50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tuyển chọn đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay, chọn lọc - đề 12

Câu 1:

Cho hàm số y = f(x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;0)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- \infty; 0)$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; - 3)$

Xem đáp án

Đáp án C

Căn cứ vào bảng xét dấu thì đáp án:

A, D: sai vì hàm số nghịch biến trên (-3;0).

B: sai vì hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 3)$ .

C: đúng.

Câu 2:

Cho hàm số phù hợp với bảng biến thiên sau

Phát biểu nào sau đây đúng?

A. Hàm số có đúng một cực trị

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1

C. Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 1

D. Hàm số có GTLN bằng 0, GTNN bằng -1

Xem đáp án

Đáp án B

Nhìn vào bảng biến thiên em thấy:

A. Sai vì hàm số có 2 điểm cực trị.

C. Sai vì hàm có giá trị cực tiểu bằng -1 tại x = 1.

D. Sai vì hàm số không có GTLN và GTNN trên $ℝ$ .

B. Đúng.

Câu 3:

Cho hình chóp tam giác đều cạnh bằng 3. Tính thể tích hình chóp đó biết chiều cao h = 7.

A. $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{63 \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{21 \sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{63}{4 \sqrt{3}}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 4:

Tập xác định của hàm số: $y = \sqrt{\cos (2 x - \frac{π}{3}) + 1}$ là:

A. $D = ℝ \ \{k \frac{2 π}{3} | k \in ℤ\} .$

B. $D = ℝ \ \{\frac{π}{6} + k 2 π | k \in ℤ\} .$

C. $D = ℝ \ \{\pm \frac{π}{6} + k 2 π | k \in ℤ\} .$

D. $D = ℝ$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 5:

Trong không gian, tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới một góc vuông là:

A. Tập hợp chỉ có một điểm

B. Một đường thẳng

C. Một đường tròn

D. Một mặt cầu

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có:

$\{M / A \overset{⏜}{M} B = 90 °\} = \{M / OM = \frac{AB}{2}\} = S (O; \frac{AB}{2})$

Vậy tập hợp các điểm M nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới một góc vuông là mặt cầu tâm O bán kính $R = \frac{AB}{2}$ .

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\vec{a} = (x_{1}; y_{1}; z_{1}), \vec{b} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. $\vec{a} = - \vec{b} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 0 \\ y_{1} + y_{2} = 0 \\ z_{1} + z_{2} = 0 \end{cases}$

B. $k \vec{a} = ({kx}_{1}; {ky}_{1}; {kz}_{1}) \forall x \in ℝ$

C. $\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}; z_{1} + z_{2})$

D. $|\vec{a} . \vec{b}| = \sqrt{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Em có: $|\vec{a} . \vec{b}| = |x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}|$

=> Đáp án D sai, còn các đáp án A, B, C đều đúng

Câu 7:

Nếu $9 \log^{2} x + 4 {(logy)}^{2} = 12 logx . logy$ thì

A. $\{\begin{cases} x = y \\ x, y > 0 \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} x^{2} = y^{3} \\ x, y > 0 \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} x^{3} = y^{2} \\ x, y > 0 \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} 3 x = 2 y \\ x, y > 0 \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện xác định x, y > 0.

Em có:

$\begin{array}{l} 9 \log^{2} x + 4 {(logy)}^{2} = 12 logx . logy \\ \Leftrightarrow {(3 logx)}^{2} - 12 logx . logy + {(2 logy)}^{2} = 0 \end{array}$

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - 6 z - 2 = 0$ . Khi đó (S) có:

A. Tâm $I (- 2; 4; - 6)$ và bán kính $R = \sqrt{58}$

B. Tâm $I (2; - 4; 6)$ và bán kính $R = \sqrt{58}$

C. Tâm $I (- 1; 2; - 3)$ và bán kính R = 4

D. Tâm $I (1; - 2; 3)$ và bán kính R = 4

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình mặt cầu có dạng: $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 c z + d = 0$ có tâm $I (a; b; c)$ , bán kính

Câu 9:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB, E là trung điểm của CB, I là giao điểm của AE và BD. Khi đó IG sẽ không song song với mặt phẳng nào dưới đây?

A. (SAC).

B. (SBC).

C. (SCD).

D. (SAD).

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi N là trung điểm của SB.

Câu 10:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0;2;3). Tìm tọa độ của điểm M trên trục tung sao cho AM = 5.

A. $M (0; 6; 0), M (0; 2; 0)$

B. $M (0; 6; 0), M (0; - 2; 0)$

C. $M (0; - 6; 0), M (0; - 2; 0)$

D. $M (0; - 6; 0), M (0; 2; 0)$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 11:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $ℝ$ thỏa mãn $\int_{1}^{5} f (x) dx = 5, \int_{2}^{5} f (u) du = 9, \int_{1}^{4} f (t) dt = 4$ . Tính $I = \int_{2}^{4} f (x) dx$

A. I = 0

B. I = 18

C. I = 8

D. I = 10

Xem đáp án

Đáp án C

Em có:

Câu 12:

Cho hàm số $y = {ax}^{3} + {bx}^{2} + cx + d$ có đồ thị như hình bên

Chọn đáp án ĐÚNG?

A. Hàm số có hệ số a < 0.

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-2;-1) và (1;2).

C. Hàm số không có cực trị.

D. Hệ số tự do của hàm số khác 0.

Xem đáp án

Đáp án B

Từ đồ thị em thấy hàm số đã cho là hàm bậc ba có hệ số a > 0 → Đáp án A sai
Đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị tại x= -1 và x = 1 → Đáp án C sai.
Tại x = 0 thì d = y(0) = 0 → Đáp án D sai.
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng (-2;-1) và (1;2) → Đáp án B đúng.

Câu 13:

Họ các nguyên hàm F(x) của hàm số $f (x) = xlnx$ trên khoảng $(0; + \infty)$ là

A. $\frac{1}{2} x^{2} lnx + \frac{1}{4} x^{2} + C$

B. $\frac{1}{2} x^{2} lnx + \frac{1}{2} x^{2} + C$

C. $\frac{1}{2} x^{2} lnx - \frac{1}{4} x^{2} + C$

D. $\frac{1}{2} x^{2} lnx - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 14:

Biết $(C_{1}), (C_{2})$ ở hình bên là hai trong bốn đồ thị của các hàm số $y = {(\sqrt{3})}^{x}, y = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{x}, y = 5^{x}, y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ .

Hỏi $(C_{2})$ là đồ thị của hàm số nào sau đây?

A. $y = {(\sqrt{3})}^{x}$

B. $y = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{x}$

C. $y = 5^{x}$

D. $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$

Xem đáp án

Đáp án A

- Ta thấy $(C_{1}), (C_{2})$ đều có hướng đi lên khi x tăng => $(C_{1}), (C_{2})$ đồng biến $\forall x \in ℝ$ .

- Mà hàm $(C_{1}), (C_{2})$ đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0 < a < 1. Do đó ta loại hàm $y = {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{x}$ và $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ .

- Xét khi x > 0 thì $(C_{1})$ ở trên $(C_{2})$ $\Rightarrow y (C_{1}) > y (C_{2})$ . Mà $5^{x} > {(\sqrt{3})}^{x} \Rightarrow (C_{2}) : y = {(\sqrt{3})}^{x} .$

Câu 15:

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec{a} = (4; 3; - 2), \vec{b} = (6; 5; 1), \vec{c} = (x; 2 x; 3 x + 2)$ . Để ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng thì giá trị của x là:

A. $- \frac{4}{13}$

B. $\frac{13}{4}$

C. $\frac{4}{13}$

D. $- \frac{13}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Em có: $[\vec{a}, \vec{b}] = (13; - 16; 2)$

Ba vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng thì $[\vec{a}, \vec{b}] . \vec{c} = 0$

Câu 16:

Tất cả các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x - \sqrt{x^{2} - 4}}{x^{2} - 4 x + 3}$ là

A. y = 1 và x = 3

B. y = 0, y = 1 và x = 3

C. y = 0, x = 1 và x = 3

D. y = 0 và x = 3

Xem đáp án

Đáp án D

=> Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 0.

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 3.

Câu 17:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y = \frac{e^{x}}{x}$ trên $(0; + \infty)$ . Tính $I = \int_{1}^{2} \frac{e^{2 x}}{x} dx$

A. $F (4) - F (2)$

B. $2 [F (2) - F (1)]$

C. $\frac{F (4) - F (2)}{2}$

D. $2 [F (4) - F (2)]$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 18:

Cho hàm số $y = 9 x^{4} + (m - 4) x^{2} - m + 1$ có đồ thị (C). Biết $m = m_{0}$ là giá trị để đồ thị (C) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều. Khi đó giá trị $m_{0}$ gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau:

A. -4

B. -1

C. 2

D. 5

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm bậc 4 trùng phương có ba điểm cực trị $\Rightarrow a b < 0 \Rightarrow 9 (m - 4) < 0 \Leftrightarrow m - 4 < 0 \Leftrightarrow m < 4$

Áp dụng công thức giải nhanh ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều thì:

$24 a + b^{3} = 0 \Leftrightarrow 24.9 + {(m - 4)}^{3} = 0 \Leftrightarrow m = - 2$

Vậy giá trị $m_{0}$ gần giá trị -1 nhất

Câu 19:

Đồ thị hàm số nào sau đây có ba đường tiệm cận?

A. $y = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} .$

B. $y = \frac{x + 3}{2 x - 1} .$

C. $y = \frac{\sqrt{x}}{x^{2} - 3 x + 2} .$

D. $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - 2 x - 3} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Đáp án A sai vì:

$\lim_{x \to + \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}} = 1; \lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 - \frac{4}{x^{2}}}} = - 1$

=> Đồ thị hàm số có hai đường TCN y = 1 và y = -1.

Giải phương trình $\sqrt{x^{2} - 4} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$ . Em thấy x = -2 và x = 2 khác nghiệm tử x = 0 do vậy x = -2 và x = 2 là hai đường TCĐ.

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận.

Đáp án B sai vì: đồ thị hàm số chỉ có một đường TCN $y = \frac{1}{2}$ , một đường TCĐ $x = \frac{1}{2}$ .
Đáp án C đúng vì: $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x}}{x^{2} - 3 x + 2} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x \sqrt{x}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}} = 0; \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x}}{x^{2} - 3 x + 2}$ không tồn tại

=> Đồ thị hàm số có một đường TCN là y = 0.

Giải phương trình $x^{2} - 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ và x = 2. Em thấy với x = 1 và x = 2 thì $\sqrt{x} \neq 0$ do vậy đồ thị hàm số có hai đường TCĐ là x = 1 và x = 2.

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.

Đáp án D sai vì: $\lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - 2 x - 3} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}}}}{1 - \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}} = 0; \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x - 1}}{x^{2} - 2 x - 3}$ không tồn tại.

=> Đồ thị hàm số có một đường TCN là y = 0

Giải phương trình $x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1$ và x = 3. Em thấy với x = -1 thì $\sqrt{x - 1}$ không tồn tại và x = 3 thì $\sqrt{x - 1} \neq 0$ do vậy đồ thị hàm số có một đường TCĐ x = 3

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Câu 20:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = cosx + \sqrt{2 - \cos^{2} x}$ là

A. 3

B. 1

C. $\sqrt{2}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Khi đó em tính được: f(1) = 2; f(-1) = 0. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2.

Câu 21:

Các nhà khoa học thực hiện nghiên cứu trên một nhóm học sinh bằng cách cho họ xem một danh sách các loài động vật và sau đó kiểm tra xem họ nhớ được bao nhiêu % mỗi tháng. Sau t tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh tính theo công thức $M (t) = 75 - 20 \ln (t + 1), t \geq 0 (%)$ . Hỏi khoảng thời gian ngắn nhất bao lâu thì số học sinh trên nhớ được danh sách đó dưới 10%?

A. Khoảng 24 tháng

B. Khoảng 22 tháng

C. Khoảng 25 tháng

D. Khoảng 32 tháng

Xem đáp án

Đáp án C

Theo giả thiết em có:

Câu 22:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\int tanxdx = - \ln |cosx| + C .$

B. $\int cotxdx = - \ln |cosx| + C .$

C. $\int \sin \frac{x}{2} dx = 2 \cos \frac{x}{2} + C .$

D. $\int \cos \frac{x}{2} dx = - 2 \sin \frac{x}{2} + C .$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 23:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Mệnh đề nào đúng?

A. Đồ thị hàm số y = |f(x)| đồng biến trên $(- \infty; - 1)$

B. Đồ thị hàm số y = |f(x)| nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$

C. Hàm số y = |f(x)| đồng biến trên (-1;4)

D. Đồ thị hàm số y = |f(x)| đồng biến trên $(3; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Từ bảng biến thiên em thấy phương trình f(x) = 0 có một nghiệm duy nhất $x_{0} < - 1$

Mặt khác em có $y = |f (x)| = \{\begin{cases} f (x), f (x) \geq 0 \\ - f (x), f (x) < 0 \end{cases}$

Do đó em có bảng biến thiên của y = |f(x)|

Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y = |f(x)| đồng biến trên $(3; + \infty)$ .

Câu 24:

Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b như trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $S = \int_{a}^{b} f (x) dx$

B. $S = \int_{a}^{b} (- f (x)) dx$

C. $S = \int_{a}^{b} |f (x)| dx$

D. $S = |\int_{a}^{b} f (x) dx|$

Xem đáp án

Đáp án A

Từ hình trên $S = \int_{a}^{b} |f (x)| dx = - \int_{a}^{b} f (x) dx$ → Đáp án B, C , D đúng.

Câu 25:

Biết rằng x; y là các số thực sao cho các số x; 2x- 3; y theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và các số $x^{2}; xy - 6 y; y^{2}$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Cặp số (x;y) là

A. $(\sqrt{7}; \frac{3}{\sqrt{7}}) và (- \sqrt{7}; - \frac{3}{\sqrt{7}})$

B. $(- \sqrt{7}; \frac{3}{\sqrt{7}}) và (\sqrt{7}; - \frac{3}{\sqrt{7}})$

C. $(2; \frac{3}{\sqrt{2}}) và (- 2; - \frac{3}{\sqrt{2}})$

D. $(- 2; \frac{3}{\sqrt{7}}) và (2; \frac{3}{\sqrt{7}})$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 26:

Giả sử: $\lim_{x \to a^{+}} f (x) = + \infty$ và $\lim_{x \to a^{+}} g (x) = - \infty$ . Xét các mệnh đề sau:

$\lim_{x \to a^{+}} [f (x) - g (x)] = + \infty .$

$\lim_{x \to a^{+}} \frac{f (x)}{g (x)} = - 1 .$

$\lim_{x \to a^{+}} [f (x) + g (x)] = 0$ .

Số mệnh đề đúng là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Em có:

$\lim_{x \to a^{+}} g (x) = - \infty \Rightarrow \lim_{x \to a^{+}} [- g (x)] = + \infty$

$\Rightarrow \lim_{x \to a^{+}} [f (x) - g (x)] = \lim_{x \to a^{+}} f (x) + \lim_{x \to a^{+}} [- g (x)] = + \infty \Rightarrow 1$ đúng.

$\lim_{x \to a^{+}} \frac{f (x)}{g (x)} = - 1 \Rightarrow 2$ đúng.

$\lim_{x \to a^{+}} [f (x) + g (x)]$ không xác định => sai.

Câu 27:

Trong các số phức z thỏa mãn $|z - 5 i| \leq 3$ , số phức có $|z|$ nhỏ nhất có phần ảo bằng bao nhiêu?

A. 4

B. 0

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng tọa độ.

Từ $|z - 5 i| \leq 3$ suy ra tập hợp điểm M là hình tròn có tâm I(0;5), bán kính R = 3.

Vì $|z| = OM$ nên số phức z có môđun nhỏ nhất là z = 2i ứng với điểm $M_{1} (0; 2)$ .

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ABC cân tại C. Gọi I là trung điểm của AB. Biết SA = SB và $(SAB) ⊥ (ABC)$ . Khẳng định nào sau đây là sai?

A. $SI ⊥ (SAB) .$

B. $IC ⊥ (SAB) .$

C. SAC = SAB

D. $SC ⊥ (SAB) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 29:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, $ABC = 30 °$ . Mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB).

A. $\frac{\sqrt{39} a}{13} .$

B. $\frac{\sqrt{39} a}{3} .$

C. $\frac{\sqrt{26} a}{13} .$

D. $\frac{\sqrt{39} a}{26} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 30:

Tìm m để đồ thị hàm số $y = x^{3} + mx + 2$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.

A. m > -3

B. m < -3

C. $m \leq - 3 .$

D. m > -2

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm $x^{3} + mx + 2 = 0 .$

Em thấy phương trình trên không nhận x = 0 là nghiệm.

Khi đó $m = - x^{2} - \frac{2}{x}$ .

Em có đồ thị hàm số $y = - x^{2} - \frac{2}{x}$ như hình bên.

Từ đó em thấy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi đồ thị bên cắt đường thẳng y = m tại 1 điểm duy nhất hay m > -3.

Câu 31:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = 2^{\frac{{me}^{x} + 1}{e^{x} + m}}$ nghịch biến trên $(\ln \frac{1}{2}; + \infty)$ .

A. $- 1 < m < 1 .$

B. $- \frac{1}{2} \leq m \leq 1 .$

C. $- \frac{1}{2} \leq m < 1 .$

D. $- 1 < m \leq - \frac{1}{2} và m \geq 1.$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $e^{x} = t$ , vì $x \in (\ln \frac{1}{2}; + \infty) \Rightarrow t \in (\frac{1}{2}; + \infty)$ .

Hàm số trở thành $y = 2^{\frac{mt + 1}{t + m}}$ . Điều kiện xác định $t \neq - m$ .

Có $y' = \frac{m^{2} - 1}{{(t + m)}^{2}} . 2^{\frac{mt + 1}{t + m}} \ln 2 .$

Điều kiện để hàm số nghịch biến trên $(\frac{1}{2}; + \infty)$ là

Câu 32:

Gọi P là tích tất cả các nghiệm của phương trình $\log_{2} x + \log_{3} x + \log_{5} x = \log_{2} {xlog}_{3} {xlog}_{5} x$ . Tính P?

A. 1

B. 5

C. 0

D. Đáp số khác

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện: x > 0
Phương trình đã cho tương đường

$\log_{2} x + \log_{3} 2 . \log_{2} x + \log_{5} 2 . \log_{2} x = \log_{2} x . (\log_{3} 5 . \log_{5} x) \log_{5} x .$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log_{2} x (1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2 - \log_{3} 5 . \log_{5}^{2} x) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} x = 0 \\ \log_{5} x = \pm \sqrt{\frac{1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 2}{\log_{3} 5}} \end{array} . \end{array}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 5^{\pm \sqrt{\frac{1 + \log_{3} 2 + \log_{5} 3}{\log_{3} 5}}} \end{array}$ . Suy ra P = 1.

Câu 33:

Cho phương trình ${(\sqrt{3})}^{x} + {(\sqrt{3})}^{- x} = 2 - x^{4}$ . Số nghiệm của phương trình trên là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

$VT = {(\sqrt{3})}^{x} + {(\sqrt{3})}^{- x} \geq 2 \sqrt{{(\sqrt{3})}^{x} . {(\sqrt{3})}^{- x}} = 2 \Rightarrow VT \geq 2$

$VP = 2 - x^{4} \leq 2$

Đẳng thức xảy ra khi VT = VP = 2 <=> x = 0, vậy PT có 1 nghiệm.

Câu 34:

Giả sử phương trình $z^{2} + z + 2^{2018} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $z_{1}, z_{2}$ . Tính giá trị của biểu thức $P = \log_{2} {|z_{1}|}^{2018} + \log_{2} {|z_{2}|}^{2018} .$

A. $\frac{1}{2^{1009}} .$

B. $2^{1009} .$

C. $2018^{2} .$

D. 4036

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 35:

Cho đồ thị hàm số $y = f (x) = - x^{3} + 3 x - 1 (C)$ có dạng như hình vẽ dưới đây.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Phương trình $x^{3} - 3 x + m = 0$ có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $- 2 < m < 2$ .

B. Đồ thị hàm số y = |f(x)| có 3 điểm cực tiểu.

C. Hàm số y = |f(x)| đồng biến trên (0;1).

D. Hàm số y = |f(x)| nhận Oy làm trục đối xứng

Xem đáp án

Đáp án C

Có $x^{3} - 3 x + m = 0 \Leftrightarrow f (x) = m - 1$ .

Có y = f(x) có đồ thị hàm số (C) và y = m -1 là hàm hằng có đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.

=> Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow - 3 < m - 1 < 1 \Leftrightarrow - 2 < m < 2 \overset{}{\to}$ Đáp án A đúng.

Đồ thị y = |f(x)| có dạng như hình vẽ bên:

=> Đồ thị hàm số y = |f(x)| có 3 điểm cực tiểu

=> Đáp án B đúng.

Hàm số không đồng biến trên (0;1) => Đáp án C sai.

Đồ thị hàm số y = (f|x|) nhận Oy làm trục đối xứng => Đáp án D đúng.

Câu 36:

Một ô tô xuất phát với vận tốc $v_{1} (t) = 2 t + 6 (m / s)$ sau khi được một khoảng thời gian $t_{1}$ thì bất ngờ gặp chướng ngoại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc $v_{2} (t) = 24 - 4 t$ và đi thêm một khoảng thời gian $t_{2}$ nữa thì dừng lại. Biết tổng thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại là 7s. Hỏi ô tô đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?

A. s = 61m

B. s = 43m

C. s = 84m

D. s = 95m

Xem đáp án

Đáp án D

Khi bắt đầu hãm phanh vận tốc của ô tô là $2 t_{1} + 6$ và khi đó cũng là vận tốc khởi điểm cho quãng đường đạp nhanh.

Sau khi đi thêm $t_{2}$ thì vận tốc là 0 (m/s) nên:

Câu 37:

Cho phương trình $\frac{1}{2} \cos 4 x + \frac{4 tanx}{1 + \tan^{2} x} = m$ . Để phương trình vô nghiệm, các giá trị của tham số m phải thỏa mãn điều kiện:

A. $- \frac{5}{4} \leq m \leq 0$

B. $0 < m \leq 1$

C. $1 < m \leq \frac{3}{2}$

D. $m < - \frac{5}{2} và m > \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 38:

Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số phân biệt. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Xác suất để chọn được số lớn hơn 2500 là

A. $\frac{13}{68} .$

B. $\frac{55}{68} .$

C. $\frac{68}{81} .$

D. $\frac{13}{81} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi số có 4 chữ số có dạng $\bar{abcd}$ (a, b, c, d là các chữ số, $a \neq 0$ ).

Số phần tử của không gian mẫu n(S) = 9.9.8.7 = 4536

Gọi A là biến cố “Chọn được số lớn hơn 2500”.

Trường hợp 1: a > 2

Chọn a: từ 3, 4,…, 9 → có 7 cách chọn.

Chọn b: khác a → có 9 cách chọn.

Chọn c: khác a, b → có 8 cách chọn.

Chọn d: khác a, b, c → có 7 cách chọn.

Vậy trường hợp này có 7.9.8.7 = 3528 số.

Trường hợp 2: a = 2, b > 5

Chọn a: a = 2 → có 1 cách chọn.

Chọn b: từ 6, 7, 8, 9 → có 4 cách chọn.

Chọn c: khác a, b → có 8 cách chọn.

Chọn d: khác a, b, c → có 7 cách chọn.

Vậy trường hợp này có 1.4.8.7 = 224 số.

Trường hợp 3: a = 2, b = 5, c > 0

Chọn a: a = 2 → có 1 cách chọn.

Chọn b: b = 5 → có 1 cách chọn.

Chọn c: từ 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9 → có 7 cách chọn.

Chọn d: khác a, b, c → có 7 cách chọn.

Vậy trường hợp này có 1.1.7.7 = 49 số.

Trường hợp 4: a = 2, b = 5, c = 0, d > 0

Chọn a: a = 2 → có 1 cách chọn.

Chọn b: b = 5 → có 1 cách chọn.

Chọn c: c = 0 → có 1 cách chọn.

Chọn d: từ 1, 3, 4, 6, 7, 8, 9 → có 7 cách chọn.

Vậy trường hợp này có 1.1.1.7 = 7 số.

Như vậy $n (A) = 3528 + 224 + 49 + 7 = 3808 \Rightarrow P (A) = \frac{3808}{4536} = \frac{68}{81} .$

Câu 39:

Cho số phức z thỏa mãn: $|z + 2 + i| = 4$ . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $|z - 1 - 2 i|$ . Tính S = M + m.

A. $6 \sqrt{2}$

B. $4 \sqrt{2}$

C. $2 \sqrt{2}$

D. $8 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Em có:

$4 = |z + 2 + i| = |z - 1 - 2 i + 3 + 3 i| \geq ||z - 1 - 2 i| - |3 + 3 i||$

Câu 40:

Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{ksinx + 1}{cosx + 2}$ lớn hơn -1.

A. $|k| < \sqrt{2}$

B. $|k| < 2 \sqrt{3}$

C. $|k| < \sqrt{3}$

D. $|k| < 2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 41:

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Thể tích V của khối chóp A.BCNM bằng

A. $V = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{50}$

B. $V = \frac{9 a^{3} \sqrt{3}}{50}$

C. $V = \frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{75}$

D. $V = \frac{8 a^{3} \sqrt{3}}{25}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 42:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(0;5;-3) và đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = t \\ y = 3 - t \\ z = 2 \end{cases}$ . Tổng tọa độ điểm M’ là hình chiếu song song của M trên (Oxz) theo phương d là:

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án A

Em có M’ là hình chiếu song song của M trên (Oxz) $\Rightarrow \{M'\} = Δ \cap (Oxz) \Rightarrow M' (5; 0; - 3)$ .

Vậy tổng tọa độ của điểm M’ là 2.

Câu 43:

Cho số phức z thỏa mãn $|z + 2 i + 3| = |\bar{z} - i|$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|.

A. $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{\sqrt{10}}{5}$

D. $3 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 44:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(a;b;c), (a > 0) thuộc đường thẳng $d : x - 3 = \frac{y + 2}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ . Hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng $(P) : x + 5 y - 2 = 0$ theo phương của đường thẳng $Δ: \{\begin{cases} x = 3 - t \\ y = 1 + 2 t \\ z = - 3 t \end{cases}$ là điểm M’ sao cho $MM' = \sqrt{14}$ . Tính giá trị của biểu thức T = a + b + c là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Vì $M \in d$ nên $M (t + 3; - t - 2; 2 t + 1), t \in ℝ$

Đường thẳng $Δ$ có vtcp $\vec{u_{Δ}} = (- 1; 2; - 3)$ .

Đường thẳng $d' : \{\begin{cases} qua M (t + 3; - t - 2; 2 t + 1) \\ vtcp \vec{u_{d'}} = \vec{u_{Δ}} = (- 1; 2; - 3) \end{cases}$

$\Rightarrow d' : \frac{x - (t + 3)}{- 1} = \frac{y + (t + 2)}{2} = \frac{z - (2 t + 1)}{- 3}$

M’ là hình chiếu song song của M trên (P)

$\Rightarrow \{M'\} = d' \cap (P) \Rightarrow M' (\frac{5}{9} t + 2; - \frac{1}{9} t; \frac{2}{3} t - 2)$ .

Câu 45:

Cho số phức z thay đổi hoàn toàn thỏa mãn: $|z - i| = |z - 1 + 2 i|$ . Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức w thỏa mãn: $w = (2 - i) z + 1$ là một đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng đó.

A. $- x + 7 y + 9 = 0.$

B. $x + 7 y - 9 = 0.$

C. $x + 7 y + 9 = 0.$

D. $x - 7 y + 9 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $z = x + yi, (x; y \in ℝ)$ .

Đặt $w = x' + y' i, (x', y' \in ℝ)$ . Số phức w được biểu diễn bởi điểm $M (x'; y')$ .

Vậy số phức w được biểu diễn bởi đoạn thẳng: $x + 7 y + 9 = 0.$ .

Câu 46:

Bạn ĐẠI có một cốc thủy tinh hình trụ, đường kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước. Bạn ĐẠI nghiêng cốc nước, vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy. Tính thể tích lượng nước trong cốc.

A. 60 ${cm}^{3} .$

B. $15 {πcm}^{3} .$

C. $70 {cm}^{3} .$

D. $60 {πcm}^{3} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Dựng hệ trục tọa độ Oxy. Gọi S(x) là diện tích thiết diện do mặt phẳng có phương vuông góc với trục Ox với khối nước. Mặt phẳng này cắt trục Ox tại điểm có hoành độ $h \geq x \geq 0$ .

Gọi R, r lần lượt là bán kính đáy cốc thủy tinh và bán kính nửa đường tròn thiết diện.

Gọi h là chiều cao của cốc nước. Do đó: R = 3cm, h = 10cm.

Vì thiết diện này là nửa đường tròn bán kính r nên

Câu 47:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm $A (0; 4; 1), B (- 1; 2; - 1)$ và đường thẳng $(d) : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{3}$ . Trên d lấy điểm M sao cho diện tích tam giác ABM đạt giá trị nhỏ nhất. Gọi M’ là điểm đối xứng với điểm M qua đường thẳng AB. Tổng tọa độ của điểm M’ là:

A. $\frac{7}{19} .$

B. $- \frac{14}{9}$

C. $\frac{17}{9}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Đường thẳng AB: $\{\begin{cases} qua A (0; 4; 1) \\ vtcp \vec{u} = \vec{AB} = (- 1; - 2; - 2) \end{cases} \Rightarrow AB : \{\begin{cases} x = t \\ y = 4 + 2 t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng AB.

H là trung điểm của MM’ nên $M' (- \frac{19}{9}; \frac{13}{9}; - \frac{8}{9})$ .

Vậy tổng tọa độ của điểm M’ là: $- \frac{14}{9}$ .

Câu 48:

Cho hàm số $y = - \frac{1}{3} x^{3} + (m - 1) x^{2} + (m + 3) x + 2$ . Biết rằng tập hợp cả giá trị thực của tham số m để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài không lớn hơn $2 \sqrt{6}$ là đoạn T=[a;b]. Tính a + 2b.

A. 0

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án B

Em có tập xác định $D = ℝ$ và $y' = - x^{2} + 2 (m - 1) x + m + 3$ .

Yêu cầu bài toán <=> y' = 0 có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $|x_{1} - x_{2}| \leq 2 \sqrt{6}$

y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ' = {(m - 1)}^{2} + m + 3 > 0 \Leftrightarrow m^{2} - m + 4 > 0, \forall m$

Câu 49:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $P (2; - 1; 3), Q (3; 2; 1)$ . Gọi $(α)$ là mặt phẳng chứa P và cách Q một khoảng dài nhất. Phương trình mặt phẳng $(α)$ là

A. 3x + y - z - 2 = 0

B. x + 3y - 2z + 7 = 0

C. x - 2y - 3z - 18 = 0

D. 6x + 2y - 3z - 1 = 0

Xem đáp án

Đáp án B

Mặt phẳng $(α)$ có phương trình dạng $Ax + By + Cz + D = 0$ (điều kiện $A^{2} + B^{2} + C^{2} > 0$ )

Vì P thuộc $(α)$ nên $2 A - B + 3 C + D = 0 \Leftrightarrow D = - 2 A + B - 3 C$

Khoảng cách từ Q đến mặt phẳng $(α)$ là

$d (Q, (α)) = \frac{|3 A + 2 B + C + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = \frac{|A + 3 B - 2 C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} \leq \frac{\sqrt{1^{2} + 3^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}} = \sqrt{14}$

Như vậy khoảng cách từ Q đến $(α)$ lớn nhất $d = \sqrt{14}$ khi $\frac{A}{1} = \frac{B}{3} = \frac{C}{- 2}$ .

Do A, B, C không đồng thời bằng 0 nên chọn $A = 1, B = 3, C = - 2, \Rightarrow D = 7$ .

Phương trình mặt phẳng $(α) : x + 3 y - 2 z + 7 = 0$

Câu 50:

Tất cả các giá trị của m để phương trình $e^{x} = m (x + 1)$ có nghiệm duy nhất là

A. m > 1

B. $m < 0, m \geq 1.$

C. m < 0, m = 1

D. m < 1

Xem đáp án

Đáp án C

Nhận thấy x = -1 không là nghiệm của phương trình nên.
Chia cả 2 vế cho x = -1 em được: $m = \frac{e^{x}}{x + 1} = f (x)$ .

Xét hàm số f(x) em có: $f' (x) = \frac{{xe}^{x}}{{(x + 1)}^{2}}; f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \Rightarrow f (0) = 1$ .

Em có bảng biến thiên

Số nghiệm của phương trình $e^{x} = m (x + 1)$ là số điểm chung giữa đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = f(x).

Dựa vào bảng biến thiên suy ra: phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < 0 \\ m = 1 \end{array}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tuyển chọn đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay, chọn lọc

Tuyển chọn đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay, chọn lọc - đề 12

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan