IMG-LOGO

Đề số 27

  • 5765 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Xét các số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({\log _5}\left( {{5^a}{{.25}^b}} \right) = {5^{{{\log }_5}a + {{\log }_5}b + 1}}.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng? 

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có \({\log _5}\left( {{5^a}{{25}^b}} \right) = {5^{{{\log }_5}a + {{\log }_5}b + 1}}\)

\( \Leftrightarrow {\log _5}{5^a} + {\log _5}{25^b} = {5^{{{\log }_5}a}}{.5^{{{\log }_5}b}}.5\)

\( \Leftrightarrow a + b{\log _5}25 = a.b.5\)

\( \Leftrightarrow a + 2b = 5ab\)


Câu 2:

Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng \({60^0},\) bán kính đáy bằng \(a.\) Diện tích xung quanh của hình nón bằng

Xem đáp án

Đáp án C.

Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 60^0, bán kính đáy bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón bằng (ảnh 1)

Ta có: \(SB = \frac{{OB}}{{\sin \widehat {BSO}}} = \frac{a}{{\frac{1}{2}}} = 2a\)

\({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .a.2a = 2{a^2}\pi .\)


Câu 3:

Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ

Cho hàm số y = (ax + b)/(cx + d) có đồ thị như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng? (ảnh 1)

 Khẳng định nào sau đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án A.

Từ đồ thị của hàm số ta suy ra:

Tiệm cận đứng \(x = - \frac{d}{c} < 0 \Rightarrow cd >0\left( 1 \right)\)</>

Tiệm cận ngang \(y = \frac{a}{c} >0 \Rightarrow ac >0\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(ad >0.\)

Giao điểm với trục hoành \(x = - \frac{b}{a} >0 \Rightarrow ab < 0.\)

Vậy ta có \(ab < 0\) và \(ad >0.\)


Câu 4:

Khối chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(6a,\) tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy có thể tích bằng

Xem đáp án

Đáp án A.

Khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 6a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc  (ảnh 1)

Vẽ đường cao

\(SO\) của tam giác đều \(SAB.\)

Ta có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)

Do đó \(SO\) là đường cao của hình nón \(S.ABCD\) và \(SO = \frac{{6a\sqrt 3 }}{2} = 3a\sqrt 3 .\)

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD:V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.{\left( {6a} \right)^2}.3a\sqrt 3 = 36\sqrt 3 {a^3}.\)


Câu 5:

Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh \(2a.\) Đường cao của hình nón là

Xem đáp án

Đáp án B.

Thiết diện qua trục của một hình nón là tam giác đều cạnh 2a. Đường cao của hình nón là (ảnh 1)

Ta có tam giác \(SAB\) là tam giác đều cạnh \(2a\) nên \(SA = SB = AB = 2a\)

Khi đó: \(R = OA = a,l = SA = 2a.\) Nên \(h = SO = a\sqrt 3 .\)

Vậy chọn đáp án B.


Câu 6:

Cho hình nón có đường kính đáy bằng 4. Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một tam giác đều. Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng 

Xem đáp án

Đáp án B.

Cho hình nón có đường kính đáy bằng 4. Biết rằng khi cắt hình nón đã cho bởi mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được (ảnh 1)

Ta có tam giác \(SAB\) là tam giác đều cạnh 4 nên \(SA = SB = AB = 4.\)

Khi đó: \(R = OA = 2,l = SA = 4.\) Nên \(h = SO = 2\sqrt 3 .\)

Ta có: \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .2.4 + \pi {.2^2} = 12\pi \) nên chọn đáp án B.


Câu 7:

Số giao điểm của đồ thị \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x - 2\) và trục hoành là

Xem đáp án

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = {x^3} - 2{x^2} + 3x - 2\) với trục hoành là

\({x^3} - 2{x^2} + 3x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (do \({x^2} - x + 2 >0,\forall x \in \mathbb{R}).\)

Vậy số giao điểm cần tìm là 1.


Câu 8:

Cho khối chóp có thể tích \(V = 36\left( {c{m^3}} \right)\) và diện tích mặt đáy \(B = 6\left( {c{m^2}} \right).\) Chiều cao của khối chóp là 

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có \(V = \frac{1}{3}B.h\) suy ra \(h = \frac{{3V}}{B} = \frac{{3.36}}{6} = 18\left( {cm} \right).\)


Câu 11:

Cho hàm số \[y = f(x)\] có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp ánA.

Ta có: \[y' >0\]khi \[x \in ( - \infty ;0)\] và \[x \in (2; + \infty )\]. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \[(2; + \infty )\].


Câu 12:

Trong khai triển \[{(a + b)^n}\], số hạng tổng quát của khai triển là.

Xem đáp án

Đáp án B.

Số hạng thứ \[k + 1\] của khai khiển \[{(a + b)^n}\]là \[C_n^k{a^{n - k}}{b^k},k = 0,1,2,....,n\].


Câu 13:

Tìm số hạng đều tiên của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với công bội \(q = 2,{u_8} = 384.\) 

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có: \({u_8} = {u_1}.{q^7} \Leftrightarrow 384 = {u_1}{.2^7} \Leftrightarrow {u_1} = 3.\)


Câu 14:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) là hàm số \(f'\left( x \right).\) Biết đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) được cho như hình vẽ. Hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R là hàm số f'(x). Biết đồ thị hàm số f'(x) được cho như hình vẽ. Hàm số f(x) nghịch biến  (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án D.

Dựa vào đồ thị hàm số \(f'\left( x \right),\) ta có \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - 3; - 2} \right)\) nên hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3; - 2} \right).\)


Câu 15:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận?

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ. Hỏi hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( 0 \right)}^ + }} f\left( x \right) = + \infty \) nên \(x = - 2,x = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.


Câu 16:

Trong khai triển \({\left( {1 - x} \right)^{11}},\) hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) là 

Xem đáp án

Đáp án D.

Xét khai triển \({\left( {1 - x} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k.{{\left( { - 1} \right)}^k}.{x^k}.} \)

Ta có hệ số của số hạng chứa \({x^3}\) là \( - C_{11}^3.\)


Câu 17:

Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào?

Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào? (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án C.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 2\) nên loại đáp án A; D.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là \(y = 1\) nên loại đáp án B.

Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}.\)


Câu 18:

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 4n - 3.\) Tìm công sai \(d\) của cấp số cộng.  

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có \(d = {u_{n + 1}} - {u_n} = 4\left( {n + 1} \right) - 3 - \left( {4n - 3} \right) = 4.\)


Câu 19:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {{{\sin }^2}x} \right) = m\) có nghiệm.

Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m  (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án D.

Đặt \(t = {\sin ^2}x \Rightarrow 0 \le t \le 1.\)

Phương trình \(f\left( {{{\sin }^2}x} \right) = m \Leftrightarrow f\left( t \right) = m\left( * \right),0 \le t \le 1.\)

Nhìn vào đồ thị suy ra phương trình (*) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) có nghiệm khi và chỉ khi \( - 1 \le m \le 3.\)


Câu 20:

Cho ngẫu nhiên 4 đỉnh của một đa giác đều 24 đỉnh. Tìm xác suất để chọn được 4 đỉnh là 4 đỉnh của một hình vuông? 
Xem đáp án

Đáp án A.

Số các tứ giác được tạo thành từ 4 đỉnh của một đa giác đều 24 đỉnh là: \(C_{24}^4 = 10626\)

\( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 10626.\)

Gọi \(A\) là biến cố: “Chọn được 4 đỉnh là 4 đỉnh của một hình vuông”.

Ta có:

Số các đường chéo là đường kính: \(\frac{{C_{24}^1}}{2} = 12.\)

Trong đó số cặp đường kính vuông góc với nhau: \(\frac{{12}}{2} = 6.\)

Suy ra số hình vuông được tạo thành là: 6

\( \Rightarrow n\left( A \right) = 6.\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{10626}} = \frac{1}{{1771}}.\)


Câu 21:

Cho tứ diện \(O.ABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và \(OA = 3a,OB = OC = 2a.\) Thể tích \(V\) khối tứ diện đó là 

Xem đáp án

Đáp án C.

Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc và OA = 3a,OB = OC = 2a. Thể tích V khối tứ diện đó là (ảnh 1)

Thể tích khối tứ diện \(OABC:V = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{{3a.2a.2a}}{6} = 2{a^3}.\)


Câu 22:

Tổng diện tích tất cả các mặt của hình bát diện đều cạnh \(a\) bằng 

Xem đáp án

Đáp án B.

Các mặt của hình bát diện đều cạnh \(a\) đều là tam giác đều có diện tích \({S_1} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)

Vậy tổng diện tích 8 mặt là \(S = 8.{S_1} = 2\sqrt 3 {a^2}.\)


Câu 23:

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác với \(AB = a,AC = 2a\) và \(\widehat {BAC} = {120^0},AA' = 2a\sqrt 5 .\) Thể tích \(V\) của khối lăng trụ đã cho là 

Xem đáp án

Đáp án C.

Cho lăng trụ đứng  ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác với AB = a,AC = 2a và góc BAC = 120^0, AA' = 2a căn 5 . (ảnh 1)

Diện tích \(\Delta ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}.\)

Vậy thể tích khối lăng trụ là \(V = AA'.{S_{ABC}} = {a^3}\sqrt {15} .\)


Câu 24:

Tập xác định của hàm số \(y = {x^{\sqrt 3 }}\) là 

Xem đáp án

Đáp án D.

Vì \(\sqrt 3 \) không nguyên nên tập xác định của hàm số là \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)


Câu 25:

Đặt \(a = {\log _3}4,\) khi đó \({\log _{16}}81\) bằng

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có: \({\log _{16}}81 = \frac{4}{2}{\log _4}3 = \frac{2}{{{{\log }_3}4}} = \frac{2}{a}\)


Câu 26:

Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 3 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cứ 4 bạn đi dự đại hội đoàn trường sao cho trong 4 học sinh đó có ít nhất một cán sự lớp 

Xem đáp án

Đáp án A.

Số cách chọn 4 bạn tùy ý trong 30 bạn là: \(C_{30}^4 = 27405.\)

Số cách chọn 4 bạn trong 30 bạn mà không có bạn nào làm cán sự lớp là: \(C_{27}^4 = 17550\)

Số cách chọn 4 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(C_{30}^4 - C_{27}^4 = 9855\)


Câu 27:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây là đúng

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau. Mệnh đề nào dưới đây là đúng (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án A.

Hàm số có hai điểm cực trị \(x = - 1\) và \(x = 0.\)


Câu 28:

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số có bảng biến thiên như hình dưới đây. Khẳng định nào sau đây là đúng? (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án B.

Giá trị cực đại của hàm số bằng 0 tại \(x = 0\)

Giá trị cực tiểu của hàm số bằng \( - \frac{1}{6}\) tại \(x = 1.\)


Câu 29:

Số điểm cực trị của hàm số \(y = 2{x^3} - 6x + 3\) là 

Xem đáp án

Đáp án B.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(y' = 6{x^2} - 6,y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right..\)

Số điểm cực trị của hàm số y = 2x^3 - 6x + 3 là  (ảnh 1)

Căn cứ vào bảng biến thiên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị.


Câu 30:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây Số nghiệm thực của phương trình (ảnh 1)

Số nghiệm thực của phương trình \(3f\left( x \right) + 2 = 0\) là

Xem đáp án

Đáp án A.

\(3f\left( x \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{2}{3}\)

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây Số nghiệm thực của phương trình (ảnh 2)

Căn cứ vào bảng biến thiên thì phương trình \(3f\left( x \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{2}{3}\) có 3 nghiệm phân biệt.


Câu 31:

Cho hàm số \(y = \frac{{5x + 9}}{{x - 1}}\) khẳng định nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án B.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

\(y' = \frac{{ - 14}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D \Rightarrow \) hàm số nghịch biến trên hai khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right).\)


Câu 32:

Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có: \(y' = 1 - \frac{8}{{{x^3}}} = \frac{{{x^3} - 8}}{{{x^3}}};y' = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 8 \Leftrightarrow x = 2.\)

Bảng biến thiên:

Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + 4/x^2 trên khoảng (0;+ vô cực) (ảnh 1)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 3.\)


Câu 33:

Rút gọn biểu thức \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}\) với \(x >0\) ta được 

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có: \(P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x} = {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x .\)


Câu 34:

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?

Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào? (ảnh 1)

Xem đáp án

Đáp án A.

Xét hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a \ne 0} \right).\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } = - \infty \) nên \(a < 0\) và \({x_{CD}} + {x_{CT}} = 0 + \left( { - 2} \right) = - 2 < 0 \Rightarrow - \frac{{2b}}{{3a}} < 0,\) mà \(a < 0 \Rightarrow b < 0.\)


Câu 35:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {3x - 2} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\) Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng 

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {3x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Trong đó \(x = 2\) là nghiệm kép \(x = 0,x = \frac{2}{3}\) là nghiệm đơn, nên dấu của đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {3x - 2} \right),\forall x \in \mathbb{R}\) bị đổi dấu 2 lần. Suy ra hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị.


Câu 36:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 8{x^2} + \left( {{m^2} + 5} \right)x - 2{m^2} + 14\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục \(Ox?\)

Xem đáp án

Đáp án D.

Yêu cầu bài toán tương đương đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 8{x^2} + \left( {{m^2} + 5} \right)x - 2{m^2} + 14\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow {x^3} - 8{x^2} + \left( {{m^2} + 5} \right)x - 2{m^2} + 14 = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

+) \({x^3} - 8{x^2} + \left( {{m^2} + 5} \right)x - 2{m^2} + 14 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {x - 7} \right)\left( {x + 1} \right) - {m^2}} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - 6x - 7 + {m^2} = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(\left( {x \ne 2} \right)\)


Câu 37:

Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được 6 điểm. 

Xem đáp án

Đáp ánC.

Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm do vậy thí sinh được 6 điểm thì phải làm đúng số câu là \(\frac{6}{{0,2}} = 30\) câu

Mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án đúng vì vậy xác suất trả lời đúng một câu là \(\frac{1}{4} = 0,25\) và xác suất trả lời sai một câu là \(\frac{3}{4} = 0,75\)

Số cách chọn 30 câu trả lời đúng trong 50 câu là \(C_{50}^{30}\)

Vậy xác suất để thí sinh đó được 6 điểm là \({0,25^{30}}{.0,75^{20}}.C_{50}^{30}.\)


Câu 38:

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông cân tại \(A.\) Hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(\left( {ABC} \right).\) Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng \(\frac{{\sqrt {17} }}{6}a,\) cạnh bên \(AA'\) bằng \(2a.\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) biết \(AB < a\sqrt 3 .\) 

Xem đáp án

Đáp án A.

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ảnh 1)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC,G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

Hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(\left( {ABC} \right)\) nên \(A'G \bot \left( {ABC} \right)\)

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(AN \bot BC\left( 1 \right)\)

Lại có \(A'G \bot BC\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(BC \bot \left( {A'AN} \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( {A'AN} \right)\) từ \(N\) kẻ \(NH \bot A'A\) suy ra \(NH\) là ddonanj vuông góc chung của \(AA'\) và \(BC\) do đó \(d\left( {A'A;BC} \right) = NH = \frac{{\sqrt {17} }}{6}a\)

Đặt \(AB = 2x\)

Vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) nên \(BC = 2x\sqrt 2 ;AN = \frac{1}{2}BC = x\sqrt 2 \)

\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow AG = \frac{2}{3}AN = \frac{{2x\sqrt 2 }}{3}\)

Trong tam giác vuông \(A'AG\) có \(A'{G^2} = A'{A^2} - A{G^2} = 4{a^2} - \frac{{8{x^2}}}{9}\)

Trong mặt phẳng \(\left( {A'AN} \right)\) kẻ \(GK//NH \Rightarrow GK = \frac{2}{3}NH = \frac{{a\sqrt {17} }}{9}\)

Trong tam giác vuông \(A'AG\) có

\(\frac{1}{{G{K^2}}} = \frac{1}{{A'{G^2}}} + \frac{1}{{A{G^2}}} \Leftrightarrow \frac{{81}}{{17{a^2}}} = \frac{1}{{4{a^2} - \frac{{8{x^2}}}{9}}} + \frac{1}{{\frac{{8{x^2}}}{9}}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{81}}{{17{a^2}}} = \frac{{4{a^2}}}{{\left( {4{a^2} - \frac{{8{x^2}}}{9}} \right).\frac{{8{x^2}}}{9}}}\)

\( \Leftrightarrow 64{x^4} - 288{a^2}{x^2} + 68{a^4} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{17}}{4}{a^2} \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {17} }}{2}a \Rightarrow AB = a\sqrt {17} \\{x^2} = \frac{1}{4}{a^2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}a \Rightarrow AB = a\end{array} \right.\)

Mà \(AB < a\sqrt 3 \) nên \(AB = a\)

Cách để tính AB

Ta có \(NH.AA' = A'G.AN\) (vì cùng bằng 2 lần diện tích tam giác \[A'NA)\]

\( \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt {17} }}{6}.2a = \sqrt {4{a^2} - \frac{{8{x^2}}}{9}} .x\sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow 16{x^4} - 72{a^2}{x^2} + 17{a^4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{{17}}{4}{a^2} \Rightarrow x = \frac{{\sqrt {17} }}{2}a \Rightarrow AB = a\sqrt {17} \\{x^2} = \frac{1}{4}{a^2} \Rightarrow x = \frac{1}{2}a \Rightarrow AB = a\end{array} \right.\)

Mà \(AB < a\sqrt 3 \) nên \(AB = a.\)

\(A'{G^2} = A'{A^2} - A{G^2} = 4{a^2} - \frac{{8{x^2}}}{9} = \frac{{34{a^2}}}{9} \Rightarrow A'G = \frac{{a\sqrt {34} }}{3}\)

Thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là

\(V = A'G.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt {34} }}{3}.\frac{1}{2}.a.a = \frac{{\sqrt {34} {a^3}}}{6}.\)


Câu 39:

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông và có mặt phẳng \[(SAB)\] vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác \[SAB\] là tam giác đều. Gọi I và E lần lượt là trung điểm của cạnh ABvà BC; Hlà hình chiếu vuông góc của Ilên cạnh SC. Khẳng định nào sau đây sai?

Xem đáp án

Đáp án D.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và có mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng đáy, tam giác SAB (ảnh 1)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}DE \bot IC\\DE \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow DE \bot \left( {SIC} \right) \Rightarrow \left( {SIC} \right) \bot \left( {SDE} \right).\) Suy ra A đúng/

+ \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAI} \right).\) Suy ra B đúng

+ \(DE \bot \left( {SCI} \right);BC \bot \left( {SAI} \right)\) nên \(\left( {\left( {SIC} \right),\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {BC,DE} \right) = \angle DEC = \angle BIC.\)

Suy ra D sai.

Vậy D sai.


Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \[AB = 3,BC = 4,SA = 2\]. Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có diện tích bằng 4. Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) bằng

Xem đáp án

Đáp án D.

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3,BC = 4,SA = 2. Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng  (ảnh 1)

TH1: \(H\) thuộc đoạn thẳng \(AC.\)

+ Kẻ \(SH \bot AC \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) mặt khác \({S_{\Delta SAC}} = \frac{1}{2}SH.AC = 4 \Leftrightarrow SH = \frac{8}{5}\)

\(AH = \frac{6}{5};\sin \widehat {SAC} = \frac{{SH}}{{SA}} = \frac{4}{5}.\)

+ Kẻ \(BK \bot AC \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right)\) kẻ \(KL \bot SA \Rightarrow SA \bot \left( {BKL} \right) \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \widehat {BLK}\)

Ta có: \(\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} \Rightarrow BK = \frac{{12}}{5}\) và \(AK = \frac{9}{5};KL = AK.\sin \widehat {SAC} = \frac{{36}}{{25}}\)

\(BL = \frac{{12\sqrt {34} }}{{25}};\cos \widehat {BLK} = \frac{{KL}}{{BL}} = \frac{{3\sqrt {34} }}{{34}}\)

TH2. \(H\) không thuộc đoạn thẳng \(AC.\)

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3,BC = 4,SA = 2. Tam giác SAC nằm trong mặt phẳng  (ảnh 2)

+ Kẻ \(SH \bot AC \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) mặt khác \({S_{\Delta SAC}} = \frac{1}{2}SH.AC = 4 \Leftrightarrow SH = \frac{8}{5}\)

\(AH = \frac{6}{5};\sin \widehat {SAH} = \frac{{SH}}{{SA}} = \frac{4}{5}.\)

+ Kẻ \(BK \bot AC \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right)\) kẻ \(KE \bot SA \Rightarrow \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \widehat {BEK}\)

Ta có: \(\frac{1}{{B{K^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} \Rightarrow BK = \frac{{12}}{5}\) và \(AK = \frac{9}{5};KE = AK.\sin \widehat {SAH} = \frac{{36}}{{25}}\)

\(BE = \frac{{12\sqrt {34} }}{{25}};\cos \widehat {BEK} = \frac{{KL}}{{BL}} = \frac{{3\sqrt {34} }}{{34}}\)


Câu 41:

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác vuông và \(AB = BC = a,AA' = a\sqrt 2 ,M\) là trung điểm \(BC.\) Tính khoảng cách \(d\) của hai đường thẳng \(AM\) và \(B'C.\) 

Xem đáp án

Đáp án B.

 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông và AB = BC = a,AA' = a căn 2 ,M là trung điểm BC. (ảnh 1)

Ta có \(AB = BC = a\) nên \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B.\)

Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = a\sqrt 2 .\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\) (đvtt).

Gọi \(E\) là trung điểm \(BB'.\) Khi đó \(B'C//EM \Rightarrow B'C//\left( {AME} \right).\)

Vậy \(d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {\left( {AME} \right),B'C} \right) = d\left( {C,\left( {AME} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {AME} \right)} \right).\)

Gọi \(h\) là khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {AME} \right).\)

Ta nhận thấy tứ diện \(B.AME\) có \(BE,BM,BA\) đôi một vuông góc.

Khi đó \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{B{M^2}}} + \frac{1}{{B{E^2}}} + \frac{1}{{B{A^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{4}{{{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{7}{{{a^2}}} \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}.\)


Câu 42:

Cho hai số thực \(x,y\) thay đổi thỏa mãn điều kiện \({x^2} + {y^2} = 2.\) Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(P = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy\). Giá trị của \(M + m\) bằng

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có: \(P = 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) - 3xy = 2\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right) - 3xy = 2\left( {x + y} \right)\left( {2 - xy} \right) - 3xy.\)

Đặt \(t = x + y \Rightarrow {t^2} = {x^2} + {y^2} + 2xy \Rightarrow {t^2} = 2 + 2xy \Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 2}}{2} = xy.\)

Do \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy \Leftrightarrow {t^2} \ge 2\left( {{t^2} - 2} \right) \Leftrightarrow {t^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le t \le 2.\)

Suy ra \(P = 2t\left( {2 - \frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right) - \frac{{3\left( {{t^2} - 2} \right)}}{2} = - {t^3} - \frac{3}{2}{t^2} + 6t + 3 = f\left( t \right)\) với \(t \in \left[ { - 2;2} \right].\)

Khi đó: \(f'\left( t \right) = - 3{t^2} - 3t + 6;f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} - 3t + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 2\end{array} \right..\)

Suy ra \(f( - 2) = - 7,f(1) = \frac{{13}}{2},f(2) = 1 \Rightarrow M = \frac{{13}}{2};m = - 7 \Rightarrow M + m = - \frac{1}{2}.\)


Câu 43:

Cho hình tứ diện \(ABCD\) có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc \(AB = 6a,AC = 8a,AD = 12a,\) với \(a >0,a \in \mathbb{R}.\) Gọi \(E,F\) tương ứng là trung điểm của hai cạnh \(BC,BD.\) Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) theo \(a.\)

Xem đáp án

Đáp ánA.

Cho hình tứ diện ABCD có AB,AC,AD đôi một vuông góc AB = 6a,AC = 8a,AD = 12a, với a >0,a thuộc R. Gọi E,F (ảnh 1)

Cách 1:

Ta có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc nên \(AD \bot \left( {ABC} \right).\)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(AB,\) vì \(F\) là trung điểm của \(BD\) suy ra \(FK//AD\) mà \(AD \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow FK \bot \left( {ABC} \right)\) hay \(FK \bot \left( {AKE} \right).\)

Kẻ \(\left\{ \begin{array}{l}KG \bot AE\left( {G \in AE} \right)\\KH \bot FG\left( {H \in GF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {K,\left( {AEF} \right)} \right) = KH.\) Mặt khác \(BK\) cắt mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) tại \(A.\)

Suy ra \(\frac{{d\left( {B,\left( {AEF} \right)} \right)}}{{d\left( {K,\left( {AEF} \right)} \right)}} = \frac{{BA}}{{KA}} = 2 \Rightarrow d\left( {B,\left( {AEF} \right)} \right) = 2d\left( {K,\left( {AEF} \right)} \right).\)

Trong tam giác \(AKE\) vuông tại \(K\) và tam giác \(FKG\) vuông tại \(K,\) ta có:

\(\frac{1}{{K{H^2}}} = \frac{1}{{K{F^2}}} + \frac{1}{{K{G^2}}} = \frac{1}{{K{F^2}}} + \frac{1}{{K{A^2}}} + \frac{1}{{K{E^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {6a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {4a} \right)}^2}}} = \frac{{29}}{{144{a^2}}} \Rightarrow KH = \frac{{12\sqrt {29} a}}{{29}}.\)

Vậy \(d = \frac{{24\sqrt {29} a}}{{29}}.\)

Cách 2: Ta có \(AB,AC,AD\) đôi một vuông góc nên \(AD \bot \left( {ABC} \right).\) Chọn hệ trục tọa độ \(Axyz\) như hình vẽ, chọn \(a = 1,\) ta có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {0;6;0} \right),E\left( {4;3;0} \right),F\left( {0;3;6} \right).\)

Ta có \(\overrightarrow {AE} = \left( {4;3;0} \right),\overrightarrow {AF} = \left( {0;3;6} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AE} ,\overrightarrow {AF} } \right] = \left( {18; - 24;12} \right) = 6\left( {3; - 4;2} \right).\)

Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {3; - 4;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua \(A\left( {0;0;0} \right)\) có phương trình là: \(3x - 4y + 2z = 0.\)

Vậy \(d\left( {B,\left( {AEF} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.0 - 4.6 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{24\sqrt {29} }}{{29}}.\)

Vì \(a = 1\) nên \(d = \frac{{24\sqrt {29} a}}{{29}}.\)


Câu 44:

Cho hàm số \(f\left( x \right),\) hàm số \(y = f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên

Cho hàm số f(x), hàm số y=f'(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên Bất phương trình f(x) < 2x + m (ảnh 1)

 Bất phương trình \(f\left( x \right) < 2x + m\) (\(m\) là tham số thực) có nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\) khi và chỉ khi

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có \(f\left( x \right) < 2x + m \Leftrightarrow m >f\left( x \right) - 2x\left( * \right).\)</>

Xét \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - 2x,\forall x \in \left( {0;2} \right).\)

Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2 < 0,,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) nên hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;2} \right).\)

Do đó (*) đúng với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\) khi và chỉ khi \(m \ge g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right).\)


Câu 45:

Đồ thị hàm số \(\left( C \right):y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) cắt đường thẳng \(d:y = x + m\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) thỏa mãn \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) khi \(m = \frac{a}{b}.\) Biết \(a,b\) là nguyên dương; \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính \(S = a + b.\)

Xem đáp án

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\) là: \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ne 0\\2x + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + m} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 1\\{x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( C \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm phân biệt \(A,B \Leftrightarrow \left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1{\rm{ }}({x_A},{x_B}\) là nghiệm phương trình \(\left( 1 \right)) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\Delta _{\left( 1 \right)}} >0\\{\left( { - 1} \right)^2} + \left( {m - 1} \right)\left( { - 1} \right) + m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) >0\\1 - m + 1 + m - 1 \ne 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)\left( {m - 5} \right) >0\\1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m >5\end{array} \right.\)</>

Theo định lí Viet: \({x_A} + {x_B} = 1 - m,{x_A}{x_B} = m - 1\)

\(A\left( {{x_A};{x_A} + m} \right),B\left( {{x_B};{x_B} + m} \right)\)

\(\overrightarrow {OA} = \left( {{x_A};{x_A} + m} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {{x_B},{x_B} + m} \right)\)

\(\Delta OAB\) vuông tại \(O \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0 \Leftrightarrow {x_A}.{x_B} + \left( {{x_A} + m} \right)\left( {{x_B} + m} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{x_A}{x_B} + m\left( {{x_A} + {x_B}} \right) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow 2m - 2 + m\left( {1 - m} \right) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow 3m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\) (nhận)

Theo đề bài ta có \(a = 2,b = 3.\) Vậy \(S = 5.\)


Câu 46:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = 3{\cos ^4}x + \frac{3}{2}{\sin ^2}x + m\cos x - \frac{5}{2}\) đồng biến trên \(\left( {\frac{3}{2};\frac{{2\pi }}{3}} \right].\) 

Xem đáp án

Đáp án A.

\(y = 3{\cos ^4}x + \frac{3}{2}{\sin ^2}x + m\cos x - \frac{5}{2} \Leftrightarrow y = 3{\cos ^4}x - \frac{3}{2}{\cos ^2}x + m\cos x - 1\)

Đặt \(t = \cos x.\) Vì \(x \in \left( {\frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\) nên \(t \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right).\)

Hàm số trở thành \(f\left( t \right) = 3{t^4} - \frac{3}{2}{t^2} + mt - 1,f'\left( t \right) = 12{t^3} - 3t + m\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow f\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow f'\left( t \right) \le 0,\forall t \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)(f'\left( t \right) = 0\) chỉ tại một số điểm) \( \Leftrightarrow 12{t^3} - 3t + m \le 0{\rm{ }}\forall t \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \Leftrightarrow m \le - 12{t^3} + 3t{\rm{ }}\forall t \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

Đặt \(g\left( t \right) = - 12{t^3} + 3t,g'\left( t \right) = - 36{t^2} + 3,g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{{\sqrt 3 }}{6} \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\\t = - \frac{{\sqrt 3 }}{6} \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\end{array} \right.\)

Ta có

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 3*(cosx)^4 + 3/2*(sinx)^2 + mcosx -5/2 đồng biến trên (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên \(m \le - \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\)


Câu 47:

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) cạnh bên tạo với đáy một góc \({60^0}.\) Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SBD.\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A,G\) và song song với \(BD,\) cắt \(SB,SC,SD\) lần lượt tại \(E,M,F.\) Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.AEMF.\)

Xem đáp án

Đáp án A.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc 60^0. Gọi G (ảnh 1)

Call \ (O = AC \ cap BD. \) Ta có \ (\ left ({SD, \ left ({ABCD} \ right)} \ right) = \ left ({SD, OD} \ right) = \ widehat {SDO} \ Rightarrow \ widehat {SDO} = {60 ^ 0}. \)

\ (\ Rightarrow SO = OD \ tan \ widehat {SDO} = \ frac {{a \ sqrt 2}} {3} \ sqrt 3 = \ frac {{a \ sqrt 6}} {2} \ Rightarrow {V_ { S.ABCD}} = \ frac {1} {3} VẬY. {S_ {ABCD}} = \ frac {{{a ^ 3} \ sqrt 6}} {6}. \)

Ta has \ ({V_ {S.AEMF}} = 2 {V_ {S.AEM}} = 2 \ frac {{SA}} {{SA}}. \ Frac {{SE}} {{SB}}. \ frac {{SM}} {{SC}}. {V_ {S.ABC}} = \ frac {2} {3}. \ frac {1} {2} {V_ {S.ABCD}} = \ frac {1} {3}. \ Frac {{{a ^ 3} \ sqrt 6}} {6} = \ frac {{{a ^ 3} \ sqrt 6}} {{18}}. \)


Câu 48:

Call S is a compo all the value of the value [-10; 10] of m to function \ [y = {x ^ 3} - 3 (2m + 1) {x ^ 2} + (12m + 5 ) x + 2 \] đồng biến trên khoảng \ [(2; + \ infty) \]. S bằng số phần tử

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có \ (y = 3 {x ^ 2} - 6 \ left ({2m + 1} \ right) x + 12m + 5. \)

Hàm biến số trên khoảng \ (\ left ({2; + \ infty} \ right) \ Leftrightarrow y '\ ge 0, \ forall x \ in \ left ({2; + \ infty} \ right). \)

\ (\ Leftrightarrow 3 {x ^ 2} - 6 \ left ({2m + 1} \ right) x + 2m + 5 \ ge 0, \ forall x \ in \ left ({2; + \ infty} \ right) . \ Leftrightarrow \ frac {{3 {x ^ 2} - 6x + 5}} {{x - 1}} \ ge 12m, \ forall x \ in \ left ({2; + \ infty} \ right). \ )

Xét \(f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{x - 1}}\) trên \(\left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\) Ta có BBT:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc đoạn [-10;10] của m để hàm số y = x^3 - 3(2m + 1)x^2 + (12m + 5)x + 2 (ảnh 1)

Vậy \(12m \le 5 \Leftrightarrow m \le \frac{5}{{12}} \Rightarrow S = \left\{ { - 10; - 9; - 8;...;0} \right\}.\) Do đó số phần tử của \(S\) bằng 11.


Câu 49:

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{34}}{{\sqrt {{{\left( {{x^3} - 3x + 2m} \right)}^2}} + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\) bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng  

Xem đáp án

Đáp án B.

Call \ (g \ left (x \ right) = \ sqrt {{{\ left ({{x ^ 3} - 3x + 2m} \ right)} ^ 2}} = \ left | {{x ^ 3} - 3x + 2m} \ phải | \)

Trên đoạn \ (\ left [{0; 3} \ right] \) ta thấy: \ (\ mathop {Min} \ giới hạn _ {\ left [{0; 3} \ right]} f \ left (x \ right) = 2 \ Leftrightarrow \ mathop {Max} \ limit _ {\ left [{0; 3} \ right]} g \ left (x \ right) = 16 \)

Hàm số \ (y = {x ^ 3} - 3x + 2m \) trên đoạn \ (\ left [{0; 3} \ right] \)

\ (y '= 3 {x ^ 2} - 3 = 0 \ Leftrightarrow {x ^ 2} = 1 \ Leftrightarrow x = \ pm 1 \)

\ (y \ left (0 \ right) = 2m; y \ left (1 \ right) = 2m - 2; y \ left (3 \ right) = 2m + 18 \)

Với \ (\ forall m \) ta luôn có: \ (2m + 18> 2m> 2m - 2. \) Do đó, bạn sẽ thấy hai trường hợp sau:

* TH1: If \ (\ left | {2m - 2} \ right | \ ge \ left | {2m + 18} \ right | \) thì \ (\ mathop {Max} \ giới hạn _ {\ left [{0; 3 } \ right]} g \ left (x \ right) = \ left | {2m - 2} \ right | \)

Khi đó: \ (\ left | {2m - 2} \ right | = 16 \ Leftrightarrow \ left [\ begin {array} {l} 2m - 2 = 16 \ Leftrightarrow 2m = 18 \ Leftrightarrow m = 9 \ left ({ Loai} \ right) \\ 2m - 2 = - 16 \ Leftrightarrow 2m = - 14 \ Leftrightarrow m = - 7 \ left ({thoa {\ rm {}} man} \ right) \ end {array} \ right. \ )

* TH2: If \ (\ left | {2m - 2} \ right | <\ left | {2m + 18} \ right | \) thì \ (\ mathop {Max} \ limit _ {\ left [{0; 3} \ right]} g \ left (x \ right) = \ left | {2m + 18} \ right | \)

Khi đó: \(\left| {2m + 18} \right| = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 18 = 16 \Leftrightarrow 2m = - 2 \Leftrightarrow m = - 1\left( {thoa{\rm{ }}man} \right)\\2m + 18 = - 16 \Leftrightarrow 2m = - 34 \Leftrightarrow m = - 17\left( {loai} \right)\end{array} \right.\)

Vậy tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng \(\left( { - 7} \right) + \left( { - 1} \right) = - 8.\)


Câu 50:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}.\) Biết rằng hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R. Biết rằng hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số  (ảnh 1)

 Số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right) - \left( {\frac{{{x^4}}}{2} - 2{x^3} + {x^2} + 2x + 1} \right)\) là

Xem đáp án

Đáp án A.

Set \ (t = {x ^ 2} - 2x \) (with \ (t \ ge - 1), \) phương trình (*) trở thành: \ (f '\ left (t \ right) - \ left ( {t - 1} \ right) = 0 \ Leftrightarrow f '\ left (t \ right) = t - 1 \ left (1 \ right) \)

Cho hàm số y = f(x) xác định trên R. Biết rằng hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ Số điểm cực trị của hàm số  (ảnh 2)

Đồ dùng vào đồ thị hàm số \ (y = f '\ left (x \ right) \) và đồ thị đường thẳng \ (\ left (d \ right): y = x - 1 \)

\ (\ Rightarrow \) File method \ (\ left (1 \ right) \) là \ (\ left \ {{- 1; 1; 2; 3} \ right \} \)

* \ (t = - 1 \ Rightarrow {x ^ 2} - 2x = - 1 \ Leftrightarrow {\ left ({x - 1} \ right) ^ 2} = 0 \ Leftrightarrow x - 1 = 0 \ Leftrightarrow x = 1 \)

* \ (t = 1 \ Rightarrow {x ^ 2} - 2x = 1 \ Leftrightarrow {\ left ({x - 1} \ right) ^ 2} = 2 \ Leftrightarrow x - 1 = \ pm \ sqrt 2 \ Leftrightarrow x = \ pm \ sqrt 2 + 1 \)

* \ (t = 2 \ Rightarrow {x ^ 2} - 2x = 2 \ Leftrightarrow {\ left ({x - 1} \ right) ^ 2} = 3 \ Leftrightarrow x - 1 = \ pm \ sqrt 3 \ Leftrightarrow x = \ pm \ sqrt 3 + 1 \)

* \ (t = 3 \ Rightarrow {x ^ 2} - 2x = 3 \ Leftrightarrow {\ left ({x - 1} \ right) ^ 2} = 4 \ Leftrightarrow x - 1 = \ pm 2 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin {array} {l} x = - 1 \\ x = 3 \ end {array} \ right. \)

\ (\ Rightarrow \) Phương trình \ (g '\ left (x \ right) = 0 \) có 6 nghiệm đơn là \ (x = - 1; x = \ pm \ sqrt 2 + 1; x = \ pm \ sqrt 3 + 1; x = 3 \) và có 1 sqrt bội là \ (x = 1. \)

'Number function \ (g \ left (x \ right) = f \ left ({{x ^ 2} - 2x} \ right) - \ left ({\ frac {{{x ^ 4}}} {2} - 2 {x ^ 3} + {x ^ 2} + 2x + 1} \ right) \) có 7 điểm cực trị.


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan