39 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Giới hạn của dãy số

Câu 1:

\lim u_{n} = 3

. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

A. $\lim \frac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} = 3$

B. $\lim \frac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} = - 1$

C. $\lim \frac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} = 2$

D.

\lim \frac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} = 1

Xem đáp án

Ta có: $\lim \frac{3 u_{n} - 1}{u_{n} + 1} = \frac{3 \lim u_{n} - 1}{\lim u_{n} + 1} = \frac{3.3 - 1}{3 + 1} = \frac{8}{4} = 2$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 2:

Cho hai dãy số

(u_{n}), (v_{n})

thỏa mãn

|u_{n}| \leq v_{n}

với mọi n và

\lim u_{n} = 0

thì:

A. $\lim u_{n} = 0$

B. $\lim u_{n} > \lim v_{n}$

C. $\lim u_{n} < \lim v_{n}$

D. $\lim u_{n} < 0$

Xem đáp án

Định lý: Cho hai dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ Nếu $|u_{n}| \leq v_{n}$ với mọi n và $\lim v_{n} = 0$ thì $\lim u_{n} = 0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 3:

Cho

n \in N^{*}

nếu

| q | < 1

thì:

A. $\lim q^{n} = 0$

B. $\lim q = 0$

C. $\lim (n . q) = 0$

D. $\lim \frac{n}{q} = 0$

Xem đáp án

Định lý: Nếu $|q| < 1$ thì $\lim q^{n} = 0$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Cho cấp số nhân lùi vô hạn

(u_{n})

công bội q. Đặt

S = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} + ...

thì:

A. $S = \frac{u_{1}}{1 - q}$

B. $S = \frac{u_{1}}{q - 1}$

C. $S = \frac{1 - q}{u_{n}}$

D. $S = \frac{u_{1}}{1 - q^{n}}$

Xem đáp án

Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn: $S = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} + ... = \frac{u_{1}}{1 - q}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Gọi S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

(u_{n})

có công bội

q (|q| < 1)

. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. $S = \frac{u_{1}}{1 - q}$

B. $S = \frac{u_{1}}{1 + q}$

C. $S = \frac{1}{u_{1} - q}$

D. $S = \frac{u_{1}}{q - 1}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} S = u_{1} + u_{2} + ... \\ = u_{1} (1 + q + q^{2} + ...) \\ = \frac{u_{1}}{1 - q} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 6:

Cho $u_{n} = \frac{1 - 4 n}{5 n}$ . Khi đó $l i m u_{n}$ bằng?

A. $\frac{1}{5} .$

B. $- \frac{4}{5} .$

C. $\frac{4}{5} .$

D. $- \frac{1}{5} .$

Xem đáp án

$\lim u_{n} = \lim \frac{1 - 4 n}{5 n} = \lim \frac{\frac{1}{n} - 4}{5} = \frac{- 4}{5} = - \frac{4}{5} .$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 7:

Cho $u_{n} = \frac{n^{2} - 3 n}{1 - 4 n^{3}}$ . Khi đó $l i m u_{n}$ bằng?

A.0

B. $- \frac{1}{4} .$

C. $\frac{3}{4} .$

D. $- \frac{3}{4} .$

Xem đáp án

$\lim u_{n} = \lim \frac{n^{2} - 3 n}{1 - 4 n^{3}} = \lim \frac{\frac{1}{n} - \frac{3}{n^{2}}}{\frac{1}{n^{3}} - 4} = \frac{0}{- 4} = 0.$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 8:

Cho $u_{n} = \frac{3^{n} + 5^{n}}{5^{n}}$ . Khi đó $l i m u_{n}$ bằng?

A.0

B.1

C. $\frac{3}{5}$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

$\lim u_{n} = \lim \frac{3^{n} + 5^{n}}{5^{n}} = \lim \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} + 1}{1} = \frac{1}{1} = 1.$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

Giá trị $\lim (n^{3} - 2 n + 1)$ bằng?

A.0

B.1

C. $- \infty$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Ta có: $n^{3} - 2 n + 1 = n^{3} (1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}})$

Vì $\lim n^{3} = + \infty$ và $\lim (1 - \frac{2}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}) = 1 > 0$ nên $\lim (n^{3} - 2 n + 1) = + \infty$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 10:

$\lim (\frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}})$ bằng

A.1

B.0

C. $+ \infty$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Bước 1:

Vì $\lim \frac{1}{n} = 0; \lim \frac{1}{n^{2}} = 0$

Bước 2:

Nên $\lim (\frac{2}{n} + \frac{3}{n^{2}}) = 2.0 + 3.0 = 0$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 11:

Cho cấp số nhân $u_{n} = \frac{1}{2^{n}}, \forall n \geq 1$ . Khi đó:

A. $S = 1$

B. $S = \frac{1}{2^{n}}$

C. $S = 0$

D. $S = 2$

Xem đáp án

Ta có: $u_{1} = \frac{1}{2}; q = \frac{1}{2} \Rightarrow S = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 12:

Cho các dãy số $u_{n} = \frac{1}{n}, n \geq 1$ và $v_{n} = n^{2}, n \geq 1$ . Khi đó:

A. $\lim (u_{n} . v_{n}) = 0$

B. $\lim (u_{n} . v_{n}) = + \infty$

C. $\lim (u_{n} . v_{n}) = - \infty$

D. $\lim (u_{n} . v_{n}) = 1$

Xem đáp án

Ta có: $\lim (u_{n} . v_{n}) = \lim (\frac{1}{n} . n^{2}) = \lim n = + \infty$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 13:

Giới hạn $\lim \frac{2^{n + 1} - {3.5}^{n} + 5}{{3.2}^{n} + {9.5}^{n}}$ bằng?

A.1

B. $\frac{2}{3}$

C.-1

D. $- \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Bước 1:

\lim \frac{2^{n + 1} - {3.5}^{n} + 5}{{3.2}^{n} + {9.5}^{n}} = \lim \frac{{2.2}^{n} - {3.5}^{n} + 5}{{3.2}^{n} + {9.5}^{n}}

$= \lim \frac{2. {(\frac{2}{5})}^{n} - 3 + 5. {(\frac{1}{5})}^{n}}{3. {(\frac{2}{5})}^{n} + 9}$

Bước 2:

$= \frac{2.0 - 3 + 5.0}{3.0 + 9} = \frac{- 3}{9} = - \frac{1}{3} .$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 14:

Giới hạn $\lim \frac{{(2 - 5 n)}^{3} {(n + 1)}^{2}}{2 - 25 n^{5}}$ bằng?

A.-4

B.-1

C.5

D. $- \frac{3}{2}$

Xem đáp án

$\lim \frac{{(2 - 5 n)}^{3} {(n + 1)}^{2}}{2 - 25 n^{5}} = \lim \frac{\frac{{(2 - 5 n)}^{3}}{n^{3}} . \frac{{(n + 1)}^{2}}{n^{2}}}{\frac{2 - 25 n^{5}}{n^{5}}} = \frac{{(\frac{2 - 5 n}{n})}^{3} . {(\frac{n + 1}{n})}^{2}}{\frac{2}{n^{5}} - 25}$

$= \lim \frac{{(\frac{2}{n} - 5)}^{3} . {(1 + \frac{1}{n})}^{2}}{\frac{2}{n^{5}} - 25} = \frac{{(0 - 5)}^{3} {(1 + 0)}^{2}}{0 - 25} = \frac{{(- 5)}^{3} {.1}^{2}}{- 25} = 5$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 15:

Giới hạn $\lim \frac{\sqrt{n^{2} - 3 n - 5} - \sqrt{9 n^{2} + 3}}{2 n - 1}$ bằng?

A. $\frac{5}{2}$

B. $\frac{- 5}{2}$

C.1

D.-1

Xem đáp án

Cách 1:

$l i m \frac{\sqrt{n^{2} - 3 n - 5} - \sqrt{9 n^{2} + 3}}{2 n - 1}$

$= l i m \frac{(\sqrt{n^{2} - 3 n - 5} - \sqrt{9 n^{2} + 3}) . (\sqrt{n^{2} - 3 n - 5} + \sqrt{9 n^{2} + 3})}{(\sqrt{n^{2} - 3 n - 5} + \sqrt{9 n^{2} + 3}) . (2 n - 1)}$

$= l i m \frac{(n^{2} - 3 n - 5) - (9 n^{2} + 3)}{(\sqrt{n^{2} - 3 n - 5} + \sqrt{9 n^{2} + 3}) . (2 n - 1)}$

$= l i m \frac{- 8 n^{2} - 3 n - 8}{(\sqrt{n^{2} - 3 n - 5} + \sqrt{9 n^{2} + 3}) . (2 n - 1)}$

$= l i m \frac{- 8 - \frac{3}{n} - \frac{8}{n^{2}}}{(\sqrt{1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{n^{2}}} + \sqrt{9 + \frac{3}{n^{2}}}) (2 - \frac{1}{n})} = \frac{- 8}{4.2} = - 1$

Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho n.

$\lim \frac{\sqrt{n^{2} - 3 n - 5} - \sqrt{9 n^{2} + 3}}{2 n - 1} = \lim \frac{\sqrt{1 - \frac{3}{n} - \frac{5}{n^{2}}} - \sqrt{9 + \frac{3}{n^{2}}}}{2 - \frac{1}{n}} = \lim \frac{1 - 3}{2} = - 1$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 16:

Giới hạn $\lim \frac{2 n^{2} - n + 4}{\sqrt{2 n^{4} - n^{2} + 1}}$ bằng?

A.1

B. $\sqrt{2}$

C.2

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

$\lim \frac{2 n^{2} - n + 4}{\sqrt{2 n^{4} - n^{2} + 1}} = \lim \frac{2 - \frac{1}{n} + \frac{4}{n^{2}}}{\sqrt{2 - \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{4}}}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} .$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 17:

Giới hạn $\lim (\sqrt{n^{2} - n} - n)$ bằng?

A. $- \infty$

B. $- \frac{1}{2}$

C.0

D. $+ \infty$

Xem đáp án

$\lim (\sqrt{n^{2} - n} - n) = \lim \frac{(\sqrt{n^{2} - n} - n) . (\sqrt{n^{2} - n} + n)}{\sqrt{n^{2} - n} + n}$

$= \lim \frac{n^{2} - n - n^{2}}{\sqrt{n^{2} - n} + n} = \lim \frac{- n}{\sqrt{n^{2} - n} + n} = \lim \frac{- 1}{\sqrt{1 - \frac{1}{n}} + 1} = \frac{- 1}{2} = - \frac{1}{2} .$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 18:

Giới hạn $\lim (\sqrt{n^{2} - n + 1} - \sqrt{n^{2} + 1})$ bằng?

A.0

B. $- \frac{1}{2}$

C. $- \frac{1}{\sqrt{2}}$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} \lim (\sqrt{n^{2} - n + 1} - \sqrt{n^{2} + 1}) \\ = \lim \frac{(\sqrt{n^{2} - n + 1} - \sqrt{n^{2} + 1}) (\sqrt{n^{2} - n + 1} + \sqrt{n^{2} + 1})}{\sqrt{n^{2} - n + 1} + \sqrt{n^{2} + 1}} \\ = \lim \frac{n^{2} - n + 1 - n^{2} - 1}{\sqrt{n^{2} - n + 1} + \sqrt{n^{2} + 1}} \\ = \lim \frac{- n}{\sqrt{n^{2} - n + 1} + \sqrt{n^{2} + 1}} \\ = \lim \frac{- 1}{\sqrt{1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}}}} \\ = - \frac{1}{2} \end{array}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 19:

Giá trị $\lim \frac{\sin (n!)}{n^{2} + 1}$ bằng

A.0

B.1

C. $+ \infty$

D.2

Xem đáp án

Ta có $|\frac{\sin (n!)}{n^{2} + 1}| \leq \frac{1}{n^{2} + 1}$ mà $\lim \frac{1}{n^{2} + 1} = 0$ nên chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

Tính giới hạn $\lim \frac{n^{2} - 3 n^{3}}{2 n^{3} + 5 n - 2}$

A. $\frac{1}{5}$

B. $\frac{1}{2}$

C.0

D. $\frac{- 3}{2}$

Xem đáp án

Bước 1:

$\lim \frac{n^{2} - 3 n^{3}}{2 n^{3} + 5 n - 2} = \lim \frac{n^{3} (- 3 + \frac{1}{n})}{n^{3} (2 + \frac{5}{n} - \frac{2}{n^{3}})}$

Bước 2:

$= \lim \frac{- 3 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{5}{n} - \frac{2}{n^{3}}} = \frac{- 3 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{- 3}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 21:

$\lim \frac{n + 1}{2 n - 3}$ bằng

A.0

B. $- \infty$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{- 1}{3}$

Xem đáp án

Bước 1:

$\lim \frac{n + 1}{2 n - 3} = \lim \frac{n (1 + \frac{1}{n})}{n (2 - \frac{3}{n})} = \lim \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{3}{n}}$

Bước 2:

$= \frac{1 + 0}{2 - 0} = \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22:

Bạn Bách thả 1 quả bóng cao su từ độ cao 12m so với mặt đất. Mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao của lần rơi trước. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng số quãng đường quả bóng đã di chuyển (từ lúc thả bóng cho tới khi quả bóng không nảy nữa) gần nhất với kết quả nào sau đây?

A.36m

B.62m

C.60m

D.56m

Xem đáp án

Ta coi độ cao nảy lên lần thứ nhất là $u_{1} \Rightarrow u_{1} = 12. \frac{2}{3} = 8$

\Rightarrow u_{2} = \frac{2}{3} u_{1}; u_{3} = \frac{2}{3} u_{2}; ...; u_{n} = \frac{2}{3} u_{n - 1}; ...

=> Đây là cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = 8; q = \frac{2}{3}$

Khi đó tổng quãng đường quả bóng đã di chuyển là

S = 12 + 2 u_{1} + 2 u_{2} + 2 u_{3} + ... + 2 u_{n} + ...

= 12 + 2. (u_{1} + u_{2} + \dots) = 12 + 2. \frac{u_{1}}{1 - q}

= 12 + 2. \frac{8}{1 - \frac{2}{3}} = 60

Đáp án cần chọn là: C

Câu 23:

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + .... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$ . Khi đó $l i m u_{n}$ bằng?

A.0

B. $\frac{1}{2}$

C.1

D.2

Xem đáp án

$u_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n . (n + 1)}$

$= \frac{2 - 1}{1.2} + \frac{3 - 2}{2.3} + ... + \frac{n + 1 - n}{n . (n + 1)}$

$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + .... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$

$= 1 - \frac{1}{n + 1}$

$\Rightarrow \lim u_{n} = \lim (1 - \frac{1}{n + 1}) = 1.$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 24:

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2 n - 1) . (2 n + 1)}$

Khi đó $l i m u_{n}$ bằng?

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{4}$

C.1

D.2

Xem đáp án

$\begin{array}{l} u_{n} = \frac{1}{1.3} + \frac{1}{3.5} + ... + \frac{1}{(2 n - 1) . (2 n + 1)} \\ = \frac{1}{2} . (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{2 n - 1} - \frac{1}{2 n + 1}) \\ = \frac{1}{2} . (1 - \frac{1}{2 n + 1}) \\ \Rightarrow \lim u_{n} = \lim \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{2 n + 1}) = \frac{1}{2} . \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 25:

Cho dãy số

(u_{n})

với

u_{n} = \frac{(2 n + 1) (1 - 3 n)}{\sqrt[3]{n^{3} + 5 n - 1}}

Khi đó

l i m u_{n}

bằng?

A. $- \infty$

B.-1

C. $+ \infty$

D. $\frac{- 2}{5}$

Xem đáp án

$\lim u_{n} = \lim \frac{(2 n + 1) (1 - 3 n)}{\sqrt[3]{n^{3} + 5 n - 1}} = \lim \frac{- 6 n^{2} - n + 1}{\sqrt[3]{n^{3} + 5 n - 1}}$

$= \lim \frac{\frac{- 6 n^{2} - n + 1}{n^{2}}}{\sqrt[3]{\frac{n^{3} + 5 n - 1}{n^{6}}}} = \lim \frac{- 6 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{\sqrt[3]{\frac{1}{n^{3}} + \frac{5}{n^{5}} - \frac{1}{n^{6}}}} = - \infty .$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 26:

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{matrix} u_{1} = 2 \\ u_{n + 1} = \frac{u_{n} + 1}{2}, (n \geq 1) \end{matrix}$ Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A.Dãy $(u_{n})$ là dãy giảm tới 1 khi $n \to + \infty$

B.Dãy $(u_{n})$ là dãy tăng tới 1 khi $n \to + \infty$

C.Không tồn tại giới hạn của dãy $(u_{n})$

D.Cả 3 đáp án trên đều sai

Xem đáp án

$u_{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{2^{1} + 1}{2^{1}}$

$u_{3} = \frac{\frac{3}{2} + 1}{2} = \frac{5}{4} = \frac{2^{2} + 1}{2^{2}}$

$u_{4} = \frac{\frac{5}{4} + 1}{2} = \frac{9}{8} = \frac{2^{3} + 1}{2^{3}}$

Chứng minh bằng quy nạp: $u_{n + 1} = \frac{2^{n} + 1}{2^{n}}, \forall n = 1; 2; ... (*)$

* Với $n = 1 : u_{2} = \frac{u_{1} + 1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{2^{1} + 1}{2^{1}}$ : (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với $n = k \geq 1$ tức là $u_{k} = \frac{2^{k} + 1}{2^{k}}$ ta chứng minh (*) đúng với $n = k + 1$ tức là cần chứng minh $u_{k + 1} = \frac{2^{k + 1} + 1}{2^{k + 1}}$

Ta có :

$u_{k + 1} = \frac{u_{k} + 1}{2} = \frac{\frac{2^{k} + 1}{2^{k}} + 1}{2} = \frac{\frac{2^{k} + 1 + 2^{k}}{2^{k}}}{2} = \frac{{2.2}^{k} + 1}{2^{k + 1}} = \frac{2^{k + 1} + 1}{2^{k + 1}}$

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy $(u_{n})$ là:

$u_{n} = \frac{2^{n - 1} + 1}{2^{n - 1}} = 1 + \frac{1}{2^{n - 1}}, \forall n = 1; 2; ... (*)$

Từ (*) ta có $u_{n + 1} - u_{n} = 1 + \frac{1}{2^{n}} - (1 + \frac{1}{2^{n - 1}})$

$= \frac{1}{2^{n}} - \frac{1}{2^{n + 1}} < 0 \forall n = 1, 2, ... \Rightarrow (u_{n})$ là dãy giảm và

$\lim u_{n} = \lim (1 + \frac{1}{2^{n - 1}}) = 1 \Rightarrow$ là dãy giảm tới 1 khi $n \to + \infty$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 27:

Cho các số thực a, b thỏa mãn $|a| < 1, |b| < 1$ . Tìm giới hạn $I = l i m \frac{1 + a + a^{2} + ... + a^{n}}{1 + b + b^{2} + ... + b^{n}}$ .

A. $+ \infty$

B. $\frac{1 - a}{1 - b}$

C. $\frac{1 - b}{1 - a}$

D.1

Xem đáp án

Ta có $1, a, a^{2}, ..., a^{n}$ là một cấp số nhân có công bội a

$\Rightarrow 1 + a + a^{2} + ... + a^{n} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a} .$

Tương tự: $1 + b + b^{2} + ... + b^{n} = \frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}$

$\Rightarrow \lim I = \lim \frac{\frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a}}{\frac{1 - b^{n + 1}}{1 - b}} = \lim (\frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a} . \frac{1 - b}{1 - b^{n + 1}}) = \lim (\frac{1 - a^{n + 1}}{1 - b^{n + 1}} . \frac{1 - b}{1 - a}) = \frac{1 - b}{1 - a} .$

(Vì $|a| < 1, |b| < 1 \Rightarrow \lim a^{n + 1} = \lim b^{n + 1} = 0$ )

Đáp án cần chọn là: C

Câu 28:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ có đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác $A_{2} B_{2} C_{2}$ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ ,…, tam giác AnBnCnAnBnCn có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác $A_{n - 1} B_{n - 1} C_{n - 1} \dots . G o i P, P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}, ...$ là chu vi của các tam giác $A B C, A_{1} B_{1} C_{1}, A_{2} B_{2} C_{2}, ..., A_{n} B_{n} C_{n}, ...$ Tìm tổng $P, P_{1}, P_{2}, ..., P_{n}, ...$

Media VietJack

A.9a

B.6a

C. $+ \infty$

D.3a

Xem đáp án

Bước 1:

Gọi $a_{n}$ là cạnh của tam giác $A_{n} B_{n} C_{n}$ với n nguyên dương.

Ta cần chứng minh cạnh của tam giác bất kì $A_{n} B_{n} C_{n}$ bằng $a_{n} = \frac{a}{2^{n}}$ với mọi số nguyên dương n (*)

Vì $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ là trung điểm các cạnh của tam giác ABC nên $a_{1} = \frac{a}{2}$

Cạnh của tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ có cạnh là $\frac{a}{2} = \frac{a}{2^{1}}$

Giả sử (*) đúng với $n = k$

Tức là cạnh của tam giác $A_{k} B_{k} C_{k}$ là $a_{k} = \frac{a}{2^{k}}$

Ta có $A_{k + 1} B_{k + 1} C_{k + 1}$ có cạnh bằng một nửa cạnh của tam giác $A_{k} B_{k} C_{k}$ nên có cạnh là $a_{k + 1} = \frac{a_{k}}{2} = \frac{1}{2} . \frac{a}{2^{k}} = \frac{a}{2^{k + 1}}$

=> (*) đúng với $n = k + 1$

=> (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

=> Chu vi của tam giác $A_{n} B_{n} C_{n}$ như giả thiết là $P_{n} = \frac{3 a}{2^{n}}$

Bước 2:

Như vậy $P = 3 a; P_{1} = \frac{3 a}{2}; P_{2} = \frac{3 a}{2^{2}}; ...; P_{n} = \frac{3 a}{2^{n}}; ...$

Dãy số $(P_{n})$ gồm $P, P_{1}, P_{2}, ...$ là cấp số nhân với số hạng đầu là $P = 3 a$ công bội $q = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow P + P_{1} + P_{2} + ... = \frac{3 a}{1 - \frac{1}{2}} = 6 a$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 29:

Dãy số (u_n) nào sau đây có giới hạn khác số 1 khi n dần đến vô cùng?

A. $u_{n} = \frac{{(2017 - n)}^{2018}}{n {(2018 - n)}^{2017}}$

B. $u_{n} = n (\sqrt{n^{2} + 2018} - \sqrt{n^{2} + 2016})$

C. $\{\begin{matrix} u_{1} = 2017 \\ u_{n + 1} = \frac{1}{2} (u_{n} + 1), n = 1, 2, 3... \end{matrix}$

D. $u_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)}$

Xem đáp án

Ta tính giới hạn của các dãy số trong từng đáp án:

+) Đáp án A:

$\lim_{} u_{n} = \lim_{} \frac{{(2017 - n)}^{2018}}{n {(2018 - n)}^{2017}} = \lim_{} [\frac{2017 - n}{n} . {(\frac{2017 - n}{2018 - n})}^{2017}]$

$= \lim_{} [(\frac{2017}{n} - 1) {(\frac{\frac{2017}{n} - 1}{\frac{2018}{n} - 1})}^{2017}] = - 1$

+) Đáp án B:

$\lim_{} u_{n} = \lim_{} n (\sqrt{n^{2} + 2018} - \sqrt{n^{2} + 2016}) = \lim_{} \frac{n (n^{2} + 2018 - n^{2} - 2016)}{\sqrt{n^{2} + 2018} + \sqrt{n^{2} + 2016}}$

$= \lim_{} \frac{2 n}{\sqrt{n^{2} + 2018} + \sqrt{n^{2} + 2016}} = \lim_{} \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2018}{n^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{2016}{n^{2}}}} = 1$

+) Đáp án C:

Ta có: $u_{n + 1} - 1 = \frac{1}{2} (u_{n} - 1)$

$\begin{array}{l} u_{n} - 1 = \frac{1}{2} (u_{n - 1} - 1) \\ u_{n - 1} - 1 = \frac{1}{2} (u_{n - 2} - 1) \\ u_{n - 2} - 1 = \frac{1}{2} (u_{n - 3} - 1) \\ ... \\ u_{2} - 1 = \frac{1}{2} (u_{1} - 1) \end{array}$

$\Rightarrow (u_{n} - 1) (u_{n - 1} - 1) (u_{n - 2} - 1) ... (u_{2} - 1)$

$= \frac{1}{2} (u_{n - 1} - 1) . \frac{1}{2} (u_{n - 2} - 1) . \frac{1}{2} (u_{n - 3} - 1) ... \frac{1}{2} (u_{1} - 1)$

$= \frac{1}{2^{n - 1}} (u_{n - 1} - 1) (u_{n - 2} - 1) ... (u_{2} - 1) (u_{1} - 1)$

$\Rightarrow u_{n} - 1 = \frac{1}{2^{n - 1}} (u_{1} - 1)$

$\Rightarrow u_{n} = \frac{2016}{2^{n - 1}} + 1 \Leftrightarrow u_{n} = 4032. {(\frac{1}{2})}^{n} + 1 \Rightarrow \lim_{} u_{n} = 1$

Ở câu C, các em cũng có thể giả sử $\lim u_{n} = a$ thì $u_{n + 1} \to a k h i n \to \infty$ do đó ta có $a = \frac{1}{2} (a + 1) \Leftrightarrow a = 1$

+) Đáp án D:

Ta có

$u_{n} = \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + ... + \frac{1}{n (n + 1)} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}$

$\Rightarrow \lim_{} u_{n} = \lim_{} \frac{n}{n + 1} = 1$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 30:

Tính giới hạn: $\lim [(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) ... (1 - \frac{1}{n^{2}})]$ .

A.1

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Cách 1:

Xét dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = (1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) ... (1 - \frac{1}{n^{2}}), n \geq 2, n \in ℕ$

Ta có:

$u_{2} = 1 - \frac{1}{2^{2}} = \frac{3}{4} = \frac{2 + 1}{2.2}$

$u_{3} = (1 - \frac{1}{2^{2}}) . (1 - \frac{1}{3^{2}}) = \frac{3}{4} . \frac{8}{9} = \frac{4}{6} = \frac{3 + 1}{2.3}$

$u_{4} = (1 - \frac{1}{2^{2}}) . (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) = \frac{3}{4} . \frac{8}{9} . \frac{15}{16} = \frac{5}{8} = \frac{4 + 1}{2.4}$

…….

$u_{n} = \frac{n + 1}{2 n}$

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp qui nạp để khẳng định $u_{n} = \frac{n + 1}{2 n}, \forall n \geq 2$

Khi đó $\lim [(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) ... (1 - \frac{1}{n^{2}})] = \lim \frac{n + 1}{2 n} = \frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 31:

Với n là số nguyên dương, đặt $S_{n} = \frac{1}{1 \sqrt{2} + 2 \sqrt{1}} + \frac{1}{2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}} + ... + \frac{1}{n \sqrt{n + 1} + (n + 1) \sqrt{n}}$ . Khi đó limS_n bằng

A. $\frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

B. $\frac{1}{\sqrt{2} - 1}$

C.1

D. $\frac{1}{\sqrt{2} + 2}$

Xem đáp án

Ta có $\frac{1}{n \sqrt{n + 1} + (n + 1) \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n} \sqrt{n + 1} (\sqrt{n} + \sqrt{n + 1})} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}{\sqrt{n} \sqrt{n + 1}} = \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Suy ra

$S_{n} = \frac{1}{1 \sqrt{2} + 2 \sqrt{1}} + \frac{1}{2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{2}} + ... + \frac{1}{n \sqrt{n + 1} + (n + 1) \sqrt{n}}$

$= \frac{1}{1} - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n + 1}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$

Suy ra $\lim S_{n} = 1$
Đáp án cần chọn là: C

Câu 32:

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $u_{1} = 0 v à u_{n + 1} = u_{n} + 4 n + 3, \forall n \geq 1$ Biết

$\lim \frac{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{4 n}} + \sqrt{u_{4^{2} n}} + ... + \sqrt{u_{4^{2018} n}}}{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{2 n}} + \sqrt{u_{2^{2} n}} + ... + \sqrt{u_{2^{2018} n}}} = \frac{a^{2019} + b}{c}$ với a, b, c là các số nguyên dương và $b < 2019$ . Tính giá trị $S = a + b - c$ .

A. $S = - 1$

B. $S = 0$

C. $S = 2017$

D. $S = 2018$

Xem đáp án

Ta có

$\begin{array}{l} u_{2} = u_{1} + 4.1 + 3 \\ u_{3} = u_{2} + 4.2 + 3 \\ ... \\ u_{n} = u_{n - 1} + 4. (n - 1) + 3 \end{array}$

Cộng vế theo vế và rút gọn ta được

$u_{n} = u_{1} + 4. (1 + 2 + ... + n - 1) + 3 (n - 1) = 4 \frac{n (n - 1)}{2} + 3 (n - 1) = 2 n^{2} + n - 3$

với mọi $n \geq 1$

Suy ra

$\begin{array}{l} u_{2 n} = 2 {(2 n)}^{2} + 2 n - 3 \\ u_{2^{2} n} = 2 {(2^{2} n)}^{2} + 2^{2} n - 3 \\ ... \\ u_{2^{2018} n} = 2 {(2^{2018} n)}^{2} + 2^{2018} n - 3 \end{array}$

Và

$\begin{array}{l} u_{4 n} = 2 {(4 n)}^{2} + 4 n - 3 \\ u_{4^{2} n} = 2 {(4^{2} n)}^{2} + 4^{2} n - 3 \\ ... \\ u_{4^{2018} n} = 2 {(4^{2018} n)}^{2} + 4^{2018} n - 3 \end{array}$

Do đó

\lim \frac{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{4 n}} + \sqrt{u_{4^{2} n}} + ... + \sqrt{u_{4^{2018} n}}}{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{2 n}} + \sqrt{u_{2^{2} n}} + ... + \sqrt{u_{2^{2018} n}}}

= \lim \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{n} - \frac{3}{n^{2}}} + \sqrt{{2.4}^{2} + \frac{4}{n} - \frac{3}{n^{2}}} + ... + \sqrt{2 {(4^{2018})}^{2} + \frac{4^{2018}}{n} - \frac{3}{n^{2}}}}{\sqrt{2 + \frac{1}{n} - \frac{3}{n^{2}}} + \sqrt{{2.2}^{2} + \frac{2}{n} - \frac{3}{n^{2}}} + ... + \sqrt{2 {(2^{2018})}^{2} + \frac{2^{2018}}{n} - \frac{3}{n^{2}}}}

= \frac{\sqrt{2} (1 + 4 + 4^{2} + ... + 4^{2018})}{\sqrt{2} (1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{2018})} = \frac{1 \frac{1 - 4^{2019}}{1 - 4}}{\frac{1 - 2^{2019}}{1 - 2}} = \frac{1}{3} \frac{4^{2019} - 1}{2^{2019} - 1} = \frac{2^{2019} + 1}{3}

Vì $2^{2019} > 2019$ cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên $\{\begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \\ c = 3 \end{matrix}$

Vậy $S = a + b - c = 0$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 33:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $x^{3} - 3 x^{2} + (2 m - 2) x + m - 3 = 0$ có ba nghiệm $x_{1}, x_{2,} x_{3}$ thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2} < x_{3}$ .

A. $m > - 5$

B. $m < - 5$

C. $m \leq - 5$

D. $m < - 6$

Xem đáp án

Đặt $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + (2 m - 2) x + m - 3$ . Ta thấy hàm số liên tục trên $ℝ$

Dễ thấy nếu $x \to - \infty$ thì $f (x) \to - \infty$ hay $f (x) < 0$

Suy ra điều kiện cần để $f (x) = 0$ có 3 nghiệm thỏa mãn $x_{1} < - 1 < x_{2} < x_{3}$ là $f (- 1) > 0 \Leftrightarrow - m - 5 > 0 \Leftrightarrow m < - 5$

Điều kiện đủ: với $m < - 5$ ta có

$*) \lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty$ nên tồn tại $a < - 1$ sao cho $f (a) < 0$

Mặt khác $f (- 1) = - m - 5 > 0$ . Suy ra $f (a) . f (- 1) < 0$

Do đó tồn tại $x_{1} \in (a; - 1)$ sao cho $f (x_{1}) = 0$

*) $f (0) = m - 3 < 0, f (- 1) > 0$ . Suy ra $f (0) . f (- 1) < 0$

Do đó tồn tại $x_{2} \in (- 1; 0)$ sao cho $f (x_{2}) = 0$

*) $\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ nên tồn tại $b > 0$ sao cho $f (b) > 0$
Mặt khác $f (0) < 0$ . Suy ra $f (0) . f (b) < 0$

Do đó tồn tại $x_{3} \in (0; b)$ sao cho $f (x_{3}) = 0$
Vậy m < −5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Câu 34:

Tính $\lim \sqrt{\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{2 n (n + 7) (6 n + 5)}}$

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Ta có: $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Khi đó: $\lim \sqrt{\frac{1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + ... + n^{2}}{2 n (n + 7) (6 n + 5)}} = \lim \sqrt{\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{12 n (n + 7) (6 n + 5)}} = \lim \sqrt{\frac{(1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n})}{12 (1 + \frac{7}{n}) (6 + \frac{5}{n})}} = \frac{1}{6}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 35:

Đặt $f (n) = {(n^{2} + n + 1)}^{2} + 1.$ .

Xét dãy số (u_n) sao cho $u_{n} = \frac{f (1) . f (3) . f (5) ... f (2 n - 1)}{f (2) . f (4) . f (6) ... f (2 n)}$ Tính $l i m n \sqrt{u_{n} .}$

A. $\lim n \sqrt{u_{n}} = \sqrt{2} .$

B. $\lim n \sqrt{u_{n}} = \frac{1}{\sqrt{3}} .$

C. $\lim n \sqrt{u_{n}} = \sqrt{3} .$

D. $\lim n \sqrt{u_{n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Xem đáp án

Xét $g (n) = \frac{f (2 n - 1)}{f (2 n)} \Rightarrow g (n) = \frac{{(4 n^{2} - 2 n + 1)}^{2} + 1}{{(4 n^{2} + 2 n + 1)}^{2} + 1}$

$g (n) = \frac{{(4 n^{2} + 1)}^{2} - 4 n (4 n^{2} + 1) + (4 n^{2} + 1)}{{(4 n^{2} + 1)}^{2} + 4 n (4 n^{2} + 1) + (4 n^{2} + 1)} = \frac{4 n^{2} + 1 - 4 n + 1}{4 n^{2} + 1 + 4 n + 1} = \frac{{(2 n - 1)}^{2} + 1}{{(2 n + 1)}^{2} + 1}$

$\Rightarrow u_{n} = \frac{2}{10} . \frac{10}{26} . \frac{26}{50} .... \frac{{(2 n - 3)}^{2} + 1}{{(2 n - 1)}^{2} + 1} . \frac{{(2 n - 1)}^{2} + 1}{{(2 n + 1)}^{2} + 1} = \frac{2}{{(2 n + 1)}^{2} + 1}$

$\Rightarrow \lim n \sqrt{u_{n}} = \lim \sqrt{\frac{2 n^{2}}{4 n^{2} + 4 n + 2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 36:

Tính

\lim n (\sqrt{4 n^{2} + 3} - \sqrt[3]{8 n^{3} + n})

A. $+ \infty$

B.1

C. $- \infty$

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim n (\sqrt{4 n^{2} + 3} - \sqrt[3]{8 n^{3} + n})$

$= \lim n [(\sqrt{4 n^{2} + 3} - 2 n) + (2 n - \sqrt[3]{8 n^{3} + n})]$

$= \lim [n (\sqrt{4 n^{2} + 3} - 2 n) + n (2 n - \sqrt[3]{8 n^{3} + n})]$

Ta có: $\lim n (\sqrt{4 n^{2} + 3} - 2 n) = \lim \frac{3 n}{(\sqrt{4 n^{2} + 3} + 2 n)} = \lim \frac{3}{(\sqrt{4 + \frac{3}{n^{2}}} + 2)} = \frac{3}{4}$

Ta có: $\lim n (2 n - \sqrt[3]{8 n^{3} + n}) = \lim \frac{- n^{2}}{(4 n^{2} + 2 n \sqrt[3]{8 n^{3} + n} + \sqrt[3]{{(8 n^{3} + n)}^{2}})}$

$= \lim \frac{- 1}{(4 + 2 \sqrt[3]{8 + \frac{1}{n^{2}}} + \sqrt[3]{{(8 + \frac{1}{n^{2}})}^{2}})} = - \frac{1}{12}$

Vậy $\lim n (\sqrt{4 n^{2} + 3} - \sqrt[3]{8 n^{3} + n}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{12} = \frac{2}{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 37:

Tìm số hữu tỉ biểu diễn số

0, 111111 \dots

chu kỳ (1).

A. $\frac{1}{6}$

B. $\frac{1}{9}$

C. $\frac{1}{11}$

D. $\frac{1}{13}$

Xem đáp án

Bước 1: Tìm cấp số nhân

Ta biểu diễn

$a = \underset{u_{3}}{\underset{⏟}{\underset{u_{2}}{\underset{⏟}{\underset{u_{1}}{\underset{⏟}{0, 111}}}} .}} .. = 0, 1 + 0, 01 + 0, 001 + ... = \frac{1}{10} + \frac{1}{10^{2}} + \frac{1}{10^{3}} + ...$

Xét dãy $u_{1} = 0, 1; u_{2} = 0, 01; u_{3} = 0, 001; ...; u_{n} = 0, \underset{n c h u s o}{\underset{⏟}{0...01;}} ...$

Ta thấy dãy trên có:

- Số hạng đầu: $u_{1} = 0, 1 = \frac{1}{10}$

- Số hạng thứ hai: $u_{2} = 0, 01 = \frac{1}{10^{2}} = u_{1} . \frac{1}{10}$

- Số hạng thứ n: $u_{n} = 0, \underset{n c h u s o}{\underset{⏟}{0...01}} = \frac{1}{10^{n}} = u_{1} . {(\frac{1}{10})}^{n - 1}$

Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Như vậy aa là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn biết:

- Số hạng đầu: $u_{1} = \frac{1}{10}$

- Công bội: $q = \frac{1}{10}$

Do vậy: $a = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{1}{9}$

Vậy: $a = \frac{1}{9}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 38:

Cho hình vuông $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có cạnh bằng a và có diện tích $S_{1}$ . Nối bốn trung điểm $A_{2}, B_{2}, C_{2}, D_{2}$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích $S_{2}$ . Tiếp tục như thế, ta được hình vuông $A_{3} B_{3} C_{3} D_{3}$ có diện tích $S_{3}, \dots$ Tính tổng $S_{1} + S_{2} + \dots$ bằng

A. $\frac{a^{2} (2^{100} - 1)}{2^{100}}$

B. $2 a^{2}$

C. $\frac{a^{2}}{2^{100}}$

D. $\frac{a^{2} (2^{99} - 1)}{2^{98}}$

Xem đáp án

Bước 1: Tìm cấp số nhân

Ta có:

$\begin{array}{l} S_{1} = a^{2} \\ S_{2} = {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} = a^{2} \cdot \frac{1}{2} \\ S_{3} = {(\frac{a \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2} \\ \dots \\ S_{n} = a^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1} \end{array}$

Có $S_{1}; S_{2}; S_{3}; \dots$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với:

- Số hạng đầu: $S_{1} = a^{2}$

- Công bội: $q = \frac{1}{2}$

Bước 2: Sử dụng công thức tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Do đó: $S = S_{1} + S_{2} + S_{3} + \dots = \frac{S_{1}}{1 - q} = \frac{a^{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 a^{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 39:

Người ta dự định xây dựng một tòa tháp 11 tầng tại một ngôi chùa nọ theo cấu trúc: diện tích của mặt sàn tầng trên bằng một nửa diện tích mặt sàn tầng dưới, biết diện tích mặt đáy tháp là 15 m². Yêu cầu là nền tháp lát gạch hoa kích thước 30x30 (cm). Số lượng gạch hoa cần mua để lát sàn tháp là

A. 333 viên gạch

B. 334 viên gạch

C. 332 viên gạch

D. 335 viên gạch

Xem đáp án

Bước 1: Gọi S¹ là diện tích mặt đáy tháp. Biểu diễn diện tích mặt đáy tầng thứ n.

Gọi S¹ là diện tích mặt đáy tháp. Ta có: $S_{1} = 15 (m^{2})$

Theo yêu cầu khi xây dựng tòa tháp, diên tích mặt đáy các tầng tiếp theo là:

$S_{2} = \frac{1}{2} S_{1}$

$S_{3} = \frac{1}{2} S_{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} S_{1} .$

….

$S_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1} S_{1}$

Bước 2: Tính tổng diện tích mặt sàn 11 tầng.

Tổng diện tích mặt sàn 11 tầng tháp là

$S = S_{1} + S_{2} + .. + S_{11} = S_{1} . (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + .. + \frac{1}{2^{10}}) = 15.1. \frac{1 - \frac{1}{2^{11}}}{1 - \frac{1}{2}} \approx 29, 98 (m^{2}) .$

Bước 3: Tìm số viên gạch

Diện tích mỗi viên gạch là $30.30 = 900 ({cm}^{2}) = 0, 09 (m^{2})$

Số lượng gạch hoa cần mua là $\frac{S}{0, 09} \approx 333, 17$

Vậy cần mua 334 viên gạch

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Giới hạn của dãy số

Giới hạn của dãy số

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương