Đề số 23
-
5768 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho hàm số \[f(x)\] có \[f(0) = 0\]. Biết rằng \[y = f'(x)\] là hàm số bậc ba và có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây, hàm số \[g(x) = f(f(x) - x)\] có bao nhiêu điểm cực trị ?
Đáp án B.
Câu 2:
Cho hàm số \[f(x)\] có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng
Đáp án C.
Nhìn vào bảng biến thiên ta dễ thấy cực tiểu của hàm số là 1.
Câu 3:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _5}x \ge 2\) là
Đáp án A.
Ta có \({\log _5}x \ge 2 \Leftrightarrow x \ge {5^2} \Leftrightarrow x \ge 25.\)
Tập nghiệm của bất phương trình trên là \(S = \left[ {25; + \infty } \right).\)
Câu 4:
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) bằng
Đáp án D.
Ta có \( - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \mathop {Max}\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = 1.\)
Câu 5:
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 36x\) trên đoạn \(\left[ {2;20} \right]\) bằng
Đáp án D.
Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 36.\) Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\sqrt 3 \in \left[ {2;20} \right]\\x = - 2\sqrt 3 \notin \left[ {2;20} \right]\end{array} \right..\)
Mà \(f\left( 2 \right) = - 64,f\left( {2\sqrt 3 } \right) = - 48\sqrt 3 ,f\left( {20} \right) = 7280.\)
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {2;20} \right]} f\left( x \right) = f\left( {2\sqrt 3 } \right) = - 48\sqrt 3 .\)
Câu 6:
Tập xác định của hàm số \(\log x\) là
Đáp án B.
Điều kiện: \(x >0.\)
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \left( {0; + \infty } \right).\)
Câu 7:
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,\) mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp đã cho bằng
Đáp án B.
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\) Do tam giác \(SAB\) là tam giác đều nên: \(SH \bot AB.\)
Vì \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\) nên: \(SH \bot \left( {ABCD} \right).\)
\(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (đường cao tam giác đều \(SAB).\)
Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)
Câu 8:
Tập xác định của hàm số \(y = {x^{ - 2}}\) là
Đáp án A.
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi \(x \ne 0.\)
Vậy tập xác định của hàm số là: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}.\)
Câu 9:
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào nghịch biến trên khoảng \(\mathbb{R}?\)
Đáp án B.
\(y = {\left( {0,5} \right)^x}\) nghịch biến \(\mathbb{R}\) vì \(a = 0,5 < 1.\)
Câu 10:
Cho khối chóp \(ABCD.A'B'C'D'\) có thể tích \(V.\) Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,B'C'\) và \(C'D',\) điểm \(Q\) thuộc cạnh \(CC'\) sao cho \(CQ = 2QC'.\) Thể tích khối tứ diện \(MNPQ\) bằng
Đáp án D.
Gọi \(M'\) là trung điểm của \(A'B'\)
Khi đó: \({V_{MPQN}} = {V_{MQNH}}\)
Ta có: \(KC' = \frac{1}{2}C'M'.C'O = \frac{1}{2}OM'\)
Đặt: \(OM' = x \Rightarrow C'O = \frac{1}{2}x;C'K = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{2}x + x} \right) = \frac{3}{4}x \Rightarrow KO = \frac{7}{4}M'O\)
\({S_{KPN}} = \frac{7}{4}{S_{PMM'}} = \frac{7}{4}.\frac{1}{2}.{S_{A'B'C'D'}} = \frac{7}{8}{S_{A'B'C'D'}}\)
Ta có: \({V_{MPKH}} = \frac{7}{8}.\frac{1}{3}V = \frac{7}{{24}}V;{V_{QPKA}} = \frac{7}{{72}}V \Rightarrow {V_{MPQS}} = \frac{{\frac{7}{{24}} - \frac{7}{{72}}}}{2}V = \frac{7}{{72}}V\)
Câu 11:
Xét các số thực dương \(a,b\) tùy ý thỏa mãn \({\log _4}a + {\log _4}{b^2} = 5\) và \({\log _4}{a^2} + {\log _4}b = 7.\) Giá trị \[a,b\] bằng
Đáp án D.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _4}a + 2{\log _4}b = 5\\2{\log _4}a + {\log _4}b = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _4}a = 3\\{\log _4}b = 1\end{array} \right..\)
Khi đó \(a = {4^3} = {2^6}\) và \(b = {4.2^2},\) suy ra \(a.b = {2^8}.\)
Câu 12:
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 4\) và công bội \(q = 2.\) Giá trị của \({u_2}\) bằng
Đáp án D.
Ta có \({u_2} = {u_1}.q = 8.\)
Câu 13:
Tập nghiệm của bất phương trình \({5^{x - 1}} < 25\) là
Đáp án D.
Ta có \({5^{x - 1}} < {5^2} \Leftrightarrow x - 1 < 2 \Leftrightarrow x < 3.\)
Câu 14:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau:
Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án B.
Ta có \(y' = - f'\left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - x = 0\\1 - x = 1\\1 - x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\\x = - 1\end{array} \right..\)
Ta có bảng xét dấu như sau:
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 2; - 1} \right).\)
Câu 15:
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _4}9\) là:
Đáp án D.
Ta có \({\log _2}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _4}9 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 2} \right) \ge {\log _2}3 \Leftrightarrow x + 2 \ge 3 \Leftrightarrow x \ge 1.\)
Câu 16:
Cho khối chóp có diện tích đáy \(B = 6\) và chiều cao \(h = 2.\) Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Đáp án B.
Thể tích khối chóp đã cho: \(V = \frac{1}{3}Bh = \frac{1}{3}.6.2 = 4.\)
Câu 17:
Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh từ một nhóm học sinh có 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ để xếp thành một hàng ngang, xác suất để hàng đó có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ bằng
Đáp án B.
Chọn 8 học sinh từ 12 học sinh và sắp xếp các học sinh ấy thành một hàng ngang nên số phần tử của khối gian mẫu là \(n\left( \Omega \right) = A_{12}^8 = 19958400\).
Gọi A là biến cố chọn được 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ để xếp thành một hàng ngang.
Ta chọn ra 5 học sinh nam từ 7 học sinh nam và 3 học sinh nữ từ 5 học sinh nữ sau đó xếp thứ tự cho 8 bạn được chọn nên \(n\left( A \right) = C_7^5.C_5^3.8! = 84672000.\)
Xác suất để hàng ngang đó có 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ bằng
\(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{14}}{{33}}.\)
Câu 18:
Điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là
Đáp án B.
Tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \mathbb{R}.\)
\(y' = 3{x^2} - 3.\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right..\)
nên hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = - 1\) và giá trị cực tiểu của hàm số là \(y\left( { - 1} \right) = 3.\)
Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) là \(\left( { - 1;3} \right).\)
Câu 19:
Bất phương trình \(x\sqrt {x + 1} \le \left( {2x - 3} \right){.2^{\frac{{ - {x^3} + 16{x^2} - 48x + 36}}{{{x^2}}}}}\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?
Đáp án A.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 1\\x \ne 0\end{array} \right..\)
Ta chỉ xét với các giá trị nguyên của \(x.\)
Với \(x = \pm 1\) thay vào bất phương trình không thỏa mãn.
Với \(x \ge 2,\) bất phương trình tương đương với:
\(2x\sqrt {x + 1} \le \left( {4x - 6} \right){.2^{\frac{{16{x^2} - 48x + 36}}{{{x^2}}} - x}} \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} {.2^{{{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)}^2}}} \le \frac{{4x - 6}}{x}{.2^{{{\left( {\frac{{4x - 6}}{x}} \right)}^2}}}\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^{{t^2}}}.t\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có: \(f'\left( t \right) = {2^{{t^2}}} + 2{t^2}{.2^{{t^2}}}.\ln 2 >0,\forall t >0.\)
Vậy hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right),\) khi đó:
\(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {x + 1} } \right) \le f\left( {\frac{{4x - 6}}{x}} \right) \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \le \frac{{4x - 6}}{x}\)
\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right) \le 16{x^2} - 48x + 36 \Leftrightarrow {x^3} - 15{x^2} + 48x - 36 \le 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 12x + 12} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 6 - 2\sqrt 5 \left( { \approx 1,101} \right)\\3 \le x \le 6 + 2\sqrt 5 \left( { \approx 10,898} \right)\end{array} \right..\)
Vậy bất phương trình có 8 nghiệm nguyên.
Câu 20:
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại
Đáp án C.
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại \(x = 0.\)
Câu 21:
Tập nghiệm của bất phương trình \({4^x} - {3.2^{x + 2}} + 32 \le 0\) là
Đáp án C.
Ta đặt \(t = {2^x};t >0.\) Thay vào bất phương trình đã cho ta thu được: \({t^2} - 12t + 32 \le 0 \Leftrightarrow 4 \le t \le 8.\)
Suy ra \(4 \le {2^x} \le 8 \Leftrightarrow 2 \le x \le 3.\) Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(\left[ {2;3} \right].\)
Câu 22:
Đạo hàm của hàm số \(y = {2^x}\) là
Đáp án D.
Hàm số \(y = {2^x}\) có đạo hàm là \(y' = {2^x}.\ln 2.\)
Câu 23:
Gọi \(a\) là giá trị nhỏ nhất của \(f\left( n \right) = \frac{{\left( {{{\log }_5}2} \right)\left( {{{\log }_5}3} \right)\left( {{{\log }_5}4} \right)...\left( {{{\log }_5}n} \right)}}{{{3^n}}},\) với \(n \in \mathbb{N},n \ge 2.\) Có bao nhiêu số \(n\) để \(f\left( n \right) = a?\)
Đáp án C.
Ta có \(\forall x \in \mathbb{N},n \ge 2\) ta có: \(f\left( n \right) >0.\)
Mặt khác: \(f\left( {n + 1} \right) = \frac{{\left( {{{\log }_5}2} \right)\left( {{{\log }_5}3} \right)\left( {{{\log }_5}4} \right)...\left( {{{\log }_5}n} \right)\left( {{{\log }_5}\left( {n + 1} \right)} \right)}}{{{3^{n + 1}}}} = f\left( n \right)\frac{{{{\log }_5}\left( {n + 1} \right)}}{3}.\)
\(f\left( {n - 1} \right) = \frac{{\left( {{{\log }_5}2} \right)\left( {{{\log }_5}3} \right)\left( {{{\log }_5}4} \right)...\left( {{{\log }_5}\left( {n - 1} \right)} \right)}}{{{3^{n - 1}}}} = f\left( n \right)\frac{3}{{{{\log }_5}n}}.\)
Vì \(a\) là giá trị nhỏ nhất nên: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {n + 1} \right) \ge a\\f\left( {n - 1} \right) \ge a\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( n \right)\frac{{{{\log }_5}\left( {n + 1} \right)}}{3} \ge a\\f\left( n \right)\frac{3}{{{{\log }_5}n}} \ge a\end{array} \right.\).
Để \(f\left( n \right) = a.\)
Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( n \right)\frac{{{{\log }_5}\left( {n + 1} \right)}}{3} \ge f\left( n \right)\\f\left( n \right)\frac{3}{{{{\log }_5}n}} \ge f\left( n \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{{\log }_5}\left( {n + 1} \right)}}{3} \ge 1\\\frac{3}{{{{\log }_5}n}} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _5}\left( {n + 1} \right) \ge 3\\3 \ge {\log _5}n\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow {5^3} - 1 \le n \le {5^3}.\)
Vậy có 2 số \(n\) nguyên thỏa mãn.
Câu 24:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) = {x^2} - 4x\) với mọi \(x\) là số thực. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án B.
Ta có: \({x^2} - 4x \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le 0\end{array} \right..\)
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right).\)
Câu 25:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án B.
Quan sát bảng biến thiên. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\)
Câu 26:
Cho phương trình \(\log _2^2x + 2m{\log _2}x + 2m - 2 = 0\) với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} \le 64{x_2} \le 4096{x_1}?\)
Đáp án B.
Điều kiện: \(x >0\)
Đặt \(t = {\log _2}x.\) Phương trình trở thành: \({t^2} + 2mt + 2m - 2 = 0\left( * \right).\)
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thì (*) có 2 nghiệm phân biệt \({t_1},{t_2}\)
\( \Rightarrow \Delta ' >0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m + 2 >0 \Leftrightarrow \forall m \in \mathbb{R}.\) Khi đó: \({t_1} + {t_2} = - 2m,{t_1}{t_2} = 2m - 2.\)
Ta có: \({\log _2}{x_1} = {t_1},{\log _2}{x_2} = {t_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {2^{{t_1}}}\\{x_2} = {2^{{t_2}}}\end{array} \right..\)
Từ điều kiện
\({x_1} \le 64{x_2} \le 4096{x_1}.\)
\( \Leftrightarrow {2^{{t_1}}} \le {2^6}{.2^{{t_2}}} \le {2^{12}}{.2^{{t_1}}} \Leftrightarrow {2^{{t_1}}} \le {2^{6 + {t_2}}} \le {2^{12 + {t_1}}}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_1} - {t_2} \le 6\\{t_1} - {t_2} \ge - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| {{t_1} - {t_2}} \right| \le 6\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{t_1} + {t_2}} \right)^2} - 4{t_1}{t_2} \le 36 \Leftrightarrow {\left( { - 2m} \right)^2} - 4\left( {2m - 2} \right) \le 36\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 7 \le 0\)
\( \Leftrightarrow 1 - 2\sqrt 2 \le m \le 1 + 2\sqrt 2 \)
Có 5 giá trị nguyên của \(m \in \left[ {1 - 2\sqrt 2 ;1 + 2\sqrt 2 } \right].\)
Câu 27:
Cho hai hàm số \(y = {2^x}\) và \(y = {\log _2}x\) lần lượt có đồ thị \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right).\) Gọi \(A\left( {{x_A};{y_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B}} \right)\) là hai điểm lần lượt thuộc \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) sao cho tam giác \(IAB\) vuông cân tại \(I,\) trong đó \(I\left( { - 1; - 1} \right).\) Giá trị của \(P = \frac{{{x_A} + {y_A}}}{{{x_B} + {y_B}}}\) bằng
Đáp án A.
Ta có đồ thị hai hàm số \(y = {2^x}\) và \(y = {\log _2}x\) có đồ thị đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d:y = x\) và \(I \in d.\)
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB,\) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M} \Rightarrow P = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{{{y_A} + {y_B}}} = \frac{{{x_M}}}{{{y_M}}}.\end{array} \right.\)
Theo giả thiết tam giác \(IAB\) vuông cân tại \(I\) nên trung điểm \(M\) của \(AB\) thuộc đường thẳng \(d,\) suy ra \({y_M} = {x_M}.\) Vậy \(P = \frac{{{x_M}}}{{{y_M}}} = 1.\)
Câu 28:
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thực của phương trình \(3f\left( x \right) + 1 = 0\) là
Đáp án C.
Ta có: \(3f\left( x \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \frac{1}{3}.\)
Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với đường thẳng \(y = - \frac{1}{3}.\) Từ bảng biến thiên suy ra phương trình có 3 nghiệm thực.
Câu 29:
Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \({\log _2}{a^3}\) bằng
Đáp án A.
Theo công thức ta có: \({\log _2}{a^3} = 3{\log _2}a.\)
Câu 30:
Cho khối trụ có chiều cao \(h = 5\) và bán kính \(r = 3.\) Thể tích của khối trụ đã cho bằng
Đáp án B.
Thể tích khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {.3^2}.5 = 45\pi .\)
Câu 31:
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) phương trình \(3f\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) = m\) có đúng hai nghiệm thực phân biệt?
Đáp án A.
Xét hàm số \(y = g\left( x \right) = 3f\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right].\)
Ta có \(y' = g'\left( x \right) = 3\left( {2x - 2} \right).f'\left( {{x^2} - 2x - 1} \right).\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\{x^2} - 2x - 1 = - 2\\{x^2} - 2x - 1 = - 1\\{x^2} - 2x - 1 = 1\\{x^2} - 2x - 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 0\\x = 2\\x = 1 + \sqrt 3 \notin \left[ { - 1;2} \right]\\x = 1 - \sqrt 3 \\x = - 1\\x = 3 \notin \left[ { - 1;2} \right]\end{array} \right.\)
Ta có \(x = - 1 \Rightarrow g\left( { - 1} \right) = 3.f\left( 2 \right) = 12\)
\(x = 1 - \sqrt 3 \Rightarrow g\left( {1 - \sqrt 3 } \right) = 3.f\left( 1 \right) = 15\)
\(x = 0 \Rightarrow g\left( 0 \right) = 3.f\left( { - 1} \right) = - 15\)
\(x = 1 \Rightarrow g\left( 1 \right) = 3.f\left( { - 2} \right) = - 12\)
\(x = 2 \Rightarrow g\left( 2 \right) = 3.f\left( { - 1} \right) = - 15\)
Ta có bảng biến thiên:
Trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) số nghiệm của phương trình \(3f\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) = m\) chính là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 3f\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)\) với đường thẳng \(y = m.\) Vậy để phương trình có đúng hai nghiệm thực phân biệt trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) thì \(\left[ \begin{array}{l}m = - 12\\12 \le m < 15\end{array} \right..\) Vậy các giá trị nguyên của \(m\) là: \( - 12,12,13,14.\) Có bốn giá trị nguyên của \(m\) nên ta chọn đáp án A.
Câu 32:
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) đồ thị là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án A
Ta có: \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow y' = 3a{x^2} + 2bx + c\)
Dựa vào đồ thị ta thấy \(a < 0\)
Hàm số có 2 cực trị dương nên \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta {'_y} >0\\S >0\\P >0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 9ac >0\\ - \frac{{2b}}{{3a}} >0\\\frac{c}{{3a}} >0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b >0\\c < 0\end{array} \right.\)
Đồ thị cắt trục \(Oy\) tại điểm \(\left( {O;d} \right)\) nên \(d < 0\).
Vậy chọn đáp án A.
Câu 33:
Diện tích mặt cầu có bán kính \(r = 2\) bằng
Đáp án D.
Ta có, diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {.2^2} = 16\pi .\)
Câu 34:
Cho hình nón có độ dài đường sinh \(l = 5\) và bán kính đáy bằng \(r = 3.\) Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng
Đáp án A.
Ta có, diện tích xung quanh của hình nón \({S_{xq}} = \pi rl = \pi .3.5 = 15\pi .\)
Câu 35:
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là
Đáp án D.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 - \frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 - \frac{2}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\)
Vậy đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Câu 36:
Cho hình trụ có bán kính bằng \(\sqrt 5 .\) Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được là một hình vuông. Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
Đáp án C.
Gọi thiết diện thu được là hình vuông \(ABCD\)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow OH \bot AB\)
Mặt khác \(AD \bot OH\)
\( \Rightarrow OH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Ta có \(OO'//\left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {OO';\left( {ABCD} \right)} \right) = d\left( {O,\left( {ABCD} \right)} \right) = OH = 1\)
\(HA = \sqrt {O{A^2} - O{H^2}} = 2 \Rightarrow AB = 4 \Rightarrow AD = 4\)
Thể tích của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đã cho bằng
\(V = \pi .OA'.AD = \pi .{\left( {\sqrt 5 } \right)^2}.4 = 20\pi .\)
Câu 37:
Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh đều bằng 2. Góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng đáy bằng bao nhiêu?
Đáp án A.
Hình chiếu vuông góc của \(A\) xuống mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là \(A' \Rightarrow \left( {\widehat {A'C,\left( {A'B'C'} \right)}} \right) = \widehat {AC'A'}\)
\(\Delta AA'C'\) vuông cân tại \(A \Rightarrow \widehat {AC'A'} = {45^0}\)
Vậy góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng đáy bằng \({45^0}.\)
Câu 38:
Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,AB = a,\) góc giữa \(SC\) với mặt phẳng đáy bằng \({60^0},SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SB = 2a.\) Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Đáp án B
SA vuông góc với mặt phẳng đáy $\Rightarrow SA\bot AB;SA\bot AC$ và A là hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy (ABC)
* $\Delta SAB$ vuông tại $A\Rightarrow SA=\sqrt{S{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$
* $\Delta SAC$ vuông tạ A có $\widehat{SCA}=\left( \widehat{SC,\left( ABC \right)} \right)={{60}^{0}}$ nên $AC=\frac{SA}{\tan {{60}^{0}}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a$
* Diện tích $\Delta ABC$ vuông tại A là $\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.a.a=\frac{{{a}^{2}}}{2}$
Vậy thể tích khối chop S.ABC là $V=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}}{2}.a\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{6}.$
Câu 39:
Hình cầu có bao nhiêu mặt đối xứng?
Đáp án D.
Mọi mặt phẳng đi qua tâm của hình cầu đều là mặt đối cứng của hình cầu. Vậy hình cầu có vô số mặt đối xứng.
Câu 40:
Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{\cos x + m}}{{2 - \cos x}}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}} \right]\) bằng 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án D.
Đặt \(t = \cos x,x \in \left[ { - \frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right].\)
Xét hàm số \(y = \frac{{t + m}}{{2 - t}}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\)
Ta có: \(y' = \frac{{2 + m}}{{{{\left( {2 - t} \right)}^2}}}.\)
Nếu \(2 + m >0 \Leftrightarrow m >- 2\) thì \(y' >0,\) hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right],\) suy ra:
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 + m}}{1} = 1 \Leftrightarrow m = 0.\)
Nếu \(2 + m < 0 \Leftrightarrow m < - 2\) thì \(y' < 0,\) hàm số nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right],\) suy ra:
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow \frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 2\) (không thỏa mãn).
Vậy \(m = 0 \Rightarrow \left| m \right| < 1.\)
Câu 41:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như hình vẽ bên?
Đáp án A.
Dựa vào đồ thị ta thấy đồ thị của hàm bậc bốn và có hệ số \(a >0\) nên chọn A.
Câu 42:
Nghiệm của phương trình \({\log _3}x = 2\) là
Đáp án D.
Ta có: \({\log _3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9.\) Chọn D.
Câu 43:
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) là
Đáp án A.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{x - 2}}{{x + 1}} = - \infty .\)
Suy ra đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng: \(x = - 1.\)
Câu 44:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(2a,SA\) vuông góc với đáy và \(SA = a.\) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC.\) Khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
Đáp án A.
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Suy ra \(AM \bot BC\) và \(AM = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 .\)
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SM.\) Suy ra \[AK \bot SM\left( 1 \right).\]
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AK\left( 2 \right).\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK.\)
Do \(I\) là trung điểm của \(AC\) nên \(d\left( {I,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{AK}}{2}.\)
Trong \(\Delta SAM\) có \(AK = \frac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \frac{{a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Vậy \(d\left( {I,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)
Câu 45:
Hình hộp có bao nhiêu mặt?
Đáp án C.
Một hình hộp có 4 mặt bên và 2 mặt đáy nên có tất cả 6 mặt.
Câu 46:
Cắt hình nón có chiều cao \(2\sqrt 3 \) bởi một mặt phẳng đi qua đỉnh và tâm của đáy ta được thiết diện là tam giác đều, diện tích của thiết diện bằng
Đáp án C.
Gọi thiết diện qua trục là tam giác đều \(ABC,\) khi đó \(AO = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow BC = 4\)
Khi đó diện tích thiết diện là \({S_{td}} = \frac{1}{2}AO.BC = \frac{1}{2}.2\sqrt 3 .4 = 4\sqrt 3 .\)
Câu 47:
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
Đáp án A.
Ta thấy đồ thị có hai điểm cực
trị nên không thể là đồ thị hàm số trùng phương, loại đáp án B và D.
Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) nên loại phương án C.
Câu 48:
Có bao nhiêu cách xếp 5 học sinh thành một hàng ngang?
Đáp án C.
Mỗi cách xếp 5 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của 5 học sinh đó.
Do đó số cách sắp xếp là 5! = 120.
Câu 49:
Đáp án A.
Thể tích của khối lập phương cạnh bằng 2 là \(V = {2^3} = 8\) (đvtt).
Câu 50:
Nghiệm của phương trình \({3^{x + 2}} = 27\) là
Đáp án C.
Ta có: \({3^{x + 2}} = 27 \Leftrightarrow {3^{x + 2}} = {3^3} \Leftrightarrow x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = 1.\)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1.\)