14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Câu 1:

Hãy vẽ thêm một vài hình biểu diễn của hình chóp tam giác.

Câu 2:

Tại sao người thợ mộc kiểm tra độ phẳng mặt bàn bằng cách rê thước trên mặt bàn? (h.2.11).

Theo tính chất 3, nếu đường thẳng là 1 cạnh của thước có 2 điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đó thuộc mặt phẳng bàn

Khi đó, nếu rê thước mà có 1 điểm thuộc cạnh thước nhưng không thuộc mặt bàn thì bàn đó chưa phẳng và ngược lại

Câu 3:

Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P). Hãy chỉ ra một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S (h.2.15).

Xem đáp án

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi AC giao BD tại I

Một điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) khác điểm S là điểm I

$I \in A C \subset (S A C) I \in B D \subset (S B D)$

Câu 4:

Kể tên các mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp ở hình 2.24.

Xem đáp án

- Hình chóp tam giác:

Các mặt bên: (SAB), (SBC), (SAC)

Các cạnh bên: SA, SB, SC

Các cạnh đáy: AB, AC, BC

- Hình chóp tứ giác:

Các mặt bên: (SAB), (SBC), (SCD), (SAD)

Các cạnh bên: SA, SB, SC, SD

Các cạnh đáy: AB, BC, CD, DA

Câu 5:

Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng $(α)$ chứa tam giác BCD. Lấy E và F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB , AC.

a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC).

b) Giả sử EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).

Xem đáp án

a) E ∈ AB mà AB ⊂ (ABC)

⇒ E ∈ (ABC)

F ∈ AC mà AC ⊂ (ABC)

⇒ F ∈ (ABC)

Đường thẳng EF có hai điểm E, F cùng thuộc mp(ABC) nên theo tính chất 3 thì EF ⊂ (ABC).

b) I ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) nên I ∈ (BCD) (1)

I ∈ EF mà EF ⊂ (DEF) nên I ∈ (DEF) (2)

Từ (1) và (2) suy ra I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF).

Câu 6:

Gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng $(α) .$ Chứng minh M là điểm chung của $(α)$ với bất kì mặt phẳng nào chứa d.

Xem đáp án

Giả sử có mặt phẳng $(β)$ bất kì chứa đường thẳng d.

M là điểm chung của d và (α) nên:

$M \in (α)$ (1)

và $M \in d,$ mà $d \subset (β) \Rightarrow M \in (β)$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra M là điểm chung của $(α)$ và $(β) .$

Câu 7:

Cho ba đường thẳng d₁, d₂, d₃ không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Xem đáp án

Gọi $I = d_{1} \cap d_{2}; (P)$ là mặt phẳng chứa (d₁) và (d₂).

Gọi $d_{3} \cap d_{1} = M; d_{3} \cap d_{2} = N .$

+ M ∈ d1, mà $d_{1} \subset (P) \Rightarrow M \in (P)$

+ $N \in d_{2},$ mà $d_{2} \subset (P) \Rightarrow N \in (P) .$

Nếu M ≠ N ⇒ d₃ có hai điểm M, N cùng thuộc (P)

⇒ d₃⊂ (P)

$\Rightarrow d_{1}; d_{2}; d_{3}$ đồng phẳng (trái với giả thiết).

⇒ M ≡ N

⇒ M ≡ N ≡ I

Vậy $d_{1}; d_{2}; d_{3}$ đồng quy.

Câu 8:

Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi G_A, G_B, G_C, G_D lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AG_A, BG_B, CG_C, DG_D đồng qui.

Xem đáp án

Gọi N là trung điểm CD.

+ G_A là trọng tâm ΔBCD

⇒ G_A ∈ trung tuyến BN ⊂ (ANB)

⇒ AG_A ⊂ (ANB)

G_B là trọng tâm ΔACD

⇒ G_B ∈ trung tuyến AN ⊂ (ANB)

⇒ BG_B ⊂ (ANB).

Trong (ANB): AG_A không song song với BG_B

⇒ AGA cắt BGB tại O

+ Chứng minh tương tự: BG_B cắt CG_C; CG_C cắt AG_A.

+ CG_C không nằm trong (ANB) ⇒ AG_A; BG_B; CG_C không đồng phẳng(áp dụng kết quả bài 3).

⇒ AG_A; BG_B; CG_C đồng quy tại O

+ Chứng minh hoàn toàn tương tự: AG_A; BG_B; DGD đồng quy tại O

Vậy AG_A; BG_B ; CG_C; DGD đồng quy tại O (đpcm).

Câu 9:

Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng $(α)$ có hai cạnh AB và CD không song song với nhau. S là điểm nằm ngoài mặt phẳng $(α)$ và M là trung điểm của đoạn SC.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB).

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng ba đường thẳng SO, AM và BN đồng quy.

Xem đáp án

a) + Trong mp(ABCD), AB cắt CD tại E.

E ∈ AB ⊂ (MAB) ⇒ E ∈ (MAB) ⇒ ME ⊂ (MAB)

E ∈ CD ⊂ (SCD) ⇒ E ∈ (SCD)

Mà M ∈ SC ⊂ (SCD)

⇒ ME ⊂ (SCD).

+ Trong mp(SCD), EM cắt SD tại N.

Ta có:

N ∈ SD

N ∈ EM ⊂ mp(MAB)

Vậy N = SD ∩ mp(MAB)

b) Chứng minh SO, MA, BN đồng quy:

+ Trong mặt phẳng (SAC) : SO và AM cắt nhau.

+ trong mp(MAB) : MA và BN cắt nhau

+ trong mp(SBD) : SO và BN cắt nhau.

+ Qua AM và BN xác định được duy nhất (MAB), mà SO không nằm trong mặt phẳng (MAB) nên AM; BN; SO không đồng phẳng.

Vậy SO, MA, BN đồng quy.

Câu 10:

Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD.

a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD).

Xem đáp án

a) Ta có:

$\frac{BN}{BC} = \frac{1}{2}; \frac{BP}{BD} = \frac{2}{3}; \frac{BN}{BC} \neq \frac{BP}{BD}$

⇒ NP và CD không song song với nhau.

Gọi giao điểm NP và CD là I.

$I \in N P \Rightarrow I \in (M N P) .$

Mà $I \in C D$

Vậy $I \in C D \cap (M N P)$

b) Trong mặt phẳng (ACD) thì AD và MI cắt nhau tại điểm J:

$J \in A D \Rightarrow J \in (A C D) J \in M I \Rightarrow J \in (M N P)$

Vậy J là một điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Ta đã có M là một điểm chung của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Vậy $M J = (A C D) \cap (M N P) .$

Câu 11:

Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AD và BC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD).

b) Gọi M và N là hai điểm lần lượt lấy trên hai đoạn thẳng AB và AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).

Xem đáp án

a) Tìm giao tuyến của mp(IBC) và mp(KAD).

Ta có :

K ∈ BC ⇒ K ∈ (IBC) ⇒ K ∈ (IBC) ∩ (KAD)

I ∈ AD ⇒ I ∈ (KAD) ⇒ I ∈ (IBC) ∩ (KAD)

Vậy KI = (IBC) ∩ (KAD)

b) Trong mp(ABD) gọi BI ∩ DM = P

$\Rightarrow P \in (I B C) \cap (D M N)$

Trong mặt phẳng (ACD) gọi $C I \cap D N = Q$

$\Rightarrow Q \in (I B C) \cap (D M N)$

Vậy $(I B C) \cap (D M N) = P Q .$

Câu 12:

Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, trên cạnh AD lấy điểm P không trùng với trung điểm của AD.

a) Gọi E là giao điểm của đường thẳng MP và đường thẳng BD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (PMN) và (BCD).

b) Tìm giao điểm của hai mặt phẳng (PMN) và BC.

Xem đáp án

a) Trong mp(ABD): MP không song song với BD nên MP ∩ BD = E.

E ∈ MP ⇒ E ∈ (PMN)

E ∈ BD ⇒ E ∈ (BCD)

⇒ E ∈ (PMN) ∩ (BCD)

Dễ dàng nhận thấy N ∈ (PMN) ∩ (BCD)

⇒ EN = (PMN) ∩ (BCD)

b) Trong mp(BCD) : gọi giao điểm EN và BC là F.

F ∈ EN, mà EN ⊂ (PMN) ⇒ F ∈ (PMN)

⇒ F = (PMN) ∩ BC.

Câu 13:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua A và không song song với các cạnh của hình bình hành, d cắt BC tại E. Gọi C’ là một điểm nằm trên cạnh SC.

a) Tìm giao điểm M của CD và mp(C’AE).

b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE).

Xem đáp án

a) Giao điểm M của CD và mp(C’AE).

Trong mp(ABCD), d cắt CD tại M, ta có:

+ M ∈ CD

+ M ∈ d ⊂ (C’AE) ⇒ M ∈ (C’AE)

Vậy M là giao điểm của CD và mp(C’AE).

b) + Trong mặt phẳng (SCD), gọi giao điểm của MC’ và SD là N.

N ∈ MC’ ⊂ (C’AE) ⇒ N ∈ (C’AE).

N ∈ SD ⊂ (SCD) ⇒ N ∈ (SCD)

⇒ N ∈ (C’AE) ∩ (SCD).

⇒ (C’AE) ∩ (SCD) = C’N.

+ (C’AE) ∩ (SCB) = C’E.

+ (C’AE) ∩ (SAD) = AN.

+ (C’AE) ∩ (ABCD) = AE

Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (C’AE) là tứ giác C’NAE.

Câu 14:

Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mp(SBM).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC).

d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM).

Xem đáp án

a) SM, CD cùng thuộc (SCD) và không song song.

Gọi N là giao điểm của SM và CD.

⇒ N ∈ CD và N ∈ SM

Mà SM ⊂ (SMB)

⇒ N ∈ (SMB)

⇒ N = (SMB) ∩ CD.

b) N ∈ CD ⊂ (ABCD)

⇒ BN ⊂ (ABCD)

⇒ AC; BN cùng nằm trong (ABCD) và không song song

Gọi giao điểm của AC và BN là H.

+ H ∈ AC ⊂ (SAC)

+ H ∈ BN ⊂ (SBM)

⇒ H ∈ (SAC) ∩ (SBM)

Dễ dàng nhận thấy giao điểm thứ hai của (SAC) và (SBM) là S

⇒ (SAC) ∩ (SBM) = SH.

c) Trong mp(SBM), gọi giao điểm của BM và SH là I, ta có:

I ∈ BM

I ∈ SH ⊂ (SAC).

⇒ I = BM ∩ (SAC).

d) Trong mp(SAC), gọi giao điểm của AI và SC là P.

+ P ∈ AI, mà AI ⊂ (AMB) ⇒ P ∈ (AMB)

⇒ P = (AMB) ∩ SC.

Lại có P ∈ SC, mà SC ⊂ (SCD) ⇒ P ∈ (SCD).

⇒ P ∈ (AMB) ∩ (SCD).

Lại có: M ∈ (SCD) (gt)

⇒ M ∈ (MAB) ∩ (SCD)

Vậy giao điểm của (MAB) và (SCD) là đường thẳng MP.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Giải SGK Toán 11 Hình học - Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song

Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan