Vì \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\) nên cos α < 0.

Do đó từ sin² α + cos² α = 1, suy ra

\(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = - \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

Khi đó, \[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}\];

\(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{ - \frac{{\sqrt 2 }}{4}}} = - 2\sqrt 2 \).

Ta có: \(\tan x = \frac{1}{{\cot x}} = \frac{1}{{ - 3}} = - \frac{1}{3}\).

Áp dụng công thức \(1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\), ta được \({\sin ^2}x = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}x}} = \frac{1}{{1 + {{\left( { - 3} \right)}^2}}} = \frac{1}{{10}}\).

Mà \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) nên sin x > 0. Suy ra \(\sin x = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).

Khi đó từ \(\cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\), suy ra cos x = cot x . sin x = \( - 3.\frac{{\sqrt {10} }}{{10}} = - \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).

VT = sin⁴ x + cos⁴ x

= (sin² x)² + (cos² x)² + 2sin² x . cos² x – 2sin² x . cos² x

= (sin² x + cos² x)² – 2sin² x . cos² x

= 1² – 2sin² x . cos² x = 1 – 2sin² x . cos² x = VP (đpcm).

VT = sin⁶ x + cos⁶ x

= (sin² x)³ + (cos² x)³

= (sin² x + cos² x)³ – 3sin² x cos² x(sin² x + cos² x)

= 1³ – 3sin² x cos² x . 1

Vì tan x xác định nên cos² x khác 0. Chia cả tử và mẫu của B cho cos² x ta được:

\(B = \frac{{2{{\sin }^2}x - 3\sin x\cos x - {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x + \sin x\cos x}}\)\( = \frac{{2{{\tan }^2}x - 3\tan x - 1}}{{{{\tan }^2}x + \tan x}}\)\( = \frac{{2.{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3.\left( { - 2} \right) - 1}}{{{{\left( { - 2} \right)}^2} + \left( { - 2} \right)}} = \frac{{13}}{2}\).

Do \(\cos \frac{{7\pi }}{8} = \cos \left( {\pi - \frac{\pi }{8}} \right) = - \cos \left( { - \frac{\pi }{8}} \right) = - \cos \frac{\pi }{8}\);

\(\cos \frac{{5\pi }}{8} = \cos \left( {\pi - \frac{{3\pi }}{8}} \right) = - \cos \left( { - \frac{{3\pi }}{8}} \right) = - \cos \frac{{3\pi }}{8}\).

Nên A = \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\cos ^2}\frac{{5\pi }}{8} + {\cos ^2}\frac{{7\pi }}{8}\)

= \({\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\cos ^2}\frac{{3\pi }}{8} + {\left( { - \cos \frac{{3\pi }}{8}} \right)^2} + {\left( { - \cos \frac{\pi }{8}} \right)^2}\)

\( = 2\left( {{{\cos }^2}\frac{\pi }{8} + {{\cos }^2}\frac{{3\pi }}{8}} \right)\)

\( = 2\left[ {{{\cos }^2}\frac{\pi }{8} + {{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{3\pi }}{8}} \right)} \right]\)

\( = 2\left( {{{\cos }^2}\frac{\pi }{8} + {{\sin }^2}\frac{\pi }{8}} \right) = 2.1 = 2\).

Nhận thấy \(\sin \frac{{9\pi }}{5} = \sin \left( { - \frac{\pi }{5} + 2\pi } \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{5}} \right) = - \sin \frac{\pi }{5}\) nên \(\sin \frac{\pi }{5} + \sin \frac{{9\pi }}{5} = 0\).

Tương tự ta có: \(\sin \frac{{2\pi }}{5} + \sin \frac{{8\pi }}{5} = 0,\,\,\sin \frac{{3\pi }}{5} + \sin \frac{{7\pi }}{5} = 0,\,\,\sin \frac{{4\pi }}{5} + \sin \frac{{6\pi }}{5} = 0\).

Suy ra B = \(\sin \frac{\pi }{5} + \sin \frac{{2\pi }}{5} + ... + \sin \frac{{9\pi }}{5}\)

\[ = \left( {\sin \frac{\pi }{5} + \sin \frac{{9\pi }}{5}} \right) + \left( {\sin \frac{{2\pi }}{5} + \sin \frac{{8\pi }}{5}} \right) + \left( {\sin \frac{{3\pi }}{5} + \sin \frac{{7\pi }}{5}} \right) + \left( {\sin \frac{{4\pi }}{5} + \sin \frac{{6\pi }}{5}} \right) + \sin \frac{{5\pi }}{5}\]

\( = 0 + \sin \pi = 0\).

C = tan 1° . tan 2° . tan 3°. ... . tan 89°

= (tan 1° . tan 89°) . (tan 2° . tan 88°) . ... . (tan 44° . tan 46°) . tan 45°

= [tan 1° . cot(90° – 89°)] . [tan 2° . cot(90° – 88°)] . ... . [tan44° . cot(90° – 46°)] . tan 45°

= (tan 1° . cot 1°) . (tan 2° . cot 2°) . ... . (tan 44° . cot 44°) . tan 45°

= 1 . 1 . ... . 1 . 1

= 1.

Sử dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác.

Do A + C = π – B nên sin(A + C) = sin(π – B) = sin B.

Vậy sin B = sin(A + C).

Do A + B + 2C = A + B + C + C = π + C

Nên cos(A + B + 2C) = cos(π + C) = – cos C.

Suy ra cosC = – cos(A + B + 2C).

Ta có: \(\frac{{A + B + C}}{2} = \frac{\pi }{2}\), suy ra \(\frac{{B + C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{A}{2}\).

Nên \(\sin \frac{A}{2} = \cos \frac{{B + C}}{2}\).

Ta có: \(\frac{{A + B - 2C}}{2} = \frac{{A + B + C - 3C}}{2} = \frac{{\pi - 3C}}{2} = \frac{\pi }{2} - \frac{{3C}}{2}\).

Suy ra \(\tan \frac{{A + B - 2C}}{2} = \cot \frac{{3C}}{2}\).

Do sin α + cos α = \(\frac{1}{3}\) nên (sin α + cos α)² = \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = \frac{1}{9}\).

Mà (sin α + cos α)² = sin² α + 2 sin α cos α + cos² α = 1 + 2 sin α cos α.

Do đó, 1 + 2 sin α cos α = \(\frac{1}{9}\), suy ra A = sinα . cos α = \(\frac{{\frac{1}{9} - 1}}{2} = - \frac{4}{9}\).

Ta có: B² = (sin α – cos α)² = 1 – 2 sin α cos α = \(1 - 2.\left( { - \frac{4}{9}} \right) = 1 + \frac{8}{9} = \frac{{17}}{9}\).

Do \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\) nên sin α < 0 và cos α > 0. Do đó sin α – cos α < 0.

Ta có:

C = sin³ α + cos³ α = (sin α + cos α)³ – 3 sin α cos α(sin α + cos α)

\( = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - 3.\left( { - \frac{4}{9}} \right).\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{13}}{{27}}\).

Ta có:

D = sin⁴ α + cos⁴ α = 1 – 2sin² α cos² α (theo Bài 9a)

Do vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút và chuyển động theo chiều kim đồng hồ nên sau 15 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng – 2π (rad).

Do đó, sau 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng \(\frac{{ - 2\pi }}{{15}}.10 = \frac{{ - 4\pi }}{3}\) (rad).