Giới hạn của dãy số
-
595 lượt thi
-
39 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 2:
Định lý: Cho hai dãy sốvàNếuvới mọi n và thì
Đáp án cần chọn là: A
Câu 4:
Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn:
Đáp án cần chọn là: A
Câu 5:
Đáp án cần chọn là: A
Câu 22:
Bạn Bách thả 1 quả bóng cao su từ độ cao 12m so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao của lần rơi trước. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng số quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho tới khi quả bóng không nảy nữa) gần nhất với kết quả nào sau đây?
Ta coi độ cao nảy lên lần thứ nhất là
=> Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với
Khi đó tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển là
Đáp án cần chọn là: C
Câu 26:
Cho dãy số xác định bởi Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
Chứng minh bằng quy nạp:
* Với : (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với tức là ta chứng minh (*) đúng với tức là cần chứng minh
Ta có :
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).
Như vậy, công thức tổng quát của dãy là:
Từ (*) ta có
là dãy giảm và
là dãy giảm tới 1 khi
Đáp án cần chọn là: A
Câu 27:
Cho các số thực a, b thỏa mãn . Tìm giới hạn .
Ta có là một cấp số nhân có công bội a
Tương tự:
(Vì )
Đáp án cần chọn là: C
Câu 28:
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ,…, tam giác AnBnCnAnBnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác là chu vi của các tam giác Tìm tổng
Bước 1:
Gọi là cạnh của tam giác với n nguyên dương.
Ta cần chứng minh cạnh của tam giác bất kì bằng với mọi số nguyên dương n (*)
Vì là trung điểm các cạnh của tam giác ABC nên
Cạnh của tam giác có cạnh là
Giả sử (*) đúng với
Tức là cạnh của tam giác là
Ta có có cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác nên có cạnh là
=> (*) đúng với
=> (*) đúng với mọi số nguyên dương n.
=> Chu vi của tam giác như giả thiết là
Bước 2:
Như vậy
Dãy số gồm là cấp số nhân với số hạng đầu là công bội
Đáp án cần chọn là: B
Câu 29:
Dãy số (un) nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n dần đến vô cùng?
Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án:
+) Đáp án A:
+) Đáp án B:
+) Đáp án C:
Ta có:
Ở câu C, các em cũng có thể giả sử thì do đó ta có
+) Đáp án D:
Ta có
Đáp án cần chọn là: A
Câu 30:
Tính giới hạn: .
Cách 1:
Xét dãy số với
Ta có:
…….
Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định
Khi đó
Đáp án cần chọn là: B
Câu 31:
Với n là số nguyên dương, đặt . Khi đó limSn bằng
Ta có
Suy ra
Suy ra
Đáp án cần chọn là: C
Câu 32:
Cho dãy số (un) xác định bởi Biết
với a, b, c là các số nguyên dương và . Tính giá trị .
Ta có
Cộng vế theo vế và rút gọn ta được
với mọi
Suy ra
Và
Vì cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên
Vậy
Đáp án cần chọn là: B
Câu 33:
Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình có ba nghiệm thỏa mãn .
Đặt . Ta thấy hàm số liên tục trên
Dễ thấy nếu thì hay
Suy ra điều kiện cần để có 3 nghiệm thỏa mãn là
Điều kiện đủ: với ta có
nên tồn tại sao cho
Mặt khác . Suy ra
Do đó tồn tại sao cho
*) . Suy ra
Do đó tồn tại sao cho
*) nên tồn tại sao cho
Mặt khác . Suy ra
Do đó tồn tại sao cho
Vậy m < −5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: B
Câu 37:
Bước 1: Tìm cấp số nhân
Ta biểu diễn
Xét dãy
Ta thấy dãy trên có:
- Số hạng đầu:
- Số hạng thứ hai:
- Số hạng thứ n:
Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Như vậy aa là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn biết:
- Số hạng đầu:
- Công bội:
Do vậy:
Vậy:
Đáp án cần chọn là: B
Câu 38:
Cho hình vuông có cạnh bằng a và có diện tích . Nối bốn trung điểm ta được hình vuông thứ hai có diện tích . Tiếp tục như thế, ta được hình vuông có diện tích Tính tổng bằng
Bước 1: Tìm cấp số nhân
Ta có:
Có là một cấp số nhân lùi vô hạn với:
- Số hạng đầu:
- Công bội:
Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Do đó:
Đáp án cần chọn là: B
Câu 39:
Người ta dự định xây dựng một tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ theo cấu trúc: diện tích của mặt sàn tầng trên bằng một nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là 15 m2. Yêu cầu là nền tháp lát gạch hoa kích thước 30x30 (cm). Số lượng gạch hoa cần mua để lát sàn tháp là
Bước 1: Gọi S1 là diện tích mặt đáy tháp. Biểu diễn diện tích mặt đáy tầng thứ n.
Gọi S1 là diện tích mặt đáy tháp. Ta có:
Theo yêu cầu khi xây dựng tòa tháp, diên tích mặt đáy các tầng tiếp theo là:
….
Bước 2: Tính tổng diện tích mặt sàn 11 tầng.
Tổng diện tích mặt sàn 11 tầng tháp là
Bước 3: Tìm số viên gạch
Diện tích mỗi viên gạch là
Số lượng gạch hoa cần mua là
Vậy cần mua 334 viên gạch