a) cos2x - sinx - 1 = 0

⇔ 1 - $2 {\sin }^{2}x$ - sinx - 1 = 0

⇔ sinx(2sinx + 1) = 0

b) cosx.cos2x = 1 + sinx.sin2x

⇔ cosx.cos2x - sinx.sin2x = 1

⇔ cos3x = 1 ⇔ 3x = k2π

c) 4sinx.cosx.cos2x = -1

⇔ 2sin2x.cos2x = -1

⇔ sin4x = -1

d) tanx = 3cotx (Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0)

Ta có:

Các phương trình này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.

a) $3{\cos }^{2}x-2\sin x+2=0$

⇔ $3(1-{\sin }^{2}x)-2\sin x+2=0$

⇔ $3{\sin }^{2}x+2\sin x-5=0$

⇔ $(\mathrm{sinx}-1)(3\mathrm{sinx}+5)=0$

⇔ $\mathrm{sinx}=1$

⇔ $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }$, $\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

b) $5{\sin }^{2}x+3\cos x+3=0$

⇔ $5(1-{\cos }^{2}x)+3\mathrm{cosx}+3=0$

⇔ $5{\cos }^{2}x-3\mathrm{cosx}-8=0$

⇔ $(\mathrm{cosx}+1)(5\mathrm{cosx}-8)=0$

⇔ $\mathrm{cosx}=-1$

⇔ $\mathrm{x}=(2\mathrm{k}+1)\mathrm{\pi }$, $\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

c) ${\sin }^6\mathrm{x}+{\cos }^6\mathrm{x}=4{\cos }^{2}2\mathrm{x}$

⇔ ${({\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x})}^3-3{\sin }^2\mathrm{x}.{\cos }^2\mathrm{x}({\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x})=4{\cos }^{2}2\mathrm{x}$

a) $2\mathrm{tanx}-3\mathrm{cotx}-2=0$ (Điều kiện $\cos \ne 0$ và $\mathrm{sinx}\ne 0$)

Ta có

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình

b) ${\cos }^2\mathrm{x}=3\sin 2\mathrm{x}+3$

Ta thấy $\cos =0$ không thỏa mãn phương trình. Với $\cos \ne 0$, chia hai vế của phương trình cho $\cos 2\mathrm{x}$ ta được:

c) $\mathrm{cotx}-\cot 2\mathrm{x}=\mathrm{tanx}+1$ (1)

Điều kiện: sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Khi đó:

Các giá trị này thỏa mãn điều kiện nên là nghiệm của phương trình

a) ${\cos }^2\mathrm{x}+2\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx}+5{\sin }^2\mathrm{x}=2$

Rõ ràng $\mathrm{cosx}=0$ không thỏa mãn phương trình. Với $\cos \ne 0$, chia hai vế cho $\cos 2x$ ta được:

$1+2\tan x+5{\tan }^{2}x=2(1+{\tan }^{2}x)$

⇔ $3{\tan }^{2}x+2\tan x-1=0$

b) $3{\cos }^2\mathrm{x}-2\sin 2\mathrm{x}+{\sin }^2\mathrm{x}=1$

Với $\mathrm{cosx}=0$ ta thấy hai vế đều bằng 1. Vậy phương trình có nghiệm x = $0,5\mathrm{\pi }+\mathrm{k\pi }$, k ∈ Z

Trường hợp $\mathrm{cosx}\ne 0$, chia hai vế cho $\cos 2x$ ta được:

$3-4\mathrm{tanx}+{\tan }^2\mathrm{x}=1+{\tan }^2\mathrm{x}$

⇔ $4\tan x=2$

⇔ $\mathrm{tanx}=0,5$

⇔ $\mathrm{x}=\arctan 0,5+\mathrm{k\pi }$, k ∈ Z

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0,5π + kπ, k ∈ Z và x = arctan 0,5 + kπ, k ∈ Z

c) $4{\cos }^2\mathrm{x}-3\mathrm{sinx}.\mathrm{cosx}+3{\sin }^2\mathrm{x}=1$

Rõ ràng $\mathrm{cosx}\ne 0$, chia hai vế của phương trình cho $\cos 2\mathrm{x}$ ta được:

$4-3\tan x+3{\tan }^{2}x=1+{\tan }^{2}x$

⇔ $2{\tan }^2\mathrm{x}-3\mathrm{tanx}+3=0$

Phương trình cuối vô nghiệm đối với $\mathrm{tanx}$, do đó phương trình đã cho vô nghiệm

a)

 $$\begin{gathered} 2 \cos \mathrm{x}- \sin \mathrm{x}=2 \\ \iff \sqrt{5}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\mathrm{cosx}-\frac{1}{\sqrt{5}}\mathrm{sinx}\right)=2 \end{gathered}$$

Kí hiệu $\mathrm{\alpha }$ là góc mà $\mathrm{cos\alpha }=\frac{2}{\sqrt{5}}$ và $\sin \alpha =-\frac{1}{\sqrt{5}}$, ta được phương trình

$$\begin{gathered} \mathrm{cos\alpha cosx}+\mathrm{sin\alpha sinx}=\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \iff \cos (\mathrm{x}-\mathrm{\alpha })=\mathrm{cos\alpha } \\ \iff \mathrm{x}-\mathrm{\alpha }=\pm \mathrm{\alpha }+\mathrm{k}2\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ \iff [\begin{array}{rcl}\mathrm{x}& =& 2\mathrm{\alpha }+\mathrm{k}2\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\\ \mathrm{x}& =& \mathrm{k}2\mathrm{\pi },\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}\end{array} \end{gathered}$$

c) 

$$\begin{gathered} 8 {\cos }^4\mathrm{x}-4\cos 2\mathrm{x}+\sin 4\mathrm{x}-4=0 \\ \iff 8{\left(\frac{1+\cos 2\mathrm{x}}{2}\right)}^2-4\cos 2\mathrm{x}+\sin 4\mathrm{x}-4=0 \\ \iff 2(1+2\cos 2\mathrm{x}+{\cos }^{2}2\mathrm{x})-4\cos 2\mathrm{x}+\sin 4\mathrm{x}-4=0 \\ \iff 2{\cos }^2\mathrm{x}+\sin 4\mathrm{x}-2=0 \\ \iff 1+\cos 4\mathrm{x}+\sin 4\mathrm{x}-2=0 \\ \iff \cos 4\mathrm{x}+\sin 4\mathrm{x}=1 \\ \iff \sin \left(4\mathrm{x}+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\sin \frac{\mathrm{\pi }}{4} \end{gathered}$$ 

d) 

$$\begin{gathered} {\sin }^{6}x+co{s}^{6}x+\frac{1}{2}\sin 4x=0 \\ \iff {({\sin }^{2}x+co{s}^{2}x)}^3-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x({\sin }^{2}x+co{s}^{2}x)+\frac{1}{2}\sin 4x=0 \\ \iff 1-3{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+\frac{1}{2}\sin 4x=0 \\ \iff 1-3{\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)}^2+\frac{1}{2}\sin 4x=0 \\ \iff 1-\frac{3}{4}.\frac{1-cos4x}{2}+\frac{1}{2}\sin 4x=0 \\ \iff 8-3+3\cos 4x+4\sin 4x=0 \\ \iff 3\cos 4x+4\sin 4x=-5 \\ \iff \frac{3}{5}cos4x+\frac{4}{5}\sin 4x=-1 \end{gathered}$$

Kí hiệu $\mathrm{\alpha }$ là cung mà $\sin \alpha =\frac{3}{4},cos \alpha =\frac{4}{5}$, ta được 

$$\begin{gathered} \iff \sin (4\mathrm{x}+\mathrm{\alpha })=-1 \\ \iff 4\mathrm{x}+\mathrm{\alpha }=\frac{3\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ \iff \mathrm{x}=\frac{3\mathrm{\pi }}{8}-\frac{\mathrm{\alpha }}{4}+\mathrm{k}\frac{\mathrm{\pi }}{2},\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$ 

a) $1+\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx}-\sin 2\mathrm{x}+2\cos 2\mathrm{x}=0$ (1)

Ta có:

$1-\sin 2\mathrm{x}={(\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx})}^2$

⇔ $2\cos 2\mathrm{x}=2({\cos }^2\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x})=-2(\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx})(\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx})$

Vậy (1) ⇔ $(\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx})(1+\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx}-2\mathrm{sinx}-2\mathrm{cosx})=0$

⇔ $(\mathrm{sinx}-\mathrm{cosx})(1-\sin -3\mathrm{cosx})=0$

Điều kiện $\mathrm{sinx}\ne 0$

(thỏa mãn điều kiện)

c) $\mathrm{cosx}.\tan 3\mathrm{x}=\sin 5\mathrm{x}$

Điều kiện: $\cos 3\mathrm{x}\ne 0$. Khi đó,

(3)⇔ $\mathrm{cosx}.\sin 3\mathrm{x}=\cos 3\mathrm{x}.\sin 5\mathrm{x}$

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là:

d) $2\tan 2\mathrm{x}+3\mathrm{tanx}+2\cot 2\mathrm{x}+3\mathrm{cotx}+2=0$ (4)

Điều kiện: $\mathrm{cosx}\ne 0$ và $\mathrm{sinx}\ne 0$. Khi đó,

(4) ⇔ $2(\tan 2\mathrm{x}+\cot 2\mathrm{x})+3(\tan +\mathrm{cotx})+2=0\iff 2\left[{\left(\mathrm{tanx}+\mathrm{cotx}\right)}^2-2\right]+3(\mathrm{tanx}+\mathrm{cotx})+2=0$

Đặt $\mathrm{t}=\mathrm{tanx}+\mathrm{cotx}$ ta được phương trình

$2{\mathrm{t}}^2+3\mathrm{t}-2=0\Rightarrow \mathrm{t}=-2,\mathrm{t}=0,5$

Với $\mathrm{t}=-2$ ta có $\mathrm{tanx}+\mathrm{cotx}=-2$

⇔ ${\tan }^2\mathrm{x}+2\mathrm{tanx}+1=0\Rightarrow \mathrm{tanx}=-1\Rightarrow \mathrm{x}=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k\pi }$, k ∈ Z

(thỏa mãn điều kiện)

Với $\mathrm{t}=0,5$ ta có $\mathrm{tanx}+\mathrm{cotx}=0,5\iff 2{\tan }^2\mathrm{x}-\mathrm{tanx}+2=0$

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình (4) là $\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\mathrm{k\pi }$,k ∈ Z

Đối với những phương trình lượng giác chứa tanx, cotx, sin2x hoặc cos2x, ta có thể đưa về phương trình chứa cosx, sinx, sin2x, hoặc cos2x ngoài ra cũng có thể đặt ẩn phụ t = tanx để đưa về một phương trình theo t.

Cách 1: Điều kiện của phương trình:

sin2x ≠ 0 ⇔ cos2x ≠ 1 hoặc cos2x ≠ -1 (1)

Ta có:

Cách 2. Đặt t = tanx

Điều kiện t ≠ 0

Phương trình đã cho có dạng