Thứ năm, 14/11/2024
IMG-LOGO

Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 7)

  • 4824 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong không gian Oxyz,cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 6y + 12z - 5 = 0.\] Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 6y + 12{\rm{z}} - 5 = 0\)có một VTPT là \(\overrightarrow n = \left( {1; - 6;12} \right)\)


Câu 2:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

 Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Hàm số \(f\left( x \right)\)đồng biến trên \(\left( { - 1;0} \right)\).


Câu 3:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

 Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:Giá trị cực đại của hàm số đã cho là (ảnh 1)

Giá trị cực đại của hàm số đã cho là

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án B

Giá trị cực đại của hàm số \(f\left( x \right)\)là 9.


Câu 4:

Cho hai số phức \[{z_1} = 1 + 2i,{\rm{ }}{z_2} = 2 - 3i.\] Số phức \[w = {z_1} - {z_2}\] có phần ảo bằng

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Số phức \[{\rm{w}} = {z_1} - {z_2} = - 1 + 5i\]có phần ảo bằng 5.


Câu 5:

Cho \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}x\] là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \[{\log _2}x = 2{\log _2}a + 3{\log _2}b.\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Ta có \({\log _2}x = 2{\log _2}a + 3{\log _2}b = {\log _2}{a^2} + {\log _2}{b^3} = {\log _2}\left( {{a^2}{b^3}} \right) \Rightarrow x = {a^2}{b^3}.\)


Câu 6:

Tích phân \[\int\limits_0^2 {{e^{2x + 1}}dx} \] bằng

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Ta có \(\int\limits_0^2 {{e^{2{\rm{x}} + 1}}d{\rm{x}}} = \left. {\frac{1}{2}{e^{2{\rm{x}} + 1}}} \right|_0^2 = \frac{{{e^5} - e}}{2}\).


Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

Xem đáp án

Chọn đáp án C

ĐTHS có tiệm cận đứng \(x = 1 \Rightarrow \)Loại A và D. Mà \(y\left( { - 1} \right) = 0 \Rightarrow \)Chọn C.


Câu 8:

Trong không gian Oxyz,cho hai vectơ \[\vec u = \left( {1;0;2} \right)\] và \[\vec v = \left( { - 1;2;0} \right).\] Tính \[P = \cos \left( {\vec u;\vec v} \right).\]

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Ta có \(P = \cos \left( {\vec u;\vec v} \right) = \frac{{\vec u.\vec v}}{{\left| {\vec u} \right|.\left| {\vec v} \right|}} = \frac{{1.\left( { - 1} \right) + 0.2 + 2.0}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {0^2}} }} = - \frac{1}{5}.\)


Câu 10:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

 Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:Phương trình f(x) - 7 = 0 có số nghiệm thực là (ảnh 1)

Phương trình \[f\left( x \right) - 7 = 0\] có số nghiệm thực là

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án C

Đường thẳng \(y = 7\)cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại đúng 3 điểm phân biệt.


Câu 11:

Giải phương trình \[{2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}} = 16.\]

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án C

Ta có \({2^x} + {2^{x + 1}} + {2^{x + 2}} = 16 \Leftrightarrow {2^x} + {2.2^x} + {2^2}{.2^x} = 16 \Leftrightarrow {2^x} = \frac{{16}}{7} \Leftrightarrow x = {\log _2}\frac{{16}}{7}.\)

Biến đổi \({\log _2}\frac{{16}}{7} = {\log _2}16 - {\log _2}7 = 4 - {\log _2}7.\)


Câu 12:

Biết rằng số phức \[w = - 8 + 6i\] có một căn bậc hai dạng \[a + bi,\] với \[a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}\] và \[a >0.\] Tính \[S = a + b.\]

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án B

Xét \({\left( {a + bi} \right)^2} = w \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} + 2abi = - 8 + 6i \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - {b^2} = - 8}\\{2ab = 6}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow {a^2} - {\left( {\frac{3}{a}} \right)^2} = - 8 \Rightarrow {a^4} + 8{a^2} - 9 = 0 \Rightarrow {a^2} = 1 \Rightarrow a = 1\) thỏa mãn

\( \Rightarrow b = 3 \Rightarrow S = 4.\)


Câu 13:

Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có đồ thị (C) như hình vẽ. Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = - 1,{\rm{ }}x = 2\] được tính theo công thức?

 Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị (C) như hình vẽ. Diện tích S của hình  (ảnh 1)

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Ta có \(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx} .\)


Câu 14:

Cho khối nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và thể tích bằng \[12\pi .\] Tính diện tích xung quanh \[{S_{xq}}\] của (N).

Xem đáp án

Chọn đáp án C

Ta có \(R = 3\)và \(V = \frac{1}{3}\pi {R^2}h = 12\pi \)

\( \Rightarrow h = 4 \Rightarrow l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} = 5 \Rightarrow {S_{xq}} = \pi Rl = 15\pi .\)


Câu 15:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai điểm \[A,{\rm{ }}B\] lần lượt biểu diễn hai số phức \[{z_1} = 4 - 3i\] và \[{z_2} = - 2 + i.\] Trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] biểu diễn số phức nào dưới đây?

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án B

Ta có \(A\left( {4; - 3} \right),{\rm{ B}}\left( { - 2;1} \right)\).

Trung điểm của đoạn thẳng ABlà \(I\left( {\frac{{4 - 2}}{2};\frac{{ - 3 + 1}}{2}} \right) \Rightarrow I\left( {1; - 1} \right)\).

Điểm Ibiểu diễn số phức \(1 - i\).


Câu 16:

Giới hạn \[\lim \frac{{n + 1}}{{2019n + 2020}}\] bằng

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án C

Ta có \(\lim \frac{{n + 1}}{{2019n + 2020}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{2019 + \frac{{2020}}{n}}} = \frac{1}{{2019}}\).


Câu 17:

Tính đạo hàm của hàm số \[y = {\log _{\frac{2}{3}}}\sqrt {{x^2} + 1} .\]

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Ta có \(y = \frac{1}{2}{\log _{\frac{2}{3}}}\left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow y' = \frac{1}{2}.\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \frac{2}{3}}} = \frac{x}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {\ln 2 - \ln 3} \right)}}.\)


Câu 18:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{2{x^3} - 1}}{{{x^2}}}\] là

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Ta có \(\int {\frac{{2{x^3} - 1}}{{{x^2}}}dx} = \int {\left( {2x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} = {x^2} + \frac{1}{x} + C.\)


Câu 19:

Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\] trên đoạn \[\left[ { - 2;0} \right]\] bằng

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(\left[ { - 2;0} \right]\).

Ta có \(y' = \frac{{2x\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}};\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \left( { - 2;0} \right)}\\{y' = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = - 1.\)

Tính \(y\left( { - 2} \right) = - \frac{7}{3};{\rm{ }}y\left( 0 \right) = - 3;{\rm{ }}y\left( { - 1} \right) = - 2 \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} {\mkern 1mu} y = - 2.\)


Câu 20:

Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABClà tam giác đều cạnh a. Tam giác SABđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Thể tích của khối chóp S.ABCbằng

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Kẻ \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{AB\sqrt 3 }}{2}.\frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{8}.\)

 Cho hình chóp S.ABCcó đáy ABClà tam giác đều cạnh a. Tam giác SABđều và (ảnh 1)


Câu 21:

Trong không gian Oxyz,cho điểm \[M\left( {1;2;3} \right)\]. Gọi \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các trục \[Ox,{\rm{ }}Oy,{\rm{ }}Oz.\] Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án B

Ta có \(A\left( {1;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {0;2;0} \right),{\rm{ }}C\left( {0;0;3} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {ABC} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 6 = 0.\)


Câu 22:

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCDcó \[AB = 6{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\] và \[BC = 2{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\] Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CD. Tính thể tích V của khối tròn xoay, nhận được khi quay đa giác \[ABMND\] xung quanh trục AD.

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Ta có \(V = {V_{tru}} - {V_{non}} = \pi A{B^2}.AD - \frac{1}{3}\pi C{N^2}.MC.\)

\(AB = 6;AD = 2;CN = \frac{{AB}}{2} = 3;CM = \frac{{BC}}{2} = 1\)\( \Rightarrow V = 69\pi c{m^3}.\) Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB=6cm và BC=2 cm (ảnh 1)


Câu 23:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:

 Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau:Tổng số tiệm cận đứng  (ảnh 1)

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án C

ĐTHS có tiệm cận đứng \(x = - 1;x = 1\). Từ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 3 \Rightarrow \) TCN: \(y = 3\).


Câu 24:

Cho số phức \[z = a + bi{\rm{ }}\left( {a,{\rm{ }}b \in \mathbb{R}} \right)\] thỏa mãn \[\left| {\frac{{z - 1}}{{z - i}}} \right| = \left| {\frac{{z - 3i}}{{z + i}}} \right| = 1\]. Tính \[a + b.\]

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án C

Giả sử \(z = a + bi\;\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 1} \right| = \left| {z - i} \right|\\\left| {z - 3i} \right| = \left| {z + i} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\{a^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b + 1} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2{\rm{a}} + 1 = - 2b + 1\\ - 6b + 9 = 2b + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 2\).


Câu 25:

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \frac{{{2^x}}}{{{2^x} + 2}}\]. Tính tổng \[f\left( 0 \right) + f\left( {\frac{1}{{10}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{19}}{{10}}} \right)\].

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Với \(a + b = 2\), ta có \(f\left( a \right) + f\left( b \right) = \frac{{{2^a}}}{{{2^a} + 2}} + \frac{{{2^b}}}{{{2^b} + 2}}\)

\( = \frac{{{2^a}{{.2}^b} + {{2.2}^a} + {2^a}{{.2}^b} + {{2.2}^b}}}{{\left( {{2^a} + 2} \right)\left( {{2^b} + 2} \right)}} = \frac{{{2^{a + b}} + {{2.2}^a} + {2^{a + b}} + {{2.2}^b}}}{{{2^{a + b}} + {{2.2}^a} + {{2.2}^b} + 4}}\)

\( = \frac{{4 + {{2.2}^a} + 4 + {{2.2}^b}}}{{4 + {{2.2}^a} + {{2.2}^b} + 4}} = 1\).

Do đó với \(a + b = 2\)thì \(f\left( a \right) + f\left( b \right) = 1\).

Áp dụng ta được \(f\left( 0 \right) + f\left( {\frac{1}{{10}}} \right) + ... + f\left( {\frac{{19}}{{10}}} \right)\)

\[ = f\left( 0 \right) + \left[ {f\left( {\frac{1}{{10}}} \right) + f\left( {\frac{{19}}{{10}}} \right)} \right] + \left[ {f\left( {\frac{2}{{10}}} \right) + f\left( {\frac{{18}}{{10}}} \right)} \right] + ... + \left[ {f\left( {\frac{9}{{10}}} \right) + f\left( {\frac{{11}}{{10}}} \right)} \right] + f\left( 1 \right)\]

\( = \frac{1}{3} + 9.1 + \frac{2}{4} = \frac{{59}}{6}\).


Câu 26:

Cho lăng trụ đứng \[ABCD.A'B'C'D'\] có đáy ABCDlà hình chữ nhật với \[AB = 2a,{\rm{ }}AC = 2a\sqrt 3 .\] Góc giữa đường thẳng \[AC'\] và mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[30^\circ .\] Thể tích của khối lăng trụ \[ABCD.A'B'C'D'\] bằng

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án C

Ta có \(\widehat {\left( {AC';(ACBC{\rm{D}})} \right)} = \widehat {C'AC} = 30^\circ \)

\( \Rightarrow \tan 30^\circ = \frac{{CC'}}{{AC}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow CC' = \frac{{AC}}{{\sqrt 3 }} = 2{\rm{a}}\).

Cạnh \(BC = \sqrt {A{C^2} - A{B^2}} = 2{\rm{a}}\sqrt 2 \Rightarrow V = CC'.AB.BC = 8{{\rm{a}}^3}\sqrt 2 \).

 Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCDlà hình chữ nhật với (ảnh 1)


Câu 27:

Một đội xây dựng gồm 10 công nhân và 3 kĩ sư. Có bao nhiêu cách chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên để lập một tổ công tác?
Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Chọn 1 kĩ sư làm tổ trưởng có 3 cách.

Chọn 1 công nhân làm tổ phó có 10 cách.

Chọn 5 công nhân từ 9 công nhân làm tổ viên có \(C_9^5 = 126\)cách.

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả \(3.10.126 = 3780\)cách chọn thỏa mãn.


Câu 28:

Trong không gian Oxyz,cho hai đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\] và \[d':\frac{{x + 2}}{4} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}.\] Biết rằng d cắt \[d'\] tại \[A\left( {a;b;c} \right).\] Tính \[S = a + b + c.\]

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Ta có \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 4t'\\y = 1 + 2t'\\z = 1 + t'\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t' \in \mathbb{R}} \right)\).

Điểm \(A = d \cap d' \Rightarrow A\left( {t + 1;2t + 1;t + 1} \right)\).

Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = - 2 + 4t'}\\{1 + 2t = 1 + 2t'}\\{1 + t = 1 + t'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t' = 1}\end{array}} \right.}\\{1 + t = 1 + t'}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t' = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow A\left( {2;3;2} \right) \Rightarrow S = 7.\)


Câu 29:

Cho hàm số \[y = 2{x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 6mx + 1\] (m là tham số thực) có hai điểm cực trị \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}\] thỏa mãn \[x_1^2 + x_2^2 = 2.\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Ta có \(y' = 6{x^2} - 6\left( {m + 1} \right)x + 6m = 0 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = m}\end{array}} \right.\)

Hàm số có 2 điểm cực trị \({x_1},{\rm{ }}{{\rm{x}}_2} \Leftrightarrow y' = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m \ne 1\).

Bài ra \(x_1^2 + x_2^2 = 2 \Rightarrow {m^2} + {1^2} = 2 \Leftrightarrow m = \pm 1 \Rightarrow m = - 1\) thỏa mãn.


Câu 30:

Trong không gian, cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 8cm. Mặt phẳng (α) song song với trục của (T), cắt (T) theo thiết diện (D) là một hình vuông. Khoảng cách từ trục của (T) đến mặt phẳng chứa (D) bằng 3cm. Tính thể tích của khối trụ đã cho.

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án B

 Trong không gian, cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 8cm. Mặt phẳng (α)  (ảnh 1)

Thiết diện là hình vuông MNPQnhư hình vẽ.

Kẻ \(OH \bot MN \Rightarrow O'H = 3cm\).

Cạnh \(QM = MN = 8cm \Rightarrow HN = 4cm\)

\( \Rightarrow O'N = \sqrt {H{N^2} + O'{H^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5cm\)

\( \Rightarrow V = \pi {r^2}h = \pi O'{N^2}.QM = \pi {.5^2}.8 = 200c{m^3}\).


Câu 31:

Tập nghiệm của phương trình \[\frac{1}{2}{\log _{\sqrt 3 }}\left( {2x + 1} \right) + {\log _3}\left( {x - 3} \right) = 2\] là

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Điều kiện \(x >3\)(*). Phương trình \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {2{\rm{x}} + 1} \right) + {\log _3}\left( {x - 3} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\frac{1}{{\frac{1}{2}}}{\log _3}\left( {2x + 1} \right) + {\log _3}\left( {x - 3} \right) = 2 \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \right] = 2\)

\( \Leftrightarrow \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = {3^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow x = 4\) thỏa mãn (*).


Câu 32:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SABvuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Côsin của góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Kẻ \(SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\).

Kẻ \(HK \bot C{\rm{D}} \Rightarrow \widehat {\left( {(SC{\rm{D}});(ABC{\rm{D}})} \right)} = \widehat {SKH}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {\left( {(SCD);(ABCD)} \right)} = \cos \widehat {SKH} = \frac{{HK}}{{SK}}\).

Cạnh \(SH = \frac{{AB}}{2} = a\)và \(HK = A{\rm{D}} = 2{\rm{a}}\)

\( \Rightarrow SK = \sqrt {S{H^2} + H{K^2}} = a\sqrt 5 \)

\( \Rightarrow \cos \widehat {\left( {(SCD);(ABCD)} \right)} = \frac{{HK}}{{SK}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Tam giác SABvuông cân tại (ảnh 1)


Câu 33:

Biết rằng \[\int\limits_1^2 {x{{\left( {x - 1} \right)}^n}dx} = \frac{{27}}{{182}},\] với \[n \in {\mathbb{N}^*}.\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án B

Xét \(I = \int\limits_1^2 {x{{\left( {x - 1} \right)}^n}dx} \). Đặt \(x = 1 = t \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\left( {t + 1} \right){t^n}d\left( {t + 1} \right)} = \int\limits_0^1 {\left( {{t^{n + 1}} + {t^n}} \right)dt} \)

\( \Rightarrow I = \left. {\left( {\frac{{{t^{n + 2}}}}{{n + 2}} + \frac{{{t^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{{n + 2}} + \frac{1}{{n + 1}} = \frac{{27}}{{181}} \Rightarrow n = 12\).


Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông cạnh \[a,{\rm{ }}SA\] vuông góc với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] bằng \[45^\circ \]. Khoảng cách giữa hai đường thẳng \[SB\] và \[AC\] bằng

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án B

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt p (ảnh 1)

Từ

\({\rm{AC // BE}} \Rightarrow {\rm{AC // }}\left( {SBE} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;(SBE)} \right) = d\left( {A;(SBE)} \right) = d\)

Tứ diện vuông \(S.ABE \Rightarrow \frac{1}{{{d^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{{\rm{E}}^2}}}\)

\(\widehat {\left( {SC;(ABC{\rm{D}})} \right)} = \widehat {SCA} = 45^\circ \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \)

\(A{\rm{E}} = BC = a \Rightarrow d = a\sqrt {\frac{2}{5}} \).


Câu 35:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt phẳng \[\left( P \right):2x - y + z - 6 = 0\] và đường thẳng \[d:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}.\] Viết phương trình đường thẳng Δ cắt mặt phẳng (P) và đường thẳng d lần lượt tại M và N sao cho \[A\left( {3;5;2} \right)\] là trung điểm của cạnh MN.

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án B

Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = 1 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.{\rm{ }}\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) mà \(N \in d \Rightarrow N\left( {2t - 2;t + 1;1 - t} \right)\).

Bài ra \(A\left( {3;5;2} \right)\)là trung điểm của cạnh MN

\( \Rightarrow M\left( {6 - 2t + 2;10 - t - 1;4 - 1 + t} \right) \Rightarrow M\left( {8 - 2t;9 - t;t + 3} \right)\)

Mà \(M \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {8 - 2t} \right) - \left( {9 - t} \right) + \left( {t + 3} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow - 2t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow N\left( {2;3; - 1} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta \) qua \(N\left( {2;3; - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {NA} = \left( {1;2;3} \right)\)là một VTCP

\( \Rightarrow \Delta :\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}\).


Câu 36:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \frac{{m\sin x - 9}}{{\sin x - m}}\] đồng biến trên khoảng \[\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\]?

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Ta có \(y' = \frac{{ - {m^2} + 9}}{{{{\left( {\sin x - m} \right)}^2}}}\cos x >0,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)(1)

Với \(\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow \sin x \in \left( {0;1} \right)\) nên

(1) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {m^2} + 9 >0\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 < m < 3\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 \le m \le 3\\ - 3 < m \le 0\end{array} \right.\)

Bài ra \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2; - 3; - 1;0} \right\}\).


Câu 37:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \[f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right).{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}\] và \[f\left( 2 \right) = - \frac{1}{3}.\] Giá trị của \[f\left( 1 \right)\] bằng

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Ta có \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = 2x + 1 \Rightarrow \int\limits_1^2 {\frac{{f'\left( x \right)}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {2x + 1} \right)dx} \)

\( \Rightarrow \int\limits_1^2 {\frac{1}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}d\left[ {f\left( x \right)} \right]} = \left. {\left( {{x^2} + x} \right)} \right|_1^2 \Rightarrow \left. { - \frac{1}{{f\left( x \right)}}} \right|_1^2 = 4 \Rightarrow - \frac{1}{{f\left( 2 \right)}} + \frac{1}{{f\left( 1 \right)}} = 4\).

Mà \(f\left( 2 \right) = - \frac{1}{3} \Rightarrow f\left( 1 \right) = 1\).


Câu 38:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \[\left[ { - 6;12} \right]\] để trên đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 3m{x^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)x + 1 - {m^2}\] có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ?

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right),{\rm{ B}}\left( { - {x_0}; - {y_0}} \right)\) là hai điểm phân biệt trên đồ thị đối xứng nhau qua gốc tọa độ. Khi nó

\({y_0} = x_0^3 - 3m{\rm{x}}_0^2 + 3\left( {{m^2} - 1} \right){x_0} + 1 - {m^2}\).

\( - {y_0} = {\left( { - {x_0}} \right)^3} - 3m{\left( { - {x_0}} \right)^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\left( { - {x_0}} \right) + 1 - {m^2}\)

\( = - x_0^3 - 3mx_0^2 - 3\left( {{m^2} - 1} \right){x_0} + 1 - {m^2}\)

\( \Rightarrow - 6m{\rm{x}}_0^2 + 2 - 2{m^2} = 0 \Leftrightarrow 3mx_0^2 = 1 - {m^2}\)(1)

Trên đồ thị có 2 điểm phân biệt A, Bđối xứng nhau qua gốc tọa độ \( \Leftrightarrow \) (1) có hai nghiệm phân biệt.

\( \Leftrightarrow 3m\left( {1 - {m^2}} \right) >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < m < 1\\m < - 1\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2} \right\}\).


Câu 39:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và đồ thị hàm số \[y = f'\left( x \right)\] như hình vẽ. Bất phương trình \[f\left( x \right) < - {e^x} - 4x + m\] nghiệm đúng với mọi \[x \in \left( {0;2} \right)\] khi và chỉ khi

 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ.  (ảnh 1)

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án B

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + {e^x} + 4{\rm{x}},{\rm{ x}} \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + {e^x} + 4\).

Từ hình vẽ, ta thấy với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\) thì \( - 4 < f'\left( x \right) < 0 \Rightarrow f'\left( x \right) + 4 >0\)</>

\( \Rightarrow g'\left( x \right) >0,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {0;2} \right) \Rightarrow g\left( x \right) < g\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) + {e^2} + 8\)

Khi đó \(m >g\left( x \right),\forall x \in \left( {0;2} \right) \Leftrightarrow m \ge f\left( 2 \right) + {e^2} + 8\).


Câu 40:

Phương trình \[{2020^x} + \frac{1}{{6 - x}} - \frac{1}{{x - 12}} = 2019\] có số nghiệm thực là

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Điều kiện \(x \ne 6;x \ne 12\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {2020^x} + \frac{1}{{6 - x}} - \frac{1}{{x - 12}} - 2019\), với \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right) = {2020^x}\ln 2020 + \frac{1}{{{{\left( {x - 6} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {x - 12} \right)}^2}}} >0,\forall x \in \left( { - \infty ;6} \right)\)

\( \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - \infty ;6} \right)\).

Do đó trên \(\left( { - \infty ;6} \right)\) phương trình \(f\left( x \right) = 0\) nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.

Xét bảng sau:

 Phương trình 2020^x + 1/(6-x)-1/(x-12) (ảnh 1)

Đường thẳng \(y = 0\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại đúng một điểm nên \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm duy nhất trên \(\left( { - \infty ;6} \right)\).

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên \(\left( { - \infty ;6} \right)\).

Tương tự, trên \(\left( {6;12} \right)\) phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Trên \(\left( {12; + \infty } \right)\) phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm thực


Câu 41:

Thầy Bắc đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn, trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ có \(C_{30}^{10}\)cách.

Có tất cả 15 tấm thẻ mang số lẻ và 15 tấm thẻ mang số chẵn.

Từ số 1 đến số 30 có đúng 3 số chia hết cho 10 là 10, 20, 30.

Lấy 5 tấm thẻ mang số lẻ có \(C_{15}^5\)cách.

Lấy 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 có \(C_3^1\)cách.

Lấy 4 tấm thẻ mang số chẵn không chia hết cho 10 có \(C_{15 - 3}^4 = C_{12}^4\).

Vậy xác suất cần tìm là \(\frac{{C_{15}^5.C_3^1.C_{12}^4}}{{C_{30}^{10}}} = \frac{{99}}{{667}}\).


Câu 42:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \[f\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right) = m\] có đúng 2 nghiệm phân biệt?

 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f(căn bậc hai của (4- (ảnh 1)

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án B

Đặt \(t = \sqrt {4 - {x^2}} \Rightarrow t \in \left[ {0;2} \right];{\rm{ f}}\left( t \right) \in \left[ { - 1;3} \right]\) và \(f\left( t \right) = m\).

Với mỗi \(t \in \left[ {0;2} \right)\)thì cho ta đúng 2 giá trị của x.

Phương trình \(f\left( t \right) = m\) cần có nghiệm duy nhất \(t \in \left[ {0;2} \right)\).

Do đó \(\left[ \begin{array}{l}m = - 1\\1 < m < 3\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;2} \right\}\).

</>


Câu 43:

Cho \[x,y\] là các số thực dương thỏa mãn \[{5^{x + 2y}} + \frac{3}{{{3^{xy}}}} + x + 1 = \frac{{{5^{xy}}}}{5} + {3^{ - x - 2y}} + y\left( {x - 2} \right).\] Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = x + y.\]

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án B

Ta có \({5^{x + 2y}} - \frac{1}{{{3^{x + 2y}}}} + x + 2y = {5^{xy - 1}} - \frac{1}{{{3^{xy - 1}}}} + xy - 1\)(1)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {5^t} - \frac{1}{{{3^t}}} + t\), với \(t >0\) có \(f'\left( t \right) = {5^t}\ln 5 - {\left( {\frac{1}{3}} \right)^t}\ln \frac{1}{3} + 1 >0,\forall t >0.\)

Khi đó (1) \( \Leftrightarrow x + 2y = xy - 1 \Leftrightarrow y\left( {x - 2} \right) = x + 1 \Rightarrow x >2\) và \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\).

\( \Rightarrow P = x + \frac{{x + 1}}{{x - 2}} = x + 1 + \frac{3}{{x - 2}} = \left( {x - 2} \right) + \frac{3}{{x - 2}} + 3 \ge 2\sqrt 3 + 3.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}}\\{x - 2 = \sqrt 3 }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1 + \sqrt 3 }\\{x = 2 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\).


Câu 44:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 4x + 4\], trục tung và trục hoành. Xác định \[k\] để đường thẳng d đi qua điểm \[A\left( {0;4} \right)\] có hệ số góc \[k\] chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau (như hình vẽ bên).

 Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=x^2-4x+4, trục tung và trục hoành. (ảnh 1)

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án C

Đồ thì hàm số \(y = {x^2} - 4{\rm{x}} + 4\) cắt trục hoành tại điểm \(\left( {2;0} \right)\).

Diện tích phần gạch chéo là \(S = \int\limits_0^2 {{{\left( {x - 2} \right)}^2}d{\rm{x}}} = \left. {\frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{3}} \right|_0^2 = \frac{8}{3}\).

Đường thẳng dđi qua điểm \(A\left( {0;4} \right)\) có hệ số góc ksuy ra \(d:y = k{\rm{x}} + 4\).

Đường thẳng dcắt Oxtại điểm \(C\left( {\frac{{ - 4}}{k};0} \right){\rm{ }}\left( {k < 0} \right)\) (Do C</>

có hoành độ dương).

Theo giả thiết bài toán ta có: \[\frac{1}{2}OC.OA = \frac{S}{2} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{2}.\left| {\frac{{ - 4}}{k}} \right|.4 = \frac{4}{3} \Rightarrow k - 6\].


Câu 45:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \left| {{x^4} - 4{x^3} - 8{x^2} - m} \right|\] có đúng 7 điểm cực trị?

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Xét \(y = f\left( x \right) = {x^4} - 4{{\rm{x}}^3} - 8{{\rm{x}}^2} - m\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 4{{\rm{x}}^3} - 12{{\rm{x}}^2} - 16{\rm{x}} = 4{\rm{x}}\left( {{x^2} - 3{\rm{x}} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\).

Xét bảng sau:

 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số trị tuyệt đối của (x^4-4x^3-8x^2 (ảnh 1)

Hàm số \(f\left( x \right)\) có đúng 3 điểm cực trị \(x = 0;x = - 1;x = 4\).

Khi đó \(f\left( x \right) = 0\)phải có 4 nghiệm phân biệt không tính 3 điểm cực trị \(x = 0;x = - 1;x = 4\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^4} - 4{{\rm{x}}^3} - 8{{\rm{x}}^2}\).

Tính \(g\left( { - 1} \right) = - 3;g\left( 0 \right) = 0;g\left( 4 \right) = - 128 \Rightarrow - 3 < m < 0\).

</>


Câu 46:

Trong không gian Oxyz,cho điểm M thuộc mặt cầu (S) có phương trình \[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\] và ba điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\], \[B\left( {2;1;3} \right)\]; \[C\left( {0;2; - 3} \right)\]. Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn \[M{A^2} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 8\] là một đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này.

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Mặt cầu \(\left( S \right)\)có tâm \(I\left( {3;3;2} \right)\)và bán kính \(R = 3\).

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\), ta có \(M{A^2} = {\left( {1 - x} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} + 1\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MB} = \left( {2 - x;1 - y;3 - z} \right)\\\overrightarrow {MC} = \left( { - x;2 - y; - 3 - z} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 3{\rm{x}} - 3y - 7\)

Khi đó \(M{A^2} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 8 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} + 3{y^2} + 3{{\rm{z}}^2} - 6{\rm{x}} - 6y - 21 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2{\rm{x}} - 2y - 7 = 0 \Rightarrow M\) thuộc mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm \(I'\left( {1;1;0} \right)\), bán kính \(R' = 3\).

Như vậy \(M \in \left( S \right) \cap \left( {S'} \right)\), tập hợp các điểm M thỏa mãn bài toán là đường tròn \(\left( C \right)\)có tâm Hlà trung điểm của đoạn thẳng \[II'\] (vì \(R = R' = 3\)).

 Trong không gian Oxyz,cho điểm M thuộc mặt cầu (S) có phương trình  (ảnh 1)

Bán kính của đường tròn \(\left( C \right)\) là \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt 6 \).


Câu 47:

Cho khối chóp S.ABCcó hai điểm \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt thuộc hai cạnh \[SA,{\rm{ }}SB\] sao cho \[MA = 2MS,{\rm{ }}NS = 2NB.\] Mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] qua hai điểm M, N và song song với SC chia khối chóp thành hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích t của hai khối đa diện đó, biết \[t < 1.\]

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Thiết diện là tứ giác MNPQnhư hình vẽ với \(NP{\rm{ // MQ // SC}}\).

 Cho khối chóp S.ABC có hai điểm M,N lần lượt thuộc hai cạnh SA,SB sao cho  (ảnh 1)

Ta có \({V_{MNABPQ}} = {V_{N.ABPQ}} + {V_{N.AMQ}}\).

+ \({V_{N.ABPQ}} = \frac{1}{3}d\left( {N;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABPQ}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right).\left( {{S_{ABC}} - {S_{CPQ}}} \right).\)

+ \(\frac{{{S_{CPQ}}}}{{{S_{CBA}}}} = \frac{{CP}}{{CB}}.\frac{{CQ}}{{CA}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{3} \Rightarrow {S_{CPQ}} = \frac{2}{9}{S_{ABC}} \Rightarrow {V_{N.ABPQ}} = \frac{1}{9}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right).\frac{7}{9}{S_{ABC}} = \frac{7}{{27}}{V_{S.ABC}}.\)

\({V_{N.AMQ}} = \frac{1}{3}d\left( {N;\left( {AMQ} \right)} \right).{S_{AMQ}} = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}d\left( {B;\left( {SAC} \right)} \right).\frac{4}{9}{S_{SAC}} = \frac{8}{{27}}{V_{S.ABC}}\)

\( \Rightarrow {V_{MNABPQ}} = {V_{N.ABPQ}} + {V_{N.AMQ}} = \frac{5}{9}{V_{S.ABCD}} \Rightarrow {V_{SMNPCQ}} = \frac{4}{9}{V_{S.ABCD}} \Rightarrow t = \frac{{{V_{SMNPCQ}}}}{{{V_{MNABPQ}}}} = \frac{4}{5}.\)


Câu 48:

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đạo hàm trên \[\mathbb{R}\] và thỏa mãn \[f\left( 2 \right) + g\left( 2 \right) = 5;{\rm{ }}g\left( x \right) = - x.f'\left( x \right);{\rm{ }}f\left( x \right) = - x.g'\left( x \right).\] Tính \[I = \int\limits_1^9 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} .\]

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án A

Ta có \(f\left( x \right) + g\left( x \right) = - x\left[ {f'\left( x \right) + g'\left( x \right)} \right]\)

\( \Rightarrow \int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = - \int {x\left[ {f'\left( x \right) + g'\left( x \right)} \right]dx} = - \int {xd\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \)

\( \Rightarrow \int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = - x\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] + C + \int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} \)

\( \Rightarrow x\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = C \Rightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{C}{x}.\)

Bài ra \(f\left( 2 \right) + g\left( 2 \right) = 5 \Rightarrow 5 = \frac{C}{2} \Rightarrow C = 10 \Rightarrow f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{{10}}{x}\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_1^9 {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \left. {\int\limits_1^9 {\frac{{10}}{x}dx} = 10\ln \left| x \right|} \right|_1^9 = 10\ln 9 = 20\ln 3.\)


Câu 49:

Trong không gian Oxyz,cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 2z - 5 = 0\] và hai điểm \[A\left( { - 3;0;1} \right),B\left( {1; - 1;3} \right)\]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất.

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án D

Ta có \(d\left( {B;d} \right) \le BA\) (không đổi), dấu xảy ra \( \Leftrightarrow d \bot AB\).

Mà \(d{\rm{ // }}\left( P \right)\) nên dnhận \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]\) là một VTCP.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 1;2} \right)\\\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {1; - 2;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right] = \left( {2; - 6; - 7} \right)\).

Kết hợp với dqua \(A\left( { - 3;0;1} \right) \Rightarrow d:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{y}{{ - 6}} = \frac{{z - 1}}{{ - 7}}\).


Câu 50:

ho hai số phức z, w thỏa mãn \[\left| {z - 1 - i} \right| = 1\] và \[\left| {\bar w - 2 - 3i} \right| = 2.\] Tìm giá trị nhỏ nhất của \[\left| {z - w} \right|\].

Xem đáp án

Lời giải:

Chọn đáp án B

Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \(z = x + yi{\rm{ }}\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \left| {x + yi - 1 - i} \right| = 1\)

\( \Rightarrow M\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1;1} \right)\) và bán kính \({R_1} = 1\).

Điểm \(N\left( {x';y'} \right)\) biểu diễn số phức \[{\rm{w}} = x' + y'.i{\rm{ }}\left( {x',y' \in \mathbb{R}} \right) \Rightarrow \left| {x' - y'.i - 2 - 3i} \right| = 2\]

\( \Rightarrow N\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\)có tâm \({I_2}\left( {2; - 3} \right)\) và bán kính \({R_2} = 2\).

Như vậy \(\left| {z - {\rm{w}}} \right| = MN\). Ta có \(\overrightarrow {{I_1}{I_2}} = \left( {1; - 4} \right) \Rightarrow {I_1}{I_2} = \sqrt {17} >{R_2} + {R_2}\)

\( \Rightarrow \left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) ở ngoài nhau \( \Rightarrow M{N_{\min }} = {I_1}{I_2} - {R_1} - {R_2} = \sqrt {17} - 3\).


Bắt đầu thi ngay