31 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản

Câu 1:

y = \frac{m x^{3}}{3} - m x^{2} + x - 1

có cực đại và cực tiểu.

A. $0 < m ⩽ 1.$

B. $[\begin{matrix} m < 0 \\ m > 1 \end{matrix}$

C. 0<m<1.

D.m<0.

Xem đáp án

TXĐ: $D = R$

TH1:

m = 0 \to y = x - 1.

Hàm số không có cực trị.

TH2: $m \neq 0$

Ta có:

y = \frac{m x^{3}}{3} - m x^{2} + x - 1 \Rightarrow y^{'} = m x^{2} - 2 m x + 1.

Để hàm số cho có cực đại, cực tiểu thì phương trình $y^{'} = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt

$\Rightarrow Δ' = m^{2} - m > 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m < 0 \\ m > 1 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 2:

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y = - x^{4} + 2 m x^{2}$ có 3 điểm cực trị ?

A.m < 0

B.m = 0

C.m > 0

D.

m ⩾ 0

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y = - x^{4} + 2 m x^{2} \Rightarrow y^{'} = - 4 x^{3} + 4 m x = - 4 x (x^{2} - m) \\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m \end{matrix} \end{array}$

Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình $y' = 0$ có ba nghiệm phân biệt hay phương trình $x^{2} = m$ có hai nghiệm phân biệt $\neq 0$ hay $m > 0$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 3:

Cho hàm số $y = 2 x^{4} - (m + 1) x^{2} - 2.$ Tất cả các giá trị của m để hàm số có 1 điểm cực trị là:

A.m > −1

B.m < −1

C.m = −1

D.

m ⩽ - 1

Xem đáp án

$y^{'} = 8 x^{3} - 2 (m + 1) x = 2 x [4 x^{2} - (m + 1)] \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ 4 x^{2} = m + 1 (1) \end{matrix}$

Ta có yêu cầu bài toán để hàm số có một điểm cực trị $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có 1 nghiệm duy nhất ⇔(1) có 1 nghiệm x = 0 hoặc (1) vô nghiệm $\Leftrightarrow m + 1 ⩽ 0 \Leftrightarrow m ⩽ - 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 4:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{m x^{2}}{3} + 4$ đạt cực đại tại x = 2?

A.m = 1

B.m = 2

C.m = 3

D.m = 4

Xem đáp án

TXĐ $D = ℝ$

$y^{'} = - x^{2} + \frac{2}{3} m x \Rightarrow y^{''} = - 2 x + \frac{2}{3} m$

Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 2

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} y' (2) = 0 \\ y'' (2) < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 2^{2} + \frac{2}{3} m .2 = 0 \\ - 2.2 + \frac{2}{3} m . < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} - 4 + \frac{4}{3} m = 0 \\ - 4 + \frac{2}{3} m < 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m = 3 \\ m < 6 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 3$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 5:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = x^{3} - 2 m x^{2} + m^{2} x + 2$ đạt cực tiểu tại x = 1.

A.m = 3

B. $m = 1 \lor m = 3$

C.m = −1

D.m = 1

Xem đáp án

TXĐ: $D = R$

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 4 m x + m^{2} \Rightarrow y^{''} = 6 x - 4 m$

Để x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số thì:

\{\begin{matrix} y' (1) = 0 \\ y'' (1) > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m^{2} - 4 m + 3 = 0 \\ 6 - 4 m > 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m = 1; m = 3 \\ m < \frac{3}{2} \end{matrix} \Leftrightarrow m = 1.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 6:

Đồ thị hàm số $y = x^{3} - (3 m + 1) x^{2} + (m^{2} + 3 m + 2) x + 3$ có điểm cực tiểu và điểm cực đại nằm về hai phía của trục tung khi:

A.1 < m < 2

B.−2 < m < −1

C.2 < m < 3

D.−3 < m < −2

Xem đáp án

$y = x^{3} - (3 m + 1) x^{2} + (m^{2} + 3 m + 2) x + 3$

$y^{'} = 3 x^{2} - (6 m + 2) x + m^{2} + 3 m + 2$

Để cực tiểu và cực đại của đồ thị hàm số y nằm về hai phía của trục tung thì $x_{1} x_{2} < 0,$ với $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $y' = 0$ .

$\Leftrightarrow 3 (m^{2} + 3 m + 2) < 0 \Leftrightarrow m^{2} + 3 m + 2 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < - 1$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Cho hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (2 m - 4) x - 3.

. Tìm mm để hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu

x_{1}; x_{2}

thỏa mãn:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} . x_{2} + 10

A.m = 1

B. $m = \frac{1}{2}$

C. $m = 1; m = \frac{1}{2}$

D. $m = 3$

Xem đáp án

$y^{'} = x^{2} - 2 m x + 2 m - 4$

Để hàm số có cực đại cực tiểu $\Leftrightarrow > 0, \forall m \Leftrightarrow m^{2} - 2 m + 4 > 0, \forall m$

Khi đó phương trình

y^{'} = 0

có hai nghiệm

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 2 m \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = 2 m - 4 \end{matrix}

Ta có:

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1} . x_{2} + 10

\Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} - x_{1} x_{2} - 10 = 0

\Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3 x_{1} x_{2} - 10 = 0

\Leftrightarrow {(2 m)}^{2} - 3. (2 m - 4) - 10 = 0

\Leftrightarrow 4 m^{2} - 6 m + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 1 \\ m = \frac{1}{2} \end{matrix}

Đáp án cần chọn là: C

Câu 8:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 m x + 1.$ . Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nhỏ hơn 2

A. $m < - 2$

B. $m > 4$

C. $0 < m < 1$

D. $. - 1 < m < 2$

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x + 3 m$

Hàm số có 2 điểm cực trị nhỏ hơn 2 ⇔y′ có 2 nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thoả mãn

$x_{1} < x_{2} < 2 \Leftrightarrow \{\begin{matrix} Δ' > 0 \\ a . f (2) > 0 \\ \frac{S}{2} < 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 9 - 9 m > 0 \\ 3. ({3.2}^{2} - 6.2 + 3 m) > 0 \\ 1 < 2 (\forall m) \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m < 1 \\ m > 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow 0 < m < 1$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 9:

Tìm m để (Cm) : $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 2$ có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

A.m = −4

B.m = −1

C.m = 1

D.m = 3

Xem đáp án

Ta có: $y' = 4 x^{3} - 4 m x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m \end{matrix}$

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ pt $y^{'} = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m > 0$

$\Rightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \sqrt{m} \\ x = - \sqrt{m} \end{matrix}$

⇒ Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là: $A (0; 2); B (- \sqrt{m}; 2 - m^{2}); C (\sqrt{m}; 2 - m^{2})$

$\vec{A B} = (- \sqrt{m}; - m^{2}), \vec{A C} = (\sqrt{m}; - m^{2})$

Dễ thấy $Δ A B C$ cân tại A, để $Δ A B C$ vuông cân thì nó phải vuông tại A

$\Rightarrow \vec{A B} . \vec{A C} = 0 \Leftrightarrow - m + m^{4} = 0 \Leftrightarrow m (m^{3} - 1) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ m^{3} - 1 = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ m = 1 \end{matrix}$

Kết hợp điều kiện m > 0 ta có m = 1

Đáp án cần chọn là: C

Câu 10:

Cho hàm số $y = x^{4} + 2 (1 - m^{2}) x^{2} + m + 1.$ Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng $4 \sqrt{2}$ là

A. $m = \sqrt[3]{3}$

B. $m = - 1$

C. $m = \pm \sqrt[]{3}$

D. $m = 5$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y' = 4 x^{3} + 4 (1 - m^{2}) x \\ y' = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} + 4 (1 - m^{2}) x = 0 \Leftrightarrow 4 x (x^{2} + 1 - m^{2}) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x^{2} = m^{2} - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{m^{2} - 1} \end{matrix} \end{array}$

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: $m^{2} - 1 > 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m > 1 \\ m < - 1 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow A (0; m + 1) \\ x = - \sqrt{m^{2} - 1} \Rightarrow y = {(- \sqrt{m^{2} - 1})}^{4} + 2 (1 - m^{2}) {(- \sqrt{m^{2} - 1})}^{2} + m + 1 \\ \Rightarrow y = {(m^{2} - 1)}^{2} - 2 {(m^{2} - 1)}^{2} + m + 1 = - {(m^{2} - 1)}^{2} + m + 1 \\ \Rightarrow B (- \sqrt{m^{2} - 1}; - {(m^{2} - 1)}^{2} + m + 1) \\ x = \sqrt{m^{2} - 1} \Rightarrow C (\sqrt{m^{2} - 1}; - {(m^{2} - 1)}^{2} + m + 1) \end{array}$

$\begin{array}{l} S_{A B C} = 4 \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2} A H . B C = 4 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow |y_{A} - y_{C}| . |H C| = 4 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow |y_{A} - y_{C}| . |x_{C}| = 4 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow |m + 1 + {(m^{2} - 1)}^{2} - m - 1| . \sqrt{m^{2} - 1} = 4 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow {(m^{2} - 1)}^{2} . \sqrt{m^{2} - 1} = 4 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow {(m^{2} - 1)}^{5} = 32 \Leftrightarrow m^{2} - 1 = 2 \Leftrightarrow m^{2} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt{3} \end{array}$

$m = \pm \sqrt{3}$ thỏa mãn điều kiện $[\begin{matrix} m > 1 \\ m < - 1 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 11:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m^{2} + m .$ . Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác có một góc 120^o là:

A. $m = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

B. $m = 0; m = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

C. $m = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

D. $m = 1$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} y' = 4 x^{3} - 4 m x \\ y' = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 4 m x = 0 \Leftrightarrow 4 x (x^{2} - m) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{m} \end{matrix} \end{array}$

Điều kiện để hàm số có 3 cực trị: m > 0

$\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow A (0; m^{2} + m) \\ x = - \sqrt{m} \Rightarrow y = {(- \sqrt{m})}^{4} - 2 m {(- \sqrt{m})}^{2} + m^{2} + m \\ = m^{2} - 2 m^{2} + m^{2} + m = m \Rightarrow B (- \sqrt{m}; m) \\ x = \sqrt{m} \Rightarrow C (\sqrt{m}; m) \end{array}$

$\begin{array}{l} \vec{A B} = (- \sqrt{m}; - m^{2}), \vec{A C} = (\sqrt{m}; - m^{2}) \\ \hat{B A C} = 120^{0} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{\vec{A B} . \vec{A C}}{|\vec{A B}| . |\vec{A C}|} = c o s 120^{0} \\ \Leftrightarrow \frac{- m + m^{4}}{\sqrt{m + m^{4}} . \sqrt{m + m^{4}}} = - \frac{1}{2} \\ \Leftrightarrow 2 (m^{4} - m) = - (m + m^{4}) \\ \Leftrightarrow 3 m^{4} - m = 0 \\ \Leftrightarrow m (3 m^{3} - 1) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 (l o a i) \\ m = \frac{1}{\sqrt[3]{3}} \end{matrix} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Hãy lập phương trình đường thẳng (d) đi qua các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số

y = x^{3} + 3 m x^{2} - 3 x

A. $y = m x + 3 m - 1$

B. $y = - 2 (m^{2} + 1) x + m$

C. $y = (2 m^{3} - 2) x$

D. $y = - 2 x + 2 m$

Xem đáp án

Có: $y (x) = x^{3} + 3 m x^{2} - 3 x \Rightarrow y^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 m x - 3$

Phương trình đường thẳng d đi qua 2 cực trị của (C) nên $(x_{o}; y_{o}) \in d$ thỏa mãn:

$\begin{array}{l} \{\begin{matrix} y' (x_{o}) = 0 \\ y_{o} = x_{0}^{3} + 3 m x_{0}^{2} - 3 x_{o} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} 3 x_{0}^{2} + 6 m x_{o} - 3 = 0 \\ y_{o} = x_{o} (x_{0}^{2} + 2 m_{o}^{2}) - 3 x_{0} + m x_{0}^{2} \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{0}^{2} + 2 m x_{o} = 1 \\ y_{o} = - 2 x_{o} + m x_{o}^{2} \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{o}^{2} = - 2 m x_{o} + 1 \\ y_{o} = - 2 x_{o} + m (- 2 m x_{o} + 1) \end{matrix} \\ \Rightarrow y_{o} = - 2 (m^{2} + 1) x_{o} + m \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13:

Cho hàm số $y = 2 x^{3} - 3 (m + 1) x^{2} + 6 m x .$ . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A,B sao cho đường thẳng AB vuông góc với $d : x - y - 9 = 0$

A.m = 0

B.m = −1

C.m = 0; m = 2

D.m = 1; m = 2

Xem đáp án

$y^{'} = 6 x^{2} - 6 (m + 1) x + 6 m$

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B ⇔ phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow = 9 {(m + 1)}^{2} - 36 m > 0 \Leftrightarrow 9 m^{2} - 18 m + 9 > 0 \Leftrightarrow 9 {(m - 1)}^{2} > 0 \Leftrightarrow m \neq 1$

Khi đó,

$y = y^{'} . (\frac{1}{3} x - \frac{m + 1}{6}) + [4 m - {(m + 1)}^{2}] x + m (m + 1)$

Đường thẳng $A B : y = [4 m - {(m + 1)}^{2}] x + m (m + 1)$ có hệ số góc $k = 4 m - {(m + 1)}^{2}$

Đường thẳng $d : y = x - 9$ có hệ số góc $k = 1$

$\begin{array}{l} A B ⊥ d \\ \Leftrightarrow [4 m - {(m + 1)}^{2}] .1 = - 1 \\ \Leftrightarrow 4 m - m^{2} - 2 m - 1 = - 1 \\ \Leftrightarrow - m^{2} + 2 m = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ m = 2 \end{matrix} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 14:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên, một hàm số g(x) xác định theo f(x) có đạo hàm $g' (x) = f (x) + m$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mm để hàm số g(x) có duy nhất một cực trị.

Media VietJack

A.−4 < m < 0

B. $m ⩾ 0$ hoặc $m ⩽ - 4$

C.m > 0 hoặc m < −4

D. $- 4 ⩽ m ⩽ 0$

Xem đáp án

Hàm số g(x) có duy nhất một cực trị $\Leftrightarrow p t g^{'} (x) = 0$ có đúng một nghiệm $x_{0}$ thỏa mãn g′(x) đổi dấu qua nghiệm đó.

Theo đề bài ta có: $g^{'} (x) = f (x) + m$

$\Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow f (x) + m = 0 \Leftrightarrow f (x) = - m$ =>Số nghiệm của pt $g' (x) = 0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = −m.

Quan sát đồ thị ta thấy đường thẳng y = −m cắt đồ thị hàm số y = f(x)) tại một điểm duy nhất

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} - m < 0 \\ - m > 4 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m > 0 \\ m < - 4 \end{matrix}$

Ngoài ra, với m = 0 hoặc m = −4 thì đồ thị hàm số $y = f (x)$ có hai điểm chung với đường thẳng $y = m$ nhưng một điểm là điểm tiếp xúc nên phương trình $g' (x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm kép và một nghiệm đơn.

Nên trong trường hợp này, hàm số $y = g (x)$ vẫn chỉ có một cực trị.

Vậy $m \geq 0$ hoặc $m \leq - 4$ .

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15:

Cho hàm số

y = x^{3} + 6 x^{2} + 3 (m + 2) x - m - 6

với mm là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có hai điểm cực trị

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

x_{1} < - 1 < x_{2}

A.m > 1

B.m < 1

C.m > −1

D.m < −1

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 3 x^{2} + 12 x + 3 (m + 2) = 3 [x^{2} + 4 x + (m + 2)] .$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$

- Hàm số có hai điểm cực trị

\Leftrightarrow = 4 - (m + 2) = 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2

Hai điểm cực trị thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2}$ ⇔ phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow y^{'} (- 1) < 0 \Leftrightarrow m < 1.$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 16:

Cho hàm số $y = 2 x^{3} + m x^{2} - 12 x - 13$ với m là tham số thực. Tìm giá trị của mm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn khoảng cách từ chúng đến trục tung bằng nhau.

A.m = 2

B.m = −1

C.m = 1

D.m = 0

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = 6 x^{2} + 2 m x - 12.$

Do $∆' = m^{2} + 72 > 0, \forall m \in ℝ$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị $x_{1}, x_{2}$ với $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $y^{'} = 0$ .

Theo định lí Viet, ta có $x_{1} + x_{2} = - \frac{m}{3} .$

Gọi $A (x_{1}; y_{1})$ và $B (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow |x_{1}| = |x_{2}| \Leftrightarrow x_{1} = - x_{2}$ (do $x_{1} \neq x_{2}$ )

$\Leftrightarrow x_{1} + x_{2} = 0 \Leftrightarrow - \frac{m}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0.$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 17:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 m x^{2} + 4 m^{2} - 2$ với m là tham số thực. Tìm giá trị của mm để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho I(1;0) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

A.m = 0

B.m = −1

C.m = 1

D.m = 2.

Xem đáp án

Ta có: $y' = 3 x^{2} - 6 m x = 3 x (x - 2 m); y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = 2 m \end{matrix}$

Đề đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow m \neq 0$

Khi đó tọa độ hai điểm cực trị là $A (0; 4 m^{2} - 2)$ và $B (2 m; 4 m^{2} - 4 m^{3} - 2)$

Do I(1;0) là trung điểm của AB nên $\{\begin{matrix} x_{A} + x_{B} = 2 x_{I} \\ y_{A} + y_{B} = 2 y_{I} \end{matrix}$

$\{\begin{matrix} 0 + 2 m = 2 \\ (4 m^{2} - 2) + (4 m^{2} - 4 m^{3} - 2) = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow m = 1$ thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 18:

Gọi $m_{0}$ là giá trị của mm thỏa mãn đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + m x - 5}{x^{2} + 1}$ có hai điểm cực trị A,B sao cho đường thẳng A,B đi qua điểm I(1;−3). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $0 < m_{0} \leq 3$

B. $- 5 < m_{0} \leq - 3$

C. $- 3 < m_{0} \leq 0$

D. $3 < m_{0} \leq 5$

Xem đáp án

TXĐ: $D = ℝ$

Ta có $y = \frac{x^{2} + m x - 5}{x^{2} + 1} = 1 + \frac{m x - 6}{x^{2} + 1}$

Suy ra $y^{'} = \frac{m (x^{2} + 1) - 2 x (m x - 6)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{- m x^{2} + 12 x + m}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Để hàm số đã cho có hai cực trị thì phương trình $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt hay $- m x^{2} + 12 x + m = 0$ có hai nghiệm phân biệt. Ta có $∆' = 36 + m^{2} > 0; \forall m$ nên hàm số luôn có hai cực trị.

Phương trình đường thẳng AB qua hai điểm cực trị là

$y = \frac{2 (- m) x - 4. (- 5)}{- 4} = \frac{m}{2} x - 5$

Đường thẳng AB qua điểm I(1;−3) nên $- 3 = \frac{m}{2} .1 - 5 \Leftrightarrow m = 4$

Suy ra $m_{0} = 4$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19:

Hàm số $f (x) = |\frac{x}{x^{2} + 1} - m|$ (với m là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A.2

B.3

C.5

D.4

Xem đáp án

Hàm số $f (x) = |\frac{x}{x^{2} + 1} - m|$ có TXĐ $D = ℝ$

Xét hàm số $g (x) = \frac{x}{x^{2} + 1} - m$ ta có:

$g^{'} (x) = \frac{x^{2} + 1 - x .2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

⇒ Hàm số $y = g (x)$ có 2 điểm cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$\frac{x}{x^{2} + 1} - m = 0 \Leftrightarrow \frac{x - m (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = 0 \Leftrightarrow - m x^{2} + x - m = 0$ , phương trình có $Δ = 1 - 4 m^{2}$ chưa xác định dấu nên có tối đa 2 nghiệm.

Vậy hàm số $f (x) = |\frac{x}{x^{2} + 1} - m|$ có tối đa $2 + 2 = 4$ cực trị.

Đáp án cần chọn là: D

Câu 20:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = m x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m x - m - 1$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành.

A.3

B.2

C.1

D.4

Xem đáp án

Để đồ thị hàm số $y = m x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m x - m - 1$ có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình $m x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m x - m - 1 = 0 (*)$ phải có 3 nghiệm phân biệt.

Ta có:

$\begin{array}{l} m x^{3} - (2 m - 1) x^{2} + 2 m x - m - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 1) [m x^{2} - (m - 1) x + m + 1] = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \\ m x^{2} - (m - 1) x + m + 1 = 0 (* *) \end{matrix} \end{array}$

Để (*) có ba nghiệm phân biệt thì (**) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ m .1 - (m - 1) .1 + m + 1 \neq 0 \\ Δ = {(m - 1)}^{2} - 4 m (m + 1) > 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ m - m + 1 + m + 1 \neq 0 \\ m^{2} - 2 m + 1 - 4 m^{2} - 4 m > 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ m \neq - 2 \\ - 3 m^{2} - 6 m + 1 > 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ m \neq - 2 \\ \frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{3} < m < \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3} \end{matrix} \end{array}$

Mà $m \in ℤ \Rightarrow m = - 1$

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 21:

Cho hàm số $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + m x^{2} + (m^{2} - 4) x + 1$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mm để hàm số $y = f (| x |)$ có đúng 3 điểm cực trị?

A.5

B.3

C.4

D.1

Xem đáp án

Bước 1:

Số điểm cực trị của hàm số $y = f (|x|)$ là $2 m + 1$ trong đó m là số điềm cực trị dương của hàm số $y = f (x)$

Do đó để hàm số $y = f (|x|)$ có đúng 3 điểm cực trị thì m=1⇒ hàm số $y = f (x)$ phải có 1 điểm cực trị dương (*).

Bước 2:

Ta có: $f^{'} (x) = x^{2} + 2 m x + m^{2} - 4$

Xét $f^{'} (x) = 0$ có $∆' = m^{2} - m^{2} + 4 > 0 \forall m$ nên $f^{'} (x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt

$[\begin{matrix} x_{1} = - m + 2 \\ x_{2} = - m - 2 \end{matrix}$

Bước 3:

$(*) \Rightarrow - m - 2 \leq 0 < - m + 2 \Leftrightarrow - 2 \leq m < 2$

Mà $m \in ℤ \Rightarrow m \in \{- 2; - 1; 0; 1\}$

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22:

Gọi k là số giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + (m^{2} - 8 m + 16) x - 31$ có cực trị. Tìm k.

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = x^{2} - 2 x + m^{2} - 8 m + 16$

Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình $y^{'} = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt.

$\begin{array}{l} \Rightarrow Δ' = 1 - m^{2} + 8 m - 16 > 0 \\ \Leftrightarrow - m^{2} + 8 m - 15 > 0 \\ \Leftrightarrow 3 < m < 5 \end{array}$

Mà $m \in ℤ \Rightarrow m = 4$

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

=>k = 1

Câu 23:

Cho hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + 3 m + 2.$ Tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị tạo thành tam giác đều là:

A. $m = \sqrt[3]{3}$

B. $m = 0$

C. $m = - \sqrt[3]{3}$

D. $m = 3$

Xem đáp án

Hàm số $y = f (x)$ có 3 cực trị

⇔ $y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt

⇔(1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

⇔m > 0.

Gọi 3 điểm cực trị của hàm số lần lượt là $A (0; a); B (- \sqrt{m}; b); C (\sqrt{m}; c)$ Khi đó:

+) x = 0 \Rightarrow A (0; 3 m + 2)

\begin{array}{l} +) x = - \sqrt{m} \Rightarrow y = {(- \sqrt{m})}^{4} - 2 m . {(- \sqrt{m})}^{2} + 3 m + 2 \\ = m^{2} - 2 m^{2} + 3 m + 2 \\ = - m^{2} + 3 m + 2 \Rightarrow B (- \sqrt{m}; - m^{2} + 3 m + 2) \end{array}

\begin{array}{l} +) x = \sqrt{m} \Rightarrow y = - m^{2} + 3 m + 2 \\ \Rightarrow C (\sqrt{m}; - m^{2} + 3 m + 2) \end{array}

Ta luôn có $A B = A C$ nên tam giác ABC đều

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow A B = B C \Leftrightarrow A B^{2} = B C^{2} \\ \Leftrightarrow {(\sqrt{m})}^{2} + {(- m^{2})}^{2} = {(2 \sqrt{m})}^{2} + 0^{2} \\ \Leftrightarrow m + m^{4} = 4 m \\ \Leftrightarrow m^{4} - 3 m = 0 \\ \Leftrightarrow m (m^{3} - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ m = \sqrt[3]{3} \end{matrix} \end{array}$

Kết hợp điều kiện $m > 0 \Rightarrow m = \sqrt[3]{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 24:

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = ∣ 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m ∣$ có 5 điểm cực trị?

A.26.

B.27.

C.16.

D.28.

Xem đáp án

Xét hàm số $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2}$ ta có

$\begin{array}{l} f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x \\ f' (x) = 0 \Leftrightarrow 12 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = 2 \end{matrix} \end{array}$

BBT:

Media VietJack

Ta có đồ thị $y = f (x) (C)$ như sau:

Media VietJack

Để $y = |3 x^{4} - 4 x^{3} - 12 x^{2} + m|$ có 5 điểm cực trị thì:

TH1: (C) cắt đường thẳng y = −m tại 2 điểm phân biệt khác cực trị

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} - m > 0 \\ - 32 < - m < - 5 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m < 0 \\ 5 < m < 32 \end{matrix}$

Mà $m \in ℤ^{+} \Rightarrow m \in \{6; 7; ...; 31\}$ 26 giá trị.

TH2: (C) cắt đường thẳng y = −m tại 3 điểm phân biệt, trong đó có 1 cực trị

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} - m = 0 \\ - m = - 5 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 (L) \\ m = 5 (T M) \end{matrix}$

Vậy, có tất cả 27 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 25:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + m x + 2 m}{x + 1}$ có hai điểm cực trị A,B và tam giác OAB vuông tại O. Tổng tất cả các phần tử của S là:

A.9.

B.1.

C.4.

D.5.

Xem đáp án

ĐKXĐ: $D = ℝ ∖ \{- 1\}$

Ta có: $y = \frac{x^{2} + m x + 2 m}{x + 1} = x + m - 1 + \frac{m + 1}{x + 1}$

$\Rightarrow y^{'} = 1 - \frac{m + 1}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 x - m}{{(x + 1)}^{2}}$

Để hàm số đã cho có 2 cực trị thì phương trình

y^{'} = 0

phải có 2 nghiệm phân biệt khác −1

\Leftrightarrow \{\begin{matrix} Δ' = 1 + m > 0 \\ 1 - 2 - m \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m > - 1 \\ m \neq - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow m > - 1

Khi đó, giả sử $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm phân biệt của phương trình $y^{'} = 0$ , áp dụng định lí Vi-ét ta có $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - 2 \\ x_{1} . x_{2} = - m \end{matrix}$

Đặt $A (x_{1}; x_{1} + m - 1 + \frac{m + 1}{x_{1} + 1}), B (x_{2}; x_{2} + m - 1 + \frac{m + 1}{x_{2} + 1})$ là hai điểm cực trị của hàm số.

Để tam giác OAB vuông tại O thì $\vec{O A} . \vec{O B} = 0$

$\Leftrightarrow x_{1} . x_{2} + (x_{1} + m - 1 + \frac{m + 1}{x_{1} + 1}) (x_{2} + m - 1 + \frac{m + 1}{x_{2} + 1}) = 0$

$\Leftrightarrow 2 x_{1} . x_{2} + (m - 1) (x_{1} + x_{2}) + (m + 1) (\frac{x_{1}}{x_{2} + 1} + \frac{x_{2}}{x_{1} + 1})$

$+ {(m - 1)}^{2} + (m^{2} - 1) (\frac{1}{x_{1} + 1} + \frac{1}{x_{2} + 1}) + \frac{{(m + 1)}^{2}}{(x_{1} + 1) (x_{2} + 1)} = 0$

$\Leftrightarrow 2 x_{1} . x_{2} + (m - 1) (x_{1} + x_{2}) + (m + 1) \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}$

$+ {(m - 1)}^{2} + (m^{2} - 1) \frac{x_{1} + x_{2} + 2}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1} + \frac{{(m + 1)}^{2}}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}$

$x_{1} . x_{2} + (m - 1) (x_{1} + x_{2}) + (m + 1) \frac{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{1} + x}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}$

$+ {(m - 1)}^{2} + (m^{2} - 1) \frac{x_{1} + x_{2} + 2}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1} + \frac{{(m + 1)}^{2}}{x_{1} x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1}$

$\Leftrightarrow - 2 m - 2 (m - 1) + (m + 1) . \frac{2 + 2 m}{- m - 1} + {(m - 1)}^{2} + \frac{{(m + 1)}^{2}}{- m - 1} = 0$

$\Leftrightarrow - 2 m - 2 m + 2 - 2 - 2 m + m^{2} - 2 m + 1 - m - 1 = 0$

$\Leftrightarrow m^{2} - 9 m = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 \\ m = 9 \end{matrix} (t m)$

$\Rightarrow S = \{0; 9\}$

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là 9.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 26:

Cho hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - a x^{2} - 3 a x + 4$ . Để hàm số đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $\frac{x_{1}^{2} + 2 a x_{2} + 9 a}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{x_{2}^{2} + 2 a x_{1} + 9 a} = 2$ thì a thuộc khoảng nào ?

A. $a \in (- 3; - \frac{5}{2})$

B. $a \in (- 5; - \frac{7}{2})$

C. $a \in (- 2; - 1)$

D. $a \in (- \frac{7}{2}; - 3)$

Xem đáp án

Đạo hàm : $y^{'} = x^{2} - 2 a x - 3 a, y^{'} = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 a x - 3 a = 0 (1)$

Hàm số có hai cực trị $x_{1}, x_{2}$ khi $y^{'} = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow > 0 \Leftrightarrow a < - 3$ hoặc a > 0

Khi đó $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm pt (1), theo định lý Viet : $\{\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = 2 a \\ x_{1.} x_{2} = - 3 a \end{matrix}$

Do đó, thay $\{\begin{matrix} 2 a = x_{1} + x_{2} \\ 3 a = - x_{1} . x_{2} \end{matrix}$ vào đẳng thức bài cho ta được:

$\{\begin{matrix} \begin{array}{l} x_{1}^{2} + 2 a x_{2} + 9 a = x_{1}^{2} + (x_{1} + x_{2}) x_{2} - 3 x_{1} x_{2} = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2} \\ = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 4 a^{2} + 12 a \end{array} \\ \begin{array}{l} x_{1}^{2} + 2 a x_{1} + 9 a = x_{1}^{2} + (x_{1} + x_{2)} x_{1} - 3 x_{1} x_{2} \\ = x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 4 a^{2} + 12 a \end{array} \end{matrix}$

Theo đề bài, ta có : $\frac{4 a + 12}{a} + \frac{a}{4 a + 12} = 2 \Leftrightarrow \frac{4 a + 12}{a} = 1 \Leftrightarrow a = - 4$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 27:

Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m^{2} x^{2} + m^{4} + 3$ có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành một tứ giác nội tiếp.

A. $S = \{\frac{- 1}{\sqrt{3}}; 0; \frac{1}{\sqrt{3}}\}$

B. $S = \{- 1; 1\}$

C. $S = \{\frac{- 1}{\sqrt{3}}; \frac{1}{\sqrt{3}}\}$

D. $S = \{\frac{- 1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Xem đáp án

$y^{'} = 4 x^{3} - 4 m^{2} x; y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm m \end{matrix}$

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình $y^{'} = 0$ có 3 nghiệm, hay $m \neq 0$

Không mất tính tổng quát giả sử 3 điểm cực trị có tọa độ

A (0; m^{4} + 3), B (m; 3), C (- m; 3)

Ta có $\vec{A C} (- m; - m^{4}); \vec{O C} (- m; 3)$

Tứ giác OBAC có $\{\begin{matrix} A B = A C \\ O B = O C \end{matrix}$

Suy ra OA là đường trung trực của BC.

Để tứ giác OBAC nội tiếp đường tròn thì điểm B, C phải nhìn cạnh OA dưới góc $90^{\circ}$

Khi đó $\vec{A C} . \vec{O C} = 0 \Leftrightarrow m^{2} - 3 m^{4} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 0 : L \\ m = \pm \sqrt{\frac{1}{3}} : T / m \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 28:

Cho hàm số $y = {(x - m)}^{3} - 3 x + m^{2}$ có đồ thị là (Cm) với m là tham số thực. Biết điểm M(a;b) là điểm cực đại của (Cm) ứng với một giá trị m thích hợp, đồng thời là điểm cực tiểu của (Cm) ứng với một giá trị khác của m. Tổng $S = 2018 a + 2020 b$ bằng

A.504.

B.−504.

C.12504.

D.5004.

Xem đáp án

Vì điểm M(a;b) thuộc đồ thị (Cm) nên ta có: ${(a - m)}^{3} - 3 a + m^{2} = b, \forall m \in ℝ (1)$

Xét $y^{'} = 3 {(x - m)}^{2} - 3; y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = m - 1 \\ x = m + 1 \end{matrix}$

Bảng biến thiên

Media VietJack

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Nếu $m_{1}$ là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận điểm M(a;b) là điểm cực đại thì $a = m_{1} - 1$ . Nếu $m_{2}$ là giá trị của tham số m để đồ thị hàm số nhận điểm M(a;b) là điểm cực tiểu thì $a = m_{2} + 1$

Do đó $m_{1} = a + 1, m_{2} = a - 1$

Mà $m_{1}, m_{2}$ phải thỏa mãn (1)nên ta có: $\{\begin{matrix} - 1 - 3 a + {(a + 1)}^{2} = b \\ 1 - 3 a + {(a - 1)}^{2} = b \end{matrix} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} a = \frac{1}{2} \\ b = - \frac{1}{4} \end{matrix}$

Vậy $S = 2018 a + 2020 b = 504$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 29:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m x^{2} + m - 1$ có ba điểm cực trị. Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.

A. $[\begin{matrix} m = 1 \\ m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \end{matrix}$

B. m =1

C. $[\begin{matrix} m = 1 \\ m = \pm \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \end{matrix}$

D. $m = \pm \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ$

Ta có $y^{'} = 4 x^{3} - 4 m x = 4 x (x^{2} - m)$

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị $\Leftrightarrow m \geq 0$

Khi đó: $y' = 4 m x^{3} - 4 m x = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{m} \end{matrix}$

Suy ra: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là

A (0; m - 1), B (- \sqrt{m}; - m^{2} + m - 1), C (\sqrt{m}; - m^{2} + m - 1)

Ta có:

S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} |y_{B} - y_{A}| . |x_{C} - x_{B}| = m^{2} \sqrt{m}

A B = A C = \sqrt{m^{4} + m}, B C = 2 \sqrt{m}

Gọi R=1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{Δ A B C} = \frac{A B . A C . B C}{4 R} = \frac{2 \sqrt{m} (m^{4} + m)}{4}$

$m^{2} \sqrt{m} = \frac{2 \sqrt{m} (m^{4} + m)}{4} \Leftrightarrow 2 m = m^{3} + 1$

$\Leftrightarrow (m - 1) (m^{2} + m - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 1 \\ m^{2} + m - 1 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} m = 1 \\ m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \\ m = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} (l) \end{matrix}$

Vậy: $m = 1$ hoặc $m = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$
Đáp án cần chọn là: A

Câu 30:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = x^{8} + (m - 2) x^{5} - (m 2 - 4) x^{4} + 1$ đạt cực tiểu tại x = 0?

A.3.

B.5

C.4

D.Vô số.

Xem đáp án

Ta có

$y' = x^{3} [8 x^{4} + 5 x (m - 2) - 4 (m^{2} - 4)] = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 0 \\ g (x) = 8 x^{4} + 5 x (m - 2) - 4 (m^{2} - 4) = 0 \end{matrix}$

Do $x = 0$ là một nghiệm của đạo hàm nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ ⇔y′ đổi dấu từ − sang + khi qua nghiệm $x = 0$

*) TH1: $x = 0$ là nghiệm của g(x) hay $m = \pm 2$

Với m = 2 thì $g (x) = 0$ có nghiệm $x = 0$ bội 4 theo kết quả ở trên thì $x = 0$ là nghiệm bội 7 của y′ nên $x = 0$ là điểm cực tiểu của hàm số nên chọn $m = 2$ .

Với $m = - 2$ thì g(x) có nghiệm $x = 0$ và 1 nghiệm dương, lúc này $x = 0$ là nghiệm bội 4 của f′(x) nên $x = 0$ không là điểm cực trị của hàm số. Loại $m = - 2$

*) TH2: $x = 0$ không là nghiệm của g(x) hay $m \neq \pm 2$ . Ta có $g (0) = - 4 (m^{2} - 4)$

$y^{'} = x^{3} g (x)$ đổi dấu từ − sang + qua nghiệm $x = 0$ khi và chỉ khi $\{\begin{matrix} \underset{x \to 0^{+}}{l i m} g (x) > 0 \\ \underset{x \to 0 -}{l i m} g (x) > 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow - 4 (m^{2} - 4) > 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2$

Do m nguyên nên $m \in \{- 1; 0; 1\}$

Kết hợp hai trường hợp ta được $m \in \{- 1; 0; 1; 2\}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 31:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 2$ thỏa mãn $\{\begin{matrix} a + b > 1 \\ 3 + 2 a + b < 0 \end{matrix}$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (| x |)|$ bằng:

A.5

B.9

C.2

D.1

Xem đáp án

Ta có: $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x - 2$

$+) f (0) = - 2 < 0; f (1) = a + b - 1 > 0$ nên $f (0) . f (1) < 0$

⇒ phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất 11 nghiệm $x_{1} \in (0; 1)$

$+) f (2) = 2 (3 + 2 a + b) < 0$ nên $f (1) . f (2) < 0$

⇒ phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm $x_{2} \in (1; 2)$

Do đó phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất hai nghiệm và đồ thị hàm số
chỉ có thể có dạng:

Media VietJack

Khi đó, đồ thị hàm số $y = f (|x|)$ (màu tím) và $y = |f (|x|)|$ (màu cam) lần lượt có đồ thị như sau:

Media VietJack

Như vậy, hàm số $y = |f (|x|)|$ có tất cả 11 cực trị.

Đáp án cần chọn là: D

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản

Bài toán cực trị có tham số đối với một số hàm số cơ bản

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương