50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (Đề 6)

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1.

A. 1

B. $- 2$

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: $D = ℝ$

$y' = x^{2} - 4 x + 3, y' = 0 \Leftrightarrow x = 1, x = 3 .$

Ta có bảng biến thiên sau:

$\Rightarrow y_{C T} = 1$

Câu 16:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 5}

trên

[0; 3] .

Giá trị của biểu thức

M + m

tại M có hệ số góc lớn nhất. Tồng

A. 7

B. $2 (\sqrt{2} - 1)$

C. 12

D. $2 (\sqrt{2} + 1)$

Xem đáp án

Đáp án D

$y' = \frac{2 x - 2}{2. \sqrt{x^{2} - 2 x + 5}}; y' = 0 \Leftrightarrow 2 x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

$y (1) = 2; y (0) = \sqrt{5}; y (3) = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

So sánh 4 giá trị trên với nhau $\Rightarrow M = 2 \sqrt{2}; m = 2 \Rightarrow M + m = 2 (\sqrt{2} + 1)$

Câu 17:

Gọi

M (a, b)

là điểm thuộc đó thị

(C)

của hàm số

y = - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x + \frac{4}{3}

sao cho tiếp tuyến của

(C)

2 a + 4 b

A. $- 5$

B. 5

C. 0

D. 13

Xem đáp án

Đáp án C

Tính $y' = - x^{2} - x + 2$

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M (a; b)$ là

$y' (a) = - a^{2} - a + 2 = - {(a + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{9}{4} = \frac{9}{4} - {(a + \frac{1}{2})}^{2} \leq \frac{9}{4}$

$\Rightarrow$ Hệ số góc $y' (a)$ lớn nhất (dấu = xảy ra) khi chỉ khi ${(a + \frac{1}{2})}^{2} = 0 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{2}$

Thay $x = a = - \frac{1}{2}$ và hàm số đã cho, ta có: $b = - \frac{1}{3} {(- \frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} {(- \frac{1}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) + \frac{4}{3} = \frac{1}{4}$

$\Rightarrow 2 a + 4 b = 0$

Câu 18:

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c, d \in ℝ) .$ Đồ thị của hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ bên. Số nghiệm thực cùa phương trình $3 f (x) + 4 = 0$ là

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $3 f (x) + 4 = 0 \Leftrightarrow f (x) = - \frac{4}{3},$ do đó số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ với đường thẳng $y = - \frac{4}{3}$

Dựa vào đồ thị, ta có đường thẳng $y = - \frac{4}{3}$ cắt đồ thị hàm số đã cho tại 1 điểm.

Câu 19:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau. Hàm số g(x) = f(x) + 2020 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây (ảnh 1)

Hàm số $g (x) = f (x) + 2020$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; - 5)$

B. $(0; + \infty)$

C. $(- 3; - 2)$

D. $(1; 3)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $g' (x) = f (x),$ suy ra bảng biến thiên của hàm $g (x) = f (x) + 2020$ chính là bảng biên thiên của hàm số $y = f (x)$

Câu 20:

Ông B dự định gửi vào ngân hàng một số tiền với lãi suất 6,5%/năm. Biết rằng cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ gộp vào vốn ban đầu. Hỏi số tiền A (triệu đồng, $A \in ℕ)$ nhỏ nhất mà ông B cần gửi vào ngân hàng để sau 3 năm số tiền lãi đủ để mua xe máy trị giá 48 triệu đồng là

A. 230 triệu đồng

B. 231 triệu đồng

C. 250 triệu đồng

D. 251 triệu đồng

Xem đáp án

Đáp án B

Sau 3 năm số tiền ông B có được cả gốc lẫn lãi là: $A {(1 + 0,065)}^{3} .$ Theo giả thiết ông B có số tiền lãi 48 triệu đồng nên ta có phương trình: $A {(1 + 0,065)}^{3} = A + 48 \Leftrightarrow A = \frac{48}{{(1,065)}^{3} - 1} ≃ 231$

Câu 21:

Với mọi số thực dương a và b thoả mãn $a^{2} + b^{2} = 8 a b,$ mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\log (a + b) = \frac{1}{2} (\log a + \log b)$

B. $\log (a + b) = \frac{1}{2} (1 + \log a + \log b)$

C. $\log (a + b) = 1 + \log a + \log b$

D. $\log (a + b) = \frac{1}{2} + \log a + \log b$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $a^{2} + b^{2} = 8 a b \Leftrightarrow a^{2} + 2 a b + b^{2} = 10 a b \Leftrightarrow {(a + b)}^{2} = 10 a b$

$\Rightarrow \log {(a + b)}^{2} = \log (10 a b)$

$\Rightarrow 2 \log (a + b) = (1 + \log a + \log b)$

$\Rightarrow \log (a + b) = \frac{1}{2} (1 + \log a + \log b)$

Câu 22:

Cho hai hàm số

y = a^{x}

có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

y = \log_{b} x

A. $a, b > 1$

B. $0 < a, b < 1$

C. $0 < a < 1 < b$

D. $0 < b < 1 < a$

Xem đáp án

Đáp án D

Từ hình vẽ ta có:

Hàm số $y = a^{x}$ đồng biến trên $ℝ$ nên $a > 1$

Hàm số

y = \log_{b} x

nghịch biến trên

(0; + \infty)

nên

0 < b < 1 \Rightarrow 0 < b < 1 < a

Câu 23:

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên bằng bao nhiêu?

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên bằng bao nhiêu (ảnh 1)

A. 4

B. $\frac{9}{2}$

C. $\frac{7}{3}$

D. $\frac{5}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta thấy $\forall x \in [- 3; 0]$ thì $x - 1 \geq x^{2} + 4 x - 1$ nên $S = \int_{- 3}^{0} [(x - 1) - (x^{2} + 4 x - 1)] d x = \int_{- 3}^{0} (- x^{2} - 3 x) d x = \frac{9}{2}$

Câu 24:

Cho số phức z thỏa mãn $(2 - i) z + \frac{1 + 5 i}{1 + i} = 7 + 10 i$ . Môđun của số phức $w = z^{2} + 20 + 3 i$ là

A. 5

B. 3

C. 25

D. 4

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $(2 - i) z + \frac{1 + 5 i}{1 + i} = 7 + 10 i \Leftrightarrow (2 - i) z + 3 + 2 i = 7 + 10 i \Leftrightarrow (2 - i) z = 4 + 8 i$

Suy ra $z = \frac{4 + 8 i}{2 - i} = 4 i$ nên $w = {(4 i)}^{2} + 20 + 3 i = 4 + 3 i .$ Vậy $|w| = 5$

Câu 25:

Gọi

z_{1}

là hai nghiệm phức của phương trình

z_{2}

z^{2} - 2 z + 10 = 0.

Tính

A = |z_{1}^{2}| + |z_{2}^{2}| .

A. $A = 20$

B. $A = 10$

C. $A = 30$

D. $A = 50$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $z^{2} - 2 z + 10 = 0 (1)$ có hai nghiệm phức là $z_{1} = 1 + 3 i$ và $z_{2} = 1 - 3 i .$

Ta có: $A = |{(1 - 3 i)}^{2}| + |{(1 + 3 i)}^{2}| = |- 8 - 6 i| + |- 8 + 6 i| = 20.$

Vậy $A = 20$

Câu 26:

Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD biết $A B = a, S A = a .$

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{a^{3}}{3}$

D. $a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Ta có $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D}$

$= \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2} a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{6}$ (đvtt)

Câu 27:

Cho hình vuông ABCD cạnh 8 cm. Gọi M, N lẩn lượt là trung điểm của AB và CD. Quay hình vuông ABCD xung quanh MN được hình trụ $(T)$ . Diện tích toàn phần của hình $(T)$ là

A. $64 π (c m^{2})$

B. $80 π (c m^{2})$

C. $96 π (c m^{2})$

D. $192 π (c m^{2})$

Xem đáp án

Đáp án C

Quay hình vuông ABCD xung quanh MN ta được hình trụ như hình vẽ. Khi đó:

$\begin{array}{l} r = \frac{A B}{2} = 4 c m, l = h = A D = 8 c m \\ S_{t p} = 2 π r h + 2 π r^{2} = 2 π .4.8 + 2 π {.4}^{2} = 96 π (c m^{2}) \end{array}$

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm $M (1; - 2; 5)$ và vuông góc với mặt phẳng $(α) : 4 x - 3 y + 2 z + 5 = 0$ là

A. $\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z + 5}{2}$

B. $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 5}{2}$

C. $\frac{x - 1}{- 4} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 5}{- 2}$

D. $\frac{x - 1}{- 4} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 5}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $(α) : 4 x - 3 y + 2 z + 5 = 0$ nên d có vectơ chỉ phương là ${\vec{u}}_{d} (4; - 3; 2) .$

Do đó phương trình chính tắc của đường thẳng d là $\frac{x - 1}{4} = \frac{y + 2}{- 3} = \frac{z - 5}{2}$

Câu 29:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có

A (0; 1; - 1); B (1; 1; 2);

C (1; - 1; 0); D (0; 0; 1) .

Tính độ dài đường cao AH của hình chóp A.BCD.

A. $3 \sqrt{2}$

B. $2 \sqrt{2}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\vec{B A} = (- 1; 0; - 3); \vec{B C} = (0; - 2; - 2); \vec{B D} = (- 1; - 1; - 1) .$

$[\vec{B C}, \vec{B D}] = (0; 2; - 2) \Rightarrow [\vec{B C}, \vec{B D}] . \vec{B A} = 6$

$V_{A B C D} = \frac{1}{6} . [\vec{B C}, \vec{B D}] . \vec{B A} = \frac{1}{6} .6 = 1$ (đvtt)

$S_{B C D} = \frac{1}{2} . |[\vec{B C}, \vec{B D}]| = \frac{1}{2} . \sqrt{0^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{2}$ (đvdt)

Ta có $V_{A B C D} = \frac{1}{3} . A H . S_{B C D} \Rightarrow A H = \frac{3 V_{A B C D}}{S_{B C D}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Câu 30:

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $B C'$ và $C D'$ là

A. $\frac{a}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $(D' A C) / / (B A' C')$ nên $d (C D'; B C') = d ((D' A C); (B A' C'))$

$= d (D'; (B A' C')) = d (A'; (B A' C'))$

Từ đây ta tính $d (A'; (B A' C')) = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Câu 31:

Mỗi bạn An, Bình chọn ngẫu nhiên 3 chữ số trong tập $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} .$ Tính xác suất để trong hai bộ ba chữ số mà An và Bình chọn ra có đúng một chữ số giống nhau.

A. $\frac{7}{40}$

B. $\frac{9}{10}$

C. $\frac{6}{25}$

D. $\frac{21}{40}$

Xem đáp án

Đáp án D

Không gian mẫu $|Ω| = C_{10}^{3} . C_{10}^{3} = 14400 .$

Gọi A là biến cố “Trong hai bộ ba chữ số mà An và Bình chọn ra có đúng một chữ số giống nhau”.

Chọn số giống nhau ở cả hai bạn An và Bình là: 10 cách.

Chọn hai số còn lại của An là: $C_{9}^{2}$ cách.

Chọn hai số còn lại của Bình là: $C_{7}^{2}$ cách.

Vậy

|A| = 10. C_{9}^{2} . C_{7}^{2} = 7560 \Rightarrow P (A) = \frac{|A|}{|Ω|} = \frac{21}{40}

Câu 32:

và có đồ thị như hình vẽ bên. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình

f (x),

hàm số

y = f' (x)

liên tục trên

ℝ

f (x) = 3 x + m

có nghiệm thuộc khoảng

(- 1; 1) .

A. $f (- 1) + 3 < m < f (1) - 3$

B. $f (- 1) - 3 < m < f (1) + 3$

C. $f (1) + 3 < m < f (- 1) - 3$

D. $f (0) - 1 < m < f (0) + 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f (x) = 3 x + m \Leftrightarrow f (x) - 3 x = m .$

Để phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng $(- 1; 1)$ thì đường thẳng $y = m$ phải cắt đồ thị hàm số $g (x) = f (x) - 3 x, x \in (- 1; 1) .$

Xét hàm số $g (x) = f (x) - 3 x, x \in (- 1; 1) .$

Có $g' (x) = f' (x) - 3.$

Nhìn đồ thị $f' (x)$ ta thấy, với $x \in (- 1; 1)$ thì $- 1 < f' (x) < 3 \Rightarrow g' (x) = f' (x) - 3 < 0.$

Do đó, ta có bảng biến thiên như hình bên

Từ bảng biến thiên, suy ra giá trị cần tìm là $g (- 1) < m < g (1) \Leftrightarrow f (- 1) + 3 < m < f (1) - 3 .$

Câu 33:

có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

y = f (x)

y = f (- f (\sin x))

trên đoạn

[- \frac{π}{2}; 0] .

Giá trị của

M - m

Tập tất cả các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là

A. 6

B. 3

C. $- 6$

D. $- 3$

Xem đáp án

Đáp án B

$x \in [- \frac{π}{2}; 0] \Rightarrow \sin x \in [- 1; 0]$

Nhìn đồ thị $f (x)$ ta thấy, với $x \in [- 1; 0]$ thì $- 2 \leq f (x) \leq 1.$

Vì $\sin x \in [- 1; 0] \Rightarrow - 2 \leq f (\sin x) \leq 1$

$\Rightarrow - 1 \leq - f (\sin x) \leq 2$

Mặt khác, nhìn đồ thị $f (x)$ ta thấy với $- 1 \leq x \leq 2$ thì $- 2 \leq f (x) \leq 1.$

Vì

- 1 \leq - f (\sin x) \leq 2

\Rightarrow - 2 \leq f (- f (\sin x)) \leq 1 \Rightarrow M = 1, m = - 2 \Rightarrow M - m = 3.

Câu 34:

Cho phương trình

9^{x^{2} - 2 x + 1} - 2 m {.3}^{x^{2} - 2 x + 1} + 3 m - 2 = 0.

A. $[2; + \infty)$

B. $(1; + \infty)$

C. $(2; + \infty)$

D. $(- \infty; 1) \cup (2; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = 3^{{(x - 1)}^{2}} \geq 1.$

Phương trình trở thành $t^{2} - 2 m t + 3 m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{t^{2} - 2}{2 t - 3} (*)$

$(t = \frac{3}{2}$ không phải là nghiệm của phương trình).

Xét hàm $f (t) = \frac{t^{2} - 2}{2 t - 3}$ trên $[1; + \infty) \ \{\frac{3}{2}\}$

Ta có $f' (t) = \frac{2 t^{2} - 6 t + 4}{{(2 t - 3)}^{2}}, f' (t) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 2 \end{array}$

Bảng biến thiên

Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 và khác $\frac{3}{2} .$ Dựa vào bảng biến thiên ta có $m > 2$

Câu 35:

Giả sử hàm số

y = f (x)

liên tục, nhận giá trị dương trên

(0; + \infty)

và thỏa mãn

f (1) = e, f (x) = f' (x) . \sqrt{3 x + 1},

với mọi

x > 0.

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $10 < f (5) < 11$

B. $4 < f (5) < 5$

C. $11 < f (5) < 12$

D. $3 < f (5) < 4$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét $x \in (0; + \infty)$ và $f (x) > 0$ ta có: $f (x) = f' (x) . \sqrt{3 x + 1} \Leftrightarrow \frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}}$

$\Rightarrow \int \frac{f' (x)}{f (x)} d x = \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}} d x = \int \frac{1}{f (x)} d (f (x)) = \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 \sqrt{3 x + 1}} d (3 x + 1)$

$\Rightarrow \ln (f (x)) = \frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} + C \Rightarrow f (x) = e^{\frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} + C}$

Theo bài ra ta có: $f (1) = e$ nên $e^{\frac{4}{3} + C} = e \Rightarrow C = - \frac{1}{3} \Rightarrow f (x) = e^{\frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} - \frac{1}{3}}$

Do đó $f (5) \approx 10,3123 \Rightarrow 10 < f (5) < 11$

Câu 36:

Cho hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} + m$ có đồ thị $(C_{m})$ với m là tham số thực. giả sử $(C_{m})$ cắt trục $O x$ tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi $S_{1}, S_{2}$ và $S_{3}$ là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm m để $S_{1} + S_{2} = S_{3}$

A. $m = - \frac{5}{2}$

B. $m = - \frac{5}{4}$

C. $m = \frac{5}{2}$

D. $m = \frac{5}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử $x = b$ là nghiệm dương lớn nhất của phương trình $x^{4} - 3 x^{2} + m = 0.$ Khi đó ta có $b^{4} - 3 b^{2} + m = 0 (1) .$

Nếu xảy ra $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ thì $\int_{0}^{b} (x^{4} - 3 x^{2} + m) d x = 0 \Rightarrow \frac{b^{5}}{5} - b^{3} + m b = 0 \Rightarrow \frac{b^{4}}{5} - b^{2} + m = 0 (2)$ (do $b > 0)$

Từ (1) và (2) , trừ vế theo vế ta được $\frac{4}{5} b^{4} - 2 b^{2} = 0 \Rightarrow b^{2} = \frac{5}{2}$ (do $b > 0)$

Thay trở lại vào (1) ta được $m = \frac{5}{4}$

Câu 37:

Tập hợp các số phức $w = (1 + i) z + 1$ với z là số phức thỏa mãn $|z - 1| \leq 1$ là hình tròn. Tính diện tích hình tròn đó.

A. $4 π$

B. $2 π$

C. $3 π$

D. $π$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta đặt $w = x + y i (x, y \in ℝ)$ thì $w = (1 + i) z + 1 \Leftrightarrow w = (1 + i) (z - 1) + i + 2$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow |w - i - 2| = |(z - 1) (1 + i)| \\ \Leftrightarrow |w - i - 2| = |z - 1| . |1 + i| \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = {(\sqrt{2} . |z - 1|)}^{2} \leq 2 \\ \Rightarrow R = \sqrt{2} \end{array}$

$\Rightarrow S = π R^{2} = 2 π$

Câu 38:

Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy, một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính phía trong của cốc nước. Người ta từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (như hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bể dày của lớp vỏ thủy tinh).

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{4}{9}$

D. $\frac{5}{9}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi R là bán kính khối trụ, 6R là chiều cao khối trụ, chiền cao khối nón là 4R.

Thể tích khối cầu và khối nón là $V_{1} = \frac{4}{3} π R^{3} + \frac{1}{3} π R^{2} .4 R = \frac{8}{3} π R^{3}$

Thể tích khối trụ $V_{2} = π R^{2} .6 R = 6 π R^{3}$

Tỉ số thể tích nước còn lại và nước ban đầu là $\frac{V_{2} - V_{1}}{V_{2}} = \frac{6 - \frac{8}{3}}{6} = \frac{5}{9}$

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x - 2 y + 2 z - 3 = 0

và mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 10 x + 6 y - 10 z + 39 = 0.

Từ một điểm M thuộc mặt phẳng

(P)

kẻ một đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu

(S)

tại điểm N. Tính khoảng cách từ M tới gốc tọa độ biết rằng

M N = 4.

A. 5

B. 3

C. $\sqrt{6}$

D. $\sqrt{11}$

Xem đáp án

Đáp án D

Xét mặt cầu $(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 20 \Rightarrow I (5; - 3; 5), R = 2 \sqrt{5} .$

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng $(P) : d (I; (P)) = \frac{|5 - 2. (- 3) + 2.5 - 3|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + 2^{2}}} = 6$

Khi đó $M N^{2} + I N^{2} = M N^{2} + R^{2} = 4^{2} + {(2 \sqrt{5})}^{2} = 36 = d^{2} \Rightarrow I M ⊥ (P)$

Suy ra phương trình của IM: $\frac{x - 5}{1} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z - 5}{2}; M \in I M \Rightarrow M (t + 5; - 3 - 2 t; 2 t + 5)$

Mà $M \in (P) \Rightarrow t + 5 - 2 (- 2 t - 3) + 2 (2 t + 5) - 3 = 0 \Rightarrow t = - 2 \Rightarrow M (3; 1; 1) \Rightarrow O M = \sqrt{11}$

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng

(S A B)

cùng vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD là

(S A D)

\frac{a^{3}}{3} .

Tính góc

φ

giữa đường thẳng SB và mặt phẳng

(S C D) .

A. $φ = 45 ° .$

B. $φ = 60 ° .$

C. $φ = 30 ° .$

D. $φ = 90 ° .$

Xem đáp án

Đáp án C

Hai mặt phẳng $(S A B)$ và $(S A D)$ cắt nhau theo giao tuyến SA và cùng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ nên $S A ⊥ (A B C D) .$

Do đó $S A = \frac{3 V_{S . A B C D}}{S_{A B C D}} = a .$

Tam giác SAD vuông tại A nên $S D = \sqrt{S A^{2} + A D^{2}} = a \sqrt{2} .$

Ta có $C D ⊥ A D, C D ⊥ S A \Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ S D .$

Vậy diện tích tam giác SCD là: $S_{S C D} = \frac{1}{2} S D . C D = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} .$

Gọi I là hình chiếu của B lên mặt phẳng $(S C D)$ khi đó $\hat{(S B, (S C D))} = \hat{(S B, S I)} = \hat{B S I} .$

Mặt khác, $B I = \frac{3 V_{B . S C D}}{S_{S C D}} = \frac{3 V_{S . A B C D}}{2 S_{S C D}} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

Tam giác SAB vuông tại A nên $S B = \sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = a \sqrt{2} .$

Tam giác SIB vuông tại I nên $\sin \hat{B S I} = \frac{B I}{S B} = \frac{1}{2} \Rightarrow \hat{B S I} = 30^{0} .$

Vậy $\hat{(S B, (S C D))} = 30 ° .$

Câu 41:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số $y = \frac{f (x) . \sqrt{x^{2} + x}}{[f (x) - 2] (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (2 x + 1)}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số y = f(x) nhân căn bậc 2 của ( x^2 + x)/[f(x) - 2](x^2 - 1)(x^2 - 4)(2x +1) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng (ảnh 1)

A. 5

B. 3

C. 6

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Trước tiên ta rút gọn phần thức $\frac{f (x) . \sqrt{x^{2} + x}}{[f (x) - 2] (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (2 x + 1)},$ khi phân thức này đã tối giản thì về cơ bản, ứng với mỗi một nghiệm của mẫu ta sẽ được một đường tiệm cận đứng, tuy nhiên phải lưu ý các trường hợp đặc biệt.

+) Ta thấy đồ thị $y = f (x)$ tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 0 và cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 1,2 nên phương trình $f (x) = 0$ có nghiệm kép $x = 0$ và hai nghiệm đơn $x = 1, x = 2$

$\Rightarrow f (x) = {(x - 0)}^{2} (x - 1) (x - 2) g (x) = x^{2} (x - 1) (x - 2) g (x)$ với $g (x)$ vô nghiệm.

+) Đường thẳng $y = 2$ cắt đồ thị hàm số $y = f (x)$ tại hai điểm có hoành độ $x = a, x = b (- 1 < a < 0,2 < b < 3),$ nên phương trình $f (x) = 2$ có hai nghiệm đơn $x = a, x = b (- 1 < a < 0,2 < b < 3)$

$\Rightarrow f (x) - 2 = (x - a) (x - b) h (x)$ với $h (x)$ vô nghiệm.

Vậy ta có $y = \frac{f (x) . \sqrt{x^{2} + x}}{[f (x) - 2] (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (2 x + 1)} = \frac{g (x)}{h (x)} . \frac{x^{2} (x - 1) (x - 2) . \sqrt{x^{2} + x}}{(x - a) (x - b) (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) (2 x + 1)}$

$= \frac{g (x)}{h (x)} . \frac{x^{2} . \sqrt{x^{2} + x}}{(x - a) (x - b) (x + 1) (x + 2) (2 x + 1)}$

Ta thấy với $x = a (- 1 < a < 0)$ và $x = - \frac{1}{2}$ thì $x^{2} + x < 0$ nên $\sqrt{x^{2} + x}$ không tồn tại.

Do đó đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là $x = b, x = - 1, x = - 2.$

Câu 42:

Đường thẳng

d : y = x + m

cắt đồ thị hàm số

y = \frac{x - 1}{x + 1}

tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho

O A^{2} + O B^{2} = 2, O

là gốc tọa độ. Khi đó m thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; 2 - 2 \sqrt{2})$

B. $(0; 2 + 2 \sqrt{2})$

C. $(2 - \sqrt{2}; 2 + 2 \sqrt{2})$

D. $(2 + 2 \sqrt{2}; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án A

Để $d : y = x + m$ cắt đồ thị hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ tại 2 đỉểm phần biệt A, B thì phương trình $x + m = \frac{x - 1}{x + 1}$ phải có 2 nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow x^{2} + m x + m + 1 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2} \neq - 1$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = m^{2} - 4 m - 4 > 0 \\ {(- 1)}^{2} + m (- 1) + m + 1 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 2 - 2 \sqrt{2}, m > 2 + 2 \sqrt{2} \\ 2 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 2 + 2 \sqrt{2} \\ m < 2 - 2 \sqrt{2} \end{array} (*)$

Gọi $A (x_{1}; x_{1} + m), B (x_{2}; x_{2} + m),$ ta có $O A^{2} + O B^{2} = 2$ $\Leftrightarrow {(x_{1})}^{2} + {(x_{1} + m)}^{2} + {x_{2}}^{2} + {(x_{2} + m)}^{2} = 2$

$\begin{array}{l} \begin{array}{l} \Leftrightarrow x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + m (x_{1} + x_{2}) + m^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{x} x_{2} + m (x_{x} + x_{2}) + m^{2} = 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow {(- m)}^{2} - 2 (m + 1) + m (- m) + m^{2} = 1 \\ \Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = 3 \end{array} \end{array}$

Kết hợp với điều kiện (*) ta chọn $m = - 1.$

Câu 43:

có đúng ba điểm cực trị là 0, 1, 2 và có đạo hàm liên tục trên

y = f (x)

ℝ .

Khi đó hàm số

y = f (4 x - 4 x^{2})

có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Theo đề bài thì $y = f (x)$ có đúng ba điểm cực trị là 0,1, 2 và $y = f' (x)$ liên tục trên $ℝ$

$\Rightarrow f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = 2 \\ u (x) = 0 \end{array};$ với ba nghiệm 0; 1; 2 là nghiệm đơn hoặc bội lẻ, còn $u (x) = 0$ chỉ có nghiệm bội chẵn không thuộc tập $[0; 1; 2]$

Đặt $g (x) = f (4 x - 4 x^{2}),$ ta có:

$g' (x) = (4 - 8 x) f' (4 x - 4 x^{2}) .$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 - 8 x = 0 \\ f' (4 x - 4 x^{2}) = 0 \end{array}$

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 4 - 8 x = 0 \\ 4 x - 4 x^{2} = 0 \\ 4 x - 4 x^{2} = 1 \\ 4 x - 4 x^{2} = 2 \\ u (4 x - 4 x^{2}) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 1 = 0 \\ x (x - 1) = 0 \\ {(2 x - 1)}^{2} = 0 \\ u (4 x - 4 x^{2}) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 1 \\ x = \frac{1}{2} \\ u (4 x - 4 x^{2}) = 0 \end{array}$

+) Xét phương trình $u (4 x - 4 x^{2}) = 0.$

Giả sử a là một nghiệm của phương trình $u (x) = 0$ thì từ $a \notin \{0; 1; 2\}$ ta thấy phương trình $4 x - 4 x^{2} = a$ không có nghiệm nào thuộc tập $\{0; \frac{1}{2}; 1\} .$ Suy ra các nghiệm $x = 0; x = 1$ là nghiệm đơn còn $x = \frac{1}{2}$ là nghiệm bội 3 của phương trình $f' (4 x - 4 x^{2}) = 0$

+) Nếu phương trình $u (4 x - 4 x^{2}) = 0$ có nghiệm thì các nghiệm đó cũng là các nghiệm bội chẵn của phương trình $f' (4 x - 4 x^{2}) = 0$

Vậy tập nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ của phương trình $g (x) = 0$ là $\{0; \frac{1}{2}; 1\} .$ Do đó, hàm số $g (x) = f (4 x - 4 x^{2})$ có 3 điểm cực trị.

Câu 44:

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình $\log_{2} (\frac{\sqrt{2 x^{2} + m x + 1}}{x + 2}) + \sqrt{2 x^{2} + m x + 1} = x + 2$ có hai nghiệm thực phân biệt?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện $\{\begin{cases} x + 2 > 0 \\ \begin{array}{l} 2 x^{2} + m x + 1 > 0 \end{array} \end{cases}$

Phương trình ban đầu tương đương

$\begin{array}{l} \log_{2} (\frac{\sqrt{2 x^{2} + m x + 1}}{x + 2}) + \sqrt{2 x^{2} + m x + 1} = x + 2 \\ \Leftrightarrow \log_{2} \sqrt{2 x^{2} + m x + 1} + \sqrt{2 x^{2} + m x + 1} = \log_{2} (x + 2) + x + 2 \end{array}$

$\Leftrightarrow f (\sqrt{2 x^{2} + m x + 1}) = f (x + 2) (1)$

Xét hàm số $f (t) = \log_{2} t + t$ với $t \in (0; + \infty)$ có $f' (t) = \frac{1}{t \ln 2} + 1 > 0, \forall t \in (0; + \infty)$

$\Rightarrow f (t)$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ nên (1) $\Leftrightarrow \sqrt{2 x^{2} + m x + 1} = x + 2$

Từ đó $\{\begin{cases} x > - 2 \\ 2 x^{2} + m x + 1 = {(x + 2)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > - 2 \\ x^{2} + (m - 4) x - 3 = 0 (2) \end{cases}$

Để có hai nghiệm thực phân biệt thì (2) có hai nghiêm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ lớn $- 2$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 8 \\ m < \frac{9}{2} \end{cases} \Leftrightarrow m < \frac{9}{2}$ mà $m \in ℕ^{*} \Rightarrow m \in \{1; 2; 3; 4\}$

Câu 45:

y = f (x)

có đạo hàm liên tục trên

ℝ

và thỏa mãn

f (0) = 3

f (x) + f (2 - x) = x^{2} - 2 x + 2, \forall x \in ℝ .

Tích phân

\int_{0}^{2} x f' (x) d x