50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 2)

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ .

B. $f (x)$ đồng biến trên khoảng (0;6).

C. $f (x)$ nghịch biến trên khoảng $(3; + \infty)$ .

D. $f (x)$ đồng biến trên khoảng $(- 1; 3)$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Trên khoảng $(0; 6)$ , hàm số đồng biến trên $(0; 3)$ và nghịch biến trên $(3; 6)$ nên đáp án B sai.

Câu 2:

Tìm tập xác định D của hàm số $y = e^{x^{2} + 2 x}$

A. $D = ℝ$

B. $D = [- 2; 0]$

C. $D = (- \infty - 2] \cup [0; + \infty)$

D. $D = \emptyset$

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số $y = e^{x^{2} + 2 x}$ xác định khi $x^{2} + 2 x$ , mà $x^{2} + 2 x$ là đa thức bậc hai nên nó xác định trên toàn trục số thực $ℝ$ . Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = ℝ$ .

Câu 3:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $u_{1} = - 5$ và $d = 3$ . Số 100 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng?

A. Thứ 15.

B. Thứ 20.

C. Thứ 35.

D. Thứ 36.

Xem đáp án

Đáp án D

$\{\begin{cases} u_{1} = - 5 \\ d = 3 \end{cases} \Rightarrow 100 = u_{n} = u_{1} + (n - 1) d = 3 n - 8 \Leftrightarrow n = 36$ .

Câu 4:

Kết quả của giới hạn $\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 1} - x}$ là

A. $- 2$ .

B. $+ \infty$ .

C. 3.

D. $- 1$ .

Xem đáp án

Đáp án D

$\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 1} - x} = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} - 1} = - 1$ .

Câu 5:

Cho hàm số $y = \log_{a} x, y = \log_{b} x$ với a, b là hai số thực dương, khác 1 có đồ thị lần lượt là $(C_{1}), (C_{2})$ như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $0 < b < a < 1$ .

B. $a > 1$ .

C. $0 < b < 1 < a$ .

D. $0 < b < 1$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Từ đồ thị $(C_{1})$ ta có hàm số $y = \log_{a} x$ đồng biến trên tập xác định do đó $a > 1$ nên A sai.

Câu 6:

Cho một ô tô chuyển động thẳng xác định bởi phương trình $S = \frac{1}{2} (t^{4} - 3 t^{2})$ , trong đó thời gian t tính bằng giây $(s)$ và quãng đường S được tính bằng mét $(m)$ . Vận tốc của chuyển động tại thời điểm $t = 4 s$ bằng

A. 280m/s.

B. 232m/s.

C. 140m/s.

D. 116m/s.

Xem đáp án

Đáp án D

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t là $v (t) = S^{'} = \frac{1}{2} {(t^{4} - 3 t^{2})}^{/} = 2 t^{3} - 3 t$ .

Do đó $v (4) = {2.4}^{3} - 3.4 = 116 m / s$ .

Câu 7:

Cho hình trụ có thể tích bằng

π a^{3}

và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường cao của hình trụ đã cho bằng

A. a.

B. 2a.

C. 3a.

D. $2 \sqrt{2} a$ .

Xem đáp án

Đáp án A

$V = π r^{2} h \Rightarrow h = \frac{V}{π r^{2}} = \frac{π a^{3}}{π a^{2}} = a$ .

Câu 8:

Cho $\int_{0}^{1} [f (x) - 2 g (x)] d x = 12$ và $\int_{0}^{1} g (x) d x = 5$ , khi đó $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

A. $- 2$ .

B. 12.

C. 22.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\int_{0}^{1} [f (x) - 2 g (x)] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x - 2 \int_{0}^{1} g (x) d x$

\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} [f (x) - 2 g (x)] d x + 2 \int_{0}^{1} g (x) d x = 12 + 2.5 = 22

.

Câu 9:

Trong không gian tọa độ Oxyz, độ dài của véctơ $\vec{u} = (1; 2; 2)$ là

A. 3.

B. 5.

C. 2.

D. 9.

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $|\vec{u}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = 3$ .

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng

(O y z)

và đi qua điểm

A (- 1; - 1; - 1)

có phương trình là

A. $y - 1 = 0$ .

B. $x + y + z - 1 = 0$ .

C. $x + 1 = 0$ .

D. $z - 1 = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt phẳng song song với mặt phẳng $(O y z)$ và đi qua $A (- 1; - 1; - 1)$ nhận $\vec{i} = (1; 0; 0)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là $x + 1 = 0$ .

Câu 11:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC với $A (- 1; 2; 4), B (3; 4; 2), C (- 2; - 6; - 6)$ . Tìm tọa độ điểm G là trọng tâm $Δ A B C$ .

A. $G (1; 3; - 3)$

B. $G (- 1; 3; 2)$

C. $G (1; 3; 2)$

D. $G (0; 0; 0)$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $G (x_{G}; y_{G}; z_{G})$ là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{- 1 + 3 - 2}{3} = 0 \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{2 + 4 - 6}{3} = 0 \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \frac{4 + 2 - 6}{3} = 0 \end{cases}$

Vậy $G (0; 0; 0)$ .

Câu 12:

Cho hai số phức

z_{1} = 1 + 2 i

và

z_{2} = 2 - 3 i

. Phần ảo của số phức

w = 3 z_{1} - 2 z_{2}

là

A. 12.

B. 11.

C. 1.

D. 12i.

Xem đáp án

Đáp án A

$w = 3 z_{1} - 2 z_{2} = 3 (1 + 2 i) - 2 (2 - 3 i) = - 1 + 12 i$ . Vậy phần ảo của số thực w là 12.

Câu 13:

Hình lập phương có mấy mặt phẳng đối xứng?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Xem đáp án

Đáp án D

Hình lập phương $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có 9 mặt phẳng đối xứng đó là:

+) Ba mặt phẳng trung trực của các cạnh AB, AD, $A A^{'}$ .

+) Sáu mặt phẳng chứa 6 đường chéo của hình lập phương.

Câu 14:

Họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = 3 x^{2} + \sin x

là

A. $x^{3} + \cos x + C$ .

B. $6 x + \cos x + C$ .

C. $x^{3} - \cos x + C$ .

D. sinx + 1.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\int (3 x^{2} + \sin x) d x = x^{3} - \cos x + C$ .

Câu 15:

Cho hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 5$ có đồ thị là $(C)$ . Trong số các tiếp tuyến của $(C)$ , có một tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Hệ số góc của tiếp tuyến này bằng

A. $- 3,5$ .

B. $- 5,5$ .

C. $- 7,5$ .

D. $- 9,5$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Đạo hàm $y^{/} = 6 x^{2} + 6 x - 4$

Giả sử đường thẳng $Δ$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M (x_{0}; y_{0})$ .

Suy ra đường thẳng $Δ$ có hệ số góc là $k = y^{/} (x_{0}) = 6 x_{0}^{2} + 6 x_{0} - 4$ .

Khi đó $k = 6 (x_{0}^{2} + x_{0} - \frac{2}{3}) = 6 (x_{0}^{2} + x_{0} + \frac{1}{4} - \frac{11}{12}) = 6 {(x_{0} + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{11}{2} \geq - \frac{11}{2}$ .

Vậy trong các tiếp tuyến của $(C)$ , tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là $k = - 5,5$ .

Câu 16:

Cho hàm số $y = f (x)$ . Hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số y = f(x) . Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Mệnh đề nào dưới đây đúng (ảnh 1)

A. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có hai điểm cực đại.

B. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có ba điểm cực trị.

C. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có hai điểm cực trị.

D. Đồ thị hàm số $y = f (x)$ có một điểm cực trị.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt, mà qua các điểm đó đạo hàm đổi dấu. Nên đạo hàm đổi dấu ba lần qua ba nghiệm. Do vậy hàm số $y = f (x)$ có ba điểm cực trị.

Câu 17:

Cho đường thẳng d $\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z - 3}{2}$ và hai mặt phẳng $(P_{1}) : x + 2 y + 2 z - 2 = 0; (P_{2}) : 2 x + y + 2 z - 1 = 0$ . Mặt cầu có tâm I nằm trên d và tiếp xúc với 2 mặt phẳng $(P_{1}), (P_{2})$ , có phương trình.

A. $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9$ .

B. $(S) : {(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 9$ .

C. $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 3$ .

D. $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ .

Xem đáp án

Đáp án D

• $I \in d \Rightarrow I (2 t + 1; t + 2; 2 t + 3)$

• Mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng $\Leftrightarrow d (I; (P_{1})) = d (I_{2}; (P_{2}))$

• $t = 0 \Rightarrow I (1; 2; 3); R = 3 \Rightarrow (S) : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 9$ .

•

t = - \frac{18}{17} \Rightarrow I (- \frac{19}{17}; \frac{16}{17}; \frac{15}{17}); R = \frac{3}{17} \Rightarrow (S) : {(x + \frac{19}{17})}^{2} + {(y - \frac{16}{17})}^{2} + {(z - \frac{15}{17})}^{2} = \frac{9}{289}

.

Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M (2; - 6; 3)$ và đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + 3 t \\ y = - 2 - 2 t \\ z = t \end{cases}$ . Tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên d là

A. $(1; - 2; 0)$ .

B. $(- 8; 4; - 3)$ .

C. $(1; 2; 1)$ .

D. $(4; - 4; 1)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d.

Suy ra $H \in d$ nên $H (1 + 3 t; - 2 - 2 t; t) \Rightarrow \vec{M H} = (3 t - 1; 4 - 2 t; t - 3)$ .

Đường thẳng d có một VTCP là $\vec{u} = (3; - 2; 1)$ .

Ta có $M H ⊥ d$ nên $\vec{M H} . \vec{u} = 0 \Leftrightarrow 3 (3 t - 1) - 2 (4 - 2 t) + (t - 3) = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H (4; - 4; 1)$ .

Câu 19:

Cho hàm số $y = \frac{3 x^{2} + 13 x + 19}{x + 3}$ . Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình là

A. $5 x - 2 y + 13 = 0$ .

B. $y = 3 x + 13$ .

C. $y = 6 x + 13$ .

D. $2 x + 4 y - 1 = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp tự luận $y^{'} = \frac{3 x^{2} + 18 x + 20}{{(x + 3)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{- 9 + \sqrt{21}}{3} \\ x = \frac{- 9 - \sqrt{21}}{3} \end{array}$

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y = 6 x + 13$ .

Phương pháp trắc nghiệm

Tại điểm cực trị của đồ thị hàm số phân thức ở dạng bậc 2 trên bậc 1, ta có: $\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}$

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y = \frac{{(3 x^{2} + 13 x + 19)}^{'}}{{(x + 3)}^{'}} \Leftrightarrow y = 6 x + 13$ .

Câu 20:

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích

V = 32 (c m^{3})

, tam giác BCD vuông cân có cạnh huyền

C D = 4 \sqrt{2} (c m)

. Khoảng cách từ A đến

(B C D)

bằng

A. $8 (c m)$ .

B. $4 (c m)$ .

C. $9 (c m)$ .

D. $12 (c m)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $B C = B D = 4 (c m) \Rightarrow S_{B C D} = 8 (c m^{2})$ .

Khoảng cách từ A đến $(B C D)$ là $d = \frac{3 V_{A B C D}}{S_{B C D}} = \frac{3.32}{8} = 12 (c m)$ .

Câu 21:

Số các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x^{2} - 1}$ là

A. 3.

B. 1.

C. 2.

D. 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

+) $\lim_{x \to 1^{+}} y = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x^{2} - 1} = \frac{1}{8}, \lim_{x \to 1^{-}} y = \lim_{x \to 1^{-}} = \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x^{2} - 1} = \frac{1}{8}$ .

Suy ra $x = 1$ không phải là đường tiệm cận đứng.

+) $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} y = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x^{2} - 1} = + \infty$ . Suy ra $x = - 1$ là đường tiệm cận đứng.

Câu 22:

Cho hai đường thẳng song song $d_{1}$ và $d_{2}$ . Trên $d_{1}$ lấy 17 điểm phân biệt, trên $d_{2}$ lấy 20 điểm phân biệt. Số tam giác mà có các đỉnh được chọn từ 37 điểm này là

A. 5690.

B. 5960.

C. 5950.

D. 5590.

Xem đáp án

Đáp án C

TH1. Chọn 1 điểm thuộc $d_{1}$ và 2 điểm thuộc $d_{2} \Rightarrow$ có $C_{17}^{1} . C_{20}^{2}$ tam giác.

TH2. Chọn 2 điểm thuộc $d_{1}$ và 1 điểm thuộc $d_{2} \Rightarrow$ có $C_{17}^{2} . C_{20}^{1}$ tam giác.

Như vậy, ta có $C_{17}^{1} . C_{20}^{2} + C_{17}^{2} . C_{20}^{1} = 5950$ tam giác cần tìm.

Câu 23:

Cho hàm số

y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

có đạo hàm là hàm số

y^{'} = f^{'} (x)

có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số

y = f (x)

tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ dương. Hỏi đồ thị hàm số

y = f (x)

cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng bao nhiêu?

Cho hàm số y = ax^3 + bx^2 + cx + d có đạo hàm là hàm số y' = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc trục hoành tại điểm có hoành độ dương (ảnh 1)

A. 1.

B. $\frac{2}{3}$ .

C. $\frac{3}{2}$ .

D. $\frac{4}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Tập xác định: $D = ℝ$ .

$y = f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (C)$ .

$y^{/} = f^{/} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c (P)$ .

Dựa vào đồ thị của $(P) \Rightarrow f^{/} (0) = 0 \Rightarrow c = 0$

$(P)$ có đỉnh $I (1; - 1) \Rightarrow \{\begin{cases} - \frac{b}{3 a} = 1 \\ 3 a + 2 b = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a + b = 0 \\ 3 a + 2 b = - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{3} \\ b = - 1 \end{cases}$

Vì $(C)$ tiếp xúc Ox tại điểm có hoành độ dương nên $(C)$ tiếp xúc Ox tại điểm có hoành độ $x = 2$ , theo điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị $\Rightarrow \{\begin{cases} f (2) = 0 \\ f^{/} (2) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \frac{8}{3} - 4 + d = 0 \Leftrightarrow d = \frac{4}{3} \Rightarrow (C)$ cắt Oy tại điểm $A (0; \frac{4}{3})$ .

Câu 24:

Các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Cho x, y là hai số phức thì số phức $x + \bar{y}$ có số phức liên hợp $\bar{x} + y$ .

B. Cho x, y là hai số phức thì số phức $x - \bar{y}$ có số phức liên hợp $\bar{x} - y$ .

C. Cho x, y là hai số phức thì số phức $x \bar{y}$ có số phức liên hợp $\bar{x} y$ .

D. Số phức $z = a + b i$ thì $z^{2} + {(\bar{z})}^{2} = 2 (a^{2} + b^{2})$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$ .

Khi đó

z^{2} + {(\bar{z})}^{2} = {(a + b i)}^{2} + {(a - b i)}^{2} = 2 a^{2} + 2 b^{2} i^{2} = 2 (a^{2} - b^{2})

.

Câu 25:

Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

A. $\frac{π a^{2} \sqrt{2}}{2}$ .

B. $\frac{π a^{2} \sqrt{2}}{4}$ .

C. $π a^{2} \sqrt{2}$ .

D. $\frac{2 π a^{2} \sqrt{2}}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Theo giả thiết, $S A = S B = a$ và tam giác ASB vuông cân tại S . $\Rightarrow A B = a \sqrt{2}$

Nếu gọi O là tâm đường tròn đáy thì O là trung điểm của AB, SO là chiều cao của hình nón và $S O = R = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Khi đó $S_{x q} = π . R . S B = \frac{π a^{2} \sqrt{2}}{2}$ .

Câu 26:

Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm

α = 4 + 3 i; β = - 2 + i

là

A. $z^{2} + (2 + 4 i) z - (11 + 2 i) = 0$ .

B. $z^{2} - (2 + 4 i) z - (11 + 2 i) = 0$ .

C. $z^{2} - (2 + 4 i) z + (11 + 2 i) = 0$ .

D. $z^{2} + (2 + 4 i) z + (11 + 2 i) = 0$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Áp dụng định lý Viet, ta có $\{\begin{cases} S = α + β = 2 + 4 i \\ P = α . β = - 11 - 2 i \end{cases}$ .

Do đó $α, β$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} - S z + P = 0 \Leftrightarrow z^{2} - (2 + 4 i) z - (11 + 2 i) = 0$ .

Câu 27:

Cho hàm số $f (a) = \frac{a^{\frac{2}{3}} (\sqrt[3]{a^{- 1}} - \sqrt[3]{a})}{a^{\frac{1}{8}} (\sqrt[8]{a^{3}} - \sqrt[8]{a^{- 1}})}$ với $a > 0, a \neq 1 a$ , Tính giá trị $f (2019^{2018})$ .

A. $2019^{1009}$ .

B. $2019^{1009} + 1$ .

C. $- 2019^{1009} + 1$ .

D. $- 2019^{1009} - 1$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f (a) = \frac{a^{\frac{2}{3}} (\sqrt[3]{a^{- 2}} - \sqrt[3]{a})}{a^{\frac{1}{8}} (\sqrt[8]{a^{3}} - \sqrt[8]{a^{- 1}})} = \frac{a^{\frac{2}{3}} (a^{\frac{- 2}{3}} - a^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{8}} (a^{\frac{3}{8}} - a^{\frac{- 1}{8}})} = \frac{1 - a}{a^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- (a^{\frac{1}{2}} - 1) (a^{\frac{1}{2}} + 1)}{a^{\frac{1}{2}} - 1} = - a^{\frac{1}{2}} - 1$ .

Khi đó $f (2019^{2018}) = - {(2019^{2018})}^{\frac{1}{2}} - 1 = - 2019^{1009} - 1$ .

Câu 28:

Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số $y = a^{x}, y = b^{x}, y = c^{x}$ $(0 < a, b, c \neq 1)$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

Hình vẽ bên là đồ thị các hàm số y = a^x y = b^x y = c^x ( 0 nhỏ hơn a, b, c khác 1) . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng (ảnh 1)

A. $a > b > c$ .

B. $c > b > a$ .

C. $a > c > b$ .

D. $b > a > c$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y = a^{x}, y = b^{x}$ là hai hàm số đồng biến, hàm số $y = c^{x}$ là hàm số nghịch biến nên ta có $\{\begin{cases} a > 1 \\ b > 1 \\ 0 < c < 1 \end{cases} \Rightarrow c < a, b$ .

Thay $x = 1$ vào hai hàm số $y = a^{x}, y = b^{x}$ ta được: $a < b$

Do đó, ta có: $c < a < b$ .

Câu 29:

Cho hình chóp tứ giác $S . A B C D$ có $S A ⊥ (A B C D)$ . ABCD là hình thang vuông tại A và B biết $A B = 2 a; A D = 3 B C = 3 a$ . Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$ theo a biết góc giữa mặt phẳng $(S C D)$ và $(A B C D)$ bằng $60 °$ .

A. $2 \sqrt{6} a^{3}$

B. $6 \sqrt{6} a^{3}$

C. $2 \sqrt{3} a^{3}$

D. $6 \sqrt{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựng $A M ⊥ C D$ tại M. Ta có: $\hat{S M A} = 60 °$ .

$S_{A B C D} = \frac{A D + B C}{2} . A B = 4 a^{2}$ .

$C D = \sqrt{{(A D - B C)}^{2} + A B^{2}} = 2 a \sqrt{2}$ .

$S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . B C = a^{2}$

$S_{A C D} = S_{A B C D} - S_{A B C} = 3 a^{2} . S_{A C D} = \frac{1}{2} A M . C D \Rightarrow A M = \frac{2 S_{A C D}}{C D} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} a$

Ta có: $S A = A M . \tan \hat{S M A} = \frac{3 \sqrt{6}}{2} a \Rightarrow v_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = 2 \sqrt{6} a^{3}$ .

Câu 30:

Nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = 2 x + \frac{1}{\sin^{2} x}$ thỏa mãn $F (\frac{π}{4}) = - 1$ là

A. $- \cot x + x^{2} - \frac{π^{2}}{16}$ .

B. $\cot x - x^{2} + \frac{π^{2}}{16}$ .

C. $- \cot x + x^{2} - 1$ .

D. $\cot x + x^{2} - \frac{π^{2}}{16}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $F (x) = \int (2 x + \frac{1}{\sin^{2} x}) d x = x^{2} - \cot x + C$

$F (\frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow {(\frac{π}{4})}^{2} - \cot \frac{π}{4} + C = - 1 \Leftrightarrow C = - \frac{π^{2}}{16}$

Vậy

F (x) = - \cot x + x^{2} - \frac{π^{2}}{16}

.

Câu 31:

Cho $P = {(5 - 2 \sqrt{6})}^{2018} {(5 + 2 \sqrt{6})}^{2019}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $P \in (2; 7)$ .

B. $P \in (6; 9)$ .

C. $P \in (0; 3)$ .

D. $P \in (8; 10)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $P = {(5 - 2 \sqrt{6})}^{2018} {(5 + 2 \sqrt{6})}^{2019} = {(5 - 2 \sqrt{6})}^{2018} {(5 + 2 \sqrt{6})}^{2018} (5 + 2 \sqrt{6})$

$= [{(5 - 2 \sqrt{6})}^{2018} {(5 + 2 \sqrt{6})}^{2018}] (5 + 2 \sqrt{6})$

$= {[(5 - 2 \sqrt{6}) (5 + 2 \sqrt{6})]}^{2018} (5 + 2 \sqrt{6}) = {(1)}^{2018} (5 + 2 \sqrt{6}) = 5 + 2 \sqrt{6}$

Vậy $P \in (8; 10)$ .

Câu 32:

Có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số

y = 3^{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + m x + 2 m + 1}}}

xác định với mọi

x \in (1; 2)

.

A. 1.

B. Vô số.

C. 4.

D. 10.

Xem đáp án

Đáp án B

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow - x^{2} + m x + 2 m + 1 > 0, \forall x \in (1; 2)$

$\Leftrightarrow m (x + 2) > x^{2} - 1, \forall x \in (1; 2) \Leftrightarrow m > \frac{x^{2} - 1}{x + 2}, \forall x \in (1; 2)$ .

Xét hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$ , với $x \in (1; 2)$

$f^{'} (x) = \frac{x^{2} + 4 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}, f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 2 - \sqrt{3} \notin (1; 2) \\ x = - 2 + \sqrt{3} \notin (1; 2) \end{array} \Rightarrow f^{'} (x) > 0, \forall x \in (1; 2)$

Dựa vào bảng biến thiên có $m > \frac{x^{2} - 1}{x + 2}, \forall x \in (1; 2)$ khi $m \geq \frac{3}{4}$ . Vậy $m \geq \frac{3}{4}$ .

Câu 33:

Cho hàm số $f (x)$ xác định trên $ℝ$ và có đồ thị $f^{'} (x)$ như hình vẽ bên. Đặt $g (x) = f (x) - x$ . Hàm số $g (x)$ đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số f(x) xác định trên R và có đồ thị f'(x) như hình vẽ bên. Đặt g(x) = f(x) - x . Hàm số g(x) đạt cực đại tại điểm thuộc khoảng nào dưới đây (ảnh 1)

A. $(\frac{3}{2}; 3)$ .

B. $(- 2; 0)$ .

C. $(0; 1)$ .

D. $(\frac{1}{2}; 2)$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $g^{'} (x) = f^{'} (x) - 1$ .

$g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = 1$ .

Từ đồ thị, ta được $x = - 1, x = 1, x = 2$ .

Từ đồ thị, ta có bảng xét dấu của $g^{'} (x)$ .

Vậy hàm số $g (x)$ đạt cực đại tại $x = - 1$ .

Câu 34:

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, $A B = A D = a, C D = 2 a$ . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo ra khi cho hình thang ABCD quay quanh trục AD.

A. $\frac{7 π a^{3}}{3}$ .

B. $\frac{4 π a^{3}}{3}$ .

C. $\frac{π a^{3}}{3}$ .

D. $\frac{8 π a^{3}}{3}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Khi cho hình thang ABCD quay quanh trục AD ta thu được khối nón cụt có đường cao AD, bán kính của đáy lớn là DC, bán kính đáy nhỏ là AB.

Áp dụng công thức tích thể tích khối nón cụt, ta có thể tích của khối tròn xoay tạo thành là: $V = \frac{1}{3} h . π ({R_{1}}^{2} + {R_{2}}^{2} + R_{1} . R_{2})$

$= \frac{1}{3} A D . π (A B^{2} + D C^{2} + A B . D C) = \frac{1}{3} a . π (a^{2} + 4 a^{2} + a .2 a) = \frac{7 π a^{3}}{3}$ .

Vậy thể tích khối tròn xoay là $= \frac{7 π a^{3}}{3}$ .

Câu 35:

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với

A (1; 2; - 1), B (1; - 1; 3), C (- 5; 2; 5)

. Phương trình đường thẳng đi qua chân đường phân giác trong góc B của tam giác và vuông góc với

(A B C)

là

A. $\{\begin{cases} x = - \frac{3}{2} + 3 t \\ y = 2 + 4 t \\ z = - \frac{3}{2} + 3 t \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x = - \frac{3}{2} + 3 t \\ y = - 2 + 4 t \\ z = \frac{3}{2} + 3 t \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x = \frac{3}{2} + 3 t \\ y = 2 + 4 t \\ z = \frac{3}{2} + 3 t \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} x = - \frac{3}{2} + 3 t \\ y = 2 + 4 t \\ z = \frac{3}{2} + 3 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi đường thẳng đi qua chân đường phân giác trong góc B của tam giác và vuông góc với $(A B C)$ là $Δ$ .

Ta có $\vec{A B} = (0; - 3; 4); \vec{B C} = (- 6; 3; 2); [\vec{A B}, \vec{B C}] = (- 18; - 24; - 18)$ .

$A B = \sqrt{0^{2} + {(- 3)}^{2} + 4^{2}} = 5; B C = \sqrt{{(- 6)}^{2} + 3^{2} + 2^{2}} = 7$ .

Gọi $K (x; y; z)$ là chân đường phân giác trong góc B, ta có $\frac{K A}{K C} = \frac{A B}{B C} \Rightarrow \vec{K A} = - \frac{A B}{B C} \vec{K C} \Leftrightarrow \vec{K A} = - \frac{5}{7} \vec{K C}$ . $\Rightarrow \{\begin{cases} 1 - x = - \frac{5}{7} (- 5 - x) \\ 2 - y = - \frac{5}{7} (2 - y) \\ - 1 - z = - \frac{5}{7} (5 - z) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{3}{2} \\ y = 2 \\ - z = \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow K (- \frac{3}{2}; 2; \frac{3}{2})$ .

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $Δ$ là $\vec{u} = (3; 4; 3)$ . Phương trình $Δ$ là $\{\begin{cases} x = - \frac{3}{2} + 3 t \\ y = 2 + 4 t \\ z = \frac{3}{2} + 3 t \end{cases}$ .

Câu 36:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $g (x) = f [2 (\sin^{4} x + \cos^{4} x)]$ . Tổng $M + m$ bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) (ảnh 1)

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Xem đáp án

Đáp án B

Vì $\sin^{4} x + \cos^{4} x = 1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x \in [1; 2] . f (x) < \frac{3}{4}, \forall x \in (1; 2)$

Dựa vào đồ thị suy ra $\{\begin{cases} M = \max g (x) = f (1) = 3 \\ m = \min g (x) = f (2) = 1 \end{cases}$ . Vậy $M + m = 4$ .

Câu 37:

Cho số phức z thỏa mãn $\frac{z + i}{z - i}$ là số thuần ảo. Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là

A. Đường tròn tâm O, bán kính $R = 1$ .

B. Hình tròn tâm O, bán kính $R = 1$ (kể cả biên).

C. Hình tròn tâm O, bán kính $R = 1$ (không kể biên).

D. Đường tròn tâm O, bán kính $R = 1$ bỏ đi một điểm $(0; 1)$ .

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M (a, b)$ là điểm biểu diễn số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$

Ta có: $\frac{z + i}{z - i} = \frac{a + (b + 1) i}{a + (b - 1) i} = \frac{a^{2} + b^{2} - 1}{a^{2} + {(b - 1)}^{2}} + \frac{2 a i}{a^{2} + {(b - 1)}^{2}}$

Để

\frac{z + i}{z - i}

là số thuần ảo thì

\frac{a^{2} + b^{2} - 1}{a^{2} + {(b - 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 1 \\ a^{2} + {(b - 1)}^{2} \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 1 \\ a \neq 0, b \neq 1 \end{cases}

.

Câu 38:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ \ \{0\}$ và thỏa mãn $2 f (3 x) + 3 f (\frac{2}{x}) = - \frac{15 x}{2}$ , $\int_{3}^{9} f (x) d x = k$ . Tính $I = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} f (\frac{1}{x}) d x$ theo k.

A. $I = - \frac{45 + k}{9}$ .

B. $I = \frac{45 - k}{9}$ .

C. $I = \frac{45 + k}{9}$ .

D. $I = \frac{45 - 2 k}{9}$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = 2 x \Rightarrow d x = \frac{1}{2} d t$ . Đổi cận $|\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 1 \\ x = \frac{3}{2} \Rightarrow t = 3 \end{array}$ .

Khi đó $I = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} f (\frac{2}{t}) d x$ .

Mà $2 f (3 x) + 3 f (\frac{2}{x}) = - \frac{15 x}{2} \Leftrightarrow f (\frac{2}{x}) = - \frac{5 x}{2} - \frac{2}{3} f (3 x)$ .

Nên $I = \frac{1}{2} \int_{1}^{3} [- \frac{5 x}{2} - \frac{2}{3} f (3 x)] d x = - \frac{5}{4} \int_{1}^{3} x d x - \frac{1}{3} \int_{1}^{3} f (3 x) d x = - 5 - \frac{1}{3} \int_{1}^{3} f (3 x) d x (*)$

Đặt $u = 3 x \Rightarrow d x = \frac{1}{3} d x$ . Đổi cận $|\begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow u = 3 \\ x = 3 \Rightarrow t = 9 \end{array}$ .

Khi đó

I = - 5 - \frac{1}{9} \int_{3}^{9} f (t) d t = - 5 - \frac{k}{9} = - \frac{45 + k}{9}

.

Câu 39:

Cho hàm số $f (x)$ xác định trên $(0; + \infty) \ \{e\}$ , thỏa mãn $f^{'} (x) = \frac{1}{x (\ln x - 1)}$ , $f (\frac{1}{e^{2}}) = \ln 6$ và $f (e^{2}) = 3$ . Giá trị biểu thức $f (\frac{1}{e}) + f (e^{3})$ bằng

A. $3 (\ln 2 + 1)$ .

B. $2 \ln 2$ .

C. $3 \ln 2 + 1$ .

D. $\ln 2 + 3$ .

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = \frac{1}{x (\ln x - 1)}$

$\Rightarrow f (x) = \int \frac{1}{x (\ln x - 1)} d x = \ln |\ln x - 1| + C = \{\begin{cases} \ln (1 - \ln x) + C_{1} k h i x \in (0; e) \\ \ln (\ln x - 1) + C_{2} k h i x \in (e; + \infty) \end{cases}$ .

+) $f (\frac{1}{e^{2}}) = \ln 6 \Rightarrow C_{1} = \ln 2$ .

+) $f (e^{2}) = 3 \Rightarrow C_{2} = 3$ .

Do đó $f (x) = \{\begin{cases} \ln (1 - \ln x) + \ln 2 k h i x \in (0; e) \\ \ln (\ln x - 1) + 3 k h i x \in (e; + \infty) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} f (\frac{1}{e}) = \ln 2 + \ln 2 \\ f (e^{3}) = \ln 2 + 3 \end{cases}$

$\overset{}{\to} f (\frac{1}{e}) + f (e^{3}) = 3 (\ln 2 + 1)$ .

Câu 40:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên R và có đồ thị là hình bên. Gọi M, m theo thứ tự là GTLN, GTNN của hàm số $y = {|f (x) - 2|}^{3} - 3 {(f (x) - 2)}^{2} + 5$ trên đoạn $[- 1; 3]$ . Tính $M . m$ bằng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị là hình bên. Gọi M, m theo thứ tự là GTLN, GTNN của hàm số (ảnh 1)

A. 2.

B. 3.

C. 54.

D. 55.

Xem đáp án

Đáp án D

Trên $[- 1; 3]$ , ta có $1 \leq f (x) \leq 7 \Rightarrow 0 \leq |f (x) - 2| \leq 5$ .

Đặt $t = |f (x) - 2|$ với $t \in [0; 5]$ . Khi đó $y = t^{3} - 3 t^{2} + 5 \Rightarrow y^{'} = 3 t^{2} - 6 t = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = 2 \end{array}$ .

Ta có $y (0) = 5; y (2) = 1; y (5) = 55$ . Suy ra $\{\begin{cases} M = 55 \\ m = 1 \end{cases} \Rightarrow M . m = 55$ .

Câu 41:

Cho hàm số

f (x)

liên tục trên

ℝ

biết

\int_{1}^{e^{6}} \frac{f (\ln \sqrt{x})}{x} d x = 6

và

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\cos^{2} x) \sin 2 x d x = 2

. Giá trị của

\int_{1}^{3} (f (x) + 2) d x

bằng

A. 10.

B. 16.

C. 9.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án D

+) Xét $I_{1} = \int_{1}^{e^{6}} \frac{f (\ln \sqrt{x})}{x} d x = 6$ . Đặt $t = \ln \sqrt{x} \Rightarrow d t = \frac{1}{2 x} d x \Rightarrow 2 d t = \frac{1}{x} d x$

Suy ra: $I_{1} = \int_{0}^{3} 2 f (t) d t = 6 \Rightarrow I_{1} = \int_{0}^{3} f (t) d t = 3$

+) Xét $I_{2} = \int_{0}^{\frac{π}{2}} f (\cos^{2} x) . \sin (2 x) . d x$ . Đặt $t = \cos^{2} x \to d t = - \sin (2 x) d x$

Suy ra: $I_{2} = \int_{0}^{1} f (t) d t = 2 \Rightarrow I_{2} = 2$ .

Vậy $\int_{1}^{3} (f (x) + 2) d x = \int_{1}^{3} f (x) d x + \int_{0}^{3} 2 d x = \int_{0}^{3} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x + 4 = I_{1} - I_{2} + 4 = 5$ .

Câu 42:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục và dương trên $(0; + \infty)$ thỏa mãn $f^{'} (x) + (2 x + 4) f^{2} (x) = 0$ và $f (0) = \frac{1}{3}$ . Tính tổng $S = f (0) + f (1) + f (2) + ... + f (2018) = \frac{a}{b}$ với $a \in ℤ, b \in ℕ, \frac{a}{b}$ tối giản. Khi đó $b - a = ?$

A. $\frac{1}{2} (\frac{2020}{2021} + \frac{1009}{2020})$ .

B. $\frac{1}{2} (\frac{2020}{2021} - \frac{1009}{2020})$ .

C. $\frac{1}{2} (\frac{2020}{2021} + 1)$ .

D. 2019.

Xem đáp án

Đáp án A

Xét $f^{'} (x) + (2 x + 4) f^{2} (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{- f^{'} (x)}{f^{2} (x)} = 2 x + 4$

$\Rightarrow \int \frac{- f^{'} (x)}{f^{2} (x)} d x = \int (2 x + 4) d x \Rightarrow \frac{1}{f (x)} = x^{2} + 4 x + C$ .

Vì $f (0) = \frac{1}{3} \Rightarrow C = 3 \Rightarrow f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4 x + 3} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x + 3})$ .

Vậy $S = [f (0) + f (2) + ... + f (2018)] + [f (1) + f (3) + ... + f (2017)]$

S = \frac{1}{2} [1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2019} - \frac{1}{2021}] + \frac{1}{2} [\frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2020}]

S = \frac{1}{2} [1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021}] = \frac{1}{2} [\frac{2020}{2021} + \frac{1009}{2020}]

.

Câu 43:

Cho số phức z thỏa mãn

|z - 1 - i| + |z - 3 - 2 i| = \sqrt{5}

. Giá trị lớn nhất của

|z + 2 i|

bằng

A. 10.

B. 5.

C. $\sqrt{10}$ .

D. $2 \sqrt{10}$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $z = x + y i, (x, y \in ℝ)$ .

Khi đó $|z - 1 - i| + |z - 3 - 2 i| = \sqrt{5} \Leftrightarrow |(x - 1) + (y - 1) i| + |(x - 3) + (y - 2) i| = \sqrt{5} (1)$ .

Trong mặt phẳng Oxy, đặt $A (1; 1); B (3; 2); M (a; b)$ .

$\Rightarrow$ Số phức z thỏa mãn (1) là tập hợp điểm $M (a; b)$ trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn $M A + M B = \sqrt{5}$ .

Mặt khác $A B = \sqrt{{(3 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{5}$ nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.

Ta có $|z + 2 i| = |a + (b + 2) i|$ . Đặt $N (0; - 2)$ thì $|z + 2 i| = M N$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.

Phương trình AB: $x - 2 y + 1 = 0$ .

Ta có $H (- 1; 0)$ nên hai điểm A, B nằm cùng phía đối với H.

Ta có $\{\begin{cases} A N = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10} \\ B N = \sqrt{3^{2} + {(2 + 2)}^{2}} = 5 \end{cases}$ .

Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có $A N \leq M N \leq B N = 5$ .

Vậy giá trị lớn nhất của $|z + 2 i|$ bằng 5 đạt được khi $M \equiv B (3; 2)$ , tức là $z = 3 + 2 i$ .

Câu 44:

Cho hình chóp SABC có $S A = S B = S C = a, \hat{A S B} = \hat{A S C} = 90 °, \hat{B S C} = 60 °$ . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

A. $\frac{7 π a^{2}}{18}$ .

B. $\frac{7 π a^{2}}{12}$ .

C. $\frac{7 π a^{2}}{3}$ .

D. $\frac{7 π a^{2}}{6}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $A B = A C = a \sqrt{2}, B C = a$ , suy ra tam giác ABC cân tại A.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, SB và SA.

Gọi $I = S M \cap C N$ thì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Qua I dựng đường thẳng d song song với SA, dễ thấy $S A ⊥ (S B C)$ nên $d ⊥ (S B C)$ , suy ra d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.

Trong mặt phẳng $(S A M)$ dựng trung trực của SA cắt d tại O, khi đó $O A = O S = O B = O C$ nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp $S . A B C$ .

Ta có $S M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow S I = \frac{2}{3} S M = \frac{a}{\sqrt{3}}$ . Tứ giác SIOP là hình chữ nhật nên $O S^{2} = S I^{2} + S P^{2} = \frac{a^{2}}{3} + \frac{a^{2}}{4} = \frac{7 a^{2}}{12} \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{21}}{6}$ .

Diện tích mặt cầu $S = 4 π . S O^{2} = 4 π . \frac{7 a^{2}}{12} = \frac{7 π a^{2}}{3}$ .

Câu 45:

Trong không gian, cho đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 1 + a t \\ y = 2 + b t \\ z = c t \end{cases}$ trong đó a, b, c thỏa mãn $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ . Tập hợp tất cả các giao điểm của d và mặt phẳng $I (0; 2; 1)$ là

A. Đường tròn tâm $I (0; 2; 1)$ , bán kính $R = \sqrt{3}$ nằm trong mặt phẳng $(O y z)$

B. Đường tròn tâm $I (0; 2; 0)$ , bán kính $R = \sqrt{3}$ nằm trong mặt phẳng $(O y z)$

C. Đường tròn tâm $I (0; 2; 0)$ , bán kính $R = \sqrt{3}$ nằm trong mặt phẳng $(O y z)$

D. Đường tròn tâm $I (0; 2; 1)$ , bán kính $R = \sqrt{3}$ nằm trong mặt phẳng $(O y z)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có tọa độ giao điểm $M (x; y; z)$ thỏa mãn hệ phương trình $\{\begin{cases} x = 1 + a t \\ y = 2 + b t \\ z = c t \\ x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - \frac{1}{a} \\ y - 2 = b t \\ z = c t \\ x = 0 \end{cases}$

(vì $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ nên $a \neq 0$ ) $\Rightarrow {(y - 2)}^{2} + z^{2} = (b^{2} + c^{2}) {(- \frac{1}{a})}^{2} = 1$ .

Hay tập hợp tất cả các giao điểm là đường tròn tâm $I (0; 2; 0)$ , bán kính $R = 1$ nằm trong mặt phẳng $(O y z)$ .

Câu 46:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số $g (x) = f (f (x))$ đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số g(x) = f(f(x)) đồng biến trên khoảng nào (ảnh 1)

A. $(0; 2)$

B. $(- \infty; 0)$

C. $(0; 4)$

D. $(- 1; 1)$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào đồ thị ta thấy $f (x)$ đạt cực trị tại 0 và 2

Suy ra $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ .

Ta có $g^{'} (x) = f^{'} (x) f^{'} (f (x)) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} \\ f^{'} (f (x)) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0; x = a > 2 \\ f (x) = 2 \Leftrightarrow x = b > a \end{array} \end{array}$

Vậy phương trình $g^{'} (x) = 0$ có 4 nghiệm bội lẻ là $x = 0, x = 2, x = a$ và $x = b$ . Lập bảng biến thiên của hàm số $g (x) = f (f (x))$ ta có được đáp án đúng.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên dưới. Hàm số g(x) = f(f(x)) đồng biến trên khoảng nào (ảnh 1)

Câu 47:

Cho bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\log_{2} \frac{3 x^{2} + 3 x + m + 1}{2 x^{2} - x + 1} = x^{2} - 5 x + 2 - m$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1?

A. Vô số.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án B

ĐKXĐ: $3 x^{2} + 3 x + m + 1 > 0 (*)$ .

Ta có phương trình ban đầu tương đương $\log_{2} (3 x^{2} + 3 x + m + 1) + 3 x^{2} + 3 x + m + 1 = \log_{2} [2. (2 x^{2} - x + 1)] + 2. (2 x^{2} - x + 1)$

$\Leftrightarrow 3 x^{2} + 3 x + m + 1 = 2 (2 x^{2} - x + 1) (1)$

$\Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 1 - m = 0 (2)$

Với đẳng thức $(1)$ thì điều kiện $(*)$ được thỏa mãn nên yêu cầu của bài toán $\Leftrightarrow (2)$ có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ > 0 \\ x_{1} + x_{2} - 2 > 0 \\ (x_{1} - 1) (x_{2} - 1) > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 21 + 4 m > 0 \\ 5 - 2 > 0 \\ 1 - m - 5 + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow - \frac{21}{4} < m < - 3$ .

Vậy có hai giá trị nguyên của m.

Câu 48:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt{2 x} + \sqrt{3 - x} = m f (x)$ có nghiệm trên đoạn $[0; 3]$ ?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình căn bậc 2 của 2x + căn bậc 2 của 3- x = mf(x) có nghiệm trên đoạn ? (ảnh 1)

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Xem đáp án

Đáp án B

TXĐ: $D \in [0,3]$ . Ta có $m = \frac{\sqrt{2 x} + \sqrt{3 - x}}{f (x)}$ .

Vì $\{\begin{cases} \sqrt{2 x} + \sqrt{3 - x} \leq \sqrt{x + 3 - x} . \sqrt{2 + 1} = 3 \\ f (x) \geq f (2) = 1 \end{cases}$ nên $\frac{\sqrt{2 x} + \sqrt{3 - x}}{f (x)} \leq 3, \forall x \in [0; 3]$ .

Dấu $" = "$ xảy ra khi $x = 2$ .

Vì $\{\begin{cases} \sqrt{2 x} + \sqrt{3 - x} \geq \sqrt{2 x + 3 - x} = \sqrt{3 + x} \geq \sqrt{3} \\ f (x) \leq f (0) = 5 \end{cases}$ nên $\frac{\sqrt{2 x} + \sqrt{3 - x}}{f (x)} \geq \frac{\sqrt{3}}{5}, \forall x \in [0; 3]$ .

Dấu $" = "$ xảy ra khi $x = 0$ .

Vậy

\frac{\sqrt{3}}{5} \leq m \leq 3 \overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{1; 2; 3\}

.

Câu 49:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $E (2; 1; 3)$ , mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y - z - 3 = 0$ và mặt cầu $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36$ . Gọi $Δ$ là đường thẳng đi qua E, nằm trong mặt phẳng $(P)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của $Δ$ là

A. $\{\begin{cases} x = 2 + 9 t \\ y = 1 + 9 t \\ z = 3 + 8 t \end{cases}$ .

B. $\{\begin{cases} x = 2 - 5 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 \end{cases}$ .

C. $\{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 \end{cases}$ .

D. $\{\begin{cases} x = 2 + 4 t \\ y = 1 + 3 t \\ z = 3 - 3 t \end{cases}$ .

Xem đáp án

Đáp án C

$(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 36$ , có tâm $I (3; 2; 5)$ và $R = 6$

Ta có: $\vec{E I} = (1; 1; 2) \Rightarrow \vec{|E I|} = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{6} < 6 = R$ .

Do đó điểm E nằm trong mặt cầu $(S)$ .

Vì $E \in (P)$ và $\{\begin{cases} E \in Δ \\ Δ \subset (P) \end{cases}$ nên giao điểm của $(Δ)$ và $(S)$ nằm trên đường tròn giao tuyến $(C)$ tâm K của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$ , trong đó K là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng $(P)$ . Gọi $Δ \cap (S) = \{A; B\}$ . Độ dài AB nhỏ nhất khi và chỉ khi $d (K, Δ)$ lớn nhất.

Gọi F là hình chiếu của K trên $(Δ)$ khi đó $d (K; Δ) = K F \leq K E$ . Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $F \equiv E$ .

Vì $\{\begin{cases} I K ⊥ (P) \\ K E ⊥ Δ \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} I K ⊥ Δ \\ K E ⊥ Δ \end{cases} \Rightarrow I E ⊥ Δ$ .

Mặt khác: $[{\vec{n}}_{(P)}, \vec{E I}] = (5; - 5; 0)$ , cùng phương với $\vec{u} = (1; - 1; 0)$ .

Vì $\{\begin{cases} Δ \subset (P) \\ Δ ⊥ I E \end{cases}$ nên $Δ$ có một vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (1; - 1; 0)$ . Vậy $Δ : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3 \end{cases}$ .

Câu 50:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 cm. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách giữa AC và BM là

A. $\frac{2 \sqrt{11}}{11} c m$ .

B. $\frac{3 \sqrt{22}}{11} c m$ .

C. $\frac{3 \sqrt{2}}{11} c m$ .

D. $\frac{\sqrt{2}}{11} c m$ .

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi G là tâm tam giác đều BCD . $\Rightarrow A G ⊥ (B C D)$

Trong mặt phẳng $(B C D)$ , dựng hình bình hành BMCN mà $B M ⊥ C M$ nên BMCN là hình chữ nhật.

Ta có $B M // (A C N)$

$\Rightarrow d (B M, A C) = d (B M, (A C N)) = d (G, (A C N))$ .

Kẻ $G K ⊥ N C (K \in N C)$ và $G H ⊥ A K (H \in A K)$

$\Rightarrow d (G, (A C N)) = G H$ .

Ta có $A G = \sqrt{A B^{2} - B G^{2}} = \sqrt{9 - {(\frac{2}{3} . \frac{3 \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \sqrt{6} c m, G K = C M = \frac{3}{2} c m$ .

Vậy $G H = \frac{A G . G K}{\sqrt{A G^{2} + G K^{2}}} = \frac{\sqrt{6} . \frac{3}{2}}{\sqrt{6 + \frac{9}{4}}} = \frac{3 \sqrt{22}}{11} c m$ .

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3 cm. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách giữa AC và BM là (ảnh 1)

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 2)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan