Ta có: thể tích khối cầu  $V=\frac{4}{3}\pi R^3\Rightarrow R=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi }}$

Đáp án cần chọn là: D

Công thức tính diện tích mặt cầu $S=4\pi R^2$

Đáp án cần chọn là: B

Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy nội tiếp mặt cầu có bán kính $R=\sqrt{r^2+\frac{h^2}{4}}$

với r là bán kính đường tròn đáy, h là chiều cao hình chóp (độ dài cạnh bên vuông góc với đáy).

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng các công thức trong tứ diện đều cạnh aa

Bán kính mặt cầu nội tiếp $r=\frac{a\sqrt{6}}{12}=1\Rightarrow a=2\sqrt{6}$

Thể tích tứ diện đều đó là $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}=8\sqrt{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Mặt cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính bằng $\frac{a}{2}$

Diện tích mặt cầu đó là $S=4\pi R^2=4\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\pi a^2$

Đáp án cần chọn là: B

Thể tích của khối cầu bằng $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {.6}^3=288\pi$

Đáp án cần chọn là: C

Ta thấy: $\widehat{SAC}=\widehat{SBC}={90}^0$nên các đỉnh A,B luôn nhìn cạnh SC một góc 90⁰. Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là trung điểm SC.

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC=a\sqrt{2}\Rightarrow OA=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Tam giác SOC vuông tại O nên $S{C}^2=S{O}^2+O{C}^2\Rightarrow h=SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}$

Vậy $R=\frac{b^2}{2h}=\frac{b^2}{2\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}}$

Đáp án cần chọn là: A

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông S.ABC được tính theo công thức

$R=\sqrt{\frac{S{A}^2+S{B}^2+S{C}^2}{4}}=\frac{\sqrt{a^2+{\left(2a\right)}^2+{\left(3a\right)}^2}}{2}=\frac{a\sqrt{14}}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Vì $SA\perp \left(ABC\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}SA\perp AB\\ SA\perp AC\end{array}\right.$

Mà  $AB\perp AC$ nên hình chóp S.ABC là tứ diện vuông.

Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông ta được

$R=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{4}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Gọi H là tâm tam giác đều BCD,E là trung điểm CD

Ta có $AH\perp \left(BCD\right)$
Gọi I, r là tâm và bán kính mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện ABCD thì I là giao của AH và phân giác góc AEB của $\Delta AEB$. Ta có

Áp dụng tính chất đường phân giác:

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$\begin{array}{l}{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=AB=a\\ B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\sqrt{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}2}+A^{\text{'}}{C}^{\text{'}2}}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}\\ B^{\text{'}}C=\sqrt{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}2}+C^{\text{'}}{C}^2}=\sqrt{2a^2+2a^2}=2a\\ A^{\text{'}}C=\sqrt{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}2}+C^{\text{'}}{C}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}\\ \Rightarrow A^{\text{'}}{B}^{\text{'}2}+A^{\text{'}}{C}^2=a^2+3a^2=4a^2=B^{\text{'}}{C}^2\end{array}$

$\Rightarrow \Delta A\text{'}B\text{'}C$ vuông tại AA′.

Gọi I là trung điểm của B′C thì IB′ = IC = IA′

Mà $\Delta CC\text{'}B\text{'}$ vuông tại C′ nên  IB′ = IC = IC′

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CA′B′C′ và bán kính $R=\frac{1}{2}{B}^{\text{'}}C=a$

$\Rightarrow S=4\pi R^2=4\pi a^2$

Đáp án cần chọn là: B

Áp dụng công thức trên có $R=\frac{3}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có: $\frac{S_2}{S_1}=\frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2}=\frac{R_2^2}{R_1^2}=2^2=4$

Đáp án cần chọn là: A

Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AB, tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta SAB$, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và tâm đường tròn ngoại tiếp \$\Delta ABC\Rightarrow MNPQ$ là hình vuông suy ra

$PN=MQ=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{6};NB=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp là $R=PB=\sqrt{P{N}^2+N{B}^2}=\frac{\sqrt{15}}{6}$

Thể tích $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{5\sqrt{15}\pi }{54}$
Đáp án cần chọn là: B

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án cần chọn là: B

Gọi AA′  là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

$AC\perp A^{\text{'}}C;AB\perp A^{\text{'}}B$

Ta chứng minh  $A{C}^{\text{'}}\perp A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$

Mà $A{C}^{\text{'}}\perp SC\Rightarrow A{C}^{\text{'}}\perp A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$

Tương tự $A{B}^{\text{'}}\perp A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$

Như vậy B,C,C′,B′ cùng nhìn AA′  bằng 1  góc vuông nên A,B,C,B′,C′ cùng thuộc 1  mặt cầu có đường kính là AA′  và cũng đồng thời là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính $BC=\sqrt{b^2+c^2-2b\cos \alpha }$

Trong tam giác $ABC:\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos \alpha }}{2\sin \alpha }$
Đáp án cần chọn là: C

Xét các tam giác ACB, ADB lần lượt cân tại C và D nên $CM\perp AB,DM\perp AB$

Ta có : $\left\{\begin{array}{c}\left(ABC\right)\cap \left(ABD\right)=AB\\ CM\perp AB,CM\subset \left(ABC\right)\\ DM\perp AB,DM\subset \left(ABD\right)\end{array}\right.\Rightarrow \angle \left(\left(ABC\right);\left(ABD\right)\right)=\angle \left(CM;DM\right)$

Tam giác ACM vuông tại M nên theo Pitago ta có :

Tương tự $DM=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Gọi K là hình chiếu của I lên AD ta có :

Mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với AD nên $IK=IM=IN,IK\perp AD$.

Xét tam giác AMI và AKI có :

Do đó $\text{Δ}AMI=\text{Δ}AKI$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $\Rightarrow AK=AM=\frac{a}{2}$ (cạnh tương ứng).

Tương tự : $\text{Δ}DNI=\text{Δ}DKI$ (cạnh huyền – cạnh  góc vuông)

Áp dụng định lý cô sin trong tam giác MCD có :

Đáp án cần chọn là: B

Ta có : $\left\{\begin{array}{c}BC\perp BA\\ BC\perp DA\end{array}\right.\Rightarrow BC\perp \left(ABD\right)\Rightarrow BC\perp BD\Rightarrow \Delta BCD$ vuông tại B.

Gọi I là trung điểm của CD thì $IB=IC=ID=\frac{1}{2}CD$

Tam giác ACD vuông tại A nên $IA=IC=ID=\frac{1}{2}CD$

Do đó $IA=IB=IC=ID\Rightarrow I$  là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCDABCD.

Tam giác ABC vuông tại B nên $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ (Định lí Pytago).

Vì $DA\perp \left(ABC\right)$ nên ACAC là hình chiếu của DCDC lên (ABC).
$\Rightarrow \angle \left(DC;\left(ABC\right)\right)=\angle \left(DC;AC\right)=\angle DCA={45}^0$

Tam giác DAC vuông tại A có $\widehat{DCA}={45}^0$ nên là tam giác vuông cân

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là :$V=\frac{4}{3}\pi I{A}^3=\frac{4}{3}\pi .{\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^3=\frac{125\sqrt{2}}{3}\pi$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có $\left\{\begin{array}{c}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AM\right.$

$\Rightarrow \angle AMC={90}^0$ hay điểm M thuộc mặt cầu đường kính AC.

Chứng minh tương tự ta có $AP\perp \left(SCD\right)\Rightarrow AP\perp PC\Rightarrow \angle APC={90}^0$ hay P  thuộc mặt cầu đường kính AC.

Lại có $AN\perp SC\Rightarrow \angle ANC={90}^0$ hay N  thuộc mặt cầu đường kính AC.

Do đó CMNP nội tiếp khối cầu đường kính AC hay khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP có bán kính $R=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}.\sqrt{2}=2$

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {.2}^3=\frac{32\pi }{3}$
Đáp án cần chọn là: A

Gọi O,O′ lần lượt là tâm tam giác đều ABC và A’B’C’, khi đó ta có OO’ là trục của (A’B’C’).

Gọi N là trung điểm của B’M, E là trung điểm của A’C’.

Qua N kẻ $NI//B’E\left(I\in O{O}^{\text{'}}\right)$  ta có:

Lại có $I\in O{O}^{\text{'}}$ nên $I{A}^{\text{'}}=I{B}^{\text{'}}=I{C}^{\text{'}}$
Do đó ta có $I{A}^{\text{'}}=I{B}^{\text{'}}=I{C}^{\text{'}}=IM$ nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp M.A’B’C’, bán kính $R=I{B}^{\text{'}}$

Ta có:$\left\{\begin{array}{c}NI\parallel B\text{'}O\text{'}\\ B\text{'}N\parallel O\text{'}I\end{array}\right.$ nên O’B’NI là hình bình hành

Tam giác A’B’C’ đều cạnh a nên $B^{\text{'}}E=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow B^{\text{'}}O=\frac{2}{3}{B}^{\text{'}}E=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông O’B’I có:

Đáp án cần chọn là: C

Tam giác ABC có:

$\left\{\begin{array}{c}A{B}^2+A{C}^2=3^2+4^2=25\\ B{C}^2=5^2=25\end{array}\right.\Rightarrow A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\Rightarrow \text{Δ}ABC$ vuông tại A (Định lí Pytago đảo).

Gọi H là trung điểm của BC khi đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra

$HA=HB=HC=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}.$

Mà $OA=OB=OC\Rightarrow OH\perp \left(ABC\right)\Rightarrow d\left(O;\left(ABC\right)\right)=OH=1.$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBH có:

Vậy thể tích khối cầu cần tìm là:  $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{29\sqrt{29}}{6}\pi .$

Đáp án cần chọn là: C

Gọi O₁,O₂ lần lượt là tâm mặt cầu (S₁),(S₂). Hai mặt cầu này cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (C) có tâm I.

Gọi A, B là một đường kính của đường tròn giao tuyến như hình vẽ, ta có AB là trung trực của O₁O₂, do đó I là trung điểm của $O_1{O}_2\Rightarrow I{O}_1=I{O}_2=\frac{1}{2}{O}_1{O}_2=\frac{R}{2}=1$
Thể tích phần chung chính là tổng thể tích của hai khối chỏm cầu bằng nhau có bán kính R = 2, chiều cao $h=\frac{R}{2}=1$
Vậy $V=2.\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)=2\pi {.1}^2\left(2-\frac{1}{3}\right)=\frac{10\pi }{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Gọi M là trung điểm của BC, H là điểm đối xứng với A qua M.

Xét tứ giác ABHC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và

$AM\perp BC\Rightarrow AH\perp BC$  (do tam giác ABC cân tại A) nên ABHC là hình thoi $\Rightarrow HB=HC$

Xét tam giác ABH có AB = BH, $\angle BAH=\frac{1}{2}\angle BAC={60}^0$ nên là tam giác đều, do đó HA = HB.

Suy ra HA = HB = HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi H’ là hình chiếu của A lên (A’B’C’) thì H’ chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’, khi đó HH’ là trục của khối lăng trụ đứng.

Gọi I là trung điểm của HH’, ta có IA = IB = IC, IA’ = IB’ = IC’.

Xét tam giác vuông AHI và tam giác vuông A’H’I có: HI = H’I (theo cách dựng), AH = A’H’.

$\Rightarrow \text{Δ}AHI=\text{Δ}{A}^{\text{'}}{H}^{\text{'}}I$ (2 cạnh góc vuông) =>IA = IA′. Do đó A = IB = IC = IA’ = IB’ = IC’ hay I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’.

Ta có AH = AB = 2 (do ABHC là hình thoi) và HH’ = AA’ = 4 nên IH = 2.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHI có:

$AI=\sqrt{A{H}^2+H{I}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$

Suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là $R=2\sqrt{2}$

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ là: $S_{mc}=4\pi R^2=4\pi .{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=32\pi$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có đường kính mặt cầu là 60.2=120(cm).

Mà khoảng cách giữa hai đáy của thùng rượu là 80cm

Nên chiều cao chỏm cầu là $h=\frac{120-80}{2}=20\left(cm\right).$
Thế tích của 1 chỏm cầu chiều cao h = 20 và bán kính 60cm là

$V_{cc}=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)=\pi {.20}^2\left(60-\frac{20}{3}\right)=\frac{64000}{3}\pi \left(c{m}^3\right)=\frac{64\pi }{3}\left(l\right)$

Thể tích của cả khối cầu bán kính 60 cm là $V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi {.60}^3=288000\pi \left(c{m}^3\right)=288\pi \left(l\right)$

Khi đó thể tích thùng rượu là $V^{\text{'}}=V-2V_{cc}=\frac{736}{3}\pi \left(l\right)\approx 771\left(l\right).$

Đáp án cần chọn là: A

Bước 1: Gọi tâm của quả cầu lớn là S, tâm của các quả cầu nhỏ lần lượt là A,B,C,D. Khi đó 5 điểm S,A,B,C,D.

Gọi tâm của quả cầu lớn là S, tâm của các quả cầu nhỏ lần lượt là A,B,C,D. Khi đó 5 điểm S,A,B,C,D tạo thành 1 khối chóp tứ giác đều, có cạnh đáy bằng 2 , cạnh bên bằng 3

Ta có $BO=\frac{1}{2}BD=\sqrt{2};SO=\sqrt{S{B}^2-B{O}^2}=\sqrt{7}$

Bước 2: Chiều cao của hình hộp $h=2.SO+2.1$

Khi đó, chiều cao của hình hộp là: $h=2SO+2.1=2\sqrt{7}+2$

Vậy thể tích của khối hộp là: $V=\mathrm{4.4.}h=32\sqrt{7}+32$

Gọi I₁,I₂,I₃ là tâm của các hình cầu, M,N,P là các tiếp điểm của các hình cầu (như hình vẽ), H,K,F là tiếp  ba hình cầu với mặt phẳng (P) (như hình vẽ).

Xét mặt phẳng (I1I2KH), có:

$\begin{array}{l}HK=\sqrt{I_1{I_2}^2-{\left(I_{2}K-I_{1}H\right)}^2}\\ =\sqrt{{\left(R_1+R_2\right)}^2-{\left(R_1-R_2\right)}^2}\\ =\sqrt{4R_1{R}_2}=2\Rightarrow R_1{R}_2=1\end{array}$

Tương tự, $R_1{R}_3=\frac{9}{4},R_2{R}_3=4$

Vậy $R_1+R_2+R_3=\frac{3}{4}+\frac{4}{3}+3=\frac{61}{12}$

Đáp án cần chọn là: D

Xét quả bóng tiếp xúc với các bức tường và chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ bên (tương tự với góc tường còn lại).

Gọi I(a;a;a) là tâm của mặt cầu (tâm quả bóng) và R=a.

⇒ phương trình mặt cầu của quả bóng là

$\left(S\right):{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-a\right)}^2+{\left(z-a\right)}^2=a^2\left(1\right).$

Giả sử M(x;y;z) nằm trên mặt cầu (bề mặt của quả bóng) sao cho

Khi đó $z=1;x=2;y=3\Rightarrow M\left(2;3;1\right)\in \left(S\right)\left(2\right).$

Từ (1),(2) suy ra ${\left(1-a\right)}^2+{\left(2-a\right)}^2+{\left(4-a\right)}^2=a^2$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}{R}_1=a_1=\frac{7-\sqrt{7}}{2}\\ R_2=a_2=\frac{7+\sqrt{7}}{2}\end{array}\right.\Rightarrow d_1+d_2=2(R_1+R_2)=14$
Đáp án cần chọn là: B

Đường kính đường tròn đáy của một viên phấn là $d=2r=2.\frac{1}{2}=1\left(cm\right)$

Chiều rộng của hộp là 5cm⇒ Xếp được tối đa 5 viên phấn theo chiều rộng.

Chiều dài của hộp là 30cm⇒ Xếp được tối đa 30 viên phấn theo chiều dài.

Như vây, có thể xếp được tối đa $5\times 30=150$ viên phấn vào hộp.

Đáp án cần chọn là: A