33 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Phương trình lượng giác thường gặp

Câu 1:

\sin 2 x + 3 \sin 4 x = 0

có nghiệm là:

A. $[\begin{matrix} x = \frac{k π}{2} \\ x = \pm \frac{1}{2} \arccos (- \frac{1}{6}) + k π \end{matrix} (k \in Z)$

B. $[\begin{matrix} x = \frac{k π}{2} \\ x = \pm \frac{5}{2} \arccos (- \frac{1}{6}) + k π \end{matrix} (k \in Z)$

C. $[\begin{matrix} x = \frac{k π}{2} \\ x = \pm \frac{1}{2} \arccos (- \frac{1}{3}) + k π \end{matrix} (k \in Z)$

D. $[\begin{matrix} x = \frac{k π}{2} \\ x = \pm \frac{1}{3} \arccos (- \frac{1}{6}) + k π \end{matrix} (k \in Z)$

Xem đáp án

$\sin 2 x + 3 \sin 4 x = 0$

$\Leftrightarrow \sin 2 x + 6 \sin 2 x \cos 2 x = 0$

$\Leftrightarrow \sin 2 x (1 + 6 \cos 2 x) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \sin 2 x = 0 \\ 1 + 6 \cos 2 x = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \sin 2 x = 0 \\ \cos 2 x = - \frac{1}{6} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x = k π \\ 2 x = \pm \arccos (- \frac{1}{6}) + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{k π}{2} \\ x = \pm \frac{1}{2} \arccos (- \frac{1}{6}) + k π \end{matrix} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 2:

Phương trình $\frac{\cos 2 x}{1 - \sin 2 x} = 0$ có nghiệm là:

A. $x = \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

C. $x = \frac{3 π}{4} + 2 k π (k \in Z)$

D. $x = \frac{3 π}{4} + k π (k \in Z)$

Xem đáp án

Bước 1:

Điều kiện: $1 - \sin 2 x \neq 0$

$\Leftrightarrow \sin 2 x \neq 1$

$\Leftrightarrow 2 x \neq \frac{π}{2} + k 2 π$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{π}{4} + k π (k \in Z)$

Bước 2:

$\frac{\cos 2 x}{1 - \sin 2 x} = 0$

$\Leftrightarrow \cos 2 x = 0$

$\Leftrightarrow \cos^{2} 2 x = 0$

$\Leftrightarrow 1 - s i n^{2} 2 x = 0$

$\Leftrightarrow s i n^{2} 2 x = 1$

$\Leftrightarrow s i n 2 x = - 1 (d o \sin 2 x \neq 1)$

$\Leftrightarrow 2 x = - \frac{π}{2} + k 2 π$

$\Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k π$

Đặt k = l + 1 ta được:

$- \frac{π}{4} + k π = - \frac{π}{4} + l π + π = \frac{3 π}{4} + l π (l \in Z)$

Vậy $[\begin{matrix} x = \frac{3 π}{4} + l π (l \in Z) \\ x = \frac{3 π}{4} + k π (k \in Z) \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 3:

Phương trình $\sqrt{3} \cot^{2} x - 4 \cot x + \sqrt{3} = 0$ có nghiệm là:

A. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{3} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

B. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

C. $[\begin{matrix} x = - \frac{π}{3} + k π \\ x = - \frac{π}{6} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

D. $[\begin{matrix} x = - \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

Xem đáp án

ĐK: $\sin x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq k π (k \in Z)$

$\sqrt{3} \cot^{2} x - 4 \cot x + \sqrt{3} = 0$

Đặt cos x = t khi đó phương trình có dạng:

$\sqrt{3} t^{2} - 4 t + \sqrt{3} = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ t = \sqrt{3} \end{matrix}$

$\Rightarrow [\begin{matrix} \cot x = \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \cot x = \sqrt{3} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{3} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{matrix} (k \in Z) (t m)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 4:

Nghiệm của phương trình $4 \sin^{2} 2 x + 8 \cos^{2} x - 9 = 0$ là:

A. $x = \pm \frac{π}{6} + k π (k \in Z)$

B. $x = \pm \frac{π}{6} + k 2 π (k \in Z)$

C. $x = \pm \frac{π}{3} + k π (k \in Z)$

D. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + k π (k \in Z) \\ x = \frac{π}{3} + k π (k \in Z) \end{matrix}$

Xem đáp án

Bước 1:

$4 \sin^{2} 2 x + 8 \cos^{2} x - 9 = 0$

$\Leftrightarrow 4 (1 - \cos^{2} 2 x) + 8. \frac{1 + \cos 2 x}{2} - 9 = 0$

$\Leftrightarrow 4 (1 - \cos^{2} 2 x) + 4. (1 + \cos 2 x) - 9 = 0$

$\Leftrightarrow 4 (1 - \cos^{2} 2 x) + 4 + 4 \cos 2 x - 9 = 0$

$\Leftrightarrow 4 - 4 \cos^{2} 2 x + 4 \cos 2 x - 5 = 0$

$\Leftrightarrow - 4 \cos^{2} 2 x + 4 \cos 2 x - 1 = 0$

Bước 2:

Đặt $\cos 2 x = t (- 1 \leq t \leq 1)$ . Khi đó phương trình có dạng:

$- 4 t^{2} + 4 t - 1 = 0$

$\Leftrightarrow - (4 t^{2} - 4 t + 1) = 0$

$\Leftrightarrow - {(2 t - 1)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow t = \frac{1}{2} (t m)$

$\Leftrightarrow \cos 2 x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos 2 x = \cos \frac{π}{3}$

$\Leftrightarrow 2 x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π$

$\Leftrightarrow x = \pm \frac{π}{6} + k π (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 5:

Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 4sin² x − 4sinx – 3 = 0 trên đường tròn lượng giác là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Xem đáp án

4sin² x − 4sinx – 3 = 0

Đặt sinx = t (−1 ≤ t ≤ 1) khi đó phương trình có dạng:

$4 t^{2} - 4 t - 3 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t = \frac{3}{2} (k t m) \\ t = - \frac{1}{2} (t m) \end{matrix}$

$t = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

Vây số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình 4sin² x − 4sinx – 3 = 0 trên đường tròn lượng giác là 2 điểm như hình trên.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 6:

Phương trình

\sqrt{3} \sin 2 x - \cos 2 x + 1 = 0

có nghiệm là:

A. $[\begin{matrix} x = k π \\ x = \frac{π}{3} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

B. $[\begin{matrix} x = k π \\ x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

C. $[\begin{matrix} x = k 2 π \\ x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

D. $[\begin{matrix} x = k π \\ x = \frac{2 π}{3} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

Xem đáp án

$\sqrt{3} \sin 2 x - \cos 2 x + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2 x - \frac{1}{2} \cos 2 x + \frac{1}{2} = 0$

$\Leftrightarrow \sin 2 x . \cos \frac{π}{6} - \cos 2 x . \sin \frac{π}{6} + \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (2 x - \frac{π}{6}) - \sin (- \frac{π}{6})$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x - \frac{π}{6} = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ 2 x - \frac{π}{6} = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x = k 2 π \\ 2 x = \frac{4 π}{3} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = k π \\ x = \frac{2 π}{3} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 7:

Phương trình $\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$ có hai họ nghiệm có dạng $x = α + k 2 π, x = β + k 2 π, (- \frac{π}{2} < α < β < \frac{π}{2})$ . Khi đó α, β là:

A. $- \frac{5 π^{2}}{12}$

B. $- \frac{5 π^{2}}{144}$

C. $\frac{5 π^{2}}{144}$

D. $\frac{π^{2}}{12}$

Xem đáp án

Bước 1:

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin x \cos \frac{π}{3} + \cos x \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{4}$

Bước 2:

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x + \frac{π}{3} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - \frac{π}{12} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{12} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

$\Rightarrow [\begin{matrix} α = - \frac{π}{12} \\ β = \frac{5 π}{12} \end{matrix}$

( Vì $- \frac{π}{12}$ và $\frac{5 π}{12}$ đều thỏa mãn điều kiện đề bài)

$\Rightarrow α . β = \frac{- 5 π^{2}}{144}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 8:

Giải phương trình

\sin 18 x \cos 13 x = \sin 9 x \cos 4 x

A. $x = \frac{k π}{18}; x = \frac{k π}{22} (k \in Z)$

B. $x = \frac{k π}{9}; x = \frac{π}{44} + \frac{k π}{22} (k \in Z)$

C. $x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{18}; x = \frac{π}{22} + \frac{k π}{22} (k \in Z)$

D. $x = \frac{k π}{3}; x = \frac{π}{44} + \frac{k π}{44} (k \in Z)$

Xem đáp án

$\sin 18 x \cos 13 x = \sin 9 x \cos 4 x$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} (\sin 31 x + \sin 5 x) = \frac{1}{2} (\sin 13 x + \sin 5 x)$

$\Leftrightarrow \sin 31 x + \sin 5 x = \sin 13 x + \sin 5 x$

$\Leftrightarrow \sin 31 x = \sin 13 x$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 31 x = 13 x + k 2 π \\ 31 x = π - 13 x + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 18 x = k 2 π \\ 44 x = π + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{k π}{9} \\ x = \frac{π}{44} + \frac{k π}{22} \end{matrix} (k \in Z)$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x = \frac{k π}{9}; x = \frac{π}{44} + \frac{k π}{22} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 9:

Để phương trình $\frac{a^{2}}{1 - \tan^{2} x} = \frac{\sin^{2} x + a^{2} - 2}{\cos 2 x}$ có nghiệm, tham số a thỏa mãn điều kiện:

A. $|a| \geq 1$

B. $|a| > 1$

C. $|a| = 1$

D. $|a| \neq 1$

Xem đáp án

Điều kiện: $\{\begin{matrix} 1 - \tan^{2} x \neq 0 \\ \cos 2 x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos^{2} x} \neq 0 \\ \cos 2 x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} \cos 2 x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 2 x \neq \frac{π}{2} + k π \\ x \neq \frac{π}{2} + k π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x \neq \frac{π}{4} + \frac{k π}{2} \\ x \neq \frac{π}{2} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

Ta có: $\frac{a^{2}}{1 - \tan^{2} x} = \frac{\sin^{2} x + a^{2} - 2}{\cos 2 x}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{\frac{\cos^{2} x - \sin^{2} x}{\cos^{2} x}} = \frac{\sin^{2} x + a^{2} - 2}{\cos 2 x}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{2} \cos^{2} x}{\cos 2 x} = \frac{\sin^{2} x + a^{2} - 2}{\cos 2 x}$

$\Leftrightarrow a^{2} \cos^{2} x = \sin^{2} x + a^{2} - 2$

$\Leftrightarrow a^{2} \cos^{2} x = 1 - \cos^{2} x + a^{2} - 2$

$\Leftrightarrow (a^{2} + 1) \cos^{2} x = a^{2} - 1$

$\Leftrightarrow \cos^{2} x = \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 1} < 1$

Vì: $\cos x \neq 0$

$\Rightarrow 0 < \cos^{2} x \leq 1$

$\Leftrightarrow \cos^{2} x > 0$

$\Leftrightarrow a^{2} - 1 > 0$

$\Rightarrow |a > 1|$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 10:

Giải hệ phương trình $\{\begin{matrix} x - y = \frac{π}{3} \\ \cos x - \cos y = - 1 \end{matrix}$

A. $\{\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ y = - \frac{π}{6} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

B. $\{\begin{matrix} x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \\ y = \frac{π}{3} - k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

C. $\{\begin{matrix} x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \\ y = \frac{π}{3} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

D. $\{\begin{matrix} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ y = \frac{π}{6} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

Xem đáp án

Bước 1:

$\{\begin{matrix} x - y = \frac{π}{3} \\ \cos x - \cos y = - 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = y + \frac{π}{3} \\ \cos (y + \frac{π}{3}) - \cos y = - 1 (*) \end{matrix}$

Bước 2:

$(*) \Leftrightarrow - 2 \sin (y + \frac{π}{6}) . \sin \frac{π}{6} = - 1$

$\Leftrightarrow - 2 \sin (y + \frac{π}{6}) . \frac{1}{2} = - 1$

$\Leftrightarrow \sin (y + \frac{π}{6}) = 1$

Bước 3:

$\Leftrightarrow y + \frac{π}{6} = \frac{π}{2} + k 2 π$

$\Leftrightarrow y = \frac{π}{3} + k 2 π (k \in Z)$
$\Rightarrow x = y + \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3} + k 2 π (k \in Z)$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

$(x; y) = (\frac{2 π}{3} + k 2 π; \frac{π}{3} + k 2 π) (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 11:

Phương trình

\sin^{2} 3 x + (m^{2} - 3) \sin 3 x + m^{2} - 4 = 0

khi m = 1 có nghiệm là:

A. $x = - \frac{π}{6} + k 2 π (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3} (k \in Z)$

C. $x = - \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3} (k \in Z)$

D. $x = \pm \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3} (k \in Z)$

Xem đáp án

Khi m = 1 phương trình có dạng:

$\sin^{2} 3 x - 2 \sin 3 x + - 3 = 0$

Đặt $\sin 3 x = t (- 1 \leq t \leq 1)$ khi đó phương trình có dạng:

$t^{2} - 2 t - 3 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t = - 1 (t m) \\ t = 3 (k t m) \end{matrix}$

$t = - 1 \Leftrightarrow \sin 3 x = - 1$

$\Leftrightarrow 3 x = - \frac{π}{2} + k 2 π$

$\Leftrightarrow x = - \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 12:

Khẳng định nào đúng về phương trình

2 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) \cos x = 3 + \cos 2 x

A. Có 1 họ nghiệm

B. Có 2 họ nghiệm

C. Vô nghiệm

D. Có 1 nghiệm duy nhất

Xem đáp án

$2 \sqrt{2} (\sin x + \cos x) \cos x = 3 + \cos 2 x$

$\Leftrightarrow 2 \sqrt{2} \sin x \cos x + 2 \sqrt{2} \cos^{2} x = 3 + \cos 2 x$

$\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x + \sqrt{2} (1 + \cos 2 x) = 3 + \cos 2 x$

$\Leftrightarrow \sqrt{2} \sin x + (\sqrt{2} - 1) \cos 2 x = 3 - \sqrt{2}$

Ta có: $\{\begin{matrix} a = \sqrt{2} \\ b = \sqrt{2} - 1 \\ c = 3 - \sqrt{2} \end{matrix}$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} - c^{2} = 2 + {(\sqrt{2} - 1)}^{2} - {(3 - \sqrt{2})}^{2}$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} - c^{2} = 2 + 3 - 2 \sqrt{2} - 11 + 6 \sqrt{2}$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} - c^{2} = - 6 + 4 \sqrt{2}$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} - c^{2} < 0$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} < c^{2}$

Vậy phương trình vô nghiệm

Đáp án cần chọn là: C

Câu 13:

Số vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình $\sin x + (\sqrt{3} - 2) \cos x = 1$ trên đường tròn lượng giác là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Bước 1:

Với $a = 1; b = \sqrt{3} - 2; c = 1$ ta có:

$\sin x + (\sqrt{3} - 2) \cos x = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{8 - 4 \sqrt{3}}} \sin x + \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{8 - 4 \sqrt{3}}} \cos x = \frac{1}{\sqrt{8 - 4 \sqrt{3}}}$

Đặt $\frac{1}{\sqrt{8 - 4 \sqrt{3}}} = \cos α$

$\Rightarrow \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{8 - 4 \sqrt{3}}} = \sin α$

Khi đó phương trình tương đương:

$\sin x \cos α + \cos x \sin α = \cos α$

Bước 2:

$\Leftrightarrow \sin (x + α) = \sin (\frac{π}{2} - α)$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x + α = \frac{π}{2} - α + k 2 π \\ x + α = \frac{π}{2} + α + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{2} - 2 α + k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{matrix}$

Vì $α \neq 0 \Rightarrow$ có 2 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình.

Đáp án cần chọn là: C

Câu 14:

Tổng các nghiệm thuộc đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ của phương trình $2 \sqrt{3} \cos^{2} \frac{5 x}{2} + \sin 5 x = 1 + \sqrt{3}$ là:

A. $\frac{3 π}{5}$

B. $\frac{29 π}{30}$

C. $\frac{5 π}{6}$

D. $\frac{23 π}{30}$

Xem đáp án

$2 \sqrt{3} \cos^{2} \frac{5 x}{2} + \sin 5 x = 1 + \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} (1 + \cos 5 x) + \sin 5 x = 1 + \sqrt{3}$

$\Leftrightarrow \sin 5 x + \sqrt{3} \cos 5 x = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 5 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5 x = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin 5 x \cos \frac{π}{3} + \cos 5 x \sin \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \sin (5 x + \frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{6}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 5 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{6} + k 2 π \\ 5 x + \frac{π}{3} = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - \frac{π}{30} + \frac{k 2 π}{5} \\ x = \frac{π}{10} + \frac{k 2 π}{5} \end{matrix} (k \in Z)$

Với họ nghiệm $x = - \frac{π}{30} + \frac{k 2 π}{5} (k \in Z)$ , ta được:

$0 \leq - \frac{π}{30} + \frac{k 2 π}{5} \leq \frac{π}{2}$

$\Leftrightarrow 0 \leq - \frac{1}{30} + \frac{2 k}{5} \leq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{1}{12} \leq k \leq \frac{4}{3} \\ k \in Z \end{matrix}$

$\Rightarrow k = 1$

$\Rightarrow x = - \frac{π}{30} + \frac{2 π}{5} = \frac{11 π}{30}$

Với họ nghiệm $x = \frac{π}{10} + \frac{k 2 π}{5} (k \in Z)$ , ta được:

$0 \leq - \frac{π}{10} + \frac{k 2 π}{5} \leq \frac{π}{2}$

$\Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{10} + \frac{2 k}{5} \leq \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} - \frac{1}{4} \leq k \leq 1 \\ k \in Z \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} k = 0 \\ k = 1 \end{matrix}$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{π}{10} \\ x = \frac{π}{10} + \frac{2 π}{5} = \frac{π}{2} \end{matrix}$

Vậy tổng các nghiệm thuộc đoạn $[0; \frac{π}{2}]$ là:

$\frac{11 π}{30} + \frac{π}{10} + \frac{π}{2} = \frac{29 π}{30}$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 15:

Phương trình

\sin^{3} x + \cos^{3} x = \sin x - \cos x

có nghiệm là:

A. $x = k π (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

C. $x = \frac{π}{6} + k 2 π (k \in Z)$

D. Tất cả đều đúng

Xem đáp án

Bước 1:

$\sin^{3} x + \cos^{3} x = \sin x - \cos x$

$\Leftrightarrow \cos^{3} x + \cos x = \sin x - \sin^{3} x$

$\Leftrightarrow \cos x (\cos^{2} x + 1) = \sin x (1 - \sin^{2} x)$

$\Leftrightarrow \cos x (\frac{1 + \cos 2 x}{2} + 1) = \sin x . \cos^{2} x$

$\Leftrightarrow \cos x (\frac{1 + \cos 2 x}{2} + 1 - \sin x \cos x) = 0$

$\Leftrightarrow \cos x . \frac{1 + \cos 2 x + 2 - \sin 2 x}{2} = 0$

$\Leftrightarrow \cos x . (1 + \cos 2 x + 2 - \sin 2 x) = 0$

$\Leftrightarrow \cos x . (- \sin 2 x + \cos 2 x + 3) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \cos x = 0 (1) \\ - \sin 2 x + \cos 2 x + 3 = 0 (2) \end{matrix}$

Bước 2:

$(1) \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

Xét (2) ta có: $\{\begin{matrix} a = - 1 \\ b = 1 \\ c = - 3 \end{matrix} \Rightarrow a^{2} + b^{2} < c^{2}$

⇒ phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy nghiệm của phương trình là: $\Rightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 16:

Phương trình

6 \sin^{2} x + 7 \sqrt{3} \sin 2 x - 8 \cos^{2} x = 6

có nghiệm là:

A. $\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

B. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{4} + k π \\ x = \frac{π}{3} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

C. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{8} + k 2 π \\ x = \frac{π}{12} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

D. $[\begin{matrix} x = \frac{π}{8} + k π \\ x = \frac{π}{12} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

Xem đáp án

$6 \sin^{2} x + 7 \sqrt{3} \sin 2 x - 8 \cos^{2} x = 6$

$\Leftrightarrow 6 \sin^{2} x + 14 \sqrt{3} \sin x - 8 \cos^{2} x = 6 (*)$

Trường hợp 1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$ .

Khi đó: $\sin^{2} x = 1$

Thay vào phương trình (*) ta có: 6.1 + 14.0 − 8.0 = 6 ⇔ 6 = 6 (luôn đúng)

Trường hợp 2: $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$ . Chia cả 2 vế của phương trình (*) cho cos²x ta được:

$6 \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} + 14 \sqrt{3} \frac{\sin x}{\cos x} - 8 = \frac{6}{\cos^{2} x}$

$\Leftrightarrow 6 \tan^{2} x + 14 \sqrt{3} \tan x - 8 = 6 (1 + \tan^{2} x)$

$\Leftrightarrow 14 \sqrt{3} \tan x - 14 = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} \tan x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k π (k \in Z)$

Kết hợp 2 trường hợp ta có nghiệm của phương trình là:

$[\begin{matrix} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 17:

Trong khoảng $(0; \frac{π}{2})$ phương trình $\sin^{2} 4 x + 3 \sin 4 x \cos 4 x - 4 \cos^{2} 4 x = 0$ có:

A. Ba nghiệm

B. Một nghiệm

C. Hai nghiệm

D. Bốn nghiệm

Xem đáp án

Trường hợp 1: $\cos 4 x = 0$

$\Leftrightarrow 4 x = \frac{π}{2} + k π$

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4} (k \in Z)$

Khi đó, $\sin^{2} 4 x = 1$

Thay vào phương trình ta có: 1 + 3.0 – 4.0 = 0 ↔ 1 = 0 (vô lí)

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4} (k \in Z)$ không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: $\cos 4 x \neq 0$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{π}{8} + \frac{k π}{4} (k \in Z)$

Chia cả 2 vế của phương trình cho cos²4x ta được:

$\frac{\sin^{2} 4 x}{\cos^{2} 4 x} + 3 \frac{\sin 4 x}{\cos 4 x} - 4 = 0$

$\Leftrightarrow \tan^{2} 4 x + 3 \tan 4 x - 4 = 0$

Đặt tan 4x = t. Khi đó phương trình trở thành:

$t^{2} + 3 t - 4 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t = 1 \\ t = - 4 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \tan 4 x = 1 \\ \tan 4 x = - 4 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 4 x = \frac{π}{4} + k π \\ 4 x = \arctan (- 4) + k π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{16} + \frac{k π}{4} \\ x = \frac{1}{4} \arctan (- 4) + \frac{k π}{4} \end{matrix} (k \in Z)$

Xét nghiệm $x = \frac{π}{16} + \frac{k π}{4} (k \in Z), x \in (0; \frac{π}{2})$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 0 < \frac{π}{16} + \frac{k π}{4} < \frac{π}{2} \\ k \in Z \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 0 < \frac{1}{16} + \frac{k}{4} < \frac{1}{2} \\ k \in Z \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} - \frac{1}{4} < k < \frac{7}{4} \\ k \in Z \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} k = 0 \\ k = 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{π}{16} \\ x = \frac{5 π}{16} \end{matrix}$

Xét nghiệm $x = \frac{1}{4} \arctan (- 4) + \frac{k π}{4} (k \in Z), x \in (0; \frac{π}{2})$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 0 < \frac{1}{4} \arctan (- 4) + \frac{k π}{4} < \frac{π}{2} \\ k \in Z \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} - \frac{1}{4} \arctan (- 4) < \frac{k π}{4} < \frac{π}{2} - \frac{1}{4} \arctan (- 4) \\ k \in Z \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 0, 42 < k < 2, 42 \\ k \in Z \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} k = 1 \\ k = 2 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{1}{4} \arctan (- 4) + \frac{π}{4} \\ x = \frac{1}{4} \arctan (- 4) + \frac{π}{2} \end{matrix}$

Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng $(0; \frac{π}{2})$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 18:

Giải phương trình

\sqrt{3} \cos 5 x - 2 \sin 3 x \cos 2 x - \sin x = 0

ta được nghiệm:

A. $x = \frac{π}{9} + \frac{k 2 π}{3}; (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{18} + \frac{k π}{6}; (k \in Z)$

C. $x = \pm \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}; (k \in Z)$

D. $x = \frac{π}{18} + \frac{k π}{3}; x = - \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}; (k \in Z)$

Xem đáp án

$\sqrt{3} \cos 5 x - 2 \sin 3 x \cos 2 x - \sin x = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} \cos 5 x - (\sin 5 x + \sin x) - \sin x = 0$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} \cos 5 x - \sin 5 x = 2 \sin x$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5 x - \frac{1}{2} \sin 5 x = \sin x$

$\Leftrightarrow \sin \frac{π}{3} \cos 5 x - \cos \frac{π}{3} \sin 5 x = \sin x$

$\Leftrightarrow \sin (\frac{π}{3} - 5 x) = \sin x$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \frac{π}{3} - 5 x = x + k 2 π \\ \frac{π}{3} - 5 x = π - x + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{18} + \frac{k π}{3} \\ x = - \frac{π}{6} + \frac{k π}{2} \end{matrix} (k \in Z)$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x = \frac{π}{18} + \frac{k π}{3}; x = - \frac{π}{6} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 19:

Giải phương trình

\cos x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3 x}{2} - \sin x \sin \frac{x}{2} \sin \frac{3 x}{2} = \frac{1}{2}

A. $x = - \frac{π}{4} + k π; x = \frac{π}{6} + k 2 π; x = \frac{5 π}{6} + k 2 π; x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{4} + k 2 π; x = - \frac{π}{6} + k 2 π; x = \frac{5 π}{6} + k π; x = - \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

C. $x = \pm \frac{π}{6} + k 2 π; x = \frac{5 π}{6} + k 2 π; x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

D. $x = - \frac{π}{8} + k π; x = \frac{π}{6} + k π; x = - \frac{5 π}{6} + \frac{k π}{6}; x = - \frac{π}{2} + \frac{k π}{6} (k \in Z)$

Xem đáp án

$\cos x \cos \frac{x}{2} \cos \frac{3 x}{2} - \sin x \sin \frac{x}{2} \sin \frac{3 x}{2} = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos x (\cos 2 x + \cos x) + \frac{1}{2} \sin x (\cos 2 x - \cos x) = \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \cos x \cos 2 x + \cos^{2} x + \sin x \cos 2 x - \sin x \cos x = 1$

$\Leftrightarrow \cos 2 x (\sin x + \cos x) - \sin x \cos x + \cos^{2} x - 1 = 0$

$\Leftrightarrow \cos 2 x (\sin x + \cos x) - \sin x \cos x - s i n^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow \cos 2 x (\sin x + \cos x) - \sin x (\sin x + \cos x) = 0$

$\Leftrightarrow (\sin x + \cos x) (\cos 2 x - \sin x) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \sin x + \cos x = 0 \\ \cos 2 x - \sin x = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \sin x = - \cos x \\ 1 - 2 \sin^{2} x - \sin x = 0 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \tan x = - 1 \\ \sin x = \frac{1}{2} \\ \sin x = - 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = - \frac{π}{4} + k π \\ x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \\ x = - \frac{π}{2} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

$x = - \frac{π}{4} + k π; x = \frac{π}{6} + k 2 π; x = \frac{5 π}{6} + k 2 π; x = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 20:

Giải phương trình

8 \sin x = \frac{\sqrt{3}}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}

A. $x = - \frac{π}{6} + \frac{k π}{2}; x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{4} (k \in Z)$

C. $x = \pm \frac{π}{6} + k π; x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

D. $x = \frac{π}{6} + k π; x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

Xem đáp án

ĐKXĐ: $\{\begin{matrix} \sin x \neq 0 \\ \cos x \neq 0 \end{matrix} \Leftrightarrow \sin 2 x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{k π}{2}$

$8 \sin x = \frac{\sqrt{3}}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}$

$\Leftrightarrow 8 \sin^{2} x \cos x = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

$\Leftrightarrow 4 \sin^{2} x \cos x = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

$\Leftrightarrow - 2 (\cos 3 x - \cos x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

$\Leftrightarrow - 2 \cos 3 x + 2 \cos x = \sqrt{3} \sin x + \cos x$

$\Leftrightarrow \cos x - \sqrt{3} \sin x = 2 \cos 3 x$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos 3 x$

$\Leftrightarrow \cos x \cos \frac{π}{3} - \sin x \sin \frac{π}{3} = \cos 3 x$

$\Leftrightarrow \cos (x + \frac{π}{3}) = \cos 3 x$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x + \frac{π}{3} = 3 x + k 2 π \\ x + \frac{π}{3} = - 3 x + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + k π \\ x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} \end{matrix} (k \in Z) (t m)$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

$x = \frac{π}{6} + k π; x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 21:

Giải phương trình

\sin 3 x - \frac{2}{\sqrt{3}} \sin^{2} x = 2 \sin x \cos 2 x

A. $x = \pm \frac{π}{3} + k 2 π; x = \frac{2 π}{3} + k 2 π (k \in Z)$

B. $x = \frac{π}{4} + k π; x = \frac{π}{6} + k π (k \in Z)$

C. $x = k π; x = \frac{π}{3} + k 2 π; x = \frac{2 π}{3} + k 2 π (k \in Z)$

D. $x = \frac{π}{2} + k π; x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3} (k \in Z)$

Xem đáp án

$\sin 3 x - \frac{2}{\sqrt{3}} \sin^{2} x = 2 \sin x \cos 2 x$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} \sin 3 x - 2 \sin^{2} x = \sqrt{3} (\sin 3 x - \sin x)$

$\Leftrightarrow \sqrt{3} \sin 3 x - 2 \sin^{2} x = \sqrt{3} \sin 3 x - \sqrt{3} \sin x$

$\Leftrightarrow 2 \sin^{2} x - \sqrt{3} \sin x = 0$

$\Leftrightarrow \sin x (2 \sin x - \sqrt{3})$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \sin x = 0 \\ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = k π \\ x = \frac{π}{3} + k 2 π \\ x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \end{matrix} (k \in Z)$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

$x = k π; x = \frac{π}{3} + k 2 π; x = \frac{2 π}{3} + k 2 π (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 22:

Giải phương trình

(\sin x + \sqrt{3} \cos x) . \sin 3 x = 2

A. $x = \frac{π}{6} + k π, k \in Z$

B. $x = - \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}, k \in Z$

C. $x = \frac{2 π}{3} + k π, k \in Z$

D. $x = \frac{k π}{12}; x = \frac{2 π}{3} + k π, k \in Z$

Xem đáp án

$(\sin x + \sqrt{3} \cos x) . \sin 3 x = 2$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x) . \sin 3 x = 1$

$\Leftrightarrow (\sin x \cos \frac{π}{3} + \cos x \sin \frac{π}{3}) . \sin 3 x = 1$

$\Leftrightarrow \sin (x + \frac{π}{3}) . \sin 3 x = 1$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{2} [\cos (4 x + \frac{π}{3}) - \cos (2 x - \frac{π}{3})] = 1$

$\Leftrightarrow \cos (4 x + \frac{π}{3}) - \cos (2 x - \frac{π}{3}) = - 2$

Do $- 1 \leq \cos (4 x + \frac{π}{3}), \cos (2 x - \frac{π}{3}) \leq 1$ nên:

$\{\begin{matrix} \cos (4 x + \frac{π}{3}) = - 1 \\ \cos (2 x - \frac{π}{3}) = 1 \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 4 x + \frac{π}{3} = π + k 2 π \\ 2 x - \frac{π}{3} = k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} 4 x = \frac{2 π}{3} + k 2 π \\ 2 x = \frac{π}{3} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{2} \\ x = \frac{π}{6} + k π \end{matrix} (k \in Z)$

$\Rightarrow x = \frac{π}{6} + k π$

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là $x = \frac{π}{6} + k π$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 23:

Giải phương trình $1 + \sin x + \cos 3 x = \cos x + \sin 2 x + \cos 2 x$

A. $x = k π; x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3}, x = \frac{π}{12} + k π, x = \frac{5 π}{7} + k π$

B. $x = k 2 π; x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}, x = - \frac{π}{6} + k 2 π, x = \frac{7 π}{6} + k 2 π$

C. $x = k π; x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}, x = - \frac{π}{12} + k π, x = \frac{5 π}{12} + k π$

D. $x = k 2 π; x = \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3}, x = \frac{π}{12} + k π, x = \frac{7 π}{12} + k π$

Xem đáp án

1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x

⇔ (1 − cos2x) + (sinx − sin2x) + (cos3x − cosx) = 0

⇔2sin ²x + (sinx − sin2x) − 2sin2xsinx = 0

⇔ 2sinx(sinx − sin2x) + (sinx − sin2x) = 0

⇔ (sinx − sin2x)(2sinx + 1) = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \sin 2 x = \sin x \\ \sin x = - \frac{1}{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 2 x = x + k 2 π \\ 2 x = π - x + k 2 π \\ x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3} \\ x = - \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{7 π}{6} + k 2 π \end{matrix}$

Vậy nghiệm của phương trình là:

$x = k 2 π; x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}, x = - \frac{π}{6} + k 2 π, x = \frac{7 π}{6} + k 2 π$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 24:

Giải phương trình

\cos x + \cos 3 x + 2 \cos 5 x = 0

A. $x = \frac{π}{2} + k π, x = \pm \frac{1}{5} \arccos \frac{1 + \sqrt{17}}{8} + k π, x = \pm \frac{1}{5} \arccos \frac{1 - \sqrt{17}}{8} + k π$

B. $x = \pm \frac{π}{6} + k π$

C. $x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1 + \sqrt{15}}{7} + k π, x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1 - \sqrt{15}}{7} + k π$

D. $x = \frac{π}{2} + k π, x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1 + \sqrt{17}}{8} + k π, x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1 - \sqrt{17}}{8} + k π$

Xem đáp án

cosx + cos3x + 2cos5x = 0

⇔ cosx + cos3x + cos5x + cos5x = 0

⇔ (cosx + cos5x) + (cos3x + cos5x) = 0

⇔ 2cos3xcos2x + 2cos4xcosx = 0
⇔ 2(4cos³ x − 3cosx)cos2x + 2cos4xcosx = 0

⇔2cosx(4cos² x − 3)cos2x + 2cos4xcosx = 0

⇔ 2cosx[(4cos² x − 3)cos2x + cos4x] = 0

⇔ 2cosx[[2(1 + cos2x) − 3]cos2x + 2cos² 2x − 1] = 0

⇔ 2cosx[(2cos2x − 1)cos2x + 2cos² 2x − 1] = 0

⇔ 2cosx[4cos² 2x − cos2x − 1] = 0

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \cos x = 0 \\ \cos 2 x = \frac{1 + \sqrt{17}}{8} \\ \cos 2 x = \frac{1 - \sqrt{17}}{8} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{2} + k π \\ 2 x = \pm \arccos \frac{1 + \sqrt{17}}{8} + k 2 π \\ 2 x = \pm \arccos \frac{1 - \sqrt{17}}{8} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{2} + k π \\ x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1 + \sqrt{17}}{8} + k π \\ x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1 - \sqrt{17}}{8} + k π \end{matrix}$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = \frac{π}{2} + k π, x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1 + \sqrt{17}}{8} + k π, x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1 - \sqrt{17}}{8} + k π$

Đáp án cần chọn là: D

Câu 25:

Giải phương trình

\sin 3 x - \sin x + \sin 2 x = 0

A. $x = k π, x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}$

B. $x = \pm \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}$

C. $x = \frac{π}{2} + k π, x = - \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}$

D. $x = 2 k π, x = \frac{π}{2} + \frac{k π}{3}$

Xem đáp án

$\sin 3 x - \sin x + \sin 2 x = 0$

$\Leftrightarrow 2 c o s 2 x \sin x + 2 \sin x \cos x = 0$

$\Leftrightarrow 2 \sin x (c o s 2 x + \cos x) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} \sin x = 0 \\ c o s 2 x = - \cos x = \cos (π - x) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = k π \\ 2 x = π - x + k 2 π \\ 2 x = x - π + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = k π \\ x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3} \\ x = - π + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = k π \\ x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3} \end{matrix} (k \in Z)$

Vậy nghiệm của phương trình là: $x = \frac{π}{3} + \frac{k 2 π}{3}$

Đáp án cần chọn là: A

Câu 26:

Có bao nhiêu giá trị m nguyên để phương trình: $\sin^{2} x - m \sin x \cos x - 3 \cos^{2} x = 2 m$ có nghiệm?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Trường hợp 1: $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

Khi đó $\sin^{2} x = 1$

Thay vào phương trình ta có:

1 − m.0 − 3.0 = 2m

⇔ 2m = 1

$\Leftrightarrow m = \frac{1}{2} \notin Z$

⇒ loại

Trường hợp 2: $\cos x \neq 0$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{π}{2} + k π (k \in Z)$

Chia cả 2 vế của phương trình cho $\cos^{2} x$ ta được:

$\frac{s i n^{2} x}{\cos^{2} x} - m \frac{\sin x}{\cos x} - 3 = \frac{2 m}{\cos^{2} x}$

$\Leftrightarrow \tan^{2} x - m \tan x - 3 = 2 m (1 + \tan^{2} x)$

$\Leftrightarrow (2 m - 1) \tan^{2} x + m \tan x + 2 m + 3 = 0$

Đặt tanx = t khi đó phương trình có dạng:

$(2 m - 1) t^{2} + m t + 2 m + 3 = 0$

$m = \frac{1}{2} \notin Z \Rightarrow$ Loại

$m \neq \frac{1}{2}$ ta có:

$Δ = m^{2} - 4 (2 m - 1) (2 m + 3)$

$= m^{2} - 16 m^{2} - 16 m + 12$

$= - 15 m^{2} - 16 m + 12$

Để phương trình có nghiệm thì: $Δ \geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{- 8 - 2 \sqrt{61}}{15} \leq m \leq \frac{- 8 + 2 \sqrt{61}}{15}$

Mà $m \in Z \Rightarrow \{\begin{matrix} m = - 1 \\ m = 0 \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 27:

Các giá trị nguyên dương nhỏ hơn 5 của m để phương trình $\tan x + \cot x = m$ có nghiệm $x \in (0; \frac{π}{2})$ có tổng là:

A. 9

B. 3

C. 6

D. 7

Xem đáp án

Với $x \in (0; \frac{π}{2})$ ta có:

$\{\begin{matrix} \sin x > 0 \\ \cos x > 0 \end{matrix} \Rightarrow \{\begin{matrix} \tan x > 0 \\ \cot x > 0 \end{matrix}$

Ta có:

$\tan x + \cot x = \tan x + \frac{1}{\tan x} \geq 2 \sqrt{\tan x . \frac{1}{\tan x}} = 2$ (BĐT Cauchy)

Phương trình có nghiệm ⇔ m ≥ 2

Kết hợp điều kiện ta có: $\{\begin{matrix} 2 \leq m < 5 \\ m \in Z^{+} \end{matrix} \Rightarrow m \in (2; 3; 4)$

Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn là 2 + 3 + 4 = 9

Đáp án cần chọn là: A

Câu 28:

Với giá trị nào của m thì phương trình $(1 - m) \tan^{2} x - \frac{2}{\cos x} + 1 + 3 m = 0$ có nhiều hơn 1 nghiệm trên $(0; \frac{π}{2})$ ?

A. $m \neq \frac{1}{2}$

B. $m = \frac{1}{2}$

C. $\{\begin{matrix} \frac{1}{3} < m < 1 \\ m \neq \frac{1}{2} \end{matrix}$

D. $\frac{1}{3} < m < 1$

Xem đáp án

$(1 - m) \tan^{2} x - \frac{2}{\cos x} + 1 + 3 m = 0$

$\Leftrightarrow (1 - m) \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} - \frac{2}{\cos x} + 1 + 3 m = 0$

$\Leftrightarrow (1 - m) \sin^{2} x - 2 \cos x + (1 + 3 m) \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow (1 - m) (1 - \cos^{2} x) - 2 \cos x + (1 + 3 m) \cos^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow 4 m \cos^{2} x - 2 \cos x + 1 - m = 0$

Đặt t = cos x

Vì $(0; \frac{π}{2}) \Rightarrow t \in (0; 1)$ khi đó phương trình trở thành:

$4 m t^{2} - 2 t + 1 - m = 0$ (1)

$\Leftrightarrow m (4 t^{2} - 1) - (2 t - 1) = 0$

$\Leftrightarrow m (2 t + 1) (2 t - 1) - (2 t - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (2 t - 1) (2 m t + m - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} t = \frac{1}{2} \in (0; 1) \\ 2 m t = 1 - m (2) \end{matrix}$

Để phương trình ban đầu có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc $(0; \frac{π}{2})$ thì phương trình (1) có nhiều hơn 1 nghiệm thuộc (0; 1). Khi đó phương trình (2) có nghiệm thuộc $(0; 1)$ \ $\{\frac{1}{2}\}$

Khi m = 0 ta có 0t = 1 (vô nghiệm)

Khi $m \neq 0$ thì $2 \Leftrightarrow t = \frac{1 - m}{2 m}$

Để phương trình (2) có nghiệm thuộc $(0; 1)$ \ $\{\frac{1}{2}\}$ thì:

$\{\begin{matrix} m \neq 0 \\ 0 < \frac{1 - m}{2 m} < 1 \\ \frac{1 - m}{2 m} \neq \frac{1}{2} \end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ \frac{1 - m}{2 m} > 0 \\ \frac{1 - m}{2 m} < 1 \\ 2 (1 - m) \neq 2 m \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ \frac{1 - m}{2 m} > 0 \\ \frac{1 - 3 m}{2 m} < 0 \\ 4 m \neq 2 \end{matrix} \Leftrightarrow \Leftrightarrow \{\begin{matrix} m \neq 0 \\ 0 < m < 1 \\ [\begin{matrix} m < 0 \\ m > \frac{1}{3} \end{matrix} \\ m \neq \frac{1}{2} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} \frac{1}{3} < m < 1 \\ m \neq \frac{1}{2} \end{matrix}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu 29:

Giải phương trình $\cos 2 x + \cos 4 x + \cos 6 x = \cos x \cos 2 x \cos 3 x + 2$

A. $x = k π (k \in Z)$

B. $x = \frac{2 π}{3} + 2 k π (k \in Z)$

C. $x = \frac{π}{3} + 2 k π (k \in Z)$

D. $x = \frac{k π}{3} (k \in Z)$

Xem đáp án

$\cos 2 x + \cos 4 x + \cos 6 x = \cos x \cos 2 x \cos 3 x + 2$

$\Leftrightarrow 2 \cos 4 x \cos 2 x + \cos 4 x = \frac{1}{2} \cos 2 x (\cos 4 x + \cos 2 x) + 2$

$\Leftrightarrow 2 \cos 4 x \cos 2 x + \cos 4 x = \frac{1}{2} \cos 2 x \cos 4 x + \frac{1}{2} \cos^{2} 2 x + 2$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2} \cos 4 x \cos 2 x + \cos 4 x = \frac{1}{2} \cos^{2} 2 x + 2$

$\Leftrightarrow 3 \cos 4 x \cos 2 x + 2 \cos 4 x = \cos^{2} 2 x + 4$

$\Leftrightarrow 3 (2 \cos^{2} 2 x - 1) \cos 2 x + 2 (2 \cos^{2} 2 x - 1) = \cos^{2} 2 x + 4$

$\Leftrightarrow 6 \cos^{3} 2 x - 3 \cos 2 x + 4 \cos^{2} 2 x - 2 = \cos^{2} 2 x + 4$

$\Leftrightarrow 6 \cos^{3} 2 x + 3 \cos^{2} 2 x - 3 \cos 2 x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow 2 \cos^{3} 2 x + \cos^{2} 2 x - \cos 2 x - 2 = 0$

$\Leftrightarrow 2 (\cos^{3} 2 x - 1) + \cos 2 x (\cos 2 x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow 2 (\cos 2 x - 1) (\cos^{2} 2 x + \cos 2 x + 1) + \cos 2 x (\cos 2 x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow (\cos 2 x - 1) (2 \cos^{2} 2 x + 2 \cos 2 x + 2 + \cos 2 x) = 0$

$\Leftrightarrow (\cos 2 x - 1) (2 \cos^{2} 2 x + 3 \cos 2 x + 2) = 0$

$\Leftrightarrow \cos 2 x = 1$

$\Leftrightarrow 2 x = k 2 π$

$\Leftrightarrow x = k π (k \in z)$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x = kπ (k ∈ Z).

Đáp án cần chọn là: A

Câu 30:

Giải phương trình

4 \sin x \sin (x + \frac{π}{3}) \sin (x + \frac{2 π}{3}) + \cos 3 x = 1

A. Vô nghiệm

B. $x = \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3} (k \in Z)$ hoặc $x = \frac{k 2 π}{3} (k \in Z)$

C. $x = \frac{π}{6} + k 2 π (k \in Z)$

D. $x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{3} (k \in Z)$

Xem đáp án

$4 \sin x \sin (x + \frac{π}{3}) \sin (x + \frac{2 π}{3}) + \cos 3 x = 1$

$\Leftrightarrow 4 \sin x . (- \frac{1}{2}) [\cos (2 x + π) - \cos (- \frac{π}{3})] + \cos 3 x = 1$

$\Leftrightarrow - 2 \sin x (- \cos 2 x - \frac{1}{2}) + \cos 3 x = 1$

⇔ 2sinxcos2x + sinx + cos3x = 1

⇔ sin3x – sinx + sinx + cos3x = 1

⇔ sin3x + cos3x = 1

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \sin 3 x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 3 x = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow \sin (3 x + \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 3 x + \frac{π}{4} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ 3 x + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{k 2 π}{3} \\ x = \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3} \end{matrix} (k \in Z)$

Vậy phương trình có nghiệm là:

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{k 2 π}{3} \\ x = \frac{π}{6} + \frac{k 2 π}{3} \end{matrix} (k \in Z)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 31:

Giải phương trình $\cos 3 x \tan 5 x = \sin 7 x$

A. $x = \frac{n π}{2}; x = \frac{π}{20} + \frac{k π}{13} (k, n \in Z)$

B. $x = n π; x = \frac{π}{20} + \frac{k π}{10} (k, n \in Z)$

C. $x = n π; x = \frac{3 π}{5} + \frac{2 k π}{7} (k, n \in Z)$

D. $x = n π; x = \frac{3 π}{5} + \frac{7 k π}{13} (k, n \in Z)$

Xem đáp án

ĐKXĐ: $\cos 5 x \neq 0$

$\Leftrightarrow 5 x \neq \frac{π}{2} + m π$

$\Leftrightarrow x \neq \frac{π}{10} + \frac{m π}{5} (m \in Z)$

$\cos 3 x \tan 5 x = \sin 7 x$

$\Leftrightarrow \cos 3 x \sin 5 x = \sin 7 x \cos 5 x$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} (\sin 8 x + \sin 2 x) = \frac{1}{2} (\sin 12 x + \sin 2 x)$

$\Leftrightarrow \sin 8 x + \sin 2 x = \sin 12 x + \sin 2 x$

$\Leftrightarrow \sin 12 x = \sin 8 x$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 12 x = 8 x + k 2 π \\ 12 x = π - 8 x + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{k π}{2} \\ x = \frac{π}{20} + \frac{k π}{10} \end{matrix} (k \in Z)$

Đối chiếu điều kiện ta có:

$\frac{k π}{2} \neq \frac{π}{10} + \frac{m π}{5} (k, m \in Z)$

$\Leftrightarrow 5 k \neq 1 + 2 m$

$\Leftrightarrow k \neq \frac{1 + 2 m}{5}$

Do kϵZ nên: $k = \frac{1 + 2 m}{5} \Leftrightarrow \frac{1 + 2 m}{5}$ là số nguyên.

Mà 1 + 2m luôn lẻ nên $\frac{1 + 2 m}{5}$ không chia hết cho 2 với mọi m.

Do đó, nếu $k \neq \frac{1 + 2 m}{5}$ thì k phải là số nguyên chẵn.

⇒k chẵn, đặt k = 2n, khi đó ta có $x = \frac{2 n π}{2} = n π (n \in Z)$

$\frac{π}{20} + \frac{k π}{10} \neq \frac{π}{10} + \frac{m π}{5} (k, m \in Z)$

$\Leftrightarrow 1 + 2 k \neq 2 + 4 m$

Vì 1 + 2k lẻ, 2 + 4m chẵn nên 1 + 2k ≠ 2 + 4m luôn đúng với mọi k, m ∈ Z.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

$x = n π; x = \frac{π}{20} + \frac{k π}{10} (k, n \in Z)$

Đáp án cần chọn là: B

Câu 32:

Số nghiệm của phương trình

\sin 5 x + \sqrt{3} \cos 5 x = 2 \sin 7 x

trên khoảng

(0; \frac{π}{2})

là:

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Xem đáp án

Phương trình:

$\Leftrightarrow \frac{1}{2} \sin 5 x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 5 x = \sin 7 x$

$\Leftrightarrow \sin (5 x + \frac{π}{3}) = \sin 7 x$

$\Leftrightarrow \sin 7 x = \sin (5 x + \frac{π}{3})$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} 7 x = 5 x + \frac{π}{3} + k 2 π \\ 7 x = π - (5 x + \frac{π}{3}) + k 2 π \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{π}{6} + k π \\ x = \frac{π}{18} + \frac{k π}{6} \end{matrix} (k \in Z)$

Xét khoảng $(0; \frac{π}{2})$ :

+) $0 < \frac{π}{6} + k π < \frac{π}{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{6} < k < \frac{1}{3}$

$\overset{k \in Z}{\to} k = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{6}$

+) $0 < \frac{π}{18} + k \frac{π}{6} < \frac{π}{2}$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{3} < k < \frac{8}{3}$

$\overset{k \in Z}{\to} [\begin{matrix} k = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{18} \\ k = 1 \Rightarrow x = \frac{2 π}{9} \\ k = 2 \Rightarrow x = \frac{7 π}{18} \end{matrix}$

Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án cần chọn là: D

Câu 33:

Gọi m, M lần lượt là GTNN và GTLN của hàm số $y = \frac{\sin x + 3}{\sin x + \cos x + 2}$ . Khi đó giá trị của biểu thức m + M bằng

A. $\frac{24}{5}$

B. $\frac{28}{5}$

C. 5

D. $\frac{25}{8}$

Xem đáp án

Ta có: $y = \frac{\sin x + 3}{\sin x + \cos x + 2}$

⇔ y(sinx + cosx + 2) = sinx + 3

⇔y.cosx + (y − 1).sinx = 3 − 2y
Phương trình trên có nghiệm

⇔ y²+ (y − 1)²≥ (3 − 2y)²

⇔ 2y²− 2y + 1 ≥ 9 − 12y + 4y²

⇔ 2y²− 10y + 8 ≤ 0

⇔ 1 ≤ y ≤ 4

=> Min y = 1, Max y = 4

Đáp án cần chọn là: C

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Phương trình lượng giác thường gặp

Phương trình lượng giác thường gặp

Danh sách câu hỏi

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương