50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 2

Câu 1:

Tập nghiệm của bất phương trình $(2^{x^{2} - 4} - 1) . \ln x^{2} < 0$ là

A. $(- 2; - 1) \cup (1; 2)$

B. $\{1; 2\}$

C. $(1; 2)$

D. $[1; 2]$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$(2^{x^{2} - 4} - 1) . \ln x^{2} < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} 2^{x^{2} - 4} - 1 > 0 \\ \ln x^{2} < 0 \end{cases} \\ \{\begin{cases} 2^{x^{2} - 4} - 1 < 0 \\ \ln x^{2} > 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \{\begin{cases} x^{2} - 4 > 0 \\ x^{2} < 1 \end{cases} \\ \{\begin{cases} x^{2} - 4 < 0 \\ x^{2} - 1 > 0 \end{cases} \end{array} \Leftrightarrow x \in (- 2; - 1) \cup (1; 2)$

Câu 2:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo vecto $\vec{v}$ biến điểm $A (3; - 1)$ thành điểm $A' (1; 4)$ Tìm tọa độ của vecto ?

A. $\vec{v} = (- 4; 3)$

B. $\vec{v} = (4; 3)$

C. $\vec{v} = (- 2; 5)$

D. $\vec{v} = (5; - 2)$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$T_{\vec{v}} (A) = A' \Rightarrow \vec{A A'} = \vec{v} \to \vec{v} = (- 2; 5)$

Câu 3:

Đồ thị của hàm số $y = \frac{(2 m + 1) x + 3}{x + 1}$ có đường tiệm cận đi qua điểm $A = (- 2; 7)$ khi và chỉ khi

A. $m = - 3$

B. $m = - 1$

C. $m = 3$

D. $m = 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số suy biến $\Leftrightarrow 2 m + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 1$

Với $m \neq 1$ thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận là $x = - 1$ và $y = 2 m + 1$

Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đi qua điểm $A (- 2; 7)$ khi $2 m + 1 = 7 \Leftrightarrow m = 3$

Câu 4:

Với giá trị nào của góc $φ$ sau đây thì phép quay $Q_{(O; φ)}$ biến hình vuông ABCD tâm O thành chính nó?

A. $φ = \frac{π}{2}$

B. $φ = \frac{3 π}{4}$

C. $φ = \frac{2 π}{3}$

D. $φ = \frac{π}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phép quay tâm Q với góc quay $φ = \frac{π}{2}$ biến hình vuông $A B C D$ thành chính nó

Câu 5:

Điều kiện cần và đủ của m để đồ thị hàm số $y = m x^{4} + (m + 1) x^{2} + 1$ có đúng một điểu cực tiểu là

A. $- 1 < m < 0$

B. $m \geq 0$

C. $m \in [- 1; + \infty) \ \{0\}$

D. $m > - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Với $m = 0 \Rightarrow y = x^{2} + 1$ hàm số có một cực trị là $x = 0$ và điểm đó là cực tiểu

Với $m \neq 0$ ta có

$y' = 4 m x^{3} + 2 (m + 1) x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = \frac{- m - 1}{2 m} \end{array}$

Để hàm số có một cực trị và đó là cực tiểu thì $\{\begin{cases} m > 0 \\ \frac{- m - 1}{2 m} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m > 0$

Do đó $m \geq 0$

Câu 6:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log (x^{2} + 25) > \log (10 x)$ là

A. $ℝ \ \{5\}$

B. $ℝ$

C. $(0; + \infty)$

D. $(0; 5) \cup (5; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

$\log (x^{2} + 25) > \log (10 x) \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + 25 > 10 x \\ 10 x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} {(x - 5)}^{2} > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 5 \end{cases}$

Câu 7:

Cho hình nón có chiều cao bằng 3cm, góc giữa trục và đường sinh bằng $60 ° .$ Thể tích khối nón bằng:

A. $9 π {cm}^{3}$

B. $3 π {cm}^{3}$

C. $18 π {cm}^{3}$

D. $27 π {cm}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Dữ kiện bài toán được biểu diễn như hình vẽ

Khi đó $O A = h = 3; r_{d} = O B = O A \tan 60 ° = 3 \sqrt{3}$

Khi đó $V_{(N)} = \frac{1}{3} S_{d} . h = \frac{1}{3} π R^{2} . h = \frac{1}{3} π .27.3 = 27 π$

Câu 8:

Dãy số nào sau đây là dãy số tăng?

A. $u_{n} = \frac{2 n + 3}{2 n + 1}$

B. $u_{n} = - n$

C. $u_{n} = \sqrt{n}$

D. $u_{n} = \frac{1}{2^{n}}$

Xem đáp án

Đáp án C

Dãy số tăng là dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn tính chất $u_{n + 1} \geq u_{n}$

Thử với $n = 2 \to$ Với $u_{n} = \sqrt{n} \Rightarrow \{\begin{cases} u_{2} = \sqrt{2} \\ u_{3} = \sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow u_{3} > u_{2}$ . Vậy $u_{n} = \sqrt{n}$ là dãy số tăng

Câu 9:

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC, BCD là các tam giác đều cạnh a và nằm trong các mặt phẳng vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD là:

A. $\frac{3 a^{3}}{8}$

B. $\frac{a^{3}}{4}$

C. $\frac{a^{3}}{8}$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có: $A H ⊥ B C$

Mặt khác $(A B C) ⊥ (B C D) \Rightarrow A H ⊥ (B C D)$

Lại có $A H = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow V = \frac{1}{3} A H . S_{B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3}}{8}$

Câu 10:

Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Diện tích mặt cầu đi qua các đỉnh của hình lập phương bằng:

A. $6 π$

B. $3 π$

C. $π$

D. $2 π$

Xem đáp án

Đáp án B

Bán kính của mặt cầu là

$R = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow S = 4 π R^{2} = 4 π . \frac{3}{4} = 3 π$

Câu 11:

Trong một hộp có 9 quả cầu đồng chất và cùng kích thước được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu. Tính xác suất của biến cố A: “Lấy được quả cầu được đánh số là chẵn”.

A. $P (A) = \frac{5}{4}$

B. $P (A) = \frac{4}{9}$

C. $P (A) = \frac{4}{5}$

D. $P (A) = \frac{5}{9}$

Xem đáp án

Đáp án B

Lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong 9 quả cầu có $C_{9}^{1}$ cách $\Rightarrow n (Ω) = 9$

Gọi A là biến cố “ lấy được quả cầu được đánh số là chẳn”

Trong 9 quả cầu đánh số, có các số chẵn là $2; 4; 6; 8$ suy ra $n (A) = 4.$ Vậy $P (A) = \frac{4}{9}$

Câu 12:

Tổng các nghiệm của phương trình $\log_{2}^{2} x + 5 \log_{\frac{1}{2}} x + 6 = 0$ là:

A. $\frac{3}{8}$

B. 10

C. 5

D. 12

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện $x > 0$

$P T \Leftrightarrow \log_{2}^{2} x - 5 \log_{2} x + 6 = 0 \Leftrightarrow (\log_{2} x - 2) (\log_{2} x - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \log_{2} x = 2 \\ \log_{2} x = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 4 \\ x = 8 \end{array}$

Tổng các nghiệm là $4 + 8 = 12$

Câu 13:

Tìm tập xác định của hàm số $y = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x}$

A. $D = ℝ \ \{\frac{π}{4} + k π, k \in ℤ\}$

B. $D = ℝ \ \{\frac{π}{4} + k 2 π, k \in ℤ\}$

C. $D = ℝ \ \{- \frac{π}{4} + k π, k \in ℤ\}$

D. $D = ℝ \ \{- \frac{π}{4} - k 2 π, k \in ℤ\}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$\sin x - \cos x \neq 0 \Leftrightarrow \tan x \neq 1 \Leftrightarrow x \neq \frac{π}{4} + k π$

Câu 14:

Giá trị của biểu thức $\log_{a} (\frac{a^{2} \sqrt[3]{a^{2}} \sqrt[5]{a^{4}}}{\sqrt[15]{a^{7}}}) (0 < a \neq 1)$ bằng

A. 3

B. $\frac{12}{5}$

C. $\frac{9}{5}$

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

$\log_{a} (\frac{a^{2} \sqrt[3]{a^{2}} \sqrt[5]{a^{4}}}{\sqrt[15]{a^{7}}}) = \log_{a} (\frac{a^{2} . a^{\frac{2}{3}} . a^{\frac{4}{5}}}{a^{\frac{7}{15}}}) = \log_{a} (\frac{a^{2 + \frac{2}{3} + \frac{4}{5}}}{a^{\frac{7}{15}}}) = \log_{a} (\frac{a^{\frac{52}{15}}}{a^{\frac{7}{15}}}) = \log_{a} (a^{\frac{52}{15} - \frac{7}{15}}) = \log_{a} (a^{3}) = 3$

Câu 15:

Cho hàm số $f (x) = x^{2} e^{- x} .$ Bất phương trình $f' (x) \geq 0$ có tập nghiệm là:

A. $[- 2; 2]$

B. $(- \infty; - 2] \cup [0; + \infty)$

C. $(- \infty; 0] \cup [2; + \infty)$

D. $[0; 2]$

Xem đáp án

Đáp án D

$f' (x) = \frac{2 x - x^{2}}{e^{x}} \geq 0 \Leftrightarrow 2 x - x^{2} \geq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 2$

Câu 16:

Trong khai triển ${(a + b)}^{n},$ số hạng tổng quát của khai triển là:

A. $C_{n}^{k + 1} a^{n - k + 1} b^{k + 1}$

B. $C_{n}^{k + 1} a^{k + 1} b^{n - k + 1}$

C. $C_{n}^{k + 1} a^{n - k} b^{n - k}$

D. $C_{n}^{k + 1} a^{n - k} b^{k}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} \Rightarrow$ số hạng tổng quát là $C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$

Câu 17:

Phương trình $\cos^{2} x - 4 \cos x + 3 = 0$ có nghiệm là:

A. $x = k 2 π$

B. $x = \frac{π}{2} + k 2 π$

C. $x = π + k 2 π$

D. $[\begin{array}{l} x + k 2 π \\ x = \pm \arccos (3) + k 2 π \end{array}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình

$\Leftrightarrow (\cos x - 1) (\cos x - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 1 \\ \cos x = 3 (L) \end{array} \Leftrightarrow x = k 2 π$

Câu 18:

Hai người độc lập nhau ném bóng vào rổ. Mỗi người ném vào rổ của mình một quả bóng. Biết rằng xác suất ném bóng trúng vào rổ của từng người tương ứng là $\frac{1}{5}$ và $\frac{2}{7}$ . Gọi A là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng trúng vào rổ”. Khi đó, xác suất của biến cố A là bao nhiêu?

A. $P (A) = \frac{2}{35}$

B. $P (A) = \frac{1}{25}$

C. $P (A) = \frac{4}{49}$

D. $P (A) = \frac{12}{35}$

Xem đáp án

Đáp án A

Xác suất cần tính là $P (A) = \frac{1}{5} . \frac{2}{7} = \frac{2}{35}$

Câu 19:

Trong các khẳng định sau về hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ . Khẳng định nào là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$

B. Hàm số nghịch biến trên $ℝ \ \{1\}$

C. Hàm số nghịch biến trên $ℝ$

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án D

Tập xác định $ℝ \ \{1\}$ . Ta có $y' = - \frac{3}{{(x - 1)}^{2}} < 0$ với mọi $x \in R \ \{1\}$

Câu 20:

Hệ số của $x^{7}$ trong khai triển biểu thức ${(x - 2)}^{10}$ là:

A. 15360

B. 960

C. $- 960$

D. $- 15360$

Xem đáp án

Đáp án C

Xét khai triển ${(x - 2)}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . x^{10 - k} {(- 2)}^{k} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} . {(- 2)}^{k} . x^{10 - k}$

Hệ số của $x^{7}$ ứng với

$x^{10 - k} = x^{7} \Leftrightarrow 10 - k = 7 \Leftrightarrow k = 3$ .

Vậy hệ số cần tìm là $C_{10}^{3} . {(- 2)}^{3} = - 960$

Câu 21:

Cho khối lăng trụ tứ giác đều có cạnh đáy bằng và diện tích toàn phần bằng $8 a^{2}$ .Thể tích khối lăng trụ đó là:

A. $\frac{3}{2} a^{3}$

B. $\frac{1}{2} a^{3}$

C. $\frac{7}{4} a^{3}$

D. $\frac{7}{12} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi chiều cao của lăng trụ là h.

Để ý rằng lăng trụ đều thì đã là lăng trị đứng nên ta có $S_{t p} = 2 a^{2} + 4 a h = 8 a^{2} \Leftrightarrow h = \frac{3 a}{2}$

Thể tích khối lăng trụ là $V = a^{2} h = \frac{3 a^{3}}{2}$

Câu 22:

Trong các mệnh đề được cho bởi các phương án A, B, C, D dưới đây, mệnh đề nào sai?

A. Nếu $|q| \leq 1$ thì $\lim q^{n} = 0$

B. Nếu $\lim u_{n} = a, \lim v_{n} = b$ thì $\lim (u_{n}, v_{n}) = a b$

C. Với k là số nguyên dương thì $\lim \frac{1}{n^{k}} = 0$

D. Nếu $\lim u_{n} = a > 0, \lim v_{n} = + \infty$ thì $\lim (u_{n}, v_{n}) = + \infty$

Xem đáp án

Đáp án B

Nếu $\lim u_{n} = a, \lim v_{n} = b$ thì $\lim (u_{n}, v_{n}) = a b$

Câu 23:

Nếu $a^{\frac{19}{5}} < a^{\frac{15}{7}}$ và $\log_{b} (\sqrt{2} + \sqrt{7}) > \log_{b} (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ thì:

A. $a > 1, 0 < b < 1$

B. $0 < a < 1, b > 1$

C. $0 < a < 1, 0 < b < 1$

D. $a > 1, b > 1$

Xem đáp án

Đáp án B

$a^{\frac{19}{5}} < a^{\frac{15}{7}}$ vì mũ không là số nguyên nên $a > 0$ . Mặt khác $\frac{19}{5} > \frac{15}{7}$ nên $a < 1 \Rightarrow 0 < a < 1$

$\log_{b} (\sqrt{2} + \sqrt{7}) > \log_{b} (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ để có nghĩa thì $1 \neq b > 0$ và $\sqrt{2} + \sqrt{7} > \sqrt{2} + \sqrt{5}$ nên $b > 1$

Câu 24:

Một tổ có 5 học sinh trong đó có bạn An. Có bao cách sắp xếp 5 bạn đó thành một hàng dọc sao cho bạn An luôn đứng đầu?

A. 120 cách xếp

B. 5 cách xếp

C. 24 cách xếp

D. 25 cách xếp

Xem đáp án

Đáp án C

Chọn An là người đứng đầu, 4 bạn còn lại xếp vào 4 vị trí còn lại nên có $4! = 24$ cách

Câu 25:

Cho hàm số $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3$ . Tính diện tích S tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số

A. $S = 2$

B. $S = \frac{1}{2}$

C. $S = 4$

D. $S = 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

$y' = 4 x^{3} - 4 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow A (0; 3) \\ x = \pm 1 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow B (1; 2), C (- 1; 2) \end{array}$

$\Rightarrow \vec{A B} = (- 2; 0) \Rightarrow \{\begin{cases} B C = 2 \\ B C : y = 2 \Rightarrow d (A; B C) = 1 \end{cases} \Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} B C . d (A; B C) = 1$

Câu 26:

Cho tứ diện ABCD và ba điểm M, N, P lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC, AD mà không trùng với các đỉnh của tứ diện. Thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng $(M N P)$ là

A. Một tam giác

B. Một ngũ giá

C. Một đoạn thẳng

D. Một tứ giác

Xem đáp án

Đáp án A

Hiển nhiên thiết diện của hình tứ diện $A B C D$ khi cắt bởi mặt phẳng $(M N P)$ là một tam giác

Câu 27:

Trong khoảng $(0; \frac{π}{2})$ phương trình $\sin^{2} 4 x + 3 \sin 4 x \cos 4 x - 4 \cos^{2} 4 x = 0$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

PT

$\Leftrightarrow (\sin 4 x - \cos 4 x) (\sin 4 x + 4 \cos 4 x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin 4 x = \cos 4 x \\ \sin 4 x = - 4 \cos 4 x \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan 4 x = 1 \\ \tan 4 x = - 4 \end{array}$

+) Với PT

$\tan 4 x = 1 \Rightarrow 4 x = \frac{π}{4} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{16} + \frac{k π}{4} \overset{0 < x < \frac{π}{2}}{\to} x = \frac{π}{16}; x = \frac{5 π}{16}$

+) Với PT $\tan 4 x = - 4 \Rightarrow$ PT có thêm 2 nghiệm nữa thuộc $(0; \frac{π}{2})$

Câu 28:

Hình lập phương thuộc loại khối đa diện đều nào ?

A. $\{5; 3\}$

B. $\{3; 4\}$

C. $\{4; 3\}$

D. $\{3; 5\}$

Xem đáp án

Đáp án C

Hình lập phương thuộc loại khối đa diện đều $\{4; 3\}$

Câu 29:

Cho dãy số $(u_{n})$ xác định bởi $\{\begin{cases} u_{1} = 1 \\ u_{n + 1} = 2 u_{n} + 5 \end{cases}$ . Tính số hạng thứ 2018 của dãy.

A. $u_{2018} = {3.2}^{2018} + 5$

B. $u_{2018} = {3.2}^{2017} + 5$

C. $u_{2018} = {3.2}^{2018} - 5$

D. $u_{2018} = {3.2}^{2017} - 5$

Xem đáp án

Đáp án C

Phân tích $v_{n + 1} + k = 2 (u_{n} + k) \Rightarrow k = 5 \Rightarrow u_{n + 1} + 5 = 2 (u_{n} + 5)$

Đặt

$v_{n} = u_{n} + 5 \Rightarrow v_{n + 1} = 2 v_{n} (C S N) \Rightarrow v_{n} = v_{1} q^{n - 1} = (u_{1} + 5) {.2}^{n - 1} = {6.2}^{n - 1}$

$\Rightarrow u_{n} + 5 = {6.2}^{n - 1} \Rightarrow u_{2018} = {6.2}^{2017} - 5$

Câu 30:

Tính giới hạn: $\lim [(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) .... (1 - \frac{1}{n^{2}})]$

A. 1

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{3}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

$\lim [(1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) ... (1 - \frac{1}{n^{2}})] = \lim [\frac{1.3}{2^{2}} . \frac{2.4}{3^{2}} . \frac{3.5}{4^{2}} ... \frac{(n - 1) (n + 1)}{n^{2}}] = \lim \frac{1}{2} . \frac{n + 1}{n} = \frac{1}{2}$

Câu 31:

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ cho điểm $A (2; 3; 0)$ . Tìm tọa độ điểm B trên trục hoành sao cho $A B = 5$

A. $D (0; 0; 0)$ hoặc $D (6; 0; 0)$

B. $D (- 2; 0; 0)$ hoặc $D (6; 0; 0)$

C. $D (0; 0; 0)$ hoặc $D (2; 0; 0)$

D. $D (2; 0; 0)$ hoặc $D (- 6; 0; 0)$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $B (t; 0; 0)$ ta có:

$A B^{2} = {(t - 2)}^{2} + 9 = 25 \Leftrightarrow {(t - 2)}^{2} = 16 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 6 \\ t = - 2 \end{array}$

Câu 32:

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 x^{3} - \frac{2}{x}, (x \neq 0)$

A. $\int f (x) d x = 12 x^{2} - \frac{2}{x^{2}} + C$

B. $\int f (x) d x = 12 x^{2} + \frac{2}{x^{2}} + C$

C. $\int f (x) d x = x^{4} - \frac{2}{x^{2}} + C$

D. $\int f (x) d x = x^{4} - 2 \ln |x| + C$

Xem đáp án

Đáp án D

$\int (4 x^{3} - \frac{2}{x}) d x = x^{4} - 2 \ln |x| + C$

Câu 33:

Cho hàm số $y = \frac{a x + b}{x + 1}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. $a < b < 0$

B. $b < 0 < a$

C. $0 < b < a$

D. $0 < a < b$

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng:

Đồ thị hàm số cắt trục $O y$ tại điểm có tung độ dương $\Rightarrow y (0) = b > 0$

Đồ thị hàm số có TCN nằm phía trên trục $O x \Rightarrow y = a > 0$

Hàm số đã cho là hàm số nghịch biến $\Rightarrow y' = \frac{a - b}{{(x + 1)}^{2}} < 0 \Leftrightarrow a < b$

Câu 34:

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ có cạnh bằng $2 a \sqrt{2} .$ Gọi S là tổng diện tích tất cả các mặt của bát diện có các đỉnh là tâm của các mặt của hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ Khi đó

A. $S = 4 a^{2} \sqrt{3}$

B. $S = 8 a^{2}$

C. $S = 16 a^{2} \sqrt{3}$

D. $S = 8 a^{2} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Cạnh của bát diện đều là $x = 2 a \to S = 8. \frac{{(2 a)}^{2} \sqrt{3}}{4} = 8 a^{2} \sqrt{3}$

Câu 35:

Cho dãy số $(a_{n})$ với $a_{n} = n - \sqrt{n^{2} - 1}, n \geq 1$ Tìm phát biểu sai:

A. $a_{n} = \frac{1}{n + \sqrt{n^{2} - 1}}, n \geq 1$

B. $(a_{n})$ là dãy số tăng

C. $(a_{n})$ bị chặn trên

D. $(a_{n})$ chặn dưới

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $f (n) = n - \sqrt{n^{2} - 1}$ với $n \geq 1$

$\Rightarrow f' (n) = 1 - \frac{n}{\sqrt{n^{2} - 1}} = \frac{\sqrt{n^{2} - 1} - n}{\sqrt{n^{2} - 1}} = \frac{\sqrt{n^{2} - 1} - \sqrt{n^{2}}}{\sqrt{n^{2} - 1}} < 0$

$\Rightarrow f (n)$ nghịch biến trên $[1; + \infty) \Rightarrow (a_{n})$ là dãy số giảm

Câu 36:

Cho ba số thực x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực dương $a (a \neq 1)$ thì $\log_{a} x, \log_{\sqrt{a}} y, \log_{\sqrt[3]{a}} z$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

Tính giá trị biểu thức $P = \frac{1959 x}{y} + \frac{2019 y}{z} + \frac{60 z}{x}$

A. $\frac{2019}{2}$

B. 60

C. 2019

D. 4038

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y^{2} = x z$ và

$\log_{a} x + \log_{\sqrt[3]{a}} = 2 \log_{\sqrt{2}} y \Leftrightarrow \log_{a} x + \log_{a} z^{3} = \log_{a} y^{4} \Rightarrow x z^{3} = y^{4} - x^{2} z^{2} \Rightarrow x = z \Rightarrow x = y = z$

Câu 37:

Tìm giá trị của tham số m để phương trình $(\sin x - 1) (\cos^{2} x - \cos x + m) = 0$ có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn $[0; 2 π]$

A. $0 \leq m < \frac{1}{4}$

B. $- \frac{1}{4} < m \leq 0$

C. $0 < m < \frac{1}{4}$

D. $- \frac{1}{4} < m < 0$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình

$(\sin x - 1) (\cos^{2} x - \cos x + m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 1 \\ m = \cos x - \cos^{2} x \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π (1) \\ m = \cos x - \cos^{2} x (2) \end{array}$

Vì $x \in [0; 2 π]$ nên

$0 \leq \frac{π}{2} + k 2 π \leq 2 π \Leftrightarrow - \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{3}{4} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{2}$

Để phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn $[0; 2 π] \Leftrightarrow (2)$ có 4 nghiệm phân biệt thuộc $[0; 2 π]$

Đặt $t = \cos x \in [- 1; 1]$ , khi đó $(2) \Leftrightarrow t^{2} - t + m = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $t_{1}, t_{2}$ thỏa mãn $- 1 < t_{1}; t_{2} < 1$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (t_{1} + 1) (t_{2} + 1) > 0 \\ (t_{1} - 1) (t_{2} - 1) > 0 \\ Δ = {(- 1)}^{2} - 4 m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} t_{2} + t_{1} + t_{2} + 1 > 0 \\ t_{1} t_{2} - (t_{1} + t_{2}) + 1 > 0 \\ - 4 m - 1 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{4}$

Vậy $m \in (0; \frac{1}{4})$

Câu 38:

Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50.000 đồng. Với giá bán này thì của hàng chỉ bán được khoảng 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán để của hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 30.000 đồng

A. 44.000 đ

B. 43.000 đ

C. 42.000 đ

D. 41.000 đ

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $5 x$ là số tiền cần giảm trên mỗi quả bưởi bán ra để đạt lợi nhuận lớn nhất

Khi đó, lợi nhuận thu được tính bằng công thức $f (x) = (50 - 5 x) (50 x + 40) - 30 (50 x + 40)$

Ta có

$f (x) = (20 - 5 x) (50 x + 40) = 50 (4 - x) (3 x + 4) = 50 (16 + 16 x - 5 x^{2}) \Rightarrow \max f (x) = f (\frac{16}{10})$

Vậy giá bán của mỗi quả bưởi là $50 - 5 x = 50 - 5. \frac{16}{10} = 42$ nghìn đồng

Câu 39:

Cho hình chóp $S . A B C D$ có $A S B = B S C = C S A = 60 °, S A = 2, S B = 3, S C = 6.$ Tính thể tích khối chóp $S . A B C$

A. $6 \sqrt{2} (d v t t)$

B. $18 \sqrt{2} (d v t t)$

C. $9 \sqrt{2} (d v t t)$

D. $3 \sqrt{2} (d v t t)$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $B', C'$ lần ượt là hai điểm thuộc SB, SC sao cho $S B' = S C' = 2$

Xét tứ diện $S . A B' C'$ có $\{\begin{cases} \overset{⏜}{A S B'} = \overset{⏜}{B' S C'} = \overset{⏜}{C' S A} = 60 ° \\ S A = S B' = S C' = 2 \end{cases} \Rightarrow S . A B' C'$ là tứ diện đều cạnh 2

Khi đó $V_{S . A B' C'} = \frac{S A^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{2^{3} \sqrt{2}}{12} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

mà $\frac{V_{S . A B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{S B'}{S B} . \frac{S C'}{S C} = \frac{2}{3} . \frac{2}{6} = \frac{2}{9}$ .

Vậy $V_{S . A B C} = 3 \sqrt{2}$

Câu 40:

Tìm m để hàm số $y = \frac{2 \cot x + 1}{\cot x + m}$ đồng biến trên $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2}) ?$

A. $m \in (- \infty; - 2)$

B. $m \in (- \infty; - 1] \cup [0; \frac{1}{2})$

C. $m \in (- 2; + \infty)$

D. $m \in (\frac{1}{2}; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số

$y = \frac{2 \cot x + 1}{\cot x + m} \overset{t = \cot x}{\to} y = \frac{2 t + 1}{t + m} \Rightarrow y_{t}^{'} = t' . \frac{2 m - 1}{{(t + m)}^{2}}$

Để hàm số đã cho đồng biến trên

$(\frac{π}{4}; \frac{π}{2}) \Leftrightarrow y_{t}^{'} > 0, \forall x \in (0; 1) \Leftrightarrow t' . \frac{2 m - 1}{{(t + m)}^{2}} > 0, \forall x \in (0; 1)$

Mà

$t' < 0, \forall x \in (0; 1) \Rightarrow \frac{2 m - 1}{{(t + m)}^{2}} < 0; \forall x \in (0; 1) \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 m - 1 < 0 \\ t = - m \notin (0; 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < \frac{1}{2} \\ [\begin{array}{l} - m \geq 1 \\ - m \leq 0 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m \leq - 1 \\ 0 \leq m < \frac{1}{2} \end{array}$

Câu 41:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4}, x > 2 \\ x^{2} + a x + 3 b, x < 2 \\ 2 a + b - 6, x = 2 \end{cases}$ liên tục tại $x = 2.$ Tính $I = a + b ?$

A. $I = \frac{19}{30}$

B. $I = - \frac{93}{16}$

C. $I = \frac{19}{32}$

D. $I = - \frac{173}{16}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

$\lim_{x \to 2^{+}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - \sqrt{x + 2}}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{(x - \sqrt{x + 2}) (x + \sqrt{x + 2})}{(x^{2} - 4) (x + \sqrt{x + 2})} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{(x - 2) (x + 1)}{(x^{2} - 4) (x + \sqrt{x + 2})}$

$= \lim_{x \to 2^{+}} \frac{x + 1}{(x + 2) (x + \sqrt{x + 2})} = \frac{3}{16}$

Và $\lim_{x \to 2^{-}} f (x) = f (2) = 2^{2} + 2 a + 3 b = 2 a + 3 b + 4$

Do đó $\{\begin{cases} 2 a + 3 b + 4 = \frac{3}{16} \\ 2 a + 3 b + 4 = 2 a + b - 6 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{179}{32} \\ b = - 5 \end{cases}$

Vậy $I = a + b = \frac{179}{32} - 5 = \frac{19}{32}$

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, $B C = 2 a, A B C = 60 ° .$ Gọi M là trung điểm BC. Biết $S A = S B = S M = \frac{a \sqrt{39}}{3} .$ Khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng $(A B C)$ là

A. 2a

B. 3a

C. 4a

D. a

Xem đáp án

Đáp án A

Tam giác ABM có $\{\begin{cases} A M = B M \\ \overset{⏜}{A B C} = 60 ° \end{cases} \Rightarrow Δ A B M$ đều cạnh a

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ A B M$

Mà $S A = S B = S M \Rightarrow H$ là hình chiếu của S trên $m p (A B M)$

Tam giác SAH vuông tại H, có $A H = \frac{a \sqrt{3}}{3}; S A = \frac{a \sqrt{39}}{3}$

Suy ra $S H = \sqrt{S A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{39}}{3})}^{2} - {(\frac{a \sqrt{3}}{3})}^{2}} = 2 a$

Vậy $d (S; (A B C) = S H = 2 a$

Câu 43:

Nhà sản xuất muốn tạo một cái chum đựng nước bằng cách cưa bỏ hai chỏm cầu của một hình cầu để tạo phần đáy và miệng như hình vẽ. Biết bán kính hình cầu là 50 cm, phần mặt cắt ở đáy và miệng bình cách đều tâm của hình câu một khoảng 30 cm (như hình vẽ). Tính thể tích nước của chum khi đầy (giả sử độ dày của chum không đáng kể và kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

A. 460 lít

B. 450 lít

C. 415 lít

D. 435 lít

Xem đáp án

Đáp án C

Thể tích của một chòm cầu là $V_{0} = π h^{2} (R - \frac{h}{3}) = π {.20}^{2} . (50 - \frac{20}{3}) = \frac{52000 π}{3}$

Thể tích khối cầu bán kính $R = 50$ là $V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {.50}^{3} = \frac{500000 π}{3}$

Suy ra thể tích chum nước là $\frac{V - 2 \times V_{0}}{10^{3}} = (\frac{500000}{3} - 2 \frac{52000}{3}) . \frac{π}{10^{3}} \approx 415$ lít

Câu 44:

Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\log_{\sqrt{2}} (x - 1) = \log_{2} (m x - 8)$ có hai nghiệm thực phân biệt là

A. 3

B. 4

C. 5

D. Vô số

Xem đáp án

Đáp án A

Điều kiện

$\{\begin{cases} x > 1 \\ m x > 8 \end{cases} . P T \Leftrightarrow \log_{2} {(x - 1)}^{2} = \log_{2} (m x - 8) \Leftrightarrow x^{2} - (2 + m) x + 9 = 0$

Để PT đã cho có 2 nghiệm thực phân biệt thì

$\{\begin{cases} Δ = {(2 + m)}^{2} - 36 = (m - 4) (m + 8) > 0 \\ x_{1} + x_{2} = m + 2 > 2 \\ (x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = x_{1} x_{2} - (x_{1} + x_{2}) + 1 = 8 - m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 4 < m < 8$

Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m thỏa đề bài

Câu 45:

Cho lăng trụ $A B C . A' B' C'$ có đáy $A B C$ là tam giác vuông cân tại $A, B C = 2 \sqrt{2} a .$ Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $(A B C)$ trùng với trung điểm O của BC. Khoảng cách từ O đến $A A'$ bằng $\frac{3 \sqrt{2} a}{\sqrt{11}}$ . Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho

A. $6 \sqrt{3} a^{3}$

B. $6 a^{3}$

C. $2 a^{3}$

D. $12 \sqrt{2} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là hình chiếu của O trên $A A' \Rightarrow O H = \frac{3 a \sqrt{22}}{11}$

Tam giác ABC vuông cân tại A, có $O A = \frac{B C}{2} = a \sqrt{2}$

Tam giác $(\sqrt{- \frac{m}{2}}; \frac{- m^{2} - 3}{2})$ vuông tại O, có $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A'^{2}} + \frac{1}{O A^{2}}$

$\Rightarrow \frac{1}{O A'^{2}} = \frac{1}{(\frac{3 a \sqrt{22}}{11})} - \frac{1}{{(a \sqrt{2})}^{2}} = \frac{1}{9 a^{2}} \Rightarrow O A' = 3 a$

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V_{A B C . A' B' C'} = O A' . S_{Δ A B C} = 3 a . \frac{1}{2} .2 a .2 a = 6 a^{3}$

Câu 46:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = 2 x^{4} + 2 m x^{2} - \frac{3 m}{2}$ có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị này cùng với gốc tọa độ O tạo thành bốn đỉnh của một tứ giác nội tiếp được. Tính tổng tất cả các phần tử của S

A. $2 - 2 \sqrt{3}$

B. $- 2 - 2 \sqrt{3}$

C. $- 1$

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 4 x (2 x^{2} + m)$ đổi dấu 3 lần $\Leftrightarrow m < 0$

Khi đó, gọi $A (0; - \frac{3 m}{2}), B (\sqrt{- \frac{m}{2}}; \frac{- m^{2} - 3 m}{2})$ và $C (- \sqrt{- \frac{m}{2}}; \frac{- m^{2} - 3 m}{2})$ là ba điểm cực trị

Vì $y_{A} > y_{B} = y_{C}$ nên yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ Tứ giác $A B O C$ nội tiếp $(I)$

Vì $\{\begin{cases} A B = A C \\ O B = O C \end{cases} \to O A$ là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Suy ra AO là đường kính của $(I) = \vec{O B} . \vec{A B} = 0 \Leftrightarrow \frac{m}{2} + \frac{m^{2}}{2} . \frac{m^{2} + 3}{2} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - 1 - \sqrt{3} \end{array}$

Vậy tổng các giá trị của tham số m là $- 2 - \sqrt{3}$

Câu 47:

Ông Bình đặt thợ làm một bể cá, nguyên liệu bằng kính trong suốt, không có nắp đậy dạng hình hộp chữ nhật có thể tích chứa được $220500 c m^{3}$ nước. Biết tỉ lệ giữa chiều cao và chiều rộng của bể bằng 3. Xác định diện tích đáy của bể cá để tiết kiệm được nguyên vật liệu nhất

A. $2220 c m^{2}$

B. $1880 c m^{2}$

C. $2100 c m^{2}$

D. $2200 c m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $a, b, c$ lần lượt là chiều trọng, chiều dài đáy và chiều cao của hình hộp chữ nhật

Theo bài ra, ta có $\frac{h}{a} = 3 \Leftrightarrow h = 3 a$ và thể tích

$V = a b c = 220500 \Rightarrow a^{2} b = 73500 \Leftrightarrow b = \frac{73500}{a^{2}}$

Diện tích cần để làm bể là

$S = a b + 2 b h = a . \frac{73500}{a^{2}} + 2 a .3 a + 2. \frac{73500}{a^{2}} .3 a$

$6 a^{2} + \frac{514500}{a} = 6 a^{2} + \frac{257250}{a} + \frac{257250}{a} \geq 3 \sqrt[3]{6 a^{2} + \frac{257250}{a} + \frac{257250}{a}} = 7350$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow 6 a^{2} = \frac{257250}{a} \Leftrightarrow a = 35 \to b = 60$ . Vậy $S = a . b = 2100 c m^{2}$

Câu 48:

Cho $a, b$ là các số thực và $f (x) = a \ln^{2017} (\sqrt{x^{2} + 1} + x) + b x \sin^{2018} x + 2.$ Biết $f (5^{\log_{c} 6}) = 6$ , tính giá trị của biểu thức $P = f (- 6^{\log_{c} 5})$ với $0 < c \neq 1$

A. $P = - 2$

B. $P = 6$

C. $P = 4$

D. $P = 2$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $5^{\log_{c} 6} = 6^{\log_{c} 5} \Leftrightarrow 5^{\log_{c} 6} + (- 6^{\log_{c} 5}) = 0$ . Mà

$f (- x) = a \ln^{2017} (\sqrt{x^{2} + 1} - x) - b x \sin^{2018} x + 2$

$a \ln^{2017} (\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x}) - b x \sin^{2018} x + 2 = - a \ln 2017 (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - b x \sin^{2018} x + 2$

$\Rightarrow f (x) + f (- x) = 4 \Rightarrow f (- 6^{\log_{c} 5}) + f (5^{\log_{c} 6}) = 4 \Rightarrow f (- 6^{\log_{c} 5}) = - 2$

Câu 49:

Cho hàm số \ $y = f (x)$ có đạo hàm trên $ℝ$ . Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y = f' (x)$ ( $y = f' (x)$ liên tục trên $ℝ$ ). Xét hàm số $g (x) = f (x^{2} - 2)$ Mệnh đề nào dưới đây sai ?

A. Hàm số $g (x)$ , nghịch biến trên $(- \infty; - 2)$

B. Hàm số $g (x)$ , đồng biến trên $(2; + \infty)$

C. Hàm số $g (x)$ , nghịch biến trên $(- 1; 0)$

D. Hàm số , nghịch biến trên $(0; 2)$

Xem đáp án

Đáp án C

Xét hàm số $g (x) = f (x^{2} - 2)$ trên $ℝ$ ,

có $g' (x) = {(x^{2} - 2)}^{'} . f' (x^{2} - 2) = 2 x . f' (x^{2} - 2)$

Phương trình

$g' (x) = 0 \Leftrightarrow x . f' (x^{2} - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ f' (x^{2} - 2) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - 2 = - 1 \\ x^{2} - 2 = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \\ x = \pm 2 \end{array}$

Với \ $x > 2 \Leftrightarrow x^{2} - 2 > 0$ mà $f' (x) > 0, \forall x \in (2; + \infty)$

suy ra $f' (x^{2} - 2) > 0, \forall x \in (2; + \infty)$

Bảng biến thiên

x	-∞ -2 -1 0 1 2 +∞
$f' (x^{2} - 2)$	+ 0 - 0 - 0 - 0 - 0 +
$g (x)$	- + + - - +

Câu 50:

Cho $a, b, c$ là các số thực thuộc đoạn $[1; 2]$ thỏa mãn $\log_{2}^{3} a + \log_{2}^{3} b + \log_{2}^{3} c \leq 1.$ Khi biểu thức $P = a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 (\log_{2} a^{a} + \log_{2} b^{b} + \log_{2} c^{c})$ đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng $a + b + c$ là:

A. 2

B. ${3.2}^{\frac{1}{\sqrt[3]{3}}}$

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C

Nhận xét, với $x \in [1; 2]$ thì $f (x) = x - \log_{2} x \leq 0$ . Thật vậy, xét $f' (x) = \frac{x \ln 2 - 1}{x \ln 2}$

$\to f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{\ln 2} \Rightarrow \max_{[1; 2]} f (x) = \max \{f (1), f (\frac{1}{\ln 2}), f (2)\} = 0$

Từ đây suy ra $x - 1 \leq \log_{2} x \Rightarrow \log_{2}^{3} x \geq {(x - 1)}^{3}$ với $[1; 2] \Rightarrow 1 \geq {(a - 1)}^{3} + {(b - 1)}^{3} + {(c - 1)}^{3}$

Mặt khác cũng có $x^{3} - 3 x \log_{2} x \leq x^{3} - 3 x (1 - x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x$ với $[1; 2]$

$\Rightarrow P - 3 \leq {(x - 1)}^{3} + {(y - 1)}^{3} + {(z - 1)}^{3} = 1 \Rightarrow P \leq 4$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 2

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan