50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 16)

Câu 1:

Thể tích của khối lăng trụ đều tam giác có mặt bên là hình vuông cạnh a bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $V = h . S_{d a y} = a . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$ .

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau . Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị (ảnh 1)

Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có hai điểm cực trị $x = 1$ và $x = - 1$ .

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (- 1; 2; 4)$ . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oyz)?

A. $M (- 1; 0; 0)$

B. $N (0; 2; 4)$

C. $P (- 1; 0; 4)$

D. $Q (- 1; 2; 0)$

Xem đáp án

Đáp án B

Hình chiếu vuông góc của $A (- 1; 2; 4)$ trên mặt phẳng (Oyz) là điểm $N (0; 2; 4)$

Chú ý: Điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ có hình chiếu vuông góc lên:

ü Mặt phẳng:

(Oxy) là điểm $A_{1} (x_{0}; y_{0}; 0)$

(Oyz) là điểm $A_{2} (0; y_{0}; z_{0})$

(Oxz) là điểm $A_{3} (x_{0}; 0; z_{0})$

ü Trục:

Ox là điểm $A_{4} (x_{0}; 0; 0)$

Oy là điểm $A_{5} (0; y_{0}; 0)$

Oz là điểm $A_{6} (0; 0; z_{0})$

Câu 4:

Kết quả tính đạo hàm nào sau đây sai?

A. ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \ln 3$

B. ${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$

C. ${(\log_{3} x)}^{'} = \frac{1}{x \ln 3}$

D. ${(e^{2 x})}^{'} = e^{2 x}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: ${(e^{u})}^{'} = u^{'} e^{u} \Rightarrow {(e^{2 x})}^{'} = 2 e^{2 x}$ , suy ra D sai.

Câu 5:

Cho số phức $\bar{z} = 2 - 3 i$ . Khi đó phần ảo của số phức z là

A. $- 3$

B. $- 3 i$

C. 3

D. $3 i$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\bar{z} = 2 - 3 i \Rightarrow z = 2 + 3 i$ có phần ảo là 3.

Câu 6:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây (ảnh 1)

A. $(- \infty; - 1)$

B. $(- 1; 0)$

C. $(- 1; 1)$

D. $(0; 1)$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào đồ thị suy ra hàm số nghịch biến trong khoảng $(- 1; 0)$ và $(1; + \infty)$ .

Câu 7:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 2 x$ .

A. $\int \sin 2 xdx = 2 \cos 2 x + C$

B. $\int \sin 2 x d x = \frac{\cos 2 x}{2} + C$

C. $\int \sin 2 x d x = - \frac{\cos 2 x}{2} + C$

D. $\int \sin 2 x d x = - \cos 2 x + C$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $\int \sin (a x + b) d x = - \frac{\cos (a x + b)}{a} + C \Rightarrow \int \sin 2 x d x = - \frac{\cos 2 x}{2} + C$ .

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có

A (1; - 2; 3), B (- 1; 0; 2)

và

G (1; - 3; 2)

là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.

A. $C (3; 2; 1)$

B. $C (2; - 4; - 1)$

C. $C (1; - 1; - 3)$

D. $C (3; - 7; 1)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

\{\begin{cases} x_{C} = 3 x_{G} - x_{A} - x_{B} = 3 \\ y_{C} = 3 y_{G} - y_{A} - y_{B} = - 7 \\ z_{C} = 3 z_{G} - z_{A} - z_{B} = 1 \end{cases} \Rightarrow C (3; - 7; 1)

.

Câu 9:

Cho hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 3}$ có đồ thị (C). Biết điểm I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Hỏi I thuộc đường thẳng nào trong các đường sau?

A. $x - y + 1 = 0$

B. $x - y - 1 = 0$

C. $x + y - 1 = 0$

D. $x + y + 1 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị (C) có tiệm cận đứng $x = 3$ và tiệm cận ngang $y = 2 \Rightarrow I (3; 2)$ thuộc đường thẳng $x - y - 1 = 0$ .

Câu 10:

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?

A. ${(\sqrt{2})}^{\frac{3}{5}}$

B. ${(- 3)}^{- 2}$

C. ${6,9}^{- \frac{3}{4}}$

D. ${(- 5)}^{\frac{1}{3}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Nếu $α$ không phải số nguyên thì $a^{α}$ có nghĩa khi $a > 0$ nên ${(- 5)}^{\frac{1}{3}}$ không có nghĩa.

Câu 11:

Cho

\int_{0}^{1} f (x) d x = 3; \int_{0}^{3} f (x) d x = 4

. Tính

\int_{1}^{3} f (x) d x

.

A. $\int_{1}^{3} f (x) d x = 7$

B. $\int_{1}^{3} f (x) d x = - 1$

C. $\int_{1}^{3} f (x) d x = - 7$

D. $\int_{1}^{3} f (x) d x = 1$

Xem đáp án

Đáp án D

$\int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{3} f (x) d x \Leftrightarrow \int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{3} f (x) d x - \int_{0}^{1} f (x) d x = 4 - 3 = 1$ .

Câu 12:

Trong một lớp có 17 bạn nam và 11 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra hai bạn, trong đó có một bạn nam và một bạn nữ?

A. 17 cách

B. 28 cách

C. 11 cách

D. 187 cách

Xem đáp án

Đáp án D

Bước 1: Chọn bạn nam có 17 cách

Bước 2: Chọn bạn nữ có 11 cách. Theo quy tắc nhân ta có 17.11 = 187 cách.

Câu 13:

Cho hình nón có đường cao h = 3 và bán kính đáy R = 4. Diện tích xung quanh

S_{x q}

của hình nón là

A. $S_{x q} = 12 π$

B. $S_{x q} = 24 π$

C. $S_{x q} = 20 π$

D. $S_{x q} = 15 π$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $S_{x q} = π R l = π R . \sqrt{R^{2} + h^{2}} = π .4. \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 20 π$ .

Câu 14:

Biết hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được đưa ra ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào?

Biết hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số được đưa ra ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào (ảnh 1)

A. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 2$

C. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 2$

D. $y = x^{3} + 3 x^{2} + 2$

Xem đáp án

Đáp án A

+) Đồ thị có 2 điểm cực trị nên loại C (hàm trùng phương chỉ có 1 hoặc 3 điểm cực trị).

+) Đồ thị có “điểm cuối” đang có hướng đi lên nên , suy ra loại B.

+) Xét hàm ở phương án A có $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ thỏa mãn.

(trong khi nếu kiểm tra hàm ở phương án D cho ta 2 điểm cực trị $x = 0; x = - 2$ (loại)).

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng $d : \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$ không đi qua điểm nào sau đây?

A. $M (1; 0; - 2)$

B. $N (4; - 2; - 1)$

C. $P (- 2; 2; 1)$

D. $Q (7; - 4; 0)$

Xem đáp án

Đáp án C

Điểm thuộc đường thẳng là điểm khi thay đổi tọa độ x, y, z vào phương trình đường thẳng ta được một chuỗi đẳng thức đúng, còn không điểm đó sẽ không thuộc.

Nhận thấy: $\frac{- 2 - 1}{3} = \frac{2}{- 2} \neq \frac{1 + 2}{1}$ , suy ra $P (- 2; 2; 1) \notin d$ .

Câu 16:

Nếu

\log_{8} a + \log_{4} b^{2} = 5

và

\log_{4} a^{2} + \log_{8} b = 7

thì giá trị của

\log_{2} (a b)

bằng bao nhiêu?

A. 9

B. 18

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

$\{\begin{cases} \log_{8} a + \log_{4} b^{2} = 5 \\ \log_{4} a^{2} + \log_{8} b = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{3} \log_{2} 2 + \frac{1}{2} \log_{2} b^{2} = 5 \\ \frac{1}{2} \log_{2} a^{2} + \frac{1}{3} \log_{2} b = 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \log_{2} (a^{\frac{1}{3}} b) = \log_{2} 2^{5} \\ \log_{2} (a b^{\frac{1}{3}}) = \log_{2} 2^{7} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{\frac{1}{3}} b = 2^{5} \\ a b^{\frac{1}{3}} = 2^{7} \end{cases}$

Suy ra ${(a b)}^{\frac{3}{4}} = 2^{12} \Leftrightarrow a b = {(2^{12})}^{\frac{3}{4}} = 2^{9} \Rightarrow \log_{2} (a b) = \log_{2} 2^{9} = 9$

Câu 17:

Nếu z = i là nghiệm phức của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ với $a, b \in ℝ$ thì $a + b$ bằng

A. -1

B. 2

C. -2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án D

Cách 1: Do $z = i$ là nghiệm phức của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ nên suy ra:

$i^{2} + a i + b = 0 \Leftrightarrow b - 1 + a i = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} b - 1 = 0 \\ a = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = 1 \end{cases} \Rightarrow a + b = 1$ .

Cách 2: Sử dụng tính chất “Nếu phương trình $a z^{2} + b z + c = 0$ với $a, b, c \in ℝ$ có hai nghiệm phức trong đó có một nghiệm phức $z_{1}$ thì sẽ có một nghiệm phức $z_{2} = \bar{z_{1}}$ ”.

Do phương trình có nghiệm $z_{1} = i \Rightarrow z_{2} = - i \Rightarrow \{\begin{cases} z_{1} + z_{2} = 0 = - a \\ z_{1} . z_{2} = 1 = b \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 0 \\ b = 1 \end{cases} \Rightarrow a + b = 1$ .

Câu 18:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu (S) có tâm O và bán kính R không cắt mặt phẳng $(P) : 2 x - y + 2 z - 2 = 0$ . Khi đó khẳng định nào sau đây đúng?

A. $R > \frac{2}{3}$

B. $R < \frac{2}{3}$

C. $R < 1$

D. $R \geq \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Do (S) không cắt (P) $\Rightarrow d (O; (P)) > R \Leftrightarrow \frac{|0 - 2|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} > R \Leftrightarrow R < \frac{2}{3}$ .

Câu 19:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là (ảnh 1)

Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Từ bảng biến thiên: $\{\begin{cases} \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} y = - \infty \\ \lim_{x \to 2^{-}} y = + \infty \\ \lim_{x \to - \infty} y = 2 \end{cases} \Rightarrow x = - 1; x = 2$ là các tiệm cận đứng và $y = 2$ là tiệm cận ngang.

Suy ra đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Câu 20:

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $0 < a \neq 1$ và $b c > 0$ . Trong các khẳng định sau:

I. $\log_{a} (b c) = \log_{a} b + \log_{a} c$ II. $\log_{a} (b c) = \frac{1}{\log_{b c} a}$

III. $\log_{a} {(\frac{b}{c})}^{2} = 2 \log_{a} \frac{b}{c}$ IV. $\log_{a} b^{4} = 4 \log_{a} b$

Có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Vì $b c > 0$ , nên b, c có thể cùng âm do đó $\{\begin{cases} \log_{a} (b c) = \log_{a} |b| + \log_{a} |c| \\ \log_{a} b^{4} = 4 \log_{a} |b| \end{cases} \to$ I, IV sai.

Còn $\log_{a} (b c) = \frac{1}{\log_{b c} a}$ chỉ đúng khi $0 < a \neq 1$ và $0 < b c \neq 1$ , song bài toán không có điều kiện $b c \neq 1$ .

Do đó, II sai. Vậy chỉ có III đúng.

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt phẳng (SAC), (SAB) cùng vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và đáy bằng $60 °$ . Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a.

A. $h = \frac{a \sqrt{15}}{5}$

B. $h = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $h = \frac{a \sqrt{15}}{3}$

D. $h = \frac{a \sqrt{3}}{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

Do $\begin{array}{l} (S A C) ⊥ (A B C) \\ (S A B) ⊥ (A B C) \\ (S A C) \cap (S A B) = S A \end{array}\} \Rightarrow S A ⊥ (A B C) \Rightarrow (S C, (A B C)) = \hat{S C A} = 60 °$

$\Rightarrow S A = A C \tan \hat{S C A} = a \sqrt{3}$ .

Gọi I, H lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC, SI, khi đó: $d (A, (S B C)) = A H$

Tam giác ABC đều cạnh a nên $A I = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Khi đó xét tam giác SAI: $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{A I^{2}} = \frac{1}{3 a^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{5}{3 a^{2}}$

$\Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{15}}{5}$ .

Vậy $h = d (A, (S B C)) = \frac{a \sqrt{15}}{5}$ .

Câu 22:

Biết $\int_{3}^{4} \frac{d x}{(x + 1) (x - 2)} = a \ln 2 + b \ln 5 + c$ , với a, b, c là các số hữu tỉ. Tính $S = a - 3 b + c$ .

A. $S = 3$

B. $S = 2$

C. $S = - 2$

D. $S = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Áp dụng công thức giải nhanh: $I = \int_{α}^{β} \frac{d x}{(a x + b) (c x + d)} = {\frac{1}{a d - b c} \ln |\frac{a x + b}{c x + d}||}_{α}^{β}$ .

Ta có: $\int_{3}^{4} \frac{d x}{(x + 1) (x - 2)} = {\frac{1}{- 3} \ln |\frac{x + 1}{x - 2}||}_{3}^{4} = - \frac{1}{3} \ln \frac{5}{8} = - \frac{1}{3} (\ln 5 - 3 \ln 2)$ $= \ln 2 - \frac{1}{3} \ln 5 = a \ln 2 + b \ln 5 + c$ .

Suy ra $a = 1; b = - \frac{1}{3}; c = 0 \Rightarrow a - 3 b + c = 1 + 1 = 2$

Chú ý: Ta có công thức giải nhanh: $I = \int_{α}^{β} \frac{d x}{(a x + b) (c x + d)} = {\frac{1}{a d - b c} \ln |\frac{a x + b}{c x + d}||}_{α}^{β}$ .

Câu 23:

Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi ít nhất sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi số tiền ban đầu là T. Sau n năm, số tiền thu được là: $T_{n} = T {(1 + 0,084)}^{n} = T . {(1,084)}^{n}$ .

Khi đó, $T_{n} \geq 2 T \Leftrightarrow T . {(1,084)}^{n} \geq 2 T \Leftrightarrow {(1,084)}^{n} \geq 2 \Leftrightarrow n \geq \log_{1,084} 2 \approx 8,59$ .

Vì $n \in ℕ$ nên suy ra $n_{\min} = 9$ .

Câu 24:

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (DBC) và $\hat{D B C} = 90 °$ . Khi quay các cạnh của tứ diện xung quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Trong 5 cạnh còn lại (không kể cạnh AB) chỉ có 3 cạnh AD, DB, AC khi quay quanh trục AB tạo ra các hình nón. Do đó có 3 hình nón được tạo thành (như hình bên).

Chú ý: Do $C B ⊥ (A D B) \Rightarrow C B ⊥ A B$ , do đó CB quay quanh AB chỉ tạo ra hình tròn mà không phải là hình nón.

Câu 25:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; - 3; 2)$ , $B (3; 5; - 2)$ . Phương trình mặt phẳng trung trực của AB có dạng $x + a y + b z + c = 0$ . Khi đó $a + b + c$ bằng

A. -4

B. -3

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi (P) là mặt phẳng trung trực của AB. Ta có $\vec{A B} = (2; 8; - 4) = 2 (1; 4; - 2) \Rightarrow {\vec{n}}_{(P)} = \frac{1}{2} \vec{A B} = (1; 4; - 2)$

Trung điểm của AB là $I (2; 1; 0)$ . Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của AB là $(P) : x + 4 y - 2 z - 6 = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 4 \\ b = - 2 \\ c = - 6 \end{cases} \Rightarrow a + b + c = - 4$ .

Câu 26:

Cho số phức z thỏa mãn

{(1 + z)}^{2}

là số thực. Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là

A. Đường tròn

B. Parabol

C. Một đường thẳng

D. Hai đường thẳng

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M (x; y)$ là điểm biểu diễn số phức $z = x + y i$ ( $x, y \in ℝ$ )

Khi đó: ${(1 + z)}^{2} = {(1 + x + y i)}^{2} = {(1 + x)}^{2} - y^{2} + 2 (1 + x) y i$ là số thực

$\Leftrightarrow 2 (1 + x) y = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ y = 0 \end{array}$ .

Suy ra tập hợp biểu diễn số phức z là hai đường thẳng $x = - 1$ và $y = 0$

Câu 27:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ có số hạng đầu $u_{1} = 3$ và số hạng thứ tư $u_{4} = 24$ . Tính tổng $S_{10}$ của 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên

A. $S_{10} = 1533$

B. $S_{10} = 6141$

C. $S_{10} = 3069$

D. $S_{10} = 120$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $u_{4} = u_{1} . q^{3} \Rightarrow q^{3} = \frac{u_{4}}{u_{1}} = \frac{24}{3} = 8 \Leftrightarrow q = 2 \Rightarrow S_{10} = u_{1} . \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = 3. \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 3069$ .

Câu 28:

Cho $9^{x} + 9^{- x} = 3$ . Giá trị của biểu thức $T = \frac{15 - 81^{x} - 81^{- x}}{3 + |3^{x} - 3^{- x}|}$ bằng bao nhiêu?

A. $T = 2$

B. $T = 3$

C. $T = 4$

D. $T = 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $9^{x} + 9^{- x} = 3 \Rightarrow \{\begin{cases} 81^{x} + 81^{- x} + 2 = 9 \\ (3^{x} - 3^{- x}) + 2 = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 81^{x} + 81^{- x} = 7 \\ |3^{x} - 3^{- x}| = 1 \end{cases}$

Khi đó:

T = \frac{15 - (81^{x} + 81^{- x})}{3 + |3^{x} - 3^{- x}|} = \frac{15 - 7}{3 + 1} = 2

.

Câu 29:

Cho hàm số $y = x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(c < 0)$ có đồ thị (T) là một trong bốn hình dưới đây

Cho hàm số y = x^3 + bx^2 + cx + d (c nhỏ hơn 0) có đồ thị (T) là một trong bốn hình dưới đây. Hỏi đồ thị (T) là hình nào (ảnh 1)

Hỏi đồ thị (T) là hình nào?

A. Hình 1

B. Hình 2

C. Hình 3

D. Hình 4

Xem đáp án

Đáp án A

Do hàm bậc ba có số cực trị hoặc là 0 hoặc là 2 nên loại B (B là hàm trùng phương).

Ta xét $b^{2} - 3 a c = b^{2} - 3 c > 0, \forall c < 0$ , suy ra hàm số có 3 điểm cực trị → loại D. Gọi $x_{1}, x_{2}$ là hai điểm cực trị của hàm số nên $x_{1} x_{2}$ cùng dấu với $a c < 0$ , suy ra $x_{1} x_{2} < 0$ . Suy ra A đúng.

Câu 30:

Có bao nhiêu số có bốn chữ số có dạng

\bar{a b c d}

sao cho

a < b < c \leq d

.

A. 426

B. 246

C. 210

D. 330

Xem đáp án

Đáp án C

Cách 1:

Trường hợp 1: $a < b < c < d$ .

Khi đó, ta cần chọn 4 chữ số a, b, c, d phân biệt từ 9 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ứng với bộ 4 số (a, b, c, d) ta chỉ có thể tạo ra được 1 số $\bar{a b c d}$ thỏa mãn $a < b < c < d$ . Do đó số cách chọn là: $C_{9}^{4} = 126$

Trường hợp 2: $a < b < c = d$ .

Khi đó, ta cần chọn 3 chữ số a, b, c phân biệt từ 9 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ứng với bộ 3 số (a, b, c) ta chỉ có thể tạo ra được 1 số $\bar{a b c d}$ thỏa mãn $a < b < c = d$ . Do đó số cách chọn là: $C_{9}^{3} = 84$

Vậy có $126 + 84 = 210$ số thỏa mãn điều kiện bài toán.

Cách 2: Ta có: $1 \leq a < b < c \leq d \leq 9 \Leftrightarrow 1 \leq a < b < c < d + 1 \leq 10$ (*). Ứng với bộ 4 số (a, b, c, d) được lấy từ 10 chữ số (từ 1 tới 10) thỏa mãn (*), ta được 1 số duy nhất thỏa mãn bài toán. Do đó số các số thỏa mãn bài toán là: $C_{10}^{4} = 210$ .

Câu 31:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi $\frac{1}{4}$ cung tròn có bán kính R = 2, đường cong $y = \sqrt{4 - x}$ và trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ). Tính thể tích V của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi 1/4 cung tròn có bán kính R = 2, đường cong y = căn bậc 2 của 4 - x và trục hoành (miền tô đậm như hình vẽ) (ảnh 1)

A. $V = \frac{77 π}{6}$

B. $V = \frac{8 π}{3}$

C. $V = \frac{40 π}{3}$

D. $V = \frac{66 π}{7}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $\frac{1}{4}$ cung tròn có bán kính R = 2 (như hình vẽ) là $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 4 \\ y \geq 0; x \in [- 2; 0] \end{cases} \Rightarrow y = \sqrt{4 - x^{2}}$

Khi đó hình phẳng (H) được tách thành 2 hình phẳng.

$(H_{1}) : \{\begin{cases} y = \sqrt{4 - x^{2}} \\ y = 0 \\ x = - 2 \\ x = 0 \end{cases}$ và $(H_{2}) : \{\begin{cases} y = \sqrt{4 - x} \\ y = 0 \\ x = 0 \\ x = 4 \end{cases}$ .

Nên ta có : $V = V_{1} + V_{2} = π \int_{- 2}^{0} (4 - x^{2}) d x + π \int_{0}^{4} (4 - x) d x \overset{C a s i o}{\to} \frac{40 π}{3}$ .

Chú ý: Ở bài toán này $V_{1}$ là phần thể tích của $\frac{1}{2}$ khối cầu (sau khi quay $\frac{1}{4}$ đường tròn bán kính R = 2 quanh trục Ox) nên ta có thể tính $V_{1}$ bằng công thức thể tích khối cầu như sau: $V_{1} = \frac{1}{2} . \frac{4}{3} π {.2}^{3} = \frac{16 π}{3}$ .

Câu 32:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình trụ có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và có chiều cao bằng chiều cao của tứ diện ABCD là

A. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{2}}{3}$

B. $S_{x q} = \frac{π a^{2} \sqrt{3}}{2}$

C. $S_{x q} = π a^{2} \sqrt{3}$

D. $S_{x q} = \frac{2 π a^{2} \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Do BCD là tam giác đều cạnh a $\Rightarrow R = O B = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Ta có: $h = O A = \sqrt{A B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Suy ra:

S_{x q} = 2 π R h = 2 π . \frac{a \sqrt{3}}{3} . \frac{a \sqrt{6}}{3} = \frac{2 π a^{2} \sqrt{2}}{3}

.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Diện tích xung quanh Sxq của hình trụ có đáy là đường tròn (ảnh 1)

Câu 33:

Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số nguyên m thỏa mãn phương trình $\log_{0,5} (m + 6 x) + \log_{2} (3 - 2 x - x^{2}) = 0$ có duy nhất một nghiệm. Khi đó hiệu $a - b$ bằng

A. $a - b = 22$

B. $a - b = 24$

C. $a - b = 26$

D. $a - b = 4$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình tương đương: $\log_{2} (3 - 2 x - x^{2}) = \log_{2} (m + 6 x) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 - 2 x - x^{2} > 0 \\ m + 6 x = 3 - 2 x - x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 < x < 1 \\ m = - x^{2} - 8 x + 3 = f (x) \end{cases}$ .

Ta đi giải bài toán sau: “Tìm m để đồ thị hàm số $f (x) = - x^{2} - 8 x + 3$ (với $x \in (- 3; 1)$ ) cắt đường thẳng $y = m$ tại một điểm duy nhất”. Ta có: $f^{'} (x) = - 2 x - 8 < 0, \forall x \in (- 3; 1)$ . Suy ra hàm số nghịch biến trên $(- 3; 1)$ .

Dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện: $- 6 < m < 18 \overset{m \in ℤ}{\to} \{\begin{cases} m_{\max} = 17 = a \\ m_{\min} = - 5 = b \end{cases} \Rightarrow a - b = 22$ .

Câu 34:

Cho số phức z thỏa mãn

z . \bar{z} = 13

. Biết M là điểm biểu diễn số phức z và M thuộc đường thẳng

y = - 3

nằm trong góc phần tư thứ ba trên mặt phẳng Oxy. Khi đó môđun của số phức

w = z - 3 + 15 i

bằng bao nhiêu?

A. $|w| = 5$

B. $|w| = 3 \sqrt{17}$

C. $|w| = 13$

D. $|w| = 2 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ được biểu diễn bởi điểm $M (x; y)$ . Khi đó ta có:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = 13 \\ y = - 3; x < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - 2 \\ y = - 3 \end{cases} \Rightarrow z = - 2 - 3 i \Rightarrow w = - 5 + 12 i \Rightarrow |w| = 13$ .

Câu 35:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(α) : x + y - z + 3 = 0$ và mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 z - 11 = 0$ . Biết mặt cầu (S) cắt mặt phẳng $(α)$ theo giao tuyến là đường tròn (T). Tính chu vi đường tròn (T).

A. $2 π$

B. $4 π$

C. $6 π$

D. $π$

Xem đáp án

Đáp án B

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; 0; - 2)$ và bán kính $R = \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 2^{2} + 11} = 4$

Khi đó $h = d (I; (α)) = \frac{|1 + 0 + 2 + 3|}{\sqrt{3}} = 2 \sqrt{3}$

Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng $(α)$ theo giao tuyến là đường tròn (T) có bán kính: $r = \sqrt{R^{2} - h^{2}} = \sqrt{4^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}} = 2$ . Suy ra chu vi đường tròn (T) là: $2 π r = 4 π$ .

Câu 36:

Gọi a là hệ số không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn ${(x^{2} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n} = C_{n}^{0} {(x^{2})}^{n} + C_{n}^{1} {(x^{2})}^{n - 1} (\frac{- 2}{\sqrt{x}}) + ... + C_{n}^{n - 1} (x^{2}) {(\frac{- 2}{\sqrt{x}})}^{n - 1} + C_{n}^{n} {(\frac{- 2}{\sqrt{x}})}^{n} (n \in ℕ^{*})$

Biết rằng trong khai triển trên tổng hệ số của ba số hạng đầu bằng 161. Tìm a.

A. $a = 11520$

B. $a = 11250$

C. $a = 12150$

D. $a = 10125$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có hệ số của số hạng thứ k trong khai triển là: $C_{n}^{k - 1} . {(- 2)}^{k - 1}$ .

Suy ra hệ số của 3 số hạng đầu lần lượt là: $C_{n}^{0}; - 2 C_{n}^{1}$ và ${(- 2)}^{2} C_{n}^{2}$ .

Do tổng hệ số ba số hạng đầu bằng 161 nên ta có: $C_{n}^{0} - 2 C_{n}^{1} + {(- 2)}^{2} C_{n}^{2} = 161$

$\Leftrightarrow 1 - 2 n + 4 \frac{n (n - 1)}{2} = 161 \Leftrightarrow n^{2} - 2 n - 80 = 0 \Leftrightarrow n = 10$ hoặc $n = - 8$ (loại).

Với $n = 10$ , ta có:

${(x^{2} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n} = {(x^{2} - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(x^{2})}^{10 - k} {(- \frac{2}{\sqrt{x}})}^{k} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} {(- 2)}^{k} x^{\frac{40 - 5 k}{2}}$ .

Khi đó hệ số không chứa x trong khai triển thỏa mãn: $\frac{40 - 5 k}{2} = 0 \Leftrightarrow k = 8$ .

Vậy hệ số không chứa x trong khai triển là: $a = C_{10}^{8} {(- 2)}^{8} = 11520$ .

Câu 37:

Cho lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có $B B^{'} = a$ , góc giữa đường thẳng $B B^{'}$ và mặt phẳng (ABC) bằng $60 °$ , tam giác ABC vuông tại C và $\hat{B A C} = 60 °$ . Hình chiếu vuông góc của điểm $B^{'}$ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Thể tích của khối tứ diện $A^{'} . A B C$ tính theo a bằng

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a , góc giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 60 độ (ảnh 1)

A. $\frac{9 a^{3}}{416}$

B. $\frac{13 a^{3}}{108}$

C. $\frac{9 a^{3}}{208}$

D. $\frac{13 a^{3}}{416}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $V_{A^{'} . A B C} = V_{B^{'} . A B C} = \frac{1}{3} B^{'} G . S_{A B C}$ (*).

Ta có: $\{\begin{cases} B^{'} G = B B^{'} \sin 60 ° = \frac{a \sqrt{3}}{2} (1) \\ B G = B B^{'} \cos 60 ° = \frac{a}{2} \Rightarrow B M = \frac{3}{2} B G = \frac{3 a}{4} \end{cases}$ .

Đặt $B C = x \Rightarrow A C = B C . \cot 60 ° = \frac{x}{\sqrt{3}} \Rightarrow M C = \frac{x}{2 \sqrt{3}}$ .

Ta có: $B M^{2} = B C^{2} + M C^{2} \Leftrightarrow \frac{9 a^{2}}{16} = x^{2} + \frac{x^{2}}{12} \Leftrightarrow x = \frac{3 a \sqrt{39}}{26}$ .

Hay $B C = \frac{3 a \sqrt{39}}{26}; A C = \frac{3 a \sqrt{13}}{26} \Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} A C . B C = \frac{1}{2} . \frac{3 a \sqrt{39}}{26} . \frac{3 a \sqrt{13}}{26} = \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104}$ (2).

Thay (1), (2) vào (*) ta được: $V_{A^{'} . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{9 a^{2} \sqrt{3}}{104} = \frac{9 a^{3}}{208}$ .

Câu 38:

Cho hàm số

f (x) = \{\begin{cases} x + 1 khi x \geq 0 \\ e^{2 x} khi x \leq 0 \end{cases}

. Tích phân

I = \int_{- 1}^{2} f (x) d x

có giá trị bằng bao nhiêu?

A. $I = \frac{7 e^{2} + 1}{2 e^{2}}$

B. $I = \frac{{11e}^{2} - 11}{2 e^{2}}$

C. $I = \frac{{3e}^{2} - 1}{e^{2}}$

D. $I = \frac{{9e}^{2} - 1}{2 e^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án D

$I = \int_{- 1}^{2} f (x) d x = \int_{- 1}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{2} f (x) d x = \int_{- 1}^{0} e^{2 x} d x + \int_{0}^{2} (x + 1) d x = {\frac{1}{2} e^{2 x}|}_{- 1}^{0} + {\frac{{(x + 1)}^{2}}{2}|}_{0}^{2} = \frac{9 e^{2} - 1}{2 e^{2}}$ .

Câu 39:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên ℝ. Đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ a, b, c $(a < b < c)$ như hình bên. Biết $f (b) < 0$ , hỏi phương trình $f (x) = 0$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?

Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ. Đồ thị hàm số y = f'(x) cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ a, b, c (ảnh 1)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

Từ đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị $y = f (x)$ cắt trục hoành (y = 0) nhiều nhất tại 4 điểm phân biệt. Vậy phương trình $f (x) = 0$ có nhiều nhất 4 nghiệm.

Câu 40:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng của B qua C, D và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi (T) là thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MEF). Tính diện tích S của thiết diện (T).

A. $S = \frac{a^{2}}{2}$

B. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{6}$

C. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{9}$

D. $S = \frac{a^{2}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có thiết diện (T) là tam giác MHK như hình vẽ.

Dễ thấy H, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABE, ABF (đều là giao 2 đường trung tuyến).

Khi đó: $\frac{A H}{A C} = \frac{A K}{A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow H K // CD \Rightarrow HK= \frac{2}{3} C D = \frac{2 a}{3}$

Ta có: $M H^{2} = A M^{2} + A H^{2} - 2 A M . A H . \cos 60 °$

$= {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{2 a}{3})}^{2} - 2. \frac{a}{2} . \frac{2 a}{3} . \frac{1}{2} = \frac{13 a^{2}}{36}$ .

Suy ra $M K = M H = \frac{a \sqrt{13}}{6}$ .

Xét tam giác cân MHK như hình vẽ.

Ta có: $M I = \sqrt{M H^{2} - I H^{2}} = \sqrt{\frac{13 a^{2}}{36} - {(\frac{a}{3})}^{2}} = \frac{a}{2}$

$\Rightarrow S_{M H K} = \frac{1}{2} M I . H K = \frac{1}{2} . \frac{a}{2} . \frac{2 a}{3} = \frac{a^{2}}{6}$ .

Câu 41:

Số nghiệm của phương trình $\cos (\frac{π}{2} - x) . \sin x = 1 - \sin (\frac{π}{2} + x)$ với $x \in [0; 3 π]$ là

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình tương đương: $\sin^{2} x = 1 - \cos \Leftrightarrow 1 - \cos^{2} x = 1 - \cos x \Leftrightarrow \cos x . (\cos x - 1) = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \cos x = 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = k 2 π \end{array} \overset{x \in [0; 3 π]}{\to} x \in \{\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2}; \frac{5 π}{2}; 0; 2 π\}$ : có 5 nghiệm.

Câu 42:

Cho mặt phẳng $(P) : x - y - z - 1 = 0$ và hai điểm $A (- 5; 1; 2), B (1; - 2; 2)$ . Trong tất cả các điểm M thuộc mặt phẳng (P), điểm để $|\vec{M A} + 2 \vec{M B}|$ đạt giá trị nhỏ nhất có tung độ $y_{M}$ là

A. $y_{M} = 1$

B. $y_{M} = - 2$

C. $y_{M} = 0$

D. $y_{M} = - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét điểm $\vec{I A} + 2 \vec{I B} = \vec{0}$ (*) $\Rightarrow \{\begin{cases} x_{I} = \frac{x_{A} + 2 x_{B}}{1 + 2} = - 1 \\ y_{I} = \frac{y_{A} + 2 y_{B}}{1 + 2} = - 1 \\ z_{I} = \frac{z_{A} + 2 z_{B}}{1 + 2} = 2 \end{cases} \Rightarrow I (- 1; - 1; 2)$ .

Khi đó $|\vec{M A} + 2 \vec{M B}| = |(\vec{M I} + \vec{I A}) + 2 (\vec{M I} + \vec{I B})| \overset{(*)}{=} |3 \vec{M I}| = 3 M I$

Suy ra: ${|\vec{M A} + 2 \vec{M B}|}_{\min} = 3 M I_{\min} \Leftrightarrow$ M là hình chiếu vuông góc của I trên (P).

Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có phương trình: $\{\begin{cases} x = - 1 + t \\ y = - 1 - t \\ z = 2 - t \end{cases}$ (2*)

Thay (2*) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: $- 1 + t - (- 1 - t) - (2 - t) - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow M (0; - 2; 1) \Rightarrow y_{M} = - 2$ .

Chú ý: Công thức xác định nhanh tọa độ điểm I:

$\sum k_{i} \vec{I A_{i}} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{O I} = \frac{1}{\sum k_{i}} . \sum k_{i} . \vec{O A_{i}} \Rightarrow \{\begin{cases} x_{I} = \frac{1}{\sum k_{i}} . \sum k_{i} x_{i} \\ y_{I} = \frac{1}{\sum k_{i}} . \sum k_{i} y_{i} \\ z_{I} = \frac{1}{\sum k_{i}} . \sum k_{i} z_{i} \end{cases}$ .

Câu 43:

Cho hàm số

y = f (x)

liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số

g (x) = f (\frac{x + 3}{x - 1}) + 2 m

. Tìm m để giá trị lớn nhất của

g (x)

trên đoạn

[- 1; 0]

bằng 1.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ có đồ thị như hình vẽ bên. Xét hàm số g(x) = f(x + 3/ x - 1) + 2m (ảnh 1)

A. $m = - 1$

B. $m = - 2$

C. $m = - \frac{1}{2}$

D. $m = 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = \frac{x + 3}{x - 1} \Rightarrow t^{'} = \frac{- 4}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \in [- 1; 0] \Rightarrow t (0) \leq t \leq t (- 1) \Leftrightarrow t \in [- 3; - 1]$ .

Khi đó, giá trị lớn nhất của $g (x)$ trên đoạn $[- 1; 0]$ là giá trị lớn nhất của hàm $f (t) + 2 m$ trên đoạn $[- 3; - 1]$ .

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f (x)$ hay $y = f (t) \Rightarrow \underset{[- 3; - 1]}{\max f (t)} = 3$

$\Rightarrow \underset{[- 1; 0]}{\max g (x)} = 3 + 2 m \Leftrightarrow 1 = 3 + 2 m \Leftrightarrow m = - 1$ .

Câu 44:

Cho hàm số $y = \frac{m . \sqrt{x - 1} - 9}{\sqrt{x - 1} - m}$ . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên khoảng $(2; 17)$ ?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = \sqrt{x - 1} \Rightarrow t^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}} > 0, \forall x \in (2; 17) \Rightarrow$ t là hàm đồng biến và $t \in (1; 4)$ .

Khi đó bài toán có thể phát biểu lại là: “Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số $y = \frac{m t - 9}{t - m}$ đồng biến trên khoảng $(1; 4)$ ”.

Yêu cầu bài toán tương đương: $y^{'} = \frac{- m^{2} + 9}{{(t - m)}^{2}} > 0, \forall t \in (1; 4) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m \notin (1; 4) \\ - m^{2} + 9 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m \leq 1 \\ m \geq 4 \end{array} \\ - 3 < m < 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow - 3 < m \leq 1 \overset{m \in ℤ}{\to} m \in \{- 2; - 1; 0; 1\}$ :có 4 giá trị m thỏa mãn.

Câu 45:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 1 - 3 i| + 2 |z - 4 + i| \leq 5$ . Khi đó số phức $w = z + 1 - 11 i$ có môđun bằng bao nhiêu?

A. 12

B. $3 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{3}$

D. 13

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $M (x; y)$ biểu diễn số phức $z = x + y i$ ( $x, y \in ℝ$ )

Khi đó: $|z - 1 - 3 i| + 2 |z - 4 + i| \leq 5 \Leftrightarrow M A + 2 M B \leq 5$ (*) trong đó $\{\begin{cases} A (1; 3) \\ B (4; - 1) \end{cases}$ .

Do $A B = 5$ nên (*) $\Leftrightarrow M A + 2 M B \leq A B$ (1).

Mặt khác, ta có: $M A + 2 M B = M A + M B + M B \geq A B + M B \geq A B$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra: $M B = 0 \Leftrightarrow M \equiv B (4; - 1) \Rightarrow z = 4 - i \Rightarrow w = 5 - 12 i \Rightarrow |w| = 13$ .

Câu 46:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 100; 100]$ để phương trình $\log_{3} x^{2 m + 1} = (m + 3) (x - 1)$ có hai nghiệm thực dương phân biệt?

A. 196

B. 198

C. 200

D. 199

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện xác định $x > 0$

Với $m = - \frac{1}{2}$ , phương trình không có 2 nghiệm thực dương phân biệt

Với $m \neq - \frac{1}{2}$ , ta có: $\log_{3} x^{2 m + 1} = (m + 3) (x - 1) \Leftrightarrow f (x) = \log_{3} x = \frac{m + 3}{2 m + 1} x - \frac{m + 3}{2 m + 1}$

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: $\{\begin{cases} \frac{m + 3}{2 m + 1} > 0 \\ \frac{m + 3}{2 m + 1} \neq f^{'} (1) \end{cases}$ (phương pháp tiếp tuyến và tương giao)

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m > - \frac{1}{2} \\ m < - 3 \end{array} \\ \frac{m + 3}{2 m + 1} \neq \frac{1}{\ln 3} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > - \frac{1}{2} \\ m < - 3 \end{array} \overset{m \in [- 100; 100]}{\to} m \in [- 100; - 3) \cup (- \frac{1}{2}; 100]$

Do $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{\pm 100; \pm 99; ...; \pm 4; 0; 1; 2; 3\}$ : có 198 giá trị của m thỏa mãn đề bài.

Câu 47:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục và có đạo hàm trên ℝ, có đồ thị như hình vẽ bên. Với m là tham số thực bất kì thuộc đoạn $[1; 2]$ , phương trình $f (x^{3} - 3 x^{2}) = m^{3} - 3 m^{2} + 5$ có bao nhiêu nghiệm thực?

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên ℝ, có đồ thị như hình vẽ bên (ảnh 1)

A. 3

B. 7

C. 5

D. 9

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = x^{3} - 3 x^{2} \Rightarrow t^{'} = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow x \in \{0; 2\}$ . Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, suy ra:

+) Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ nghịch biến trên $[1; 2] \Rightarrow t \in [- 4; - 2]$ .

Suy ra $(m^{3} - 3 m^{2}) \in [- 4; - 2]$ khi $m \in [1; 2]$

$\Rightarrow (m^{3} - 3 m^{2} + 5) \in [1; 3]$ với $m \in [1; 2]$ .

+) Khi đó dựa vào đồ thị suy ra phương trình $f (t) = m^{3} - 3 m^{2} + 5 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = t_{1} < - 4 \\ t = t_{2} \in (- 4; 0) \\ t = t_{3} \in (- 4; 0) \end{array}$

+) Bảng biến thiên của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2}$ cho ta biết:

Với $t = t_{1} \Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} = t_{1} < - 4$ : có 1 nghiệm.

Với $t = t_{2} \Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} = t_{2} \in (- 4; 0)$ : có 3 nghiệm.

Với $t = t_{3} \Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} = t_{3} \in (- 4; 0)$ : có 3 nghiệm.

Vậy phương trình ban đầu có tất cả: $1 + 3 + 3 = 7$ nghiệm.

Chú ý: Ở câu hỏi này ta có thể chọn $m = 1 \in [1; 2]$ để đưa phương trình về dạng: $f (x^{3} - 3 x^{2}) = 3$

(Do số nghiệm của phương trình không đổi với

\forall m \in [1; 2]

).

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên ℝ, có đồ thị như hình vẽ bên (ảnh 3)

Câu 48:

Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, CD và P là điểm trên cạnh

B B^{'}

sao cho

B P = 3 P B^{'}

. Mặt phẳng (MNP) chia khối lập phương thành hai khối lần lượt có thể tích

V_{1}, V_{2}

. Biết khối có thể tích

V_{1}

chứa điểm A. Tính tỉ số

\frac{V_{1}}{V_{2}}

.

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, CD và P là điểm trên cạnh BB' (ảnh 1)

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4}$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{25}{71}$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{8}$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{25}{96}$

Xem đáp án

Đáp án B

Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình lập phương là ngũ giác MNHPK (như hình vẽ).

Khi đó ta có: $V_{1} = V_{P . B I J} - (V_{K . A M J} + V_{H . C I N})$ (*).

Ta có: DMN là tam giác vuông cân tại D.

Suy ra: $Δ AMJ, Δ C I N$ đều là tam giác vuông cân.

Đặt $A B = 2 a$ , khi đó: $AJ = A M = C N = C I = a$ và $P B = \frac{3 a}{2}$

$\frac{K A}{P B} = \frac{J A}{J B} = \frac{a}{3 a} = \frac{1}{3} \Rightarrow K A = \frac{1}{3} P B = \frac{a}{2}$ .

Khi đó $H C = K A = \frac{a}{2}$ .

Suy ra: $\{\begin{cases} V_{K . AMJ} + V_{H . C I N} = 2 V_{K . AMJ} = 2. \frac{1}{6} . A K . AJ . A M = 2. \frac{1}{6} . \frac{a}{2} . a . a = \frac{a^{3}}{6} \\ V_{P . B IJ} = \frac{1}{6} . B P . B I . B J = \frac{1}{6} . \frac{3 a}{2} .3 a .3 a = \frac{9 a^{3}}{4} \end{cases} (2 *)$

Thay (2*) vào (*) ta được: $V_{1} = \frac{9 a^{3}}{4} - \frac{a^{3}}{6} = \frac{25 a^{3}}{12}$

$\Rightarrow V_{2} = V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} - V_{1} = 8 a^{3} - \frac{25 a^{3}}{12} = \frac{71 a^{3}}{12} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{25}{71}$ .

Câu 49:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (0; - 1; - 1), B (- 1; - 3; 1)$ . Giả sử C, D là hai điểm di động thuộc mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 2 z - 1 = 0$ sao cho CD = 4 và A, C, D thẳng hàng. Gọi $S_{1}, S_{2}$ lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD. Khi đó tổng $S_{1} + S_{2}$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. $\frac{34}{3}$

B. $\frac{17}{3}$

C. $\frac{11}{3}$

D. $\frac{37}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi K và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (P) và đường thẳng CD.

Khi đó: $B K \leq B H \leq A B$ (*)

Ta có: $S_{Δ B C D} = \frac{B H . C D}{2} = 2 B H \overset{(*)}{\to} 2 B K \leq S_{Δ B C D} \leq 2 A B$ (1).

Ta có $B K = d (B, (P)) = \frac{|- 2 - 3 - 2 - 1|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{8}{3}$ và $A B = 3$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra: $S_{2} = \frac{16}{3} \leq S_{Δ B C D} \leq 6 = S_{1} \Rightarrow S_{1} + S_{2} = \frac{34}{3}$ .

Câu 50:

Trên cánh đồng cỏ, có 2 con bò được cột vào hai cây cọc khác nhau. Biết khoảng cách giữa hai cọc là 5m, còn hai sợi dây buộc hai con bò lần lượt có chiều dài là 4m và 3m (không tính phần chiều dài dây buộc bò). Tính diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung (làm tròn đến hàng phần nghìn).

A. $6,642 m^{2}$

B. $6,246 m^{2}$

C. $4,624 m^{2}$

D. $4,262 m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Miền hình phẳng mà hai con bò ăn lần lượt là hai hình tròn có bán kính là 4m và 3m (hình vẽ). Đoạn nối tâm $A B = 5 m$ của hai hình tròn bằng 5m. Diện tích mặt cỏ lớn nhất mà 2 con bò có thể ăn chung là phần diện tích khi dây buộc hai con bò căng tối đa thuộc phần chung của hai hình tròn (phần tô đậm), nên ta gắn hệ trục tọa độ Oxy (như hình vẽ bên).

Đường tròn tâm $A \equiv O (0; 0)$ có bán kính $R_{1} = 4$ có phương trình: $x^{2} + y^{2} = 16 \Leftrightarrow y^{2} = 16 - x^{2} {(C}_{1})$ .

Đường tròn tâm $B (5; 0)$ có bán kính $R_{2} = 3$ có phương trình: ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 9 {(C}_{2})$ .

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C_{1})$ và $(C_{2})$ là: ${(x - 5)}^{2} + 16 - x^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \frac{16}{5}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề)

Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 16)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan