50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 10

Câu 1:

Phương trình mặt phẳng đi qua $A (1; 2; 3)$ và nhận $\vec{n} = (2; 3; 4)$ làm vectơ pháp tuyến là:

A. $2 x + 3 y + 4 z - 20 = 0.$

B. $x + 2 y + 3 z - 20 = 0.$

C. $2 x + 3 y + 4 z + 20 = 0.$

D. $2 x - 3 y + 4 z - 20 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án A.

$2 (x - 1) + 3 (y - 2) + 4 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 2 x + 3 y + 4 z - 20.$

Câu 2:

Tìm hệ số chứa $x^{9}$ trong khai triển của $P (x) = {(1 + x)}^{9} + {(1 + x)}^{10} .$

A. 10

B. 12

C. 11

D. 13

Xem đáp án

Đáp án C.

Tổng hệ số của các hạng tử chứa $x^{9}$ là $C_{9}^{9} + C_{10}^{9} = 11.$

Câu 3:

Cho số phức $z = 2 + 3 i .$ Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, N là điểm biểu diễn số phức $\bar{z}$ và P là điểm biểu diễn số phức $(1 + i) z .$ Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

A. $M (2; 3) .$

B. $N (2; - 3) .$

C. $P (1; 5) .$

D. $|z| = \sqrt{13} .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có: $N (2; - 3); (1 + i) z = (1 + i) (2 + 3 i) = - 1 + 5 i$ do đó $P (- 1; 5) .$

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 5.$ Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $(- 1; 1)$ thuộc đồ thị hàm số có phương trình là :

A. $y = 3 - 2 x$

B. $y = 9 x + 10$

C. $y = 1 + 3 x$

D. $y = - 3 x + 4$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $y' = 3 x^{3} - 6 x .$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm (-1;1) là $k = y' (- 1) = 9$

Do đó phương trình tiếp tuyến là $y = 9 x + 10.$

Câu 5:

Cho đa giác đều 16 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác vuông có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đều đó?

A. 560

B. 112

C. 121

D. 128

Xem đáp án

Đáp án B.

Để tam giác đó là tam giác vuông thì tam giác phải có 1 cạnh là đường kính của đa giác đều. Khi ta chọn 1 đường kính sẽ còn lại 14 điểm để tọa với đường kính đó thành tam giác vuông. Mà đa giác đều 16 đỉnh có 8 đường kính nên số tam giác vuông 8.12=112.

Câu 6:

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y = \sqrt{x^{4} - 4} + 5$ và đường thẳng y = x

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án B.

Phương trình hoành độ giao điểm là:

$\sqrt{x^{2} - 4} + 5 = x \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} - 4} = x - 5 \Rightarrow x \geq 5$

Bình phương 2 vế: $x^{2} - 4 = x^{2} - 10 x + 25 \Leftrightarrow x = \frac{29}{10}$ (loại).

Câu 7:

Cho điểm $M (2; - 6; 4)$ và đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z}{- 2} .$ Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua d.

A. $M' (3; - 6; 5)$

B. $M' (4; 2; - 8)$

C. $M' (- 4; 2; 8)$

D. $M' (- 4; 2; 0)$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi H(1 +2t; -3 +t; -2t) là hình chiếu

vuông góc của M trên d

Khi đó

$\bar{M H} = (- 1 + 2 t; 3 + t; - 4 - 2 t) .$

Cho

$\bar{M H} . \bar{u_{d}} = - 2 + 4 t + 3 + t + 8 + 4 t = 0 \Leftrightarrow t = - 1$

Suy ra $H (- 1; - 4; 2) \Rightarrow M' (- 4; - 2; 0) .$

Câu 8:

Tìm số phức z thỏa mãn $\bar{z} = \frac{1}{3} [{(\bar{1 - 2 i})}^{2} - z]$

A. $- \frac{3}{4} - 2 i$

B. $- \frac{3}{4} + 2 i$

C. $2 + \frac{3}{4} i$

D. $2 - \frac{3}{4} i$

Xem đáp án

Đáp án A.

$\bar{z} = \frac{1}{3} [{(\bar{1 - 2 i})}^{2} - z] = \frac{1}{3} [{(1 + 2 i)}^{2} - z] = \frac{1}{3} (- 3; 4 i - z) \Leftrightarrow 3 \bar{z} = - 3 + 4 i - z$

Đặt:

$z = a + b i \Rightarrow 3 (a - b i) = - 3 + 4 i - (a + b i) \Leftrightarrow 3 a - 3 b i = - 3 - a + (4 - b) i \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a = - 3 - a \\ 3 b = b - 4 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - \frac{3}{4} \\ b = - 2 \end{cases} \to z = - \frac{3}{4} - 2 i .$

Câu 9:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} + x .$ Tập nghiệm của bất phương trình $f' (x) \leq 0$ bằng:

A. $(0; + \infty)$

B. $\emptyset$

C. $[- 2; 2]$

D. $(- \infty; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $f' (x) \leq 0 \Leftrightarrow x^{2} + x + 1 \leq 0 \Leftrightarrow {(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4} \leq 0$

Câu 10:

Trên tập $ℂ$ , cho số phức $z = \frac{i + m}{i - 1},$ với m là tham số thực khác -1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để $z . \bar{z} = 5.$

A. $m = - 3.$

B. $m = 1.$

C. $m = \pm 2.$

D. $m = \pm 3.$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có $z . \bar{z} = 5 \Leftrightarrow {|z|}^{2} = 5 \Leftrightarrow \frac{m^{2} + 1}{2} = 5 \Leftrightarrow m^{2} = 9 \Leftrightarrow m = \pm 3.$

Câu 11:

Số tiền mà My để dành hằng ngày là x (đơn vị nghìn đồng, với $x > 0, x \in ℤ)$ biết x là nghiệm của phương trình $\log_{\sqrt{3}} (x - 2) + \log_{3} {(x - 4)}^{2} = 0.$ Tính tổng số tiền My để dành được trong một tuần (7 ngày).

A. 35 nghìn đồng.

B. 14 nghìn đồng.

C. 21 nghìn đồng.

D. 28 nghìn đồng.

Xem đáp án

Đáp án C.

Điều kiện $x > 2; x \neq 4.$ Phương trình tương đương $\log_{3} {(x - 2)}^{2} + \log_{3} {(x - 4)}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow \log_{3} [{(x - 2)}^{2} {(x - 4)}^{2}] = 0 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 1 \Leftrightarrow x = 3.$

Câu 12:

Bất phương trình $\log_{\frac{1}{2}} (x + \frac{1}{2}) - \log_{2} x \geq 1$ có tập nghiệm là.

A. $(0; \frac{1}{2}] .$

B. $[- 1; \frac{1}{2}] .$

C. $[\frac{1}{2}; + \infty) . (0; \frac{1}{2}) .$

D. $(0; \frac{1}{2})$

Xem đáp án

Đáp án A.

Điều kiện $x > 0.$ Bất phương trình tương đương

$\log_{\frac{1}{2}} (x^{2} + \frac{x}{2}) \geq 1 \Leftrightarrow x^{2} + \frac{x}{2} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} + x - 1 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq \frac{1}{2} \Rightarrow x \in (0; \frac{1}{2}] .$

Câu 13:

Tổng $S = - 1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{10^{2}} + ... + \frac{{(- 1)}^{n}}{10^{n - 1}} + ...$ bằng:

A. $\frac{10}{11}$

B. $- \frac{10}{11}$

C. 0

D. $+ \infty$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta thấy S là cấp số nhân với $u_{1} = - 1, q = - \frac{1}{10}$

$\Rightarrow S = \frac{- 1 [{(- \frac{1}{10})}^{n} - 1]}{- \frac{1}{10} - 1} = \frac{10}{11} [{(- \frac{1}{10})}^{n} - 1] = - \frac{10}{11} .$

Câu 14:

Một vận động viên đua xe F đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì anh ta tăng tốc với vận tốc $a (t) = 6 t (m / s^{2}),$ trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc. Hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10(s) kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?

A. 1100 m

B. 100m

C. 1010m

D. 1110m

Xem đáp án

Đáp án A.

$v (t) = \int a (t) d t = \int 6 t d t = 3 x^{3} + C .$

Vì $v (0) = 10 \Rightarrow v (t) = 3 t^{2} + 10$

$s (t) = \int_{0}^{10} v (t) d t = \int_{0}^{10} (3 t^{2} + 10) d t = (t^{3} + 10 t) |\begin{array}{l} ^{10} \\ _{0} \end{array} = 1100 m .$

Câu 15:

Giả sử $\int_{0}^{2} \frac{x - 1}{x^{2} + 4 x + 3} d x = a \ln 5 + b \ln 3; a, b \in ℚ .$ Tính P =a.b

A. P = 8

B. P = -6

C. P = -4

D. P = -5

Xem đáp án

Đáp án B.

$\int_{0}^{2} \frac{x - 1}{x^{2} + 4 x + 3} d x = \int_{0}^{2} (\frac{2}{x + 3} - \frac{1}{x + 1}) d x = (2 \ln |x + 3| - \ln |x + 1|) |\begin{array}{l} ^{2} \\ _{0} \end{array} = 2 \ln 5 - 3 \ln 3 \Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = - 3 \end{cases} \Rightarrow a b = - 6$

Câu 16:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông tại A và có cạnh $S B ⊥ (A B C) .$ AC vuông góc với mặt phẳng nào sau đây ?

A. $(S B C)$

B. $(A B C)$

C. $(S B C)$

D. $(S A B)$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có $\{\begin{cases} A C ⊥ A B \\ A C ⊥ S B \end{cases} \Rightarrow A C ⊥ (S B A) .$

Câu 17:

Cho hàm số f(x) liên tục trên $[0; 10]$ thỏa mãn $\int_{0}^{10} f (x) d x = 7, \int_{2}^{6} f (x) d x = 3.$ Tính $P = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{6}^{10} f (x) d x .$

A. $P = 10.$

B. $P = 4.$

C. $P = 7.$

D. $P = - 4.$

Xem đáp án

Đáp án B.

$P + \int_{2}^{6} f (x) d x = \int_{0}^{2} f (x) d x + \int_{2}^{6} f (x) d x + \int_{6}^{10} f (x) d x = \int_{0}^{10} f (x) d x \Rightarrow P = 7 - 3 = 4.$

Câu 18:

Cho hàm số $y = 4 x + 2 \cos 2 x$ có đồ thị là (C). Hoành độ của các điểm trên (C) mà tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc trùng với trục hoành là

A. $x = \frac{π}{4} + k π (k \in ℤ) .$

B. $x = \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ) .$

C. $x = π + k π (k \in ℤ) .$

D. $x = k 2 π (k \in ℤ) .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) là

$y' = 0 \Leftrightarrow 4 - 4 \sin 2 x = 0 \Leftrightarrow \sin 2 x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k π .$

Câu 19:

Viết F(x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{s inx}{1 + 3 \cos x}$ và $F (\frac{π}{2}) = 2.$ Tính F(0)

A. $F (0) = - \frac{1}{3} \ln 2 + 2.$

B. $F (0) = - \frac{2}{3} \ln 2 + 2.$

C. $F (0) = - \frac{2}{3} \ln 2 - 2.$

D. $F (0) = - \frac{1}{3} \ln 2 - 2.$

Xem đáp án

Đáp án B.

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{s inx}{1 + 3 \cos x} d x = - \frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d (1 + 3 \cos x)}{1 + 3 \cos x} = - \frac{\ln |1 + 3 \cos x|}{3} |\begin{array}{l} ^{\frac{π}{2}} \\ _{0} \end{array} = F (\frac{π}{2}) - F (0) = \frac{\ln 4}{3} \Leftrightarrow F (0) = 2 - \frac{2 \ln 2}{3} .$

Câu 20:

Đặt $m = \log 2$ và $n = \log 7.$ Hãy biểu diễn $\log 6125 \sqrt{7}$ theo m và n.

A. $\frac{6 + 6 m + 5 n}{2} .$

B. $\frac{1}{2} (6 - 6 n + 5 m) .$

C. $5 m + 6 n - 6.$

D. $\frac{6 + 5 n - 6 m}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có:

$\log 6125 \sqrt{7} = \log 6125 + \log \sqrt{7} = \log (7^{2} .125) + \frac{1}{2} \log 7 = 2 \log 7 + \log 125 + \frac{1}{2} \log 7 = \frac{5}{2} \log 7 + \log 5^{3} = \frac{5}{2} n + 3 \log 5 = \frac{5}{2} n + 3 (1 - \log 2) = \frac{5}{2} n + 3 - 3 m .$

Câu 21:

$\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - x)$ bằng:

A. $- \infty$

B. 0

C. $+ \infty$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có

$\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x} - x) = \lim_{x \to + \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + x} - x} = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{2} .$

Câu 22:

Cho số phức z thỏa mãn $|\frac{z}{i + 2}| = 1.$ Biết rằng tập các điểm biễu diễn số phức z là một đường tròn (C) Tính bán kính r của đường tròn (C)

A. $r = 1.$

B. $r = \sqrt{5} .$

C. $r = 2.$

D. $r = \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $\frac{|z|}{|i + 2|} = 2 \Rightarrow \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{\sqrt{5}} = 1 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 5 \Rightarrow \sqrt{5} .$

Câu 23:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình $x - 2 y + 2 z - 5 = 0.$ Xét mặt phẳng $(Q) : x + (2 m - 1) z + 7 = 0,$ với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng (P) tạo với (Q) một góc $\frac{π}{4} .$

A. $[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \sqrt{2} \end{array} .$

B. $[\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 2 \sqrt{2} \end{array} .$

C. $[\begin{array}{l} m = 2 \\ m = 4 \end{array} .$

D. $[\begin{array}{l} m = 4 \\ m = \sqrt{2} \end{array} .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có:

$cos \frac{π}{4} = \frac{|1 + 2 (2 m - 1)|}{3 \sqrt[]{1 + {(2 m - 1)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow 9 (4 m^{2} - 4 m + 2) = 2 {(4 m - 1)}^{2} \Leftrightarrow 4 m^{2} - 20 m + 16 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 4 \end{array}$

Câu 24:

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f (x) = \sqrt{x} . e^{x^{2}},$ trục hoành, đường thẳng $x = 1.$ Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi (H) quay quanh trục hoành

A. $V = e^{2} - 1$

B. $V = π (e^{2} - 1)$

C. $V = \frac{1}{4} π e^{2} - 1$

D. $V = \frac{1}{4} π (e^{2} - 1)$

Xem đáp án

Đáp án D.

Thể tích V của khối tròn xoay cần tính

$V_{(H)} = π . \int_{0}^{1} f^{2} (x) d x = π . \int_{0}^{1} x . e^{2 x^{2}} d x .$

Đặt

$t = e^{2 x^{2}} \Leftrightarrow d t = {(2 x^{2})}^{'} e^{2 x^{2}} d x = 4 x . t d x \Leftrightarrow x d x = \frac{d t}{4 t}$

và đổi cận $\{\begin{cases} x = 0 \to t = 1 \\ x = 1 \to t = e^{2} \end{cases} .$

Khi đó $V_{(H)} = π \int_{1}^{e^{2}} t . \frac{d t}{4 t} = \frac{π}{4} \int_{1}^{e^{2}} d x = \frac{π}{4} (e^{2} - 1) .$

Câu 25:

Cho hình chóp S.ABC có hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC đều, I là trung điểm của BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SAI) và (SBC) là

A. $45^{0} .$

B. $90^{0} .$

C. $60^{0} .$

D. $30^{0} .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Vì I là trung điểm $B C \Rightarrow A I ⊥ B C$

mà $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow S A ⊥ B C$

Suy ra $B C ⊥ (S A I)$ mà $B C \subset (S A C) \to (S A I) ⊥ (S B C) .$

Câu 26:

Đồ thị hàm số $y = {ax}^{4} + b x^{2} + c$ đạt cực đại tại $A (0; - 2)$ và cực tiểu tại $B (\frac{1}{2}; - \frac{17}{8}) .$ Tính $a + b + c$

A. $a + b + c = 2$

B. $a + b + c = 0$

C. $a + b + c = - 1$

D. $a + b + c = - 3$

Xem đáp án

Đáp án C.

Xét hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c,$

ta có $y' = 4 a x^{3} + 2 b x; \forall x \in ℝ .$

Điểm $A (0; - 2)$ là điểm cực trị đại của đồ thị hàm số $\Rightarrow \{\begin{cases} y (0) = - 2 \\ y' (0) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow c = - 2$

Điểm $B (\frac{1}{2}; - \frac{17}{8})$ là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số $\Rightarrow \{\begin{cases} y (\frac{1}{2}) = - \frac{17}{8} \\ y' (\frac{1}{2}) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{a}{2} + b = 0 \\ \frac{a}{16} + \frac{b}{4} = - \frac{1}{8} \end{cases}$

Từ đó suy ra $a = 2; b = - 1; c = - 2 \Rightarrow$ tổng $a + b + c = - 1.$

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x - 2 y + z - 5 = 0.$ Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P), cách (P) một khoảng bằng 3 và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương.

A. $(Q) : 2 x - 2 y + z + 4 = 0.$

B. $(Q) : 2 x - 2 y + z - 14 = 0.$

C. $(Q) : 2 x - 2 y + z - 19 = 0.$

D. $(Q) : 2 x - 2 y + z - 8 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án B.

$(Q) / / (P)$ nên mặt phẳng (Q) có dạng:

$2 x - 2 y + z + m = 0$ với $m \neq - 5$

Mặt phẳng (P) đi qua điểm $M (1; 1; 5) .$ Theo đề:

$d ((P), (Q)) = 3 \Leftrightarrow d (M, (Q)) = 3 \Leftrightarrow \frac{|2.1 - 2.1 + 5 + m|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}}} = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 4 \\ m = - 14 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} (Q) : 2 x - 2 y + z + 4 = 0 \\ (Q) : 2 x - 2 y + z - 14 = 0 \end{array}$

Câu 28:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (1; 1; 1)$ và đường thẳng $(d) : \{\begin{cases} x = 6 - 4 t \\ y = - 2 - t \\ z = - 1 + 2 t \end{cases} .$ Tìm tọa độ hình chiếu A’ của A trên (d).

A. $A ’ (2; 3; 1) .$

B. $A ’ (- 2; 3; 1) .$

C. $A ’ (2; - 3; 1) .$

D. $A ’ (2; - 3; - 1) .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có vecto chỉ phương của $(d)$ là

$\bar{u_{d}} = (- 4; - 1; 2)$ và

$A' \in (d) \Rightarrow A' (6 - 4 a; - 2 - a; - 1 + 2 a) .$

Vì $\bar{A A'} . \bar{u_{d}} = 0 \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow A' (2; - 3; 1) .$

Câu 29:

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện $3 \leq |z - 3 i + 1| \leq 5.$ Tập hợp các điểm biểu diễn của Z tạo thành một hình phẳng. Tính diện tích S của hình phẳng đó.

A. $S = 25 π .$

B. $S = 8 π .$

C. $S = 4 π .$

D. $S = 16 π .$

Xem đáp án

Đáp án D.

Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z. Xét điểm $A (- 1; 3)$ thì theo điều kiện, ta có: $3 \leq |z - 3 i + 1| \leq 5 \Leftrightarrow 3 \leq A M \leq 5.$ Vậy tập hợp các điểm biểu diễn z là phần hình phẳng nằm giữa 2 đường tròn tâm A, bán kính lần lượt là 3 và 5

$\Rightarrow S = π (5^{2} - 3^{3}) = 16 π .$

Câu 30:

Cho $\int_{0}^{1} f (x) d x = 9.$ Tính $I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} f (\sin 3 x) . \cos 3 x .dx.$

A. I = 5

B. I = 9

C. I = 3

D. I = 2

Xem đáp án

Đáp án C.

Đặt $t = \sin 3 x \Rightarrow d t = 3 c os3xdx \Rightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = \frac{π}{6} \end{cases} \to \{\begin{cases} t = 0 \\ t = 1 \end{cases}$

$\Rightarrow I = \int_{0}^{\frac{π}{6}} f (\sin 3 x) . c os 3 x . d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} f (t) d t = 3.$

Câu 31:

Với các số thực dương a, b bất kì, $a \neq 1.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $\log_{a} \frac{\sqrt[3]{a}}{b^{2}} = \frac{1}{3} - 2 \log_{a} b .$

B. $\log_{a} \frac{\sqrt[3]{a}}{b^{2}} = 3 - \frac{1}{2} \log_{a} b .$

C. $\log_{a} \frac{\sqrt[3]{a}}{b^{2}} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \log_{a} b .$

D. $\log_{a} \frac{\sqrt[3]{a}}{b^{2}} = 3 - 2 \log_{a} b .$

Xem đáp án

Đáp án A.

$\log_{a} \frac{\sqrt[3]{a}}{b^{2}} = \log_{a} (\sqrt[3]{a}) - \log_{a} (b^{2}) = \frac{1}{3} - 2 \log_{a} b .$

Câu 32:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = t \\ z = 4 \end{cases}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 3 - t' \\ y = t' \\ z = 0 \end{cases}$ . Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2} .$

A. $(S) : {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4.$

B. $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 16.$

C. $(S) : {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 4.$

D. $(S) : {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 16.$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi tâm mặt cầu cần tìm là I và H,K lần lượt là hình chiếu của I lên các đường thẳng $d_{1}, d_{2} .$

Ta có: $I H + I K \geq H K \geq a (d_{1}, d_{2}) .$ Dấu bằng khi HK là đường vuông góc chung của $d_{1}, d_{2}$ và I là trung điểm của HK.

Khi đó: $H (2 a, a, 4)$ và $K (3 - b, b, 0) \Rightarrow \bar{K H} (2 a + b - 3; a - b; 4)$

Đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ có vecto chỉ phương lần lượt là $\bar{u_{1}} = (2; 1; 0)$ và $\bar{u_{2}} (- 1; 1; 0)$ nên:

$\{\begin{cases} \bar{K H} . \bar{u_{1}} = 0 \\ \bar{K H} . \bar{u_{2}} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 (2 a + b - 3) + (a - b) + 0.4 = 0 \\ - (2 a + b - 3) + (a - b) + 0.4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow 2 a + b - 3 = a - b = 0 \Leftrightarrow a = b = 1$

Suy ra trung điểm của HK là $I (2; 1; 2)$ và bán kính của mặt cầu (S) là $R = \frac{H K}{2} = 2.$

Câu 33:

Biết $\int_{3}^{5} \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} d x = a + \ln \frac{b}{2}$ với a, b là các số nguyên. Tính $S = a - 2 b .$

A. $S = - 2.$

B. $S = 10.$

C. $S = 5.$

D. $S = 2.$

Xem đáp án

Đáp án D.

$\int_{3}^{5} \frac{x^{2} + x + 1}{x + 1} d x = \int_{3}^{5} (x + \frac{1}{x + 1}) d x = (\frac{x^{2}}{2} + \ln |x + 1|) |\begin{array}{l} ^{5} \\ _{3} \end{array} = 8 + \ln \frac{3}{2} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 8 \\ b = 3 \end{cases} \Rightarrow S = a - 2 b = 2$

Câu 34:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh 2a, mặt bên SAB là tam giác cân nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, $AS B = 120 ° .$ Tính bán kính mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp.

A. $\frac{\sqrt{2} a}{2}$

B. $\frac{\sqrt{21}}{3} a$

C. $\frac{a}{2}$

D. Kết quả khác

Xem đáp án

Đáp án B.

Gọi O là tâm của hính vuông ABCD và H là tâm của đường tròn ngoại tiếp $Δ S A B .$ Từ O kẻ đường thẳng d vuông góc với (ABCD). Từ H kẻ đường thẳng H vuông góc với (SAB).

Ta có $(d) \cap (Δ) = I \Rightarrow I A = I B = I C = IS \Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp khối chóp $S . A B C D \Rightarrow R = I A = \sqrt{O I^{2} + O A^{2}} .$

Mà $O I = H M = \sqrt{H B^{2} - M B^{2}}$ với M là trung điểm của AB.

Xét $Δ S A B$ cân tại S, có $\frac{A B}{\sin \hat{A S B}} = 2 r$

$\Rightarrow H B = r = \frac{2 a}{2. \sin 120^{0}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}} .$

Khi đó $O I = \sqrt{{(\frac{2 a}{\sqrt{3}})}^{2} - a^{2}} = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow R = \sqrt{{(\frac{a}{\sqrt{3}})}^{2} + {(a \sqrt{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{21}}{3} .$

Câu 35:

Trong không gian toạ độ Oxyz cho 3 điểm $A (0; 2; 1); B (1; 0; 2); C (2; 1; - 3) .$ Tập hợp các điểm thoã mãn $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = 20$ là một mặt cầu. Bán kính mặt cầu đó là.

A. $R = \sqrt{2}$

B. $R = \frac{\sqrt{6}}{2}$

C. $R = \frac{\sqrt{6}}{3}$

D. $R = 2 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án C.

G(1;1;0) là trọng tâm tam giác ABC

Ta có $\bar{G A} + \bar{G B} + \bar{G C} = \vec{0} .$

Khi đó $M A^{2} + M B^{2} + M C^{2} = {\bar{M A}}^{2} + {\bar{M B}}^{2} + {\bar{M C}}^{2}$

$= {(\bar{M G} + \bar{M A})}^{2} + {(\bar{M G} + \bar{G B})}^{2} + {(\bar{M G} + \bar{G C})}^{2}$

$\Leftrightarrow 3 M B^{2} + \bar{M G} (\bar{G A} + \bar{G B} + \bar{G C}) + G A^{2} + G B^{2} + G C^{2} = 20$

$M G^{2} = \frac{20 - G A^{2} - G B^{2} - G C^{2}}{3} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow$ tâm $G (1; 1; 0)$ và $R = \frac{\sqrt{6}}{3} .$

Câu 36:

Bạn B vay một số tiền tại ngân hàng Agribank và trả góp số tiền đó trong vòng 3 tháng với mức lãi suất là 1%/tháng. Bạn B bắt đầu hoàn nợ, tháng thứ nhất bạn B trả ngân hàng số tiền là 10 triệu đồng, tháng thứ 2 bạn B trả ngân hàng 20 triệu và tháng cuối cùng bạn B trả ngân hàng 30 triệu đồng thì hết nợ. Vậy số tiền bạn B đã vay ngân hàng là bao nhiêu. Chọn kết quả gần đúng nhất?

A. 58 triệu đồng

B. 59 triệu đồng

C. 56 triệu đồng

D. 57 triệu đồng

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi T là số tiền B đã vay, r là lãi suất

Ta có:

Số tiền còn nợ sau 1 tháng là:

$T (1 + r) - m_{1} = 1, 01 T - 10$ (với $m_{i}$ là số tiền mà bạn B trả tháng thứ i)

Số tiền còn nợ sau 2 tháng là:

$(1, 01 T - 10) (1 + r) - 20 = (1, 01 T - 10) .1, 01 - 20 = 1, 01^{2} T - 30, 1$

Số tiền còn nợ sau 3 tháng là:

$(1, 01^{2} T - 30, 1) (1 + r) - 30 = (1, 01^{2} T - 30, 1) .1, 01 - 30 = 1, 01^{3} T - 60, 401$

Cho $1, 01^{3} T - 60, 401 = 0 \Leftrightarrow T = 58, 62$ triệu đồng.

Câu 37:

Tìm m để đồ thị hàm số $y = x^{4} - 2 m^{2} x^{2} + 1$ có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân.

A. $m = 1.$

B. $m \in \{- 1; 1\} .$

C. $m \in \{- 1; 0; 1\} .$

D. $m = \emptyset .$

Xem đáp án

Đáp án B.

Xét $y = x^{4} - 2 m^{2} x^{2} + 1$ với $x \in ℝ,$

ta có

$y' = 4 x^{2} - 4 m^{2} x \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} = m^{2} \end{array} .$

Để hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi $m \neq 0.$

Khi đó $A (0; 1); B (m; 1 - m^{2};) C (- m; 1 - 3^{2})$ lần lượt là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số $\Rightarrow A B = A C \Rightarrow Δ A B C$ cân tại A và $\bar{A B} = (m; - m^{2}), \bar{A C} = (- m; - m^{2})$

Yêu cầu bài toán trở thành $\bar{A B} . \bar{A C} = 0 \Leftrightarrow - m^{2} + m^{4} = 0 \Leftrightarrow m^{2} (m^{2} - 1) = 0 \Rightarrow m = \pm 1.$

Câu 38:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C có $A B = 2 a, AA'=3a.$ Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AA’, A’C, AC. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện B.MNP.

A. $V = \frac{\sqrt{3}}{12} a^{3}$

B. $V = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{3}$

C. $V = \frac{a \sqrt{3}}{2} a^{3}$

D. $V = \frac{\sqrt{3}}{8} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $\{\begin{cases} B P ⊥ A C \\ B P ⊥ A' A \end{cases} \Rightarrow B P ⊥ (A' A C) \Rightarrow B P ⊥ (M N P)$

Ta có $M N = \frac{1}{2} A C = a; N P = \frac{1}{2} A' A = \frac{3 a}{2}$

$\Rightarrow S_{M N P} = \frac{1}{2} M N . N P = \frac{3 a^{2}}{4}$

Ta có $B P = \frac{2 a \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$

$V_{B . M N P} = \frac{1}{3} B P . S_{M N P} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} . \frac{3 a^{2}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4} .$

Câu 39:

Gọi A, B là hai điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức $z_{1}, z_{2}$ khác 0 thỏa mãn đẳng thức $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} - z_{1} z_{2} = 0,$ khi đó tam giác OAB (O là gốc tọa độ)

A. Là tam giác đều.

B. Là tam giác vuông.

C. Là tam giác cân, không đều.

D. Là tam giác tù.

Xem đáp án

Đáp án A.

Chọn $z_{1} = 1 \Rightarrow z_{2} = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2} \Rightarrow z_{2} - z_{1} = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2} .$

Câu 40:

Một miếng giấy hình chữ nhật ABCD với $A B = x, B C = 2 x$ và đường thẳng $∆$ nằm trong mặt phẳng (ABCD), $∆$ song song với AD và cách AD một khoảng bằng a, $∆$ không có điểm chung với hình chữ nhật ABCD và khoảng cách từ A đến B đến $∆$ . Tìm thể tích lớn nhất có thể có của khi quay hình chữ nhật ABCD quanh $∆$ .

A. $\frac{64 π a^{3}}{27} .$

B. $64 π a^{3} .$

C. $\frac{63 π a^{3}}{27} .$

D. $\frac{64 π}{27} .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $r_{1} = O B = A O - A B = a - x$

là bán kính đáy của khối trụ nhỏ.

Và $r_{2} = O A = a$ là bán kính đáy của

khối trụ lớn với chiều cao h = 2x

Suy ra thể tích cần tính là

$V = V_{t l} - V_{t n} = π r_{2}^{2} h - π r_{1}^{2} h = 2 π x [a^{2} - {(a - x)}^{2}] = 2 π x (2 a x - x^{2}) \Rightarrow V = 2 π x^{2} (2 a - x) = 8 π . \frac{x}{2} . \frac{x}{2} . (2 a - x) \leq 8 π . \frac{8 a^{3}}{27} = \frac{64 π a^{3}}{27} \Rightarrow V_{max} = \frac{64 π a^{3}}{27} .$

Câu 41:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (1; 1; 1), B (2; 0; 1)$ và mặt phẳng $(P) : x + y + 2 z + 2 = 0.$ Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất.

A. $d : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 2} .$

B. $d : \frac{x}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z + 2}{- 2} .$

C. $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1} .$

D. $d : \frac{x - 1}{3} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{- 1} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song với

$(P) \Rightarrow (Q) : x + y + 2 z - 4 = 0$

Ta có $d (B; d) \leq A B \Rightarrow d (B, d) max \Leftrightarrow AB ⊥ d.$

Ta có $\bar{A B} = (1; - 1; 0) \Rightarrow \bar{u_{d}} = [\bar{A B}, \bar{n_{p}}] = (- 2; - 2; 2)$

Do đó phương trình đường thẳng d là $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z}{- 1} .$

Câu 42:

Cho số phức z thỏa mãn $|z - 3 + 4 i| = 2$ và $w = 2 z + 1 - i .$ Khi đó $|w|$ có giá trị lớn nhất là

A. $4 + \sqrt{74}$

B. $2 + \sqrt{130}$

C. $4 + \sqrt{130}$

D. $16 + \sqrt{74}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Từ giả thiết, ta có:

$|z - 3 + 4 i| = 2 \Leftrightarrow |2 z - 6 + 8 i| = 4 \Leftrightarrow |2 z + 1 - i - 7 + 9 i| = 4$

mà $w = 2 z + 1 - i .$

Khi đó:

$|w - 7 + 9 i| = 4 \Rightarrow \{\begin{cases} {|w|}_{max} = \sqrt{7^{2} + 9^{2}} + 4 = \sqrt{130} + 4 \\ {|w|}_{min} = \sqrt{7^{2} + 9^{2}} - 4 = \sqrt{130} - 4 \end{cases} .$

Câu 43:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi $V_{1}$ là thể tích khối chóp S.AMPN. Giá trị lớn nhất của $\frac{V_{1}}{V}$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $(0; \frac{1}{5}) .$

B. $(\frac{1}{5}; \frac{1}{3}) .$

C. $(\frac{1}{3}; \frac{1}{2}) .$

D. $(\frac{1}{2}; 1) .$

Xem đáp án

Đáp án C.

$\frac{V_{1}}{V} = \frac{1}{2} (\frac{V_{S . A M P}}{V_{S . A D C}} + \frac{V_{S . A N P}}{V_{S . A B C}}) = \frac{1}{2} . \frac{S P}{S C} (\frac{S M}{S D} + \frac{S N}{S B}) = \frac{x + y}{4} \frac{V_{1}}{V} = \frac{1}{2} (\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B D}} + \frac{V_{S . P M N}}{V_{S . C B D}}) = \frac{1}{2} . \frac{S M}{S D} + \frac{S N}{S B} (1 + \frac{S P}{S C}) = \frac{3 x y}{4} \Rightarrow x + y = 3 x y \Rightarrow y = \frac{x}{3 x - 1} \in (0; 1] \Rightarrow x \in [\frac{1}{2}; 1] \Rightarrow \frac{V_{1}}{V} = \frac{3 x^{3}}{4 (3 x - 1)} = \frac{3}{4} f (x) .$

Xét $f (x) = \frac{x^{2}}{3 x - 1}$ với $x \in [\frac{1}{2}; 1]$

Xét hàm, suy ra $\underset{[\frac{1}{2}; 1]}{M a x} f (x) = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V} \leq \frac{3}{8} .$

Câu 44:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3.$ Một mặt phẳng $(α)$ tiếp xúc với mặt cầu (S) và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C và thỏa mãn $O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} = 27.$ Diện tích của tam giác ABC bằng

A. $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$

C. $3 \sqrt{3}$

D. $9 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$

có tâm $O (0; 0; 0)$ và bán kính $R = \sqrt{3}$

Giả sử $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ với $a, b, c > 0$ $\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $(α)$ là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$

Để ý rằng $O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} = 27 \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} = 27$ và vì $(α)$ tiếp xúc mặt cầu $(S) :$

$\Rightarrow d (O, (α)) = R = \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{|\frac{0}{a} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1|}{\sqrt{\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}}} = \sqrt{3} \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = \frac{1}{3}$

Ta luôn có bất đẳng thức $(a^{2} + b^{2} + c^{2}) + (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}) \geq 9$ với $a, b, c > 0.$

Dấu bằng khi $a = b = c = 3$

Ta có $V_{O . A B C} = \frac{O A . O B . O C}{6} = \frac{a b c}{6} = \frac{27}{6}$

hoặc $V_{O . A B C} = \frac{d (O, (α)) . S_{A B C}}{3} \Leftrightarrow S_{A B C} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} .$

Câu 45:

Cho $f (x) = a \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) + b \sin x + 6$ với $a, b \in ℝ .$ Biết rằng $f (\log (\log e)) = 2.$ Tính giá trị của $f (\log (\ln 10))$

A. 10

B. 2

C. 4

D. 8

Xem đáp án

Đáp án A.

$f (- x) = a \ln (\sqrt{x^{2} + 1} - x) + b \sin (- x) + 6 = - a \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - b \sin x + 6 \Rightarrow f (x) + f (- x) = 12$

Biến đổi $f (\log (\ln 10)) = f (\log (\frac{1}{\log e})) = f (- \log (\log e)) .$

Dựa vào đẳng thức trên, suy ra:

$f (- \log (\log e)) + f (\log (\log e)) = 12 \Leftrightarrow f (- \log (\log e)) = 12 - f (\log (\log e)) = 10.$

Câu 46:

Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M’. Số phức $z (4 + 3 i)$ và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N, N’. Biết rằng M, M’, N , N’ là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z + 4 i - 5| .$

A. $\frac{5}{\sqrt{34} .}$

B. $\frac{2}{\sqrt{5} .}$

C. $\frac{1}{\sqrt{2}} .$

D. $\frac{4}{\sqrt{13}} .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Giả sử $z = a + b i$

với $a, b \in ℝ \Rightarrow M (a, b), M' (a, - b) .$

Ta có:

$z (4 + 3 i) = (a + b i) (4 + 3 i) = 4 a - 3 b + i (4 b + 3 a) \Rightarrow N (4 a - 3 b; 4 b + 3 a), N' (4 a - 3 b; - 4 b - 3 a)$

Để M, M’, N, N’ là 4 đỉnh của hình chữ nhật thì M phải có cùng tọa độ với N và N’

$\Leftrightarrow b = \pm (4 b + 3 a) \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = - a \\ b = - \frac{3 a}{5} \end{array} \Rightarrow M$ nằm trên đường thẳng $Δ_{1} : x + y = 0$ hoặc $Δ_{2} : 3 x + 5 y = 0$

Xét điểm $I (5; - 4) \Rightarrow |z + 5 i - 5| = M I = M i n \{d (I, Δ_{1}), d (I, Δ_{1})\} = \frac{1}{\sqrt{2}} .$

Câu 47:

Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn An nhờ bố làm một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng 5cm, cắt mảnh tôn theo các tam cân AEB, CGD, DHA; sau đó gò các tam giác AEH, BEF, CFG, DGH sao cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng:

A. $\frac{4 \sqrt{10}}{3} .$

B. $\frac{4 \sqrt{10}}{5} .$

C. $\frac{8 \sqrt{10}}{3} .$

D. $\frac{8 \sqrt{10}}{5} .$

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi cạnh đáy của khối chóp là x với

$0 < x < \frac{5 \sqrt{2}}{2} .$

Chiều cao của khối chóp là

$h = \sqrt{{(\frac{5 \sqrt{2}}{2} - \frac{x}{2})}^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{25 - 5 x \sqrt{2}}{2}} .$

Vậy thể tích của khối chóp là

$V = \frac{1}{3} . h . S = \frac{1}{3} . x^{2} . \sqrt{\frac{25 - 5 x \sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{25 x^{4} - 5 x^{5} \sqrt{2}}{2}} .$

Xét hàm số $f (x) = 25 x^{4} - 5 x^{5} \sqrt{2}$ trên $(0; \frac{5 \sqrt{2}}{2}),$

ta có $f' (x) = 100 x^{3} - 25 x^{4} \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2 \sqrt{2} .$

Suy ra giá trị lớn nhất của thể tích là $V = \frac{1}{3} . \sqrt{\frac{f (2 \sqrt{2})}{2}} = \frac{4 \sqrt{10}}{3} .$

Câu 48:

Cho hai số phức z, w khác 0 và thỏa mãn $\frac{3}{z} + \frac{4}{w} = \frac{5}{z + w},$ biết $|w| = 1.$ Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\frac{a \sqrt{10}}{3} .$

B. $\frac{4 \sqrt{10}}{5} .$

C. $\frac{8 \sqrt{10}}{3} .$

D. $\frac{8 \sqrt{10}}{5} .$

Xem đáp án

Đáp án C.

Từ giả thiết, ta có:

$\frac{3}{z} + \frac{4}{w} = \frac{5}{z + w} \Leftrightarrow \frac{3 w + 4 z}{z w} = \frac{5}{z + w} \Leftrightarrow (3 w + 4 z) (w + z) = 5 z w$

$\Leftrightarrow 3 w^{2} + 7 z w + 4 z^{2} = 5 z w \Leftrightarrow 3 w^{2} + 2 z w + 4 z^{2} = 0 \Leftrightarrow 3 {(\frac{w}{z})}^{2} + 2 (\frac{w}{z}) + 4 = 0 \Leftrightarrow \frac{w}{z} = - \frac{1}{3} \pm \frac{i \sqrt{11}}{3} .$

Lấy moodun hai vế, ta được

$|\frac{w}{z}| = |\frac{w}{z}| = |- \frac{1}{3} \pm \frac{i \sqrt{11}}{3}| = \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{\sqrt{11}}{3})}^{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \Rightarrow |z| = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Câu 49:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{3 - x^{2}}{2} k h i x < 1 \\ \frac{1}{x} k h i x < 1 \end{cases} .$ Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. Hàm số f(x) liên tục tại x = 1

B. Hàm số f(x) có đạo hàm tại x = 1

C. Hàm số f(x) liên tục tại x = 1 và hàm số f(x) cũng có đạo hàm tại x = 1

D. Hàm số f(x) không có đạo hàm tại x = 1

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có

$\{\begin{cases} f (1) = \lim_{x \to 1^{+}} f (1) = 1 \\ \lim_{x \to 1^{-}} f (1) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{3 - x^{2}}{2} = 1 \end{cases} \Rightarrow f (1) = \lim_{x \to 1^{+}} f (1) = \lim_{x \to 1^{-}} f (1) .$

Hàm số liên tục tại x = 1

Xét

$\{\begin{cases} \lim_{x \to 1^{-}} \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\frac{3 - x^{2}}{2} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{- 1 - x}{2} = - 1 \\ \lim_{x \to 1^{+}} = \frac{f (x) - f (1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{\frac{1}{x} - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} (- x) = - 1 \end{cases} .$

Hàm số có đạo hàm tại x = 1

Câu 50:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh, a góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là α thoả mãn $cos α = \frac{1}{3} .$ Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau

A. 0,11

B. 0,13

C. 0,7

D. 0,9

Xem đáp án

Đáp án A.

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm AB.

$\Rightarrow A B ⊥ (S H O) \Rightarrow \hat{(S A B); (A B C D)} = \hat{(S H; O H)} = \hat{S H O} = α . \Rightarrow c o s α = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan α = \sqrt{3 x^{2} - 1} = 2 \sqrt{2} \Rightarrow S O = \tan α \times O H = a \sqrt{2} .$

Kẻ CM vuông góc với SD $(M \in S D) \Rightarrow m p (P) \equiv m p (A C M) .$

Mặt phẳng $A M C$ chia khối chóp A.ABCD thành hai khối đa diện gồm M.ACD có thể tích là $V_{1}$ và khối đa diện còn lại có thể tích $V_{2} .$

Diện tích tam giác SAB là $S_{Δ S A B} = \frac{1}{2} . S H . A B = \frac{a}{2} . \frac{3 a}{2} = \frac{3 a^{2}}{4} .$

Và

$S D = \sqrt{S O^{2} + D O^{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{2} \Rightarrow S_{Δ . S C D} = \frac{1}{2} . S H . S D \Rightarrow C M = \frac{3 a}{\sqrt{10}} .$

Tam giác MCD vuông tại M $\Rightarrow M D = \sqrt{C D^{2} - M C^{2}} = \frac{a}{\sqrt{10}} \Rightarrow \frac{M D}{S D} = \frac{1}{5} .$

Ta có:

$\frac{V_{M . A C D}}{V_{S . A C D}} = \frac{M D}{S D} = \frac{1}{5} \Rightarrow V_{M . A C D} = \frac{V_{S . A B C D}}{10} \Leftrightarrow V_{1} = \frac{V_{1} + V_{2}}{10} \Leftrightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{9} .$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 10

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan