IMG-LOGO

Thể tích khối hộp

Thể tích khối hộp

  • 303 lượt thi

  • 36 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là:
Xem đáp án

Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao hh là V=Sh.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 3:

Mệnh đề nào dưới đây sai?

Xem đáp án

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: Stp=Sxq+2ab=2ha+b+2ab.

Thể tích hình hộp chữ nhật:V=abh.

Thể tích của lăng trụ là:V=Sd.h.

Diện tích toàn phần của khối lập phương: Stp=6a2.

Thể tích của khối lập phương: V=a3.

Thể tích khối chóp là: V=13Sd.h.
Do đó các đáp án B, C, D đúng, chỉ có A sai.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 4:

Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCD′ có đáy là tứ giác đều cạnh a, biết rằng BD'=a6 . Tính thể tích của khối lăng trụ?

Xem đáp án

Media VietJack

A'B'C'D' là hình vuông cạnh a nên B'D'=a2

BB'A'B'C'D'BB'B'D'ΔBB'D' vuông tại

B'BB'=BD'2B'D'2=6a22a2=2a

Vậy VABCD.A'B'C'D'=BB'.SABCD=2a.a2=2a3

Đáp án cần chọn là: D


Câu 5:

Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm, biết rằng chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ. Tính thể tích khối lăng trụ

Xem đáp án

Media VietJack

GọiO=ACBD ta có: OA=3cm;OB=4cm

Xét tam giác vuông OAB có:AB=OA2+OB2=32+42=5cm

Khi đó chu vi đáy bằng P=4.5=20=2AA'AA'=10cm

SABCD=12AC.BD=12.6.8=24cm2

Vậy VABCD.A'B'C'D'=AA'.SABCD=10.24=240cm3

Đáp án cần chọn là: C


Câu 6:

Cho lăng trụ xiên tam giác ABC.ABC′ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,  biết cạnh bên là a3 và hợp với đáy ABC một góc 600. Thể tích khối lăng trụ là:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A′  trên ABCA'HABC

AH là hình chiếu vuông góc của AA′  trên ABCAA';ABC^=AA';AH^=A'AH^=600

A'HABCA'HAHΔA'AH vuông tại

HA'H=AA'.sin60=a3.32=3a2

Tam giác ABC đều cạnh  nên SABC=a234

Vậy VABC.A'B'C'=A'H.SABC=3a2.a234=3a338

Đáp án cần chọn là: A


Câu 7:

Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A^=600. Chân đường cao hạ từ B′  xuống (ABCD)  trùng với giao điểm 2 đường chéo, biết BB'=a . Thể tích khối lăng trụ là:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi O=ACBD

Xét tam giác ABDAB=AD=a BAD^=600ΔABD đều cạnh

aBD=aBO=a2

B'OABCDB'OBOΔBB'O vuông tại O

B'O=BB'2BO2=a2a24=a32

SABD=a234SABCD=2SABD=a232

Vậy VABCD.A'B'C'D'=B'O.SABCD=a32.a232=3a34

Đáp án cần chọn là: C


Câu 8:

Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có AB=2a,AC=a,AA'=a102,BAC^=1200. Hình chiếu vuông góc của C′ lên (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A′B′C′ theo a?

Xem đáp án

Media VietJack

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác ABC có:

BC=AB2+AC22AB.AC.cos120

=4a2+a22.2a.a.12=a7CH=12BC=a72

C'HABCC'HCHΔCC'H  vuông tại H

C'H=CC'2CH2=10a247a24=a32

SABC=12AB.AC.sin120=12.2a.a.32=a232

Vậy VABC.A'B'C'=C'H.SABC=a32.a232=3a34

Đáp án cần chọn là: B


Câu 9:

Cho hình lăng trụ ABCD.ABCD′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của điểm A′  trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm I của cạnh AB. Biết AC tạo với mặt phẳng đáy một góc α với tanα=25. Thể tích khối chóp A′.ICD là:

Xem đáp án

Media VietJack

Theo bài ra ta có: IC là hình chiếu vuông góc của A′C  trên (ABCD)

A'C;ABCD^=A'C;IC^=A'CI^=α

Xét tam giác vuông IBC có: IC=IB2+BC2=a24+a2=a52

Xét tam giác vuông A′IC  có: A'I=IC.tanα=a52.25=a

SΔICD=12dI;CD.CD=12a.a=a22

Vậy VA'.ICD=13A'I.SΔICD=13.a.a22=a36
Đáp án cần chọn là: A


Câu 10:

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.ABC′ mà mặt bên ABBA′  có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa CC′  và mặt phẳng (ABB'A')  bằng 7. Thể tích khối lăng trụ là:

Xem đáp án

Media VietJack

Dựng khối hộp ABCD.A'B'C'D' ta có: VABC.A'B'C'=12VABCD.A'B'C'D'

Khối hộp ABCD.A'B'C'D'có hai đáy là ABB'A'và CDD'C'

VABCD.A'B'C'D'=SABB'A'.h

Trong đó h=dABB'A';CDD'C'=dCC';ABB'A'=7

VABCD.A'B'C'D'=4.7=28

Vậy VABC.A'B'C'=12.28=14

Đáp án cần chọn là: C


Câu 11:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC′ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,ACB^=600, cạnh BC=a, đường chéo AB tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300. Thể tích khối lăng trụ ABC.ABC′ là:

Xem đáp án

Media VietJack

AA'ABCAB  là hình chiếu vuông góc của A′B lên

(ABC)A'B;ABC^=A'B;AB^=A'BA^=300

 Xét tam giác vuông ABC có AB=BC.tan60=a3

AA'ABCABAA'ABΔABA' vuông tại A

AA'=AB.tanA'BA^=a3.tan30=a3.13=a

SΔABC=12AB.BC=12a3.a=a232

Vậy VABC.A'B'C'=AA'.SΔABC=a.a232=a332
Đáp án cần chọn là: A


Câu 12:

Đáy của hình lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC′ là tam giác đều cạnh a=4  và biết diện tích tam giác ABC bằng 8 . Tính thể tích khối lăng trụ?

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi D là trung điểm của BC ta có:

Tam giác ABC đều nên ADBC và AA'ABCAA'BC

BCAA'DBCA'DΔA'BC cân tại A’

 Tam giác ABC đều cạnh a=4AD=432=23

SΔA'BC=12A'D.BCA'D=2SΔA'BCBC=2.84=4

Xét tam giác vuông  AA’D có: AA'=A'D2AD2=1612=2

SABC=4234=43

Vậy VABC.A'B'C'=AA'.SABC=2.43=83
Đáp án cần chọn là: B


Câu 13:

Cho lăng trụ đều ABC.ABC′, cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đó.

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có:

AMBC (do ΔABC đều)


BCAA'  gt
BCAA'MBCA'M

Ta có: (A'BC)(ABC)=BCAM(ABC),AMBCA'M(A'BC),A'MBC

A'BC;ABC=A'M;AM=A'MA=600

ΔABC đều cạnh a nên AM=a32 và SΔABC=a234

Xét tam giác vuông A'AMcó: AA'=AM.tan600=a32.3=3a2

Vậy thể tích khối lăng trụ là VABC.A'B'C'=AA'.SΔABC=3a2.a234=3a238

Đáp án cần chọn là: C


Câu 14:

Cho khối lăng trụ ABC.ABC′. Gọi E là trọng tâm tam giác ABC′ và F là trung điểm BC. Gọi V1 là thể tích khối chóp B′.EAF và V2  là thể tích khối lăng trụ ABC.ABC′. Khi đó V1V2 có giá trị bằng
Xem đáp án

Media VietJack

Media VietJack

Gọi thể tích  ABC.A′B′C′ là V.

Gọi M là trung điểm của B′C′ ta có: SΔAEF=12SAA'MF

VB'.AEF=12VB'.AA'MF

Mà VB'.AA'MF=23VABF.A'B'M=23.12V=13V

VB'.AEF=12VB'.AA'MF=12.13V=16V

Vậy V1V=16
Đáp án cần chọn là: C


Câu 15:

Cho lăng trụ ABC.ABC′ có đáy ABC  là tam giác đều cạnh a, và A'A=A'B=A'C=a712 . Thể tích khối lăng trụ ABC.ABC′ theo a là:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi H là tâm tam giác đều ABC . Vì A'A=A'B=A'C nên hình chóp A'.ABC  là đều nên 
A'HABC

Gọi I là trung điểm của AB.

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên CI=a32HI=13CI=a36

Tam giác A′AB  cân tại A′  nên A'IABΔA'AI vuông tại

IA'I=AA'2AI2=7a212a24=a3

A'HABCA'HHIΔA'HI vuông tại

HA'H=A'I2HI2=a23a212=a2

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên SABC=a234

Vậy VABC.A'B'C'=A'H.SABC=a2.a234=a338
Đáp án cần chọn là: B


Câu 16:

Cho hình lăng trụ ABC.ABC′ có đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a;BAC^=1200 và AB′ vuông góc với (A'B'C') . Mặt phẳng (AA'C') tạo với mặt phẳng (A'B'C') một góc 300. Thể tích khối lăng trụ ABC.ABC′ là:

Xem đáp án

Trong (A’B’C’) kẻ B'KA'C'  KA'C'

Ta có:

AB'A'C'(AB'(A'B'C'))B'KA'C'A'C'(AB'K)A'C'AK

(AA'C')(A'B'C')=A'C'(AA'C')AKA'C'(A'B'C')B'KA'C'((AA'C');(A'^B'C'))=(AK;B^'K)=AKB^'=300

Media VietJack

Ta có:

SA'B'C'=12A'B'.A'C'.sin120=12a2.32=a234=12B'K.A'C'B'K=2SA'B'C'A'C'=a232a=a32

AB'A'B'C'AB'B'KΔAB'K vuông tại B’

AB'=B'K.tan30=a32.33=a2

Vậy VABC.A'B'C'=AB'.SA'B'C'=a2.a234=a338

Đáp án cần chọn là: C


Câu 17:

Cho hình lăng trụ ABC.ABC′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu vuông góc của đỉnh C trên (ABBA′) là tâm của hình bình hành ABBA′. Thể tích của khối lăng trụ là:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi O là tâm hình bình hành ABB'A'.Ta có COABB'A'COOA;COOB

ΔCOA=ΔCOBc.g.cOA=OBAB'=A'BABB'A' là hình chữ nhật.

Lại có AB=BB'=aABB'A' là hình vuông

Khi đó OA=OB=AB2=a2

Xét tam giác vuông OAC có: OC=AC2OA2=a2a22=a22

VC.A'AB=13OC.SA'AB=13.a22.a22=a3212

Mà VABC.A'B'C'=SABC.dA',ABC=3.13SABC.dA',ABC=3.VA'.ABC
Vậy VABC.A'B'C'=3VC.A'AB=a324

Đáp án cần chọn là: C


Câu 18:

Cho hình lăng trụ ABCD.ABCD′ có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=3,AD=7. Hai mặt bên (ABB'A')  (ADD'A')  lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

Xem đáp án

Media VietJack

Kẻ A'HABCD;HMAB;HNAD

Ta có: A'HABHMABAB(A'HM)ABA'M

(ABB'A')(ABCD)=AB(ABB'A')A'MAB(ABCD)HMAB((ABB'A');(A^BCD))=(A'M;H^M)=A'MH^=45o

Chứng minh tương tự ta có A'NH^=600

Đặt A'H=x khi đó ta có:

A'N=xsin60=2x3,AN=AA'2A'N2=14x23=HM

Mà HM=x.cot45=x

x=14x23x2=14x237x23=1x2=37x=37
SABCD=3.7=21

Vậy VABCD.A'B'C'D'=A'H.SABCD=37.21=3

Đáp án cần chọn là: A


Câu 19:

Cho hình lăng trụ xiên ABC.ABC′ có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu của C′ trên (ABC) là O. Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC′ là a và 2 mặt bên (ACCA′) và (BCCB′) hợp với nhau góc 900.

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi D là trung điểm của AB. Trong (CC′D) kẻ OHCC'OH=a

CDABC'OABAB(CC'D)ABCC'

Trong (ABC), qua O kẻ EF//ABEBC;FAC

Ta có: EFCC'OHCC'CC'(EFH)CC'HE;CC'HF

Ta có:

(ACC'A')(BCC'B')=CC'(ACC'A')HFCC'(BCC'B')HECC'((ACC'A');(B^CC'B'))=(HF;H^E)=900HEHF

ΔHEF vuông tại H

ΔHCE=ΔHCFc.g.vc.hHE=HFΔHEF vuông cân tại H EF=2HO=2a

Ta có: EFAB=COCD=23AB=32EF=32.2a=3a

SΔABC=AB234=9a234
CD=AB32=3a32CO=23AB=23.3a32=a3

C'OABCC'OCOΔCC'O vuông tại O

1OH2=1C'O2+1CO21C'O2=1OH21CO2=1a213a2=23a2C'O=62a

Vậy VABC.A'B'C'=C'O.SΔABC=a62.9a234=27a328
Đáp án cần chọn là: D


Câu 20:

Cho lăng trụ đứng ABC.ABC′ với ABC là tam giác vuông cân tại C có AB=a , mặt bên ABBA′ là hình vuông. Mặt phẳng qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB′ chia khối lăng trụ thành 2 phần. Tính thể tích mỗi phần?

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi D là trung điểm của AA′  ta có ID là đường trung bình của tam giác

AA'BID//A'B

A'BAB' (do ABB′A′ là hình vuông)

IDAB'

Tam giác ABC vuông cân tại C nên ICAB Mà AA'ABCAA'IC

ICABB'A'ICAB'
AB'ICD

 Mặt phẳng qua I và vuông  góc với AB′  là (ICD)

Tam giác ABC vuông cân tại C nên

AC=BC=AB2=a2SABC=12AC.BC=12a2a2=a24

ABB′A′ là hình vuông AA'=AB=a

AA'=AB=a

Ta có:

VD.ACI=13AD.SACI=13.12AA'.12SABC=112VABC.A'B'C'=112.a34=a348=V1

V2=VV1=a34a348=11a348
Đáp án cần chọn là: C


Câu 21:

Cho đa diện ABCDEF có AD,BE,CF đôi một song song. AD(ABC), AD+BE+CF=5, diện tích tam giác ABC bằng 10. Thể tích đa diện ABCDEF bằng

Media VietJack

Xem đáp án

Chọn AD=BE=CF=53 thì đa diện là hình lăng trụ đứng ABC.DEF có diện tích đáy SABC=10 và chiều caoAD=53

Thể tích V=SABC.AD=10.53=503

Đáp án cần chọn là: C


Câu 22:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'  có thể tích bằng V. Gọi M,N,P,Q,E,F lần lượt là tâm các hình bình hành ABCD,A'B'C'D',ABB'A',BCC'B',CDD'C',DAA'D'. Thể tích khối đa diện có các đỉnh M,P,Q,E,F,N bằng:

Xem đáp án

Media VietJack

Đặc biệt hóa, coi ABCD.A'B'C'D' là khối lập phương cạnh bằng 1

VABCD.A'B'C'D'=1=V

Dễ thấy MNPQEF là khối bát diện đều cạnh cạnh QE=12BD=22

Vậy VMNPQEF=22323=16=V6

Đáp án cần chọn là: C


Câu 23:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC′có AB=a, đường thẳng AB tạo với mặt phẳng (BCC'B') một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC′.

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi M là trung điểm của B′C′. Vì ΔA'B'C'đều nên A'MB'C'

Ta có:A'MB'C'A'MBB'(BB'(A'B'C'))A'MBCC'B'

BM là hình chiếu của A′M lên (BCC′B′)

A'B;BCC'B'=A'B;MB=A'BM=300

Theo bài ra ta cóΔA'B'C' đều cạnh a nên A'M=a32và SΔA'B'C'=a234

Ta có:A'MBCC'B'A'MBMΔA'BM vuông tại M

BM=A'M.cot300=3a2

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông BB′M ta có:

BB'=BM2BB'2=3a22a22=a2

Vậy VABC.A'B'C'=BB'.SA'B'C'=a2.a234=a364
Đáp án cần chọn là: B


Câu 24:

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC′ có diện tích đáy bằng 12 và chiều cao bằng 6. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CB,CA và P,Q,R lần lượt là tâm các hình bình hành ABBA′, BCCB′, CAAC′. Thể tích của khối đa diện PQRABMN bằng:

Media VietJack

Xem đáp án

Gọi P′,Q′,R′ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (PQR) với các cạnh CC′,AA′,BB′.

Dễ dàng chứng minh được P′,Q′,R′ tương ứng là trung điểm của các cạnh CC′,AA′,BB′, đồng thời P,Q,R lần lượt là trung điểm của các cạnh Q′R′,R′P′,P′Q′.

Đặt V=VABC.Q'R'P'

Ta có: SR'PQ=14SR'Q'P' nên VB.R'PQ=14VB.R'Q'P'=14.13V=112V

Tương tự ta có: VA.Q'PR=112V

Ta có: SMNC=SQRP'=14SABC nên VCMN.P'QR=V4

Vậy VVPQRABMN=VVB.R'PQVA.Q'PRVCMN.P'QR=V2.V12V4=7V12=72.12.12.6=21

Đáp án cần chọn là: D


Câu 25:

Ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Xem đáp án

Bước 1: Gọi chiều rộng bể cá là x, tính chiều dài và chiều cao của bế cá theo x.

Gọi chiều rộng của bể cá là x (m) x>0 Chiều dài của bể cá là 2x(m)2x(m)

Gọi h là chiều cao của bể cá ta có

2x2+2xh+4xh=52x2+6xh=5h=52x26x

Bước 2: Tính thể tích của bể cá theo x, sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của thể tích bể cá.

Khi đó thể tích của bể cá là 2x2.52x26x=135x2x3=13fx

Xét hàm số fx=5x2x3  x>0f'x=56x2=0x=56.

Lập BBT:

Media VietJack

max0;+fx=f56
Vmax=13f56=550271,01m3

Câu 26:

Cho hình hộp chữ nhật ABCDA′B′C′D′ có M,N,P lần lượt là trung điểm các cạnh BC,C′D′,DD′ (tham khảo hình vẽ). Biết thể tích khối hộp bằng 144 , thể tích khối tứ diện AMNP bằng
Media VietJack
Xem đáp án

Media VietJack

Bước 1: Gọi E=NPCD. Đặt DC=2d,BC=2r

Gọi E=NPCD. Đặt DC=2d,BC=2r

Ta có:

SEMA=SECBASEMCSABM=5dr32drdr=52dr

Bước 2: Tính thể tích của NPAM

VNEAM=13SEMAd(N,(EMA))=13SEMACC'=5244drCC'=524VABCDA'B'C'D'=30.VNPAM=12VNEAM=15

 


Câu 27:

Cho hình lăng trụ ABC.ABC′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Cạnh BC=2a  ABC=600. Biết tứ giác BCCB′ là hình thoi có B'BC  nhọn. Mặt phẳng (BCC'B') vuông góc với (ABC) và mặt phẳng (ABB'A') tạo với (ABC) góc 450. Thể tích khối lăng trụ ABC.ABC′ bằng:

Xem đáp án

Media VietJack

Trong (BCC′B′) kẻ B'HBC  HBC (do B'BC nhọn).

Trong (ABC) kẻ HKACHKAB ta có:

ABHKABB'HAB(B'HK)ABB'K

Ta có: (ABB'A')(ABC)=ABB'K(ABB'A'),B'KABHK(ABC),HKAB

ABB'A';ABC=B'K;HK=B'HK=450

ΔB'HK vuông cân tại HB'H=HK=x

Xét tam giác vuông BB'H có: BH=BB'2BH'2=4a2x2

Xét tam giác vuông ABC có: AC=BC.sin600=a3,AB=BC.cos600=a

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: 

BHBC=HKAC4a2x22a=xa3
34a2x2=4x212a23x2=4x2x2=12a27x=2a217=B'H
SΔABC=12AB.AC=12.a.a3=a232

Vậy VABC.A'B'C'=B'H.SΔABC=2a217.a232=3a377
Đáp án cần chọn là: B


Câu 28:

Cho hình lập phương ABCD.ABCD′ có thể tích V. Gọi M là điểm thuộc cạnh BB′ sao cho MB=2MB'. Mặt phẳng α đi qua M và vuông góc với AC′ cắt các cạnh DD′, DCBC lần lượt tại NPQ. Gọi V1 là thể tích của khối đa diện CPQMNC′.Tính tỉ số V1V

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi cạnh của hình lập phương là a.

Ta có:

αAC'αBD.Trong BDD'B' kẻ MNBD  NDD'

αAC'αB'C .Trong BCC'B' kẻ MQB'C  QBC

αAC'αBD .Trong BDD'B' kẻ MNBD  NDD'

αAC'αB'C. Trong ABCD kẻ PQBD  PDC

Khi đó αMNPQ

Theo cách dựng ta có BQ=2QC,  DP=2PC,  DN=2ND'

Gọi H là điểm thuộc CC′ sao cho CH=2HC'

Khi đó ta có: VCPQMNC'=VC.MHN+VCQP.MHN

Xét hình chóp C'.MHN có C'H=a3,SΔMHN=12a2

VC'.MHN=13C'H.SΔMHN=13.a3.a22=a318=V18

Xét hình chóp cụt CQP.MHN có

VCQP.MHN=VI.MHNVI.CQP=13IH.SΔMHNIC.SΔCQP                  =13a.12a2a3.12.a3.a3=13a38=13V81
V1=VCPQMNC'=VC.MHN+VCQP.MHN=V18+13V81=35V162

Vậy V1V=35162

Đáp án cần chọn là: B


Câu 29:

Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.ABCD′ có đáy là hình vuông, BD=2a, góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ABCD) bằng 300. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng

Xem đáp án

* Xác định A'BD;ABCD

A'BCABCD=BD

AA'BDAOBD(A'AO)BD

(A'AO)(A'BD)=A'O(A'AO)(ABCD)=AO

A'BD;ABCD=A'O;AO=A'OA

A'OA=300

* Xét tam giác A′OA vuông tại A có AO=12AC=12BD=a

AA'=tan300.AO=a33

VABCD.A'B'C'D'=SABCD.AA'=12AC.BD.AA'

=12.2a2.a33=23a33

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: D


Câu 30:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′ có độ dài cạnh đáy AB=8, cạnh bên bằng 6 (minh họa như hình vẽ). Gọi M là trung điểm của cạnh A′C′. Khoảng cách từ B′ đến mặt phẳng (ABM) bằng bao nhiêu?

Media VietJack

Xem đáp án

Media VietJack

Bước 1: Gọi N là trung điểm của AC, chứng minh

dA;BB'M=dA;BB'MN=AN

Gọi N là trung điểm của AC ta có BB'MBB'MN nên

dA;BB'M=dA;BB'MN

Vì tam giác ABC đều nên ANBN. Ta có ANBNANMNAN(BB'MN) nên dA;BB'MN=AN=4

Bước 2:  Tính VA.BB'M=13dA;BB'MN.SΔBB'M=VB'.ABM

Ta lại có BN=AB32=43,  MN=AA'=6 nên SBB'MN=MN.BN=6.43=122SΔBB'M=62

VA.BB'M=13dA;BB'MN.SΔBB'M=13.4.122=162=VB'.ABM

Bước 3:  Sử dụng dB';ABM=3VB'.ABMSΔABM

Lại có VB'.ABM=13dB';ABM.SΔABM nên dB';ABM

Ta có:

AM=A'A2+A'M2=62+42=22AB=8BM=BB'2+B'M2=62+432=36

Bước 4: Sử dụng công thức SΔABM=ppAMpABpBM với p là nửa chu vi tam giác ABM.

Gọi p là nửa chu vi tam giác ABM ta có p=22+8+362

SΔABM=ppAMpABpBM

Vậy dB';ABM=3VB'.ABMSΔABM=3.162122=4


Câu 31:

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh 2a, gọi M là trung điểm của BB′ và P thuộc cạnh DD′ sao cho DP=14DD'.  Mặt phẳng (AMP) cắt CC′ tại N. Thể tích khối đa diện  AMNPBCD bằng

Media VietJack

Xem đáp án

Áp dụng công thức tính nhanh, ta có:

VAMNPBCDVABCD.A'B'C'D'=12BMBB'+DPDD'=38  VAMNPBCD=3a3.

Đáp án cần chọn là: B


Câu 32:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a.. Biết rằng góc giữa hai mặt phẳng (ACC′)  và (AB′C′) bằng 600 (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp B′.ACC′A′ bằng
Media VietJack
Xem đáp án

Dựng B'MA'C'B'MACC'A'

Dựng MNAC'AC'MNB'

Khi đó AB'C';AC'A'^=MNB'^=600

Ta có: 
B'M=a22MN=B'MtanMNB'^=a66

Mặt khác tanAC'A'^=MNC'N=AA'A'C'

Trong đó

MN=a66;MC'=a22C'N=C'M2MN2=a33

Suy ra AA'=a

Media VietJack

Thể tích lăng trụ V=AB22.AA'=a32

VB'.ACC'A'=VVB'.BAC=VV3=23V=a33.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 33:

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E,F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp thành hai hình đa diện (H) và (H′) trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số thể tích đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′).

Xem đáp án

Media VietJack

Mặt phẳng (AEF) chứa EF//BDABCD

 Giao tuyến của (AEF) và (ABCD) là đường thẳng đi qua A và song song với EF

Trong (ABCD) qua A kẻ HI//BD  HBC,ICD

Trong (BCC′B′) gọi L=EHBB' , trong (CDD′C′) gọi M=FIDD' , khi đó AEFALEFM

Ta có :(AEF)(BCC'B')=HE(AEF)(CDD'C')=FI(BCC'B')(CDD'C')=CC'

HE,FI,CC' đồng quy tại N.

Ta có : VH'=VN.CIHVN.EFC'VL.ABHVM.ADI

Ta dễ dàng chứng minh được B,D lần lượt là trung điểm của

CH,CIBD=12HIEF=12BD=14HI

ΔC'EF đồng dạng với ΔCIH theo tỉ số đồng dạng k=14SΔC'EFSΔCIH=116

NC'NC=EC'HC=14d(N';(C'EF))d(N;(CIH))=14
VN.EFC'=116.14VN.CIH=116VN.CIH
VLABH=VM.ADI=12.14VN.CIH=18VN.CIH
VH'=VN.CIHVN.EFC'VL.ABHVM.ADI=4764VN.CIH

Ta có :

CC'NC=34,SABCDSCIH=12VABCD.A'B'C'D'VS.CIH=d(C';(ABCD)).SABCD13d(N;(CIH)).SCIH=3CC'NC.SABCDSCIH=3.34.12=98

VS.CIH=89VABCD.A'B'C'D'

VH'=4764VN.CIH=4772VABCD.A'B'C'D'

VH=2572VABCD.A'B'C'D'

VHVH'=2547

Đáp án cần chọn là: A


Câu 34:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy ABC là đều cạnh AB=2a2. Biết AC'=8a  và tạo với mặt đáy một góc 450. Thể tích khối đa diện ABCC′B′ bằng
Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu của A lên mpA'B'C'

HC'A^=450

ΔAHC' vuông cân tại H.

AH=AC'.sin450=AC'.22=4a2.

Media VietJack

Diện tích tam giác ABC là: SABC=(2a2)234

NX:

VA.BCC'B'=23VABC.A'B'C'=23AH.SABC=23.4a2.2a22.34=16a363.

Đáp án cần chọn là: D


Câu 35:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′. Các mặt phẳng (ABC′) và (A′B′C) chia khối lăng trụ đã cho thành 4 khối đa diện. Kí hiệu H1, H2 lần lượt là khối có thể tích lớn nhất và nhỏ nhất trong bốn khối trên. Giá trị của VH1VH2 bằng

Xem đáp án

Bước 1: 

Gọi E là giao điểm của AC và AC’ và F là giao điểm của BC’ và B’C’

Khi đó (ABC’) và (A’B’C) chia khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ thành 4 khối đa diện: CEFC’;FEA’B’C’;FEABC và FEABB’A’

Gọi V là thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’.

Media VietJack

Bước 2: Tính thể tích của CEFC';FEA'B'C';FEABC FEABB'A' theo thể tích của ABC.A'B'C'

Ta có VC.A'B'C'=VC'.ABC=13V

VFEA'B'C'=VC.A'B'C'VCEFC'  và VFEABC=VC'.ABCVCEFC'

VFEA'B'C'=VFEABC

Mặt khác

VCEFC'VC.A'B'C'=CECA.CFCB'=12.12=14VCEFC'=14VC.A'B'C'=14.13V=112V
VFEA'B'C'=VFEABC=VC.A'B'C'VCEFC'=13V112V=14V
VFEABB'A'=V2.14V112V=512V

Do đó H1 có thể tích lớn nhất là khối đa diện FEABB’A’; H2 có thể tích nhỏ nhất là khối đa diện CEFC’ và VH1VH2=5

Đáp án cần chọn là: C


Câu 36:

Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ABC)

Xem đáp án

Bước 1: Tính diện tích tam giác ABH

Hình thoi ABCD có BCD^=120

ABC^=60

Do đó ABC là tam giác đều

SABC=a234

SABH=12SABC=a238.

Bước 2: Sử dụng công thức liên hệ giữa diện tích hình chiếu của đa giác và đa giác ban đầu.

Tam giác ABH là hình chiếu của tam giác A′BH

Gọi góc giữa (ABB′A′) và (ABCD) là

Khi đó ta có SABH=SABA'cosφcosφ=SABHSABA'=12φ=60

Đáp án cần chọn là: C


Bắt đầu thi ngay