50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 17)

Câu 1:

Cho số phức $z = a + b i$ với $a, b \in ℝ$ . Môđun của z tính bằng công thức nào sau đây?

A. $|z| = a + b$

B. $|z| = |a + b|$

C. $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

D. $|z| = a^{2} + b^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

z = a + b i \Rightarrow |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Câu 2:

Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên?

Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình bên (ảnh 1)

A. $y = - x^{3} - 3 x^{2} + 2$

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$

C. $y = x^{3} + 3 x^{2} + 2$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Do $\lim_{x \to + \infty} y = + \infty \Rightarrow a > 0 \Rightarrow$ loại A, B

Do đồ thị đi qua điểm $M (2; - 2)$ nên ta chọn D

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có bán kính

R = 2

và tâm O có phương trình

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = \sqrt{2}$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 2$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 8$

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt cầu (S) có bán kính $R = 2$ và tâm $O (0; 0; 0)$ có phương trình: $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$

Câu 4:

Tập xác định D của hàm số $y = \log_{x} (4 - x^{2})$ là

A. $D = (0; 2) \ \{1\}$

B. $D = (0; 2)$

C. $D = (0; + \infty)$

D. $D = (- 2; 2)$

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện:

\{\begin{cases} 4 - x^{2} > 0 \\ 0 < x \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 2 < x < 2 \\ 0 < x \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < x < 2 \\ x \neq 1 \end{cases} \Rightarrow D (0; 2) \ \{1\}

Câu 5:

Hàm số $y = \frac{x + 1}{2 x}$ có đồ thị (T) là một trong bốn hình dưới đây

Hàm số y = x + 1/ 2x có đồ thị (T) là một trong bốn hình dưới đây . Hỏi đồ thị (T) là hình nào (ảnh 1)

Hỏi đồ thị (T) là hình nào?

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 3

D. Hình 4

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị nhận x = 0 (trục tung) làm tiệm cận đứng $\to$ loại C, D

Ta có: $y^{'} = \frac{- 1}{2 x^{2}} < 0, \forall x \neq 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 0)$ và $(0; + \infty)$

Câu 6:

Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

y = f_{1} (x); y = f_{2} (x)

(liên tục trên [a;b]) và hai đường thẳng

x = a, x = b (a < b)

. Khi đó S được tính theo công thức nào sau đây?

A. $S = \int_{a}^{b} [f_{1} (x) - f_{2} (x)] d x$

B. $S = \int_{a}^{b} {[f_{1} (x) - f_{2} (x)]}^{2} d x$

C. $S = \int_{a}^{b} [f_{1} (x) - f_{2} (x)] d x$

D. $S = |\int_{a}^{b} [f_{1} (x) - f_{2} (x)] d x|$

Xem đáp án

Đáp án C

Công thức là $S = \int_{a}^{b} |f_{1} (x) - f_{2} (x)| d x$

Chú ý: Công thức $S = |\int_{a}^{b} [f_{1} (x) - f_{2} (x)] d x|$ chỉ đúng khi trên $[a; b]$ phương trình $f_{1} (x) - f_{2} (x) = 0$ vô nghiệm hoặc có nghiệm thì đó là nghiệm kép hoặc nghiệm bội chẵn. Hay trên đoạn $[a; b]$ hai đồ thị $y = f_{1} (x)$ và $y = f_{2} (x)$ không có giao điểm hoặc tiếp xúc nhau.

Câu 7:

Cho tứ diện ABCD. Gọi G và E lần lượt là trọng tâm của tam giác ABD và tam giác ABC. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. GE cắt CD

B. GE cắt AD

C. GE, CD chéo nhau

D. GE // CD

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC.

Khi đó: $\frac{A G}{A M} = \frac{2}{3} = \frac{A E}{A N} \Rightarrow G E // M N$ (1)

Mặt khác: MN là đường trung bình của $Δ B D C$

$\Rightarrow M N // C D$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra: $G E // C D$

Câu 8:

Cho hai hàm số

y = a^{x}

và

y = \log_{x} x

với

0 < a \neq 1

. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. Hàm số $y = \log_{a} x$ có tập xác định $D = (0; + \infty)$

B. Hàm số $y = a^{x}$ và $y = \log_{a} x$ đồng biến trên mỗi tập xác định tương ứng của nó khi a >1

C. Đồ thị hàm số $y = a^{x}$ nhận trục hoành làm đường tiệm cận ngang

D. Đồ thị hàm số $y = \log_{a} x$ nằm phía trên trục hoành

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm $M (1; 0)$ nên D sai

Câu 9:

Một hình nón có bán kính đáy bằng 5a, độ dài đường sinh bằng 13a. Tính độ dài đường cao h của hình nón

A. $h = 12 a$

B. $h = 8 a$

C. $h = \sqrt{194} a$

D. $h = 7 a \sqrt{6}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

1^{2} = R^{2} + h^{2} \Rightarrow h = \sqrt{1^{2} - R^{2}} = \sqrt{{(13 a)}^{2} - {(5 a)}^{2}} = 12 a

Câu 10:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho

\vec{O M} = 3 \vec{i} - 2 \vec{k}

với

\vec{i}, \vec{k}

lần lượt là vectơ đơn vị trên trục Ox, Oz. Tọa độ điểm M là

A. $M (3; - 2; 0)$

B. $M (3; 0; - 2)$

C. $M (0; 3; - 2)$

D. $M (- 3; 0; 2)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $\vec{O M} = 3 \vec{i} - 2 \vec{k} \Rightarrow M (3; 0; - 2)$

Chú ý: Nếu $\vec{O M} = x_{0} . \vec{i} - y_{0} . \vec{j} + z_{0} \vec{k} \Rightarrow M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$

Câu 11:

Một khối tứ diện đều cạnh a có thể tích bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $B H = R = \frac{a \sqrt{3}}{3} \Rightarrow A H = \sqrt{A B^{2} - B H^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Khi đó: $V_{A B C D} = \frac{1}{3} A H . S_{A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{12}}{12}$

Chú ý:

+) Một tam giác đều cạnh a có: $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}; h = \frac{a \sqrt{3}}{2}; R = \frac{a \sqrt{3}}{3}; r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

+) Một khối tứ diện đều cạnh a có: $V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}; h = \frac{a \sqrt{6}}{3}$

Câu 12:

Trong các phát biểu sau khi nói về hàm số

y = \frac{1}{4} x^{4} - 2 x^{2} + 1

, phát biểu nào đúng?

A. Hàm số có một điểm cực tiểu và hai điểm cực đại

B. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu

C. Hàm số có một điểm cực trị

D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y^{'} = x^{3} - 4 x = x (x^{2} - 4)$ . Khi đó: $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x \in \{0; \pm 2\}$

Lập bẳng biến thiên suy ra hàm số có một điểm cực đại $x = 0$ và hai điểm cực tiểu $x = \pm 2$

Chú ý: Với hàm trùng phương $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ để suy luận ra số cực trị (cực đại, cực tiểu) ta chỉ cần dựa vào dấu của hệ số a,b. Cụ thể:

- $a b \geq 0$ : Có một cực trị

Một cực đại và không có cực tiểu $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a < 0 \\ b \leq 0 \end{cases}$

Một cực tiểu và không có cực đại $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ b \geq 0 \end{cases}$

- $a b < 0$ : có ba cực trị

Có hai cực đại và một cực tiểu $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a < 0 \\ b > 0 \end{cases}$

Có hai cực tiểu và một cực đại $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a > 0 \\ b < 0 \end{cases}$

Ở câu hỏi này ta có: $\{\begin{cases} a = \frac{1}{4} > 0 \\ b = - 2 < 0 \end{cases} \Rightarrow$ hàm số có hai cực tiểu và một cực đại.

Câu 13:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên $ℝ$ , có $f (8) = 20; f (4) = 12$ . Tính tích phân $I = \int_{4}^{8} f^{'} (x) d x$ .

A. I=4

B. I=32

C. I=8

D. I=16

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

I = \int_{4}^{8} f^{'} (x) d x = {f (x)|}_{4}^{8} = f (8) - f (4) = 20 - 12 = 8

Câu 14:

Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn. Hỏi có thể tạo ra được bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là ba trong 6 điểm trên?

A. 20

B. 120

C. 18

D. 9

Xem đáp án

Đáp án A

Số tam giác được tạo thành chính là số cách lấy 3 điểm từ 6 điểm phân biệt không quan tâm tới thứ tự. Do đó số tam giác cần tìm là: $C_{6}^{3} = 20$

Câu 15:

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $2^{x} = 9 - m^{2}$ có nghiệm?

A. Vô số

B. 3

C. 7

D. 5

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $2^{x} = 9 - m^{2}$ có nghiệm khi và chỉ khi: $9 - m^{2} > 0 \Leftrightarrow - 3 < m < 3 \overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{\pm 2; \pm 1; 0\}$

Câu 16:

Cho hình chóp

S . A B C

trên cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm

A^{'}, B^{'}, C^{'}

sao cho

S A = 2 S A^{'}; S B = 3 S B^{'}

và

S C = 4 S C^{'}

. Gọi

V^{'}

và

V

lần lượt là thể tích của khối chóp

S . A^{'} B^{'} C^{'}

và

S . A B C

. Khi đó tỉ số

\frac{V^{'}}{V}

bằng bao nhiêu?

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{12}$

C. $\frac{1}{24}$

D. $\frac{1}{9}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

\frac{V^{'}}{V} = \frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A^{'}}{S A} . \frac{S B^{'}}{S B} . \frac{S C^{'}}{S C} = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} . \frac{1}{4} = \frac{1}{24}

Câu 17:

Nghiệm của phương trình ${(1,5)}^{x} = {(\frac{2}{3})}^{x - 2}$ là

A. $x = 0$

B. $x = 1$

C. $x = 2$

D. $x = \log_{2} 3$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: ${(1,5)}^{x} = {(\frac{2}{3})}^{x - 2} \Leftrightarrow {(\frac{3}{2})}^{x} = {(\frac{3}{2})}^{2 - x} \Leftrightarrow x = 2 - x \Leftrightarrow x = 1$

Chú ý: Ở câu hỏi này ta có thể dùng Casio hoặc thay ngược đáp số.

Câu 18:

Cho hàm số

y = x^{4} + x^{2} - 3

có đồ thị (C). Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ

x = 1

là

A. -1

B. 2

C. -4

D. 6

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $y^{'} = 4 x^{3} + 2 x$

Khi đó hệ góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x = 1$ là : $y^{'} (1) = 6$

Câu 19:

Biết $T (4; - 3)$ là điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ phức Oxy. Khi đó điểm nào sau đây biểu diễn số phức $w = |z| - \bar{z}$

A. M(1;3)

B. $N (- 1; - 3)$

C. $P (- 1; 3)$

D. $Q (1; - 3)$

Xem đáp án

Đáp án D

Do $T (4; - 3)$ là điểm biểu diễn số phức z.

Suy ra: $z = 4 - 3 i \Rightarrow \{\begin{cases} |z| = 5 \\ \bar{z} = 4 + 3 i \end{cases} \Rightarrow w = |z| - \bar{z} = 5 - (4 + 3 i) = 1 - 3 i$

Khi đó điểm $Q (1; - 3)$ biểu diễn số phức w.

Câu 20:

Cho

0 < m < 1

và

\int_{0}^{m} (2 x - 1) e^{x} d x = 4 m - 3

. Khi đó giá trị nào sau đây gần m nhất?

A. 0,5

B. 0,96

C. 0,73

D. 0,87

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $\{\begin{cases} u = 2 x - 1 \\ d x = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 d x \\ v = e^{x} \end{cases}$ . Khi đó:

$\int_{0}^{m} (2 x - 1) e^{x} d x = (2 x - 1) {e^{x}|}_{0}^{m} - 2 \int_{0}^{m} e^{x} d x = (2 m - 1) e^{m} + 1 - {2 e^{x}|}_{0}^{m} = (2 m - 3) e^{m} + 3$

Suy ra: $(2 m - 3) e^{m} + 3 = 4 m - 3 \Leftrightarrow (2 m - 3) e^{m} = 2 (2 m - 3)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 m - 3 = 0 \\ e^{m} = 2 \end{array} \overset{0 < m < 1}{\to} e^{m} = 2 \Leftrightarrow m = \ln 2 \approx 0,693$ gần giá trị 0,69 nhất

Câu 21:

Phương trình

3 \sin x - 1 = 0

có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng từ

(0; 3 π)

?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $3 \sin x - 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{3}$ (*)

Dựa vào đường tròn lượng giác, suy ra trên khoảng $(0; 3 π)$

Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt

Câu 22:

Gọi M, N là giao điểm của đồ thị $y = \frac{7 x + 6}{x - 2}$ và đường thẳng $y = x + 2$ . Khi đó hoành độ trung điểm của đoạn MN bằng

A. $\frac{7}{2}$

B. $- \frac{11}{2}$

C. $\frac{11}{2}$

D. $- \frac{7}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{7 x + 6}{x - 2} = x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - 7 x - 10 = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ lần lượt là hoành độ của $M, N$

Khi đó hoành độ trung điểm của đoạn MN là :

x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{7}{2}

Câu 23:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết M(a;b;c) (với a>0) là điểm thuộc đường thẳng $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ và cách mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z - 5 = 0$ một khoảng bằng 2. Tính giá trị của $T = a + b + c$

A. $T = - 1$

B. $T = - 3$

C. $T = 3$

D. $T = 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Do $M \in Δ \Rightarrow M (t; - 2 - t; 1 + 2 t)$ với $t = a > 0$

Khi đó $d (M, (P)) = 2 \Leftrightarrow \frac{|2 t - (- 2 - t) + 2. (1 + 2 t) - 5|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 2$

$\Leftrightarrow |7 t - 1| = 6 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - \frac{5}{7} \end{array} \overset{t > 0}{\to} t = 1 \Rightarrow M (1; - 3; 3)$

$\Rightarrow T = a + b + c = 1 - 3 + 3 = 1$

Câu 24:

Hình chữ nhật ABCD có $A B = 4, A D = 2$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Cho hình chữ nhật quay quanh MN ta được một khối tròn xoay có thể tích V bằng

A. $V = \frac{4 π}{3}$

B. $V = 8 π$

C. $V = \frac{8 π}{3}$

D. $V = 32 π$

Xem đáp án

Đáp án B

Khối tròn xoay được tạo ra là hình trụ (như hình vẽ)

Ta có $\{\begin{cases} h = A D = 2 \\ R = \frac{A B}{2} = 2 \end{cases} \Rightarrow V = h π R^{2} = 8 π$

Câu 25:

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{3^{x} - 1}{5^{x}}$ là

A. $y^{'} = {(\frac{3}{5})}^{x} \ln \frac{3}{5} + {(\frac{1}{5})}^{x} \ln 5$

B. $y^{'} = x {(\frac{3}{5})}^{x - 1} - x {(\frac{1}{5})}^{x - 1}$

C. $y^{'} = {(\frac{3}{5})}^{x} \ln \frac{3}{5} - {(\frac{1}{5})}^{x} \ln 5$

D. $y^{'} = x {(\frac{3}{5})}^{x - 1} + x {(\frac{1}{5})}^{x - 1}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

y = \frac{3^{x} - 1}{5^{x}} = {(\frac{3}{5})}^{x} - {(\frac{1}{5})}^{x} \Rightarrow y^{'} {(\frac{3}{5})}^{x} \ln \frac{3}{5} - {(\frac{1}{5})}^{x} \ln \frac{1}{5} = {(\frac{3}{5})}^{x} \ln \frac{3}{5} + {(\frac{1}{5})}^{x} \ln 5

Câu 26:

Biết giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{3} - 3 x^{2} + m + 2$ trên đoạn $[- 1; 1]$ bằng 0 khi $m = m_{0}$ . Hỏi trong các giá trị sau, đâu là giá trị gần $m_{0}$ nhất?

A. -4

B. 3

C. -1

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y^{'} = - 3 x^{2} - 6 x = - 3 x . (x + 2); y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array} \overset{x \in [- 1; 1]}{\to} x = 0$

Ta có: $y (- 1) = m; y (0) = m + 2; y (1) = m - 2 \Rightarrow \max_{[- 1; 1]} y = m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = - 2 = m_{0}$

Vậy $m_{0} = - 2$ gần -1 nhất trong các phương án đưa ra

Câu 27:

Hàm số

y = x^{2} e^{x}

nghịch biến trên khoảng nào?

A. $(- \infty; - 2)$

B. $(- 2; 0)$

C. $(1; + \infty)$

D. $(- \infty; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y^{'} = 2 x . e^{x} + x^{2} e^{x} = x (x + 2) e^{x}$

Xét $y^{'} < 0 \Leftrightarrow x (x + 2) e^{x} < 0 \Leftrightarrow x (x + 2) < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 0$

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0)

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z + 1}{2}$ ; $d_{2} : \{\begin{cases} x = 3 t \\ y = 4 - t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}$ và mặt phẳng Oxz cắt $d_{1}, d_{2}$ lần lượt tại các điểm A, B. Diện tích S của tam giác OAB bằng bao nhiêu?

A. $S = 5$

B. $S = 3$

C. $S = 6$

D. $S = 10$

Xem đáp án

Đáp án A

Mặt phẳng Oxz có phương trình: $y = 0$

+) Thay $y = 0$ vào phương trình $d_{1}$ , suy ra: $\frac{x - 1}{3} = \frac{0 + 2}{- 1} - \frac{z + 1}{2} \Rightarrow \{\begin{cases} x = - 5 \\ z = - 5 \end{cases} \Rightarrow A (- 5; 0; - 5)$

+) Thay $y = 0$ vào phương trình $d_{2}$ , suy ra: $\{\begin{cases} x = 3 t \\ 0 = 4 - t \\ z = 2 + 2 t \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 4 \\ x = 12 \\ z = 10 \end{cases} \Rightarrow B (12; 0; 10)$

Suy ra $\{\begin{cases} \vec{O A} = (- 5; 0; - 5) \\ \vec{O B} = (12; 0; 10) \end{cases} \Rightarrow [\vec{O A}, \vec{O B}] = (0; - 10; 0) \Rightarrow S_{O A B} = \frac{1}{2} |[\vec{O A}, \vec{O B}]| = \frac{\sqrt{0^{2} + 10^{2} + 0^{2}}}{2} = 5$

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA = 2a. tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AC và SB

A. $h = \frac{3 a}{2}$

B. $h = \frac{2 a}{3}$

C. $h = \frac{a}{3}$

D. $h = \frac{a}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựng hình bình hành $A C B E \Rightarrow A C // B E$

$\Rightarrow h = d (A C, S B) = d (A C, (S B E)) = d (A, (S B E)) = A H$

(Với I là hình chiếu vuông góc của A trên EB và H là hình chiếu vuông góc của A trên SI như hình vẽ).

Ta có ABE là tam giác vuông cân tại $A \Rightarrow A I = \frac{E B}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Khi đó: $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A I^{2}} + \frac{1}{S A^{2}} = \frac{2}{a^{2}} + \frac{1}{4 a^{2}} = \frac{9}{4 a^{2}} \Rightarrow h = A H = \frac{2 a}{3}$

Câu 30:

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện $|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i|$ . Số phức z có môdun nhỏ nhất có tổng phần thực và hai lần phần ảo là

A. 4

B. 6

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Cách 1: Gọi $z = a + b i$ với $a, b \in ℝ$ . Khi đó điều kiện bài toán tương đương:

$|a + b i - 2 - 4 i| = |a + b i - 2 i| \Leftrightarrow |(a - 2) + (b - 4) i| = |a + (b - 2) i|$

$\Leftrightarrow {(a - 2)}^{2} + {(b - 4)}^{2} = a^{2} + {(b - 2)}^{2} \Leftrightarrow - 4 a - 8 b + 20 = - 4 b + 4 \Leftrightarrow a + b = 4 \Leftrightarrow b = 4 - a$

Suy ra: $|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(4 - a)}^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - 8 a + 16} = \sqrt{2 {(a - 2)}^{2} + 8} \geq \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

Vậy ${|z|}_{\min} = 2 \sqrt{2}$ khi $a = 2 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a + 2 b = 6$

Cách 2: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z , khi đó: $|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i| \Leftrightarrow M A = M B$

Trong đó $\{\begin{cases} A (2; 4) \\ B (0; 2) \end{cases}$

Suy ra M thuộc đường thẳng trung trực $Δ$ của AB với $Δ : x + y - 4 = 0$

Ta có: ${|z|}_{\min} = O M_{\min} \Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng $Δ$

Đường thẳng qua O vuông góc với $Δ$ là: $x - y = 0$

Khi đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

$\{\begin{cases} x + y - 4 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 2 \Rightarrow M (2; 2) \Rightarrow z = 2 + 2 i \Rightarrow$ đáp số: $2 + 2.2 = 6$

Câu 31:

Tập nghiệm S của bất phương trình

\frac{1}{\log (10 (x^{2} + 1))} + \frac{1}{\log {(x^{2} + 1)}^{2}} \geq 1

có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình tương đương $\frac{1}{1 + \log (x^{2} + 1)} + \frac{1}{2 \log (x^{2} + 1)} \geq 1$ . Điều kiện: $x \neq 0$

Đặt $t = \log (x^{2} + 1)$ với $t > 0$ khi đó phương trình có dạng:

$\frac{1}{1 + t} + \frac{1}{2 t} \geq 1 \Leftrightarrow 2 t + 1 + t \geq 2 t (t + 1) \Leftrightarrow 2 t^{2} - t - 1 \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \Rightarrow 0 < t \leq 1$

Vậy:

\log (x^{2} + 1) \leq 1 \Leftrightarrow x^{2} + 1 \leq 10 \Leftrightarrow - 3 \leq x \leq 3 \overset{x \in ℤ, z \neq 0}{\to} x \in \{\pm 3; \pm 2; \pm 1\}

Câu 32:

Cho cấp số cộng

(u_{n})

có công sai

d = - 4

và

u_{3}^{2} + u_{4}^{2}

đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm

u_{2019}

là số hạng thứ 2019 của cấp số cộng đó

A. $u_{2019} = - 8062$

B. $u_{2019} = - 8060$

C. $u_{2019} = - 8058$

D. $u_{2019} = - 8054$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $u_{3}^{2} + u_{4}^{2} = {(u_{1} + 2 d)}^{2} + {(u_{1} + 3 d)}^{2} = {(u_{1} - 8)}^{2} + {(u_{1} - 12)}^{2}$

$= 2 u_{1}^{2} - 40 u_{1} + 208 = 2 {(u_{1} - 10)}^{2} + 8 \geq 8$

Suy ra: ${(u_{2}^{3} + u_{4}^{2})}_{\min} = 8$ khi $u_{1} = 10 \Rightarrow u_{2019} = u_{1} + 2018 d = 10 + 2018. (- 4) = - 8062$

Câu 33:

Trong tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số

y = \frac{x - 4}{\sqrt{m x^{2} + m^{2} - 17}}

có bốn đường tiệm cận, có bao nhiêu giá trị m nguyên?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Theo yêu cầu bài toán thì đồ thị phải có 2 tiệm cận đứng và 2 tiệm cận ngang

+) Đồ thị có 2 tiệm cận ngang thì $m > 0 (*) \Rightarrow y = \frac{x - 4}{\sqrt{m x^{2} + m^{2} - 17}} ~ \frac{x}{\sqrt{m x^{2}}} = \pm \frac{1}{\sqrt{m}}$ khi $x \to \pm \infty$ .

Nghĩa là đồ thị có 2 tiêm cận ngang $y = \pm \frac{1}{\sqrt{m}}$

+) Đồ thị có 2 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình $f (x) = m x^{2} + m^{2} - 17 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 4

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m (17 - m^{2}) > 0 (*) \\ f (4) = m^{2} + 16 m - 17 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < m < \sqrt{17} \\ m \notin \{1; - 17\} \end{cases} \overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{2; 3; 4\}$

Câu 34:

Cho số phức z có môđun bằng 2. Biết rằng tập hợp điểm trong mặt phẳng tạo độ biểu diễn số phức $w = 2 z + 4 - 3 i$ là đường tròn tâm I(a;b), bán kính R. Tổng $a + b + R$ bằng

A. 6

B. 9

C. 15

D. 17

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M (x; y)$ là điểm biểu diễn số phức $w = x + y i$ . Khi đó: $x + y i = 2 z + 4 - 3 i \Leftrightarrow 2 z = (x - 4) + (y + 3) i$

$\Rightarrow 2 |z| = |(x - 4) + (y + 3) i| \Leftrightarrow 16 = \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2}} \Leftrightarrow {(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 16^{2}$

Suy ra M thuộc đường tròn tâm $I (4; - 3)$ và bán kính $R = 16 \Rightarrow a + b + R = 4 + (- 3) + 16 = 17$

Câu 35:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I(3;1;-3) và cắt trục tung Oy tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông. Phương trình mặt cầu (S) là

A. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 6$

B. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 3$

C. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 36$

D. ${(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên trục $O y$

Do IAB là tam giác vuông cân nên suy ra: $I H = \frac{A B}{2} = \frac{I A \sqrt{2}}{2} = \frac{R \sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2} \Rightarrow R = 6$

Suy ra phương trình mặt cầu

(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 36

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I(3;1;-3) và cắt trục tung Oy tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông. Phương trình mặt cầu (S) là (ảnh 1)

Câu 36:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[- 3; 10]$ , biết $f (- 3) = f (3) = f (8)$ và có bảng biến thiên như hình bên:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn -3;10 , biết f(-3) = f(3) = f(8) và có bảng biến thiên như hình bên. Có bao nhiêu giá trị của m để phương (ảnh 1)

Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình $f (x) = f (m)$ có ba nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn [-3;10]?

A. 1

B. 2

C. 8

D. 9

Xem đáp án

Đáp án C

Số nghiệm của phương trình $f (x) = f (m)$ (*) chính là số giao điểm của đồ thị $y = f (x)$ và đường thẳng $y = f (m)$ có phương song song hoặc

trùng với trục Ox.

Do đó dựa vào bẳng biến thiên của hàm số $y = f (x)$ , phương trình (*) có ba nghiệm thực phân biệt $\Leftrightarrow 3 \leq f (m) < 5$ (2*)

Từ bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$ , ta có: $3 \leq f (x) < 5 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 3 \leq x < 1 \\ 1 < x \leq 3 \\ 8 \leq x < 10 \end{array}$

Khi đó (2*) $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 3 \leq m < 1 \\ 1 < m \leq 3 \\ 8 \leq m < 10 \end{array} \overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{- 3; - 2; - 1; 0; 2; 3; 8; 9\}$ : có 8 giá trị m

Câu 37:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và hàm số $y = g (x) = x^{2} f (x^{3})$ có đồ thị trên đoạn $[- 1; 3]$ như hình vẽ. Biết miền hình phẳng được tô sọc kẻ có diện tích $S = 6$ . Tính tích phân $I = \int_{1}^{27} f (x) d x$ .

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và hàm số y = g(x) = x^2 f(x^3) có đồ thị trên đoạn -3;1 như hình vẽ (ảnh 1)

A. $I = 2$

B. $I = 12$

C. $I = 24$

D. $I = 18$

Xem đáp án

Đáp án D

Hình phẳng được giới hạn bởi các đường: $\{\begin{cases} y = x^{2} f (x^{3}) \\ y = 0 \\ x = 1; x = 3 \end{cases}$

Khi đó ta có: $6 = S = \int_{1}^{3} x^{2} f (x^{3}) d x$

Đặt $t = x^{3} \Rightarrow \{\begin{cases} d t = 3 x^{2} d x \Rightarrow x^{2} d x = \frac{1}{3} d t \\ x = 1 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow t = 27 \end{cases}$

Suy ra: $6 = \frac{1}{3} \int_{1}^{27} f (t) d t = \frac{1}{3} \int_{1}^{27} f (x) d x = \frac{I}{3} \Rightarrow I = 18$

Câu 38:

Gieo một con súc sắc cân đối, đồng chất liên tiếp hai lần. Biết tổng số chấm sau hai lần gieo là m. Tính xác suất để sau hai lần gieo phương trình

x^{2} - m x + 21 = 0

có nghiệm

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{3}{13}$

Xem đáp án

Đáp án A

Số khả năng xảy ra khi gieo 2 con súc sắc liên tiếp là: $n (Ω) = 6.6 = 36$

Gọi A là biến cố để phương trình $x^{2} - m x + 21 = 0$ có nghiệm

Với m là tổng số chấm sau 2 lần gieo, suy ra: $2 \leq m \leq 12$

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: $Δ = m^{2} - 84 \geq 0 \overset{m \in ℤ; 2 \leq m \leq 12}{\to} m \in \{10; 11; 12\}$

Trường hợp 1: $m = 10 = 6 + 4 = 4 + 6 = 5 + 5$ có 3 cách

Trường hợp 2: $m = 11 = 6 + 5 = 5 + 6$ có 2 cách

Trường hợp 3: $m = 12 = 6 + 6$ có 1 cách

Suy ra $n (A) = 3 + 2 + 1 = 6 \Rightarrow P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

Câu 39:

Từ miếng tôn hình vuông ABCD cạnh bằng 8dm, người ta cắt ra hình quạt tâm A bán kính $A B = 8 dm$ (như hình vẽ) để cuộn lại thành chiếc phễu hình nón (khi đó AB trùng với AD). Tính thể tích V của khối nón tạo thành

Từ miếng tôn hình vuông ABCD cạnh bằng 8dm, người ta cắt ra hình quạt tâm A bán kính AB = 8dm (như hình vẽ) (ảnh 1)

A. $V = \frac{8 π \sqrt{15}}{3} {dm}^{3}$

B. $V = \frac{8 π \sqrt{15}}{5} {dm}^{3}$

C. $V = 8 π \sqrt{15} {dm}^{3}$

D. $V = \frac{4 π \sqrt{15}}{3} {dm}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Độ dài cung tròn BD bằng $\frac{1}{4}$ chu vi đường tròn, bán kính AB và bằng chu vi đáy của hình nón.

Do đó ta có: $\frac{1}{4} .2 π .8 = 2 π R \Leftrightarrow R = 2 \Rightarrow h = \sqrt{1^{2} - R^{2}} = \sqrt{8^{2} - 2^{2}} = 2 \sqrt{15}$

Suy ra thể tích của nón: $V = \frac{1}{3} h π R^{2} = \frac{1}{3} .2 \sqrt{15} π 2^{2} = \frac{8 π \sqrt{15}}{3} {dm}^{3}$

Câu 40:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp tứ giác đều $S . A B C D$ biết $A (1; 0; 0)$ $, B (5; 0; 0), C (5; 4; 0)$ và chiều cao hình chóp bằng 6. Gọi $I (a; b; c)$ là điểm cách đều 5 đỉnh của hình chóp (với c>0). Tính giá trị của $T = a + 2 b + 3 c$ .

A. $T = 41$

B. $T = 14$

C. $T = 23$

D. $T = 32$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng $(A B C D) \equiv (O x y)$ . Do $S . A B C D$ là chóp đều nên H là giao điểm của AC và $B D \Rightarrow H (3; 2; 0)$ (với H là trung điểm của AC)

Theo đề ra ta có: $S H = 6 \Rightarrow [\begin{array}{l} S (3; 2; 6) \\ S (3; 2; - 6) \end{array}$

Vì I cách đều 5 đỉnh của chóp nên suy ra: $I \in S H \Rightarrow I (3; 2; c)$ . Do $c > 0 \Rightarrow S (3; 2; 6)$

Mặt khác: $I A = I S \Leftrightarrow I A^{2} = I S^{2}$

$\Leftrightarrow 2^{2} + 2^{2} + c^{2} = {(c - 6)}^{2} \Leftrightarrow 12 c = 28 \Leftrightarrow c = \frac{7}{3}$

$\Rightarrow I (3; 2; \frac{7}{3}) \Rightarrow a = 3; b = 2; c = \frac{7}{3} \Rightarrow T = a + 2 b + 3 c = 14$

Câu 41:

Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để phương trình $2^{x^{2} + 2 x + m} - 4^{5 x - 3 \ln x} + x^{2} - 8 x + m + 6 \ln x = 0$ có ba nghiệm thực phân biệt?

A. 0

B. 1

C. 2

D. vô số

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: x > 0

Biến đổi phương trình tương đương: $2^{x^{2} + 2 x + m} + x^{2} + 2 x + m = 2^{10 x - 6 \ln x} + 10 x - 6 \ln x$

Đặt $\{\begin{cases} u = x^{2} + 2 x + m \\ v = 10 x - 6 \ln x \end{cases}$ , khi đó phương trình có dạng:

$2^{u} + u = 2^{v} + v \Leftrightarrow f (u) = f (v)$ với $f (t) = 2^{t} + 1$ là hàm số đồng biến

$\Leftrightarrow u = v \Leftrightarrow x^{2} + 2 x + m = 10 x - 6 \ln x \Leftrightarrow m = - x^{2} + 8 x - 6 \ln x = g (x)$ với $x > 0$

Ta có: $g^{'} (x) = - 2 x + 8 - \frac{6}{x} = \frac{- 2 (x^{2} - 4 x + 3)}{x}$

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 3 \end{array}$

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình có 3 nghiệm khi và chỉ khi: $7 < m < 15 - 6 \ln 3 \approx 8,4 \overset{m \in ℤ}{\to} m = 8$

Câu 42:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z + 2}{- 2}$ và tiếp xúc với mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 3 = 0$ . Khi đó mặt phẳng (P) đi qua điểm nào trong các điểm sau?

A. $M (2; 0; 0)$

B. $N (2; 1; 0)$

C. $P (1; 1; - 1)$

D. $Q (- 1; 2; 0)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $Δ : \frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{x + 2}{- 2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + y = 0 \\ y - z - 2 = 0 \end{cases}$

Do $Δ \subset (P)$ , suy ra mặt phẳng (P) có dạng:

$a . (2 x + y) + b . (y - z - 2) = 0 \Leftrightarrow 2 a x + (a + b) y - b z - 2 b = 0$ với $a^{2} + b^{2} > 0$

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; 0; 0)$ và bán kính $R = 2$

Do $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ nên: $d (I, (P)) = R \Leftrightarrow \frac{|2 a - 2 b|}{\sqrt{4 a^{2} + {(a + b)}^{2} + b^{2}}} = 2$

$\Leftrightarrow {(a - b)}^{2} = 4 a^{2} + {(a + b)}^{2} + b^{2} \Leftrightarrow 4 a^{2} + 4 a b + b^{2} = 0 \Leftrightarrow {(2 a + b)}^{2} = 0 \Leftrightarrow b = - 2 a$

Chọn $\{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 2 \end{cases} \Rightarrow (P) : 2 x - y + 2 z + 4 = 0$ đi qua điểm $Q (- 1; 2; 0)$

Chú ý: Mặt phẳng chứa đường thẳng $Δ : \{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1} = 0 \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2} = 0 \end{cases}$ luôn có dạng:

$A . (a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z + d_{1}) + B . (a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z + d_{2}) = 0$ với $A^{2} + B^{2} \neq 0$

Câu 43:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ có đồ thị $y = f^{'} (x)$ như hình vẽ bên. Hàm số $y = f (\sqrt{x^{2} + 2 x + 9} - \sqrt{x^{2} + 2 x + 4})$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có đồ thị y = f'(x) như hình vẽ bên. Hàm số (ảnh 1)

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y^{'} = (x + 1) (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 9}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 4}}) . f^{'} (\sqrt{x^{2} + 2 x + 9} - \sqrt{x^{2} + 2 x + 4})$

Khi đó: $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x + 1 = 0 \\ \sqrt{x^{2} + 2 x + 9} = \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} \\ f^{'} (\sqrt{x^{2} + 2 x + 9} - \sqrt{x^{2} + 2 x + 4}) = 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ (\sqrt{x^{2} + 2 x + 9} - \sqrt{x^{2} + 2 x + 4}) \in \{- 1; 1; 3\} (*) \end{array}$

Do $\{\begin{cases} \sqrt{x^{2} + 2 x + 9} - \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} = \frac{5}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 9} + \sqrt{x^{2} + 2 x + 4}} \\ x^{2} + 2 x + 9 \geq 8; x^{2} + 2 x + 4 \geq 3 \end{cases}$

$\Rightarrow 0 < \frac{5}{\sqrt{x^{2} + 2 x + 9} + \sqrt{x^{2} + 2 x + 4}} \leq \frac{5}{\sqrt{8} + \sqrt{3}} \approx 1,096$ (2*)

Từ (*), (2*), suy ra: $\sqrt{x^{2} + 2 x + 9} - \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 2 x + 9} = \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} - 1$

$\Rightarrow x^{2} + 2 x + 9 = x^{2} + 2 x + 4 - 2 \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} + 1 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + 2 x + 4} = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 2 \end{array}$

Vậy $y^{'} = 0 \Leftrightarrow x \in \{- 1; 0; - 2\}$

Tính $y^{'} (1) = 2. (\frac{1}{\sqrt{12}} - \frac{1}{\sqrt{7}}) . f^{'} (\sqrt{12} - \sqrt{7}) \approx - 0,18. f^{'} (0,82) > 0$ (do $f^{'} (0,82) < 0$ )

Khí đó ta có bẳng xét dấu của $y^{'}$ như sau:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R có đồ thị y = f'(x) như hình vẽ bên. Hàm số (ảnh 2)

Suy ra hàm số có 2 điểm cực tiểu

Câu 44:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

x = - 1; x = 2, y = 0

và parabol

(P) : a x^{2} + b x + c

bằng 15. Biết (P) có đỉnh I(1;2) là điểm cực tiểu. Tính

T = a + b - c

A. $T = - 8$

B. $T = - 2$

C. $T = 14$

D. $T = 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $y^{'} = 2 a x + b$

Do I (1;2) là điểm cực tiểu của $(P) \Rightarrow \{\begin{cases} y^{'} (1) = 0 \\ y (1) = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 a + b = 0 \\ a + b + c = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} b = - 2 a \\ c = a + 2 \end{cases}$

Khi đó (P) có dạng: $y = a x^{2} - 2 a x + a + 2$

Do (P) có đỉnh I(1;2) nằm phía trên trục $O x \Rightarrow y = a x^{2} - 2 a x + a + 2 > 0, \forall x \in ℝ$

Khi đó diện tích hình phẳng $S = \int_{- 1}^{2} (a x^{2} - 2 a x + a + 2) d x = {(\frac{a x^{3}}{3} - a x^{2} + (a + 2) x)|}_{- 1}^{2} = 3 a + 6$

Suy ra:

3 a + 6 = 15 \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow \{\begin{cases} b = - 6 \\ c = 5 \end{cases} \Rightarrow T = a + b - c = - 8

Câu 45:

Cho hai đường thẳng song song $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ . Nếu trên hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có tất cả 2018 điểm thì số tam giác lớn nhất có thể tạo ra từ 2018 điểm này là

A. 1020133294

B. 1026225648

C. 1023176448

D. 1029280900

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi n là số điểm thuộc đường thẳng $Δ_{1}$ . Suy ra số điểm thuộc $Δ_{2}$ là: 2018-n

+) Nếu n=1, thì số điểm thuộc $Δ_{1}, Δ_{2}$ lần lượt là: 1; 2017. Suy ra số tam giác: $1. C_{2017}^{2} = 2033136$

+) Nếu $n \neq 1$ thì tam giác có thể tạo ra thuộc một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Tam giác có 3 đỉnh được lấy từ 1 điểm thuộc $Δ_{1}$ và 2 điểm thuộc $Δ_{2}$

Trường hợp 2: Tam giác có 3 đỉnh được lấy từ 2 điểm thuộc $Δ_{1}$ và 1 điểm thuộc $Δ_{2}$

Suy ra số tam giác là: $\sum Δ = n . C_{2018 - n}^{2} + C_{n}^{2} . (2018 - n) = \frac{n (2018 - n) (2017 - n)}{2} + \frac{(2018 - n) . n (n - 1)}{2}$

$= 1008. n (2018 - n) = 1008. [1009^{2} - {(n - 1009)}^{2}] \leq {1008.1009}^{2} = 1026225648$

Dấu “=” xảy ra khi $n = 1009$ , suy ra : ${(\sum Δ)}_{\max} = 1026225648$

Câu 46:

Cho a là số thực và z là nghiệm của phương trình $z^{2} - 2 z + a^{2} - 2 a + 5 = 0$ . Biết $a = a_{0}$ là giá trị để số phức z có môđun nhỏ nhất. Khi đó $a_{0}$ gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A. -3

B. -1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $z = x + y i$ với $x, y \in ℝ$ . Khi đó phương trình có dạng: ${(x + y i)}^{2} - 2 (x + y i) + a^{2} - 2 a + 5 = 0$

$\Leftrightarrow x^{2} - y^{2} - 2 x + a^{2} - 2 a + 5 + 2 y (x - 1) i = 0$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} - y^{2} - 2 x + a^{2} - 2 a + 5 = 0 (*) \\ 2 y (x - 1) = 0 (2 *) \end{cases}$ . Từ (2*) $(2 *) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} y = 0 \\ x = 1 \end{array}$

+) Với $y = 0$ , khi đó (*) có dạng: $x^{2} - 2 x + a^{2} - 2 a + 5 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(a - 1)}^{2} + 3 = 0$ (vô nghiệm)

+) Với $x = 1$ , khi đó (*) có dạng: $- y^{2} + a^{2} - 2 a + 4 = 0 \Leftrightarrow y^{2} = a^{2} - 2 a + 4$

Suy ra: $|z| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{1 + a^{2} - 2 a + 4} = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + 4} \geq 2$

Vậy ${|z|}_{\min} = 2$ khi $a = a_{0} = 1$ gần 2 nhất (trong các phương án đưa ra)

Câu 47:

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, trên đường thẳng $Δ$ đi qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm M bất kì. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên MC, AC và đường thẳng $Δ$ cắt EF tại N (như hình bên). Khi đó thể tích của tứ diện MNBC đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a, trên đường thẳng đenta đi qua A vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm M bất kì (ảnh 1)

A. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{4}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $V_{M N B C} = V_{M . A B C} + V_{N . A B C} = \frac{1}{3} M A . S_{A B C} + \frac{1}{3} N A . S_{A B C} = \frac{1}{3} M N . S_{A B C}$

Đặt $A M = x \Rightarrow M N = x + A N$

Ta có: $B F ⊥ (M A C) \Rightarrow B F ⊥ M C \Rightarrow M C ⊥ (B E F) \equiv (B E N)$

Suy ra: $M C ⊥ B N \Leftrightarrow \vec{M C} . \vec{B N} = 0 \Leftrightarrow (\vec{M A} + \vec{A C}) (\vec{B A} + \vec{A N}) = 0$

$\Leftrightarrow 0 + x . A N - a^{2} . \frac{1}{2} + 0 = 0 \Leftrightarrow A N = \frac{a^{2}}{a x}$

Khi đó: $M N = x + \frac{a^{2}}{a x} \geq 2 \sqrt{x . \frac{a^{2}}{2 x}} = a \sqrt{2}$

Suy ra: $V_{M N B C} = \frac{1}{3} M N . S_{A B C} \geq \frac{1}{3} a \sqrt{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$

Câu 48:

Cho hàm số $f (x) = {(x - 1)}^{2} (a x^{2} + 4 a x - a + b - 2)$ , với $a, b \in ℝ$ . Biết trên khoảng $(- \frac{4}{3}; 0)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = - 1$ . Vậy trên đoạn $[- 2; - \frac{5}{4}]$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại

A. $x = - 2$

B. $x = - \frac{3}{2}$

C. $x = - \frac{4}{3}$

D. $x = - \frac{5}{4}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f^{'} (x) = 2 (x - 1) (a x^{2} + 4 a x - a + b - 2) + {(x - 1)}^{2} (2 a x + 4 a)$

$= (x - 1) (4 a x^{2} + 10 a x - 6 a + 2 b - 4)$

Vì là điểm cực đại của hàm số

Suy ra: $f^{'} (- 1) = 0 \Leftrightarrow - 12 a + 2 b - 4 = 0 \Leftrightarrow b = 6 a + 2$

Khi đó: $f^{'} (x) = (x - 1) (4 a x^{2} + 10 a x + 6 a) = 2 a (x - 1) (2 x^{2} + 5 x + 3)$

$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x \in \{1; - 1; - \frac{3}{2}\}$

Do $x = - 1$ là điểm cực đại nên a > 0, do đó ta có trục dấu của $f^{'} (x)$

Cho hàm số f(x) = (x - 1)^2 (ax^2 + 4ax - a + b -2) , với a,b thuộc R . Biết trên khoảng (ảnh 1)

Suy ra $\min_{[- 2; - \frac{5}{4}]} f (x) = f (- \frac{3}{2})$ hay trên đoạn $[- 2; - \frac{5}{4}]$ hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = - \frac{3}{2}$

Câu 49:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình của mặt cầu $(S_{m}) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + (m + 2) x + 2 m y - 2 m z - m - 3 = 0$ . Biết với mọi số thực m thì $(S_{m})$ luôn chứa một đường tròn cố định. Tìm bán kính r của đường tròn đó

A. $r = \frac{1}{3}$

B. $r = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

C. $r = \frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $r = \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $M (x; y; z)$ là điểm cố định là $(S_{m})$ luôn đi qua. Suy ra:

$x^{2} + y^{2} + z^{2} + (m + 2) x + 2 m y - 2 m z - m - 3 = 0, \forall m \in ℝ$

$\Leftrightarrow m (x + 2 y - 2 z - 1) = - (x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 3), \forall m \in ℝ$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x + 2 y - 2 z - 1 = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 3 = 0 \end{cases}$

Suy ra tập hợp điểm M là một đường tròn cố định được tạo ra bởi giao điểm của mặt phẳng $(P) : x + 2 y - 2 z - 1 = 0$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x - 3 = 0$

Mặt cầu (S) có tâm $I (- 1; 0; 0)$ và bán kính $R = 2$ và $h = d (I, (P)) = \frac{2}{3}$

Suy ra bán kính của đường tròn là: $r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{2^{2} - {(\frac{2}{3})}^{2}} = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

Câu 50:

Cho phương trình $m x^{2018} (x^{2019} - 1) + x^{2} + 1 = 0$ . Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $m \in [- 100; 100]$ để phương trình trên có nghiệm thực?

A. 200

B. 201

C. 100

D. 99

Xem đáp án

Đáp án A

Nếu $m = 0$ phương trình có dạng $x^{2} + 1 = 0$ (vô nghiệm)

Nếu $m \neq 0$ thì vế trái của phương trình là đa thức bậc lẻ, vế phải bằng 0. Nên phương trình luôn có nghiệm. Thật vậy:

Đặt $f (x) = m x^{2018} (x^{2019} - 1) + x^{2} + 1$ khi đó $\lim_{x \to - \infty} f (x) . \lim_{x \to + \infty} f (x) < 0$ và $f (x)$ liên tục trên $ℝ$

Nên suy ra đồ thị $y = f (x)$ luôn cắt trục Ox , hay phương trình $f (x) = 0$ luôn có nghiệm

Khi đó $\{\begin{cases} m \in [- 100; 100] \ \{0\} \\ m \in ℤ \end{cases}$ có 200 số m thỏa mãn

Chú ý: Nếu $y = f (x)$ là một đa thức bậc lẻ thì phương trình $f (x) = 0$ luôn có nghiệm.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 17)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan