Thứ sáu, 29/03/2024
IMG-LOGO

Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số

  • 336 lượt thi

  • 39 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Biết limun=3. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Xem đáp án

Ta có: lim3un1un+1=3limun1limun+1=3.313+1=84=2

Đáp án cần chọn là: C


Câu 2:

Cho hai dãy số un,vn thỏa mãn  unvn với mọi nlimun=0 thì:
Xem đáp án

Định lý: Cho hai dãy sốunvnNếuunvnvới mọi nlimvn=0 thì limun=0

Đáp án cần chọn là: A


Câu 3:

Cho nN nếu |q|<1 thì:
Xem đáp án

Định lý: Nếuq<1thì limqn=0

Đáp án cần chọn là: A


Câu 4:

Cho cấp số nhân lùi vô hạn uncông bội q. Đặt S=u1+u2+...+un+... thì:
Xem đáp án

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S=u1+u2+...+un+...=u11q

Đáp án cần chọn là: A


Câu 5:

Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn un có công bội qq<1. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Xem đáp án

S=u1+u2+...=u11+q+q2+...=u11q

Đáp án cần chọn là: A


Câu 6:

Cho un=14n5n. Khi đó limunbằng?

Xem đáp án

limun=lim14n5n=lim1n45=45=45.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 7:

Cho un=n23n14n3.  Khi đó limunbằng?

Xem đáp án

limun=limn23n14n3=lim1n3n21n34=04=0.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 8:

Cho un=3n+5n5n. Khi đó limunbằng?

Xem đáp án

limun=lim3n+5n5n=lim35n+11=11=1.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 9:

Giá trị limn32n+1 bằng?

Xem đáp án

Ta có:n32n+1=n312n2+1n3

limn3=+ lim12n2+1n3=1>0 nên limn32n+1=+

Đáp án cần chọn là: D


Câu 10:

lim2n+3n2 bằng

Xem đáp án

Bước 1:

Vì lim1n=0;lim1n2=0

Bước 2:

Nên lim2n+3n2=2.0+3.0=0

Đáp án cần chọn là: B


Câu 11:

Cho cấp số nhân un=12n,n1. Khi đó:

Xem đáp án

Ta có: u1=12;q=12S=u11q=12112=1

Đáp án cần chọn là: A


Câu 12:

Cho các dãy số un=1n,n1vn=n2,n1. Khi đó:

Xem đáp án

Ta có: limun.vn=lim1n.n2=limn=+

Đáp án cần chọn là: B


Câu 13:

Giới hạn lim2n+13.5n+53.2n+9.5n bằng?

Xem đáp án

Bước 1:

lim2n+13.5n+53.2n+9.5n=lim2.2n3.5n+53.2n+9.5n

=lim2.25n3+5.15n3.25n+9

Bước 2:

=2.03+5.03.0+9=39=13.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 14:

Giới hạn lim25n3n+12225n5 bằng?

Xem đáp án

lim(25n)3(n+1)2225n5=lim(25n)3n3.(n+1)2n2225n5n5=25nn3.n+1n22n525

=lim2n53.1+1n22n525=0531+02025=(5)3.1225=5

Đáp án cần chọn là: C


Câu 15:

Giới hạn limn23n59n2+32n1bằng?

Xem đáp án

Cách 1:

limn23n59n2+32n1

=limn23n59n2+3.n23n5+9n2+3n23n5+9n2+3.2n1

=lim(n23n5)(9n2+3)n23n5+9n2+3.2n1

=lim8n23n8n23n5+9n2+3.2n1

=lim83n8n213n5n2+9+3n221n=84.2=1

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n.

limn23n59n2+32n1=lim13n5n29+3n221n=lim132=1

Đáp án cần chọn là: D


Câu 16:

Giới hạn lim2n2n+42n4n2+1 bằng?

Xem đáp án

lim2n2n+42n4n2+1=lim21n+4n221n2+1n4=22=2.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 17:

Giới hạn limn2nn bằng?

Xem đáp án

limn2nn=limn2nn.n2n+nn2n+n

=limn2nn2n2n+n=limnn2n+n=lim111n+1=12=12.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 18:

Giới hạn limn2n+1n2+1 bằng?

Xem đáp án

lim(n2n+1n2+1)=lim(n2n+1n2+1)(n2n+1+n2+1)n2n+1+n2+1=limn2n+1n21n2n+1+n2+1=limnn2n+1+n2+1=lim111n+1n2+1+1n2=12

Đáp án cần chọn là: B


Câu 19:

Giá trị limsinn!n2+1 bằng

Xem đáp án

Ta cósinn!n2+11n2+1 lim1n2+1=0 nên chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 20:

Tính giới hạn limn23n32n3+5n2

Xem đáp án

Bước 1:

limn23n32n3+5n2=limn33+1nn32+5n2n3

Bước 2:

=lim3+1n2+5n2n3=3+02+00=32

Đáp án cần chọn là: D


Câu 21:

limn+12n3 bằng

Xem đáp án

Bước 1:

limn+12n3=limn1+1nn23n=lim1+1n23n

Bước 2:

=1+020=12

Đáp án cần chọn là: C


Câu 22:

Bạn Bách thả 1 quả bóng cao su từ độ cao 12m so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng 23 độ cao của lần rơi trước. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng số quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho tới khi quả bóng không nảy nữa) gần nhất với kết quả nào sau đây?

Xem đáp án

Media VietJack

Ta coi độ cao nảy lên lần thứ nhất là u1u1=12.23=8

u2=23u1;u3=23u2;...;un=23un1;...

=> Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với u1=8;q=23

Khi đó tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển là

S=12+2u1+2u2+2u3+...+2un+...
=12+2.(u1+u2+)=12+2.u11q
=12+2.8123=60

Đáp án cần chọn là: C


Câu 23:

Cho dãy số unvới un=112+1213+....+1n1n+1. Khi đó limun bằng?

Xem đáp án

un=11.2+12.3+13.4+...+1n.n+1

=211.2+322.3+...+n+1nn.n+1

=112+1213+....+1n1n+1

=11n+1

limun=lim11n+1=1.

Đáp án cần chọn là: C


Câu 24:

Cho dãy số (un) với un=11.3+13.5+...+12n1.2n+1

Khi đó limun bằng?

Xem đáp án

un=11.3+13.5+...+12n1.2n+1=12.113+1315+...+12n112n+1=12.112n+1limun=lim12112n+1=12.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 25:

Cho dãy số (un)với un=2n+113nn3+5n13 Khi đó limun bằng?
Xem đáp án

limun=lim2n+113nn3+5n13=lim6n2n+1n3+5n13

=lim6n2n+1n2n3+5n1n63=lim61n+1n21n3+5n51n63=.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 26:

Cho dãy số (un) xác định bởi  u1=2un+1=un+12,n1 Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

u2=2+12=32=21+121

u3=32+12=54=22+122

u4=54+12=98=23+123

Chứng minh bằng quy nạp: un+1=2n+12n,  n=1;2;...    ()

* Với n=1:u2=u1+12=2+12=21+121: (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với n=k1 tức là uk=2k+12k ta chứng minh (*) đúng với n=k+1 tức là cần chứng minh uk+1=2k+1+12k+1

Ta có :

uk+1=uk+12=2k+12k+12=2k+1+2k2k2=2.2k+12k+1=2k+1+12k+1

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy (un)là:

un=2n1+12n1=1+12n1,  n=1;2;...    ()

Từ (*) ta có un+1un=1+12n1+12n1

=12n12n+1<0  n=1,2,...unlà dãy giảm và  

limun=lim1+12n1=1là dãy giảm tới 1 khi n+

Đáp án cần chọn là: A


Câu 27:

Cho các số thực a, b thỏa mãn a<1,  b<1. Tìm giới hạn I=lim1+a+a2+...+an1+b+b2+...+bn.

Xem đáp án

Ta có 1,a,a2,...,an là một cấp số nhân có công bội a

1+a+a2+...+an=1an+11a.

 Tương tự:  1+b+b2+...+bn=1bn+11b

limI=lim1an+11a1bn+11b=lim1an+11a.1b1bn+1=lim1an+11bn+1.1b1a=1b1a.

(Vì a<1,  b<1liman+1=limbn+1=0)

Đáp án cần chọn là: C


Câu 28:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,…, tam giác AnBnCnAnBnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác An1Bn1Cn1. Goi P,P1,P2,...,Pn,... là chu vi của các tam giác ABC,A1B1C1,A2B2C2,...,AnBnCn,... Tìm tổng P,P1,P2,...,Pn,...

Media VietJack

Xem đáp án

Bước 1:

Gọi an là cạnh của tam giác AnBnCn với n nguyên dương.

Ta cần chứng minh cạnh của tam giác bất kì AnBnCn bằngan=a2n với mọi số nguyên dương n   (*)

A1,B1,C1 là trung điểm các cạnh của tam giác ABC nên a1=a2

Cạnh của tam giác A1B1C1 có cạnh là a2=a21

Giả sử (*) đúng với n=k

Tức là cạnh của tam giác AkBkCk là ak=a2k

Ta có Ak+1Bk+1Ck+1 có cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác AkBkCk nên có cạnh là ak+1=ak2=12.a2k=a2k+1

=> (*) đúng với n=k+1

=> (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

=> Chu vi của tam giác AnBnCn như giả thiết là Pn=3a2n

Bước 2:

Như vậy P=3a;P1=3a2;P2=3a22;...;Pn=3a2n;...

Dãy số Pn gồm P,P1,P2,... là cấp số nhân với số hạng đầu là P=3a công bội q=12

P+P1+P2+...=3a112=6a

Đáp án cần chọn là: B


Câu 29:

Dãy số (un) nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n dần đến vô cùng?

Xem đáp án

Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án:

+) Đáp án A:         

limun=lim2017n2018n2018n2017=lim2017nn.2017n2018n2017

=lim2017n12017n12018n12017=1

+) Đáp án B:

limun=limnn2+2018n2+2016=limnn2+2018n22016n2+2018+n2+2016

=lim2nn2+2018+n2+2016=lim21+2018n2+1+2016n2=1

+) Đáp án C:           

Ta có: un+11=12un1

un1=12un11un11=12un21un21=12un31...u21=12u11

un1un11un21...u21

=12un11.12un21.12un31...12u11

=12n1un11un21...u21u11

un1=12n1u11

un=20162n1+1un=4032.12n+1limun=1

Ở câu C, các em cũng có thể giả sử limun=a thì un+1akhin do đó ta có a=12a+1a=1

+) Đáp án D:

Ta có

un=11.2+12.3+13.4+...+1nn+1=112+1213+...+1n1n+1=11n+1=nn+1

limun=limnn+1=1

Đáp án cần chọn là: A


Câu 30:

Tính giới hạn: lim11221132...11n2.

Xem đáp án

Cách 1:

Xét dãy số unvới un=11221132...11n2,n2,n

Ta có:

u2=1122=34=2+12.2

u3=1122.1132=34.89=46=3+12.3

u4=1122.11321142=34.89.1516=58=4+12.4

…….

un=n+12n

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định un=n+12n,n2

Khi đó lim11221132...11n2=limn+12n=12

Đáp án cần chọn là: B


Câu 31:

Với n là số nguyên dương, đặt  Sn=112+21+123+32+...+1nn+1+n+1n. Khi đó limSn bằng

Xem đáp án

Ta có 1nn+1+n+1n=1nn+1n+n+1=n+1nnn+1=1n1n+1

Suy ra

Sn=112+21+123+32+...+1nn+1+n+1n

=1112+1213+...+1n1n+1=11n+1

Suy ra limSn=1
Đáp án cần chọn là: C


Câu 32:

Cho dãy số (un) xác định bởi u1=0 và un+1=un+4n+3, n1 Biết

limun+u4n+u42n+...+u42018nun+u2n+u22n+...+u22018n=a2019+bcvới abc là các số nguyên dương và b<2019. Tính giá trị S=a+bc.

Xem đáp án

Ta có

u2=u1+4.1+3u3=u2+4.2+3...un=un1+4.n1+3

Cộng vế theo vế và rút gọn ta được

un=u1+4.1+2+...+n1+3n1=4nn12+3n1=2n2+n3

với mọi n1

Suy ra                    

u2n=22n2+2n3u22n=222n2+22n3...u22018n=222018n2+22018n3

u4n=24n2+4n3u42n=242n2+42n3...u42018n=242018n2+42018n3

Do đó limun+u4n+u42n+...+u42018nun+u2n+u22n+...+u22018n
=lim2+1n3n2+2.42+4n3n2+...+2420182+42018n3n22+1n3n2+2.22+2n3n2+...+2220182+22018n3n2
=21+4+42+...+4201821+2+22+...+22018=11420191412201912=13420191220191=22019+13

22019>2019 cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên a=2b=1c=3

Vậy S=a+bc=0

Đáp án cần chọn là: B


Câu 33:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình x33x2+2m2x+m3=0 có ba nghiệm x1, x2, x3  thỏa mãn x1<1<x2<x3.

Xem đáp án

Đặt fx=x33x2+2m2x+m3. Ta thấy hàm số liên tục trên 

Dễ thấy nếu x thì fx hay fx<0

Suy ra điều kiện cần để fx=0 có 3 nghiệm thỏa mãn x1<1<x2<x3 là f1>0m5>0m<5

Điều kiện đủ: với m<5 ta có

*)limxfx= nên tồn tại a<1  sao cho fa<0

Mặt khác f1=m5>0. Suy ra fa.f1<0

Do đó tồn tại x1a;1 sao cho fx1=0

*) f0=m3<0,f1>0. Suy ra f0.f1<0

Do đó tồn tại x21;0 sao cho fx2=0

*) limx+fx=+ nên tồn tại b>0 sao cho fb>0
Mặt khác f0<0. Suy ra f0.fb<0

Do đó tồn tại x30;b sao cho fx3=0
Vậy m < −5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 34:

Tính lim12+22+32+...+n22nn+76n+5

Xem đáp án

Ta có: 12+22+32+...+n2=nn+12n+16

Khi đó: lim12+22+32+...+n22nn+76n+5=limnn+12n+112nn+76n+5=lim1+1n2+1n121+7n6+5n=16

Đáp án cần chọn là: A


Câu 35:

Đặt fn=n2+n+12+1..

Xét dãy số (un) sao cho un=f1.f3.f5...f(2n1)f2.f4.f6...f(2n)  Tính limnun.

Xem đáp án

Xét gn=f2n1f2ngn=4n22n+12+14n2+2n+12+1

gn=4n2+124n4n2+1+4n2+14n2+12+4n4n2+1+4n2+1=4n2+14n+14n2+1+4n+1=2n12+12n+12+1

un=210.1026.2650....2n32+12n12+1.2n12+12n+12+1=22n+12+1

limnun=lim2n24n2+4n+2=12.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 36:

Tính limn4n2+38n3+n3
Xem đáp án

Ta có: limn4n2+38n3+n3

=limn4n2+32n+2n8n3+n3

=limn4n2+32n+n2n8n3+n3

Ta có: limn4n2+32n=lim3n4n2+3+2n=lim34+3n2+2=34

Ta có: limn2n8n3+n3=limn24n2+2n8n3+n3+8n3+n23

=lim14+28+1n23+8+1n223=112

Vậy limn4n2+38n3+n3=34112=23

Đáp án cần chọn là: D


Câu 37:

Tìm số hữu tỉ biểu diễn số 0,111111 chu kỳ (1).
Xem đáp án

Bước 1: Tìm cấp số nhân

Ta biểu diễn

a=0,111u1u2.u3..=0,1+0,01+0,001+...=110+1102+1103+...

Xét dãy u1=0,1;u2=0,01;u3=0,001;...;un=0,0...01;nchuso...

Ta thấy dãy trên có:

- Số hạng đầu: u1=0,1=110

- Số hạng thứ hai: u2=0,01=1102=u1.110

- Số hạng thứ n: un=0,0...01nchuso=110n=u1.110n1

Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Như vậy aa là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn biết:

- Số hạng đầu: u1=110

- Công bội: q=110

Do vậy: a=u11q=1101110=19

Vậy: a=19

Đáp án cần chọn là: B


Câu 38:

Media VietJack

Cho hình vuông A1B1C1D1 có cạnh bằng a và có diện tích S1. Nối bốn trung điểm A2,B2,C2,D2  ta được hình vuông thứ hai có diện tích S2. Tiếp tục như thế, ta được hình vuông A3B3C3D3 có diện tích S3,  Tính tổng S1+S2+  bằng

Xem đáp án

Bước 1: Tìm cấp số nhân

Ta có:

S1=a2S2=a222=a212S3=a22222Sn=a212n1

S1;S2;S3; là một cấp số nhân lùi vô hạn với:

- Số hạng đầu: S1=a2

- Công bội: q=12

Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Do đó: S=S1+S2+S3+=S11q=a2112=2a2

Đáp án cần chọn là: B


Câu 39:

Người ta dự định xây dựng một tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ theo cấu trúc: diện tích của mặt sàn tầng trên bằng một nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là 15 m2. Yêu cầu là nền tháp lát gạch hoa kích thước 30x30 (cm). Số lượng gạch hoa cần mua để lát sàn tháp là

Xem đáp án

Bước 1: Gọi S1 là diện tích mặt đáy tháp. Biểu diễn diện tích mặt đáy tầng thứ n.

Gọi S1 là diện tích mặt đáy tháp. Ta có: S1=15m2

Theo yêu cầu khi xây dựng tòa tháp, diên tích mặt đáy các tầng tiếp theo là:

S2=12S1

S3=12S2=122S1.

….

Sn=12n1S1

Bước 2: Tính tổng diện tích mặt sàn 11 tầng.

Tổng diện tích mặt sàn 11 tầng tháp là

S=S1+S2+..+S11=S1.1+12+122+..+1210=15.1.1121111229,98m2.

Bước 3: Tìm số viên gạch

Diện tích mỗi viên gạch là 30.30=900 cm2=0,09 m2

Số lượng gạch hoa cần mua là S0,09333,17

Vậy cần mua 334 viên gạch


Bắt đầu thi ngay