - 3 z - 2 = 0$ và cắt hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ là

A. $\frac{x - 3}{- 5} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$

B. $\frac{x + 3}{5} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$

C. $\frac{x + 3}{- 5} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$

D. $\frac{x + 8}{1} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z}{- 4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi d là đường thẳng cần tìm

+ Gọi $A = d_{1} \cap (α)$

$A \in d_{1} \Rightarrow A (2 - a; 1 + 3 a; 1 + 2 a)$

$A \in (α) \Rightarrow a = - 1 \Rightarrow A (3; - 2; - 1)$

+ Gọi $B = d_{2} \cap (α)$

$B \in d_{2} \Rightarrow B (1 - 3 b; - 2 + b; - 1 - b)$

$B \in (α) \Rightarrow b = 1 \Rightarrow B (- 2; - 1; - 2)$

+ d đi qua điểm $A (3; - 2; - 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{A B} = (- 5; 1; - 1)$

Vậy phương trình chính tắc của d là $\frac{x - 3}{- 5} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 1}$ .

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông $B D = 2 a$ , $Δ S A C$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $S C = a \sqrt{3}$ . Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng $(S A D)$ là

A. $\frac{a \sqrt{30}}{5}$

B. $\frac{2 a \sqrt{21}}{7}$

C. $2 a$

D. $a \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

$Δ S A C$ vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, nên kẻ $S H ⊥ A C$ $\Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

$B D = A C = 2 a, C D = \frac{B D}{\sqrt{2}} = a \sqrt{2}, S A = \sqrt{A C^{2} - S C^{2}} = a$

$S H = \frac{S A . S C}{A C} = \frac{a . a \sqrt{3}}{2 a} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$A H = \sqrt{S A^{2} - S H^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a}{2}$

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Ta có $d (B, (S A D)) = 2 d (O, (S A D)) = 4 d (H, (S A D))$

Kẻ $H J / / C D (J \in A D), H J = \frac{1}{4} C D = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ . Kẻ $H K ⊥ S I$ tại K $\Rightarrow H K ⊥ (S A D)$

$\Rightarrow d (B, (S A D)) = 4 H K = 4. \frac{S H . H I}{\sqrt{S H^{2} + H I^{2}}} = 4. \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2} \frac{a \sqrt{2}}{4}}{\sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} + \frac{2 a^{2}}{16}}} = \frac{2 a \sqrt{21}}{7}$

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng $(- 2020; 2020)$ để hàm số $y = f (\cos x + 2 x + m)$ đồng biến trên nửa khoảng $[0; + \infty)$ .

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số (ảnh 1)

A. 2019

B. 2020

C. 4038

D. 4040

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y^{'} = (- \sin x + 2) . f^{'} (\cos x + 2 x + m)$

Hàm số $y = f (\cos x + 2 x + m)$ liên tục trên nửa khoảng $[0; + \infty)$

$\Rightarrow$ Hàm số $y = f (\cos x + 2 x + m)$ đồng biến trên $[0; + \infty)$ khi và chỉ khi

$(- \sin x + 2) . f^{'} (\cos x + 2 x + m) \geq 0, \forall x \in (0; + \infty)$ (1)

Do $- \sin x + 2 > 0, \forall x \in R$ nên $(1) \Leftrightarrow f^{'} (\cos x + 2 x + m) \geq 0, \forall x \in (0; + \infty)$ (2)

Dựa vào đồ thị ta có $(2) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x + 2 x + m \geq 2, \forall x \in (0; + \infty) \\ \cos x + 2 x + m \leq 0, \forall x \in (0; + \infty) \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x + 2 x \geq 2 - m, \forall x \in (0; + \infty) (3) \\ \cos x + 2 x \leq - m, \forall x \in (0; + \infty) (4) \end{array}$

Xét hàm $g (x) = \cos x + 2 x$ trên $[0; + \infty)$ có $g^{'} (x) = - \sin x + 2 > 0, \forall x \in (0; + \infty)$ nên $g (x)$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ đồng thời $g (x)$ liên tục trên $[0; + \infty)$

Suy ra $\min_{[0; + \infty)} g (x) = g (0) = 1$ và $\lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty$ .

Do đó, không có giá trị m thỏa mãn (4)

$(3) \Leftrightarrow \min_{[0; + \infty)} g (x) \geq 2 - m \Leftrightarrow 1 \geq 2 - m \Leftrightarrow m \geq 1$

Vậy có tất cả 2019 giá trị nguyên của tham số m.

Câu 42:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 2018; 2018]$ để phương trình ${(x + 2 - \sqrt{x^{2} + 1})}^{2} + \frac{18 (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 1}}{x + 2 + \sqrt{x^{2} + 1}} = m (x^{2} + 1)$ có nghiệm thực?

A. 25

B. 2019

C. 2018

D. 2012

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện $\{\begin{cases} x^{2} + 1 \geq 0 \\ x + 2 + \sqrt{x^{2} + 1} \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \in R$

Ta có ${(x + 2 - \sqrt{x^{2} + 1})}^{2} + \frac{18 (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 1}}{x + 2 + \sqrt{x^{2} + 1}} = m (x^{2} + 1)$

$\Leftrightarrow m = {(\frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 1}} - 1)}^{2} + \frac{18}{\frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 1}} + 1}$

Đặt $t = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 1}} \Rightarrow t^{'} = \frac{1 - 2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 1}}$

Từ bảng biến thiên của t suy ra $t \in (- 1; \sqrt{5}]$

Phương trình trở thành $m = {(t - 1)}^{2} + \frac{18}{t + 1} \Leftrightarrow m = \frac{t^{3} - t^{2} - t + 19}{t + 1}$

$f (t) = \frac{t^{3} - t^{2} - t + 19}{t + 1} \Rightarrow f^{'} (t) = \frac{2 (t - 2) (t^{2} + 3 t + 5)}{{(t + 1)}^{2}}$

Lập bảng biến thiên của $f (t)$ trên nửa khoảng $(- 1; \sqrt{5}]$

Suy ta $f (t) \in [7; + \infty)$

Để phương trình ${(x + 2 - \sqrt{x^{2} + 1})}^{2} + \frac{18 (x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 1}}{x + 2 + \sqrt{x^{2} + 1}} = m (x^{2} + 1)$

Có nghiệm thực thì $m \in [7; + \infty)$

Mà m thuộc đoạn $[- 2018; 2018]$ nên $m \in [7; 2018)$

Có 2012 giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 2018; 2018]$ để phương trình có nghiệm thực

Câu 43:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 20; 20]$ để đồ thị hàm số $y = f (x^{2} - 2 x + m) - m$ có 5 đường tiệm cận?

A. 40

B. 20

C. 21

D. 41

Xem đáp án

Đáp án B

Từ đồ thị hàm số $y = f (x)$ ta suy ra $f (x)$ có tập xác định $D = R \ \{\pm 1\}$ và các giới hạn $\lim_{x \to \pm \infty} f (x) = 0$ , $\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = + \infty$ , $\lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = - \infty$ , $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = + \infty$ , $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - \infty$ .

Vì hàm số $t = x^{2} - 2 x + m$ xác định trên R nên hàm số $y = f (x^{2} - 2 x + m) - m$ xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - 2 x + m \neq 1 \\ x^{2} - 2 x + m \neq - 1 \end{cases}$

Vì $\lim_{x \to \pm \infty} (x^{2} - 2 x + m) = + \infty$ nên $\lim_{x \to \pm \infty} [f (x^{2} - 2 x + m) - m] = \lim_{t \to + \infty} [f (t) - m] = - m$

Do đó đồ thị hàm số $y = f (x^{2} - 2 x + m) - m$ có đúng một đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y = - m$ (về cả 2 phía $x \to + \infty$ và $x \to - \infty$ )

Để đồ thị hàm số $y = f (x^{2} - 2 x + m) - m$ có 5 đường tiệm cận thì nó phải có 4 đường tiệm cận đứng.

Điều kiện cần $[\begin{array}{l} x^{2} - 2 x + m = 1 \\ x^{2} - 2 x + m = - 1 \end{array}$ phải có 4 nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {(x - 1)}^{2} = - m + 2 \\ {(x - 1)}^{2} = - m \end{array}$ có 4 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - m + 2 > 0 \\ - m > 0 \end{array} \Leftrightarrow m < 0$ .

Điều kiện đủ: Giả sử $x_{1}, x_{2} (x_{1} < x_{2})$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $x^{2} - 2 x + m = 1$ ; $x_{3}; x_{4}$ là hai nghiệm phân biệt của phương trình $x^{2} - 2 x + m = - 1$ .

Xét đường thẳng $x = x_{1}$ , ta có $\lim_{x \to {x_{1}}^{\mp}} [f (x^{2} - 2 x + m) - m] = \lim_{t \to 1^{\pm}} [f (t) - m] = \pm \infty$

Suy ta đường thẳng $x = x_{1}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f (x^{2} - 2 x + m) - m$

Tương tự các đường thẳng $x = x_{2}$ , $x = x_{3}, x = x_{4}$ cũng là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f (x^{2} - 2 x + m) - m$

Vậy để đồ thị hàm số $y = f (x^{2} - 2 x + m) - m$ có 5 đường tiệm cận thì $m < 0$

Do $m \in Z$ và $m \in [- 20; 20]$ nên có tất cả 20 giá trị của m.

Câu 44:

Cho a, b, c là các số thực thuộc khoảng

(0; 1)

, với

a^{x} = b c, b^{y} = c a, c^{z} = a b

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = x + y + 9 z

A. 6

B. 12

C. 14

D. 18

Xem đáp án

Đáp án C

Với $a, b, c \in (0; 1) \Rightarrow x = \log_{a} (b c); y = \log_{b} (a c); z = \log_{c} (a b)$ là các số dương.

Do đó áp dụng bất đẳng thức Cosi với các bộ hai số, ta có: $P = x + y + 9 z = \log_{a} (b c) + \log_{b} (a c) + 9 \log_{c} (a b)$

$= \log_{a} b + \log_{a} c + \log_{b} a + \log_{b} c + 9 (\log_{c} a + \log_{c} b)$

$= (\log_{a} b + \log_{b} a) + (\log_{a} c + 9 \log_{c} a) + (\log_{b} c + 9 \log_{c} b)$

$\overset{C o s i}{\geq} 2 \sqrt{\log_{a} b . \log_{b} a} + 2 \sqrt{9 \log_{a} c . \log_{c} a} + 2 \sqrt{9 \log_{b} c . \log_{c} b} = 2 + 6 + 6 = 14$

Với $a = b = \frac{1}{2}; c = \frac{1}{8}$ thì $P = 14 \Rightarrow P_{\min} = 14$

Câu 45:

Cho hàm số $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 \cos x - 1}{\sin^{2} x}$ trên khoảng $(0; π)$ . Biết rằng giá trị lớn nhất của $F (x)$ trên khoảng $(0; π)$ là $\sqrt{3}$ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. $F (\frac{π}{6}) = 3 \sqrt{3} - 4$

B. $F (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

C. $F (\frac{π}{3}) = - \sqrt{3}$

D. $F (\frac{5 π}{6}) = 3 - \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\int f (x) d x = \int \frac{2 \cos x - 1}{\sin^{2} x} d x = 2 \int \frac{\cos x}{\sin^{2} x} d x - \int \frac{1}{\sin^{2} x} d x$

$= 2 \int \frac{d (\sin x)}{\sin^{2} x} - \int \frac{1}{\sin^{2} x} d x = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C$

Do $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{2 \cos x - 1}{\sin^{2} x}$ trên khoảng $(0; π)$

Nên hàm số $F (x)$ có công thức dạng $F (x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C$ với mọi $x \in (0; π)$

Xét hàm số $F (x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + C$ xác định và liên tục trên $(0; π)$

$F^{'} (x) = f (x) = \frac{2 \cos x - 1}{\sin^{2} x}$

Xét $F^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{2 \cos x - 1}{\sin^{2} x} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π$

Trên khoảng $(0; π)$ , phương trình $F^{'} (x) = 0$ có một nghiệm $x = \frac{π}{3}$

Bảng biến thiên.

$\max_{(0; π)} F (x) = F (\frac{π}{3}) = - \sqrt{3} + C$

Theo đề bài ta có, $- \sqrt{3} + C = \sqrt{3} \Leftrightarrow C = 2 \sqrt{3}$

Do đó, $F (x) = - \frac{2}{\sin x} + \cot x + 2 \sqrt{3}$

Khi đó, $F (\frac{π}{6}) = 3 \sqrt{3} - 4$

Câu 46:

Cho hàm số $f (x)$ xác định và có đạo hàm liên tục trên $[0; π]$ thỏa mãn $\int_{0}^{π} f (x) \cos x d x = A$ , $f (\frac{π}{2}) = 0$ và $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x))}^{2} d x = \frac{2 A^{2}}{π}$ , ở đó A là hằng số. Tính $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (2 x) d x$ theo A.

A. 4A

B. $\frac{A}{2}$

C. $\frac{A}{π}$

D. $π^{2} A$

Xem đáp án

Đáp án C

Theo phương pháp tích phân từng phần, ta có: $A = \int_{0}^{π} f (x) \cos x d x = f (x) \sin x |_{0}^{π} - \int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x = - \int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x$

Suy ra $\int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x = - A$

Ta lại có: $\int_{0}^{π} \sin^{2} x d x = \int_{0}^{π} \frac{1 - \cos 2 x}{2} d x = (\frac{x}{2} - \frac{\sin 2 x}{4}) |_{0}^{π} = \frac{π}{2}$

Mặt khác, $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x))}^{2} d x = \frac{2 A^{2}}{π}$ . Gọi X là số thực thỏa mãn

$\frac{2 A^{2}}{π} + 2 (- A) X + X^{2} \frac{π}{2} = 0 \Leftrightarrow {(\sqrt{\frac{2}{π}} A - X \sqrt{\frac{π}{2}})}^{2} = 0 \Rightarrow X = \frac{2 A}{π}$

Từ đó ta có:

$\int_{0}^{π} {(f^{'} (x))}^{2} d x + 2 \frac{2 A}{π} \int_{0}^{π} f^{'} (x) \sin x d x + \frac{4 A^{2}}{π^{2}} \int_{0}^{π} \sin^{2} x d x = 0$ hay $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x)}^{2} d x = 0$

Do $f^{'} (x)$ , sinx liên tục nên ${(f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x)}^{2}$ không âm, liên tục và $\int_{0}^{π} {(f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x)}^{2} d x = 0$ do đó $f^{'} (x) + \frac{2 A}{π} \sin x = 0$ trên $[0, π]$

Hay $f^{'} (x) = - \frac{2 A}{π} \sin x$ trên $[0, π]$

Lấy nguyên hàm hai vế trên $[0, π]$ , ta có: $f (x) = \frac{2 A}{π} \cos x + C$ với $\forall x \in [0, π]$

Theo giả thiết $f (\frac{π}{2}) = 0$ nên $C = 0$ . Vậy $f (x) = \frac{2 A}{π} \cos x$ với $\forall x \in [0, π]$

Khi đó $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (2 x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{2 A}{π} \cos 2 x d x = \frac{A}{π} \sin 2 x |_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{A}{π}$ .

Câu 47:

Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là M và

M^{'}

. Số phức

z (4 + 3 i)

và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N và

N^{'}

. Biết rằng

M M^{'} N^{'} N

là một hình chữ nhật. tìm giá trị nhỏ nhất của

|z + 4 i - 5|

.

A. $\frac{5}{\sqrt{34}}$

B. $\frac{2}{\sqrt{5}}$

C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

D. $\frac{4}{\sqrt{13}}$

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử $z = a + b i (a, b \in R)$ được biểu diễn bởi điểm $M (a, b)$ .

Khi đó số phức liên hợp của z là $\bar{z} = a - b i$ được biểu diễn bởi điểm $M^{'} (a; - b)$

Ta có: $z (4 + 3 i) = (a + b i) (4 + 3 i) = 4 a + 3 a i + 4 b i - 3 b = (4 a - 3 b) + (3 a + 4 b) i$

Do đó số phức $z (4 + 3 i)$ được biểu diễn bởi điểm $N (4 a - 3 b; 3 a + 4 b)$

Khi đó điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức $z (4 + 3 i)$ là $N^{'} (4 a - 3 b; - 3 a - 4 b)$

Ta có: $\{\begin{cases} \vec{M M^{'}} = (a - a; - b - b) \\ \vec{N N^{'}} = (4 a - 3 b - 4 a - 3 b; - 3 a - 4 b - 3 a - 4 b) \\ \vec{M N} = (4 a - 3 b - a; 3 a + 4 b - b) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{M M^{'}} = (0; - 2 b) \\ \vec{N N^{'}} = (0; - 6 a - 8 b) \\ \vec{M N} = (3 a + 3 b; 3 a + 3 b) \end{cases}$

Vì $M M^{'} N^{'} N$ là một hình chữ nhật nên ta có:

$\{\begin{cases} \vec{M M^{'}} = \vec{N N^{'}} \neq \vec{0} \\ \vec{M M^{'}} . \vec{M N} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 b = - 6 a - 8 b \\ a, b \neq 0 \\ - 2 b (3 a + 3 b) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow a = - b$

$\Rightarrow z = - b + b i \Rightarrow |z + 4 i - 5| = |- b - 5 + (b + 4) i| = \sqrt{{(- b - 5)}^{2} + {(b + 4)}^{2}} = \sqrt{2 {(b + \frac{9}{2})}^{2} + \frac{1}{2}} \geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Vậy

{|z + 4 i - 5|}_{\min} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow b = \frac{- 9}{2}

hay

z = \frac{9}{2} - \frac{9}{2} i

.

Câu 48:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V. Gọi M là trung điểm của cạnh SA, N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN=2NB; mặt phẳng $(α)$ di động qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.MNKQ.

A. $\frac{V}{2}$

B. $\frac{V}{3}$

C. $\frac{3 V}{4}$

D. $\frac{2 V}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $a = \frac{S K}{S C} (0 \leq a \leq 1)$

Vì mặt phẳng $(α)$ di động đi qua các điểm M, N và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại hai điểm phân biệt K, Q nên ta có đẳng thức.

$\frac{S A}{S M} + \frac{S C}{S K} = \frac{S B}{S N} + \frac{S D}{S Q} \Rightarrow 2 + \frac{1}{a} = \frac{3}{2} + \frac{S D}{S Q} \Leftrightarrow \frac{S Q}{S D} = \frac{2 a}{2 + a}$

Ta có $\frac{V_{S . M N K Q}}{V_{S . A B C D}} = \frac{1}{2} (\frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S K}{S C} + \frac{S M}{S A} . \frac{S K}{S C} . \frac{S Q}{S D}) = \frac{1}{2} (\frac{4 a}{3} - \frac{2}{a + 2}) = \frac{2 a}{3} - \frac{1}{a + 2}$

Xét hàm $f (a) = \frac{2 a}{3} - \frac{1}{a + 2}$ trên đoạn $[0; 1]$ , ta được $\max_{[0; 1]} f (a) = f (1) = \frac{1}{3}$

Ta chứng minh $\frac{S A}{S M} + \frac{S C}{S P} = \frac{S B}{S N} + \frac{S D}{S Q}$

Ta có $V_{S . A B C D} = V_{S P N Q} + V_{S Q M P}$ (*). Ta đặt $V = V_{S . A B C D} \Rightarrow V_{S A B C} = V_{S A B D} = V_{S B C D} = \frac{V}{2}$

$\frac{V_{S M N Q}}{V_{S A B D}} = \frac{2 V_{S M N Q}}{V} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D} \Rightarrow V_{S N M Q} = \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D} . \frac{V}{2}$

Tương tự $V_{S P N Q} = \frac{S P}{S C} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D} . \frac{V}{2}; V_{S M N P} = \frac{S P}{S C} . \frac{S N}{S B} . \frac{S M}{S A} . \frac{V}{2}; V_{S P Q M} = \frac{S P}{S C} . \frac{S M}{S A} . \frac{S Q}{S D} . \frac{V}{2}$

Từ (*) ta được: $\frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D} + \frac{S P}{S C} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D} = \frac{S P}{S C} . \frac{S N}{S B} . \frac{S M}{S A} + \frac{S P}{S C} . \frac{S M}{S A} . \frac{S Q}{S D}$

Chia cả 2 vế cho

\frac{S P}{S C} . \frac{S M}{S A} . \frac{S N}{S B} . \frac{S Q}{S D}

ta được

\frac{S A}{S M} + \frac{S C}{S P} = \frac{S B}{S N} + \frac{S D}{S Q}

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, thể tích là V (ảnh 1)

Câu 49:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng $(P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1}) : y + 2 z - 4 = 0$ , $(α_{2}) : x + y - 5 z - 5 = 0$ và vuông góc với mặt phẳng $(α_{3}) : x + y + z - 2 = 0$ . Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là

A. $x + 2 y - 3 z - 9 = 0$

B. $3 x + 2 y + 5 z - 5 = 0$

C. $3 x + 2 y + 5 z + 4 = 0$

D. $3 x + 2 y - 5 z + 5 = 0$

Xem đáp án

Đáp án A

$(α_{1})$ có VTPT $\vec{n_{1}} = (0; 1; 2)$ , $(α_{2})$ có VTPT $\vec{n_{2}} = (1; 1; - 5)$ , $(α_{3})$ có VTPT $\vec{n_{3}} = (1; 1; 1)$ .

Chọn $M (1; 4; 0)$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1})$ , $(α_{2})$

Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1})$ và $(α_{2})$ khi đó d đi qua điểm $M (1; 4; 0)$ và có VTCP $\vec{u_{1}} = [\vec{n_{1}}, \vec{n_{2}}] = (- 7; 2; - 1)$

$(P)$ đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $(α_{1})$ , $(α_{2})$ và vuông góc với $(α_{3})$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M (1; 4; 0)$ và nhận $\vec{n} = [\vec{u_{1}}, \vec{n_{3}}] = (3; 6; - 9)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình $(P) : 3 (x - 1) + 6 (y - 4) - 9 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y - 3 z - 9 = 0$

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 4$ . Xét đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - m t \\ z = (m - 1) t \end{cases}$ , m là tham số thực.

Giả sử $(P)$ và $(P^{'})$ là hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với $(S)$ lần lượt tại $T$ và $T^{'}$ . Khi m thay đổi, giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $T T^{'}$ là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình (ảnh 1)

A. $\frac{4 \sqrt{13}}{5}$

B. $2 \sqrt{2}$

C. 2

D. $\frac{2 \sqrt{11}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (1; 2; 3)$ và bán kính $R = I T = I T^{'} = 2$

Ta có $T T^{'} = 2 T H$ mà $\frac{1}{T H^{2}} = \frac{1}{T I^{2}} + \frac{1}{T M^{2}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{I M^{2} - 4}$ (1)

Ta đi tìm min IM.

Do $M \in d \Rightarrow M (1 + t; - m t; (m - 1) t)$ nên $I M^{2} = (2 m^{2} - 2 m + 2) t^{2} + (6 - 2 m) t + 13$

$\Leftrightarrow (2 m^{2} - 2 m + 2) t^{2} + (6 - 2 m) t + 13 - I M^{2} = 0$

Ta có: $Δ^{'} = {(3 - m)}^{2} - (2 m^{2} - 2 m + 2) (13 - I M^{2}) \geq 0$

$\Leftrightarrow I M^{2} \geq 13 - \frac{{(m - 3)}^{2}}{2 m^{2} - 2 m + 2} = f (m)$

Ta có $f^{'} (m) = \frac{(m - 3) (10 m - 2)}{{(2 m^{2} - 2 m + 2)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 3 \\ m = \frac{1}{5} \end{array}$

Từ đó $f (m) \geq f (\frac{1}{5}) = \frac{25}{3} \Rightarrow I M^{2} \geq \frac{25}{3}$

Từ (1) suy ra $T H \geq \sqrt{\frac{52}{25}} \Rightarrow T T^{'} = 2 T H \geq \frac{4 \sqrt{13}}{5}$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 18)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan