IMG-LOGO

Đề số 13

  • 5774 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Xem đáp án

Có 4 mặt phẳng đối xứng.

Đáp án C


Câu 2:

Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào?

Bảng biến thiên sau đây là của hàm số nào? (ảnh 1)

Xem đáp án

Hình dạng bảng biến thiên là của hàm trùng phương nên chọn đáp án C hoặc D.

Nhìn và bnagr biến thiên thấy hệ số \(a >0\) nên chọn đáp án C.


Câu 3:

Với các số thực dương \(a,b\) bất kì. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Với các số thực dương \(a,b\) bất kì ta có: \(\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b.\)

Đáp án C


Câu 4:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàmHàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây? (ảnh 1)

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

\(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right).\) Dấu “=” xảy ra một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right).\)

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số đồng biến trên \(\left( {1;3} \right).\)

Đáp án D


Câu 5:

Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 4 bạn học sinh vào dãy có 4 ghế?

Xem đáp án

Số cách sắp xếp chỗ ngồi cho 4 bạn học sinh vào dãy có 4 ghế là số hoán vị của 4 phần tử \({P_4} = 4! = 24.\)

Đáp án D


Câu 6:

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a,\) góc giữa đường thẳng \(A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}.\) Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = a,\) góc giữa đường thẳng \(A'C\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({45^0}.\) Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng (ảnh 1)

+ Ta có \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {\widehat {A'C,\left( {ABC} \right)}} \right) = \widehat {\left( {A'C,AC} \right)} = \widehat {A'CA} = {45^0}.\) Khi đó:

\(\tan {45^0} = \frac{{AA'}}{{AC}} \Rightarrow AA' = AC.\tan {45^0} = a.\)

+ \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC.\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\)

+ Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA' = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)

Đáp án B


Câu 7:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x\left( {{x^3} - x} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}.\) Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right)\) là

Xem đáp án

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^3} - x} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\end{array} \right..\)

Bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x\left( {{x^3} - x} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\) với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}.\) Số điểm cực trị của hàm số \(f\l (ảnh 1)

Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.

Đáp án B


Câu 8:

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x + 1}}\) có đường tiệm cận ngang là

Xem đáp án

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3x - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - \frac{1}{x}}}{{1 + \frac{1}{x}}} = 3.\)

Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 3.\)

Đáp án D


Câu 9:

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 3\) là

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 3\) là (ảnh 1)

Xem đáp án

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số nghiệm thực của phương trình \(f\left( x \right) = 3\) là (ảnh 2)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 3\) là 2.

Đáp án C


Câu 10:

Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}?\)

Xem đáp án

Xét đáp án D, ta có \(y = {x^3} + x \Rightarrow y' = 3{x^2} + 1 >0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}.\)

Suy ra hàm số \(y = {x^3} + x\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

Đáp án D


Câu 11:

Một cấp số cộng có \({u_1} = - 3,{u_8} = 39.\) Công sai của cấp số cộng đó là

Xem đáp án

Gọi \(d\) là công sai của cấp số cộng.

Ta có \({u_8} = {u_1} + 7d \Leftrightarrow d = \frac{{{u_8} - {u_1}}}{7} = \frac{{39 - \left( { - 3} \right)}}{7} = 6.\) Vậy công sai của cấp số cộng là \(d = 6.\)

Đáp án A


Câu 12:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a,\) cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CD.\)

Xem đáp án

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a,\) cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a.\) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(CD.\) (ảnh 1)

Ta có \(AB//CD \Rightarrow CD//\left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {SA,CD} \right) = d\left( {CD,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right).\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\\AD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = AD = a.\)

Đáp án C


Câu 13:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(AB = a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC.\)

Xem đáp án

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(AB = a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC. (ảnh 1)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) suy ra \(SH = a\sqrt 3 \)

\(AB = 2a \Rightarrow BC = 2a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}{\left( {2a} \right)^2} = 2{a^2}\)

\({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.2{a^2}.a\sqrt 3 = \frac{{2{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)

Đáp án D


Câu 14:

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và \(OA = OB = OC = a.\) Khi đó thể tích của khối tứ diện \(OABC\) là

Xem đáp án

Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc và \(OA = OB = OC = a.\) Khi đó thể tích của khối tứ diện \(OABC\) là (ảnh 1)

Ta có: \(V = \frac{1}{3}{S_{OBC}}.OA = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.OB.OC.OA = \frac{{{a^3}}}{6}.\)

Đáp án C


Câu 15:

Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Xem đáp án

Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng (ảnh 1)

Diện tích đáy \(B\) là diện tích một tam giác đều có độ dài cạnh bằng 3 \( \Rightarrow B = \frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4};\)

Chiều cao khối lăng trụ \(h = 3;\)

Khi đó thể tích khối lăng trụ đều này là \(S = B.h = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}.3 = \frac{{27\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy ta chọn phương án \(D\) làm đáp án.


Câu 16:

Biểu thức \(Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}} \) (với \(a >0;a \ne 1).\) Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Xem đáp án

\(Q = \sqrt {{a^2}.\sqrt[3]{{{a^4}}}} = \sqrt {{a^2}.{a^{\frac{4}{3}}}} = \sqrt {{a^{\frac{{10}}{3}}}} = {a^{\frac{{10}}{{3.2}}}} = {a^{\frac{{10}}{6}}} = {a^{\frac{5}{3}}}.\)

Vậy ta chọn phương án A làm đáp án.


Câu 17:

Điểm cực đại của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3\) là

Xem đáp án

Ta có \(y' = 3{x^2} + 6x \Rightarrow y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right..\)

Điểm cực đại của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3\) là (ảnh 1)

Điểm cực đại của hàm số là \(x = - 2.\)

Đáp án B

Câu 18:

Giá trị của biểu thức \(A = {2^{{{\log }_4}9 + {{\log }_2}5}}\) là

Xem đáp án

Ta có: \(A = {2^{{{\log }_4}9 + {{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}3 + {{\log }_2}5}} = {2^{{{\log }_2}15}} = 15.\)

Đáp án A


Câu 19:

Số giao điểm của đường thẳng \(y = 4x\) và đường cong \(y = {x^3}\) là

Xem đáp án

Số giao điểm của đường thẳng \(y = 4x\) và đường cong \(y = {x^3}\) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: \({x^3} = 4x \Leftrightarrow {x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\x = - 2\end{array} \right..\)

Vậy số giao điểm của đường thẳng và đường cong là 3.

Đáp án 


Câu 20:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a,\) cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng

Xem đáp án

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a,\) cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\sqrt 2 .\) Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng (ảnh 1)

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\)bằng

\(V = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a\sqrt 2 = \frac{{\sqrt 2 {a^3}}}{3}\) (đvtt).

Đáp án B


Câu 21:

Hình lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?

Xem đáp án

Hình lăng trụ tam giác có bao nhiêu mặt?D. 3. (ảnh 1)

Hình lăng trụ tam giác có 5 mặt.

Đáp án C


Câu 22:

Biết \({\log _a}b = 2,{\log _a}c = 3;\) với \(a,b,c >0;a \ne 1.\) Khi đó giá trị của \({\log _a}\left( {\frac{{{a^2}\sqrt[3]{b}}}{c}} \right)\) bằng

Xem đáp án

Ta có: \({\log _a}\left( {\frac{{{a^2}\sqrt[3]{b}}}{c}} \right) = 2 + \frac{1}{3}{\log _a}v - {\log _a}c = 2 + \frac{1}{3}.2 - 3 = - \frac{1}{3}.\)

Đáp án D


Câu 23:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:Khẳng định nào sau đây sai? (ảnh 1)

Khẳng định nào sau đây sai?

Xem đáp án

Xét đáp án A hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại vì vậy đáp án A đúng.

Xét đáp án B hàm số đạt điểm cực đại tại \(x = 0,\) giá trị cực đại là \(y = 3\) nên đáp án B là khẳng định sai, chọn đáp án B.

Xét đáp án C đúng nên loại.

Xét đáp án D đúng nên loại.

Đáp án A


Câu 24:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) là

Xem đáp án

Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6x - 12\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]\\x = - 2 \notin \left[ { - 1;2} \right]\end{array} \right.\)

\(f\left( { - 1} \right) = 15,f\left( 2 \right) = 6,f\left( 1 \right) = - 5\)

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) là \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right) = 15\) tại \(x = - 1\) nên chọn đáp án C.


Câu 25:

Cho hàm số \[y = {x^3} - x - 1\] có đồ thị \(\left( C \right)\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung l

Xem đáp án

Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung.

Khi đó: \({x_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = - 1\) nên \(A\left( {0; - 1} \right).\)

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 1 \Rightarrow y'\left( 0 \right) = - 1.\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\left( {0; - 1} \right)\) là

\(y = y'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

\( \Leftrightarrow y = - 1\left( {x - 0} \right) - 1\)

\( \Leftrightarrow y = - x - 1\)

Đáp án D


Câu 26:

Cho hàm số \(y = {x^3} - x - 1\) có bảng biến thiên

Cho hàm số \(y = {x^3} - x - 1\) có bảng biến thiênVới giá trị nào của \(m\) thì phương trình \(f\left( x \right) + m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt. (ảnh 1)

Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình \(f\left( x \right) + m = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Xem đáp án

Ta có: \(f\left( x \right) + m = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - m.\)

Đặt \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) và \(\left( d \right):y = - m.\)

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = - m\)là số giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right).\)

Để phương trình \(f\left( x \right) = - m\) có 3 nghiệm phân biệt thì \( - 4 < - m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 4.\)

Đáp án C


Câu 27:

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(a,b,c,d\) là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) với \(a,b,c,d\) là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? (ảnh 1)

Xem đáp án

Từ dạng của đồ thị hàm số, ta thấy \(y' < 0{\rm{ }}\forall x \ne {\rm{1}}{\rm{.}}\)

Đáp án C


Câu 28:

Biết \({9^x} + {9^{ - x}} = 23,\) tính giá trị của biểu thức \(P = {3^x} + {3^{ - x}}.\)

Xem đáp án

\({P^2} = {\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)^2} = {3^{2x}} + {2.3^x}{.3^{ - x}} + {3^{ - 2x}} = {9^x} + {9^{ - x}} + 2 = 23 + 2 = 25\)

\( \Rightarrow P = \sqrt {25} = 5.\)

Đáp án D


Câu 29:

Hàm số \(y = 3{x^4} + 2\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

Xem đáp án

Hàm số \(y = 3{x^4} + 2\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\)

\(y' = 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0.\)

Bảng xét dấu:

Hàm số \(y = 3{x^4} + 2\) nghịch biến trên khoảng nào sau đây? (ảnh 1)

Vậy hàm số \(y = 3{x^4} + 2\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right).\)

Đáp án A


Câu 30:

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 3\) song song với trục hoành?

Xem đáp án

Hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 3\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}.\)

\(y' = 3{x^2} + 6x\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M:k = y'\left( {{x_0}} \right)\)

Mà tiếp tuyến song song với trục hoành nên hệ số góc \(k = 0 \Rightarrow 3x_0^2 + 6{x_0} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = - 2\end{array} \right..\)

+ \({x_0} = 0\) tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( {0; - 3} \right)\) là: \(y - \left( { - 3} \right) = 0\left( {x - 0} \right) \Rightarrow y = - 3.\)

+ \({x_0} = - 2\) tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\left( { - 2;1} \right)\) là: \(y - 1 = 0\left( {x + 2} \right) \Rightarrow y = 1.\)

Vậy có 2 tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 3\) song song với trục hoành

Đáp án B


Câu 31:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a.\) Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng đáy bằng.

Xem đáp án

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a.\) Góc giữa đường thẳng \(SB\) và mặt phẳng đáy bằng. (ảnh 1)

\(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên góc giữa \(SB\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\widehat {SBA}.\)

Xét tam giác \(SBA\) vuông tại \(A,\) ta có: \(\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{a}{a} = 1 \Rightarrow \widehat {SBA} = {45^0}.\)

Đáp án A


Câu 32:

Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{2^3}{{.2}^{ - 1}} + {5^{ - 3}}{{.5}^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{\left( {0,1} \right)}^0}}}\) là

Xem đáp án

\(P = \frac{{{2^3}{{.2}^{ - 1}} + {5^{ - 3}}{{.5}^4}}}{{{{10}^{ - 3}}:{{10}^{ - 2}} - {{\left( {0,1} \right)}^0}}} = \frac{{{2^2} + 5}}{{{{10}^{ - 1}} - 1}} = \frac{9}{{\frac{1}{{10}} - 1}} = \frac{9}{{\frac{{ - 9}}{{10}}}} = - 10.\)

Đáp án C


Câu 33:

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x - 3}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận?

Xem đáp án

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x - 3}} = 0\) nên đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x - 3}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \frac{{x + 1}}{{{x^2} + 2x - 3}} = - \infty \) nên đường thẳng \(x = 1\) và \(x = - 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận.

Đáp án D


Câu 34:

Số cạnh của hình mười hai mặt đều là

Xem đáp án

Hình mười hai mạt đều có ba mươi cạnh.

Số cạnh của hình mười hai mặt đều là (ảnh 1)

Đáp án D


Câu 36:

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {12m + 5} \right)x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) Số phần tử của \(S\) bằng

Xem đáp án

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\)

\(y' = 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5\)

Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\) khi \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5 \ge 0\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)

\(3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5 \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right)\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 5}}{{12\left( {x - 1} \right)}},\forall x \in \left( {2; + \infty } \right).\)

\(g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 6x + 1}}{{12{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} >0,\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow \) Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trong khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Do đó: \(m \le g\left( x \right),\forall x \in \left( {2; + \infty } \right) \Rightarrow m \le g\left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le \frac{5}{{12}}.\)

Vì \(0 < m \le \frac{5}{{12}}.\) Do đó không có giá trị nguyên dương nào của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án C


Câu 37:

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) có hệ số góc \(m\left( {m >0} \right)\) cắt đồ thị (C):y=x3+6x29x+1 tại ba điểm phân biệt \(A,B,C.\) Gọi \(B',C'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B,C\) lên trục tung. Biết rằng hình thang \(BB'C'C\) có diện tích bằng 8, giá trị của \(m\) thuộc khoảng nào sau đây?

Xem đáp án

Cách 1:

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc \(m\) và đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) là \(y = mx - 2m\)

Hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\) là nghiệm của phương trình:

\( - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2 = m\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 4x + m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - 4x + m + 1 = 0\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

\(x = 2 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow A\left( {2;0} \right).\) Do đó: \(\left( C \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) khác \(2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 3 - m >0\\{2^2} - 4.2 + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m >- 3\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 3\)

Theo định lí Vi-et: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} = m + 1\end{array} \right.,\) mà \(m >0 \Rightarrow m + 1 >0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} >0\\{x_1}.{x_2} >0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} >0\\{x_2} >0\end{array} \right.\)

Giả sử \(B\left( {{x_1};m{x_1} - 2m} \right)\) và \(C\left( {{x_2};m{x_2} - 2m} \right) \Rightarrow B'\left( {0;m{x_1} - 2m} \right)\) và \(C'\left( {0;m{x_2} - 2m} \right).\)

\( \Rightarrow B'C' = \left| {m\left( {{x_1} - {x_2}} \right)} \right| = m\left| {{x_1} - {x_2}} \right|;BB' = \left| {{x_1}} \right| = {x_1};CC' = \left| {{x_2}} \right| = {x_2}\)

Ta có: \({S_{BB'C'C}} = \frac{1}{2}B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 8 \Leftrightarrow B'C'\left( {BB' + CC'} \right) = 16 \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 16\)

\( \Leftrightarrow m\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow {m^2}{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {m^2}\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right] = 16 \Leftrightarrow {m^2}\left( {16 - 4m - 4} \right) = 16\)

\( \Leftrightarrow {m^3} - 3{m^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){\left( {m - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) hoặc \(m = 2\)

Vì \(0 < m < 3 \Rightarrow m = 2 \Rightarrow m \in \left( {1;5} \right).\)

Cách 2:

Phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) có hệ số góc \(m\) và đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) và \(y = m\left( {x - 2} \right)\)

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 2{\rm{ }}\left( C \right)\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

\(y' = - 3{x^2} + 12x - 9 = 0 \Leftrightarrow - 6x = - 12 \Leftrightarrow x = 2;f\left( 2 \right) = 0\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị \(\left( C \right)\) nhận điểm \(A\left( {2;0} \right)\) làm điểm uốn.

\( \Rightarrow B\) và \(C\) đối xứng nhau qua \(A;B'\) và \(C'\) đối xứng nhau qua \(O\)

\( \Rightarrow OA\) là đường trung bình của hình thang \(BB'C'C \Rightarrow \frac{{BB' + CC'}}{2} = OA = 2\)

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;0} \right)\) có hệ số góc \(m\left( {m >0} \right)\) cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt \(A,B,C.\) Gọi \(B',C'\) lần lượt là hình chiếu vuông góc củ (ảnh 1)

Diện tích của hình thang \(BB'C'C\) bằng \(8 \Rightarrow B'C' = 4\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \({y_B} >0 \Rightarrow {y_B} = 2 \Rightarrow - {x_B}^3 + 6x_B^2 - 9{x_B} + 2 = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_B} = 0\\{x_B} = 3\end{array} \right.\)

+ \({x_B} = 0 \Rightarrow B\left( {0;2} \right) \Rightarrow \left( d \right)\) có phương trình \(y = - x + 2 \Rightarrow m = - 1 < 0\) (loại).

+ \({x_B} = 3 \Rightarrow B\left( {3;2} \right) \Rightarrow \left( d \right)\) có phương trình \(y = 2x - 4 \Rightarrow m = 2\) (thỏa mãn).

Vậy giá trị của \(m\) thuộc khoảng \(\left( {1;5} \right).\)

Đáp án D


Câu 38:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SAvuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = 3a.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa cạnh BCvà cắt hình chóp S.ABCDtheo thiết diện là một tứ giác có diện tích \(\frac{{2\sqrt 5 {a^2}}}{3}.\) Tính khoảng cách \(h\) giữa đường thẳng \(AD\) và mặt phẳng \(\left( P \right).\)

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SAvuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = 3a.\) Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa cạnh BCvà cắt hình chóp S.A (ảnh 1)

Gọi \(M,N\) lần lượt là giao điểm của \(\left( P \right)\) với \(SA,SD \Rightarrow MN//AD;\) kẻ \(AH \bot BM\) tại H

\(AD \bot SA;AD \bot AB \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow MN \bot MB\) và \(MN \bot AH\)

* \(MN \bot MB \Rightarrow \) Thiết diện là hình thang vuông \(BMNC\) có diện tích là \(\frac{{MB}}{2}.\left( {MN + BC} \right)\)

* \(AH \bot MN,AH \bot BM,MN//AD \Rightarrow AH\) là khoảng cách từ \(AD\) đến \(\left( P \right) \Rightarrow AH = h\)

Đặt \(AM = x\left( {0 < x < 3a} \right) \Rightarrow SM = 3a - x.\) Ta có: \(\frac{{MN}}{{AD}} = \frac{{SM}}{{SA}}\) (do \(MN//AD).\)

\( \Rightarrow \frac{{MN}}{a} = \frac{{3a - x}}{{3a}} \Rightarrow MN = \frac{{3a - x}}{3},\) mà \(MB = \sqrt {A{B^2} + A{M^2}} = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \)

Diện tích thiết diện là \(\frac{{2\sqrt 5 {a^2}}}{3} \Rightarrow \frac{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}{2}.\left( {\frac{{3a - x}}{3} + a} \right) = \frac{{2\sqrt 5 {a^2}}}{3}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {x^2}} .\left( {6a - x} \right) = 4\sqrt 5 {a^2} \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {x^2}} \right)\left( {36{a^2} - 12ax + {x^2}} \right) = 80{a^4}\)

\( \Leftrightarrow 36{a^4} - 12{a^3}x + {a^2}{x^2} + 36{a^2}{x^2} - 12a{x^3} + {x^4} - 80{a^4} = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^4} - 12{x^3}x + 37{x^2}{a^2} - 12a{x^3} - 44{a^4} = 0 \Rightarrow x = 2a\)

\( \Rightarrow MB = a\sqrt 5 \Rightarrow h = AH = \frac{{AM.AB}}{{MB}} = \frac{{2a.a}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 a}}{5}\)

Vậy khoảng cách \(h\) giữa đường thẳng \(AD\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\frac{{2\sqrt 5 a}}{5}.\)

Đáp án B


Câu 39:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại \(A,SB = 12,SB\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right).\) Gọi \(D,E\) lần lượt là các điểm thuộc các đoạn \(SA,SC\) sao cho \(SD = 2DA,ES = EC.\) Biết \(DE = 2\sqrt 3 ,\) hãy tính thể tích của khối chóp \(B.ACED.\)

Xem đáp án

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABCvuông cân tại \(A,SB = 12,SB\) vuông góc với \(\left( {ABC} \right).\) Gọi \(D,E\) lần lượt là các điểm thuộc các đoạn \(SA,SC\) sao cho \(SD = 2DA,E (ảnh 1)

Ta có

\({V_{B.ACED}} = {V_{S.ABC}} - {V_{ABED}}\)

\(\frac{{{V_{SBED}}}}{{{V_{SABC}}}} = \frac{{SE}}{{SC}}.\frac{{SD}}{{SA}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3} = \frac{1}{3}\)

Đặt \(AB = AC = a.\) Khi đó, ta có:

\(S{A^2} = S{B^2} + A{B^2} = {12^2} + {a^2}\)

\(S{C^2} = S{B^2} + B{C^2} = {12^2} + 2{a^2}\)

Đáp án D


Câu 40:

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong \(t\) giờ được cho bởi công thức \(c\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}\left( {mg/L} \right).\) Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

Xem đáp án

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{t}{{{t^2} + 1}}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Có: \(f'\left( t \right) = \frac{{1 - {t^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}},f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - {t^2} = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1\)

Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong \(t (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên trên suy ra sau khi tiêm thuốc 1 giờ thif tổng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất.

Đáp án C


Câu 41:

Cho hàm số y=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d) có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d?\)

Cho hàm số có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu số dương trong các số \(a,b,c,d?\) (ảnh 1)

Xem đáp án

Từ đồ thị ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \Rightarrow a < 0.\)

Gọi \({x_1}\) và \({x_2}\) lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số đã cho \(\left( {{x_1} < {x_2}} \right).\)

Từ đồ thị ta thấy: \({x_1} + {x_2} >0 \Rightarrow ab < 0 \Rightarrow b >0.\)</>

Và: \({x_1}.{x_2} >0 \Rightarrow ac >0 \Rightarrow c >0.\)

Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tung độ \(y \Rightarrow d >0.\)

Vậy trong các số \(a,b,c,d\) có hai số dương.

Đáp án D


Câu 42:

Tìm các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = m{x^4} + \left( {2m - 1} \right){x^2} + m - 2\) chỉ có một cực đại và không có cực tiểu.

Xem đáp án

Khi \(m = 0,\) hàm số trở thành \(y = - {x^2} - 2\) có đồ thị là một Parabol có bề lõm quay xuống nên hàm số có một cực đại và không có cực tiểu (thỏa mãn bài toán)

Khi \(m \ne 0,\) hàm số có một cực đại và không có cực tiểu khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m\left( {2m - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\2m - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \le \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow m < 0.\)

Vậy hàm số có một cực đại và không có cực tiểu khi \(m \le 0.\)

Đáp án B


Câu 43:

Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để đường thẳng \(d:y = x + m - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) tại hai điểm phân biệt \(M,N\) sao cho \(MN = 2\sqrt 3 .\)

Xem đáp án

Ta có PTHĐGĐ của đường thẳng \(\left( d \right)\) và đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)

\(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m - 1,\left( {x \ne - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2x + 1 = \left( {x + m - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 2} \right)x + m - 2 = 0\left( 2 \right)\)

Phương trình \(\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} = x + m - 1\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2} \ne - 1.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta >0\\1 - m + 2 + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) >0\\1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 12 >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 2\\m >6\end{array} \right.\)</>

Gọi \(M\left( {{x_1};{x_1} + m - 1} \right),N\left( {{x_2};{x_2} + m - 1} \right)\) là giao điểm của hai đồ thị.

Ta có \(MN = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow M{N^2} = 12 \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 12\)

\( \Leftrightarrow x_2^2 - x_1^2 - 2{x_1}{x_2} = 6 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} - 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4 + \sqrt {10} \\m = 4 - \sqrt {10} \end{array} \right.\)

So với điều kiện có hai nghiệm phân biệt, ta nhận cả hai giá trị \(m = 4 \pm \sqrt {10} .\)

Đáp án D


Câu 44:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 4;4} \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dướiCó tất cả bao nhiêu giá trị thực của \(m \in \left[ { - 4;4} \right]\ (ảnh 1)

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của \(m \in \left[ { - 4;4} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^3} + 2x} \right) + 3f\left( m \right)} \right|\) có giá trị lớn nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) bằng 8?

Xem đáp án

Đặt \(t = {x^3} + 2x \Rightarrow t' = {x^2} + 2 >0,\forall x \Rightarrow t\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ { - 1;1} \right].\)

\(\forall x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t\left( { - 1} \right) \le t \le t\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 3 \le t \le 3\)

Suy ra \( - 6 \le f\left( t \right) \le 5\)

Như vậy khi đó

\(g\left( t \right) = \left| {f\left( t \right) + 3f\left( m \right)} \right|\)

\( \Rightarrow Max{\rm{ g}}\left( t \right) = Max\left\{ {\left| {5 + 3f\left( m \right)} \right|;\left| { - 6 + 3f\left( m \right)} \right|} \right\} = \frac{{\left| {5 + 3f\left( m \right) - 6 + 3f\left( m \right)} \right| + \left| {5 + 3f\left( m \right) + 6 - 3\left( m \right)} \right|}}{2}\)

\( = \frac{{\left| {6f\left( m \right) - 1} \right| + 11}}{2}\)

Đáp án A


Câu 45:

Cho các số dương \(a,b,c\) khác 1 thỏa mãn \({\log _a}\left( {bc} \right) = 3,{\log _b}\left( {ca} \right) = 4.\) Tính giá trị của \({\log _c}\left( {ab} \right).\)

Xem đáp án

Ta có:

\({\log _a}\left( {bc} \right) = \frac{{{{\log }_c}\left( {bc} \right)}}{{{{\log }_c}a}} = \frac{{{{\log }_c}b + 1}}{{{{\log }_c}a}} = 3 \Rightarrow 3{\log _c}a - {\log _c}b = 1.\left( 1 \right)\)

\({\log _b}\left( {ca} \right) = \frac{{{{\log }_c}\left( {ca} \right)}}{{{{\log }_c}b}} = \frac{{{{\log }_c}a + 1}}{{{{\log }_c}b}} = 4 \Rightarrow {\log _c}a - 4{\log _c}b = - 1.\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}3{\log _c}a - {\log _c}b = 1\\{\log _c}a - 4{\log _c}b = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _c}a = \frac{5}{{11}}\\{\log _c}b = \frac{4}{{11}}\end{array} \right. \Rightarrow {\log _c}\left( {ab} \right) = {\log _c}a + {\log _c}b = \frac{9}{{11}}.\)

Đáp án D


Câu 46:

Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {1;m} \right).\) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để qua A có thể kể được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị \(\left( C \right).\) Số phần tử của \(S\) là

Xem đáp án

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;m} \right)\) hệ số góc \(k\) có phương trình là \(y = k\left( {x - 1} \right) + m.\)

Đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) khi và chỉ khi hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} + 1 = k\left( {x - 1} \right) + m{\rm{ }}\left( 1 \right)\\3{x^2} + 6x = k{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\) có nghiệm \(x.\)

Thay (2) vào (1) ta có phương trình \({x^3} + 3{x^2} + 1 = \left( {3{x^2} + 6x} \right)\left( {x - 1} \right) + m \Leftrightarrow 2{x^3} - 6x - 1 = - m\left( 3 \right).\)

Qua điểm \(A\left( {1;m} \right)\) kẻ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right) \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( 3 \right)\) có ba nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = 2{x^3} - 6x - 1\) và \(y = - m\) cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = 2{x^3} - 6x - 1\) như sau:

Cho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {1;m} \right).\) Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để qua A có thể kể đượ (ảnh 1)

Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) suy ra 5<m<33<m<5mZm{2;1;0;1;2;3;4}.

Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án C


Câu 47:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = 3,\) tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) và \[AC = 2\sqrt 2 .\] Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC.\) Trên hai cạnh \(SA,SB\) lấy các điểm \(P,Q\) tương ứng sao cho \(SP = 1,SQ = 2.\) Tính thể tích \(V\) của tứ diện \(MNPQ.\)

Xem đáp án

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = 3,\) tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) và \[AC = 2\sqrt 2 .\] Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(BC.\) Trên hai cạnh \(SA,SB\) l (ảnh 1)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(PQ\) và \(AB\)

\({V_{MNPQ}} = {V_{I.MPN}} - {V_{I.QMN}} = {V_{P.MNI}} - {V_{Q.MNI}}.\)

Tính diện tích \(\Delta MNI\)

\(MN = 1\)

Gọi \(E\) là trung điểm của \(SQ \Rightarrow PE//AB\) và \(PE = \frac{1}{3}AB\)

Ta có \(\Delta PEQ = \Delta IBQ\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow PE = IB\)

\( \Rightarrow IB = \frac{1}{3}AB = \frac{2}{3}.\)

\(I{N^2} = B{N^2} + I{B^2} = 1 + \frac{4}{9} = \frac{{13}}{9} \Rightarrow IN = \frac{{\sqrt {13} }}{3}.\)

Áp dụng định lý cosin cho tam giác \(IAM\) có:

\(IM = I{A^2} + A{M^2} - 2IA.AM.\cos {45^0}\)

\( = {\left( {\frac{8}{3}} \right)^2} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} - 2.\frac{8}{3}.\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{34}}{9} \Rightarrow IM = \frac{{\sqrt {34} }}{9}.\)

\(\cos \widehat {MNI} = \frac{{M{N^2} + I{N^2} - M{I^2}}}{{2.MN.IN}} = \frac{{1 + \frac{{13}}{9} - \frac{{34}}{9}}}{{2.1.\frac{{\sqrt {13} }}{3}}} = \frac{{ - 2\sqrt {13} }}{{13}}.\)

\(\sin \widehat {MNI} = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\widehat {MNI}} = \frac{3}{{\sqrt {13} }}.\)

\({S_{MNI}} = \frac{1}{2}.MN.NI.\sin \widehat {MNI} = \frac{1}{2}.1.\frac{{\sqrt {13} }}{3}.\frac{3}{{\sqrt {13} }} = \frac{1}{2}.\)

\({V_{MNPQ}} = \frac{1}{3}.d\left( {P;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}} - \frac{1}{3}.d\left( {Q;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}}\)

\( = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}d\left( {S;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}} - \frac{1}{3}.\frac{1}{3}.d\left( {S;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}}\)

\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{3}d\left( {S;\left( {MIN} \right)} \right).{S_{MIN}} = \frac{1}{9}d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{MIN}}\)

Vì \(SA = SB = SC\) nên hình chiếu của đỉnh \(S\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)

Mà tam giác \(ABC\) vuông tại B nên tam đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) chính là điểm \(M\).

Vậy \({V_{MNPQ}} = \frac{1}{9}.\sqrt 7 .\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 7 }}{{18}}.\)

Đáp án A


Câu 48:

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AC = a,\) góc \(BAC = {120^0},AA' = a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(CC'.\) Số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = AC = a,\) góc \(BAC = {120^0},AA' = a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(CC'.\) Số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \r (ảnh 1)

Ta có \(\Delta A'MC'\) vuông tại \(M\) có \(\widehat {A'C'M} = {30^0} \Rightarrow A'M = \frac{1}{2}.A'C' = \frac{2}{2}\)

\(MC' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow B'C' = a\sqrt 3 .\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right) \Rightarrow \alpha = \left( {\widehat {\left( {AMN} \right);\left( {A'B'C'} \right)}} \right)\)

Tam giác \(A'MC'\) là hình chiếu của tam giác AMN trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) nên \(\cos \alpha = \frac{{{S_{A'MC'}}}}{{{S_{AMN}}}}\)

Ta có \({S_{A'MC'}} = \frac{1}{2}.{S_{ABC}} = \frac{1}{4}.AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{{\sqrt 3 {a^2}}}{8}.\)

\(A{N^2} = A{C^2} + C{N^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Rightarrow AN = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\)

AM2=AA'2+A'M2=AA'2+(A'C'2)2=5a24AM=a52

\(M{N^2} = C'{N^2} + C'{M^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = {a^2} \Rightarrow MN = a.\)

Gọi \[I\] là trung điểm của \(MN \Rightarrow AI \bot MN\)

\(AI = \sqrt {A{N^2} - I{N^2}} = a\)

\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}.AI.MN = \frac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\)

Vậy số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( {AMN} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{4}.\)

Đáp án C


Câu 49:

Cho một đa giác đều có 18 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Gọi \(X\) là tập hợp tất cả các tam giác có 3 đỉnh trùng với 3 trong số 18 đỉnh của đa giác đã cho. Chọn 1 tam giác trong tập hợp \(X.\) Xác suất để tam giác được chọn là tam giác cân bằng

Xem đáp án

Chọn ngẫu nhiên 3 trong số 18 đỉnh của đa giác ta được 1 tam giác nên \(n\left( \Omega \right) = C_{18}^3 = 816.\)

Vì đa giác đã cho là đa giác đều có 18 đỉnh nên từ mỗi đỉnh có thể tìm ra 8 cặp điểm để cùng với nó tạo ra 1 tam giác cân, trong đó có 1 tam giác đều. Từ 18 đỉnh của đa giác đều có thể tạo ra 6 tam giác đều. Vậy số tam giác cân và đều mà 18 đỉnh của đa giác đều đó tạo ra là: \(18.7 + 6 = 132\)

Xác suất cần tìm là: 132816=1168.

Đáp án D


Câu 50:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Biết rằng \(e >n.\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Biết rằng \(e >n.\)Số điểm cực trị của  (ảnh 1)

Số điểm cực trị của hàm số \(y = f'\left( {f\left( x \right) - 2x} \right)\) là

Xem đáp án

Ta có: y'=(f'(x)2)f"[f(x)2x]

y'=0(f'(x)2)f"[f(x)2x]=0[f'(x)2=0           (1)f"[f(x)2x]=0 (2)

Xét phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2.\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Biết rằng \(e >n.\)Số điểm cực trị của  (ảnh 2)

Từ đồ thị ta có phương trình \(\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},0,{x_2}\left( {{x_1} < m < 0 < n < {x_2}} \right).\)

Xét phương trình \(\left( 2 \right).\)

Trước hết ta có: \(f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d.\)

\(f'\left( 0 \right) = 2 \Leftrightarrow d = 2.\)

Suy ra: \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 2x + e.\)

(2)f"[f(x)2x]=0[f(x)2x=mf(x)2x=n[ax4+bx3+cx2+e=max4+bx3+cx2+e=n

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} = m - e{\rm{ }}\left( {2a} \right)\\a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} = n - e{\rm{ }}\left( {2b} \right)\end{array} \right..\)

Số nghiệm của hai phương trình \(\left( {2a} \right)\) và \(\left( {2b} \right)\) lần lượt bằng số giao điểm của hai đường thẳng \(y = m - e\) và \(y = n - e\) (trong đó \(m - e < n - e < 0)\) với đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2}.\)

\(g'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx.\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx = 0 \Leftrightarrow 4a{x^3} + 3b{x^3} + 2cx + 2 = 2\)

\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1} < 0\\x = 0\\x = {x_2} >0\end{array} \right.\)</>

Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) suy ra:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f'\left( x \right) = + \infty \) nên \(a < 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } g\left( x \right) = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( x \right) = - \infty .\)

Bảng biến thiên của hàm số \(y = g\left( x \right):\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e,\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị của đạo hàm \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Biết rằng \(e >n.\)Số điểm cực trị của  (ảnh 3)

Từ bảng biến thiên suy ra hai phương trình \(\left( {2a} \right),\left( {2b} \right)\) mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt

(hai phương trình không có nghiệm trùng nhau) và khác \({x_1},0,{x_2}.\)

Suy ra phương trình (f'(x)2)f"[f(x)2x]=0 có 7 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số \(y = f'\left[ {f\left( x \right) - 2x} \right]\) có 7 điểm cực trị.

Đáp án A


Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan