IMG-LOGO
Trang chủ Đánh giá năng lực ĐH Bách Khoa Ứng dụng thể tích các khối đa diện vào thực tế

Ứng dụng thể tích các khối đa diện vào thực tế

Ứng dụng thể tích các khối đa diện vào thực tế

  • 413 lượt thi

  • 6 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Xem đáp án

Bước 1: Gọi chiều rộng bể cá là x, tính chiều dài và chiều cao của bế cá theo x.

Gọi chiều rộng của bể cá là x (m) x>0 Chiều dài của bể cá là 2x(m)2x(m)

Gọi h là chiều cao của bể cá ta có

2x2+2xh+4xh=52x2+6xh=5h=52x26x

Bước 2: Tính thể tích của bể cá theo x, sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của thể tích bể cá.

Khi đó thể tích của bể cá là 2x2.52x26x=135x2x3=13fx

Xét hàm số fx=5x2x3  x>0f'x=56x2=0x=56.

Lập BBT:

Media VietJack

max0;+fx=f56

Vmax=13f56=550271,01m3


Câu 2:

Cho hình hộp ABCDA′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BCD^=120. Biết rằng hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Diện tích tam giác A′AB bằng a234

Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ABC)

Xem đáp án

Bước 1: Tính diện tích tam giác ABH

Hình thoi ABCD có BCD^=120

ABC^=60

Do đó ABC là tam giác đều

SABC=a234

SABH=12SABC=a238.

Bước 2: Sử dụng công thức liên hệ giữa diện tích hình chiếu của đa giác và đa giác ban đầu.

Tam giác ABH là hình chiếu của tam giác A′BH

Gọi góc giữa (ABB′A′) và (ABCD) là

Khi đó ta có SABH=SABA'cosφcosφ=SABHSABA'=12φ=60

Đáp án cần chọn là: C


Câu 3:

Cho hình hộp ABCDA′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BCD^=120. Biết rằng hình chiếu vuông góc của A′ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Diện tích tam giác A′AB bằng a234

Tính thể tích khối lăng trụ ABCDA′B′C′D′

Xem đáp án

Bước 1: Gọi M là trung điểm AB,I là trung điểm AM. Tính góc A’IH

Ta có SABCD=2SABC=a232

Gọi M là trung điểm AB,I là trung điểm AM

Khi đó HIAB góc giữa (ABB′A′) và (ABCD) là góc A'IH^=60

Bước 2: Tính VABCDA'B'C'D'

Ta có

IH=12CM=a34A'H=IHtan60=3a4

VABCDA'B'C'D'=A'HSABCD=3a4a232=3a338.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 4:

Người ta cần chế tạo các món quà lưu niệm bằng đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, được mạ vàng bốn mặt bên và có thể tích bằng 16cm3. Diện tích mạ vàng nhỏ nhất của khối chóp bằng bao nhiêu cm2? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.)

Xem đáp án

Media VietJack

Bước 1: Giả sử chóp tứ giác đều là S.ABCD.  Gọi O=ACBD đặt AB=x  x>0  tính SO theo x.

Giả sử chóp tứ giác đều là S.ABCD. Gọi O=ACBDSOABCD

Đặt AB=x  x>0 ta có SABCD=x2

VS.ABCD=13SO.SABCD=13SO.x2=16SO=48x2

Bước 2: Gọi M là trung điểm của CD.  Tính SM theo x, từ đó tính SΔSCD  theo x.

Gọi M là trung điểm của CD ta có CDOMCDSOCD(SOM)CDSM

Ta cóOM=12AD=12AB=x2  áp dụng định lí Pytago ta có:

SM=SO2+OM2=48x22+x24
SΔSCD=12SM.CD=1248x22+x24.x=12482x2+x44

Bước 3: Tìm GTNN của diện tích mạ vàng

Để diện tích mạ vàng nhỏ nhất thì SΔSCD  nhỏ nhất 482x2+x44  đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có 482x2+x44=1152x2+1152x2+x4431152x2.1152x2.x4433.3317763 (BĐT Cô-si).

Vậy diện tích mạ vàng nhỏ nhất là 4.3.3317763831cm3


Câu 5:

Khi xây nhà, cô Ngọc cần xây một bể đựng nước mưa có thể tích V=6m3  dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp ba lần chiều rộng, đáy và nắp và các mặt xung quanh đều được đổ bê tông cốt thép. Phần nắp bể để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng 29 diện tích nắp bể. Biết rằng chi phí cho 1m2 bê tông cốt thép là 1.000.000d. Tính chi phí thấp nhất mà cô Ngọc phải trả khi xây bể (làm tròn đến hàng trăm nghìn và các chữ số viết liền)?

Xem đáp án

Media VietJack

Bước 1: Gọi x(m),3x(m) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của bể. Tính chiều cao của bể.

Gọi x(m),3x(m) lần lượt là chiều rộng, chiều dài của bể, h là chiều cao của bể.

Theo bài ra ta có: V=x.3x.h=6h=63x2=2x2  m

Bước 2: Tính tổng diện tích các mặt làm bê tông.

Khi đó tổng diện tích các mặt bể được làm bê tông là:

2x.2x2+2.3x.2x2+2x.3xx.3x.29=16x23+16x

Bước 3: Sử dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương để tính số tiền ít nhất cần tìm

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

16x23+16x=16x23+8x+8x316x23.8x.8x3=8183

Dấu “=” xảy ra khi 16x23=8xx=323

Vậy số tiền ít nhất mà cô Ngọc cần bỏ ra là 8183.10621.000.000d


Bắt đầu thi ngay