Đề số 26
-
5777 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Gọi \(M,N\) là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) trên \(\left[ {0;2} \right].\) Khi đó \(M + N\) bằng
Đáp án D.
Ta có \(y' = 3{x^2} - 3.\)
Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;2} \right]\\x = - 1 \notin \left[ {0;2} \right]\end{array} \right..\)
Ta có \(y\left( 0 \right) = 1;y\left( 1 \right) = - 1;y\left( 2 \right) = 3.\)
Vậy \(M = 3,N = - 1 \Rightarrow M + N = 2.\)
Câu 2:
Nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) = 2\) là
Đáp án B.
Ta có \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) = 2 \Leftrightarrow 3x - 2 = {2^2} \Leftrightarrow x = 2.\)
Vậy nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {3x - 2} \right) = 2\) là \(x = 2.\)
Câu 3:
Cho khối nón có chu vi đáy \(8\pi \) và chiều cao \(h = 3.\) Thể tích khối nón đã cho bằng?
Đáp án C.
Gọi \(r\) là bán kính đáy của khối nón. Ta có: \(2\pi r = 8\pi \Rightarrow r = 4\)
Thể tích của khối nón đã cho là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.4^2}.3 = 16\pi .\)
Câu 4:
Với \(a >0,a \ne 1,{\log _{{a^3}}}a\) bằng
Đáp án C.
Với \(a >0,a \ne 1,{\log _{{a^3}}}a = \frac{1}{3}{\log _a}a = \frac{1}{3}\)
Câu 5:
Số phức liên hợp của số phức \(4 - 3i\) là
Đáp án D.
Ta có: \(\overline {4 - 3i} = 4 + 3i.\)
Câu 6:
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x + 3\) là
Đáp án A.
Ta có: \(\int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)dx} = \int\limits_{}^{} {{x^2}dx} + 2\int\limits_{}^{} {xdx} + 3\int\limits_{}^{} {dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 3x + C.\)
Câu 7:
Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{6 - 3x}}\) có bao nhiêu tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
Đáp án C.
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}.\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x - 3}}{{6 - 3x}} = - \frac{1}{3}\) nên đường thẳng \(y = - \frac{1}{3}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 3}}{{6 - 3x}} = + \infty \) nên đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{6 - 3x}}\) có tất cả 2 đường tiệm cận, trong đó 1 đường tiệm cận ngang và 1 đường tiệm cận đứng.
Câu 8:
Cho các số thực dương \(a,b,x,y\) thỏa mãn \(a >1,b >1\) và \({a^{x - 1}} = {b^y} = \sqrt[3]{{ab}}.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 3x + 4y\) thuộc tập hợp nào dưới đây?
Đáp án A.
Ta có \({a^{x - 1}} = {b^y} = \sqrt[3]{{ab}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + \frac{1}{3}{\log _a}ab = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}{\log _a}b\\y = \frac{1}{3}{\log _b}ab = \frac{1}{3}\left( {1 + {{\log }_b}a} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right)\end{array} \right..\)
Thay vào \(P,\)ta được
\(P = 3x + 4y = 3\left( {\frac{4}{3} + \frac{1}{3}{{\log }_a}b} \right) + 4.\frac{1}{3}\left( {1 + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right)\)
\( = \frac{{16}}{3} + \left( {{{\log }_a}b + \frac{4}{{3{{\log }_a}b}}} \right)\)
Vì \(a >1,b >1\) nên \({\log _a}b >0.\) Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
\(P = \frac{{16}}{3} + \left( {{{\log }_a}b + \frac{4}{{3{{\log }_a}b}}} \right) \ge \frac{{16}}{3} + 2\sqrt {{{\log }_a}b.\frac{4}{{3{{\log }_a}b}}} = \frac{{16 + 4\sqrt 3 }}{3}.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\log _a}b = \frac{4}{3}{\log _a}b \Leftrightarrow {\log _a}b = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) bằng \(\frac{{16 + 4\sqrt 3 }}{3} \in \left( {7;9} \right].\)
Câu 9:
Cho số phức \(z\) thỏa \(\left( {2 + i} \right)z - 4\left( {\overline z - i} \right) = - 8 + 19i.\) Mô đun của \(z\) bằng
Đáp án D.
Gọi \(z = a + bi\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right).\) Khi đó:
\(\left( {2 + i} \right)z - 4\left( {\overline z - i} \right) = - 8 + 19i \Leftrightarrow \left( {2 + i} \right)\left( {a + bi} \right) - 4\left( {a - \left( {b + 1} \right)i} \right) = - 8 + 19i\)
\( \Leftrightarrow \left( {2a - b} \right) + \left( {a + 2b} \right)i - 4a + 4\left( {b + 1} \right)i = - 8 + 19i,\) nên ta có hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l} - 2a - b = - 8\\a + 6b + 4 = 19\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - b = - 8\\a + 6b = 15\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\end{array} \right..\) Vậy \(\left| z \right| = \sqrt {13} .\)
Câu 10:
Tìm tất cả giá trị thực của tham số \(m\) sao cho khoảng \(\left( {2;3} \right)\) thuộc tập nghiệm của bất phương trình \({\log _5}\left( {{x^2} + 1} \right) >{\log _5}\left( {{x^2} + 4x + m} \right) - 1.\)
Đáp án A.
Điều kiện xác định: \({x^2} + 4x + m >0.\)
Với điều kiện trên, bất phương trình tương đương với \(5\left( {{x^2} + 1} \right) >\left( {{x^2} + 4x + m} \right).\)
Để khoảng \(\left( {2;3} \right)\) thuộc tập nghiệm của bất phương trình thì hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + m >0\\5\left( {{x^2} + 1} \right) >\left( {{x^2} + 4x + m} \right)\end{array} \right.\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {2;3} \right).\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = {x^2} + 4x >- m\\g\left( x \right) = 4{x^2} - 4x + 5 >m\end{array} \right.\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {2;3} \right).\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + 4x\) trên khoảng \(\left( {2;3} \right)\) có \(f'\left( x \right) = 2x + 4 >0,\forall x \in \left( {2;3} \right)\) suy ra \(f\left( x \right) >f\left( 2 \right) = 12.\) Do đó \(12 \ge - m \Leftrightarrow m \ge - 12\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = 4{x^2} - 4x + 5\) trên khoảng \(\left( {2;3} \right)\) có \(g'\left( x \right) = 8x - 4 >0,\forall x \in \left( {2;3} \right)\) suy ra \(g\left( x \right) >g\left( 2 \right) = 13.\) Do đó \(13 \ge m \Leftrightarrow m \le 13.\)
Câu 11:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right).\) Biết \(\frac{1}{{{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = f'\left( x \right)\ln x\) và \(f\left( 2 \right) = \frac{1}{{\ln 2}}.\) Khi đó, \(\int\limits_1^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} \) bằng
Đáp án D.
Vì \(\frac{1}{{{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = f'\left( x \right)\ln x,\) nên \({\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^'} = f'\left( x \right)\ln x \Leftrightarrow - \frac{2}{{{x^3}}} = f'\left( x \right)\ln x\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = \frac{1}{x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \ln x\end{array} \right..\)
Khi đó: \(\int\limits_1^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = f\left( x \right).\ln \left( x \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. - \int\limits_1^2 {f'\left( x \right)\ln xdx} = f\left( 2 \right).\ln \left( 2 \right) + \int\limits_1^2 {\frac{2}{{{x^3}}}dx} = \frac{1}{{\ln 2}}.\ln 2 - \frac{1}{{{x^2}}}\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right.\)
\( = 1 - \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - 1} \right) = \frac{7}{4}.\)
Câu 12:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + 2y - 1 = 0.\) Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)?\)
Đáp ánB.
Ta có: \(\overrightarrow n = \left( {1;2;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)
Câu 13:
Cho số phức \(z = a + bi\) và \[{\rm{w}} = \frac{1}{2}\left( {z + \overline z } \right).\] Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?
Đáp án B.
Ta có \(\overline z = a - bi\) do đó \[{\rm{w}} = \frac{1}{2}\left( {z + \overline z } \right) = \frac{1}{2}\left( {a + bi + a - bi} \right) = a\] là một số thực.
Câu 14:
Cho một khối chóp có diện tích đáy \(B = 6{a^2},\) chiều cao \(h = 3a.\) Thể tích khối chóp đã cho bằng
Đáp án A.
Thể tích của khối chóp \(V = \frac{1}{3}B.h = \frac{1}{6}.6{a^2}.3a = 6{a^3}.\)
Câu 15:
Cho tích phân: \(I = \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 - \ln x} }}{x}dx} .\) Đặt \(u = \sqrt {1 - \ln x} .\) Khi đó \(I\) bằng
Đáp ánA.
Đặt \(u = \sqrt {1 - \ln x} \Rightarrow {u^2} = 1 - \ln x\)
\( \Rightarrow \frac{{dx}}{x} = - 2udu\) (với \(x = 1 \to u = 1;x = e \to u = 0)\)
Ta có \(I = 2\int\limits_0^1 {{u^2}du} .\)
Câu 16:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right) = \left( {x - 2} \right){\left( {x + 3} \right)^4}{\left( {1 - 2x} \right)^3}.\) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
Đáp ánA.
Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 3\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Trong đó \[x = 2,x = \frac{1}{2}\] là các nghiệm bội bậc lẻ nên hàm số \[y = f(x)\] có 2 điểm cực trị.
Còn \[x = - 3\] là nghiệm bội bậc chẵn nên không là điểm cực trị của hàm số \[y = f(x)\].
Câu 17:
Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 5x + 4\) và trục \(Ox.\) Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) bằng:
Đáp án C.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và trục \(Ox\) là: \({x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\)
Thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) bằng:
\(V = \pi \int\limits_1^4 {\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)dx} = \frac{{81}}{{10}}\pi \)
Vậy chọn đáp án C là đáp án đúng.
Câu 18:
Cho hàm số \(f\left( x \right).\) Bảng biến thiên của hàm số \(f'\left( x \right)\) như sau:
Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) là:
Đáp án A.
Xét \(y = f\left( {{x^2} - 2x} \right) \Rightarrow y' = \left( {2x - 2} \right).f'\left( {{x^2} - 2x} \right)\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x = {x_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\\{x^2} - 2x = {x_2} \in \left( { - 1;0} \right)\\{x^2} - 2x = {x_3} \in \left( {0;1} \right)\\{x^2} - 2x = {x_4} \in \left( {1; + \infty } \right)\end{array} \right.\)
Trường hợp 1: \({x^2} - 2x = {x_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {x_1} = 0.\)
Ta có \(\Delta ' = 1 - 1.\left( { - {x_1}} \right) = 1 + {x_1} < 0,\forall {x_1} \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) nên phương trình vô nghiệm. Suy ra trường hợp này không có điểm cực trị.
Trường hợp 2: \({x^3} - 2x = {x_2} \in \left( { - 1;0} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {x_2} = 0.\)
Ta có \(\Delta ' = 1 - 1.\left( { - {x_2}} \right) = 1 + {x_2} >0,\forall {x_2} \in \left( { - 1;0} \right)\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra trường hợp này có hai điểm cực trị.
Trường hợp 3: \({x^2} - 2x = {x_3} \in \left( {0;1} \right).\) Xét thấy hệ số \(a\) và \(c\) trong phương trình luôn trái dấu nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra trường hợp này có hai điểm cực trị.
Trường hợp 4: \({x^2} - 2x = {x_4} \in \left( {1; + \infty } \right).\) Xét thấy hệ số \(a\) và \(c\) trong phương trình luôn trái dấu nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Suy ra trường hợp này có hai điểm cực trị.
Mặt khác, các hệ số trong các phương trình ở trường hợp 2, 3, 4 vừa xét đều khác nhau hệ số \(c\) nên các nghiệm của phương trình này đều khác nhau và đều khác 1.
Vậy hàm số \(y = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\) có 7 điểm cực trị. Ta chọn đáp án A.
Câu 19:
Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} + 1\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 1\) là
Đáp án C.
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} + 1\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 1\) là
\( - {x^4} + 4{x^2} + 1 = {x^2} - 1.\)
\( \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\{x^2} = \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\left( L \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}} .\)
Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^4} + 4{x^2} + 1\) và đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 1\) là 2.
Câu 20:
Hàm số \(y = \frac{{x - {m^2}}}{{x - 4}}\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\) khi
Đáp án B.
TXĐ: \(D = \left( { - \infty ;4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right).\)
Ta có \(y = \frac{{x - {m^2}}}{{x - 4}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 4 + {m^2}}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}.\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;4} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\) khi và chỉ khi
\(y' = \frac{{ - 4 + {m^2}}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} >0 \Leftrightarrow - 4 + {m^2} >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m >2\\m < - 2\end{array} \right..\)
Câu 21:
Cho hình nón \(\left( N \right)\) có đỉnh \(S,\) bán kính đáy \(r = 1\) và độ dài đường sinh \(l = 2\sqrt 2 .\) Mặt cầu đi qua \(S\) và đường tròn đáy của \(\left( N \right)\) có bán kính bằng
Đáp án A.
Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu đi qua \(S\) và đường thẳng đáy của \(\left( N \right).\)
\(R\) là bán kính của mặt cầu cần tìm.
Theo giả thiết, ta có \(SO = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt 7 .\)
Trường hợp 1. \(IO = SO - R = \sqrt 7 - R.\)
Trong tam giác vuông \(IOB,\) ta có \(I{B^2} = I{O^2} + O{B^2} \Leftrightarrow {R^2} = {\left( {\sqrt 7 - R} \right)^2} + 1 \Leftrightarrow R = \frac{{4\sqrt 7 }}{7}.\)
Trường hợp 2. \(IO = R - SO = R - \sqrt 7 .\)
Trong tam giác vuông \(IOB,\) ta có \(I{B^2} = I{O^2} + O{B^2} \Leftrightarrow {R^2} = {\left( {R - \sqrt 7 } \right)^2} + 1 \Leftrightarrow R = \frac{{4\sqrt 7 }}{7}.\)
Câu 22:
Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của một quốc gia \(X\) là 0,2%. Năm 1998 dân số của quốc gia \(X\) là 125500000 người. Hỏi sau bao nhiêu năm thì dân số của quốc gia \(X\) là 140000000 người?
Đáp án C.
Gọi \(A\) là dân số của quốc gia \(X\) năm 1998, \(r\) là tỷ lệ tăng dân số và \({A_n}\) là dân số của quốc gia \(X\) sau \(n\) (năm) tính từ năm 1998.
\({A_n} \ge 140000000 \Leftrightarrow 125500000.{\left( {1 + 0,2\% } \right)^n} \ge 140000000 \Leftrightarrow n \ge \frac{{\ln \frac{{140000000}}{{125500000}}}}{{\ln \left( {1 + 0,2\% } \right)}} \approx 54,72.\)
Vậy sau 55 năm thì dân số của quốc gia \(X\) là 140000000 người.
Câu 23:
Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{1 - x}}.\) Phát biểu nào sau đây đúng?
Đáp án C.
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)
Ta có \(y' = \frac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} >0,\forall x \in D.\)
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)
Câu 24:
Cho hình nón có bán kính đáy \(r = 2\) và độ dài đường sinh \(l = 4.\) Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
Đáp án B.
Ta có \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .2.4 = 8\pi .\)
Câu 25:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới. Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = - 1\) là
Đáp án A.
Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = - 1\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = - 1.\)
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 26:
Xét các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {i\overline z + 3 - 2i} \right| = 4.\) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) tập hợp điểm biểu diễn số phức \(w = 2i\overline z + 5 - 6i\) là một đường tròn có tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R.\) Tính \(T = a + b + R\)
Đáp án C.
Do \(z \in \mathbb{C} \Rightarrow z = x + yi\) với \(x,y \in \mathbb{R}.\)
Theo đề bài: \(w = 2i\overline z + 5 - 6i = 2\left( {i\overline z + 3 - 2i} \right) - \left( {1 + 2i} \right) \Leftrightarrow {\rm{w}} + \left( {1 + 2i} \right) = 2\left( {i\overline z + 3 - 2i} \right).\)
\( \Leftrightarrow {\rm{w + }}\left( {1 + 2i} \right) = 2\left( {i\overline z + 3 - 2i} \right) \Leftrightarrow \left| {{\rm{w + }}\left( {1 + 2i} \right)} \right| = 2\left| {\left( {i\overline z + 3 - 2i} \right)} \right| = 8.\)
Suy ra:
\(\left| {{\rm{w}} + \left( {1 + 2i} \right)} \right| = 8 \Leftrightarrow \left| {x + yi + 1 + 2i} \right| = 8 \Leftrightarrow \left| {x + 1 + \left( {y + 2} \right)i} \right| = 8 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = {8^2}.\)
Vậy tập hợp điểm biểu diễn \[{\rm{w}}\] là một đường tròn có tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\), bán kính \(R = 8\) nên ta có:
\(T = a + b + R = - 1 - 2 + 8 = 5.\)
Câu 27:
Hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x - 7\) đạt cực đại tại
Đáp án D.
Xét \(y' = 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 3\end{array} \right..\) Ta có: Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = - 1\) và đạt cực tiểu tại điểm \(x = 3.\)
Câu 28:
Cho đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng
Đáp án A.
* Từ hình vẽ suy ra \(a >0,c >0.\)
* Xét \(y' = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow 2x\left( {2a{x^2} + b} \right) = 0.\) Để hàm số có 3 cực trị như hình vẽ thì \(a;b\) trái dấu, suy ra \(b < 0.\)
* Xét \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c = 0 \Leftrightarrow a{t^2} + bt + c = 0;t = {x^2} \ge 0\) có một nghiệm kép theo ẩn phụ \(t.\) Từ đồ thị, ta thấy phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành chỉ có hai nghiệm \(x\) đối nhau \( \Leftrightarrow \) phương trình bậc hai theo ẩn phụ \(t\) chỉ có một nghiệm dương \( \Leftrightarrow \Delta = {b^2} - 4ac = 0.\)
Câu 29:
Trong không gian \[Oxyz,\] mặt phẳng qua \(A\left( {3;4;1} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình là
Đáp án B.
Mặt phẳng qua \(A\left( {3;4;1} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) có VTPT: \(\overrightarrow n = \overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)\)
Có phương trình: \(0\left( {x - 3} \right) + 0\left( {y - 4} \right) + 1\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 1.\)
Câu 30:
Nghiệm của phương trình \({9^{2x + 3}} = 81\) là
Đáp án C.
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Phương trình đã cho tương đương: \({9^{2x + 3}} = {9^2} \Leftrightarrow 2x + 3 = 2 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}.\)
Câu 31:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\left[ {1;2} \right],f\left( 1 \right) = 1\) và \(f\left( 2 \right) = 2.\) Khi đó, \(I = \int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} \) bằng
Đáp ánA.
Ta có: \(I = \int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} = d\left( x \right)\left| \begin{array}{l}2\\1\end{array} \right. = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 2 - 1 = 1.\)
Câu 32:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2x - 4}} >{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{x - 1}}\) là
Đáp án B.
Bất phương trình \( \Leftrightarrow 2x - 4 < x + 1 \Leftrightarrow x < 5.\)
Tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - \infty ;5} \right).\)
Câu 34:
Thể tích của khối cầu có bán kính \(r = 3\) là
Đáp án D.
Thể tích của khối cầu có bán kính \(r = 3\) là \(V = \frac{4}{3}\pi {r^3} = \frac{4}{3}.\pi {.3^3} = 36\pi .\)
Câu 35:
Trong không gian \(Oxyz,\) hình chiếu vuông góc của điểm \(A\left( {1;3;5} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là điểm nào sau đây?
Đáp án C.
Hình chiếu vuông góc của điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) là điểm \(M'\left( {0;b;c} \right).\) Do đó điểm cần tìm là \(\left( {0;3;5} \right).\)
Câu 36:
Biết \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2020,\) khi đó \(I = \int\limits_0^4 {\left[ {f\left( {\frac{x}{2}} \right)} \right]dx} \) bằng
Đáp án D.
Đặt \(t = \frac{x}{2} \Rightarrow dt = {\left( {\frac{x}{2}} \right)^'}dx = \frac{1}{2}dx \Rightarrow dx = 2dt\)
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 \Rightarrow t = 2\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow I = 2\int\limits_0^2 {f\left( t \right)dt} = 2.2020 = 4040\)
Vậy \(I = 4040.\)
Câu 37:
Cho số phức \(z = 3 + 4i.\) Tìm phần thực \(a\) và phần ảo \(b\) của số phức \(z.\)
Đáp án A.
Phần thực \(a\) và phần ảo \(b\) của số phức \(z\) là \(a = 3,b = 4.\)
Câu 38:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4.\) Tâm của \(\left( S \right)\) có tọa độ là
Đáp án D.
Tâm của \(\left( S \right)\) có tọa độ là \(\left( {2;0; - 1} \right)\)
Câu 39:
Cho số phức \(z = \frac{{1 + 2i}}{{1 - i}}.\) Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức \(z\) là điểm nào dưới đây?
Đáp ánD.
Ta có: \(z = \frac{{1 + 2i}}{{1 - i}} = \frac{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 + i} \right)}}{{\left( {1 - i} \right)\left( {1 + i} \right)}} = \frac{{ - 1 + 3i}}{2} = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i.\)
Vậy trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức \(z\) là \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right).\)
Câu 40:
Mặt phẳng đi qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh bằng \(2a.\) Thể tích khối trụ bằng
Đáp án D.
Vì thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên \(AB = 2R = 2a \Leftrightarrow R = a\) và \(h = AA' = 2a.\)
Thể tích khối trụ là \(V = \pi {R^2}h = \pi {a^2}.2a = 2\pi {a^3}.\)
Câu 41:
Đồ thị hình bên là của hàm số nào?
Đáp án B.
Đồ thị hình bên là đồ thị hàm bậc 3 với hệ số \(a >0\) nên loại A và D. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \(\left( { - 1;2} \right)\) và \(\left( {1; - 2} \right)\) nên \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) do đó loại đáp án C và chọn đáp án B.
Câu 42:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {1;2;5} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0.\) Phương trình đường thẳng qua \(A\) vuông góc với \(\left( P \right)\) là:
Đáp án A.
Mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right).\)
Đường thẳng vuông góc với mp \(\left( P \right):x - 2y + z - 1 = 0\) nhận vectơ \(\overrightarrow n = \left( {1; - 2;1} \right)\) hoặc vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 1;2; - 1} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên loại các đáp án B, D. Ta lại có tọa độ điểm \(A\left( {1;2;5} \right)\) thỏa mãn phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = - 2 + 2t\\z = 7 - t\end{array} \right.\)
nên đáp án A đúng.
Câu 43:
Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và \(OB = OC = a\sqrt 6 ,OA = a.\) Thể tích khối tứ diện đã cho bằng
Đáp án D.
Vì \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc nên \(OA \bot \left( {OBC} \right)\) và \(\Delta OBC\) vuông tại \(O.\)
Nên thể tích khối chóp \(OABC\) là \(V = \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.a\sqrt 6 .a\sqrt 6 .a = {a^3}.\)
Câu 44:
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy \(B = 8\) và chiều cao \(h = 6.\) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Đáp án A.
Áp dụng công thức thể tích hình trụ ta có \(V = B.h = 8.6.\)
Vậy thể tích hình trụ là \(V = 48.\)
Câu 45:
Tập xác định của hàm số \(y = {\log _2}\frac{{x + 3}}{{2 - x}}\) là
Đáp án A.
Hàm số \(y = {\log _2}\frac{{x + 3}}{{2 - x}}\) có điều kiện xác định: \(\frac{{x + 3}}{{2 - x}} >0 \Leftrightarrow - 3 < x < 2.\)
Vậy tập xác định \(D = \left( { - 3;2} \right).\)
Câu 46:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = z + 1,\) điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng \(d?\)
Đáp án C.
Thay tọa độ điểm \(\left( {1; - 2; - 1} \right)\) vào đường thẳng \(d\) ta được:
\(\frac{{1 - 1}}{2} = \frac{{\left( { - 2} \right) + 2}}{3} = \left( { - 1} \right) + 1 = 0\) (luôn đúng).
Suy ra điểm \(\left( {1; - 2; - 1} \right)\) thuộc đường thẳng \(d.\)
Câu 47:
Trong không gian \(Oxyz,\) cho điểm \(A\left( {4; - 1;3} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{1}.\) Tọa độ điểm \(M\) là điểm đối xứng với điểm \(A\) qua \(d\) là
Đáp án D.
Gọi \(N\left( {2t + 1; - t - 1;t + 3} \right) \in d\) là hình chiếu của \(A\) trên \(d.\) Suy ra \(N\) là trung điểm \(AM.\)
Ta có: \(\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow 2\left( {2t - 3} \right) - \left( { - t} \right) + t = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)
Vậy \(N\left( {3; - 2;4} \right).\)
Suy ra \(M\left( {2; - 3;5} \right).\)
Câu 48:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình \(f\left( {{2^{3{x^4} - 4{x^2} + 2}}} \right) + 1 = 0\) là
Đáp án B.
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
\(f\left( {{2^{3{x^4} - 4{x^2} + 2}}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( {{2^{3{x^4} - 4{x^3} + 2}}} \right) = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{3{x^4} - 4{x^3} + 2}} = {a_1} < - 1\left( 1 \right)\\{2^{3{x^4} - 4{x^3} + 2}} = 2\\{2^{3{x^4} - 4{x^3} + 2}} = {a_2} >5\end{array} \right.\)</>
TH1: \({2^{3{x^4} - 4{x^3} + 2}} = 2\)
\( \Leftrightarrow 3{x^4} - 4{x^3} + 2 = 1 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {3{x^3} + 2x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
TH2: \({2^{3{x^4} - 4{x^2} + 2}} = {a_2}\)
\( \Leftrightarrow 3{x^4} - 4{x^3} + 2 = {\log _2}{a_2}\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^4} - 4{x^3} + 2,\) khảo sát hàm số, ta được bảng biến thiên sau:
Do \({\log _2}{a_2} >{\log _2}5 >1\) nên \(3{x^4} - 4{x^3} + 2 = {\log _2}{a_2}\) có hai nghiệm phân biệt khác 1.
Câu 49:
Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn \({a^{{{\log }_3}7}} = 27,{b^{{{\log }_7}11}} = 49,{c^{{{\log }_{11}}25}} = \sqrt {11} .\) Giá trị của biểu thức \(A = {a^{{{\left( {{{\log }_3}7} \right)}^2}}} + {b^{{{\left( {{{\log }_7}11} \right)}^2}}} + {c^{{{\left( {{{\log }_{11}}25} \right)}_2}}}\) là
Đáp án C.
Ta có \(A = {a^{{{\left( {{{\log }_3}7} \right)}^2}}} + {b^{{{\left( {{{\log }_7}11} \right)}^2}}} + {c^{{{\left( {{{\log }_{11}}25} \right)}_2}}} = {\left( {{a^{{{\log }_3}7}}} \right)^{{{\log }_3}7}} + {\left( {{b^{{{\log }_7}11}}} \right)^{{{\log }_7}11}} + {\left( {{c^{{{\log }_{11}}25}}} \right)^{{{\log }_{11}}25}}\)
\( = {27^{{{\log }_3}7}} + {49^{{{\log }_7}11}} + {\sqrt {11} ^{{{\log }_{11}}25}} = {\left( {{3^{{{\log }_3}7}}} \right)^3} + {\left( {{7^{{{\log }_7}11}}} \right)^2} + {\left( {{{11}^{{{\log }_{11}}25}}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {7^3} + {11^2} + {25^{\frac{1}{2}}} = 469.\)
Câu 50:
Cho khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích \(V.\) Gọi \({G_1},{G_2},{G_3},{G_4}\) lần lượt là trọng tâm của bốn mặt của hình tứ diện. Thể tích khối tứ diện \({G_1}{G_2}{G_3}{G_4}\) bằng
Đáp án C.
Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(AC,AD,CD.\)
Ta có
\({V_{{G_1}{G_2}{G_3}{G_4}}} = \frac{1}{3}d\left( {{G_3},\left( {{G_1}{G_2}{G_4}} \right)} \right).{S_{{G_1}{G_2}{G_4}}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.d\left( {B,\left( {{G_1}{G_2}{G_4}} \right)} \right).{S_{{G_1}{G_2}{G_4}}} = \frac{1}{2}{V_{B{G_1}{G_2}{G_4}}}\)
\( = \frac{1}{2}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^3}{V_{BMNP}} = \frac{4}{{27}}.\frac{1}{4}{V_{BACD}} = \frac{V}{{27}}.\)