50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 10)

Câu 1:

Số phức liên hợp của số phức 1- 4i là

A. -1+ 4i

B. -1 - 4i

C. 1+ 4i

D. - 4+ i

Xem đáp án

Đáp án C

Số phức liên hợp của số phức 1- 4i là 1+ 4i.

Câu 2:

Cho

\int_{0}^{1} f (x) d x = 2

và

\int_{0}^{1} g (x) d x = - 3 .

Tính

I = \int_{0}^{1} [f (x) + g (x)] d x .

A. I = -1

B. I = -4

C. I = 8

D. I = 5

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

I = \int_{0}^{1} [f (x) + g (x)] d x = \int_{0}^{1} f (x) d x + \int_{0}^{1} g (x) d x = - 1.

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 3 = 0.$ Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P)?

A. $\vec{n} = (1; - 2; 0) .$

B. $\vec{n} = (1; - 2; 3) .$

C. $\vec{n} = (1; 0; - 2) .$

D. $\vec{n} = (3; - 2; 1) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Mặt phẳng $(P) : x - 2 y + 3 = 0$ có một VTPT $\vec{n} = (1; - 2; 0) .$

Câu 4:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau. Hàm số đã cho (ảnh 1)

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; + \infty) .$

B. $(- \infty; 2) .$

C. $(- 1; 1) .$

D. $(- 2; + \infty) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số f(x) đồng biến trên $(1; + \infty) .$

Câu 5:

Với a là số thực dương tùy ý,

\log_{3} a^{4}

bằng

A. $\frac{1}{4} \log_{3} a .$

B. $\frac{1}{4} + \log_{3} a .$

C. $4 \log_{3} a .$

D. $4 + \log_{3} a .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

\log_{3} a^{4} = 4 \log_{3} a .

Câu 6:

Cho cấp số cộng

(u_{n})

với

u_{1} = 2, d = 3.

Tính

u_{5} .

A. 14

B. 17

C. 11

D. 8

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $u_{5} = u_{1} + 4 d = 14.$

Câu 7:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong (ảnh 1)

A. $y = - x^{3} + 3 x .$

B. $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 2.$

C. $y = x^{3} - 3 x .$

D. $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2.$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y (0) = 0 \Rightarrow$ Loại B và D. Mà $y (1) = - 2.$

Câu 8:

Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 3 và đường cao bằng 4. Tính thể tích V của khối nón (N)

A. $V = 36 π .$

B. $V = 45 π .$

C. $V = 15 π .$

D. $V = 12 π .$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

\{\begin{cases} V = \frac{1}{3} π r^{2} h \\ r = 3; h = 4 \end{cases} \Rightarrow V = 12 π .

Câu 9:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực đại tại

A. x = 4

B. x = 0

C. x = -2

D. x = 1

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số f(x) đạt cực đại tại x = 0

Câu 10:

Trong một lớp có 5 bạn nam và 27 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bạn nam làm lớp trưởng?

A. 135.

B. 22.

C. 32.

D. 42.

Xem đáp án

Đáp án C

Theo quy tắc cộng, ta có 5 + 27 = 32 cách chọn một bạn làm lớp trưởng

Câu 11:

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn

a^{2} b^{3} = 8.

Tính

P = 2 \log_{2} a + 3 \log_{2} b .

A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $P = 2 \log_{2} a + 3 \log_{2} b = \log_{2} a^{2} + \log_{2} b^{3} = \log_{2} (a^{2} b^{3}) = \log_{2} 8 = 3.$

Câu 12:

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

f (x) = 3 x^{2} + 4 x + 1

là

A. $3 x^{3} + 4 x^{2} + x + C .$

B. $x^{3} + 2 x^{2} + x + C .$

C. $3 x^{3} + 2 x^{2} + x + C .$

D. $x^{3} + 4 x^{2} + x + C .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\int (3 x^{2} + 4 x + 1) d x = x^{3} + 2 x^{2} + x + C .$

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 3} .

Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d?

A. $\vec{u} = (- 1; 2; - 3) .$

B. $\vec{u} = (1; 2; 3) .$

C. $\vec{u} = (1; 2; - 3) .$

D. $\vec{u} = (- 1; 2; 3) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Đường thẳng

d : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 3}

có một VTCP là

\vec{u} = (- 1; 2; - 3) .

Câu 14:

Cho khối lăng trụ đứng

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có đáy là tam giác đều cạnh a và

A A^{'} = 3 a .

Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. $\frac{3 a^{3}}{4} .$

B. $\frac{a^{3}}{4} .$

C. $\frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Cho khối lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh (ảnh 1)

Ta có $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = A A^{'} . S_{A B C} = A A^{'} . \frac{A B^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Câu 15:

Kí hiệu

z_{1}, z_{2}

là hai nghiệm phức của phương trình

z^{2} - 4 z + 6 = 0

. Giá trị của

z_{1}^{2} + z_{2}^{2}

bằng

A. 4

B. 10

C. -8

D. -6

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

\{\begin{cases} z_{1} + z_{2} = 4 \\ z_{1} z_{2} = 6 \end{cases} \Rightarrow z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = {(z_{1} + z_{2})}^{2} - 2 z_{1} z_{2} = 4.

Câu 16:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Phương trình $4 f (x) + 1 = 0$ có số nghiệm thực là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Đường thẳng

y = - \frac{1}{4}

cắt đồ thị hàm số

y = f (x)

tại đúng 3 điểm phân biệt

Câu 17:

Tính đạo hàm của hàm $y = 2^{x^{2} - 5 x} .$

A. $y^{'} = 2^{x^{2} - 5 x} . \ln 2.$

B. $y^{'} = (x^{2} - 5 x) {.2}^{x^{2} - 5 x - 1} .$

C. $y^{'} = (2 x - 5) {.2}^{x^{2} - 5 x} .$

D. $y^{'} = (2 x - 5) {.2}^{x^{2} - 5 x} . \ln 2.$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

y = 2^{x^{2} - 5 x} \Rightarrow y^{'} = (2 x - 5) {.2}^{x^{2} - 5 x} . \ln 2.

Câu 18:

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo như hình vẽ được tính theo công thức nào dưới đây?

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo như hình vẽ được tính theo (ảnh 1)

A. $\int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{2} f (x) d x .$

B. $\int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x .$

C. $\int_{- 1}^{2} f (x) d x .$

D. $- \int_{- 1}^{2} f (x) d x .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

S = \int_{- 1}^{1} |f (x)| d x + \int_{1}^{2} |f (x)| d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{2} f (x) d x .

Câu 19:

Giải phương trình $\log_{4} (x - 2) = 3.$

A. x = 64

B. x = 66

C. x = 81

D. x = 83

Xem đáp án

Đáp án B

Phượng trình $\Leftrightarrow x - 2 = 4^{3} \Leftrightarrow x = 66.$

Câu 20:

Cho hai số phức

z_{1} = 1 + 2 i, z_{2} = 2 - 3 i .

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức

z_{1} + 2 z_{2}

có tọa độ là

A. (5;4)

B. (-5;4)

C. (-5;-4)

D. (5;-4)

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $z_{1} + 2 z_{2} = 1 + 2 i + 2 (2 - 3 i) = 5 - 4 i$

Điểm biểu diễn số phức $z_{1} + 2 z_{2}$ có tọa độ là $(5; - 4) .$

Câu 21:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu

(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 16.

Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (S)

A. $I (- 1; 1; - 1)$ và R= 16

B. $I (- 1; 1; - 1)$ và R= 4

C. $I (1; - 1; 1)$ và R= 16

D. $I (1; - 1; 1)$ và R= 4

Xem đáp án

Đáp án D

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; - 1; 1)$ và bán kính $R = \sqrt{16} = 4.$

Câu 22:

Giải phương trình

2^{2 x - 1} = 8.

A. x = 2

B. x = 1

C. x = 3

D. x = $\frac{17}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $2^{2 x - 1} = 8 \Leftrightarrow 2^{2 x - 1} = 2^{3} \Leftrightarrow 2 x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2.$

Câu 23:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (1; - 3; 2), B (3; - 1; 4) .

Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là

A. (2;2;2)

B. (2;-2;3)

C. (1;1;1)

D. (4;-4;6)

Xem đáp án

Đáp án B

Trung điểm của đoạn thẳng AB là

I (\frac{1 + 3}{2}; \frac{- 3 - 1}{2}; \frac{2 + 4}{2}) \Rightarrow I (2; - 2; 3) .

Câu 24:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 12 x + 3$ trên đoạn $[1; 4]$ bằng

A. -13

B. -8

C. -10

D. -6

Xem đáp án

Đáp án A

Hàm số đã cho đã xác định và liên tục trên $[1; 4] .$

Ta có $\{\begin{cases} x \in (1; 4) \\ y^{'} = 3 x^{2} - 12 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 2.$

Tính $y (1) = - 8; y (4) = 19; y (2) = - 13 \Rightarrow \min_{[1; 4]} y = - 13.$

Câu 25:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh

A B = a, S A = a \sqrt{3}

và SA vuông góc với mặt phẳng góc đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng

A. $90 ° .$

B. $45 ° .$

C. $30 ° .$

D. $60 ° .$

Xem đáp án

Đáp án D

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B (ảnh 1)

Ta có $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow (\hat{S B; (A B C)}) = \hat{S B A} .$

$\tan \hat{S B A} = \frac{S A}{A B} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{S B A} = 60 ° .$

Câu 26:

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số

f (x) = \sqrt{2 x - 1}

thỏa mãn

F (1) = \frac{4}{3} .

Tìm F(x)

A. $F (x) = - \frac{1}{3} \sqrt{2 x - 1} + \frac{5}{3} .$

B. $F (x) = \frac{1}{3} \sqrt{2 x - 1} + 1.$

C. $F (x) = - \frac{1}{3} \sqrt{{(2 x - 1)}^{3}} + \frac{5}{3} .$

D. $F (x) = \frac{1}{3} \sqrt{{(2 x - 1)}^{3}} + 1.$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $I = F (x) = \int \sqrt{2 x - 1} d x .$

Đặt $t = \sqrt{2 x - 1} \Rightarrow I = \int t d (\frac{t^{2} + 1}{2}) = \int t . t d t = \frac{t^{3}}{3} + C \Rightarrow F (x) = \frac{1}{3} \sqrt{{(2 x - 1)}^{3}} + C .$

Mà

F (1) = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{1}{3} + C = \frac{4}{3} \Rightarrow C = 1 \Rightarrow F (x) = \frac{1}{3} \sqrt{{(2 x - 1)}^{2}} + 1.

Câu 27:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh

S A = a \sqrt{2}

và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) bằng

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2} .$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{a}{3} .$

D. a

Xem đáp án

Đáp án D

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a (ảnh 1)

Gọi $O = A C \cap B D$ , kẻ $A H ⊥ S O \Rightarrow d (A; (S B D)) = A H = d .$

Cạnh $O A = \frac{A B}{\sqrt{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow \frac{1}{d^{2}} = \frac{1}{S A^{2}} + \frac{1}{O A^{2}} = \frac{1}{2 a^{2}} + \frac{1}{2 a^{2}} \Rightarrow d = a .$

Câu 28:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(0) = 1 và

f^{'} (x) = 2 \sin^{2} x - 3, \forall x \in ℝ .

Tích phân

\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x

bằng

A. $\frac{π^{2} - 4 π + 4}{16} .$

B. $- \frac{π^{2} - 4 π + 4}{16} .$

C. $\frac{π^{2} + 4 π - 4}{16} .$

D. $- \frac{π^{2} + 4 π - 4}{16} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f (x) = \int (2 \sin^{2} x - 3) d x = \int (1 - \cos 2 x - 3) d x = - \frac{\sin 2 x}{2} - 2 x + C .$

Mà $f (0) = 1 \Rightarrow C = 1 \Rightarrow f (x) = - \frac{1}{2} \sin 2 x - 2 x + 1.$

$\Rightarrow \int_{0}^{\frac{π}{4}} f (x) d x = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (- \frac{1}{2} \sin 2 x - 2 x + 1) d x = (\frac{1}{4} \cos 2 x - x^{2} + x) |_{\begin{array}{l} 0 \end{array}}^{\begin{array}{l} \frac{π}{4} \end{array}}$ $= - \frac{π^{2}}{16} + \frac{π}{4} - \frac{1}{4} = - \frac{π^{2} - 4 π + 4}{16} .$

Câu 29:

Cho số phức z thỏa mãn $z + 4 \bar{z} = 7 + i (z - 7) .$ Môđun của z bằng

A. 5

B. $\sqrt{3}$

C. $\sqrt{5}$

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử $z = a + b i (a, b \in ℝ)$

Ta có $z + 4 \bar{z} = 7 + i (z - 7) \Leftrightarrow a + b i + 4 (a - b i) = 7 + i (a + b i - 7)$

$\Leftrightarrow a + b i + 4 a - 4 b i = 7 + a i - b - 7 i \Leftrightarrow 5 a - 3 b i = 7 - b + (a - 7) i$

\Leftrightarrow \{\begin{cases} 5 a = 7 - b \\ - 3 b = a - 7 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{5} .

Câu 30:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A (1; - 2; 1)

và

B (2; 1; - 1)

. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

A. $x + 3 y + 2 z + 3 = 0.$

B. $x - 3 y + 2 z - 9 = 0.$

C. $x + 3 y - 2 z + 7 = 0.$

D. $x - 3 y - 2 z - 5 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án C

Mặt phẳng (P) qua $A (1; - 2; 1)$ và nhận $\vec{A B} = (1; 3; - 2)$ là một VTPT

\Rightarrow (P) : 1. (x - 1) + 3 (y + 2) - 2 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow x + 3 y - 2 z + 7 = 0.

Câu 31:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và

A B = S A = a, A C = a \sqrt{5} .

Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

A. $\frac{a^{3}}{3} .$

B. $\frac{a^{3}}{2} .$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{5}}{3} .$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{5}}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Cạnh SA (ảnh 1)

Ta có $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{1}{3} S A . \frac{1}{2} . A B . B C .$

Cạnh $B C = \sqrt{A C^{2} - A B^{2}} = 2 a \Rightarrow V_{S . A B C} = \frac{a^{3}}{3} .$

Câu 32:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau: Tổng số tiệm cận (ảnh 1)

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

ĐTHS có tiệm cận đứng $x = - 2.$

Từ

\{\begin{cases} \lim_{x \to - \infty} y = 2 \Rightarrow T C N : y = 2 \\ \lim_{x \to + \infty} y = 2 \Rightarrow T C N : y = 2 \end{cases}

.

Câu 33:

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD với $A B = 6, A D = 3.$ Tính thể tích V của khối trụ, nhận được khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục AB.

A. $54 π .$

B. $48 π .$

C. $75 π .$

D. $36 π .$

Xem đáp án

Đáp án A

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD với AB= 6, AD= 3 (ảnh 1)

Ta có

V = π r^{2} h = π . A D^{2} . A B = 54 π .

Câu 34:

Cho hàm số f(x). Hàm số y = f '(x) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

Cho hàm số f(x) Hàm số y= f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm (ảnh 1)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 0; x = 1; x = 2; x = 4.$

Qua $x = 0; x = 1; x = 4$ thì f '(x) đổi dấu trên f(x) đạt cực trị tại $x = 0; x = 1; x = 4.$

Câu 35:

Cho phương trình

4^{x} - m {.2}^{x + 1} + 2 m = 0

(m là tham số thực) có hai nghiệm thực phân biệt

x_{1}, x_{2}

thỏa mãn

x_{1} + x_{2} = 4.

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $4 < m \leq 6.$

B. $m > 6.$

C. $2 < m \leq 4.$

D. $0 < m \leq 2.$

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: $x \in ℝ (*) .$ Phương trình $\Leftrightarrow {(2^{x})}^{2} - 2 m {.2}^{x} + 2 m = 0.$

Đặt $t = 2^{x} > 0,$ ta được $t^{2} - 2 m t + 2 m = 0$ (1)

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt

$\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm thực dương phân biệt

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} = m^{2} - 2 m > 0 \\ t_{1} + t_{2} = 2 m > 0 \\ t_{1} t_{2} = 2 m > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} m (m - 2) > 0 \\ m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > 2 (* *)$ Ta có $x_{1} + x_{2} = \log_{2} t_{1} + \log_{2} t_{2} = \log_{2} (t_{1} t_{2}) = \log_{2} (2 m) = 4 \Rightarrow m = 8$ thỏa mãn $(* *) .$

Câu 36:

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của mặt phẳng $(P) : x - y + z = 0$ và $(Q) : x + y - z - 2 = 0.$

A. $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 1}{1} .$

B. $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{1} .$

C. $d : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 - t \\ z = 1 + t \end{cases} (t \in ℝ) .$

D. $d : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + t \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Cho $z = 0 \Rightarrow \{\begin{cases} x - y = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases} \Rightarrow d$ qua $A (1; 1; 0) .$

Cho $z = 1 \Rightarrow \{\begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ x + y - 3 = 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases} \Rightarrow d$ qua $B (1; 2; 1) .$

Đường thẳng d qua $A (1; 1; 0)$ và nhận $\vec{A B} = (0; 1; 1)$ là một VTCP

$\Rightarrow d : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + t \\ z = t \end{cases} (t \in ℝ) .$

Câu 37:

Một nhà sản xuất cần thiết kế một thùng đựng dầu nhớ hình trụ có nắp đậy với dung tích là

3456 π d m^{3} .

Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì bán kính của nắp đậy phải bằng

A. 24 dm

B. 20 dm

C. 12 dm

D. 10 dm

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $V = π r^{2} h = 3456 π .$

Để tiết kiệm nguyên liệu nhất thì $S_{t p} = 2 π r (h + r)$ phải nhỏ nhất.

Ta có $S_{t p} = 2 π r (\frac{3456}{r^{2}} + r) = 2 π (r^{2} + \frac{3456}{r})$

$= 2 π (r^{2} + \frac{1728}{r} + \frac{1728}{r}) \geq 2 π .3 \sqrt[3]{r^{2} . \frac{1728}{r} . \frac{1728}{r}} = 864 d m^{2} .$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow r^{2} = \frac{1728}{r} \Leftrightarrow r = 12 d m .$

Câu 38:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của f '(x) như sau:

Hàm số y = f (2x - 1) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; - 1) .$

B. $(\frac{1}{2}; 1) .$

C. $(1; + \infty) .$

D. $(- 1; \frac{1}{2}) .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y^{'} = 2 f^{'} (2 x - 1) > 0 \Leftrightarrow f^{'} (2 x - 1) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 1 < 2 x - 1 < 0 \\ 2 x - 1 > 1 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 0 < x < \frac{1}{2} \\ x > 1 \end{array}$

Câu 39:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(P) : x + 2 y - 2 z + 3 = 0

và ba điểm

A (4; - 4; 4), B (4; - 2; 6), C (3; - 5; 7) .

Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P), đi qua điểm C và có tâm nằm trên đường thẳng AB. Tâm I của mặt cầu (S) có tọa độ là

A. $(- 4; - 3; 5) .$

B. $(4; - 3; 5) .$

C. $(4; 3; 5) .$

D. $(4; 3; - 5) .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\vec{A B} = (0; 2; 2) \Rightarrow A B : \{\begin{cases} x = 4 \\ y = - 4 + t \\ z = 4 + t \end{cases} .$ Do $I \in A B \Rightarrow I (4; - 4 + t; 4 + t)$

Ta có $d (I, (P)) = I C \Leftrightarrow \frac{|- 9|}{3} = \sqrt{1^{2} + {(t + 1)}^{2} + {(t - 3)}^{2}} \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow I (4; - 3; 5) .$

Câu 40:

Cho hình nón (N) có đường cao bằng

\frac{3 a}{2}

đáy của (N) có bán kính bằng a. Thiết diện qua đỉnh của (N) là một tam giác nằm trong mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc bằng

60 ° .

Tính theo a diện tích S của tam giác này

A. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{3} .$

B. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

C. $S = \frac{3 a^{2}}{2} .$

D. $S = \frac{3 a^{2}}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Cho hình nón (N) có đường cao bằng 3a/2, đáy của (N) có bán kính (ảnh 1)

Thiết diện qua đỉnh của (N) là $Δ S C D$ như hình vẽ.

Kẻ $O P ⊥ C D \Rightarrow (\hat{(S C D); (O C D)}) = \hat{S P O} = 60 °$

$\Rightarrow \tan 60 ° = \frac{S O}{O P} \Rightarrow O P = \frac{S O}{\sqrt{3}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow C P = \sqrt{O C^{2} - O P^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a}{2} \Rightarrow C D = 2 C P = a .$

Lại có $\sin 60 ° = \frac{S O}{S P} = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow S P = \frac{2 S O}{\sqrt{3}} = a \sqrt{3} .$

Từ $C D ⊥ S P \Rightarrow S_{S C D} = \frac{1}{2} C D . S P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} .$

Câu 41:

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 3 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 7 và chia hết cho 5.

A. $\frac{1}{81}$

B. $\frac{1}{100}$

C. $\frac{1}{63}$

D. $\frac{2}{225}$

Xem đáp án

Đáp án B

Có tất cả $9.10.10 = 900$ số tự nhiên có 3 chữ số.

Số cần tìm có dạng $\bar{a b c} \Rightarrow [\begin{array}{l} c = 0 \\ c = 5 \end{array}$

+ TH1. $c = 0 \Rightarrow a + b = 7 \Rightarrow (a; b) \in \{(1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), (7; 0)\}$

Nên có 7 số thỏa mãn.

+ TH2. $c = 5 \Rightarrow a + b = 2 \Rightarrow (a; b) \in \{(1; 1), (2; 0)\} .$

Nên có 2 số thỏa mãn.

Do đó có tất cả 9 số thỏa mãn. Vậy xác suất cần tìm là $\frac{9}{900} = \frac{1}{100} .$

Câu 42:

Cho các số thực a, b thỏa mãn $\log_{2} (2020 - 2 b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$ .

Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^{3} + a^{2} b + 2 a b^{2} + 2 b^{3} + 1$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. (0;1)

B. (1;2)

C. (2;3)

D. (3;4)

Xem đáp án

Đáp án A

ĐKXĐ: $2020 - 2 b^{2} > 0 \Leftrightarrow b^{2} < 1010 \Leftrightarrow - \sqrt{1010} < b < \sqrt{1010}$

+ Theo đề bài ra, ta có:

$\log_{2} (2020 - 2 b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$

$\Leftrightarrow 1 + \log_{2} (1010 - b^{2}) - 2 b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2}$

$\Leftrightarrow \log_{2} (1010 - b^{2}) + 1010 - b^{2} = \log_{2} (a^{2} + b^{2} + 1009) + a^{2} + b^{2} + 1009 (1)$

Xét hàm số sau: $f (t) = \log_{2} t + t (t > 0)$

Ta thấy: $f^{'} (t) = \frac{1}{t . \ln 2} + 1 > 0,$ suy ra hàm số $f (t) = \log_{2} t + t$ đồng biến trên $(0; + \infty)$

Do đó:

$(1) \Leftrightarrow 1010 - b^{2} = a^{2} + b^{2} + 1009$

$\Leftrightarrow a^{2} + 2 b^{2} = 1$

+ Khi đó: $P = a^{3} + a^{2} b + 2 a b^{2} + 2 b^{3} + 1 = (a + b) (a^{2} + 2 b^{2}) + 1 = a + b + 1$

Áp dụng định lí Bunhiacopski cho bộ hai số $\{a; \sqrt{2} b\}$ và $\{1; \frac{1}{\sqrt{2}}\},$ ta có:

{(a + b)}^{2} \leq (a^{2} + 2 b^{2}) (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}

(Dấu “=” xảy ra khi )

$\Rightarrow - \sqrt{\frac{3}{2}} \leq a + b \leq \sqrt{\frac{3}{2}}$

Do đó: $P = a + b + 1 \leq \sqrt{\frac{3}{2}} + 1 \in (2; 3)$

Suy ra: $M i n P = \sqrt{\frac{3}{2}} + 1 \in (2; 3)$ khi $a = \frac{\sqrt{6}}{3}, b = \frac{\sqrt{6}}{6} .$

Câu 43:

Cho hàm số y = f(x) liên tục, có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ

Cho hàm số y= f(x) liên tục, có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên (ảnh 1)

Hàm số $g (x) = 3 f (- 2 x + 1) - 8 x^{3} + 6 x$ đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?

A. x = 1

B. x = $- \frac{1}{2}$

C. x = $\frac{1}{2}$

D. x = -1

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 44:

Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f '(x) có bảng biến thiên như sau:

Bất phương trình $f (x) > 2^{x} + m$ có nghiệm với mọi $x \in (- 1; 1)$ khi và chỉ khi

A. $m < f (1) - 2.$

B. $m \leq f (1) - 2.$

C. $m \leq f (- 1) - \frac{1}{2} .$

D. $m < (- 1) - \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Xét hàm số $g (x) = f (x) - 2^{x}, x \in (- 1; 1) \Rightarrow g^{'} (x) = f^{'} (x) - 2^{x} \ln 2.$

Với mọi $x \in (- 1; 1)$ thì $f^{'} (x) < 0 \Rightarrow g^{'} (x) < 0, \forall x \in (- 1; 1)$

$\Rightarrow g (x)$ nghịch biến trên $(- 1; 1) \Rightarrow g (x) < g (- 1) = f (- 1) - \frac{1}{2} .$

Khi đó $m < g (x)$ có nghiệm với mọi $x \in (- 1; 1) \Leftrightarrow m \leq f (- 1) - \frac{1}{2} .$

Câu 45:

Cho hàm số $y = x^{4} - 3 x^{2} + m$ có đồ thị $(C_{m})$ , với m là tham số thực. Giả sử $(C_{m})$ cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ. Gọi $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để $S_{1} + S_{2} = S_{3} .$

Cho hàm số y= x^4- 3x^2+ m có đồ thị (Cm), với m là tham số (ảnh 1)

A. $m = - \frac{5}{2} .$

B. $m = - \frac{5}{4} .$

C. $m = \frac{5}{2} .$

D. $m = \frac{5}{4} .$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\{\begin{cases} S_{3} = S_{1} + S_{2} \\ S_{1} = S_{2} \end{cases} \Rightarrow \int_{0}^{a} |x^{4} - 3 x^{2} + m| d x = \int_{a}^{b} |x^{4} - 3 x^{2} + m| d x$

Cho hàm số y= x^4- 3x^2+ m có đồ thị (Cm), với m là tham số (ảnh 2)

$\Rightarrow \int_{0}^{a} (x^{4} - 3 x^{2} + m) d x = - \int_{a}^{b} (x^{4} - 3 x^{2} + m) d x \Rightarrow \int_{0}^{4} (x^{4} - 3 x^{2} + m) d x = 0$

$\Rightarrow (\frac{x^{5}}{5} - x^{3} + m x) |_{\begin{array}{l} 0 \end{array}}^{\begin{array}{l} b \end{array}} = 0 \Rightarrow \frac{b^{5}}{5} - b^{3} + m b = 0 \Rightarrow b^{4} - 5 b^{2} + 5 m = 0.$

Mà $b^{4} - 3 b^{2} + m = 0 \Rightarrow m = 3 b^{2} - b^{4} \Rightarrow b^{4} - 5 b^{2} + 5 (3 b^{2} - b^{4}) = 0$

$\Rightarrow 10 b^{2} - 4 b^{4} = 0 \Rightarrow b^{2} = \frac{5}{2} \Rightarrow m = \frac{5}{4} .$

Câu 46:

Cho phương trình

x^{6} + 6 x^{4} - m^{3} x^{3} + (15 - 3 m^{2}) x^{2} - 6 m x + 10 = 0.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt thuộc đoạn

[\frac{1}{2}; 2] ?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

Biến đổi $x^{6} + 6 x^{4} + 15 x^{2} + 10 = m^{3} x^{3} + 3 m^{2} x^{2} + 6 m x$

$\Leftrightarrow {(x^{2} + 2)}^{3} + 3 (x^{2} + 2) = {(m x + 1)}^{3} + (3 m x + 1) \Leftrightarrow g (x^{2} + 2) = g (m x + 1)$

$\Rightarrow m = \frac{x^{2} + 1}{x} = f (x),$ với $x \in [\frac{1}{2}; 2]$

Ta có $\{\begin{cases} x \in (\frac{1}{2}; 2) \\ f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 1.$

Tính $f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{2}; f (2) = \frac{5}{2}; f (1) = 2 \Rightarrow 2 < m \leq \frac{5}{2} .$

Câu 47:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

y = |x^{3} - 3 x^{2} + m|

trên đoạn

[- 2; 2]

bằng 3. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 18

B. 24

C. 20

D. 22

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 48:

Giả sử hàm số

y = f (x)

liên tục, đồng biến, nhận giá trị dương trên khoảng

(0; + \infty)

thỏa mãn

f (3) = \frac{4}{9}

và

{[f^{'} (x)]}^{2} = (x + 1) . f (x)

. Giá trị của f(8) là

A. 49

B. 36

C.

5 \sqrt{2}

D. $2 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f^{'} (x) = \sqrt{(x + 1) . f (x)} \Rightarrow \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{f (x)}} = \sqrt{x + 1}$

$\Rightarrow \int_{3}^{8} \frac{f^{'} (x)}{\sqrt{f (x)}} d x = \int_{3}^{8} \sqrt{x + 1} d x \Rightarrow \int_{3}^{8} \frac{1}{\sqrt{f (x)}} d [f (x)] = \int_{3}^{8} {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

$\Rightarrow 2 \sqrt{f (x)} |_{\begin{array}{l} 3 \end{array}}^{\begin{array}{l} 8 \end{array}} = \frac{{(x + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{3}{2}} \Rightarrow 2 [\sqrt{f (8)} - \sqrt{f (3)}] = \frac{2}{3} \sqrt{(x + 1)} |_{\begin{array}{l} 3 \end{array}}^{\begin{array}{l} 8 \end{array}}$

$\Rightarrow \sqrt{f (8)} - \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{19}{3} \Rightarrow f (8) = 49.$

Câu 49:

Xét các số phức z thỏa mãn

|z - 1| = 5.

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn số phức

ω = (2 + 3 i) \bar{z} + 3 + 4 i

là một đường tròn bán kính bằng

A. $5 \sqrt{17}$

B. $5 \sqrt{10}$

C. $5 \sqrt{5}$

D. $2 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử $z = a + b i (a, b \in ℝ) \Rightarrow z - 1 = a - 1 + b i \Rightarrow |z - 1| = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + b^{2}} = 5.$

Ta có $\bar{z} - 1 = a - b i - 1 = a - 1 - b i \Rightarrow |\bar{z} - 1| = \sqrt{{(a - 1)}^{2} + b^{2}} = 5.$

Biến đổi $w = (2 + 3 i) \bar{z} + 3 + 4 i \Leftrightarrow w = (2 + 3 i) (\bar{z} - 1) + (2 + 3 i) + 3 + 4 i .$

$\Leftrightarrow w - (5 + 7 i) = (2 + 3 i) (\bar{z} - 1)$

$\Rightarrow |w - (5 + 7 i)| = |2 + 3 i| . |\bar{z} - 1| = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} .5 = 5 \sqrt{13} .$

Giả sử

$w = x + y i (x, y \in ℝ) \Rightarrow |x - 5 + (y - 7) i| = 5 \sqrt{13} \Leftrightarrow {(x - 5)}^{2} + {(y - 7)}^{2} = {(5 \sqrt{13})}^{2}$

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức

w = (2 + 3 i) \bar{z} + 3 + 4 i

là đường tròn có tâm

I (5; 7)

và bán kính

R = 5 \sqrt{13} .

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (5; - 3; 2), B (3; 0; - 4)$ nằm về hai phía của mặt phẳng (P). Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3 và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (P) bằng 4. Mặt phẳng (P) đi qua điểm có tọa độ nào dưới đây?

A. $(- 2; 4; - 1) .$

B. (2;-4;1)

C. (-2;-4;1)

D. (2;-4;-1)

Xem đáp án

Đáp án D

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (5;-3;2), B (3;0;-4) nằm về (ảnh 1)

Kẻ $A H ⊥ (P), B K ⊥ (P),$ với $H, K \in (P) \Rightarrow \{\begin{cases} A H = d (A; (P)) = 3 \\ B K = d (B; (P)) = 4 \end{cases}$

Gọi $M = A B \cap H K,$ ta có:

$A H \leq A M, B K \leq B M \Rightarrow A H + B K \leq A M + B M = A B \Rightarrow A B \geq 3 + 4 = 7$

Mà $\vec{A B} = (- 2; 3; - 6) \Rightarrow A B = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 3^{2} + {(- 6)}^{2}} = 7$

Do đó cần phải có H ở giữa A và B.

Khi đó

$7. \vec{A H} = 3. \vec{A B} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 (x_{H} - 5) = - 6 \\ 7 (y_{H} + 3) = 9 \\ 7 (z_{H} - 2) = - \frac{4}{7} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{H} = \frac{29}{7} \\ y_{H} = - \frac{12}{7} \\ z_{H} = - \frac{4}{7} \end{cases} \Rightarrow H (\frac{29}{7}; - \frac{12}{7}; - \frac{4}{7}) .$

Mặt phẳng (P) qua H và nhận $\vec{A B} = (- 2; 3; - 6)$ là một VTPT

$\Rightarrow (P) : - 2 (x - \frac{29}{7}) + 3 (y + \frac{12}{7}) - 6 (z + \frac{4}{7}) = 0$

$\Leftrightarrow - 2 x + 3 y - 6 z + 10 = 0 \Leftrightarrow 2 x - 3 y + 6 z - 10 = 0.$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (30 đề)

Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (đề 10)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan