Trả lời:

Ta có:

\[{\alpha _0} = {9^0} = \frac{{9\pi }}{{180}}rad\]

\[{\alpha _0} = 4,{5^0} = \frac{{4,5\pi }}{{180}}rad\]

Theo đề bài, ta có tại thời điểm t₀: 

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{s = 2,5\pi cm}\\{\alpha = \frac{{4,5\pi }}{{180}}rad}\end{array}} \right.\]

Lại có: \[s = l\alpha \Rightarrow l = \frac{s}{\alpha } = \frac{{2,5\pi }}{{\frac{{4,5\pi }}{{180}}}} = 100cm = 1m\]

Ta có, vận tốc tại vị trí α bất kì khi góc <10^0</10:

\[v = \sqrt {gl\left( {\alpha _0^2 - {\alpha ^2}} \right)} \]

Ta suy ra, vận tốc của vật tại thời điểm t₀ là:

\[v = \sqrt {gl\left( {\alpha _0^2 - {\alpha ^2}} \right)} = \sqrt {10.1\left( {{{\left( {\frac{{9\pi }}{{180}}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{4,5\pi }}{{180}}} \right)}^2}} \right)} \]

= 0,43m = 43cm

Đáp án cần chọn là: D

Trả lời:

\[{v_{\max }} = \sqrt {2gl\left( {1 - \cos 5^\circ } \right)} \]

\[s_0^{'2} = \frac{{{v^2}_{\max }}}{{{\omega ^2}}} = \frac{{2gl\left( {1 - \cos 5^\circ } \right)}}{{\frac{g}{{\frac{l}{2}}}}}\]

$\iff {\left(\frac{l}{2}{\alpha }_0^{\text{'}}\right)}^2=\frac{2g{l}^2\left(1-\cos 5°\right)}{2g}$

\[ \Rightarrow {\alpha _0} = 0,123\left( {rad} \right) \approx 7,1^\circ \]

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

Vận tốc của con lắc đơn dao động điều hòa:

\[{v_{\frac{{{\alpha _0}}}{2}}} = \pm \sqrt {gl\left( {\alpha _0^2 - {\alpha ^2}} \right)} \]

\[{v_{\frac{{{\alpha _0}}}{2}}} = \pm \sqrt {10.1,6\left( {0,{1^2} - {{\left( {\frac{{0,1}}{2}} \right)}^2}} \right)} \]

\[{v_{\frac{{{\alpha _0}}}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{5}m/s = 20\sqrt 3 cm/s\]

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

+ Chu kì dao động:

\[T = 2\pi \sqrt {\frac{l}{g}} \to l = \frac{{{T^2}g}}{{4{\pi ^2}}} = \frac{{{2^2}.10}}{{4{\pi ^2}}} = 1m\]

Vận tốc của con lắc đơn dao động điều hòa:

\[{v_\alpha } = \pm \sqrt {gl\left( {\alpha _0^2 - {\alpha ^2}} \right)} \]

\[ \to {\alpha _0} = \pm \sqrt {\frac{{v_\alpha ^2}}{{gl}} + {\alpha ^2}} \]

\[ \to {\alpha _0} = \pm \sqrt {\frac{{0,{{287}^2}}}{{10.1}} + {{\left( {\frac{{3\pi }}{{180}}} \right)}^2}} \]

\[ \to {\alpha _0} = 0,105rad = 6^\circ \]

Đáp án cần chọn là: C

Trả lời:

Lực căng dây treo khi vật qua vị trí cao nhất :

\[T = mg\left( {3\cos {\alpha _0} - 2\cos {\alpha _0}} \right)\]

\[ \to T = mg\left( {\cos {\alpha _0}} \right)\]

\[ \to T = 0,1.10.\cos 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}N\]

Đáp án cần chọn là: C

Trả lời:

Biểu thức xác định lực căng dây tại vị trí α bất kì của con lắc đơn dao động tự do:

\[T = mg\left( {1 - 1,5{\alpha ^2} + \alpha _0^2} \right)\]

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Ta có: lực căng dây được xác định bằng biểu thức:

T = mg(3cosα − 2cosα₀) = P = mg

→ 3cosα − 2cosα₀ = 1

\[\cos \alpha = \frac{{1 + 2\cos {\alpha _0}}}{3} = \frac{{1 + 2.0,97}}{3} = 0,98\]

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

Ta có:

+ lực căng dây cực đại tại vị trí α = 0:

T_max = mg(3 − 2cosα₀)

+ lực căng dây cực tiểu tại vị trí α = α₀:

_Tmin= mg.cosα₀

\[ \to \frac{{{T_{\max }}}}{{{T_{\min }}}} = \frac{{3 - 2\cos {\alpha _0}}}{{\cos {\alpha _0}}} = 1,02\]

→cosα₀= 0,993

^{→ α}₀= 6,6

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Từ phương trình li độ dài: s = 10sin(2t)

Tại \[t = \frac{\pi }{6}s\], ta có

\[s = 10\sin \left( {2.\frac{\pi }{6}} \right) = 3\sqrt 3 cm\]

Thế năng tại thời điểm đó:

\[{{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}{s^2} = \frac{1}{2}0,{2.2^2}{\left( {5\sqrt 3 {{.10}^{ - 2}}} \right)^2} = {3.10^{ - 3}}J\]

Cơ năng của con lắc đơn:

\[{\rm{W}} = \frac{1}{2}m{\omega ^2}S_0^2 = \frac{1}{2}0,{2.2^2}{\left( {{{10.10}^{ - 2}}} \right)^2} = {4.10^{ - 3}}J\]

=>Động năng của  con lắc tại thời điểm đó:

\[{{\rm{W}}_d} = {\rm{W}} - {{\rm{W}}_t} = {4.10^{ - 3}} - {3.10^{ - 3}} = {10^{ - 3}}J\]

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Vận tốc của con lắc ở vị trí cân bằng là:

\[{v_{\max }} = \sqrt {2gl\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)} \]

\[ \Rightarrow \sqrt {2.10.1.\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)} = \frac{1}{3}\]

\[ \Rightarrow \cos {\alpha _0} = \frac{{179}}{{180}}\]

Lực căng cực đại và cực tiểu của dây treo là:

\[{T_{\max }} = mg\left( {3 - 2\cos {\alpha _0}} \right)\]

\[ \Rightarrow {T_{\max }} = 0,15.10.\left( {3 - 2.\frac{{179}}{{180}}} \right)\]

\[ \Rightarrow {T_{\max }} = 1,516\left( N \right)\]

\[{T_{\min }} = mg\left( {3c\cos {\alpha _0} - 2\cos {\alpha _0}} \right)\]

\[ \Rightarrow {T_{\min }} = 0,15.10.\left( {3.\frac{{179}}{{180}} - 2.\frac{{179}}{{180}}} \right)\]

\[ \Rightarrow {T_{\min }} = 1,491\left( N \right)\]

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Lực căng dây của con lắc là:

\[T = mg\left( {3\cos \alpha - 2\cos {\alpha _0}} \right) = mg\]

\[ \Rightarrow 3\cos \alpha - 2\cos {\alpha _0} = 1\]

\[ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{1 + 2\cos {\alpha _0}}}{3}\]

Ta có tỉ số:

\[\frac{{{{\rm{W}}_t}}}{{{{\rm{W}}_d}}} = \frac{{mg\left( {1 - \cos \alpha } \right)}}{{mgl\left( {\cos \alpha - \cos {\alpha _0}} \right)}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{{\rm{W}}_t}}}{{{{\rm{W}}_d}}} = \frac{{1 - \cos \alpha }}{{\cos \alpha - \cos {\alpha _0}}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{{\rm{W}}_t}}}{{{{\rm{W}}_d}}} = \frac{{1 - \frac{{1 + 2\cos {\alpha _0}}}{3}}}{{\frac{{1 + 2\cos {\alpha _0}}}{3} - \cos {\alpha _0}}}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{{\rm{W}}_t}}}{{{{\rm{W}}_d}}} = \frac{{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}\cos {\alpha _0}}}{{\frac{1}{3} - \frac{1}{3}\cos {\alpha _0}}} = 2\]

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

+ Khi động năng bằng thế năng:

_Wt = W – W_t

⇔ mgl.(1 − cosα₁) = mgl.(1 – cosα₀) − mgl.(1 – cosα₁)

_{⇔ 1 – cosα1} = cosα₁– cosα₀

\[ \Leftrightarrow \cos {\alpha _1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}.\cos {\alpha _0}\]

+ Khi độ lớn của lực căng dây treo bằng trọng lực tác động lên vật:

mg.(3cosα₂ − 2cosα₀) = mg

⇔ 3cosα₂ − 2cosα₀ = 1

\[ \Leftrightarrow \cos {\alpha _2} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3}.\cos {\alpha _0}\]

+ Suy ra:

\[\frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{\sqrt {2gl\left( {\cos {\alpha _1} - \cos {\alpha _0}} \right)} }}{{\sqrt {2gl\left( {\cos {\alpha _2} - \cos {\alpha _0}} \right)} }}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{\sqrt {\cos {\alpha _1} - \cos {\alpha _0}} }}{{\sqrt {\cos {\alpha _2} - \cos {\alpha _0}} }}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2} + \frac{1}{2}.\cos {\alpha _0} - \cos {\alpha _0}} }}{{\sqrt {\frac{1}{3} + \frac{2}{3}.\cos {\alpha _0} - \cos {\alpha _0}} }}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \frac{{\sqrt {\frac{1}{2}\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)} }}{{\sqrt {\frac{1}{3}\left( {1 - \cos {\alpha _0}} \right)} }}\]

\[ \Rightarrow \frac{{{v_1}}}{{{v_2}}} = \sqrt {\frac{3}{2}} \]

Đáp án cần chọn là: D

Trả lời:

Ta có, vận tốc của con lắc:

\[{v_{15^\circ }} = \pm \sqrt {2gl\left( {\cos \alpha - \cos {\alpha _0}} \right)} \]

\[ \Rightarrow {v_{15^\circ }} = \pm \sqrt {2.10.0,4\left( {\cos 15^\circ - \cos 30^\circ } \right)} \]

\[ \Rightarrow {v_{15^\circ }} = \pm 0,894m/s\]

Đáp án cần chọn là: A

Trả lời:

Từ phương trình li độ dài của con lắc đơn: s = 2cos7t

Ta có: Tần số góc của dao động: ω = 7(rad/s)

Mặt khác:

\[\omega = \sqrt {\frac{g}{l}} = 7\]

\[ \to l = \frac{9}{{{\omega ^2}}} = \frac{{9,8}}{{{7^2}}} = 0,2m\]

\[{s_0} = 2cm = 0,02m = l{\alpha _0}\]

\[ \to {\alpha _0} = 0,1rad = 5,73^\circ \]

+ Lực căng dây tại VTCB:

T = mg(3 − 2cosα0) ≈ 1,01mg

 \[ \to \frac{T}{P} = \frac{{1,01mg}}{{mg}} = 1,01\]

Đáp án cần chọn là: C

Trả lời:

Ta có: Thế năng và cơ năng của con lắc: 

\[{{\rm{W}}_t} = \frac{1}{2}mgl{\alpha ^2};{{\rm{W}}_d} = \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2\]

Khi

\[{{\rm{W}}_d} = {{\rm{W}}_t}\]

\[ \to {\rm{W}} = {{\rm{W}}_d}{\rm{ + }}{{\rm{W}}_t} = 2{W_t}\]

\[ \leftrightarrow \frac{1}{2}mgl{\alpha _0}^2 = 2.\frac{1}{2}mgl{\alpha ^2}\]

\[ \to \alpha = \pm \frac{{{\alpha _0}}}{{\sqrt 2 }}\]

Con lắc chuyển động nhanh dần theo chiều dương khi con lắc chuyển động từ biên âm về VTCB theo chiều dương (vùng 3)

\[ \Rightarrow \alpha = - \frac{{{\alpha _0}}}{{\sqrt 2 }}\]

Đáp án cần chọn là: B

Trả lời:

Gia tốc pháp tuyến: 

\[{a_n} = 2g\left( {\cos \alpha - \cos {\alpha _0}} \right)\]

Gia tốc tiếp tuyến: 

a_t= gsinα

Gia tốc tổng hợp:

\[a = \sqrt {a_n^2 + a_t^2} \]

\[ \Rightarrow a = g\sqrt {3{{\cos }^2}\alpha - 4\cos \alpha + 2} \]

\[ \Rightarrow {a_{\min }} \Leftrightarrow {\left[ {\left( {3{{\cos }^2}\alpha - 4\cos \alpha + 2} \right)} \right]_{\min }}\]

\[ \Rightarrow \cos \alpha = \frac{2}{3}\]

\[ \Rightarrow {a_{\min }} = g\sqrt {\frac{2}{3}} = 9,8\sqrt {\frac{2}{3}} = 8m/{s^2}\]

Đáp án cần chọn là: D