Thứ sáu, 29/03/2024
IMG-LOGO

Thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp

  • 223 lượt thi

  • 37 câu hỏi

  • 30 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho khối chóp có thể tích V, diện tích đáy là S và chiều cao h. Chọn công thức đúng:

Xem đáp án

Công thức tính thể tích khối chóp V=13Sh

Đáp án cần chọn là: C


Câu 2:

Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó:
Xem đáp án

Phép vị tự tỉ số k > 0 biến khối chóp có thể tích V thành khối chóp có thể tích V′. Khi đó V'V=k3

Đáp án cần chọn là: D


Câu 3:

Cho khối chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA,SB,SC lần lượt lấy các điểm A′,B′,C′. Khi đó:

Xem đáp án

Nếu A',B',C' là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh SA,SB,SC của hình chóp tam giác S.ABC. Khi đó:

VS.A'B'C'VS.ABC=SA'SA.SB'SB.SC'SC

Đáp án cần chọn là: D


Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A và D thỏa mãn SAABCD  AB=2AD=2CD=2a=2SA. Thể tích khối chóp S.BCD là:

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có: SABCD=12AB+CD.AD=122a+aa=3a22

SΔABD=12AD.AB=12a.2a=a2
SBCD=SABCDSABD=3a22a2=a22SA=2a2=a2
VS.BCD=13SA.SBCD=13a2.a22=a326

Đáp án cần chọn là: B


Câu 6:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC?

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABC

Vì chóp S.ABC đều nên SOABC

OA là hình chiếu vuông góc của SA lên (ABC)

SA;ABC^=SA;OA^=SAO^=600

SOABCSOOAΔSAO vuông tại O

Gọi D là trung điểm của BC ta có: AD=a32AO=23AD=23a32=a33

SO=AO.tan60=a33.3=a

Vì tam giác ABC đều nên SΔABC=a234

Vậy VS.ABC=13SO.SΔABC=13aa234=a3312

Đáp án cần chọn là: B


Câu 7:

Cho hình chóp đều S.ABCD có diện tích đáy là 16cm2, diện tích một mặt bên là 83cm2. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Xem đáp án

Gọi O=ACBD.Vì chóp S.ABCD đều nên SOABCD

Vì chóp S.ABCD đều nên ABCD là hình vuông

SABCD=AB2=16AB=4cm=AD

Gọi E là trung điểm của ABOE là đường trung bình của tam giác ABD
OE//ADOEAB và OE=12AD=12.4=2cm

OEABSOAB(SO(ABCD))AB(SOE)ABSE

SΔSAB=12SE.AB=83SE=163AB=1634=43cm

SOABCDSOOEΔSOE vuông tại O

SO=SE2OE2=484=44=211cm

Vậy VS.ABCD=13SO.SABCD=13.211.16=32113cm3

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: C


Câu 8:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 600. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Xem đáp án

Bước 1:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Vì chóp S.ABC đều nên SGABC

Gọi D là trung điểm của BC ta có: ADBC

Ta có: BCADBCSG(SG(ABC))BC(SAD)BCSD

(SBC)(ABC)=BC(SBC)SDBC(ABC)ADBC((SBC);(A^BC))=(SD;A^D)=SDA^=600

Media VietJack

Bước 2:

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên AD=a32DG=13AD=a36

SGABCSGADΔSGD vuông tại G

SG=GD.tan60=a36.3=a2

Bước 3:

Tam giác ABC đều SΔABC=a234

Bước 4:

VS.ABC=13SG.SΔABC=13.a2.a234=a3324

Đáp án cần chọn là: C


Câu 9:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,BC=2AB=2a. Cạnh bên SC vuông góc với đáy, góc giữa SA và đáy bằng 600. Thể tích khối chóp đó bằng:

Media VietJack

Xem đáp án

Media VietJack

Áp dụng định lý Pitago cho ΔABC vuông tại A ta có:

AC=BC2AB2=4a2a2=a3.
SΔABC=12AB.AC=12.a.a3=a232.

Ta có: SCABCSCAC

AC là hình chiếu của SA trên (ABC)

SA,  ABC=SA,  AC=SAC=600

Xét ΔSACvuông tại CC ta có: SC=CA.tan600=a3.3=3a.

VS.ABC=13SC.SΔABC=13.3a.a232=a332.
Đáp án cần chọn là: D


Câu 10:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 4a3, đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SD. Biết diện tích tam giác SAB bằng a2. Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng (SAB).

Xem đáp án

Media VietJack

Vì M là trung điểm của SD nên VSABMVSABD=SMSD=12

Mà VSABDVSABCD=12VSABD=12.4a3=2a3

VSABM=a3=13.dM;SAB.SSABdM;SAB=3a3a2=3a

Đáp án cần chọn là: C


Câu 11:

Cho hình chóp S.ABCD có SAABCD. Biết AC=a2, cạnh SC tạo với đáy một góc 600 và diện tích tứ giác ABCD là 3a22. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh SC. Tính thể tích khối chóp H.ABCD.
Xem đáp án

Ta có:SAABCDAC là hình chiếu của SC trên

ABCDSC;ABCD^=SC;AC^=600

SAABCDSAACΔSACvuông tại A và SCA^=600

Xét tam giác vuông SAC có:

SA=AC.tan60=a2.3=a6;SC=ACcos60=a212=2a2

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAC có:

AC2=HC.SCHCSC=AC2SC2=2a28a2=14

Trong(SAC)  kẻ  HK//SAHKABCD

Ta có:HKSA=HCSC=14HK=14SA=a64

Vậy VH.ABCD=13HK.SABCD=13.a64.3a22=a368

Đáp án cần chọn là: C


Câu 12:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy. Biết SB=a, SC hợp với (SAB) một góc 300 và (SAC) hợp với đáy (ABC) một góc 600. Thể tích khối chóp là:

Xem đáp án

Media VietJack

Ta có:

ACABACSB(SB(ABC))AC(SAB)ACSA

SA là hình chiếu vuông góc của SC trên

SABSC;SAB^=SC;SA^=CSA^=300
(SAC)(ABC)=AC(SAC)SAAC(ABC)ABAC((SAC);(A^BC))=(SA;A^B)=SAB^=600

SBABCSBABΔSAB  vuông tại B

AB=SB.cot600=a.13=a33

SA=SB2+AB2=a2+a23=2a3

Xét tam giác vuông SAC ta có: AC=SA.tan300=2a3.13=2a3

SABC=12AB.AC=12a33.2a3=a239
VS.ABC=13SB.SABC=13.a.a239=a3327

Đáp án cần chọn là: A


Câu 13:

Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB,AC,AD đôi một vuông góc với nhau, AB=6a,AC=7a,AD=4a. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC,CD,DB. Thể tích V của tứ diện AMNP là:

Xem đáp án

Ta có:

ABCD là tứ diện vuông tại A nên

VABCD=16AB.AC.AD=16.6a.7a.4a=28a3

Áp dụng công thức tính tỉ lệ thể tích các khối tứ diện ta có:

VDAPNVDABC=DADA.DPDB.DNDC=11.12.12=14VDAPN=14VDABC=14.28a3=7a3

VBAPMVBADC=BABA.BPBD.BMBC=11.12.12=14VBAPM=14VBADC=14.28a3=7a3

VCAMNVCABD=CACA.CMCB.CNCD=11.12.12=14VCAMN=14VCABD=14.28a3=7a3

Do đó

VAMNP=VABCDVDAPNVBAPMVCAMN=28a37a37a37a3=7a3

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: D


Câu 14:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng SC tạo với đáy góc 450. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AD. Thể tích của khối chóp S.MCDN là:

Xem đáp án

Media VietJack

(SAB)(ABCD)(SAD)(ABCD)(SAB)(SAD)=SASA(ABCD)

AC là hình chiếu vuông góc của SC trên

ABCDSC;ABCD^=SC;AC^=SCA^=450

(vì SAABCDSAACΔSAC vuông tại ASCA^<90o)

SA=AC=a2
SABCD=a2
SAMN=12AM.AN=12a2a2=a28
SBCM=12BM.BC=12a2.a=a24
SMCDN=SABCDSAMNSBCM=a2a28a24=5a28
VS.MCDN=13SA.SMCDN=13a2.5a28=5a3224

Đáp án cần chọn là: D


Câu 15:

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1  có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AA1. Thể tích khối chóp M.BCA1  là:

Xem đáp án

Media VietJack

ΔABC là tam giác đều cạnh aa nên có diện tích SABC=a234

Ta có AM=AA12=a2

Hai tứ diện MABC MA1BC có chung đỉnh C, diện tích hai đáy MAB và MA1B bằng nhau nên có thể tích bằng nhau, suy ra

VM.BCA1=VM.ABC=13AM.SABC=a3324
Đáp án cần chọn là: B


Câu 16:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao h, góc ở đỉnh của mặt bên bằng 600. Thể tích hình chóp là:

Xem đáp án

Gọi O=ACBD

Vì chóp S.ABCD đều nên SOABCD

Đặt SA=SB=SC=SD=a

Tam giác SCD có: SC=SD;CSD^=600ΔSCD đều

CD=SC=SD=a

 Hình vuông ABCD cạnh aAC=BD=a2OC=12AC=a22

SOABCDSOOCΔSOC vuông tại O

SO=SC2OC2h=a2a22=a22a=h2

SABCD=a2=h22=2h2

Vậy VS.ABCD=13SO.SABCD=13h.2h2=2h33
Đáp án cần chọn là: C


Câu 17:

Thể tích khối bát diện đều cạnh a  bằng:

Xem đáp án

Media VietJack

Thể tích khối bát diện đều V=2VS.ABCD

Gọi O=ACBDSOABCD

Vì ABCD là hình vuông nên AC=BD=a2OA=12AC=a22

SOABCDSOOAΔSOA vuông tại O

SO=SA2OA2=a2a22=a22
VS.ABCD=13SO.SABCD=13a22.a2=a326
V=2a326=a323

Đáp án cần chọn là: D


Câu 18:

Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB=a,AC=a3. Tam giác SBC đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC

Xem đáp án

Trong mp(SBC) kẻ SHBCHBCSHABC,H là trung điểm BC

Xét tam giác vuông ABC có BC=a2+3a2=2aΔSBC đều cạnh 2a

SH=2a32=a3VS.ABC=13SH.SΔABC=16SH.AB.AC=12a3

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: A


Câu 19:

Cho hình chóp S.ABC có AB=AC=4,BC=2,SA=43,SAB^=SAC^=300. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Xem đáp án

Media VietJack

Dễ thấy ΔSAB=ΔSACc.g.c nên SB=SC hay tam giác ΔSBC cân.

Gọi M là trung điểm BC ta có: AMBC,SMBCBCSAM

Gọi H là hình chiếu của S trên AM thì SHAM,SHBC nên SH là đường cao của hình chóp.

Xét tam giác SAB có:

SB2=SA2+AB22SA.ABcos300=16SB=4SC=4

Do đó SM2=SB2+SC22BC24=15SM=15

Tam giác ABC có AM2=AB2+AC22BC24=15AM=15

Khi đó SSAM=ppapbpc=6

Do đó: SH=2SSAMAM=2.615=4155

VS.ABC=13SABC.SH=13.12AM.BC.SH=16.15.2.4155=4
Đáp án cần chọn là: C


Câu 20:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy nằm trong hình vuông ABCD. Biết rằng SA và SC tạo với đáy các góc bằng nhau, góc giữa SB và đáy bằng 450, góc giữa SD và đáy bằng α với tanα=13. Tính thể tích khối chóp đã cho.

Xem đáp án

Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD).

Khi đó, SAH^=SCH^ vì hai góc này lần lượt là góc tạo bởi SA,SC với mặt phẳng đáy.

SBH^=450,tanSDH^=13

Tam giác ΔSAH=ΔSCHHA=HCH nằm trên trung trực của AC.

Mà BD là đường trung trực của AC nên HBD

Media VietJack

Lại có SBH^=450HB=HS,tanSDH^=13=SHHD

HBHD=13HBBD=14

Mà BD=a2HB=a24SH=a24

Vậy VS.ABCD=13SH.SABCD=13.a24.a2=a3212
Đáp án cần chọn là: D


Câu 21:

Một khối chóp tam giác có cạnh đáy bằng 6, 8, 10. Một cạnh bên có độ dài bằng 4 và tạo với đáy góc 600. Thể tích của khối chóp đó là:

Xem đáp án

Media VietJack

Xét tam giác ABC, giả sử AB=6,  BC=8,  AC=10 ta có

AB2+BC2=AC2  =100 nên tam giác ABC vuông tại B (định lí Pytago đảo)

SΔABC=12AB.BC=12.6.8=24

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) và giả sử SA hợp với đáy góc 600 HA là hình chiếu của SA lên (ABC) nên

SA;ABC=SA;HA=SAH=600
SH=SA.sin600=4.32=23

Vậy VS.ABC=13SH.SΔABC=13.23.24=163

Đáp án cần chọn là: D


Câu 22:

Khối chóp tam giác có độ dài 3 cạnh xuất phát từ một đỉnh là a,2a,3a  có thể tích lớn nhất bằng

Xem đáp án

Giả sử khối chóp ABCD có AB=a,  AC=2a,  AD=3a

Gọi H là hình chiếu vuông góc của D lên (ABC), khi đó ta có: DHABC và DHAD

Ta có: SABC=12AB.AC.sinBAC12AB.AC

Vây VABCD=13DH.SΔABC13AD.12AB.AC=16AB.AC.AD=16.a.2a.3a=a3
Dấu “=” xảy ra ADABC,  ABAC
 hay AB,AC,AD đôi một vuông góc.

Media VietJack

Đáp án cần chọn là: D


Câu 23:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB=4,SA=SB=SC=12. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm AC, BC, AB. Trên cạnh SB lấy điểm F sao cho BFBS=23. Thể tích khối tứ diện MNEF bằng

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi D là giao điểm của MB và EN thì D là trung điểm của MB.

Ta có: VMNEF=VM.NEF=13SNEF.dM,NEF

Do D là trung điểm của MB và MB cắt (EFN) tại D nên dM,NEF=dB,NEF

VMNEF=13SNEF.dB,NEF=VB.NEF

Mà VB.NEFVB.CAS=BNBC.BEBA.BFBS=12.12.23=16

VB.NEF=16VB.CAS=16VS.ABC

SA=SB=SC nên S nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Mà ABC vuông cân nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Do đó

SMABC

Diện tích tam giác ABC là SABC=12AB.BC=12.4.4=8

Tam giác ABC vuông cân tại B nên

AC=AB2+BC2=42+42=42AM=12AC=12.42=22

Tam giác SMA vuông tại M nên theo Pitago ta có: SM=SA2AM2=122222=234

Thể tích khối chóp S.ABC là: VS.ABC=13SABC.SM=13.8.234=16343

Thể tích khối tứ diện MNEF là: VMNEF=16.VS.ABC=16.16343=8349

Đáp án cần chọn là: A


Câu 24:

Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật, AB=2a,AD=aa>0.  M là trung điểm của AB, tam giác SMC vuông tại S, SMCABCD,SM  tạo với đáy góc 600. Thể tích của khối chóp S.ABCD là:

Xem đáp án

Trong (SMC) kẻ SIMC  IMC ta có:

(SMC)(ABCD)=MCSI(SMC),SIMCSI(ABCD)

IM là hình chiếu của SM lên (ABCD).

SM;ABCD=SM;IM=SMI=SMC=600

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác BMC vuông tại B :

BM=AB2=a;  BC=aMC=BC2+BM2=a2

Media VietJack

Xét tam giác SMC vuông tại S có SMC=600;  MC=a2

SM=MC.cos600=a22

Xét tam giác SMI vuông tại I có SMI=600;  SM=a22

SI=SM.sin600=a22.32=a64

Vậy thể tích khối chóp là V=13SI.SABCD=13.a64.2a2=a366.

Đáp án cần chọn là: A


Câu 25:

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cạnh bằng x, biết khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng 34 thể tích tứ diện ABCD. Giá trị của x là:

Xem đáp án

Media VietJack

Tứ diện ABCD đều cạnh a có thể tích là VABCD=a3212

Vì tứ diện đều ABCD cạnh 8  nên VABCD=83212=12823

Tứ diện đều FAHI cạnh x nên V1=x3212

Tương tự ta có: V2=V3=V4=x3212

Khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích là

V=VABCD4V1=128234x3212=128x323

Vì khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng 34 thể tích tứ diện ABCD nên ta có:

128x323=3412823128x3=96x3=32x=323=243
Đáp án cần chọn là: D


Câu 26:

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng a3. Thể tích khối chóp S.ABCD là:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi O=ACBD.Vì chóp S.ABCD đều nên SOABCD

Gọi E và F lần lượt là trung điểm của CD và AB

Ta có:

AB//CDSASAB//CDdCD;SA=dCD;SAB=dE;SAB=2dO;SAB=a3dO;SAB=a32

Ta có:

OFABSOAB(SO(ABCD))AB(SOF)

Trong (SOF)  kẻ OHSF  1

Vì ABSOFABOH  2

Từ (1) và (2) suy ra OHSABdO;SAB=OH=a32

Xét tam giác vuông SOF có: 1OH2=1SO2+1OF2

1SO2=1OH21OF2=43a21a2=13a2SO=a3

Vậy VS.ABCD=13SO.SABCD=13a3.4a2=4a333

Đáp án cần chọn là: D


Câu 27:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh aSA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SA=a. Điểm M thuộc cạnh SA sao cho SMSA=k. Xác định k sao cho mặt phẳng (BMC) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Xem đáp án

Media VietJack

BC//AD nên mặt phẳng (BMC) cắt (SAD) theo đoạn thẳng MN//ADNSD

Vì MN//ADSMSA=SNSD=k

VS.MBCVS.ABC=SMSA=kVS.MBC=k.VS.ABC=k2.VS.ABCDVS.MNCVS.ADC=SMSA.SNSD=k2VS.MNC=k2.VS.ADC=k22.VS.ABCDVS.MBCN=VS.MBC+VS.MNC=k2+k22VS.ABCD

Để mặt phẳng (BMNC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau thì

k2+k22=12k2+k1=0k=1+52 do k > 0

Đáp án cần chọn là: B


Câu 28:

Cho tứ diện ABCD có G là điểm thỏa mãn GA+GB+GC+GD=0. Mặt phẳng thay đổi chứa BG và cắt AC,AD lần lượt tại M và N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số VABMNVABCD là

Xem đáp án

Gọi O là trọng tâm tam giác BCD

GB+GC+GD=3GO

GA+3GO=0

GA=3GO

AGAO=34

Media VietJack

Trong (ABE) gọi F=BGAE  FAE

Lấy MAC trong (ACD) gọi N=MFAD   NAD khi đó ta có mặt phẳng chứa BG cắt AC,AD lần lượt tại M,N chính là (BMN).

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AOE, cát tuyến BGF:

GAGO.BOBE.FEFA=13.23.FEFA=1FEFA=12AFAE=23F là trọng tâm tam giác ACD.

Trong (ACD) kéo dài MN cắt CD tại H. Đặt AMAC=x(0<x<1)

 Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACE, cát tuyến MHF:

MAMC.HCHE.FEFA=1x1x.HCHE.12=1HCHE=21xx
HE=x21xHC
HC+CE=x21xHC
CE=3x221xHC

Ta có:

HD=HC+2CE         =HC+3x21xHC=2x11xHCHEHD=x21x:2x11x=x22x1

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác AED, cát tuyến MFN:

FAFE.HEHD.NDNA=12.x22x1.NDNA=1NDNA=2x1xNAND=x2x1NANA+ND=xx+2x1=x3x1ANAD=x3x1

Khi đó ta có VABMNVABCD=AMAC.ANAD=x.x3x1=x23x1  x>13

Xét hàm số fx=x23x1  x>13 ta có

f'x=2x3x13x23x12=3x22x3x12;f'(x)=0x=0ktmx=23

BBT:

Media VietJack

Dựa vào BBT ta thấy min13;+fx=f23=49

Vậy giá trị nhỏ nhất của tỉ số VABMNVABCD=49
Đáp án cần chọn là: B


Câu 29:

Cho tứ diện ABCD có thể tích bằng 18. Gọi A1 là trọng tâm của tam giác BCD(P) là mặt phẳng qua A sao cho góc giữa (P) và mặt phẳng (BCD) bằng 600. Các đường thẳng qua B,C,D song song với AA1 cắt (P) lần lượt tại B1,C1,D1. Thể tích khối tứ diện A1B1C1D1  bằng?

Xem đáp án

Media VietJack

Theo bài ra ta có A1 là trọng tâm tam giác BCD nên A cũng là trọng tâm ΔB1C1D1

Do đó VABCD=3VA.A1BC=3VB.AA1C và VA1B1C1D1=3VA1AB1C1=3VB1AA1C1

Mặt khác do quan hệ song song nên ta có: dB;AA1CC1=dB;AA1CC1 SΔAA1C=SΔAA1C1 nên suy ra VB.AA1C=VB1.AA1C1

Vậy VA1B1C1D1=VABCD=18

Đáp án cần chọn là: B


Câu 30:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và có thể tích V=a336. Tìm số r>0 sao cho tồn tại điểm J nằm trong khối chóp mà khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r?
Xem đáp án

Media VietJack

Gọi O=ACBDSOABCD

Vì khoảng cách từ J đến các mặt bên và mặt đáy đều bằng r nên JSO

Gọi M là trung điểm của CD, trong (SOM) kẻ OHSM  ta có:

CDOMCDSOCD(SOM)CDOHOHCDOHSMOH(SCD)

Trong (SOM) kẻ JKOHJKSCDdJ;SCD=JK

Có dJ;ABCD=JO

Theo bài ra ta có JK=JO=r

Ta có VS.ABCD=13SO.SABCDa336=13SO.a2SO=a32

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

OH=SO.OMSO2+OM2=a32.a23a24+a24=a34

Áp dụng định lí Ta-lét ta có

JKOH=SJSOra34=a32ra322r=a32r3r=a32r=a36
Đáp án cần chọn là: D


Câu 31:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC. Điểm I thuộc đoạn SA. Biết mặt phẳng (MNI) chia khối chóp S.ABCD  thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích bằng 725 lần phần còn lại. Tính tỉ số IAIS?

Xem đáp án

Media VietJack

Giả sử SCIMN=PIMNSAC=IP

Ta có: (IMN)(SAC)=IP(IMN)(ABCD)=MN(SAC)(ABCD)=ACIPMNAC
Trong (ABCD) gọi E=MNCD trong (SCD) gọi Q=NPSD

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNI) là ngũ giác IMNPQ.

Gọi V1=VS.BMNPQI,  V=VS.ABCDtheo bài ra ta có V1=732V

Ta có V1=VS.BMN+VS.IMN+VS.INP+VS.IPQ

Đặt SISA=x   (0<x<1) áp dụng định lí Ta-lét ta có SISA=SPSC=x

- Xét khối chóp S.BMN và S.ABCD:

  + Có cùng chiều cao (cùng bằng khoảng cách từ SS đến (ABCD)).

SBMN=14SABC=18SABC(do tam giác BMN và tam giác BAC đồng dạng theo tỉ số 12)

Do đó VS.BMN=18VS.ABCD=18V

- Xét khối chóp S.IMN và S.AMN:

VS.INPVS.ANC=SISA.SPSC=x2VS.IMN=x2.VS.ANC

Ta có SANC=12SABC=14SABCDVS.ANC=14VVS.IMN=x24V

- Xét khối chóp S.IPQ và S.ACDVS.IPQVS.ACD=SISA.SPSC.SQSD

Ta có AMEC là hình bình hành nên EC=AM=12CDECED=13

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác SCD với cát tuyến EPQ ta có:

PSPC.ECED.QDQS=1x1x.13.QDQS=1
QDQS=31xxSQQD=x31xSQSQ+QD=xx+31xSQSD=x32x

Suy ra VS.IPQVS.ACD=SISA.SPSC.SQSD=x2.x32x=x332x

VS.IPQ=x332xVS.ACD

Mà SACD=12SABCDVS.ACD=12VVS.IPQ=x3232xV

Khi đó ta có:

V1=VS.BMN+VS.IMN+VS.INP+VS.IPQ
V1=18V+x8V+x24V+x32(32x)V
V1=18+x8+x24+x32(32x)V=732v
18+x8+x24+x32(32x)=732
1+x+2x24+x332x=716
(1+x+2x2).(128x)+16x3=7(32x)
12+12x+24x28x8x216x3+16x3=2114x
16x2+18x9=0x=38tmx=32ktm

SISA=38ISIA=35IAIS=53
Đáp án cần chọn là: A


Câu 32:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 6. Biết rằng các mặt bên của hình chóp có diện tích bằng nhau và một trong các cạnh bên bằng 32. Tính thể tích nhỏ nhất của khối chóp S.ABC

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi M,N,P lần lượt là hình chiếu của điểm S lên AB,BC,AC ta có:

     SΔABC=SΔBCA=SΔCAB12SM.AB=12SN.BC=12SP.CA

Mà AB=BC=CA  gtSM=SN=SP

Gọi O là hình chiếu của S lên (ABC), ta có:

ABSMABSOAB(SOM)ABOM

CMTT ta có ONBC,  OPAC

Xét các tam giác vuông ΔSOM,  ΔSON,  ΔSOP có:

SO  chungSM=SN=SP  cmt

ΔSOM=ΔSON=ΔSOP(cạnh huyền – cạnh góc vuông)

OM=ON=OP suy ra OO cách đều các cạnh AB,BC,CA nên O là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC hoặc O là tâm đường tròn bàng tiếp ΔABC

+ TH1: O là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC.ΔABC đều nên O là đồng thời là trọng tâm tam giác đều ABC. Khi đó ta có

AN=6.32=322,  AO=23AN=2
SO=SA2AO2=182=4
SΔABC=62.34=332
VS.ABC=13SO.SΔABC=13.4.332=23

TH2: O là tâm đường tròn bàng tiếp ΔABC.

Gọi R là bán kính đường tròn bàng tiếp tam giác ABCp là nửa chu vi tam giác ABC

p=362

Khi đó ta có SABC=pBC.R

62.34=3626.RR=322

Có AN=6.32=322OA=AN+ON=32

SA>OA=32 (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

SB=32
Media VietJack

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBM có: OB=OM2+BM2=3222+622=6

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOB có:

SO=SB2OB2=32262=23

Khi đó ta có VS.ABC=13.SO.SABC=13.23.62.34=3

Vậy minVS.ABC=3

Đáp án cần chọn là: A


Câu 33:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD song song với BC, AD=2BC. Gọi EF là hai điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB và AD sao cho 3ABAE+ADAF=5  (E,F không trùng với A), Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tỉ số thể tích hai khối chóp S.BCDFE và S.ABCD là: 

Xem đáp án

Media VietJack

Đặt AEAB=x,  AFAD=y  (0<x,  y1).Theo bài ra ta có: 3ABAE+ADAF=5

3x+1y=5   1

Vì hai khối chóp S.BCDFE và S.ABCD có cùng chiều cao nên

k=VS.BCDFEVS.ABCD=SBCDFESABCD

Đặt SABD=12BH.AD nên

SAEF=12xy.BH.AD=xy.BH.BC=32BH.BC.23xySAEF=23xy.S
SBCDFE=SABCDSAEF=S23xy.S=S123xy
k=S.123xyS=123xy

Theo (1) ta có: 3x+1y=5y=x5x3

Ta có 0<x5x31x5x3>0x5x+35x30

5x3>0(dox>0)34x0x>35x34x34

Khi đó ta có

k=123xy=123x.x5x3    =12x235x3=15x92x235x3=fx

Xét hàm số fx=2x2+15x935x3 với 34x1 ta có:

f'(x)=(4x+15).3(5x3)(2x2+15x9).159(5x3)2
f'(x)=3(20x2+87x45)(30x2+225x135)9(5x3)2
f'(x)=30x2+36x9(5x3)2=0x=65ktmx=0ktm
BBT:
Media VietJack
kmin=12,  kmax=23
Vậy kmin+kmax=12+23=76

Đáp án cần chọn là: D


Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng 2, BAD=600, SA=SC  và tam giác SBD vuông cân tại S. Gọi E là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AE và cắt hai cạnh SB,SD lần lượt tại M và N. Thể tích lớn nhất V0 của khối đa diện ABCDNEM bằng:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi O=ACBD ta có:

SA=SCΔSAC cân tại SSOAC

Tam giác SBD vuông cân tại SSOBD

SOABCD

Trong (SBD), gọi I=MNBD

Đặt SMSB=x,  SNSD=y  (0<x,  y<1)

Ta có: VS.AMEVS.ABC=SMSB.SESC=12xVS.AMEVS.ABCD=14x

VS.ANEVS.ADC=SNSD.SESC=12yVS.ANEVS.ABCD=14y
VS.AMNEVS.ABCD=VS.AMEVS.ABCD+VS.ANEVS.ABCD=x+y4   1

Ta lại có: VS.AMNVS.ABD=SMSA.SNSD=xyVS.AMNVS.ABCD=xy2

VS.MNEVS.BDC=SMSB.SNSD.SESC=12xyVS.MNEVS.ABCC=xy4
VS.AMNEVS.ABCD=VS.AMNVS.ABCD+VS.MNEVS.ABCD=xy2+xy4=3xy4  2

Từ (1) và (2) x+y4=3xy4x+y=3xy

x=3x1yy=x3x1  x13

Do x,  y>03x1>0x>13

Khi đó ta có VS.AMNEVS.ABCD=14x+x3x1

Xét hàm số fx=x+x3x1  x>13 ta có:

f'x=113x12=03x1=13x1=1x=23x=0(ktm)
BBT:

Media VietJack

Dựa vào BBT ta thấy minVS.AMNE=14.43VS.ABCD=13VS.ABCD

maxVABCDNEM=23VS.ABCDV0=23VS.ABCD
Ta có: ΔABD đều cạnh 2AB=AD,BAD=600SABD=2234=3

SABCD=23

Tam giác ABD đều cạnh 2 BD=2, lại có tam giác SBD vuông cân tại S nên

SO=12BD=1
VS.ABCD=13SO.SABCD=13.1.23=233

Vậy V0=23VS.ABCD=439
Đáp án cần chọn là: D

 

 


Câu 35:

Cho tứ diện ABCD có AB=a6, tam giác ACD đều, hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD) trùng với trực tâm H của tam giác BCD, mặt phẳng (ADH) tạo với mặt phẳng (ACD) một góc 450. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

Xem đáp án

Gọi BM,DN lần lượt là các đường cao của tam giác BCDBMDN=H

Ta có: CDBMCDAHCD(ABM)CDAM

AM là đường cao của tam giác đều ACD, do đó M là trung điểm của CD.

Gọi P là trung điểm của AD, do ΔACD đều nên CPAD

Ta có:

BCAHBCDNBC(ADN)BCADADBADCPAD(BCP)ADNP

Media VietJack

Ta có: (ADN)(ACD)=ADNP(ADN),NPAD(cmt)CP(ACD),CPAD(cmt)

ADN;ACD=NP;CP=NPC=450

Ta có: BCADN  cmtCNNPNCP vuông tại N, lại có

NPC=450  cmtNCP=450 hay BCP=450   1

Gọi G=AMCPG là trọng tâm tam giác đều ACD.

Ta có:

AD(BCP)(cmt)ADBGCD(ABM)(cmt)CDBGBGACD mà G là trọng tâm tam giác đều 
ACDBA=BC=BD=a6

Ta có BGACDBGCGΔBCG  vuông tại G  (2).

Từ (1) và (2) suy ra tam giác BCG vuông cân tại GBG=CG=BC2=a3

Ta có: CP=32CG=3a32=AC32 đều cạnh 3a3a nên
SΔACD=3a234=9a234

Vậy VABCD=13BG.SΔACD=13.a3.9a234=9a34

Đáp án cần chọn là: C


Câu 36:

Cho hình chóp S.ABC, đáy là tam giác ABC có AB=BC5, AC=2BC2, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm O của cạnh AC. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2. Mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC) một góc α thay đổi. Biết rằng giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.ABC bằng ab, trong đó a,b, a  là số nguyên tố. Tổng a+b bằng:

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi H là hình chiếu của O lên SB.

 

Ta có: OB=2BC2+2BA2AC24=BC,OC=12AC=BC2

Suy ra OBBC

Dễ thấy SBO=α và OH=dO;SBC=12dA;SBC=1

Suy ra SO=OHcosα=1cosα,OB=OHsinα=1sinα

BC=OB=1sinα

Thể tích khối chóp S.ABC là: 

VS.ABC=13SO.SABC=13SO.2SOBC             =13.1cosα.1sinα2=13cosα.sin2α

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

1=12sin2α+12sin2α+cos2α3.14sin4α.cos2α312714.sin4α.cos2α1sin2αcos2α332VS.ABC32

Vậy minVS.ABC=32. Dấu “=” xảy ra cos2α=12sin2α=13cosα=33

a=3,  b=2
Vậy a+b=3+2=5

Đáp án cần chọn là: B

 


Câu 37:

Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên bằng a2. Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD sao cho tổng Q=MA2+MB2+MC2+MD2+MS2  nhỏ nhất. Gọi V1 là thể tích của khối chóp S.ABCD và V2 là thể tích của khối chóp M.ACD. Tỉ số V2V1 bằng

Xem đáp án

Media VietJack

Gọi I là điểm thỏa mãn IA+IB+IC+ID+IS=0

Ta có:

Q=MA2+MB2+MC2+MD2+MS2
Q=MI+IA2+MI+IB2+MI+IC2+MI+ID2+MI+IS2
Q=5MI2+2MIIA+IB+IC+ID+IS+IA2+IB2+IC2+ID2+IS2
Q=5MI2+IA2+IB2+IC2+ID2+IS2

Do các điểm I,A,B,C,D,S cố định nên IA2+IB2+IC2+ID2+IS2 không đổi, do đó QminMImin

Khi đó M là hình chiếu của I lên (SCD) hay MISCD

Gọi O=ACBD ta có SOABCD và:

IA+IB+IC+ID+IS=0
IA+IC+IB+ID+IS=0
2IO+2IO+IS=04IO=IS

Gọi E là trung điểm của CD. Ta có:

CDOECDSOCD(SOE)(SOE)(SCD)IMSOE

Trong (SOE) kẻ OHIMOHSE
Ta có:

SE=SC2CE2=2a2a24=a72SO=SE2OE2=7a24a24=a62SMSH=SISO=45SHSE=SO2SE2=6a24:7a24=67SMSE=SMSH.SHSE=45.67=2435MESE=1135

Ta có: SMABCD=EdM;ABCDdS;ABCD=MESE=1135

Vậy V2V1=VM.ACDVS.ABCD=13.dM;ABCD.SACD13.dS;ABCD.SABCD=1135.12=1170

Đáp án cần chọn là: C


Bắt đầu thi ngay