50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 9)

Câu 1:

Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng

Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

Lời giài:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Đường thẳng có một VTCP là .

Câu 2:

Trong không gian Oxyz,cho đường thẳng

Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

Lời giài:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Đường thẳng có một VTCP là .

Câu 3:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là

Lời giài:

A.2.

B.−1.

C.−2.

D.1.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Giá trị cực tiểu của hàm số là .

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là

Lời giài:

A.2.

B.−1.

C.−2.

D.1.

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Giá trị cực tiểu của hàm số là .

Câu 5:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giài:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Hàm số nghịch biến trên .

Câu 6:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giài:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Hàm số nghịch biến trên .

Câu 7:

Trong không gian Oxyz,cho mặt phẳng

Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

Lời giài:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Mặt phẳng có một VTPT là .

Câu 8:

Trong không gian Oxyz,cho mặt phẳng

Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

Lời giài:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Mặt phẳng có một VTPT là .

Câu 9:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ ?

Lời giài:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Ta có Loại B và D. Mà Chọn A.

Câu 10:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ ?

Lời giài:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn đáp án A

Ta có Loại B và D. Mà Chọn A.

Câu 11:

Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn

Lời giài:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Số phức có phần thực phần .

Câu 12:

Tìm phần thực của số phức z thỏa mãn

Lời giài:

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Chọn đáp án B

Số phức có phần thực phần .

Câu 13:

Tìm các số thực x; y biết

x - (y + 1) i = 2 + 3 i

A. x = 2; y = 2

B. x = 2; y = -2

C. x = 2; y = -4

D. x = 3; y = -4

Xem đáp án

Đáp án C

Do

x - (y + 1) i = 2 + 3 i \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ - (y + 1) = 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 4 \end{cases}

Câu 14:

Hàm số nào sau đây có ba điểm cực trị?

A. $y = x^{3} - 3 x^{2} - x$

B. $y = - x^{4} + 2 x^{2}$

C. $y = - x^{4} - 2 x^{2} + 1$

D. $y = 2 x - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta loại ngay đáp án A và D.

Hàm trùng phương có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow a b < 0$ .

Câu 15:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số

f (x) = x^{2} - 3 \sin x

.

A. $\int_{}^{} f (x) d x = 2 x - 3 \cos x + C$

B. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{1}{3} x^{3} - 3 \cos x + C$

C. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{1}{3} x^{3} + 3 \cos x + C$

D. $\int_{}^{} f (x) d x = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \cos x + C$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

\int_{}^{} f (x) d x = \frac{x^{3}}{3} + 3 \cos x + C

Câu 16:

Cho hàm số

y = a x^{4} + b x^{2} + c

(a, b, c \in ℝ)

có bảng biến thiên như hình vẽ

Cho hàm số y= ax^4- bx^2- cx (a,b,c thuộc R) có bảng biến thiên (ảnh 1)

Số nghiệm của phương trình $4 f (x) + 5 = 0$ là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình

\Leftrightarrow f (x) = - \frac{5}{4}

suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt.

Câu 17:

Cho hình chóp có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD),

S C = a \sqrt{5}

đáy ABCD là hình vuông cạnh a (minh họa hình vẽ bên). Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) bằng

Cho hình chóp có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SC= căn 5 (ảnh 1)

A. 45º

B. 30º

C. 90º

D. 60º

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $A C = a \sqrt{2} \Rightarrow S A = \sqrt{S C^{2} - A C^{2}} = a \sqrt{3}$

Góc giữa (SBC) và mặt phẳng (ABCD) là góc $\hat{S B A}$

Lại có

\tan \hat{S B A} = \frac{S A}{A B} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S B A} = 60 °

.

Câu 18:

Biết z₁ và z₂ là 2 nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 7 z + 21 = 0

. Tính giá trị của biểu thức

T = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}}

A. T= 3

B. T= $\frac{1}{3}$

C. T= 3i

D. T= 3+ 3i

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $T = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}} = \frac{z_{1} + z_{2}}{z_{1} z_{2}}$ .

Mặt khác theo định lý Viet ta có $\{\begin{cases} z_{1} + z_{2} = - \frac{b}{a} = 7 \\ z_{1} z_{2} = \frac{c}{a} = 21 \end{cases} \Rightarrow T = \frac{1}{3}$ .

Câu 19:

Điều kiện xác định của hàm số $f (x) = \sqrt{\log_{0, 5} (2 x - 1) - 2}$ .

A. $[\frac{5}{8}; + \infty)$

B. $(\frac{5}{8}; + \infty)$

C. $(- \infty; \frac{5}{8}]$

D. $(\frac{1}{2}; \frac{5}{8}]$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số đã cho xác định $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x - 1 > 0 \\ \log_{0, 5} (2 x - 1) \geq 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ 2 x - 1 \leq 0, 5^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > \frac{1}{2} \\ x \leq \frac{5}{8} \end{cases} \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x \leq \frac{5}{8}$

Câu 20:

Giá trị lớn nhất của hàm số

f (x) = \sqrt{4 - x^{2}} + x

là

A. $2 \sqrt{2}$

B. 2

C. $\frac{51}{18}$

D. 0

Xem đáp án

Đáp án A

TXĐ: $D = [- 2; 2]$ .

Ta có: $f^{'} (x) = \frac{- 2 x}{2 \sqrt{4 - x^{2}}} + 1 = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{4 - x^{2}}} = 1 \Leftrightarrow \sqrt{4 - x^{2}} = x$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ 4 - x^{2} = x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$

Mặt khác $f (2) = 2$ , $f (- 2) = - 2$ , $f (\sqrt{2}) = 2 \sqrt{2}$ .

Câu 21:

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho điểm

A (1; 1; 2)

và

B (3; 2; - 3)

. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Ox và đi qua hai điểm A, B có phương trình là

A. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 = 0$

B. $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 8 x + 2 = 0$

C. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 = 0$

D. $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x - 2 = 0$

Xem đáp án

Đáp án A

Tâm $I (x; 0; 0)$ . Cho $I A^{2} = I B^{2} \Rightarrow {(x - 1)}^{2} + 1 + 4 = {(x - 3)}^{2} + 4 + 9 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow I (4; 0; 0)$ ; $R^{2} = I A^{2} = 14$ .

Khi đó mặt cầu là ${(x - 4)}^{2} + y^{2} + z^{2} = 14 \Rightarrow x^{2} + y^{2} + z^{2} - 8 x + 2 = 0$ .

Câu 22:

Cho lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt phẳng

(A^{'} B C)

tạo với đáy một góc 30º (hình minh họa như hình vẽ). Thể tích của lăng trụ đã cho bằng

Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a (ảnh 1)

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{a^{3}}{16}$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựng $A M ⊥ B C$ , lại có $A A^{'} ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (A^{'} M A)$

Do đó $\hat{((A^{'} B C); (A B C))} = \hat{A^{'} M A} = 30 °$

Mặt khác $A M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A A^{'} = A M \tan 30 ° = \frac{a}{2}$

Vậy $V = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{a}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$ .

Câu 23:

Cho hàm số y= f(x) xác định trên R và có đạo hàm

f^{'} (x) = \frac{(x^{2} - x) {(x + 2)}^{2}}{|x - 1|}

với mọi x khác 1. Số điểm cực trị của hàm số y= f(x) là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số đạt cực trị tại x= 1.

Ta có $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = - 2 \end{cases}$

Phương trình

f^{'} (x) = 0

có nghiệm đơn

x = 0 \Rightarrow x = 0

là 1 điểm cực trị của hàm số

Câu 24:

Cho a, b là các số thực dương, $a \neq 1$ . Đẳng thức nào dưới đây đúng?

A. $\log_{a} (\frac{a^{3}}{\sqrt{b}}) = 3 - 2 \log_{a} b$

B. $\log_{a} (\frac{a^{3}}{\sqrt{b}}) = 3 + 2 \log_{a} b$

C. $\log_{a} (\frac{a^{3}}{\sqrt{b}}) = 3 - \frac{1}{2} \log_{a} b$

D. $\log_{a} (\frac{a^{3}}{\sqrt{b}}) = 3 + \frac{1}{2} \log_{a} b$

Xem đáp án

Đáp án C

$\log_{a} (\frac{a^{3}}{\sqrt{b}}) = \log_{a} a^{3} - \log_{a} \sqrt{b} = 3 - \frac{1}{2} \log_{a} b$

Câu 25:

Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy 4 quả banh tenis hình cầu, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng 4 lần đường kính quả banh. Gọi V₁ là tổng thể tích của bốn quả banh, V₂ là thể tích của hình trụ. Tỉ số thể tích

\frac{V_{1}}{V_{2}}

là

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{2 π}$

D. $\frac{2}{3 π}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi R là bán kính của quả banh tenis hình cầu thì tổng thể tích của 4 quả banh là $V_{1} = 4. \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{16}{3} π R^{3}$

Hình trụ có chiều cao bằng $h = 4. (2 R) a c$ và bán kính đáy r = R

Thể tích của khối trụ là $V_{2} = π r^{2} h = π R^{2} .8 R = 8 π R^{3}$ .

Suy ra

\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{2}{3}

.

Câu 26:

Số nghiệm dương của phương trình $\log_{3} (x^{2} - 2 x + 3) - \frac{1}{2} \log_{\sqrt{3}} (x + 1) = 1$ là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện $\{\begin{cases} x^{2} - 2 x + 3 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > - 1$

Khi đó PT $\Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} - 2 x + 3) - \log_{3} (x + 1) = \log_{3} 3 \Leftrightarrow \log_{3} 3 \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x + 1} = \log_{3} 3$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} - 2 x + 3}{x + 1} = 3 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 3 = 3 x + 3 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 5 \end{array} (t / m)$

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm dương

Câu 27:

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

|\bar{z} + 2| = |z - 2 i|

là

A. Đường thẳng y = x

B. Đường thẳng y = -x

C. Đường thẳng y = 2x

D. Đường thẳng y = -2x

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $z = x + y i$ $(x, y \in ℝ)$ ta có:

$|x - y i + 2| = |x + y i - 2 i| \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + y^{2} = x^{2} + {(y - 2)}^{2}$

$\Leftrightarrow 4 x + 4 y = 0 \Leftrightarrow y = - x$

Câu 28:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ

Số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Do $\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to - \infty} f (x) = 2$ nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang y = 2.

Mặt khác $\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = + \infty$ nên đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng x = 1.

Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Câu 29:

Cho hàm số f(x) và g(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số y = f(x). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = -2 và x = 3. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Cho hàm số y= f(x) và y= g(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình (ảnh 1)

A. $S = \int_{- 2}^{1} [f (x) - g (x)] d x + \int_{1}^{3} [f (x) - g (x)] d x$

B. $S = - \int_{- 2}^{1} [f (x) - g (x)] d x + \int_{1}^{3} [f (x) - g (x)] d x$

C. $S = - \int_{- 2}^{1} [f (x) - g (x)] d x - \int_{1}^{3} [f (x) - g (x)] d x$

D. $S = \int_{- 2}^{1} [f (x) - g (x)] d x - \int_{1}^{3} [f (x) - g (x)] d x$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

S = \int_{- 2}^{3} |f (x) - g (x)| d x = \int_{- 2}^{1} [f (x) - g (x)] d x - \int_{1}^{3} [f (x) - g (x)] d x

Câu 30:

Cho 2 điểm A(0;-1;0) và B(1;0;1) và mặt phẳng (P) :

x - 3 y - 7 z + 1 = 0

. Phương trình mặt phẳng (Q) qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) là

A. $2 x - y - z + 1 = 0$

B. $x - 2 y - z - 2 = 0$

C. $x - 2 y + z - 2 = 0$

D. $x + y + z - 2 = 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\vec{n_{p}} = (1; - 3; - 7)$ , $\vec{A B} = (1; 1; 1) \Rightarrow [\vec{n_{p}}, \vec{A B}] = (4; - 8; 4) = 4 (1; - 2; 1)$ là VTPT của mặt phẳng cần tìm => Phương trình mặt phẳng $x - 2 y + z - 2 = 0$ .

Câu 31:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

f (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 2)}^{3}}

trên khoảng

(2; + \infty)

là

A. $\ln (x - 2) + \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + C$

B. $\ln (x - 2) - \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + C$

C. $\ln (x - 2) + \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + C$

D. $\ln (x - 2) - \frac{4}{{(x - 2)}^{2}} + C$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\int_{}^{} f (x) d x = \int_{}^{} \frac{{(x - 2)}^{2} - 4}{{(x - 2)}^{3}} d x = \int_{}^{} \frac{d x}{x - 2} - 4 \int_{}^{} {(x - 2)}^{- 3} d x$

$= \ln |x - 2| - 4. \frac{{(x - 2)}^{- 2}}{- 2} + C \to_{}^{x > 2} \ln (x - 2) + \frac{2}{{(x - 2)}^{2}} + C$

Câu 32:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f^{'} (x) = (x + 3) e^{x} (\forall x \in ℝ)$ và $f (0) = 5$ . Tính $I = \int_{0}^{3} f (x) d x$

A. $I = 4 e^{3} - 10$

B. $I = 4 e^{3} + 8$

C. $I = 4 e^{3} + 10$

D. $I = 4 e^{3} - 8$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f (x) = f (x + 2) e^{x} d x$ . Đặt $\{\begin{cases} u = x + 3 \\ d v = e^{x} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = e^{x} \end{cases}$

Suy ra $f (x) = (x + 3) e^{x} - \int_{}^{} e^{x} d x + C = (x + 2) e^{x} + C$

Mặt khác $f (0) = 2 e^{0} + C = 5 \Leftrightarrow C = 3 \Rightarrow f (x) = (x + 2) e^{x} + 3$

$I = \int_{0}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{3} (x + 2) e^{x} d x + \int_{0}^{3} 3 d x = (x + 1) e^{x} |\begin{array}{l} ^{3} \\ _{0} \end{array} + 9 = 4 e^{3} + 8$

Câu 33:

Trong không gian Oxyz, phương trình đường thẳng qua $A (1; 2; - 1)$ cắt và vuông góc với đường thẳng d: $\frac{x + 2}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 5}{- 1}$ là

A. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 3}{2}$

B. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{- 4}$

C. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z - 1}{4}$

D. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 3}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử đường thẳng $∆$ cần tìm cắt d tại $B (- 2 + 2 t; - 1 + 2 t; 5 - t)$

Ta có: $\vec{A B} (- 3 + 2 t; - 3 + 2 t; 6 - t)$ do $Δ ⊥ d$ nên

$\vec{A B} . \vec{u_{d}} = 0 \Leftrightarrow 4 t - 6 + 4 t - 6 + t - 6 = 0$

$\Leftrightarrow 9 t - 18 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow B (2; 3; 3) \Rightarrow \vec{A B} (1; 1; 4)$

Phương trình đường thẳng cần tìm là $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 3}{4}$

Câu 34:

Trên mặt phẳng phức, tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

|z - 2 i| = |2 \bar{z} + 3 + i|

là một đường tròn bán kính R. Tính giá trị của R.

A. $\sqrt{3}$

B. $\sqrt{2}$

C. $\sqrt{14}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $z = x + y i$ $(x, y \in ℝ)$ ta có: $|x + y i - 2 i| = |2 (x - y i) + 3 + i|$

$\Leftrightarrow x^{2} + {(y - 2)}^{2} = {(2 x + 3)}^{2} + {(- 2 y + 1)}^{2} \Leftrightarrow 3 x^{2} + 3 y^{2} + 12 x + 6 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 = 0$

Vậy $R = \sqrt{2^{2} - 2} = \sqrt{2}$

Câu 35:

Cho hàm số f(x) hàm số y = f'(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên.

Cho hàm số f(x) hàm số y= f'(x) liên tục trên R và có đồ thị như (ảnh 1)

Tìm m để bất phương trình $x . f (x) > m . x - 3$ nghiệm đúng với mọi $x \in (1; 3)$

A. $m < f (1) + 3$

B. $m \leq f (1) + 3$

C. $m < f (3) + 1$

D. $m \leq f (3) + 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $x . f (x) > m . x - 3 \Leftrightarrow x f (x) + 3 > m x \Leftrightarrow f (x) + \frac{3}{x} > m$ (với $x \in (1; 3)$ )

Xét hàm số $g (x) = f (x) + \frac{3}{x}$ với $x \in (1; 3)$ thì $g^{'} (x) = f^{'} (x) - \frac{3}{x^{2}} < 0$ $\forall x \in (1; 3)$

Ta có bảng biến thiên

Do đó $g (x) > m (\forall x \in (1; 3)) \Leftrightarrow m \leq g (3) = f (3) + 1$

Câu 36:

Cho hàm số f(x), bảng xét dấu của f '(x) như sau:

Hàm số $y = f (1 - x^{2})$ nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-4;-2)

B. (-2;0)

C. (0;2)

D. (1;3)

Xem đáp án

Đáp án B

Chọn $f^{'} (x) = (x + 3) . x^{2} (x - 2)$

Xét $g (x) = f (1 - x^{2}) \Rightarrow g^{'} (x) = - 2 x f^{'} (1 - x^{2}) = - 2 x (4 - x^{2}) . {(1 - x^{2})}^{2} (1 - x^{2} - 2)$

= - 2 x (x^{2} - 4) {(1 - x^{2})}^{2} (x^{2} + 1)

Suy ra g(x) nghịch biến trên khoảng (-2;0)

Câu 37:

Trong đợt tham quan thực tế, một Đoàn trường THPT cử 30 đoàn viên xuất sắc của 3 khối tham gia. Khối 12 có 6 nam và 4 nữ, khối 11 có 5 nam và 5 nữ, khối 10 có 4 nam và 6 nữ. Chọn mỗi khối 1 đoàn viên làm nhóm trưởng, tính xác suất để trong 3 em làm nhóm trưởng có cả nam và nữ.

A. $\frac{6}{25}$

B. $\frac{5}{12}$

C. $\frac{7}{12}$

D. $\frac{19}{25}$

Xem đáp án

Đáp án D

Số phần tử của không gian mẫu là: $C_{10}^{1} C_{10}^{1} C_{10}^{1} = 1000$

Gọi A là biến cố: 3 em làm nhóm trưởng có cả nam và nữ.

Khi đó $\bar{A}$ là biến cố “3 học sinh được chọn chì có nam hoặc nữ”

Số kết quả thuận lợi cho biến cố $\bar{A}$ là: $C_{6}^{1} C_{5}^{1} C_{4}^{1} + C_{4}^{1} C_{5}^{1} C_{6}^{1} = 240$

Xác suất của biến cố $\bar{A}$ là $p_{\bar{A}} = \frac{240}{1000} = \frac{6}{25} \Rightarrow p_{A} = \frac{19}{25}$

Câu 38:

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3. Mặt phẳng (P) đi qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác có diện tích bằng

2 \sqrt{6}

. Khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng thiết diện là

A. $\frac{4 \sqrt{15}}{5}$

B. $\frac{6 \sqrt{34}}{17}$

C. $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

D. $2 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 4 và bán kính bằng 3 (ảnh 1)

Dựng hình nón đỉnh O như hình vẽ ta có: $O I ⊥ (I; R)$ .

Theo giả thiết ta có: $h = O I = 4$ , $R = I A = I B = 3$

Gọi M là trung điểm AB $\Rightarrow M I ⊥ A B$

\Rightarrow A B ⊥ (O M I) \Rightarrow A B ⊥ O M

Dựng $I H ⊥ O M \Rightarrow d = I H$ , đặt $I M = x \Rightarrow O M = \sqrt{x^{2} + 16}$

Lại có: $M B = \sqrt{9 - x^{2}} \Rightarrow S_{O A B} = O M . M B$

= \sqrt{x^{2} + 16} . \sqrt{9 - x^{2}} = 2 \sqrt{6} \Leftrightarrow (x^{2} + 16) (9 - x^{2}) = 24

\Leftrightarrow - x^{4} - 7 x^{2} + 120 = 0 \to_{}^{} x^{2} = 8 \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{2}

Suy ra $d = I H = \frac{O I . I M}{\sqrt{O I^{2} + I M^{2}}} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Câu 39:

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình

\log_{3} (- x^{2} - 4 x + 5) + \log_{\frac{1}{3}} (2 x - m + 3) = 0

có 2 nghiệm phân biệt là

A. 17

B. 3

C. 12

D. 13

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình đã cho tương đương $\log_{3} (- x^{2} - 4 x + 5) - \log_{3} (2 x - m + 3) = 0$

\Leftrightarrow \{\begin{cases} - x^{2} - 4 x + 5 > 0 \\ - x^{2} - 4 x + 5 = 2 x - m + 3 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = x^{2} + 6 x - 2 = f (x) \\ x \in (- 5; 1) \end{cases}

Xét hàm số $f (x) = x^{2} + 6 x - 2$ với $x \in (- 5; 1)$ ta có $f^{'} (x) = 2 x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 3$ .

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi $- 11 < m < - 7$

Kết hợp

m \in ℤ \Rightarrow m = \{- 10; - 9; - 8\}

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là trung điểm của OA. Biết SD tạo với đáy một góc 60º. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a (ảnh 1)

A. $d = \frac{a \sqrt{190}}{19}$

B. $d = \frac{a \sqrt{130}}{13}$

C. $d = \frac{4 a \sqrt{130}}{39}$

D. $d = \frac{4 a \sqrt{190}}{57}$

Xem đáp án

Đáp án B

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a (ảnh 2)

Ta có: $O D = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ , $O H = \frac{O A}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{4}$

$\Rightarrow H D = \sqrt{O D^{2} + O H^{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{4}$ , $\hat{S D H} = 60 ° \Rightarrow h = \frac{a \sqrt{30}}{4}$ .

Áp dụng công thức $\frac{1}{d^{2}} = \frac{1}{c^{2}} + \frac{k^{2}}{h^{2}}$

Trong đó $c = d (B; C D) = a$ , $h = \frac{3 a \sqrt{6}}{4}$ , $k = \frac{d_{H}}{d_{B}} = \frac{d_{H}}{d_{B}} = \frac{3}{4}$

Suy ra

d = \frac{a \sqrt{130}}{13}

Câu 41:

Cho hàm số

f (x)

có

f (\frac{π}{2}) = 0

và

f^{'} (x) = \sin x . \sin^{2} 2 x

,

\forall x \in ℝ

. Khi đó

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x

bằng

A. $\frac{104}{225}$

B. $- \frac{104}{225}$

C. $\frac{167}{225}$

D. $\frac{121}{225}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 42:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm

A (2; - 2; 2)

và mặt cầu (S):

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 1

. Điểm M di chuyển trên mặt cầu (S) đồng thời thỏa mãn

\vec{O M} . \vec{A M} = 6

. Điểm M luôn thuộc mặt phẳng nào dưới đây?

A. $4 y + 6 z + 11 = 0$

B. $4 y - 6 z - 11 = 0$

C. $4 y + 6 z - 11 = 0$

D. $4 y - 6 z + 11 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $M (x; y; z)$ là điểm bất kì thuộc mặt cầu (S).

Ta có: $\vec{O M} (x; y; z)$ và $\vec{A M} (x - 2; y + 2; z - 2)$ nên

$\vec{O M} . \vec{A M} = 6 \Leftrightarrow x (x - 2) + y (y + 2) + z (z - 2) = 6 \Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} + 4 y - 6 z - 12 = 0$

Do $M (x; y; z) \in (S)$ nên ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 1$ suy ra $M (x; y; z)$ thỏa mãn phương trình: $4 y - 6 z - 11 = 0$ .

Câu 43:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $5 f (x^{4} - 2 x^{2}) = m$ có ít nhất 5 nghiệm thuộc khoảng $(- \infty; + \infty)$ ?

A. 11

B. 6

C. 12

D. 8

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 44:

Cho z₁, z₂ là hai trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

|z - 5 - 3 i| = 5

và

|z_{1} - z_{2}| = 8

. Tập hợp các điểm biểu diễn của số phức

w = z_{1} + z_{2}

trong mặt phẳng tọa độ Oxy là đường tròn có phương trình nào dưới đây?

A. ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4}$

B. ${(x - 10)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 36$

C. ${(x - 10)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 16$

D. ${(x - \frac{5}{2})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = 9$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $\{\begin{cases} w_{1} = z_{1} - 5 - 3 i \\ w_{2} = z_{2} - 5 - 3 i \end{cases}$ suy ra $w_{1} + w_{2} = z_{1} + z_{2} - 10 - 6 i = w - 10 - 6 i \Leftrightarrow |w_{1} + w_{2}| = |w - 10 - 6 i|$

Mà $\{\begin{cases} |w_{1}| = |w_{2}| = 5 \\ |w_{1} - w_{2}| = |z_{1} - z_{2}| = 8 \end{cases}$ và ${|w_{1} + w_{2}|}^{2} + {|w_{1} - w_{2}|}^{2} = 2 ({|w_{1}|}^{2} + {|w_{2}|}^{2}) \Rightarrow {|w_{1} + w_{2}|}^{2} = 36$ .

Vậy $|w - 10 - 6 i| = |w_{1} + w_{2}| = \sqrt{36} = 6 \Rightarrow$ w thuộc đường tròn tâm $I (10; 6)$ , bán kính $R = 6$ .

Cách 2: Gọi $A (z_{1})$ ; $B (z_{2})$ biểu diễn số phức z₁; z₂

Ta có: tập hợp z là đường tròn tâm $I (5; 3)$ bán kính $R = 5$ ; $A B = 8$

Gọi H là trung điểm của $A B \Rightarrow w = z_{1} + z_{2} = \vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O H}$ (1)

Mặt khác $I H = \sqrt{I A^{2} - H A^{2}} = 3 \Rightarrow$ tập hợp điểm H là đường tròn ${(x - 5)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9 (C)$ .

Giả sử

w (a; b), (1) \Rightarrow H (\frac{a}{2}; \frac{b}{2}) \in (C) \Rightarrow {(\frac{a}{2} - 5)}^{2} + {(\frac{b}{2} - 3)}^{2} = 9 \Leftrightarrow {(a - 10)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 36

Câu 45:

Hai vật chuyển động ngược chiều nhau trên một quãng đường AB dài 30km. Vật M chuyển động từ A đến B trong 3 giờ với vận tốc

v_{1} (k m / h)

phụ thuộc vào thời gian

t (h)

, trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động có đồ thị là một phần của parabol có đỉnh

I_{1} (2; 5)

và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Vật N chuyển động trong 3 giờ từ B đến A với vận tốc

v_{2} (k m / h)

phụ thuộc vào thời gian

t (h)

với đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh

I_{2} (\frac{3}{2}; \frac{13}{4})

và trục đối xứng song song với trục tung. Hỏi sau 3 giờ thì hai vật M, N cách nhau bao nhiêu km?

A.

\frac{71}{6} k m

B.

\frac{37}{2} k m

C. 18 km

D. $\frac{45}{2} k m$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

• Xét chiều di chuyển của vật M.

Gọi phương trình của parabol (P) là $y = a t^{2} + b t + c$

Vì (P) có đỉnh I(2;5) và đi qua M(0;1) nên suy ra $\{\begin{cases} c = 1; - \frac{b}{2 a} = 2 \\ 4 a + 2 b + c = 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 4 \\ c = 1 \end{cases}$

Do đó, phương trình (P) là $y = - t^{2} + 4 t + 1$ cùng chinh là phương trình vận tốc.

Suy ra quãng đường vật M đi trong 3 giờ là $S_{M} = \int_{0}^{1} (- t^{2} + 4 t + 1) d t + 4. (3 - 1) = \frac{32}{3} k m$ .

• Xét chiều di chuyển của vật N.

Gọi phương trình của parabol (P) là $y = a t^{2} + b t + c$

Vì (P) có đỉnh $I (\frac{3}{2}; \frac{13}{4})$ và đi qua M(0;1) nên suy ra $\{\begin{cases} c = 1; - \frac{b}{2 a} = \frac{3}{2} \\ \frac{9}{4} a + \frac{3}{2} b + c = \frac{13}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - 1 \\ b = 3 \\ c = 1 \end{cases}$

Do đó, phương trình (P) là $y = - t^{2} + 3 t + 1$ cũng chính là phương trình vận tốc.

Suy ra quãng đường vật N đi trong 3 giờ là $S_{N} = \int_{0}^{3} (- t^{2} + 3 t + 1) d t = \frac{15}{2} k m$ .

Do hai vật đi ngược chiều nên khoảng cách của chúng là $S = 30 - \frac{32}{3} - \frac{15}{2} = \frac{71}{6} (k m)$

Câu 46:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có

f^{'} (x) = {(x - 2)}^{2} (x^{2} + 3 x - 4)

. Gọi S là tập các số nguyên

m \in [- 10; 10]

để hàm số

y = f (x^{2} - 4 x + m)

có đúng 3 điểm cực trị. Số phần tử của S bằng

A. 10

B. 5

C. 14

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $f^{'} (x) = {(x - 2)}^{2} (x - 1) (x + 4)$

Do đó với $y = f (x^{2} - 4 x + m)$

$y^{'} = (2 x - 4) {(x^{2} - 4 x + m - 1)}^{2} (x^{2} - 4 x + m - 1) (x^{2} - 8 x + m + 4)$

Ta có: $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ x^{2} - 4 x + m - 1 = 0 \\ x^{2} - 4 x + m + 4 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ {(x - 2)}^{2} = - m + 5 \\ {(x - 2)}^{2} = - m \end{array}$ (*)

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì (*) có 3 nghiệm suy ra $\{\begin{cases} - m + 5 > 0 \\ - m < 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 \leq m < 5$

Kết hợp $m \in [- 10; 10]$ và $m \in ℤ \Rightarrow m = \{0; 1; 2; 3; 4\}$

Câu 47:

Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và

A A^{'} = 3 a

. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA', BB' và G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng cắt BC và CA lần lượt tại F, E. Thể tích của khối đa diện có các đỉnh là các điểm A, M, E, B, N, F bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{54} a^{3}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3} a^{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{18} a^{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{9} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Cho hình lăng trụ đứng có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và (ảnh 2)

Do $M N / / A B$ nên $E F / / A B$ , qua G dựng đường thẳng song song với AB cắt BC, CA lần lượt tại F, E. Khi đó $\frac{C E}{C A} = \frac{C F}{C B} = \frac{2}{3}$ .

Áp dụng công thức nhanh ta có:

\frac{V_{M N C . A B}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{1}{3} (\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{B N}{B B^{'}} + \frac{C C}{C C^{'}}) = \frac{1}{3}

Do đó $V_{M N C . A B} = \frac{1}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{1}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} .2 a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Đặt

Khi đó $\frac{V_{C . M N F E}}{V_{C A B . M N}} = \frac{x y z t}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t}) = \frac{5}{9} \Rightarrow V_{C . M N F E} = \frac{5}{9} . \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Do đó $V_{A M E . B N F} = V_{C . A B M N} - V_{C . M N E F} = \frac{\sqrt{3}}{9} a^{3}$

Câu 48:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16

và các điểm

A (1; 0; 2)

,

B (- 1; 2; 2)

. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi đó phương trình (P) có dạng:

a x + b y + c z + 3 = 0

. Tính giá trị của

T = a + b + c

A. 3

B. –3

C. 0

D. –2

Xem đáp án

Đáp án B

Xét (P): ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = 16$ có tâm $I (1; 2; 3)$ , bán kính R= 4.

Gọi O là hình chiếu của I trên mp (P). Ta có $S_{\min} \Leftrightarrow d {(I; (P))}_{\max} \Leftrightarrow I O_{\max}$

Khi và chi khi $I O \equiv I H$ với H là hình chiếu của I trên AB

$\Rightarrow \vec{I H}$ là vectơ pháp tuyến của mp (P) mà $I A = I B \Rightarrow$ H là trung điểm của AB.

$\Rightarrow H (0; 1; 2) \Rightarrow \vec{I H} = (- 1; - 1; - 1) \Rightarrow m p (P)$ là $- x - y - z + 3 = 0$ .

Câu 49:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và $f (0) = 0$ , $f (4) > 4$ . Biết hàm số $y = f^{'} (x)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số $g (x) = |f (x^{2}) - 2 x|$ là?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và f(0)= 0, f(4) lớn hơn 4 (ảnh 1)

A. 2

B. 1

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Nhắc lại: Số cực trị hàm số $y = |f (x)|$ được tính bằng tổng số cực trị hàm số f(x) và giao điểm của hàm số f(x) với trục hoành.

Ta có $h (x) = f (x^{2}) - 2 x \Leftrightarrow h^{'} (x) = 2 x f^{'} (x^{2}) - 2 = 2 (x f^{'} (x^{2}) - 1)$

Xét $h (x) = 0 \Leftrightarrow x f^{'} (x^{2}) - 1 = 0$ (1)

Nếu $x \leq 0$ thì phương trình (1) vô nghiệm

Nếu $x > 0$ đặt $x^{2} = t$ thì (1) trở thành $f^{'} (t) = \frac{1}{\sqrt{t}}$ (2)

Vẽ đồ thị hai hàm số $y = f^{'} (t)$ , $y = \frac{1}{\sqrt{t}}$ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Quan sát hai đồ thị ta thấy

- Nếu $0 < t \leq 1$ thì hàm số f '(t) đồng biến, còn hàm số $y = \frac{1}{\sqrt{t}}$ nghịch biến nên (2) có nghiệm duy nhất $t = t_{0} \in (0; 1)$ .

- Nếu $t > 1$ thì $f^{'} (t) > 1 > \frac{1}{\sqrt{t}}$ nên (2) vô nghiệm.

Từ các nhận xét trên ta có bảng biến thiên

Ta có $\{\begin{cases} h (0) = 0 \\ h (2) > 0 \end{cases}$ . Nên hàm số h(x) có một điểm cực tiểu và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt. Từ đó ta có $g (x) = |h (x)|$ có 3 cực trị.