50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 5

Câu 1:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{x^{3} - 3 x - 2}{x^{2} + 3 x + 2}$ là

A. $x = - 1; x = - 2$

B. $x = - 2$

C. $x = - 1$

D. Không có tiệm cận đứng

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y = \frac{x^{3} - 3 x - 2}{x^{2} + 3 x + 2} = \frac{{(x + 1)}^{2} (x - 2)}{(x + 1) (x + 2)} = \frac{(x + 1) (x - 2)}{x + 2} = \frac{x^{2} - x - 2}{x + 2}$

Suy ra $\lim_{x \to - 2} y = \lim_{x \to - 2} \frac{x^{2} - x - 2}{x + 2} = \infty \to x = - 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Câu 2:

Một người mỗi đầu tháng đều đặn gửi vào ngân hàng một khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% mỗi tháng. Biết đến cuối tháng thứ 15 thì người đó có số tiền là 10 triệu đồng. Hỏi số tiền T gần với số tiền nào nhất trong các số sau?

A. 635.000

B. 535.000

C. 613.000

D. 643.000

Xem đáp án

Đáp án A

Theo công thức, số tiền người đó có đến cuối tháng 15 là

$T_{15} = \frac{T}{r} [{(1 + r)}^{15} - 1] (1 + r) \Leftrightarrow T = \frac{r T_{15}}{[{(1 + r)}^{15} - 1] (1 + r)} \approx 635.301$

Câu 3:

Biết n là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{3} + 2 A_{n}^{2} = 100.$ Hệ số của $x^{5}$ trong khai triển ${(1 - 3 x)}^{2 n}$ bằng:

A. $- 3^{5} C_{10}^{5}$

B. $- 3^{5} C_{12}^{5}$

C. $3^{5} C_{10}^{5}$

D. $6^{5} C_{10}^{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

ĐK: $n \geq 3, n \in ℕ$

Khi đó

$A_{n}^{3} + 2 A_{n}^{2} = 100 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n - 3)!} + 2. \frac{n!}{(n - 2)!} = 100 \Leftrightarrow n (n - 1) (n - 2) + 2 n (n - 1) = 100$

$\Leftrightarrow n^{3} - 3 n^{2} + 2 n + 2 n^{2} - 2 n = 100 \Leftrightarrow n^{3} - n^{2} = 100 \Rightarrow n = 5$

Hệ số của $x^{5}$ trong khai triển ${(1 - 3 x)}^{10}$ bằng: $- 3^{5} C_{10}^{5}$

Câu 4:

Hàm số $y = \log_{2} (4^{x} - 2^{x} + m)$ có tập xác định là $ℝ$ thì

A. $m < \frac{1}{4}$

B. $m > 0$

C. $m \geq \frac{1}{4}$

D. $m > \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Hàm số có tập xác định là $ℝ \Leftrightarrow 4^{x} - 2^{x} + m > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow m > 2^{x} - 4^{x} (\forall x \in ℝ)$

Đặt $t = 2^{x} > 0 \Rightarrow m > t - t^{2} (\forall t > 0) \Leftrightarrow m > \max_{t > 0} f (t) \Leftrightarrow m > \frac{1}{4}$

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình bình hành ABCD. Biết $A (2; 1; - 3), B (0; - 2; 5)$ và $C (1; 1; 3) .$ Diện tích hình bình hành ABCD là

A. $2 \sqrt{87}$

B. $\frac{\sqrt{349}}{2}$

C. $\sqrt{349}$

D. $\sqrt{87}$

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử $D (a; b; c) .$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\vec{C D} = \vec{B A} = (2; 3; - 8) \Leftrightarrow \{\begin{cases} a - 1 = 2 \\ b - 1 = 3 \\ c - 3 = - 8 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 3 \\ b = 4 \\ c = - 5 \end{cases}$

$\Rightarrow D (3; 4; - 5)$

Ta có $\vec{A B} = (- 2; - 3; - 8), \vec{A D} = (1; 3; - 2)$

Diện tích hình bình hành ABCD là: $S = [\vec{A B}, \vec{A D}] = \sqrt{349}$

Câu 6:

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. $\int_{0}^{1} \sin (1 - x) d x = \int_{0}^{1} \sin x d x$

B. $\int_{0}^{1} c o s (1 - x) d x = \int_{0}^{1} \cos x d x$

C. $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos \frac{x}{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x d x$

D. $\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin \frac{x}{2} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x d x$

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = 1 - x \Rightarrow d t = - d x,$ đổi cận

$|\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 1 \\ x = 1 \Rightarrow t = 0 \end{array} \Rightarrow I = \int_{0}^{1} \sin (1 - x) d x = - \int_{1}^{0} \sin (1 - x) d x = \int_{0}^{1} \sin x d x$

Câu 7:

Cho tổng $S = C_{2017}^{1} + C_{2017}^{2} + ... + C_{2017}^{2017} .$ Giá trị tổng S bằng

A. $2^{2018}$

B. $2^{2017}$

C. $2^{2017} - 1$

D. $2^{2016}$

Xem đáp án

Đáp án B

Xét khai triển ${(1 + x)}^{2017} = C_{2017}^{1} + C_{2017}^{1} x + C_{2017}^{2} x^{2} + ... + C_{2017}^{2017} x^{2017}$

Cho $x = 1 \Rightarrow 2^{2017} = 1 + S \Rightarrow S = 2^{2017} - 1$

Câu 8:

Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 5; 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi một khác nhau và phải có mặt chữ số 3.

A. 108 số

B. 228 số

C. 36 số

D. 144 số

Xem đáp án

Đáp án B

Số các số lẻ có 4 chữ số

Chữ số hàng đơn vị có 3 cách chọn, chữ số hàng nghìn có 4 cách chọn, chữ số hàng trăm và hàng chục có lần lượt 4 và 3 cách chọn

Do đó có: $3.4.4.3 = 144$ số

Số các số lẻ có 4 chữ số và không có chữ số 3 là 3.4.3 = 36

Vậy có $144 - 36 = 108$ số

Câu 9:

Biết $\int f (x) d x = 2 x \ln (3 x - 1) + C$ với $x \in (\frac{1}{9}; + \infty) .$ Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

A. $\int f (3 x) d x = 2 x \ln (9 x - 1) + C$

B. $\int f (3 x) d x = 6 x \ln (3 x - 1) + C$

C. $\int f (3 x) d x = 6 x \ln (9 x - 1) + C$

D. $\int f (3 x) d x = 3 x \ln (9 x - 1) + C$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $\int f (x) d x = 2 x \ln (3 x - 1) + C$

Do đó

$\int f (3 x) d x = \frac{1}{3} \int f (3 x) d (3 x) = \frac{1}{3} F (3 x) + C = \frac{1}{3} .2.3 x \ln (9 x - 1) + C = 2 x \ln (9 x - 1) + C$

Câu 10:

Bất phương trình $\log_{4} (x + 7) > \log_{2} (x + 1)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

ĐK: $x > - 1$

Khi đó PT $\Leftrightarrow \log_{2^{2}} (x + 7) > \log_{2} (x + 1) \Leftrightarrow \frac{1}{2} \log_{2} (x + 7) > \log_{2} (x + 1)$

$\Leftrightarrow \log_{2} (x + 7) > \log_{2} {(x + 1)}^{2} \Leftrightarrow x + 7 > {(x + 1)}^{2} \Leftrightarrow x^{2} + x - 6 < 0 \Leftrightarrow - 3 < x < 2$

Kết hợp dk $\Rightarrow - 1 < x < 2 \overset{x \in ℤ}{\to} x = 0; x = 1$

Câu 11:

Hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh a; $S A ⊥ (A B C D); S A = a \sqrt{3} .$ Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) bằng

A. $a \sqrt{3}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $2 a \sqrt{3}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Do $A B / / C D \Rightarrow d (B; (S C D)) = d (A; (S C D))$

Ta có $\{\begin{cases} C D ⊥ S A \\ C D ⊥ A D \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S A D)$

Dựng $A H ⊥ (S D) \Rightarrow A H ⊥ (S C D)$

Lại có $A H = \frac{S A . A D}{\sqrt{S A^{2} + A D^{2}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Do đó $d_{B} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Câu 12:

Chọn khẳng định đúng

A. $\int 3^{2 x} d x = \frac{3^{2 x}}{\ln 3} + C$

B. $\int 3^{2 x} d x = \frac{9^{x}}{\ln 3} + C$

C. $\int 3^{2 x} d x = \frac{3^{2 x}}{\ln 9} + C$

D. $\int 3^{2 x} d x = \frac{3^{2 x + 1}}{2 x + 1} + C$

Xem đáp án

Đáp án C

$\int 3^{2 x} d x = \frac{1}{2} \int 3^{2 x} d (2 x) = \frac{1}{2} \frac{3^{2 x}}{\ln 3} = \frac{3^{2 x}}{\ln 9}$

Câu 13:

Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin x$ và đồ thị hàm số $y = F (x)$ đi qua điểm $M (0; 1) .$ Tính $F (\frac{π}{2})$

A. $F (\frac{π}{2}) = 0$

B. $F (\frac{π}{2}) = 1$

C. $F (\frac{π}{2}) = 2$

D. $F (\frac{π}{2}) = - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

$\int \sin x d x = - c o s x + C = F (x)$

Do đó đồ thị hàm số $y = F (x)$ đi qua điểm $M (0; 1) \Rightarrow F (0) = - c o s 0 + C = 1 \Leftrightarrow C = 2$

Do đó $F (\frac{π}{2}) = - c o s \frac{π}{2} + 2 = 2$

Câu 14:

Một người gửi tiết kiệm số tiền 80 000 000 đồng với lãi suất là 6,9%/ năm. Biết rằng tiền lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó có rút được cả gốc và lãi số tiền gần với con số nào nhất sau đây?

A. 116 570 000 đồng

B. 107 667 000 đồng

C. 105 370 000 đồng

D. 111 680 000 đồng

Xem đáp án

Đáp án D

Áp dụng công thức lãi kép ta có: $T = A {(1 + r)}^{n} = 80000000 {(1 + 6, 9 %)}^{5} = 111680000$ đồng

Câu 15:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm: $\sin x + (m - 1) \cos x = 2 m - 1$

A. $m \geq \frac{1}{2}$

B. $[\begin{array}{l} m > 1 \\ m < - \frac{1}{3} \end{array}$

C. $- \frac{1}{2} \leq m \leq \frac{1}{3}$

D. $- \frac{1}{3} \leq m \leq 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình có nghiệm

$\Leftrightarrow 1^{2} + {(m - 1)}^{2} \geq {(2 m - 1)}^{2} \Leftrightarrow 3 m^{2} - 2 m - 1 \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{3} \leq m \leq 1$

Câu 16:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số $y = \ln (x^{2} + 1) - m x + 1$ đồng biến trên khoảng $(- \infty; + \infty)$

A. $(- \infty; - 1)$

B. $(- 1; 1)$

C. $[- 1; 1]$

D. $(- \infty; - 1]$

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} y' = \frac{2 x}{x^{2} + 1} - m = \frac{2 x - m (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \\ T H 1 : m = 0 \Leftrightarrow \frac{2 x}{x^{2} + 1} > 0 \Leftrightarrow x > 0 \\ T H 2 : m \neq 0 \end{array}$

Hàm số đồng biến trên khoảng

$(- \infty; + \infty) \Leftrightarrow - m x^{2} + 2 x - m > 0 (\forall x \in ℝ)$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} - m > 0 \\ Δ' = 1 - m^{2} \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 0 \\ [\begin{array}{l} m \geq 1 \\ m \leq - 1 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow m \leq - 1$

Câu 17:

Tính $F (x) = \int x c o s x d x$ ta được kết quả

A. $F (x) = x \sin x - c o s x + C$

B. $F (x) = - x \sin x - c o s x + C$

C. $F (x) = x \sin x + c o s x + C$

D. $F (x) = - x \sin x + c o s x + C$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $\{\begin{cases} u = v \\ d v = \cos x d x \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} d u = d v \\ v = \sin x \end{cases}$

$\Rightarrow F (x) = x \sin x - \int \sin x d x \Rightarrow F (x) = x \sin x + c o s x + C$

Câu 18:

Cho a > 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\frac{\sqrt[3]{a^{2}}}{a} > 1$

B. $a^{- \sqrt{3}} > \frac{1}{a^{\sqrt{5}}}$

C. $a^{\frac{1}{3}} > \sqrt{a}$

D. $\frac{1}{a^{2016}} < \frac{1}{a^{2017}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Do $a > 1 \Rightarrow$ vưới $m > n$ thì $a^{m} > a^{n}$

Do $- \sqrt{3} > - \sqrt{5} \Rightarrow a^{- \sqrt{3}} > \frac{1}{a^{\sqrt{5}}} = \frac{1}{a^{5}}$

Câu 19:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $y = \log_{3} (- x^{2} + m x + 2 m + 1)$ xác định với mọi $x \in (1; 2)$

A. $m \geq - \frac{1}{3}$

B. $m \geq \frac{3}{4}$

C. $m > \frac{3}{4}$

D. $m < - \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số xác định với mọi $x \in (1; 2) \Leftrightarrow - x^{2} + m x + 2 m + 1 > 0 (\forall x \in (1; 2))$

$\Leftrightarrow m (x + 2) > x^{2} - 1 (\forall x \in (1; 2)) \Leftrightarrow m > \frac{x^{2} - 1}{x + 2} (\forall x \in (1; 2)) \Leftrightarrow m > \underset{(1; 2)}{M a x} g (x)$

Xét $g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 2}$ với $x \in (1; 2)$ ta có

$g (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 2} = x - 2 + \frac{3}{x + 2} \Rightarrow g' (x) = 1 - \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} > 0 (\forall x \in (1; 2))$

Do đó $g (x)$ đồng biến trên khoảng $(1; 2) \Rightarrow m \geq g (2) = \frac{3}{4}$ là giá trị cần tìm

Câu 20:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sqrt{5 - x^{2}} + x$ là

A. $π$

B. $\frac{\sqrt{41}}{2}$

C. $\sqrt{10}$

D. $\frac{\sqrt{89}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

$T X D : D = [- \sqrt{5}; \sqrt{5}]$

Ta có:

$y' = \frac{- 2 x}{2 \sqrt{5 - x^{2}}} + 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{5 - x^{2}} = x \Leftrightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ 5 - x^{2} = x^{2} \end{cases} \Leftrightarrow x = \sqrt{\frac{5}{2}}$

Lại có $y (- \sqrt{5}) = - \sqrt{5}; y (\sqrt{\frac{5}{2}}) = \sqrt{10}, y (\sqrt{5}) = \sqrt{5}$

Vậy $\underset{[- \sqrt{5}; \sqrt{5}]}{M a x} y = \sqrt{10}$

Câu 21:

Nếu $\int f (x) d x = \frac{1}{x} + \ln |2 x| + C$ với $x \in (0; + \infty)$ thì hàm số $f (x)$ là

A. $f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

B. $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{2 x}$

C. $f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \ln (2 x)$

D. $f (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{2 x}$

Xem đáp án

Đáp án A

$f (x) = (\frac{1}{x} + \ln |2 x| + C)' = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{2 x} = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với độ dài đường chéo bằng $\sqrt{2} a,$ cạnh SA có độ dài bằng 2a và vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. $\frac{\sqrt{6} a}{2}$

B. $\frac{2 \sqrt{6} a}{3}$

C. $\frac{\sqrt{6} a}{12}$

D. $\frac{\sqrt{6} a}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi I là trung điểm SC. Khi đó T là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có $S C = \sqrt{{(\sqrt{2} a)}^{2} + {(2 a)}^{2}} = a \sqrt{6}$

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là $R = \frac{S C}{2} = \frac{a \sqrt{6}}{2}$

Câu 23:

Cho đồ thị (C) của hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 2.$ Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. (C) không có điểm cực trị.

B. (C) có hai điểm cực trị.

C. (C) có ba điểm cực trị

D. (C) có một điểm cực trị

Xem đáp án

Đáp án A

$y' = - 3 x^{2} + 6 x - 5 = 0$ (vô nghiệm) $\Rightarrow (C)$ không có điểm cực trị.

Câu 24:

Cho hình chóp S.ABC với các mặt $(S A B), (S B C), (S A C)$ vuông góc với nhau từng đôi một. Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết diện tích các tam giác $S A B, S B C, S A C$ lần lượt là $4 a^{2}, a^{2} v à 9 a^{2}$

A. $2 \sqrt{2} a^{3}$

B. $3 \sqrt{3} a^{3}$

C. $2 \sqrt{3} a^{3}$

D. $3 \sqrt{2} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Vì các mặt $(S A B), (S B C), (S A C)$ vuông góc với nhau từng đôi một nên SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau

Ta có $\{\begin{cases} S A . S B = 2.4 a^{2} = 8 a^{2} \\ S B . S C = 2. a^{2} = 2 a^{2} \\ S C . S A = 2.9 a^{2} = 18 a^{2} \end{cases}$

$\Rightarrow S A . S B . S C = \sqrt{8 a^{2} .2 a^{2} .18 a^{2}} = 12 \sqrt{2} a^{3}$

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là $V = \frac{1}{6} S A . S B . S C = \frac{1}{6} 12 \sqrt{2} a^{3} = 2 \sqrt{2} a^{3}$

Câu 25:

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{x + 1}{2^{x}}$ là

A. $y' = \frac{1 - (x + 1) \ln 2}{4^{x}}$

B. $y' = \frac{1 - (x + 1) \ln 2}{2^{x}}$

C. $y' = - \frac{x}{4^{x}}$

D. $y' = - \frac{x}{2^{x}}$

Xem đáp án

Đáp án B

$y' = \frac{2^{x} - (x + 1) 2^{x} \ln 2}{4^{x}} = \frac{1 - (x + 1) \ln 2}{2^{x}}$

Câu 26:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x - 2}{x^{2} - 9}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

$\lim_{x \to 3} y = \lim_{x \to 3} \frac{x - 2}{x^{2} - 9} = \infty \Rightarrow x = 3$ là TCĐ

$\lim_{x \to - 3} y = \lim_{x \to - 3} \frac{x - 2}{x^{2} - 9} = \infty \Rightarrow x = - 3$ là TCĐ

$\lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{x - 2}{x^{2} - 9} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{2}{x^{2}}}{1 - \frac{9}{x^{2}}} = 0 \Rightarrow y = 0$ là TCN

Câu 27:

Cho lăng trụ đứng $A B C . A' B' C'$ có đáy ABC là tam giác vuông tại $B, A B = a, A A' = 2 a .$ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng $(A' B C) .$

A. $2 \sqrt{5} a$

B. $\frac{2 \sqrt{5} a}{5}$

C. $\frac{\sqrt{5} a}{5}$

D. $\frac{3 \sqrt{5} a}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là hình chiếu của A lên A’B. Khi đó

$\begin{array}{l} A H ⊥ (A' B C) \\ \Rightarrow d (A; (A' B C)) = A H \end{array}$

Ta có $\frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A A'^{2}} + \frac{1}{A B^{2}} = \frac{1}{{(2 a)}^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{5}{4 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$

$\Rightarrow d (A; (A' B C)) = \frac{2 a}{\sqrt{5}}$

Câu 28:

Cho đồ thị (C) của hàm số $y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + 1.$ Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng $y = 3 x + 1$ là phương trình nào sau đây?

A. $y = 3 x - 1$

B. $y = 3 x$

C. $y = 3 x - \frac{29}{3}$

D. $y = 3 x + \frac{29}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi d là tiếp tuyến của $(C)$ tại $M (x_{0}; y_{0})$ thỏa mãn đề bài

Ta có $y' = x^{2} - 4 x + 3 \Rightarrow y' (x_{0}) = x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 = k_{d}$ là hệ số góc của d

$d / / y = 3 x + 1 \Rightarrow k_{d} = x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{0} = 0 \\ x_{0} = 4 \end{array}$

Với $x_{0} = 0 \Rightarrow M (0; 1) \Rightarrow d : 3 (x - 0) + 1 \Leftrightarrow d : y = 3 x + 1 \equiv y = 3 x + 1$

Với $x_{0} = 4 \Rightarrow M (4; \frac{7}{3}) \Rightarrow d : 3 (x - 4) + \frac{7}{3} \Leftrightarrow d : y = 3 x - \frac{29}{3}$

Vậy $d : y = 3 x - \frac{29}{3}$

Câu 29:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục và nhận giá trị dương trên $[0; 1] .$ Biết $f (x) . f (1 - x) = 1$ với mọi x thuộc $[0; 1] .$ Tính giá trị $I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + f (x)}$

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f (x) . f (1 - x) = 1$ nên ta chọn $f (x) = 1 \Rightarrow f (1 - x) = 1 \Rightarrow I = \int_{0}^{1} \frac{d x}{2} = \frac{1}{2}$

Câu 30:

Từ một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng 5dm, người ta cắt bỏ bốn tam giác bằng nhau là $A M B, B N C, C P D$ và DQA. Với phần còn lại, người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều. Hỏi cạnh đáy của khối chóp bằng bao nhiêu để thể tích của nó là lớn nhất?

A. $\frac{3 \sqrt{2}}{2} d m$

B. $\frac{5}{2} d m$

C. $2 \sqrt{2} d m$

D. $\frac{5 \sqrt{2}}{2} d m$

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử $M N = x \Rightarrow d (A; M Q) = \frac{5 \sqrt{2} - x}{2} (0 < x < 5 \sqrt{2})$

Chiều cao hình chóp là $h = \sqrt{{(\frac{5 \sqrt{2} - x}{2})}^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{50 - 10 x \sqrt{2}}{4}}$

Ta có $V = \frac{1}{3} M N^{2} . h = \frac{1}{3} x^{2} \sqrt{\frac{50 - 10 x \sqrt{2}}{4}} = \frac{1}{6} \sqrt{50 x^{4} - 10 x^{5} \sqrt{2}}$

Đặt

$f (x) = 50 x^{4} - 10 x^{5} \sqrt{2} \Rightarrow f' (x) = 2 - - x^{3} - 50 x^{3} \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x = 2 \sqrt{2} (d m)$

Lập bảng BTT suy ra $V_{m a x} = 2 \sqrt{2} d m$

Câu 31:

Cho a, b là các số dương phân biệt khác 1 và thỏa mãn ab=1 Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\log_{a} b = 1$

B. $\log_{a} (b + 1) < 0$

C. $\log_{a} b = - 1$

D. $\log_{a} (b + 1) > 0$

Xem đáp án

Đáp án C

$\log_{a} a b = \log_{a} 1 \Leftrightarrow 1 + \log_{a} b = 0 \Leftrightarrow \log_{a} b = - 1$

Câu 32:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp $A B C D . A' B' C' D'$ . Biết $A (2; 4; 0), B (4; 0; 0), C (6; 8; 10) .$ và $D' (6; 8; 10) .$ Tọa độ điểm B¢ là

A. $B' (8; 4; 10)$

B. $B' (6; 12; 0)$

C. $B' (10; 8; 6)$

D. $B' (13; 0; 17)$

Xem đáp án

Đáp án D

$\begin{array}{l} \vec{D' C'} = \vec{A B} = (2; - 4; 0) \Rightarrow C' (8; 4; 10) \\ \vec{C' B'} = \vec{C B} = (5; - 4; 7) \Rightarrow B' (13; 0; 17) \end{array}$

Câu 33:

Cho hàm số $f (x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + 2} .$ Khi đó tổng $f (0) + f (\frac{1}{10}) + ... + f (\frac{19}{10})$ có giá trị bằng

A. $\frac{59}{6}$

B. 10

C. $\frac{19}{2}$

D. $\frac{28}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$f (x) + f (1 - x) = \frac{2^{x}}{2^{x} + 2} + \frac{2^{2 - x}}{2^{2 - x} + 2} = \frac{2^{x}}{2^{x} + 2} + \frac{2^{2 - x + x - 1}}{2^{2 - x + x - 1} + 2} = \frac{2^{x}}{2^{x} + 2} + \frac{2^{x}}{2^{x} + 2} = 1$

Khi đó

$f (\frac{1}{10}) + f (\frac{19}{10}) + f (\frac{2}{10}) + f (\frac{18}{10}) + ... + f (0) + f (1) = 9 + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{59}{6}$

Câu 34:

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn $2 C_{n}^{0} + 5 C_{n}^{1} + 8 C_{n}^{2} + .. + (3 n + 2) C_{n}^{n} = 1600$

A. 5

B. 7

C. 10

D. 8

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $S = 2 (C_{n}^{0} + ... + C_{n}^{n}) + 3 (C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 3 C_{n}^{3} + .. + n C_{n}^{n})$

Xét khai triển ${(1 + x)}^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} x + ... + C_{n}^{n} x^{n}$

Đạo hàm 2 vế ta có $n {(1 + x)}^{n - 1} = C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} x + ... + n C_{n}^{n} x^{n - 1}$

Cho $x = 1$ ta có $2^{n} = C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + ... + C_{n}^{n}; n 2^{n - 1} = C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 3 C_{n}^{3} + ... + n C_{n}^{n}$

Do đó $S = {2.2}^{n} + 3. n {.2}^{n - 1} = 1600 \overset{S H I F T - C A L C}{\to} n = 7$

Câu 35:

Cho hàm số $f (x)$ liên tục trên thỏa mãn $\int_{0}^{2018} f (x) d x = 2.$ Khi đó giá trị của tích phân $I = \int_{0}^{\sqrt{e^{2018} - 1}} \frac{x}{x^{2} + 1} f (\ln (x^{2} + 1)) d x$ bằng

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Đặt $t = \ln (x^{2} + 1) \Rightarrow d t = \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x; \{\begin{cases} x = 0 \to t = 0 \\ x = \sqrt{e^{2018} - 1} \to t = 2018 \end{cases}$

Suy ra $I = \frac{1}{2} \int_{0}^{2018} f (t) d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{2018} f (x) d x = 1$

Câu 36:

Thầy Hùng đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có một tấm mang số chia hết cho 10.

A. $\frac{99}{667}$

B. $\frac{8}{11}$

C. $\frac{3}{11}$

D. $\frac{99}{167}$

Xem đáp án

Đáp án A

Chọn 10 tấm bất kì có $C_{30}^{10}$ , trong 30 thẻ có 15 thẻ mang số chẵn, 15 thẻ mang số lẻ và 3 số chia hết cho 10

Ta chọn 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có 1 tấm mang số chia hết cho 10 có: $C_{15}^{5} C_{3}^{1} C_{12}^{4}$ cách

Do đó xác suất cần tìm là $\frac{C_{15}^{5} C_{3}^{1} C_{12}^{4}}{C_{30}^{10}} = \frac{99}{667}$

Câu 37:

Cho các số thực a, b khác 0. Xét hàm số $f (x) = \frac{a}{{(x + 1)}^{3}} + b x e^{x}$ với $\forall x \neq - 1.$ Biết $f' (0) = - 22$ và $\int_{0}^{1} f (x) d x = 5.$ Tính $a + b$

A. 19

B. 7

C. 8

D. 10

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có:

$\int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} \frac{a}{{(x + 1)}^{3}} d x + \int_{0}^{1} b x e^{x} d x = {- \frac{a}{2} \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}|}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} b x e^{x} d x = \frac{3 a}{8} + \int_{0}^{1} b x e^{x} d x$

Đặt:

$\{\begin{cases} u = x \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = e^{x} \end{cases} \Rightarrow \int_{0}^{1} b x e^{x} d x = {b x e^{x}|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} b e^{x} d x = {b x e^{x}|}_{0}^{1} - {b e^{x}|}_{0}^{1} = b$

Suy ra $\int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{3 a}{8} + b = 5 (1)$

Mặt khác $f' (x) = - \frac{3 a}{{(x + 1)}^{4}} + b e^{x} + b x e^{x} \Rightarrow f' (0) = - 3 a + b = - 22 (2)$

Từ $(1), (2)$ suy ra $a = 8; b = 2 \Rightarrow a + b = 10$

Câu 38:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết $A B = B C = a \sqrt{3}, S A B = S C B = 90 °$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng $a \sqrt{2} .$ Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A. $16 π a^{2}$

B. $12 π a^{2}$

C. $8 π a^{2}$

D. $2 π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Dựng hình vuông ABCH

Ta có $\{\begin{cases} A B ⊥ A H \\ A B ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ S H,$ tương tự $B C ⊥ S H$

Do đó $S H ⊥ (A B C)$

Lại có $A H / / B C \Rightarrow d (A; (S B C)) = d (H; (S B C))$

Dựng $H K ⊥ S C \Rightarrow d (H; (S B C)) = H K = a \sqrt{2}$

Do đó $\frac{1}{S H^{2}} = \frac{1}{H K^{2}} - \frac{1}{H C^{2}} \Rightarrow S H = \frac{a \sqrt{30}}{5}$

Tứ giác ABCH nội tiếp nên $R_{S . A B C} = R_{S . A B C H} = \sqrt{\frac{S H^{2}}{4} + r_{d}^{2}}$

$= \sqrt{\frac{S H^{2}}{4} + {(\frac{A C}{2})}^{2}} = a \sqrt{2} \Rightarrow S = 4 π R^{2} = 8 π a^{2}$

Câu 39:

Cho lăng trụ $A B C D . A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A B = a, A D = a \sqrt{3} .$ Hình chiếu vuông góc của $A_{1}$ lên ( ABCD) trung với giao điểm của AC và BD. Tính khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng $(A_{1} B D)$

A. $a \sqrt{3}$

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì $C B_{1} / / A D_{1}$ nên $d (B_{1}, (A_{1} B D)) = d (C, (A_{1} B D)) = C H$

Trong đó H là hình chiếu của C lên BD

Ta có $\frac{1}{C H^{2}} = \frac{1}{C D^{2}} + \frac{1}{C B^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{{(a \sqrt{3})}^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}}$

$\Rightarrow C H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Câu 40:

Để làm một chiếc cốc bằng thủy tinh dạng hình trụ với đáy cốc dày 1,5cm, thành xung quanh cốc dày 0,2cm và có thể tích thật (thể tích nó đựng được) là $480 π c m^{3}$ thì người ta cần ít nhất bao nhiêu $c m^{3}$ thủy tinh?

A. $75, 66 π c m^{3}$

B. $80, 16 π c m^{3}$

C. $85, 66 π c m^{3}$

D. $70, 16 π c m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi x và h lần lượt là bán kính và chiều cao của cốc

Ta có $(0, 4 < x)$ và ${(x - 0, 2)}^{2} (h - 1, 5) π = 480 π \Leftrightarrow h = \frac{480}{{(x - 0, 2)}^{2}} + 1, 5$

Thể tích thủy tinh cần là $V = π x^{2} h - 480 π = x^{2} [\frac{480}{{(x - 0, 2)}^{2}} + 1, 5] π - 480 π$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V' = \frac{2 x}{{(x - 0, 2)}^{3}} [1, 5 {(x - 0, 2)}^{3} - 480.0, 2] π \\ V' = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{480.0, 2}{1, 5}} + 0, 2 = 4, 2 \end{array}$

Câu 41:

Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật bằng:

A. $\frac{7}{216}$

B. $\frac{9}{969}$

C. $\frac{3}{323}$

D. $\frac{4}{9}$

Xem đáp án

Đáp án C

Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác có $C_{20}^{4} = 4845$ cách

Đa giác đều 20 đỉnh có 10 đường chéo đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác

Cứ 2 đường chéo bất kì là 2 đường chéo cuiả 1 hình chữ nhật

Do đó số hình chứ nhật là $C_{20}^{2} = 45$

Vậy xác suất cần tìm là $P = \frac{45}{4845} = \frac{3}{323}$

Câu 42:

Trong một đợt kiểm tra vệ sinh an toàn thực phẩm của ngành y tế tại chợ X, ban quản lý chợ lấy ra 15 mẫu thịt lợn trong đó có 4 mẫu ở quầy A, 5 mẫu ở quầy B, 6 mẫu ở quầy C. Đoàn kiểm tra lấy ngẫu nhiên 4 mẫu để phân tích xem trong thịt lợn có chứa hóa chất tạo nạc hay không. Xác suất để mẫu thịt của cả 3 quầy A, B, C đều được chọn bằng

A. $\frac{43}{91}$

B. $\frac{4}{91}$

C. $\frac{48}{91}$

D. $\frac{97}{91}$

Xem đáp án

Đáp án C

Lấy 4 mẫu thịt lợn trong 15 mẫu có $C_{15}^{4} = 1365$ cách

Gọi A là biến cô “mẫu thịt của cả 3 mẫu A, B, C đều được chọn”

Khi đó $|Ω_{A}| = C_{4}^{2} . C_{5}^{1} . C_{6}^{1} + C_{4}^{1} . C_{5}^{2} . C_{6}^{1} + C_{4}^{1} . C_{5}^{1} . C_{6}^{2} = 720$ cách

Câu 43:

Trong tập các số phức gọi $z_{1}, z_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $z^{2} - z + \frac{2017}{4} = 0$ với $z_{2}$ có phần ảo dương. Cho số phức z thỏa mãn $|z - z_{1}| = 1.$ Giá trị nhỏ nhất của $P = |z - z_{2}|$ là

A. $\sqrt{2016} - 1$

B. $\sqrt{2017} - 1$

C. $\frac{\sqrt{2017} - 1}{2}$

D. $\frac{\sqrt{2016} - 1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $z^{2} - z + \frac{2017}{2} = 0 \Leftrightarrow 4 z^{2} - 4 z + 2017 = 0$

$\Leftrightarrow {(2 z - 1)}^{2} = 2016 i^{2} \Leftrightarrow \{\begin{cases} z_{1} = \frac{1 - i \sqrt{2016}}{2} \\ z_{2} = \frac{1 + i \sqrt{2016}}{2} \end{cases}$

Ta có $|z - z_{1}| + |z - z_{2}| \geq (z - z_{1}) - (z - z_{2}) = |z - z_{2}| \geq |z_{1} - z_{2}| - |z - z_{1}| = \sqrt{2016} - 1$

Vật giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là $P_{\min} = \sqrt{2016} - 1$

Câu 44:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình $H_{1}, H_{2}$ được xác định như sau:

$\begin{array}{l} H_{1} = \{M (x; y) | \log (1 + x^{2} + y^{2}) \leq 1 + \log (x + y)\} \\ H_{2} = \{M (x; y) | \log (2 + x^{2} + y^{2}) \leq 2 + \log (x + y)\} \end{array}$

Gọi $S_{1}, S_{2}$ lần lượt là diện tích của các hình $H_{1}, H_{2} .$ Tính tỉ số $\frac{S_{2}}{S_{1}}$

A. 99

B. 101

C. 102

D. 100

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện $x + y > 0$

Ta có $\log (1 + x^{2} + y^{2}) \leq 1 + \log (x + y) = \log [10 (x + y)]$

$\Leftrightarrow 1 + x^{2} + y^{2} \leq 10 (x + y) \Leftrightarrow {(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} \leq 49$

Xét riêng ${(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} \leq 49$ là hình tròn tâm $I (5; 5)$ bán kính $R = 7,$ diện tích $H_{1}$ là diện tích của hình tròn tâm $I (5; 5)$ bán kính $R = 7$ nằm phía trên đường thẳng $Δ : x + y = 0$

Vì $d (I, Δ) = 5 \sqrt{2} > R \Rightarrow S_{1} = 49 π$

Tương tự

$\log (2 + x^{2} + y^{2}) \leq 2 + \log (x + y) = \log [100 (x + y)]$

$\Leftrightarrow 2 + x^{2} + y^{2} \leq 100 (x + y) \Leftrightarrow {(x - 50)}^{2} + {(y - 50)}^{2} \leq 4998 π$

Xét riêng ${(x - 50)}^{2} + {(y - 50)}^{2} \leq 4998 π$ là hình tròn tâm $I' (50; 50)$ bán kính $R = 7 \sqrt{102},$ diện tích $H_{2}$ là diện tích của hình tròn tâm $I (50; 50)$ bán kính $R = 7 \sqrt{102},$ nằm phía trên đường thẳng $Δ : x + y = 0$

Vì $d (I', Δ) = 50 \sqrt{2} > R' \Rightarrow S_{2} = 4998 π \Rightarrow \frac{S_{2}}{S_{1}} = 102$

Câu 45:

Cho hình lăng trụ tam giác đều $A B C . A' B' C'$ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và B’C’. Mặt phẳng $(A' M N)$ cắt cạnh BC tại P. Thể tích của khối đa diện $M B P . A' B' N$ bằng

A. $\frac{7 a^{3} \sqrt{3}}{32}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{32}$

C. $\frac{7 a^{3} \sqrt{3}}{68}$

D. $\frac{7 a^{3} \sqrt{3}}{96}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE

Khi đó $M F / / A E$ mà $A E / / A' N$ nên $M F / / A' N$

Suy ra các điểm $A', M, F, N$ thuộc cùng một mặt phẳng

Vậy $(A' M N)$ cắt cạnh BC tại $P \Rightarrow P$ trùng với F

Công thức tổng quát tính thể tích khối đa diện

“thể tích khối chóp cụt là $V = \frac{h}{3} (B + B' + \sqrt{B B'})$ với h là chiều cao, B, B’ lần lượt là diện tích hai đáy”

Và diện tích đáy $\{\begin{cases} B = S_{M B P} = \frac{S_{A B C}}{8} = \frac{S}{8} \\ B' = S_{A' B' N} = \frac{S_{A' B' C'}}{2} = \frac{S}{2} \end{cases}$ với $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow$ Thể tích khối đa diện $M N P . A' B' N$ là $V = \frac{B B'}{3} (\frac{S}{8} + \frac{S}{2} + \sqrt{\frac{S}{8} . \frac{S}{2}}) = \frac{7 \sqrt{3} a^{3}}{96}$

Câu 46:

Người ta cần cắt một tấm tôn có hình dạng là một elip với độ dài trục lớn bằng 2a, độ dài trục bé bằng $2 b (a > b > 0)$ để được một tấm tôn hình chữ nhật nội tiếp elip. Người ta gò tấm tôn hình chữ nhật thu được một hình trụ không có đáy (như hình bên). Tính thể tích lớn nhất có thể thu được của khối trụ đó.

A. $\frac{2 a^{2} b}{3 \sqrt{2} π}$

B. $\frac{2 a^{2} b}{3 \sqrt{3} π}$

C. $\frac{4 a^{2} b}{3 \sqrt{2} π}$

D. $\frac{4 a^{2} b}{3 \sqrt{3} π}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi R, h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ

Chọ hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ với tứ giác ABCD là hình chữ nhật nối tiếp hình (E)

Gọi $A (x_{0}; y_{0}) (x_{0} > y_{0} > 0),$ khi đó ta có $\{\begin{cases} A B = 2 π R \\ C D = h \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x_{0} = 2 π R \\ 2 y_{0} = h \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x_{0} = π R \\ y_{0} = \frac{h}{2} \end{cases}$

Thể tích khối trụ là $V = π R^{2} h = 2 \frac{x_{0}^{2}}{π} . y_{0}$ mà $A \in (E) \Rightarrow \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{0}^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow x_{0}^{2} = \frac{a^{2}}{b^{2}} (b^{2} - y_{0}^{2})$

Câu 47:

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn $y = 10^{\frac{1}{1 - \log x}}, z = 10^{\frac{1}{1 - \log y}} .$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $x = 10^{\frac{- 1}{1 - \log z}}$

B. $x = 10^{\frac{1}{1 - \ln z}}$

C. $x = 10^{\frac{1}{1 + \log z}}$

D. $x = 10^{\frac{1}{1 - \log z}}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

$\{\begin{cases} y = 10^{\frac{1}{1 - \log x}} \\ z = 10^{\frac{1}{1 - \log y}} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \log y = \frac{1}{1 - \log x} \\ \log z = \frac{1}{1 - \log y} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \log y = \frac{1}{1 - \log z} \\ \log y = \frac{1}{1 - \log x} \end{cases} \Rightarrow 1 - \frac{1}{1 - \log z} = \frac{1}{1 - \log x} \Leftrightarrow \frac{\log z - 1}{\log z} = \frac{1}{1 - \log x} \Leftrightarrow 1 - \log x = \frac{\log z}{\log z - 1} \Leftrightarrow \log x = - \frac{1}{\log z - 1} \Leftrightarrow x = 10^{\frac{1}{1 - \log z}}$

Câu 48:

Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - (m - 1) x^{2} - (m - 3) x + 2017 m$ đồng biến trên các khoảng $(- 3; - 1)$ và $(0; 3)$ là đoạn $T = [a; b] .$ Tính $a^{2} + b^{2}$

A. $a^{2} + b^{2} = 10$

B. $a^{2} + b^{2} = 13$

C. $a^{2} + b^{2} = 8$

D. $a^{2} + b^{2} = 5$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $y' = x^{2} - 2 (m - 1) x - (m - 3)$

Để hàm số đồng biến trên các khoảng $(- 3; - 1)$ và $(0; 3)$ thì $y' \geq 0$ với mọi $x \in (- 3; - 1)$ và $x \in (0; 3)$

Hay

$x^{2} - 2 (m - 1) x - (m - 3) \geq 0 \Leftrightarrow x^{2} + 2 x + 3 \geq m (2 x + 1) \Leftrightarrow \frac{x^{2} + 2 x + 3}{2 x + 1} \geq m$

với $x \in (0; 3)$ và $\frac{x^{2} + 2 x + 3}{2 x + 1} \leq m$ với $x \in (- 3; - 1)$

Xét $f' (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 3}{2 x + 1} = \frac{2 (x - 1) (x + 2)}{2 x + 1} \to f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 \\ x = - 2 \end{array}$

Dựa vào bảng biến thiên của đồ thị hàm số $f (x),$ để $f (x)$ đồng biến trên khoảng $(- 3; - 1)$ thì $m \leq 2$ và để $f (x)$ đồng biến trên khoảng $(0; 3)$ thì $m \geq - 1 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 5$

Câu 49:

Một nút chai thủy tinh là một khối tròn xoay (H) , một mặt phẳng chứa trục (H) cắt (H) theo một thiết diện cho trong hình vẽ bên. Tính thể tích của (H)

A. $V_{(H)} = \frac{41 π}{3}$

B. $V_{(H)} = 13 π$

C. $V_{(H)} = 23 π$

D. $V_{(H)} = 17 π$

Xem đáp án

Đáp án A

Xét mặt cắt và đặt tên các điểm như hình vẽ

Thể tích khối trụ là $V_{1} = π r_{1}^{2} h_{t} = π {(1, 5)}^{2} .4 = 9 π$

Ta có: $\frac{C D}{A B} = \frac{H K}{O K} \Rightarrow O K = 4 \Rightarrow H K = 2$

Thể tích khối nón cụt là $V_{n} = \frac{π O A^{2} O K}{3} - \frac{π C H^{2} H K}{3} = \frac{14 π}{3}$

Thể tích của $(H)$ là: $V_{t} + V_{n} = \frac{41 π}{3}$

Câu 50:

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $\ln x + \ln y \geq \ln (x^{2} + y) .$ Tính giá trị nhỏ nhất của $P = x + y$

A. $P = 6$

B. $P = 3 + 2 \sqrt{2}$

C. $P = 2 + 3 \sqrt{2}$

D. $P = \sqrt{17} + \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\ln x y = \ln x + \ln y \geq \ln (x^{2} + y) \Leftrightarrow x y \geq x^{2} + y \Leftrightarrow y (x - 1) \geq x^{2}$

Vì $x = 1$ không thỏa và $y > 0 \Rightarrow x > 1 \Rightarrow P = x y \geq \frac{x^{2}}{x - 1} + x = f (x)$

Xét hàm số $f (x) = \frac{x^{2}}{x - 1} + x$ với $x > 1$

$\Rightarrow f' (x) = \frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}} + x = \frac{2 x^{2} - 4 x + 1}{{(x - 1)}^{2}} \to f' (x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ vì $x > 1$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f (x)$ suy ra $\Rightarrow M i n P = \underset{x > 1}{M in} f (x) = f (1) = 3 + 2 \sqrt{2}$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 5

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan