50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 15 - hamchoi.vn

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 15

2641 lượt thi
50 câu hỏi
90 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $A (1; 2; 3), B (3; 4; 4) .$ Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $2 x + y + m z - 1 = 0$ bằng độ dài đoạn thẳng AB.

A. m = 2

B. m = -2

C. m = -3

C. $m = \pm 2$

Đáp án A

$\vec{A B} = (2; 2; 1) \Rightarrow A B = 3$

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(α) : 2 x + y + m z - 1 = 0$ bằng AB nên

$d (A; (α)) = \frac{|2 x_{A} + y_{A} + m z_{A} - 1|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + m^{2}}} = A B = 3 \Leftrightarrow \frac{|3 m + 3|}{\sqrt{m^{2} + 5}} = 3 \Leftrightarrow 3 |m + 1| = 3 \sqrt{m^{2} + 5} \Leftrightarrow {(m + 1)}^{2} = m^{2} + 5 \Leftrightarrow m = 2$

Câu 2:

Hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 4$ đạt cực tiểu tại những điểm nào?

A. $x = \pm \sqrt{2}, x = 0$

B. $x = \pm \sqrt{2}$

C. $x = \sqrt{2}, x = 0$

D. $x = 2$

Đáp án C

$\begin{array}{l} y' = 4 x^{3} - 8 x \\ y'' = 12 x^{2} - 8 \end{array} y' = 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 8 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{2} \end{array}$

Vẽ bảng biến thiên dễ dàng suy ra hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm \sqrt{2}$

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x + 4}$ với $x \neq - 4.$ Để hàm số $f (x)$ liên tục tại $x = - 4$ thì giá trị $f (- 4)$ là

A. 0

B. 3

C. 5

D. -5

Đáp án D

$f (- 4) = \lim_{x \to - 4} f (x) = \lim_{x \to - 4} \frac{x^{2} + 3 x - 4}{x + 4} = \lim_{x \to - 4} (x - 1) = - 5$

Câu 4:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có công sai $d, u_{6} = 6$ và $u_{12} = 18$ thì

A. $u_{1} = 4, d = - 2$

B. $u_{1} = 4, d = 2$

C. $u_{1} = - 4, d = 2$

D. $u_{1} = - 4, d = - 2$

Đáp án C

$\{\begin{cases} u_{12} = 18 = u_{1} + 11 d \\ u_{6} = 6 = u_{1} + 5 d \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} u_{1} = - 4 \\ d = 2 \end{cases}$

Câu 5:

Cho khối chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác vuông tại A, $S B ⊥ (A B C), A B = a, \hat{A C B} = 30 °,$ góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là $60 °$ . Tính thể tích V của khối chóp theo a.

A. $V = 3 a^{3}$

B. $V = a^{3}$

C. $V = 2 a^{3}$

D. $V = \frac{3 a^{3}}{2}$

Đáp án B

Ta có $A C = \frac{A B}{\tan \hat{A C B}} = a \sqrt{3}; B C = 2 a$

$\Rightarrow S_{A B C} = \frac{1}{2} A B . A C = \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}$

Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng $(A B C)$ là $60 °$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \hat{S C B} = 60 °; \\ S B = S C . \tan \hat{S C B} = 2 a \sqrt{3} \\ V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S B . S_{A B C} \\ = \frac{1}{2} 2 a \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2} = a^{3} \end{array}$

Câu 6:

Cho $\int_{a}^{b} f (x) d x = - 10; \int_{c}^{a} f (x) d x = - 5.$ Tính $\int_{c}^{b} f (x) d x$

A. 15

B. -15

C. -5

D. 5

Đáp án D

$\int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{c}^{a} f (x) d x + \int_{a}^{b} f (x) d x = (- 5) + 10 = 5$

Câu 7:

Cho $\log_{3} 5 = a, \log_{3} 6 = b, \log_{3} 22 = c .$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\log_{3} (\frac{270}{121}) = a + 3 b - 2 c$

B. $\log_{3} (\frac{270}{121}) = a + 3 b + 2 c$

C. $\log_{3} (\frac{270}{121}) = a - 3 b + 2 c$

D. $\log_{3} (\frac{270}{121}) = a - 3 b - 2 c$

Đáp án A

$\log_{3} (\frac{270}{121}) = \log_{3} \frac{5.6.9}{11^{2}} = \log_{3} \frac{5.6.36}{22^{2}} = \log_{3} 5 + 3 \log_{3} 6 - 2 \log_{3} 22 = a + 3 b - 2 c$

Câu 8:

Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} 3^{x} d x$

A. $I = \frac{2}{\ln 3}$

B. $I = \frac{1}{4}$

C. $I = 2$

D. $I = \frac{3}{\ln 3}$

Đáp án A

$I = \int_{0}^{1} 3^{x} d x = {\frac{3^{x}}{\ln 3}|}_{0}^{1} = \frac{2}{\ln 3}$

Câu 9:

Cho a và b là hai đường thẳng chéo nhau, biết $a \subset (P), b \subset (Q),$ và $(P) / / (Q) .$ Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (Q)

B. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng khoảng cách từ một điểm A tùy ý thuộc đường thẳng a đến mặt phẳng (Q)

C. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b không bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)

D. Khoảng cách giữa hai đường thẳng a và b bằng độ dài đoạn thẳng vuông góc chung của chúng

Đáp án C

Câu C sai vì chúng bằng nhau

Câu 10:

Cho tứ diện ABCD có $A B, A C, A D$ đôi một vuông góc với nhau, $A B = a, A C = b, A D = c .$ Tính thể tích V của khối tứ diện ABCD theo a, b, c

A. $V = \frac{a b c}{2}$

B. $V = \frac{a b c}{6}$

C. $V = \frac{a b c}{3}$

D. $V = a b c$

Đáp án B

$V_{A . B C D} = \frac{1}{3} A D . S_{A B C} = \frac{1}{6} A B . A C . A D = \frac{a b c}{6}$

Câu 11:

Ông Quang cho Ông Tèo vay 1 tỷ đồng với lãi suất hàng tháng là 0,5% theo hình thức tiền lãi hàng tháng được cộng vào tiền gốc cho tháng kế tiếp. Sau 2 năm, ông Tèo trả cho ông Quang cả gốc lẫn lãi. Hỏi số tiền ông Tèo cần trả là bao nhiêu đồng? (Lấy làm tròn đến hàng nghìn)

A. 3.225.100.000

B. 1.121.552.000

C. 1.127.160.000

D. 1.120.000.000

Đáp án C

Theo công thức lãi kép suy ra:

$T = A {(1 + r)}^{2} = 1. {(1 + 0, 5 %)}^{24} = 1.127.160.000 đ ồ n g$

Câu 12:

Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{3 x + 1}}{x^{2} - x}$

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Đáp án B

Tập xác định $D = ℝ \ \{0; 1\} .$

Xét tử thức bằng 0

$\Leftrightarrow 2 x + 1 = \sqrt{3 x + 1} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq - \frac{1}{2} \\ 4 x^{2} + x = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 0$

Do đó chỉ xét $\lim_{x \to 1^{+}} y = + \infty; \lim_{x \to 1^{-}} y = - \infty \to x = 1$ là tiệm cận đứng

Xét:

$\lim_{x \to \pm \infty} y = \lim_{x \to \pm \infty} [\frac{1}{x} . \frac{2 + \frac{1}{x} - \sqrt{\frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}}{1 - \frac{1}{x}}] = 0$

$\to y = 0$ là tiệm cận ngang

Câu 13:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật $S A ⊥ (A B C D), A B = 3 a, A D = 2 a, S B = 5 a .$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a

A. $V = 8 a^{2}$

B. $V = 24 a^{3}$

C. $V = 10 a^{3}$

D. $V = 8 a^{3}$

Đáp án D

Ta có $S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = 4 a$

Khi đó:

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} .4 a .6 a^{2} = 8 a^{3}$

Câu 14:

Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{\frac{x}{4 - x^{2}}},$ trục Ox và đường thẳng x = 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình H xung quanh trục Ox.

A. $V = \frac{π}{2} \ln \frac{4}{3}$

B. $V = \frac{1}{2} \ln \frac{4}{3}$

C. $V = \frac{π}{2} \ln \frac{3}{4}$

D. $V = π \ln \frac{4}{3}$

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt{\frac{x}{4 - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Khi đó:

$V = π \int_{0}^{1} \frac{x}{4 - x^{2}} d x = \frac{- π}{2} \int_{0}^{1} \frac{d (4 - x^{2})}{4 - x^{2}} = {\frac{- π}{2} \ln |4 - x^{2}||}_{0}^{1} = \frac{π}{2} \ln \frac{4}{3}$

Câu 15:

Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

B. $y = x^{2}$

C. $y = \log_{2} x$

D. $y = 2^{x}$

Đáp án D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có tập xác định là $ℝ$ và đồng biến trên $ℝ$

Do đó chỉ có đáp án D thỏa mãn

Câu 16:

Cho $\log_{a} x = 2; \log_{b} x = 3$ với a, b là các số thực lớn hơn 1. Tính $P = \log_{\frac{a}{b^{2}}} x$

A. 6

B. -6

C. $\frac{1}{6}$

D. $- \frac{1}{6}$

Đáp án B

Ta có:

$P = \log_{\frac{a}{b^{2}}} x = \frac{1}{\log_{x} \frac{a}{b^{2}}} = \frac{1}{\log_{x} a - 2 \log_{x} b} = \frac{1}{\frac{1}{\log_{a} x} - \frac{2}{\log_{b} x}} = \frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{2}{3}} = - 6$

Câu 17:

Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{|x| - 1}$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án D

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x + 1}}{|x| - 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1} = 0$

$\Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\lim_{x \to 1} f (x) = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 1}}{|x| - 1} = + \infty$

$\Rightarrow x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} f (x) = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 1} = 0; \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} f (x) = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} \frac{\sqrt{x + 1}}{- x - 1} = \lim_{x \to {(- 1)}^{-}} (- \frac{1}{\sqrt{x + 1}}) = - \infty$

Vậy x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Vậy đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận

Câu 18:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên thỏa mãn $f (\tan x) = c o s^{4} x, \forall x \in ℝ .$ Tính $I = \int_{0}^{1} f (x) d x$

A. $\frac{π + 2}{8}$

B. 1

C. $\frac{2 + π}{4}$

D. $\frac{π}{4}$

Đáp án A

Ta có:

$f (\tan x) = {(\cos^{2} x)}^{2} = \frac{1}{{(1 + \tan^{2} x)}^{2}} \Rightarrow f (x) = \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

Vậy $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{{(1 + x^{2})}^{2}} \overset{cas i o}{\to} I = \frac{2 + π}{8}$

Câu 19:

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều nội tiếp hình trụ đã cho.

A. $V = \frac{\sqrt{3} a^{2} h}{4}$

B. $V = \frac{3 \sqrt{3} a^{2} h}{4}$

C. $V = \frac{π}{3} (h^{2} + \frac{4 a^{2}}{3}) \sqrt{\frac{h^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{3}}$

D. $V = \frac{3 \sqrt{3} π a^{2} h}{4}$

Đáp án B

Xét khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ $\Rightarrow A A' = h$

Đặt $A B = x$ suy ra bán kính đường tròn ngoại tiếp $Δ A B C$ là $R = \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Khi đó $a = \frac{x \sqrt{3}}{3} \Rightarrow x = a \sqrt{3}$

Thể tích cần tìm là:

$V = h S = h \frac{{(a \sqrt{3})}^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3} a^{2} h}{4}$

Câu 20:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 4$ tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là

A. $y = 9 x + 9$

B. $y = - 9 x + 9 v à y = 0$

C. $y = 9 x - 9 v à y = 0$

D. $y = - 9 x - 9$

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số $f (x)$ với trục Ox:

$- x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 2 \end{array}$

Đồng thời cũng có $f' (x) = - 3 x^{2} - 6 x .$

Phương trình tiếp tuyến tại các điểm $x = 1$ và $x = - 2$ là:

$\{\begin{cases} y = f' (1) (x - 1) + f (1) \\ y = f' (- 2) (x + 2) + f (- 2) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 9 x + 9 \\ y = 0 \end{cases}$

Câu 21:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A B = a .$ Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Trong các tam giác sau, tam giác nào không phải là tam giác vuông?

A. $Δ S A B$

B. $Δ S B D$

C. $Δ S C D$

D. $Δ S B C$

Đáp án B

Vì $S A ⊥ (A B C D) \supset A B \Rightarrow S A ⊥ A B$

$\Rightarrow Δ S A B$ vuông tại A

Vì $S A ⊥ C D ⊥ A D$

$\Rightarrow C D ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ S D$

$\Rightarrow Δ S C D$ vuông tại D

Vì $S A ⊥ B C ⊥ A B$

$\Rightarrow B C ⊥ (S A B) \Rightarrow B C ⊥ S B$

$\Rightarrow Δ S B C$ vuông tại B

Còn $Δ S B D$ vẫn chưa chắc chắn được

Câu 22:

Gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} - z + 2 = 0.$ Tính ${|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}$

A. $- \frac{11}{9}$

B. $\frac{8}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D. $\frac{4}{3}$

Đáp án D

$z^{2} - z + 2 = 0 \Leftrightarrow z = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{6} \Rightarrow |z_{1}| = |z_{2}| = \sqrt{\frac{2}{3}}$

Khi đó ${|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} = \frac{4}{3}$

Câu 23:

Cho các số dương $a, x, y; a \notin \{1; e; 10\}$ và $x \neq 1.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\ln x = \frac{\log_{a} e}{\log_{a} 10}$

B. $\ln x = \frac{\log_{a} x}{\log e}$

C. $\ln x = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} e}$

D. $\ln x = \frac{\log_{x} a}{\log a}$

Đáp án C

$\ln x = \log_{e} x = \frac{\log_{a} x}{\log_{a} e}$ với $a, x, y; a \notin \{1; e; 10\}$ và $x \neq 1.$

Câu 24:

Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoa mãn $|z + 2 - i| = 3$

A. Đường tròn tâm $I (2; - 1),$ bán kính $R = 1$

B. Đường tròn tâm $I (- 2; 1),$ bán kính $R = \sqrt{3}$

C. Đường tròn tâm $I (1; - 2),$ bán kính $R = 3$

D. Đường tròn tâm $I (- 2; 1),$ bán kính $R = 3$

Đáp án D

Đặt $z = x + y i (x; y \in ℝ)$ khi đó:

$\sqrt{{(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = 3 \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 9$

Do đó tập hợp điểm biễu diễn z là đường tròn tâm $I (- 2; 1),$ bán kính R = 3

Câu 25:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} + {(z - 5)}^{2} = 9$ và tam giác ABC với $A (5; 0; 0), B (0; 3; 0), C (4; 5; 0) .$ Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu (S) sao cho khối tứ diên MABC có thể tích lớn nhất.

A. $M (0; 0; 3)$

B. $M (2; 3; 2)$

C. $M (2; 3; 8)$

D. $M (0; 0; - 3)$

Đáp án C

Mặt cầu (S) có tâm $I (2; 3; 5),$

Dễ thấy các điểm A, B, C nằm ngoài (S)

Ta có $z_{A} = z_{B} = z_{C} = 0 \Rightarrow (A B C) : z = 0$

$V_{M A B C} = \frac{S_{A B C} d (M; (A B C))}{3} \leq \frac{S_{A B C} [d (I; (A B C)) + R]}{3}$

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng $∆$ qua tâm I vuông góc (ABC) và xa mặt phẳng(ABC) hơn $\Rightarrow M (2; 3; 8)$

Câu 26:

Cho số phức z thỏa $|\frac{z + 2 - i}{\bar{z} + 1 - i}| = \sqrt{2} .$ Tìm ${|z|}_{\min}$

A. ${|z|}_{\min} = - 3 + \sqrt{10}$

B. ${|z|}_{\min} = - 3 - \sqrt{10}$

C. ${|z|}_{\min} = 3 - \sqrt{10}$

D. ${|z|}_{\min} = 3 + \sqrt{10}$

Đáp án C

Giả thiết:

$|\frac{z + 2 - i}{\bar{z} + 1 - i}| = \sqrt{2} \Leftrightarrow |z + 2 - i| = \sqrt{2} |\bar{z} + 1 - i| \Leftrightarrow |z + 2 - i| = |1 + i| |\bar{z} + 1 - i| \Leftrightarrow |z + 2 - i| = (1 + i) \bar{z} + (1 + i) (1 - i) = |(1 + i) \bar{z} + 2| (*)$

Đặt $z = x + y i (x; y \in ℝ) \Rightarrow \bar{z} = x - y i,$

khi đó $(*) \Leftrightarrow |x + 2 + (y - 1) i| = |(1 + i) (x - y i) + 2|$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow |x + 2 + (y - 1) i| = |x + y + 2 + (x - y) i| \\ \Leftrightarrow \sqrt{{(x + 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} = \sqrt{{(x + y + 2)}^{2} + {(x - y)}^{2}} \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 5 = 2 x^{2} + 2 y^{2} + 4 x + 4 y + 4 \\ \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 6 y - 1 = 0 \\ \Leftrightarrow x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 10 \end{array}$

$\Rightarrow$ Do đó tập hợp điểm biễu diễn z là đường tròn tâm $I (0; - 3),$ bán kính $R = \sqrt{10}$

$|z| = O M \Rightarrow O M_{\min} = O I - R = \sqrt{0^{2} + 3^{2}} - \sqrt{10} = 3 - \sqrt{10}$

Câu 27:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để trên đồ thị hàm số $y = x^{3} + (2 m - 1) x^{2} + (m - 1) x + m - 2$ có hai điểm A, B phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ

A. $\frac{1}{2} \leq m \leq 1$

B. $m > 2$

C. $m \in (- \infty; \frac{1}{2}) \cup (1; + \infty)$

D. $\frac{1}{2} < m < 2$

Đáp án D

Gọi $A (x; y), B (- x; - y)$ là 2 điểm đối xứng qua gốc tọa độ

Do 2 điểm thuộc đồ thị nên ta có:

$\{\begin{cases} y = x^{3} + (2 m - 1) x^{2} + (m - 1) x + m - 2 \\ - y = - x^{3} + (2 m - 1) {(- x)}^{2} - (m - 1) x + m - 2 \end{cases}$

Cộng vế theo vế ta được:

$(2 m - 1) x^{2} + m - 2 = 0 \Leftrightarrow x^{2} = \frac{- m + 2}{2 m - 1}$

Tồn tại 2 điểm phân biệt A, B khi $x^{2} > 0,$ tức là $\frac{- m + 2}{2 m - 1} > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} < m < 2$

Câu 28:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x}$ khi $x > 0$

A. $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$

B. $- \frac{1}{4}$

C. 0

D. $- \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Đáp án A

Xét hàm số $f (x) = y = \frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x}$ trên $(0; + \infty),$ có $f' (x) = \frac{x^{2} - 3}{x^{4}}, \forall x < 0$

Phương trình:

$f' (x) < 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 0 \\ x^{2} - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 0 \\ (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) = 0 \end{cases} \Rightarrow x = - \sqrt{3}$

Tính $f (- \sqrt{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{9};$

$\lim_{x \to 0} f (x) = + \infty . \lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty$

Vậy $\min_{(0; + \infty)} f (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Câu 29:

Một vật được thả rơi tự do ở độ cao 147m có phương trình chuyển động $S (t) = \frac{1}{2} g t^{2},$ trong đó $g = 9, 8 m / s^{2}$ và t tính bằng giây (s). Tính vận tốc của vật tại thời điểm vật tiếp đất.

A. $30 m / s$

B. $\sqrt{30} m / s$

C. $\frac{49 \sqrt{30}}{5} m / s$

D. $\frac{49 \sqrt{15}}{5} m / s$

Đáp án C

Ta có $S' (t) = g t = v (t)$

Giả sử vật chạm đất tại thời điểm $t = t_{0}$

Khi chạm đất:

$147 = \frac{1}{2} g t_{0}^{2} \Leftrightarrow t_{0} = \sqrt{30} \Rightarrow v (t_{0}) = \frac{49 \sqrt{30}}{5} m / s$

Câu 30:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : m x + 2 y - z + 1 = 0$ (m là tham số). Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 9$ theo một đường tròn có bán kính bằng 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

A. $m = \pm 1$

B. $m = \pm 2 + \sqrt{5}$

C. $m = 6 \pm 2 \sqrt{5}$

D. $m = \pm 4$

Đáp án C

Xét mặt cầu:

$(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 9 \Rightarrow I (2; 1; 0); R = 3$

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là $d (I; (P)) = \frac{|2 m + 3|}{\sqrt{m^{2} + 5}}$

Theo giả thiết, Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + z^{2} = 9$ theo một đường tròn có bán kính bằng r = 2

Suy ra:

$d^{2} + r^{2} = R^{2} \Leftrightarrow \frac{{(2 m + 3)}^{2}}{m^{2} + 5} + 2^{2} = 3^{2} \Leftrightarrow m^{2} - 12 m + 16 = 0 \Leftrightarrow m = 6 \pm 2 \sqrt{5}$

Câu 31:

Cho lăng trụ đứng $A B C D . A' B' C' D'$ có đáy là hình bình hành. Các đường chéo DB¢ và AC¢ lần lượt tạo ra với đáy góc $60 °$ và $45 °,$ Biết góc BAD bằng $45 °,$ chiều cao hình lăng trụ bằng 2. Tính thể tích khối lăng trụ

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{4}{3 \sqrt{2}}$

D. $\frac{2}{3}$

Đáp án A

$\begin{array}{l} \hat{(D B', (A B C D))} = \hat{B D B'} = 60 ° \\ \Rightarrow B D = \frac{B B'}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \\ \hat{(A C', (A B C D))} = \hat{C A C'} = 60 ° \\ \Rightarrow A C = C C' = 2 \end{array}$

Áp dụng định lí Cosi ta có:

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A B^{2} + A D^{2} - 2 A B . A D \cos \hat{B A D} = B D^{2} \\ A B^{2} + A D^{2} - 2 A B . A D \cos \hat{A B C} = A C^{2} \end{cases} \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} A B^{2} + A D^{2} - 2 A B . A D \sqrt{2} = \frac{4}{3} \\ A B^{2} + A D^{2} + 2 A B . A D \sqrt{2} = 4 \end{cases} \end{array} \Rightarrow A B . A D = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \Rightarrow V_{S . A B C D} = 2 S_{A B D} = A B . A D . \sin \hat{B A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow V_{A B C D . A' B' C' D'} = S_{A B C D} . A A' = \frac{4}{3}$

Câu 32:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f (x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 4$ tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là

A. $y = 9 x + 9$

B. $y = - 9 x + 9 v à y = 0$

C. $y = 9 x - 9 v à y = 0$

D. $y = - 9 x - 9$

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số $f (x)$ với trục Ox:

$- x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 2 \end{array}$

Đồng thời cũng có $f' (x) = - 3 x^{2} - 6 x .$

Phương trình tiếp tuyến tại các điểm x = 1 và x = -2 là:

$\{\begin{cases} y = f' (1) (x - 1) + f (1) \\ y = f' (- 2) (x + 2) + f (- 2) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = - 9 x + 9 \\ y = 0 \end{cases}$

Câu 33:

Từ một khúc gỗ dạng khối nón tròn xoay có thể tích bằng $\frac{343}{3} π c m^{3}$ và chu vi đường tròn đáy bằng $14 π c m$ . Trong sản xuất, người ta muốn tạo ra một vật thể có hình dạng khối cầu (S) từ khối gỗ trên. Gọi S là diện tích mặt cầu (S). Tính giá trị lớn nhất của diện tích S

A. $196 π (3 - 2 \sqrt{2}) (c m^{2})$

B. $196 π (6 - 4 \sqrt{2}) (c m^{2})$

C. $196 π (c m^{2})$

D. $196 π \sqrt{2} (c m^{2})$

Đáp án A

Chu vi đường tròn $C = 2 π r \Rightarrow 2 π r = 14 c m \Rightarrow r = 7 c m$

Xét khối món có thể tích $V = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{343}{3} π c m^{3} \Rightarrow h = 7 c m$

Khối cầu được almf từ khối nón có bán kính mặt cầu lớn nhất khi khối cầu nội tiếp khối nón

Khi đó bán kính khối cầu (S) là $R_{(S)} = \frac{r . h}{r + \sqrt{r^{2} + h^{2}}} = 7 (- 1 + \sqrt{2}) c m$

Vậy diện tích lớn nhất cần tính là:

$S = 4 π R^{2} = 196 π (3 - 2 \sqrt{2}) (c m^{2})$

Câu 34:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(α)$ có phương trình. $2 x + 2 y - z - 8 = 0.$ Xét mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x + 4 y - z + m = 0,$ với m là tham số thực. Biết mặt phẳng $(α)$ cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính bằng 2. Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn điều kiện trên.

A. $m = - 18$

B. $m = \frac{21}{4}$

C. $m = \frac{27}{2}$

D. $m = - 11$

Đáp án D

$(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{21}{4} - m \Rightarrow I (1; - 2; \frac{1}{2}); R^{2} = \frac{21}{4} - m$

Do đó:

$d = d (I; (P)) = \frac{|2 - 4 - \frac{1}{2} - 8|}{3} = \frac{7}{2} \Rightarrow R^{2} = 2^{2} + {(\frac{7}{2})}^{2} \Rightarrow m = - 11$

Câu 35:

Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường $y = \frac{1}{x}, x = \frac{1}{2}, x = 2$ và trục hoành. Đường thẳng $x = k, (\frac{1}{2} < k < 2)$ chia (H) thành hai phần có diện tích là $S_{1}$ và $S_{2}$ như hình vẽ dưới đây. Tìm tất cả giá trị thực của k để $S_{1} = 3 S_{2}$

A. $k = \sqrt{2}$

B. $k = 1$

C. $k = \frac{7}{5}$

D. $k = \sqrt{3}$

Đáp án A

Diện tích hình thang cong (H) là:

$S = \int_{\frac{1}{2}}^{2} |\frac{1}{x}| d x = {\ln |x||}_{\frac{1}{2}}^{2} = \ln 4$

$S_{1} = 3 S_{2} \Rightarrow S_{2} = \frac{S}{4} \Leftrightarrow \frac{\ln 4}{4} = \ln \sqrt[4]{4} = \int_{k}^{2} |\frac{1}{x}| d x = {\ln |x||}_{k}^{2} = \ln \frac{2}{k} \Leftrightarrow \sqrt[4]{4} = \frac{2}{k} \Leftrightarrow k = \sqrt{2}$

Câu 36:

Cho số thực x. Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. $\log_{x^{2} + 2} (x^{2} + x + 2) > 0$

B. $\log_{x^{2} + 2} (10 - \sqrt{97}) > 0$

C. $\log_{x^{2} + 2} 2017 < \log_{x^{2} + 2} 2018$

D. $\log_{x^{2} + 2} (x^{2} + x + 2) > \log_{\sqrt{2} - 1} (x^{2} + x + 2)$

Đáp án B

$\log_{x^{2} + 2} (x^{2} + x + 2) > 0 \Leftrightarrow x^{2} + x + 2 > 1 \Leftrightarrow {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} > 0 \Rightarrow A đ ú n g$

$\log_{x^{2} + 2} (10 - \sqrt{97}) > 0 \Leftrightarrow 10 - \sqrt{97} > 1 \Rightarrow B s a i$

Rõ ràng C đúng

Lại có $D \Leftrightarrow x^{2} + 2 > \sqrt{2} - 1 \Rightarrow D$ đúng

Câu 37:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $5^{\sqrt{x + 2} - x} - 5 m = 0$ có nghiệm thực

A. $(0; 5 \sqrt[4]{5}]$

B. $[5 \sqrt[4]{5}; + \infty)$

C. $(0; + \infty)$

D. $[0; 5 \sqrt[4]{5}]$

Đáp án A

Điều kiện $x \geq - 2$

Đặt $t = \sqrt{x + 2} (t \geq 0) \Rightarrow x = t^{2} - 2$

Khi đó phương trình tương đương

$5^{- t^{2} + t + 2} - 5 m = 0 \Leftrightarrow m = 5^{- t^{2} + t + 1}$

Xét hàm số $f (t) = 5^{- t^{2} + t + 1}; t \geq 0.$

Ta có:

$f' (t) = (- 2 t + 1) 5^{- t^{2} + t + 1}; f' (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$

Từ bảng biến thiên ra suy ra phương trình có nghiệm thì $0 < m \leq 5 \sqrt[4]{5}$

Câu 38:

Biết rằng $I = \int_{0}^{1} e^{\sqrt{3 x + 1}} d x = \frac{a}{b} e^{2}$ với a, b là các số thực thỏa mãn $a - b = - 2.$ Tính tổng $S = a + b$

A. S = 10

B. S = 5

C. S = 4

D. S = 7

Đáp án A

$I = \int_{1}^{2} e^{t} d (\frac{t^{2} - 1}{3}) = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} t . e^{t} d t = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} t d (e^{t}) = {\frac{2}{3} t . e^{t}|}_{1}^{2} - \frac{2}{3} \int_{1}^{2} e^{t} d t = {\frac{4}{3} e^{2} - \frac{2}{3} e - \frac{2}{3} e^{t}|}_{1}^{2} = \frac{2}{3} e^{2} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{2}{3} M à a - b = - 2 \Rightarrow \{\begin{cases} a = 4 \\ b = 6 \end{cases} \Rightarrow S = 10$

Câu 39:

Cho a b, là độ dài hai cạnh góc vuông c, là độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông và $c - b \neq 1, c + b \neq 1.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\log_{c + b} a + \log_{c - b} a = \log_{c + b} a . \log_{c - b} a$

B. $\log_{c + b} a + \log_{c - b} a = 2 \log_{c + b} a . \log_{c - b} a$

C. $\log_{c + b} a + \log_{c - b} a = \log_{c + b} (c - b)$

D. $\log_{c + b} a + \log_{c - b} a = \log_{c + b} (2 a) . \log_{c - b} (2 b)$

Đáp án B

Từ giả thiết ta có $a^{2} + b^{2} = c^{2}$

$\begin{array}{l} \log_{c + b} a + \log_{c - b} a \\ = \frac{1}{\log_{a} (c + b)} + \frac{1}{\log_{a} (c - b)} \\ = \frac{\log_{a} (c + b) + \log_{a} (c - b)}{\log_{a} (c + b) \log_{a} (c - b)} \\ = \frac{\log_{a} (c^{2} - b^{2})}{\log_{a} (c + b) \log_{a} (c - b)} \\ = \frac{\log_{a} (a^{2})}{\log_{a} (c + b) \log_{a} (c - b)} \\ = \frac{2}{\log_{a} (c + b) \log_{a} (c - b)} \\ = 2 \log_{c + b} a . \log_{c - b} a \end{array}$

Câu 40:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = \frac{1}{m^{2}} + 2 m,$ trong đó m là số thực dương tùy ý. Biết rằng với mỗi m, tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w = (2 i + 1) (i + \bar{z}) - 5 + 3 i$ là một đường tròn bán kính r. Tìm giá trị nhỏ nhất của r

A. $3 \sqrt{2}$

B. $2 \sqrt{3}$

C. $3 \sqrt{5}$

D. $5 \sqrt{3}$

Đáp án C

Ta có:

$w = (2 i + 1) (i + \bar{z}) - 5 + 3 i = 2 i^{2} + i + (2 i + 1) \bar{z} - 5 + 3 i = - 7 + 4 i + (2 i + 1) \bar{z} \Leftrightarrow w + 7 - 4 i = (2 i + 1) \bar{z} \Leftrightarrow |w + 7 - 4 i| = |(2 i + 1) \bar{z}| \Leftrightarrow |w + 7 - 4 i| = \sqrt{5} |\bar{z}| = \sqrt{5} |z| = \sqrt{5} (\frac{1}{m^{2}} + 2 m)$

theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$\frac{1}{m^{2}} + 2 m = \frac{1}{m^{2}} + m + m \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{m^{2}} . m . m} = 3 \Rightarrow r_{\min} = 3 \sqrt{5}$

Câu 41:

Tổng các nghiệm của phương trình ${(x - 1)}^{2} {.2}^{x} = 2 x (x^{2} - 1) + 4 (2^{x - 1} - x^{2})$ bằng

A. 4

B. 5

C. 2

D. 3

Đáp án A

Phương trình đã cho tương đương

${(x - 1)}^{2} {.2}^{x} = 2 x^{3} - 2 x + {2.2}^{x} - 4 x^{2} \Leftrightarrow (x^{2} - 2 x - 1) 2^{x} = 2 x (x^{2} - 2 x - 1) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 2 x - 1 = 0 \\ 2^{x} = 2 x \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = 2 \\ 2^{x} - 2 x = 0 (*) \end{array}$

Đặt $f (x) = 2^{x} - 2 x; x \in (0; + \infty)$

Ta có:

$f' (x) = 2^{x} \ln 2 - 2 \Rightarrow f'' (x) = 2^{x} {(\ln 2)}^{2} > 0; \forall x \in (0; + \infty) \to f' (x) = 0$

có nhiều nhất 1 nghiệm $\Rightarrow f' (x) = 0$ có nhiều nhất 2 nghiệm

Mà $f (1) = f (2) = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ là nghiệm của phương trình

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho bằng 4

Câu 42:

Hỏi phương trình $2 \log_{3} (\cot x) = \log_{2} (\cos x)$ có bao nhiêu nghiệm trong khoảng $(0; 2017 π)$

A. 1009 nghiệm

B. 1008 nghiệm

C. 2017 nghiệm

D. 2018 nghiệm

Đáp án A

$\log_{3} (\cot^{2} x) = \log_{2} (\cos x) = t \leq 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3^{t} = \cot^{2} x = \frac{4^{t}}{1 - 4^{t}} \\ 2^{t} = \cos x \end{cases} \Leftrightarrow 1 = {(\frac{4}{3})}^{t} + 4^{t} = f (t)$

Dễ thấy f(t) là hàm số đồng biến trên TXD và $f (- 1) = 1$ nên $t = - 1$ là nghiệm duy nhất của phương trình $f (t) = 1$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \cos x = \frac{1}{2} \\ \cos x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = \frac{π}{3} + k 2 π (0; 2017 π) \Leftrightarrow 0 \leq k \leq 2018.$

Vậy có 1009 nghiệm

Câu 43:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia $O x, O y, O z$ (không trùng với gốc tọa độ) sao cho $O A = a, O B = b, O C = c .$ Giả sử M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC và có khoảng cách đến các mặt $(O B C), (O C A), (O A B)$ lần lượt là 1, 2, 3. Tính tổng $S = a + b + c$ khi thể tích của khối chóp $O . A B C$ đạt giá trị nhỏ nhất

A. S = 18

B. S = 9

C. S = 6

D. S = 24

Đáp án A

Dễ dàng suy ra:

$A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c), a, b, c > 0$

vì $d (M; (O B C)) = d (M; (O y z)) = x_{M} = 1,$ tương tự ta có được $M (1; 2; 3)$

$M \in (A B C) \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1.2.3}{a . b . c}} \Leftrightarrow \frac{a b c}{6} = V_{O . A B C} \geq 27$

Dấu bằng xảy ra khi:

$\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{3}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow a = 3; b = 6; c = 9 \Rightarrow a + b + c = 18$

Câu 44:

Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép lại), trong đó đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc $60 °$ . Biết rằng chiều cao của đồng hồ là 30cm và tổng thể tích của đồng hồ là $1000 π c m^{3} .$ Hỏi nếu cho đầy lương cát vào phân trên thì chảy hết xuống dưới, khi đó tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ vào thể tích phần phía dưới là bao nhiêu?

A. $\frac{1}{3 \sqrt{3}}$

B. $\frac{1}{8}$

C. $\frac{1}{64}$

D. $\frac{1}{27}$

Đáp án B

Gọi $r, h, r', h'$ lần lượt là bán kính và chiều cao của hình nón lớn và nhỏ

Phân tích dữ kiện

+) Chiều cao của đồng hồ là 30 cm $\Leftrightarrow h + h' = 30 (c m)$

+) Tổng thể tích của đồng hồ là $1000 π c m^{3}$

$\Leftrightarrow V_{l} + V_{n} = \frac{π r^{2} h + π r'^{2} h'}{3} = 1000 π \Leftrightarrow r^{2} h + r'^{2} h' = 3000$

+) Đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc $60 ° \Leftrightarrow \frac{h}{r} = \frac{h'}{r'} = \sqrt{3}$

Ta có hệ:

$\{\begin{cases} h + h' = \sqrt{3} (r + r') \\ r^{2} h + r'^{2} h' = \sqrt{3} (r^{3} + r'^{3}) = 3000 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \sqrt{3} {(r + r')}^{3} = 9000 \\ \sqrt{3} (r^{3} + r'^{3}) = 3000 \end{cases} \Leftrightarrow \frac{{(r + r')}^{3}}{r^{3} + r'^{3}} = 3$

$\Leftrightarrow 2 r'^{2} - 5 r r' + 2 r^{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{r}{r'} = \frac{1}{2}$

vì $0 < r' < r$

Theo đó tỉ lệ cần tính là:

$\frac{V_{n}}{V_{l}} = \frac{r'^{2} h'}{r^{2} h} = {(\frac{r'}{r})}^{3} = \frac{1}{8}$

Câu 45:

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho 2 điểm $A (2; 1; - 3); B (2; 4; 1) .$ Gọi (d) là đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABO sao cho tổng khoảng cách từ các điểm A, B, O đến đường thẳng (d) là lớn nhất. Trong các véc tơ sau, véc tơ nào là một véc tơ chỉ phương của (d)?

A. $\vec{u} = (13; 8; 6)$

B. $\vec{u} = (- 13; 8; 6)$

C. $\vec{u} = (13; 8; - 6)$

D. $\vec{u} = (- 13; 8; - 6)$

Đáp án D

Điểm $A (2; 1; - 3), B (2; 4; 1), O (0; 0; 0)$ suy ra G là trọng tâm tam giác ABO là $G (\frac{2}{3}; \frac{5}{3}; - \frac{2}{3})$

Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu vuống góc cuả A, B, O trên đường thẳng d

Khi đó, khoảng cách:

$d_{A \to (d)} = A M; d_{B \to (d)} = B N; d_{O \to (d)} = O P$

Mặt khác $\{\begin{cases} A M \leq A G \\ B N \leq B G \\ O P \leq O G \end{cases}$

$\Rightarrow d_{A \to (d)} + d_{B \to (d)} + d_{O \to (d)} \leq A G + B G + O G = c o n s t$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng d vuông góc mặt phẳng $(A B O)$ tại G

Ta có $\{\begin{cases} \vec{O A} = (2; 1; - 3) \\ \vec{O B} = (2; 4; 1) \end{cases} \Rightarrow \vec{n_{(A B O)}} = (13; - 8; 6)$

$\Rightarrow$ véc tơ chỉ phương của (d) là $\vec{u} = (- 13; 8; - 6)$

Câu 46:

Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là $x^{3} + 2 x$ (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là $326 y - 27 y^{2}$ (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho tổng tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày)

A. 6

B. 5

C. 4

D. 7

Đáp án A

Từ giả thiết ta có $x + y = 10$ và tổng tiền lãi nhận được là $T = x^{3} + 2 x + 326 y - 7 y^{2}$

Khi đó:

$T = x^{3} + 2 x + 326 (10 - x) - 7 {(10 - x)}^{2} = x^{3} - 27 x^{2} + 216 x + 560$

Xét hàm số $f (x) = x^{3} - 27 x^{2} + 216 x + 560$ với $x \in (0; 10),$ có $f' (x) = 3 x^{2} - 54 x + 216$

Phương trình:

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < x < 10 \\ x^{2} - 18 x + 72 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 6 \Rightarrow \max f (x) = f (6)$

Câu 47:

Ông An dự định làm một cái bể chứa nước hình trụ bằng inốc có nắp đậy với thể tích là $m k m^{3} (k > 0) .$ Chi phí mỗi $m^{2}$ đáy là 600 nghìn đồng, mỗi $m^{2}$ nắp là 200 nghìn đồng và mỗi $m^{2}$ mặt bên là 400 nghìn đồng. Hỏi An cần chọn bán kính đáy của bể là bao nhiêu để chi phí làm bể là ít nhất? (Biết bề dày vỏ inốc không đáng kể)

A. $\sqrt[3]{\frac{k}{π}}$

B. $\sqrt[3]{\frac{2 π}{k}}$

C. $\sqrt[3]{\frac{k}{2 π}}$

D. $\sqrt[3]{\frac{k}{2}}$

Đáp án C

Gọi r là bán kính đường tròn của hình trụ

Thể tích khối trụ là $V = π r^{2} h = 2 π \Leftrightarrow h = \frac{2}{r^{2}}$ với thể tích $k = 2 π m^{3}$

Chi phí để làm diện tích đáy hình trụ là $T_{d} = 6 S_{d} = 6 π r^{2}$ trăm nghìn đồng

Chi phí để làm diện tích nắp hình trụ là $T_{n} = 2 S_{n} = 2 π r^{2}$ trăm nghìn đồng

Chi phí để làm diện tích mặt bên hình trụ là $T_{b} = 4 S_{b} = 8 π r h$ trăm nghìn đồng

Vậy tổng chi phí là:

$T = 8 π r^{2} + 8 π r h = 8 π (r^{2} + \frac{2}{r}) = 8 π (r^{2} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r})$

Áp dụng công thức Cosi, ta có:

$r^{2} + \frac{1}{r} + \frac{1}{r} \geq 3 \sqrt[3]{r^{2} . \frac{1}{r} . \frac{1}{r}} = 3 \Rightarrow T \geq 24 π \Rightarrow T_{\min} = 24 π$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$r^{2} = \frac{1}{r} = \frac{k}{2 π r} \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\frac{k}{2 π}}$

Câu 48:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : x + y + z + 1 = 0.$ Một phần tử chuyển động thẳng với vận tốc không đổi từ $A (1; - 3; 0)$ đến gặp mặt phẳng (P) tại M , sau đó phần tử đó tiếp tục chuyển động thẳng từ M đến $B (2; 1; - 6)$ cùng với vận tốc như lúc trước. Tìm hoành độ của M sao cho thời gian phần tử chuyển động từ A qua M đến B là ít nhất

A. $\frac{4}{3}$

B. $\frac{5}{3}$

C. $- \frac{1}{3}$

D. $- 1$

Đáp án C

Xét mặt phẳng $(P) : x + y + z + 1 = 0.$

Đặt $f (x; y; z) = x + y + z + 1$

Ta có $f (A) = - 1; f (B) = - 2$ suy ra $f (A) . f (B) > 0 \Rightarrow A, B$ cùng phía so với $(P)$

Gọi C là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng $(P) \Rightarrow A C ⊥ (P)$

Phương trình đường thẳng AC có $\vec{u} = (1; 1; 1)$ và đi qua A là $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z}{1}$

Điểm:

$C \in A C \Rightarrow C (t + 1; t - 3; t) \in (P) \Rightarrow t + 1 + t - 3 + t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow C (\frac{4}{3}; - \frac{8}{3}; \frac{1}{3})$

Lại có

$A M + B M = C M + B M \Rightarrow {\{C M + B M\}}_{\min} \Leftrightarrow B, C . M t h ẳ n g h à n g$

Phương trình đường thẳng BC là $\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 1}{11} = \frac{z + 6}{- 19}$

Điểm:

$M \in B C \Rightarrow M (2 m + 2; 11 m + 1; - 19 m - 6)$

Mặt khác:

$M = B C \cap (P) \Rightarrow 2 m + 2 + 11 m + 1 - 19 m - 6 + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}$

Câu 49:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có nghiệm: $\sqrt{x + 5} + \sqrt{4 - x} \geq m$

A. $(- \infty; 3]$

B. $(- \infty; 3 \sqrt{2}]$

C. $(3 \sqrt{2}; + \infty)$

D. $(- \infty; 3 \sqrt{2})$

Đáp án B

Điều kiện $\{\begin{cases} x + 5 \geq 0 \\ 4 - x \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 5 \leq x \leq 4$

Xét hàm số $f (x) = \sqrt{x + 5} + \sqrt{4 - x}; x \in [- 5; 4]$

Ta có:

$f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 5}} - \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}; f' (x) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{4 - x} = \sqrt{x + 5} \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$

Tính các giá trị $f (- 5) = 3; f (4) = 3; f (- \frac{1}{2}) = 3 \sqrt{2}$

$\Rightarrow \max_{[- 5; 4]} f (x) = f (- \frac{1}{2}) = 3 \sqrt{2}$

Vậy để phương trình $m \leq f (x)$ có nghiệm $m \leq \max_{[- 5; 4]} f (x) \Leftrightarrow m \leq 3 \sqrt{2}$

Câu 50:

Anh Toàn có một cái ao hình elip với độ dài trục lớn và trục bé lần lượt là 100m và 80m. Anh chia ao ra hai phần theo một đường thẳng từ một đỉnh của trục lớn đến một đỉnh của trục bé (bề rộng không đáng kể). Phần rộng hơn anh nuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống. Biết lãi nuôi cá lấy thịt và lãi nuôi cá giống trong 1 năm lần lượt là 20.000 đồng $/ m^{2}$ và 40.000 đồng $/ m^{2}$ Hỏi trong một năm anh Toàn có bao nhiêu tiền lãi từ nuôi cá trong ao đã nói trên (lấy làm tròn đến hàng nghìn).

A. 176.350.000 đồng

B. 105.664.000 đồng

C. 137.080.000 đồng

D. 139.043.000 đồng

Đáp án C

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ bên

Độ dài trục lớn $2 a = 100 \Rightarrow a = 50 m$

Độ dài trục bé $2 b = 80 \Rightarrow b = 40 m$

Phương trình chính tắc của Elip là:

$(E) : \frac{x^{2}}{2500} + \frac{y^{2}}{1600} = 1 \Leftrightarrow y = \pm 40 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2500}}$

Phương trình đường thẳng đi qua 2 đỉnh là $4 x - 5 y + 200 = 0$

Diện tích hình $(E)$ là $S_{(E)} = π a b = 2000 π m^{2}$

Diện tích phần tô màu xanh chính là phần nuôi giống được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 40 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2500}}; y = \frac{4}{5} x + 40$ và 2 đường thẳng $x = - 50; x = 0$

Khi đó:

$S_{1} = \int_{- 50}^{0} |40 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{2500}} - \frac{4}{5} x - 40| d x = 570, 8 m^{2}$

Suy ra diện tích phần nuôi cá lấy thịt là $S_{2} = S_{(E)} - S_{1} = 5712, 4 m^{2}$

Vậy tổng tiền lãi anh Toàn nhận được là $T = 40000 S_{1} + 20000 S_{2} =$ 137.080.000 đồng

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan