Chọn đáp án A

Phương pháp

Quan sát các đồ thị hàm số, nhận xét tính đồng biến nghịch biến và suy ra điều kiện của a, b.

Cách giải

Đồ thị hàm số $\left(C_1\right)$ có hướng đi lên từ trái qua phải nên hàm số $y={\log }_{a}x$ đồng biến hay a>1.

Đồ thị hàm số $\left(C_2\right)$ có hướng đi xuống từ trái qua phải nên hàm số $y={\log }_{b}x$ nghịch biến hay 0<b<1.

Do đó 0<b<1<a.

Chọn đáp án B

Phương pháp

Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh hình nón $S_{xq}=\pi rl$ (với r là bán kính đáy, l là đường sinh hình nón).

Cách giải

Ta có diện tích xung quanh hình nón bằng

đáp án B

Phương pháp

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao h được tính bởi công thức V=Bh.

Cách giải

Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy là B và chiều cao h được tính bởi công thức V=Bh.

Chọn đáp án A

Phương pháp

Mặt cầu $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ có tâm I(-a;-b;-c) và bán kính

Cách giải

Mặt cầu $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ có tâm I(1;-2;3) và bán kính

Chọn đáp án C

Phương pháp

Sử dụng công thức nguyên hàm:

dựa dữ kiện đề bài tìm được C, từ đó tính F(2)-F(-1)

Dựng đồ thị hàm số $y=x^2-1$ cùng một hệ trục tọa độ với đồ thị hàm số y=f’(x) bài cho ta được:

Chọn đáp án A

Phương pháp

Sử dụng mối quan hệ về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Chọn đáp án A

Phương pháp

Nhẩm nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, từ đó tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt thì phương trình $x^2+(m+3)x+m^2=0$ phải có hai nghiệm phân biệt khác 1

Do đó với -1<m<3 thì đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Chọn đáp án A

Phương pháp

Sử dụng công thức tính diện tích mặt phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a,x=b là

Chú ý đến dấu của f(x) khi phá dấu giá trị tuyệt đối. Nếu đồ thị nằm dưới Ox thì f(x)<0, nếu đồ thị nằm trên Ox thì f(x)>0.

Cách giải

Trên (-2;1) thì đồ thị nằm phía dưới Ox nên f(x)<0, trên khoảng (1;2) thì đồ thị nằm trên Ox nên f(x)>0

Nên từ hình vẽ ta có diện tích phần được tô đậm là

Chọn đáp án C

Phương pháp

Quan sát đồ thị hàm số, nhận xét dáng điệu, điểm đi qua và kết luận

Cách giải

Quan sát đồ thị ta thấy đây là đồ thị hàm bậc ba có hệ số a>0 nên loại A, B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (-1;3) nên thay tọa độ điểm (-1;3) vào hai hàm số C và D ta thấy chỉ có C thỏa mãn.

Chọn đáp án A

Phương pháp

- Tính y’ và tìm nghiệm của y’=0 trên đoạn [-3;3].

- Tính giá trị của hàm số tại hai điểm -3;3 và các điểm là nghiệm của đạo hàm ở trên.

- So sánh kết quả và kết luận.

Cách giải

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số trên [-3;3] là M=17 và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-3;3] là m=-35

Vậy T=-18.

Chọn đáp án D

Phương pháp

Sử dụng cách đọc bảng biến thiên để suy ra khoảng đồng biến của hàm số.

Hàm số liên tục trên (a;b) có y’>0 với x thuộc (a;b) thì hàm số đồng biến trên (a;b).

Cách giải

Từ BBT ta có hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (0;1).

Chọn đáp án C

Phương pháp

Nhân cả thử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử, tìm nghiệm của mẫu thức và tính giới hạn của hàm số tại các nghiệm đó.

nên đồ thị hàm số có duy nhất một đường tiệm cận đứng x=0.

Chọn đáp án C

Phương pháp

Sử dụng các công thức lũy thừa thu gọn biểu thức dưới dấu logarit và sử dụng công thức

Chọn đáp án D

Phương pháp

Sử dụng công thức tính thể tích khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r là

Cách giải

Thể tích khối trụ đã cho là

Chọn đáp án C

Phương pháp

Hàm số y=f(x) có TXĐ D=R đồng biến trên nếu:

Chọn đáp án D

Phương pháp

+ Cho mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R và mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r thì ta có mối liên hệ $R^2=h^2+r^2$ với h=d(I,(P)). Từ đó ta tính được R.

+ Phương trình mặt cầu tâm $I(x_{0;}{y}_0;z_0)$ và bán kính R có dạng

Từ đề bài ta có bán kính đường tròn giao tuyến là r=5 nên bán kính mặt cầu là

+ Phương trình mặt cầu tâm I(-1;2;-1) và bán kính $R=\sqrt{34}$ là

Chọn đáp án A

Phương pháp

Nhận thấy đây là hàm đa thức bậc ba nên ta thực hiện các bước sau:

+ Tìm y’, giải phương trình y’=0 ta tìm được nghiệm a.

+ Tìm y’’, nếu y’’(a)>0 thì a là điểm cực tiểu của hàm số từ đó tính giá trị cực tiểu y(a).

Chọn đáp án D

Phương pháp

Sử dụng công thức: Cho cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai d thì số hạng thứ n (n>1)

Chọn đáp án C

Phương pháp

Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều là giao của đường trung trực 1 cạnh bên và chiều cao của hình chóp.

Từ đó sử dụng tam giác đồng dạng để tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều.

Cách giải

Gọi O là tâm hình vuông ABCD và E là trung điểm SB.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO vuông góc (ABCD).

Trong (SBO) kẻ đường trung trực của SB cắt SO tại I, khi đó IA=IB=IC=ID=IS nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu là R=IS.

Ta có ABCD là hình vuông cạnh 2

Chọn đáp án B

Phương pháp

Số các số lập được chính là số hoán vị của 4.

Cách giải

Mỗi số lập được thỏa mãn bài toán là một hoán vị của 4 chữ số 1; 5; 6; 7.

Số các số có bốn chữ số đôi một khác nhau lập được từ 4 chữ số 1; 5; 6; 7 là 4!=24 số.

Chọn đáp án C

Phương pháp

Hàm số $y={\left(f\left(x\right)\right)}^a$ với a là phân số (không là số nguyên) hoặc số vô tỉ thì có điều kiện

Chọn đáp án C

Phương pháp

Giải bất phương trình bằng cách đưa về bất phương trình bậc hai, ẩn là

Cách giải

Số tiền cả gốc và lãi người đó nhận được sau khi gửi 100 triệu trong 6 tháng đầu là $100{(1+2\%)}^2$ triệu đồng.

Sau 6 tháng người đó gửi thêm 100 triệu đồng nên số tiền gốc lúc này là $100+100{(1+0,02)}^2$ 

Sau 6 tháng còn lại, thì người đó nhận được tổng số tiền là

Chọn đáp án A

Phương pháp

Sử dụng lý thuyết: Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b bằng góc giữa đường thẳng a với mặt phẳng (P) chứa b mà song song với a.

Cách giải

Gọi N là trung điểm của BC thì AB//MN suy ra d(AB,SM)=d(AB,(SMN))=d(A,(SMN))

Gọi E là hình chiếu của A lên MN

Chọn đáp án C

Phương pháp

- Lập hệ bất phương trình ẩn x, y dựa vào điều kiện đề bài.

- Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ.

- Tìm x, y để biểu thức tính số điểm M(x;y) đạt GTLN (tại một trong các điểm mút).

Cách giải

Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế (x≥0;y≥0)

Để pha chế x lít nước cam thì cần 30x (g) đường, x lít nước và x (g) hương liệu.

Để pha chế y lít nước táo thì cần 10y (g) đường, y lít nước và 4y (g) hương liệu.

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:

Số điểm đạt được khi pha x lít nước cam và y lít nước táo là: M(x;y)=60x+80y.

Bài toán trở thành tìm x, t thỏa để M(x;y) đạt GTLN.

Ta biểu diễn miền nghiệm của (*) trên mặt phẳng tọa độ như sau:

Miền nghiệm là ngũ giác ACJIH

Tọa độ các giao điểm A(4;5),C(6;3),J(7;0),I(0;0),H(0;6).

M(x;y) sẽ đạt max, min tại các điểm đầu mút nên thay tọa độ từng giao điểm vào tính M(x;y) ta được:

Chọn đáp án B

Phương pháp

+ Từ giả thiết ta viết được phương trình đường tròn và phương trình parabol

+ $S_1$ là phần diện tích giới hạn bởi parabol; đường tròn và hai đường thẳng x=2;x=-2. Từ đó sử dụng công thức diện tích hình phẳng bằng ứng dụng tích phân để tính $S_1$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y=f(x);y=g(x) và hai đường thẳng x=a;x=b là

Chọn đáp án D

Phương pháp

Nhận xét rằng: Đa giác đều có số đỉnh chẵn luôn tồn tại đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác là đoạn nối hai đỉnh của đa giác.

Nên ta chia đường tròn ngoại tiếp đa giác đều đó thành hai nửa đường tròn và dựa vào tính đối xứng của các đỉnh để tạo thành một hình chữ nhật.

Tính số hình vuông trong các hình chữ nhật đó để tính xác suất 4 đỉnh tạo thành hình chữ nhật mà không phải hình vuông.

Cách giải

Số phần tử của không gian mẫu $n\left(\Omega \right)=C_{24}^4$

Ta vẽ đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 24 đỉnh. Vẽ một đường kính của đường tròn này. Khi đó hai nửa đường tròn đều chứa 12 đỉnh.

Với mỗi đỉnh thuộc nửa đường tròn thứ nhất ta đều có một đỉnh đối xứng với nó qua đường kính và thuộc nửa đường tròn còn lại.

Như vậy cứ hai đỉnh thuộc nửa đường tròn thứ nhất ta xác định được hai đỉnh đối xứng với nó qua đường kính và thuộc nửa đường tròn còn lại, bốn đỉnh này tạo thành một hình chữ nhật.

Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh là các đỉnh của đa giác đã cho là $C_{12}^2$.

Nhận thấy rằng trong số các hình chữ nhật tạo thành có 24:4=6 hình vuông (vì hình chữ nhật có các cạnh bằng nhau là hình vuông)

Nên số hình chữ nhật mà không phải hình vuông là $C_{12}^2-6$.

Xác suất cần tìm là

Chọn đáp án D

Phương pháp

- Chia khối đa diện ABCSFH thành hai khối chóp A.BCHF và S.BCHF rồi tính thể tích.

Cách giải

Gọi I là hình chiếu của A lên BH. Khi đó S đối xứng với A qua BH hay S đối xứng với A qua I.

Chia khối đa diện ABCSFH thành hai khối chóp A.BCHF và S.BCHF thì ta có

Chọn đáp án B

Phương pháp

Sử dụng công thức tính diện tích toàn phần hình hộp và công thức tính thể tích hình hộp V=abc (với a, b, c là ba kích thước của hình chữ nhật)

Sử dụng các dữ kiện đề bài và sử dụng hàm số để tính giá trị lớn nhất của thể tích.

Cách giải

Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể cá lần lượt là a,b,c (a,b,c>0)

Theo đề bài ta có a=2b.

Vì ông A sử dụng $5m^2$ kính để làm bể cá không nắp nên diện tích toàn phần (bỏ 1 mặt đáy) của hình hộp là

Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình đã cho có đúng hai nghiệm

Chọn đáp án C

Phương pháp

Biến đổi giả thiết để tìm mối liên hệ của x theo y. Thay vào biểu thức P rồi sử dụng phương pháp hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất của P.