50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 13

Câu 1:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1$ tại điểm có hoành độ $x_{0} = 2$

A. $y = - x - 7$

B. $y = 7 x - 14$

C. $y = 7 x - 7$

D. $y = - x + 9$

Xem đáp án

Đáp án C

Có $f' (x) = 3 x^{2} - 4 x + 3 \Rightarrow k = f' (2) = 7$

phương trình tiếp tuyến cần tìm là

$y = 7 (x - 2) + f (2) = 7 x - 7$

Câu 2:

Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$ ?

A. $- \frac{1}{2}$

B. $+ \infty$

C. 0

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{(\sqrt{1 + x} + 1) x} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1 + x} + 1} = \frac{1}{2}$

Câu 3:

Cho dãy số $(u_{n})$ với $(u_{n}) = {(- 1)}^{n} \sin \frac{π}{n},$ chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. Dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng

B. Dãy $(u_{n})$ bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên

C. Dãy số $(u_{n})$ bị chặn

D. Dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $|u_{n}| = |{(- 1)}^{n} \sin \frac{π}{n}| = |\sin \frac{π}{n}| \leq 1$

$\Rightarrow$ Dãy số $(u_{n})$ bị chặn

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1.$ Tìm x để $f' (x) > 0$

A. $x \in (- 1; 0) \cup (1; + \infty)$

B. $x \in (- 1; 1)$

C. $x \in (- \infty; - 1) \cup (0; 1)$

D. $x \in ℝ$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $f' (x) = 4 x^{3} - 4 x .$

Khi đó

$f' (x) > 0 \Leftrightarrow 4 x^{3} - 4 x > 0 \Leftrightarrow 4 x (x^{2} - 1) > 0$

$\Leftrightarrow x \in (- 1; 0) \cup (1; + \infty)$

Câu 5:

Tính đạo hàm của hàm số $y = 2 \sin 3 x + c o s 2 x$

A. $y' = 2 c o s 3 x - \sin 2 x$

B. $y' = 2 c o s 3 x + \sin 2 x$

C. $y' = 6 c o s 3 x - 2 \sin 2 x$

D. $y' = - 6 c o s 3 x + 2 \sin 2 x$

Xem đáp án

Đáp án C

$y' = (2 \sin 3 x + c o s 2 x)' = 2.3 c o s 3 x - 2 \sin 2 x = 6 c o s 3 x - 2 \sin 2 x$

Câu 6:

Tính giới hạn $\lim \frac{n^{2} + 1}{2 n^{2} + n + 1}$

A. 0

B. $\frac{1}{2}$

C. $+ \infty$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

$\lim \frac{n^{2} + 1}{2 n^{2} + n + 1} = \lim \frac{1 + \frac{1}{n^{2}}}{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}} = \frac{1}{2}$

Câu 7:

Tính đạo hàm của hàm số $y = {(x^{3} - 3 x^{2})}^{2017}$

A. $y' = 2017 {(x^{3} - 3 x^{2})}^{2016}$

B. $y' = 2017 {(x^{3} - 3 x^{2})}^{2016} (x^{2} - 3 x)$

C. $y' = 6051 {(x^{3} - 3 x^{2})}^{2016} (x^{2} - 2 x)$

D. $y' = 2017 (x^{3} - 3 x^{2}) (3 x^{2} - 6 x)$

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} y' = 2017 {(x^{3} - 3 x^{2})}^{2016} (x^{3} - 3 x^{2})' \\ = 2017 {(x^{3} - 3 x^{2})}^{2016} (3 x^{2} - 6 x) \\ = 6051 {(x^{3} - 3 x^{2})}^{2016} (x^{2} - 2 x) \end{array}$

Câu 8:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2} .$ Chọn mệnh đề đúng

A. Nếu $|z_{1}| = |z_{2}|$ thì $z_{1} = \bar{z_{2}}$

B. Nếu $z_{1} = \bar{z_{2}}$ thì $|z_{1}| = |z_{2}|$

C. Nếu $|z_{1}| = |z_{2}|$ thì $z_{1} = z_{2}$

D. Nếu $|z_{1}| = |z_{2}|$ thì thì các điểm biểu diễn cho $z_{1}$ và $z_{2}$ tương ứng trên mặt phẳng tọa độ sẽ đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

Xem đáp án

Đáp án B

Lấy ví dụ $z_{1} = 1 + i, z_{2} = \sqrt{2}$

dễ thấy A, C, D sai

Câu 9:

Cho dãy số $f (x) = \frac{x + 2}{x \sqrt{4 - x}} .$ Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. Hàm số xác định trên $(- \infty; 0) \cup (0; 4)$

B. Hàm số liên tục tại x = 2

C. Hàm số không liên tục tại x = 2 và x = 4

D. Vì $f (- 1) = - \frac{1}{\sqrt{5}}, f (2) = \sqrt{2}$ nên $f (- 1) . f (\sqrt{2}) < 0,$ suy ra phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(- 1; 2)$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số xác định khi và chỉ khi

$\{\begin{cases} 4 - x \geq 0 \\ x \sqrt{4 - x} \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 4 \\ x \neq 0 \end{cases}$

$\Rightarrow (- \infty; 0) \cup (0; 4)$

Hàm số liên tục tại $x = 2$ , không liên tục tại x = 2 và x = 4

Phương trình

$f (x) = 0 \Leftrightarrow \frac{x + 2}{x \sqrt{4 - x}} = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \notin (- 1; 2)$

Câu 10:

Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, có $A D = C D = a; A B = 2 a; S A ⊥ (A B C D), E$ là trung điểm của AB. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $C E ⊥ (S D C)$

B. $C B ⊥ (S A B)$

C. $Δ S C v u ô n g ở C$

D. $C E ⊥ (S A B)$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì ABCD là hình thang vuông tại A, D

$\Rightarrow A D ⊥ C D .$

Mà $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ (S A D) \Rightarrow C D ⊥ S D$

$\Rightarrow$ Tam giác SCD vuông tại D

Vì E là trung điểm của AB suy ra AECD là hình vuông

$\Rightarrow C E ⊥ A B$ mà $S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow S A ⊥ A B$

suy ra $C E ⊥ (S A B)$

Câu 11:

Tính giới hạn

A. $- \infty$

B. -2

C. 0

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

$\lim_{x \to - \infty} \frac{|x| + \sqrt{x^{2} + x}}{x + 2} = \lim_{x \to - \infty} \frac{|x| + |x| \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{x (1 + \frac{2}{x^{2}})} = \lim_{x \to - \infty} (- \frac{2 |x|}{x}) = - 2$

Câu 12:

Cho hàm số $f (x) = \frac{2 x^{2}}{x}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. Vì $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} f (x)$ nên f( x)liên tục tại x = 0

B. Hàm số f (x )xác định với mọi $x \neq 0.$

C. $lim_{x \to 0^{+}} f (x) \neq lim_{x \to 0^{-}} f (x)$

D. Hàm số f ( x) liên tục trên $ℝ$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số f ( x) xác định với mọi $x \neq 0.$

Câu 13:

Tìm m để phương trình $f' (x) = 0$ có nghiệm. Biết $f (x) = m \cos x + 2 \sin x - 3 x + 1$

A. $m > 0$

B. $|m| \geq \sqrt{5}$

C. $m < 0$

D. $- \sqrt{5} < m < \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow 2 \cos x - m \sin x = 3 (*)$

Phương trình

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow 2 \cos x - m \sin x = 3 (*)$

Để (*) có nghiệm khi và chỉ khi

$\frac{3}{\sqrt{2^{2} + {(- m)}^{2}}} \leq 1 \Leftrightarrow m^{2} \geq 5 \Leftrightarrow |m| \leq \sqrt{5}$

Câu 14:

Tính giới hạn $lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{2 x^{2} - x + 5}{x + 3}$

A. $lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{2 x^{2} - x + 5}{x + 3} = + \infty$

B. $lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{2 x^{2} - x + 5}{x + 3} = 2$

C. $lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{2 x^{2} - x + 5}{x + 3} = - \infty$

D. $lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{2 x^{2} - x + 5}{x + 3} = - 2$

Xem đáp án

Đáp án C

$lim_{x \to {(- 3)}^{-}} \frac{2 x^{2} - x + 5}{x + 3} = - \infty$

Câu 15:

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?

A. Hàm số $y = 2 x^{3} - 10 x^{2} + 3 x + 2017$ liên tục tại mọi điểm $x \in ℝ$

B. Hàm số $y = \frac{1}{x^{2} + x + 1}$ liên tục tại mọi điểm $x \in ℝ$

C. Hàm số $y = \frac{1}{x^{3} + 1}$ liên tục tại mọi điểm $x \neq - 1$

D. Hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{2 - x}}$ liên tục tại mọi điểm $x \neq 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số $y = \frac{x}{\sqrt{2 - x}}$ liên tục trên khoảng $(- \infty; 2)$

Câu 16:

Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân $(u_{n}),$ biết $u_{1} = - 3$ và công bội $q = - 2.$

A. $S_{10} = - 1023$

B. $S_{10} = 1025$

C. $S_{10} = - 1025$

D. $S_{10} = 1023$

Xem đáp án

Đáp án D

$S_{n} = \frac{n (1 - q^{n})}{1 - q} \Rightarrow S_{10} = \frac{(- 3) [1 - {(- 2)}^{10}]}{1 - (- 2)} = 1023$

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên $(A B C)$ trùng với trung điểm H của cạnh BC. Biết tam giác SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và $(A B C) .$

A. $30^{0}$

B. $45^{0}$

C. $60^{0}$

D. $90^{0}$

Xem đáp án

Đáp án B

Vì hai tam giác ABC và SBC đều và có chung cạnh BC nên bằng nhau $\Rightarrow A H = S H .$

Mà $Δ H S A$ vuông tại H nên vuông cân

$\Rightarrow \hat{S A H} = 45 °$

Câu 18:

Cho tứ diện đều ABCD. Gọi $φ$ là góc giữa hai mặt phẳng ( BCD) và ( ABC) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\tan φ = \frac{1}{3}$

B. $φ = 60 °$

C. $c o s φ = \frac{1}{3}$

D. $φ = 30 °$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi M là trung điểm của

$B C \Rightarrow \{\begin{cases} A M ⊥ B C \\ D M ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (A D M)$

Suy ra

$\hat{(A B C); (D B C)} = \hat{(A M; D M)} = \hat{A D M} = φ$

Gọi O là hình chiếu của A lên

mặt phẳng $(B C D)$

$\Rightarrow O$ là trọng tâm của tam giác BCD

$\Rightarrow O M = \frac{D M}{3} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Tam giác AMO vuông tại O, có

$\cos \hat{A M D} = \frac{O M}{A M} = \frac{a \sqrt{3}}{6} : \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{3}$

Vậy $\cos φ = \frac{1}{3}$

Câu 19:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 1$ trên đoạn $[- 3; 1]$ lần lượt là

A. 1; -1

B. 53; 1

C. 3; -1

D. 53; -1

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} y' = - 3 x^{2} + 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array} \\ y (- 3) = 53; y (1) = 1 \\ y (0) = - 1; y (2) = 3 \\ \Rightarrow \underset{[- 3; 1]}{M a x} y = 53, \underset{[- 3; 1]}{M i n} y = - 1 \end{array}$

Câu 20:

Nguyên hàm $F (x)$ của hàm số $f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2} + 2$ trên tập số thực thỏa mãn $F (- 1) = 3$ là:

A. $x^{4} - x^{3} + 2 x + 3$

B. $(x^{4} - x^{3} + 2 x)$

C. $x^{4} - x^{3} + 2 x + 4$

D. $x^{4} - x^{3} + 2 x - 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\int f (x) = \int (4 x^{3} - 3 x^{2} + 2) d x$

$= x^{4} - x^{3} + C = F (x)$

Do $F (- 1) = 3 \Rightarrow C = 3$

$\Rightarrow F (x) = x^{4} - x^{3} + 2 x + 3$

Câu 21:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai véc tơ $\vec{a} = (3; 0; 2), \vec{c} = (1; - 1; 0) .$ Tìm tọa độ của véc tơ $\vec{b}$ thỏa mãn biểu thức $2 \vec{b} - \vec{a} + 4 \vec{c} = \vec{0}$

A. $(\frac{1}{2}; - 2; - 1)$

B. $(\frac{- 1}{2}; 2; 1)$

C. $(\frac{- 1}{2}; - 2; 1)$

D. $(\frac{- 1}{2}; 2; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\vec{a} - 4 \vec{c} = (- 1; 4; 2)$

$\Rightarrow 2 \vec{b} = \vec{a} - 4 \vec{c} \Rightarrow \vec{b} = (- \frac{1}{2}; 2; 1)$

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật $A B = 2 a; B C = a; S A = a \sqrt{3}$ và SA vuông góc với mặt đáy $(A B C D) .$ Thể tích V của khối chóp S.ABCD bằng

A. $V = 2 a^{3} \sqrt{3}$

B. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

C. $V = a^{3} \sqrt{3}$

D. $V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Thể tích khối chóp là

$V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a . \sqrt{3} .2 a . a = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Câu 23:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60 ° .$ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh cạnh SD,DC. Thể tích khối tứ diện ACMN là

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{a^{3}}{8}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\hat{(S C D); (A B C)} = \hat{S M H} = 60 °$

Khi đó $S H = H M \tan 60 ° = a \sqrt{3}$

Mặt khác

$S_{A C M} = \frac{1}{2} A D . C M = \frac{1}{2} 2 a . a = a^{2}$

$d (N; (A C M)) = \frac{1}{2} S H = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow V_{N . A C M} = \frac{1}{3} d (N; (A C M)) = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

Câu 24:

Tìm m để hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + m x + 2$ tăng trên khoảng $(1; + \infty)$

A. $m \neq 3$

B. $m \geq 3$

C. $m \leq 3$

D. $m < 3$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + m x + 2$

ta có $y' = 3 x^{2} - 6 x + m, \forall x \in ℝ$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(1; + \infty)$

$\Leftrightarrow y' \geq 0, \forall x \in [1; + \infty) \Leftrightarrow m \geq 6 x - 3 x^{2}, \forall x \in [1; + \infty) (*)$

Xét hàm số $f (x) = 6 x - 3 x^{2}$

trên $[1; + \infty)$

có $f' (x) = 6 - 6 x = 0 \Leftrightarrow x = 1$

Vật giá trị lớn nhất của hàm số $f (x)$ là 3.

Vậy $(*) \Leftrightarrow m \geq \max_{[1; + \infty)} f (x) = 3$

Câu 25:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba véc tơ $\vec{a} = (- 1; 1; 0), \vec{b} = (1; 1; 0), \vec{c} = (1; 1; 1) .$ Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?

A. $c o s (\vec{b}, \vec{c}) = \frac{2}{\sqrt{6}}$

B. $\vec{a} . \vec{c} = 1$

C. $\vec{a} v à \vec{b} c ù n g p h ư ơ n g$

D. $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào đáp án, ta có các nhận xét sau

$\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau

$\vec{a} = (- 1; 1; 0), \vec{c} = (1; 1; 1) \Rightarrow \vec{a} . \vec{c} = (- 1) .1 + 1.1 + 0.1 = 0$

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (1; 3; 1)$

và $c o s (\vec{b}, \vec{c}) = \frac{2}{\sqrt{6}}$

Câu 26:

Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 4}{x - m}$ có tiệm cận đứng.

A. $m > - 2$

B. $m = - 2$

C. $m < - 2$

D. $m \neq - 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi

và chỉ khi $x = m \neq - 2$

Câu 27:

Biết phương trình $9^{x} - 2^{x + \frac{1}{2}} = 2^{x + \frac{3}{2}} - 3^{2 x - 1}$ có nghiệm là a. Tính giá trị biểu thức $P = a + \frac{1}{2} \log_{\frac{9}{2}} 2$

A. $P = \frac{1}{2}$

B. $P = 1$

C. $P = 1 - \frac{1}{2} \log_{\frac{9}{2}} 2$

D. $P = 1 - \log_{\frac{9}{2}} 2$

Xem đáp án

Đáp án B

$P T 9^{x} + \frac{9^{x}}{3} = 2 \sqrt{2} {.2}^{x} + \sqrt{2} {.2}^{x} \Leftrightarrow \frac{4}{9} 9^{x} = 3 \sqrt{2} {.2}^{x} \Leftrightarrow {(\frac{9}{2})}^{x} = \frac{9 \sqrt{2}}{4} \Leftrightarrow x = \log_{\frac{9}{2}} \frac{9 \sqrt{2}}{4} \Rightarrow a = \log_{\frac{9}{2}} \frac{9 \sqrt{2}}{4}$

$\Rightarrow P = \log_{\frac{9}{2}} \frac{9 \sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \log_{\frac{9}{2}} 2 = \log_{\frac{9}{2}} \frac{9 \sqrt{2}}{4} \log_{\frac{9}{2}} \sqrt{2} = \log_{\frac{9}{2}} \frac{9}{2} = 1$

Câu 28:

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là những tam giác đều cạnh bằng 1, $A D = \sqrt{2} .$ Gọi O là trung điểm cạnh AD. Xét hai khẳng định sau:

$(I) O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

$(I I) O . A B C$ là hình chóp tam giác đều.

Hãy chọn khẳng định đúng

A. Chỉ (II) đúng

B. Cả (I) và (II) đều sai

C. Cả (I) và (II) đều đúng

D. Chỉ (I) đúng

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $A D^{2} = A B^{2} + B D^{2} = A C^{2} + C D^{2}$

$\Rightarrow Δ A B D, Δ A C D$ vuông cân tại B, C

Mà O là trung điểm cạnh $A D \Rightarrow O A = O B - O C$

$\Rightarrow O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Dễ thấy $O A = O B - O C$ và $Δ A B C$ đều cạnh a

$\Rightarrow$ khối chóp $O . A B C$ là hình chóp tam giác đều

Câu 29:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên và $f' (x) > 0, \forall x > 0.$ Biết $f (1) = 2$ khẳng định nào sau đây có thể xảy ra?

A. $f (2016) > f (2017)$

B. $f (2) + f (3) = 4$

C. $f (2) = 1$

D. $f (- 1) = 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f' (x) > 0, \forall x > 0$

$\Rightarrow$ hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

Do đó $f (2) > f (1) = 2, f (2016) < f (2017)$

và $f (3) > f (2) > 2 \Rightarrow f (2) + f (3) > 4$

Vậy điều có thể xảy ra duy nhất là $f (- 1) = 2$

Câu 30:

Trong các hình hộp nội tiếp mặt cầu tâm I bán kính R, hình hộp có thể tích lớn nhất bằng

A. $\frac{8}{3} R^{3}$

B. $\frac{8}{3 \sqrt{3}} R^{3}$

C. $\frac{\sqrt{8}}{3 \sqrt{3}} R^{3}$

D. $\sqrt{8} R^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi a, b, c là các kích thước của khối hộp khi đó

$R = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}{2}$

Mặt khác

$a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} = 3 \sqrt[3]{V^{2}} \Rightarrow 4 R^{2} \geq 3 \sqrt[3]{V^{2}} \Rightarrow V \leq \frac{8}{3 \sqrt{3}} R^{3}$

Câu 31:

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ cạnh a. Tính thể tích khối nón có đỉnh là tâm hình vuông ABCD và đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông $A' B' C' D'$

A. $V = \frac{π}{12} a^{3}$

B. $V = \frac{π}{6} a^{3}$

C. $V = \frac{π}{4} a^{3}$

D. $V = \frac{4 π}{3} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Chiều cao hình nón h = a và bán kính đáy bằng bán kính đáy của đường tròn nội tiếp hình vuông A’B’C’D’ và bằng $r = \frac{a}{2} .$

Do đó $V_{(N)} = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{π a^{3}}{12}$

Câu 32:

Nguyên hàm của $I = \int x \ln (2 x - 1) d x$ là:

A. $I = \frac{4 x^{2} - 1}{8} \ln |2 x - 1| + \frac{x (x + 1)}{4} + C$

B. $I = \frac{4 x^{2} - 1}{8} \ln |2 x - 1| - \frac{x (x + 1)}{4} + C$

C. $I = \frac{4 x^{2} - 1}{8} \ln |2 x - 1| + \frac{x (x + 1)}{4} + C$

D. $I = \frac{4 x^{2} - 1}{8} \ln |2 x - 1| - \frac{x (x + 1)}{4} + C$

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $\{\begin{cases} u = \ln (2 x - 1) \\ d v = x d x \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} d u = \frac{2}{2 x - 1} \\ v = \frac{x^{2} - \frac{1}{4}}{2} = \frac{4 x^{2} - 1}{8} \end{cases} \Rightarrow I = \frac{4 x^{2} - 1}{8} \ln (2 x - 1) - \int \frac{(2 x - 1) (2 x + 1)}{4 (2 x - 1)} d x$

$= \frac{4 x^{2} - 1}{8} \ln (2 x - 1) - \int \frac{2 x + 1}{4} d x$

$= \frac{4 x^{2} - 1}{8} \ln |2 x - 1| + \frac{x (x + 1)}{4} + C$

Câu 33:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đồ thị (C) như hình vẽ. Hỏi (C) là đồ thị của hàm số nào?

A. $y = {(x - 1)}^{3}$

B. $y = x^{3} - 1$

C. $y = x^{3} + 1$

D. $y = {(x + 1)}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào hình vẽ, ta thấy rằng

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(1; 0), (0; - 1) \to$ loại C, D

Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại điểm $(1; 0) \Rightarrow y' (1) = 0 \to$ chọn A

Câu 34:

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a. Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục của hình trụ và cách trục của hình trụ một khoảng bằng $\frac{a}{2}$ ta được thiết diện là một hình vuông. Tính thể tích khối trụ

A. $\frac{π a^{3} \sqrt{3}}{4}$

B. $π a^{3} \sqrt{3}$

C. $π a^{3}$

D. $3 π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi hình vuông thiết diện ABCD và O là tâm đường tròn đáy của hình trụ

Gọi H là trung điểm của AB, ta có

$O H = \frac{a}{2} \Rightarrow A H = \sqrt{O A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A B = a \sqrt{3}$

Chiều cao của khối trụ chính là độ dài cạnh của hình vuông bằng $h = a \sqrt{3}$

Thể tích khối trụ là $V = π r^{2} h = π a^{3} \sqrt{3}$

Câu 35:

Cho phí cho xuất bản x cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ công nhan viên giấy in…) được cho bởi $C (x) = 0, 0001 x^{2} - 0, 2 x + 10000, C (x)$ được tính theo đơn vị là vạn đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng. Tỉ số $M (x) = \frac{T (x)}{x}$ với T( x) là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho x cuốn tạp chí được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn. khi chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí M( x) thấp nhất tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đó

A. 15.000 đồng

B. 20.000 đồng

C. 10.000 đồng

D. 22.000 đồng

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

$M (x) = \frac{T (x)}{x} = \frac{C (x) + 0, 4 x}{x} = \frac{0, 0001 x^{2} + 0, 2 x + 10000}{x} = 0, 0001 x + 0, 2 + \frac{10000}{x}$

Khi đó

$M (x) = (0, 0001 x + \frac{10000}{x}) + 0, 2 \geq \sqrt{0, 0001 x . \frac{10000}{x}} + 0, 2 = 2, 2$

Suy ra

$M i n M (x) = 2, 2 \Leftrightarrow 0, 0001 x = \frac{10000}{x} \Leftrightarrow x = 10000 \Rightarrow M (x) = 22.00 đ ồ n g$

Câu 36:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Mặt cầu đi qua bốn điểm S, A, B, E có bán kính là

A. $\frac{a \sqrt{41}}{8}$

B. $\frac{a \sqrt{41}}{24}$

C. $\frac{a \sqrt{41}}{16}$

D. $\frac{a \sqrt{2}}{16}$

Xem đáp án

Đáp án A

Tam giác ABE cân có $A E = B E = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

và AB = a

$\Rightarrow S_{Δ A B E} = \frac{a^{2}}{2} = \frac{A E . B E . A B}{4. R_{Δ A B E}} \Rightarrow R_{Δ A B E} = [2 a . {(\frac{a \sqrt{5}}{2})}^{2}] : 4 a^{2} = \frac{5 a}{8}$

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABE là

$R = \sqrt{R_{Δ A B E}^{2} + \frac{S A^{2}}{4}} = \sqrt{{(\frac{5 a}{8})}^{2} + \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{41}}{8}$

Câu 37:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên khoảng $(a; b)$ và $x_{0} \in (a; b) .$ Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

(1). Hàm số đạt cực trị tại điểm $x_{0}$ khi và chỉ khi $f' (x_{0}) = 0$

(2). Nếu hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm $x_{0}$ thoả mãn điều kiện $f' (x_{0}) = f'' (x_{0}) = 0$ thì điểm $x_{0}$ không phải là điểm cực trị của hàm số $y = f (x)$

(3). Nếu $f' (x)$ đổi dấu khi x qua $x_{0}$ thì điểm $x_{0}$ là điểm cực tiểu của hàm số $y = f (x)$

(4). Nếu hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm $x_{0}$ thoả mãn điều kiện $f' (x_{0}) = 0; f'' (x_{0}) > 0$ thì điểm $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số $y = f (x)$

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án A

A sai vì hàm số $y = x^{3}$ có $y' (0) = 0$ nhưng không đạt cực trị tại x = 0

B sai vì hàm số $y = x^{4}$ có $y' (0) = 0, y'' (0) = 0$ đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm $x_{0}$ thoả mãn điều kiện $f' (x_{0}) = f'' (x_{0}) = 0$ thì điểm $x_{0}$ nhưng không đạt cực trị tại x = 0

C sai vì “Nếu $f' (x)$ đổi dấu khi x qua $x_{0}$ thì điểm $x_{0}$ là điểm trị (cực đại và cực tiểu) của hàm số $y = f^{''} (x)$

D sai vì “Nếu hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm và có đạo hàm cấp hai tại điểm $x_{0}$ thoả mãn điều kiện $f' (x_{0}) = 0; f'' (x_{0}) > 0$ thì điểm $x_{0}$ là điểm cực đại của hàm số $y = f^{''} (x)$

Câu 38:

Số nguyên tố dạng $M_{p} = 2^{P} - 1,$ trong đó p là một số nguyên tố được gọi là số nguyên tố Mecxen. Số $M_{6972593}$ được phát hiện năm 1999. Hỏi rằng nếu viết số đó trong hệ thập phân thì có bao nhiêu chữ số?

A. 2098960 chữ số

B. 2098961 chữ số

C. 6972593 chữ số

D. 6972592 chữ số

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

$\log M_{6972593} = \log (2^{6972593} - 1) \approx \log 2^{6972593} = \log {(2^{\log_{2} 10})}^{\frac{6972593}{^{\log_{2} 10}}} = \frac{6972593}{^{\log_{2} 10}} = 2098959, 641$

Do đó số chữ số của số đó là

$2098959 + 1 = 2098960$

Câu 39:

Cho hàm số $y = \{\begin{cases} - x^{2} + 2, khi x \leq 1 \\ x, k h i x > 1 \end{cases} .$ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[- 2; 3]$

A. $\max_{[- 2; 3]} y = - 2$

B. $\max_{[- 2; 3]} y = 2$

C. $\max_{[- 2; 3]} y = 1$

D. $\max_{[- 2; 3]} y = 3$

Xem đáp án

Đáp án D

Với $x \in [- 2; 1]$ ta có

$y = - x^{2} + 2 \Rightarrow y' = - 2 x; y' = 0 \Leftrightarrow x = 0.$

Ta có $y (- 2) = - 2; y (0) = 2; y (1) = 1$

Xét $x \in (1; 3]$ ta có

$y = x \Rightarrow y' = 1 > 0.$

Ta có $y (3) = 3$

Suy ra $\max_{[- 2; 3]} y = 3$

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang vuông tại A và B, biết $A B = B C = a, A D = 2 a, S A = a \sqrt{3}$ và $S A ⊥ (A B C D) .$ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB, SA. Tính khoảng cách từ M đến (NCD) theo a

A. $\frac{a \sqrt{66}}{11}$

B. $\frac{a \sqrt{66}}{22}$

C. $\frac{a \sqrt{66}}{44}$

D. $2 a \sqrt{66}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $K = C D \cap A B$ khi đó BC là đường trung bình trong tam giác KAD nên KB =a

Gọi $I = K N \cap A M$

Ta có

$\frac{I M}{I A} = \frac{M N}{K B} = \frac{1}{2} \Rightarrow d_{M} = \frac{1}{2} d_{A}$

Do $C E = \frac{1}{2} A D$ nên $Δ A C D$ vuông tại C

Dựng $A H ⊥ N C,$

$d_{A} = A H = \frac{N A . A C}{\sqrt{N A^{2} + A C^{2}}} = \frac{a \sqrt{66}}{11}$

Do đó $d_{M} = \frac{a \sqrt{66}}{22}$

Câu 41:

Cho tam giác ABC cân tại A. Biết rằng độ dài cạnh BC, trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân có công bội q. Tìm công bội q của cấp số nhân đó

A. $q = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

B. $q = \frac{\sqrt{2 + 2 \sqrt{2}}}{2}$

C. $q = \frac{- 1 + \sqrt{2}}{2}$

D. $q = \frac{\sqrt{- 2 + 2 \sqrt{2}}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

$\{\begin{cases} A M^{2} + (\frac{B C^{2}}{2}) = A B^{2} \\ B C . A B = A M^{2} \end{cases} \Rightarrow B C . A B + {(\frac{B C}{2})}^{2} = A B^{2} \Leftrightarrow {(\frac{A B}{B C})}^{2} - (\frac{A B}{B C}) - \frac{1}{4} = 0$

$\Leftrightarrow q^{2} = \frac{A B}{B C} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow q = \sqrt{\frac{1 + \sqrt{2}}{2}}$

Câu 42:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA= y. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho $A M = x$ . Biết rằng $x^{2} + y^{2} = a^{2} .$ Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABCM

A. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^{3}}{8}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

$V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C M} = \frac{1}{3} y . \frac{1}{2} a (x + a) = \frac{1}{6} a (x + a) \sqrt{a^{2} - x^{2}}$

Xét $f (x) = (x + a) \sqrt{a^{2} - x^{2}}$

$\Rightarrow f' (x) = \sqrt{a^{2} - x^{2}} + (x + a) . \frac{- x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = 0$

$\Rightarrow a^{2} - x^{2} = x (x + a) \Leftrightarrow 2 x^{2} + a x - a^{2} = 0 \Leftrightarrow (x + a) (2 x - a) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}$

$\Rightarrow V \leq \frac{1}{6} a (\frac{a}{2} + a) \sqrt{a^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{8}$

Câu 43:

Xét các số thực a, b thỏa mãn $a \geq b > 1.$ Biết rằng biểu thức $P = \frac{1}{\log_{a b} a} + \sqrt{\log_{a} \frac{a}{b}}$ đạt giá trị lớn nhất khi $b = a^{k} .$ Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $k \in (2; 3)$

B. $k \in (\frac{3}{2}; 2)$

C. $k \in (- 1; 0)$

D. $k \in (0; \frac{3}{2})$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $0 < t = \log_{a} b \leq 1$

$\Rightarrow P = \log_{a} a b + \sqrt{\log_{a} a + \log_{a} b} = 1 + t + \sqrt{1 - t} = f (t)$

$f' (t) = 1 - \frac{1}{2 \sqrt{1 - t}} \to f' (t) = 0$

$\Leftrightarrow t = \frac{3}{4} \Rightarrow f (\frac{3}{4}) = \frac{9}{4} .$

Dựa vào bảng biến thiên,

suy ra $\underset{0 < t \leq 1}{f (t)} \leq f (\frac{3}{4})$

Khi đó $t = \frac{3}{4} = \log_{a} b$

$\Leftrightarrow a^{\frac{3}{4}} = b \Leftrightarrow k = \frac{3}{4}$

Câu 44:

Giả sử hàm số $y = f (x)$ liên tục nhận giá trị dương trên khoảng $(0; + \infty)$ và thỏa mãn $f (1) = 1, f (x) = f' (x) \sqrt{3 x + 1},$ với $\forall x > 0.$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $1 < f (5) < 2$

B. $4 < f (5) < 5$

C. $2 < f (5) < 3$

D. $3 < f (5) < 4$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $f (x) = f' (x) \sqrt{3 x + 1}$

$\Leftrightarrow \frac{f' (x)}{f (x)} = \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}} \Leftrightarrow \int \frac{f' (x)}{f (x)} d x = \int \frac{d x}{\sqrt{3 x + 1}}$

$\Leftrightarrow \int \frac{a (f (x))}{f (x)} = \int {(3 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} d x$

$\Leftrightarrow \ln f (x) = \frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} + C \Leftrightarrow f (x) = e^{\frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} + C}$

Mặt khác $f (1) = 1$

suy ra $1 = e^{\frac{4}{3} + C}$

$\Leftrightarrow C = - \frac{4}{3} \Rightarrow f (5) \approx 3, 793$

Câu 45:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm là $f' (x)$ . Đồ thị của hàm số $y = f' (x)$ được cho như hình vẽ bên. Biết rằng $f (0) + f (3) = f (2) + f (5) .$ Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của $f (x)$ trên đoạn $[0; 5]$ lần lượt là

A. $f (0), f (5)$

B. $f (2), f (0)$

C. $f (1), f (5)$

D. $f (2), f (5)$

Xem đáp án

Đáp án D

Từ đồ thị $y = f' (x)$ trên đoạn $[0; 5]$ , ta có bảng biến thiên của hàm số $y = f (x)$ như hình vẽ bên

Suy ra $min_{[0; 5]} f (x) = f (2) .$

Từ giả thiết, ta có

$f (0) + f (3) = f (2) + f (5) \Leftrightarrow f (5) - f (3) = f (0) - f (2)$

Hàm số f(x) đồng biến trên $[2; 5]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (3) > f (5) \Rightarrow f (5) - f (2) \\ > f (5) - f (3) \\ = f (0) - f (2) \Leftrightarrow f (5) > f (0) \end{array}$

Suy ra $\max_{[0; 5]} f (x) = \{f (0); f (5)\} = f (5)$

Câu 46:

Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn $u_{1} = \frac{1}{2}, u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{2 (n + 1) u_{n} + 1}, n \geq 1.$ $S_{n} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{n} < \frac{2017}{2018}$ khi n có giá trị nguyên dương lớn nhất là

A. 2017

B. 2015

C. 2016

D. 2014

Xem đáp án

Đáp án C

2016

Câu 47:

Cho hai đường cong $(C_{1}) : y = 3^{x} (3^{x} - m + 2) + m^{2} - 3 m$ và $(C_{2}) : y = 3^{x} + 1.$ Để $(C_{1})$ và $(C_{2})$ tiếp xúc nhau thì giá trị của tham số m bằng

A. $m = \frac{5 - 2 \sqrt{10}}{3}$

B. $m = \frac{5 + 3 \sqrt{2}}{3}$

C. $m = \frac{5 + 2 \sqrt{10}}{3}$

D. $m = \frac{5 - 3 \sqrt{2}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Xét đường cong

$(C_{1}) : f (x) = 3^{x} (3^{x} - m + 2) + m^{2} - 3 m$

Và đường cong $(C_{2}) : g (x) = 3^{x} + 1.$

Để $(C_{1})$ tiếp xúc với $(C_{2})$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} f' (x) = g' (x) \\ f (x) = g (x) \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 \ln 3 {(3^{x})}^{2} - (m - 2) \ln {3.3}^{x} = 3^{x} . \ln 3 \\ {(3^{x})}^{2} - (m - 2) {.3}^{x} + m^{2} - 3 m = 3^{x} + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 23^{x} - m + 2 = 1 \\ {(3^{x})}^{2} - (m - 2) {.3}^{x} + m^{2} - 3 m = 3^{x} + 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3^{x} = \frac{m - 1}{2} \\ {(3^{x})}^{2} - (m - 2) {.3}^{x} + m^{2} - 3 m = 3^{x} + 1 \end{cases} \Rightarrow {(\frac{m - 1}{2})}^{2} - (m - 2) . \frac{m - 1}{2} + m^{2} - 3 m = \frac{m - 1}{2} + 1 (*)$

vì $3^{x} > 0 \Rightarrow m > 1,$

do đó $(*) \Leftrightarrow m = \frac{5 + 2 \sqrt{10}}{3}$

Câu 48:

Trên mặt phẳng Oxy ta xét một hình chữ nhật ABCD với các điểm $A (- 2; 0), B (- 2; 2), C (4; 2), D (4; 0) .$ Một con châu chấu nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên). Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M( x;y) mà $x + y < 2$

A. $\frac{3}{7}$

B. $\frac{8}{21}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{4}{7}$

Xem đáp án

Đáp án A

Đường thẳng $x + y - 2 = 0$ chia hình chữ nhật thành 2 phần như hình vẽ. Xét điểm $X (0; 1)$

Số các điểm nguyên không nằm bên ngoài hình chữ nhật là $3.7 = 21$ (điểm)

Các điểm có tọa độ thỏa mãn $x + y < 2$ là các điểm nằm phía bên trái đường thẳng $x + y - 2 = 0$ , hay cùng phía với X so với đường thẳng $x + y - 2 = 0$ và không lấy các điểm nằm trên đường thẳng này.

Dễ thấy trường hợp này có 9 điểm thỏa mãn

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$

Câu 49:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. I nằm trên cạnh SC sao cho IS = 2IC. Mặt phẳng (P) chứa cạnh AI cắt cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi $V ’, V$ lần lượt là thể tích khối chóp S.AMIN và S.ABCD. Tính giá trị nhỏ nhất của tỷ số thể tích $\frac{V'}{V}$

A. $\frac{4}{5}$

B. $\frac{5}{54}$

C. $\frac{8}{15}$

D. $\frac{5}{24}$

Xem đáp án

Đáp án C

Bài toán sử dụng bổ đề sau: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (P) bất kì cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm A’, B’, C’, D’ với tỉ số

$\frac{S A'}{S A} = x; \frac{S B'}{S B} = y; \frac{S C'}{S C} = z; \frac{S D'}{S D} = t$ thì ta có đẳng thức

$\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{t}$ và tỉ số

$\frac{V_{S . A' B' C' D'}}{V_{S . A B C D}} = \frac{x y z t}{4} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t})$

Áp dụng vào bài toán

đặt $u = \frac{S M}{S B}, v = \frac{S N}{S D}$ ta có

$\begin{array}{l} \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{S A}{S A'} + \frac{S C}{S I} = \frac{1}{1} + \frac{1}{\frac{2}{3}} \\ = \frac{5}{2} \geq \frac{2}{\sqrt{u v}} \geq \frac{16}{25} \\ \Rightarrow \frac{V'}{V} = \frac{u v .1. \frac{2}{3}}{4} (\frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{1} + \frac{1}{\frac{2}{3}}) \\ = \frac{5 u v}{6} \geq \frac{8}{15} \end{array}$

Câu 50:

Cho biểu thức $f (x) = \frac{1}{2018^{x} + \sqrt{2018}} .$ Tính tổng sau

$S = \sqrt{2018} [f (- 2017) + f (- 2016) + ... + f (0) + f (1) + ... + f (2018)]$

A. $S = 2018$

B. $S = \frac{1}{2018}$

C. $S = \sqrt{2018}$

D. $S = \frac{1}{\sqrt{2018}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt

$a = 2018 \Rightarrow f (x) + f (1 - x) = \frac{1}{a^{x} + \sqrt{a}} + \frac{1}{a^{1 - x} + \sqrt{a}} = \frac{a^{1 - x} + a^{x} + 2 \sqrt{a}}{(a^{x} + \sqrt{a}) (a^{1 - x} + \sqrt{a})} = \frac{1}{\sqrt{a}}$

Do đó

$f (x) + f (1 - x) = \frac{1}{\sqrt{2018}}$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 13

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan