50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 14

Câu 1:

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên $ℝ$

A. $y = {(\sqrt{3} - 1)}^{x}$

B. $y = {(π - e)}^{x}$

C. $y = π^{x}$

D. $y = {(e - 2)}^{x}$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số $y = a^{x} (a > 0)$ đồng biến khi a >1

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[a; b] .$ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y = f (x),$ trục hoành, các đường thẳng $x = a; x = b$ là:

A. $\int_{b}^{a} f (x) d x$

B. $- \int_{a}^{b} f (x) d x$

C. $\int_{a}^{b} f (x) d x$

D. $\int_{a}^{b} |f (x)| d x$

Xem đáp án

Đáp án D

Diện tích hình phẳng tính theo công thức là $S = \int_{a}^{b} |f (x)| d x$

Câu 3:

Tìm tập tất cả các giá trị của a để $\sqrt[21]{a^{5}} > \sqrt[7]{a^{2}}$

A. $0 < a < 1$

B. $\frac{5}{21} < a < \frac{2}{7}$

C. $a > 1$

D. $a > 0$

Xem đáp án

Đáp án A

$\sqrt[21]{a^{5}} > \sqrt[7]{a^{2}} \Leftrightarrow a^{\frac{5}{21}} > a^{\frac{2}{7}} \Leftrightarrow 0 < a < 1$

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d đi qua hai điểm $M (2; 3; 4), N (3; 2; 5)$ có phương trình chính tắc là

A. $\frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$

B. $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$

C. $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 4}{- 1}$

D. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{1}$

Xem đáp án

Đáp án B

$\vec{M N} = (1; - 1; 1) \Rightarrow$ phương trình đường thẳng MN là $\frac{x - 3}{1} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z - 5}{1}$

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 6 z - 2 = 0.$ Mặt cầu (S) có tâm I với bán kính R là

A. $I (- 2; 1; 3); R = 2 \sqrt{3}$

B. $I (2; - 1; - 3), R = \sqrt{12}$

C. $I (2; - 1; - 3), R = 4$

D. $I (- 2; 1; 3); R = 4$

Xem đáp án

Đáp án C

$(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y + 6 z - 2 = 0.$

Suy ra $I (2; - 1; - 3), R = 4$

Câu 6:

Phương trình $2 c o s x - 1 = 0$ có một nghiệm là

A. $x = \frac{2 π}{3}$

B. $x = \frac{π}{6}$

C. $x = \frac{π}{3}$

D. $\frac{5 π}{6}$

Xem đáp án

Đáp án C

$P T \Leftrightarrow c o s x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \mp \frac{π}{3} + k 2 π$

Câu 7:

Hàm số $y = x^{2} - 4 x + 4$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. $(- \infty; 2)$

B. $(2; + \infty)$

C. $(- 2; + \infty)$

D. $(- \infty; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án B

$y' = 2 x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(2; + \infty)$

Câu 8:

Tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều $A B C . A' B' C'$ biết tất cả các cạnh của lăng trụ đều bằng a

A. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{12}$

B. $a^{3}$

C. $\frac{a^{3}}{3}$

D. $\frac{\sqrt{3} a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Diện tích đáy là $S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Chiều cao của lăng trụ là $h = a$

Vậy thể tích khối lăng trụ là $V = S h = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{4}$

Câu 9:

Khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 3

B. 4

C. 6

D. 9

Xem đáp án

Đáp án A

Khối chóp đã cho có 3 mặt phẳng đối xứng

Câu 10:

Bảng biến thiên trong hình vẽ là của hàm số

A. $y = \frac{- 2 x - 4}{x + 1}$

B. $y = \frac{- 2 x + 3}{x + 1}$

C. $y = \frac{2 - x}{x + 1}$

D. $y = \frac{x - 4}{2 x + 2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Dựa vào BBT ta thấy $\lim_{x \to - 1} = \infty, \lim_{x \to \infty} m = - 2 \to$ loại C, D

Mặt khác hàm số là hàm nghịch biến nên $y' < 0 (\forall x \neq - 1)$

Câu 11:

Lớp 12A có 20 bạn nữ, lớp 12B có 16 bạn nam. Có bao nhiêu cách chọn một bạn nữ lớp 12A và một bạn nam lớp 12B để dẫn chương trình hoạt động ngoại khóa?

A. 320

B. 630

C. 36

D. 1220

Xem đáp án

Đáp án A

$C_{20}^{1} . C_{16}^{1} = 320$

Câu 12:

Đạo hàm của hàm số $y = \sin^{2} 2 x$ trên $ℝ$ là

A. $y' = - 2 c o s 4 x$

B. $y' = 2 c o s 4 x$

C. $y' = - 2 \sin 4 x$

D. $y' = 2 \sin 4 x$

Xem đáp án

Đáp án D

$y' = 2 \sin 2 x (\sin 2 x)' = 4 \sin 2 x c o s 2 x = 2 \sin 4 x$

Câu 13:

Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $a, S A = 3 a$ và SA vuông góc với mặt đáy. Thể tích của khối chóp S.ABCD là

A. $6 a^{3}$

B. $a^{3}$

C. $\frac{a^{3}}{3}$

D. $3 a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

$V = \frac{1}{3} S A . S_{A B C D} = \frac{1}{3} 3 a . a^{2} = a^{3}$

Câu 14:

Tìm giới hạn $I = \lim \frac{2 n + 1}{n + 1}$

A. I = 0

B. I = 3

C. I = 1

D. I = 2

Xem đáp án

Đáp án D

$I = \lim \frac{2 n + 1}{n + 1} = 2$

Câu 15:

Hàm số $F (x) = 3 x^{4} + \sin x + 3$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây

A. $f (x) = 12 x^{3} - c o s x$

B. $f (x) = 12 x^{3} + c o s x$

C. $f (x) = 12 x^{3} + c o s x + 3 x$

D. $f (x) = 12 x^{3} - c o s x + 3 x$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$F (x) = 3 x^{2} + \sin x + 3 \Rightarrow f (x) = F' (x) = 13 x^{3} + c o s x$

Câu 16:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f (x) = 2 x - 4 \sqrt{6 - x}$ trên đoạn $[- 3; 6] .$ Tổng $[- 3; 6] .$ có giá trị là

A. 18

B. -6

C. -12

D. -4

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $f' (x) = 2 - \frac{2}{\sqrt{6 - x}} > 0 (\forall x \in [- 3; 6])$ do đó hàm số đó đồng biến trên $[- 3; 6] .$

Khi đó $M + m = f (- 3) + f (6) = - 6$

Câu 17:

Kết quả tích phân $I = \int_{0}^{1} (2 x + 3) e^{x} d x$ được viết dưới dạng $I = a e + b$ với a, b là các số hữu tỉ. Tìm khẳng định đúng

A. $a^{3} + b^{3} = 28$

B. $a b = 3$

C. $a + 2 b = 1$

D. $a - b = 2$

Xem đáp án

Đáp án C

$\{\begin{cases} u = 2 x + 3 \\ d v = e^{x} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = 2 d x \\ v = e^{x} \end{cases} \Rightarrow I = {(2 x + 3) e^{x}|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2 e^{x} d x = 5 e - 3 - 2 e + 2 = 3 e - 1$

Câu 18:

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là

A. $S = \frac{4 π R^{3}}{3}$

B. $S = π R^{2}$

C. $S = \frac{4 π R^{2}}{3}$

D. $S = 4 π R^{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R là $S = 4 π R^{2}$

Câu 19:

Đồ thị trong hình vẽ là đồ thị hàm số

A. $y = - x^{2} + 2 x$

B. $y = x^{3} - 3 x$

C. $y = - x^{3} + 3 x$

D. $y = x^{2} - 2 x$

Xem đáp án

Đáp án C

Dựa vào đồ thị hàm số

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = - \infty \Rightarrow a < 0$

Hàm số đã cho ở hàm bậc 3

Câu 20:

Cho số dương a khác 1 và các số thực $α, β .$ Đẳng thức nào sau đây là sai?

A. $a^{α} . a^{β} = a^{α . β}$

B. $a^{α} . a^{β} = a^{α + β}$

C. ${(a^{α})}^{β} = a^{α . β}$

D. $\frac{a^{α}}{a^{β}} = a^{α - β}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $a^{α} . a^{β} = a^{α + β}$

Câu 21:

Đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số dương x?

A. $(\log x)' = \frac{1}{x \ln 10}$

B. $(\log x)' = \frac{\ln 10}{x}$

C. $(\log x)' = x \ln 10$

D. $(\log x)' = \frac{x}{\ln 10}$

Xem đáp án

Đáp án A

$(\log x)' = \frac{1}{x \ln 10}$

Câu 22:

Hàm số $y = x^{4} + 2 x^{2} - 3$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 0

B. 2

C. 1

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

$y' = 4 x^{3} + 4 x = 4 x (x^{2} + 1)$

Câu 23:

Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số khác nhau?

A. 2240

B. 2520

C. 2016

D. 256

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi số lập được là abcd

$\to \{\begin{cases} d \in \{1; 3; 5; 7; 9\} \Rightarrow 5 cach \\ a \neq d \Rightarrow 8 c a c h \\ b \neq a \neq d \Rightarrow 8 c a c h \\ c \neq b \neq a \neq d \Rightarrow 7 c a c h \end{cases}$

$\Rightarrow$ có $5.8.8.7 = 2240$ số thỏa mãn

Câu 24:

Một công ty sữa cần sản xuất các hộp đựng sữa dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông, chứa được thể tích thực là 180ml. Chiều cao của hình hộp bằng bao nhiêu để nguyên liệu sản xuất vỏ hộp là ít nhất?

A. $\sqrt[3]{180^{2}} (c m)$

B. $\sqrt[3]{360} (c m)$

C. $\sqrt[3]{180} (c m)$

D. $\sqrt[3]{720} (c m)$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi chiều dài đáy là x và chiều cao của hộp là y $(x; y > 0; c m)$

Ta có

$V = x^{2} y = 180; S_{t p} = 4 x y + 2 x^{2} = \frac{4.180}{x} + 2 x^{2} = \frac{360}{x} + \frac{360}{x} + 2 x^{2} \geq 3 \sqrt[3]{360^{2} .2}$

Dấu “=” xảy ra

$\Leftrightarrow \frac{360}{x} = 2 x^{2} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{180} \Rightarrow y = \frac{180}{x^{2}} = \sqrt[3]{180} (c m)$

Câu 25:

Hàm số f(x) có đạo hàm trên là hàm số f'(x). Biết đồ thị hàm số f'(x) được cho như hình vẽ. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng

A. $(0; + \infty)$

B. $(\frac{1}{3}; 1)$

C. $(- \infty; \frac{1}{3})$

D. $(- \infty; 0)$

Xem đáp án

Đáp án D

$f' (x) < 0 \Leftrightarrow x < 0$ do đó hàm số nghịch biến trên $(- \infty; 0)$

Câu 26:

Cho $m \in [0; 2]$ biểu thức $I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} |x - m| d x$ nhỏ nhất khi:

A. m = 0

B. m = 1

C. $m = \frac{π}{4}$

D. m = 2

Xem đáp án

Đáp án C

$\begin{array}{l} I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} |x - m| d x = \int_{0}^{m} |x - m| d x + \int_{m}^{\frac{π}{2}} |x - m| d x \\ = \int_{0}^{m} (x - m) d x + \int_{m}^{\frac{π}{2}} (x - m) d x \\ = {(m x - \frac{x^{2}}{2})|}_{0}^{m} + {(m x - \frac{x^{2}}{2})|}_{m}^{\frac{π}{2}} \\ = (m^{2} - \frac{m^{2}}{2}) + (\frac{π^{2}}{8} - \frac{m π}{2}) - (\frac{m^{2}}{2} - m^{2}) \\ = m^{2} - \frac{m}{2} π + \frac{π^{2}}{8} = {(m - \frac{π}{4})}^{2} + \frac{π^{2}}{16} \geq \frac{π^{2}}{16} \end{array}$

Câu 27:

Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều có độ dài bằng 1. Tìm diện tích lớn nhất $S_{m a x}$ của hình thang

A. $S_{m a x} = \frac{8 \sqrt{2}}{9}$

B. $S_{m a x} = \frac{4 \sqrt{2}}{9}$

C. $S_{m a x} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

D. $S_{m a x} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Dựng $A H ⊥ C D .$ Đặt $D H = x (0 < x < 1)$

Ta có: $D C = 2 x + 1 \Rightarrow A H = \sqrt{1 - x^{2}}$

$S_{A B C D} = \frac{1 + 2 x + 1}{2} \sqrt{1 - x^{2}} = (1 + x) \sqrt{1 - x^{2}} = f (x) \Rightarrow f' (x) = \sqrt{1 - x^{2}} - (1 + x) \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = 0 \Leftrightarrow (1 - x^{2}) = (1 + x) x \Leftrightarrow 2 x^{2} + x - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 (l o a i) \\ x = \frac{1}{2} \end{array} \Rightarrow S_{m a x} = f (\frac{1}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}$

Câu 28:

Cho $\int_{1}^{3} f (x) d x = - 2; \int_{1}^{4} f (x) d x = 3; \int_{1}^{4} g (x) d x = 7.$ Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\int_{3}^{4} f (x) d x = - 1$

B. $\int_{1}^{4} [f (x) + g (x)] d x = 10$

C. $\int_{1}^{4} [4 f (x) - 2 g (x)] d x = - 2$

D. $\int_{3}^{4} f (x) d x = 5$

Xem đáp án

Đáp án A

Giả sử $F (x)$ là nguyên hàm của hàm số $f (x); G (x)$ là nguyên hàm của hàm số $g (x)$

Khi đó ta có

$\int_{1}^{3} f (x) d x = {F (x)|}_{1}^{3} = F (3) - F (1) = - 2 \int_{1}^{4} f (x) d x = {F (x)|}_{1}^{4} = F (4) - F (1) = 3 \int_{1}^{4} g (x) d x = {G (x)|}_{1}^{4} = G (4) - G (1) \Rightarrow \int_{3}^{4} f (x) d x = {F (x)|}_{3}^{4} = F (4) - F (3) = [F (4) - F (1)] - [F (3) - F (1)] = 5$

Câu 29:

Cho phương trình $\tan x + \tan (x + \frac{π}{4}) = 1.$ Diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các họ nghiệm của phương trình gần với số nào nhất trong các số dưới đây?

A. 0,948

B. 0,949

C. 0,946

D. 0,947

Xem đáp án

Đáp án B

Điều kiện: $\{\begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \tan x \neq 1 \end{cases}$

Ta có:

$\tan x + \tan (x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x + \tan \frac{π}{4}}{1 - \tan x . \tan \frac{π}{4}} = 1$

$\Leftrightarrow \tan x + \frac{\tan x + 1}{1 - \tan x} = 1 \Leftrightarrow \tan x - \tan^{2} x + \tan x + 1 = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \tan x = 0 \\ \tan x = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = \arctan 2 + k π \end{array} (k \in ℤ)$

suy ra 4 nghiệm trên đường tròn lượng giác là $[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = π \end{array}$ và $[\begin{array}{l} x = \arctan 2 \\ x = \arctan 2 + π \end{array}$

Vậy diện tích cần tính là $S = 0, 948$

Câu 30:

Cho $m \in [0; 4],$ giá trị của biểu thức $\int_{0}^{m} (2 x - x^{2}) d x$ lớn nhất khi

A. $m = 3$

B. $m = 4$

C. $m = 1$

D. $m = 2$

Xem đáp án

Đáp án D

$\int_{0}^{m} (2 x - x^{2}) d x = {(x^{2} - \frac{1}{3} x^{3})|}_{0}^{m} = m^{2} - \frac{1}{3} m^{3}$

Xét hàm số $f (m) = m^{2} - \frac{1}{3} m^{3}; m \in [0; 4]$

Ta có $f' (m) = 2 m - m^{2}; f' (m) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 0 \\ m = 2 \end{array}$

Ta có $f (0) = 0; f (2) = \frac{4}{3}; f (4) = - \frac{16}{3}$

Vậy giá trị lớn nhất là $\frac{4}{3}$ đạt tại $m = 2$

Câu 31:

Giá trị của b để hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2} khi x \neq 2 \\ 3 b + 1 khi x=2 \end{cases}$ liên tục tại $x = 2$ là

A. $- \frac{1}{4}$

B. $- \frac{3}{4}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $- \frac{3}{8}$

Xem đáp án

Đáp án A

$\lim_{x \to 2} f (x) = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{x + 2} - 2}{{(\sqrt{x + 2})}^{2} - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x + 2} + 2} = \frac{1}{4}$

Và $f (2) = 3 b + 1$ nên hàm số $f (x)$ liên tục tại $x = 2 \Leftrightarrow 3 b + 1 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow b = - \frac{1}{4}$

Câu 32:

Cho hình lăng trụ $A B C . A' B' C'$ Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BB¢ và CC¢. Mặt phẳng $(A E F)$ chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích $V_{1}$ và $V_{2}$ như hình vẽ. Tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ là

A. $\frac{1}{2}$

B. 1

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

$V_{1} = \frac{1}{3} d (A; (B C C' B')) . S_{B E F C} = \frac{1}{3} d (A; (B C C' B')) . S_{B C C' B'} = \frac{1}{2} V_{A B C C' B'}$

Mà:

$V_{A B C . A' B' C'} = V_{A . A' B' C'} + V_{A . B C C' B'} \Rightarrow V_{A B C' C' B'} = \frac{2}{3} V_{A B C . A' B' C'} \Rightarrow V_{1} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} V_{A B C . A' B' C'} = \frac{1}{3} V_{A B C . A' B' C'}$

Mặt khác:

$V_{1} + V_{2} = V_{A B C . A' B' C'} \to V_{2} = \frac{2}{3} V_{A B C . A' B' C'} \Rightarrow \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{3} : \frac{2}{3} = \frac{1}{2}$

Câu 33:

Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai điểm $A (1; 2; 1), B (3; 0; - 1)$ và mặt phẳng (P) có phương trình $x + y - z = 0.$ Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của A và B trên mặt phẳng (P). Tính độ dài đoạn MN

A. $2 \sqrt{3}$

B. $\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

C. $\frac{2}{\sqrt{3}}$

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

$\begin{array}{l} A B = 12; A M = d (A; (P)) = \frac{\sqrt{3}}{3}; \\ B N = d (B; (P)) = \sqrt{3} \\ M N = \sqrt{A B^{2} - {(A M - B N)}^{2}} = \frac{4 \sqrt{6}}{3} \end{array}$

Câu 34:

Biết rằng phương trình $z^{2} + b z + c = 0 (b, c \in ℝ)$ có một nghiệm phức là $z_{1} = 1 + 2 i,$ Khi đó

A. $b + c = 0$

B. $b + c = 3$

C. $b + c = 2$

D. $b + c = 7$

Xem đáp án

Đáp án B

Do $1 + 2 i$ là nghiệm của phương trình nên ta có:

$\begin{array}{l} {(1 + 2 i)}^{2} + b (1 + 2 i) + c = 0 \\ \Leftrightarrow - 3 + 4 i + b + 2 b i + c = 0 \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} b + c - 3 = 0 \\ 2 b + 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow b + c = 3 \end{array}$

Câu 35:

Tất cả đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \frac{x - \sqrt{x^{2} - 4}}{x^{2} - 4 x + 3}$ là

A. $y = 0; y = 1; x = 3$

B. $y = 1; x = 3$

C. $y = 0; x = 1; x = 3$

D. $y = 0; x = 3$

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện $\{\begin{cases} x^{2} - 4 \geq 0 \\ x^{2} - 4 x + 3 \neq 0 \end{cases}$

Ta có:

$y = \frac{x - \sqrt{x^{2} - 4}}{x^{2} - 4 x + 3} = \frac{4}{(x^{2} - 4 x + 3) (x + \sqrt{x^{2} - 4})}$

Ta có $\lim_{x \to + \infty} y = \lim_{x \to - \infty} y = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Ta có:

$(x^{2} - 4 x + 3) (x + \sqrt{x^{2} - 4}) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 (l) \\ x = 3 \end{array} \Rightarrow x = 3$

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Do đó đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là $x = 3;$ tiệm cận ngang là $y = 0$

Câu 36:

Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm, đường kính 6cm. Mặt đáy phẳng và dày 1 cm, thành cốc dày 0,2cm. Đổ vào cốc 120ml nước sau đó thả vào cốc 5 viên bi có đường kính 2cm. Hỏi mặt nước trong cốc cách mép cốc bao nhiêu xen-ti-mét? (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

A. 3,67 cm

B. 2,67 cm

C. 3,28 cm

D. 2,28 cm

Xem đáp án

Đáp án D

Tổng thể tích nước và 5 viên bi là: $120 + 5. \frac{4 π {.1}^{3}}{3} \approx 140, 94 (m l)$

Lượng nước trong cốc có dạng hình trụ, với bán kính là: $\frac{6 - 0, 2.2}{2} = 2, 8 (c m)$

Khi đó, chiều cao h' của mực nước tinh từ đáy trong của cốc được tính từ:

$π .2, 8^{2} h' = 140, 94 \Leftrightarrow h' = 5, 72$

Chiều cao từ đáy trong côc đến mép cốc là: $9 - 1 = 8$

Vậy mặt nước trong cách mép: $8 - 5.72 = 2, 28.$

Câu 37:

Cho số phức z thay đổi, luôn có $|z| = 2.$ Khi đó tập hợp điểm biểu diễn số phức $w = (1 - 2 i) \bar{z} + 3 i$ là:

A. Đường tròn $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2 \sqrt{5}$

B. Đường tròn $x^{2} + {(y + 3)}^{2} = 20$

C. Đường tròn $x^{2} + {(y - 3)}^{2} = 20$

D. Đường tròn ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 2 \sqrt{5}$

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử:

$w = a + b i (a, b \in ℝ) \Rightarrow a + b i = (1 - 2 i) \bar{z} + 3 i \begin{array}{l} \Rightarrow \bar{z} = \frac{a + (b - 3) i}{1 - 2 i} = \frac{[a + (b - 3) i] (1 - 2 i)}{5} \\ = \frac{a - 2 (b - 3) + (2 a + b - 3) i}{5} \\ \Rightarrow |\bar{z}| = |z| \\ = \frac{1}{5} \sqrt{{[a - 2 (b - 3)]}^{2} + {(2 a + b - 3)}^{2}} = 2 \\ \Leftrightarrow {(a - 2 b + 6)}^{2} + {(2 a + b - 3)}^{2} = 100 \\ \Leftrightarrow {(a - 2 b)}^{2} + {(2 a + b)}^{2} + 12 (a - 2 b) - 6 (2 a + b) = 55 \\ \Leftrightarrow 5 a^{2} + 5 b^{2} - 30 b = 55 \\ \Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - 6 b = 11 \Leftrightarrow a^{2} + {(b - 3)}^{2} = 20 \end{array}$

Câu 38:

Cho hàm số $y = f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Tất cả các giá trị của m để phương trình $|f (x)| = m$ có hai nghiệm phân biệt là

A. $m \geq 2$ và $m \leq 1$

B. $0 < m < 1$

C. $m > 2$ và $m < 1$

D. $0 < m < 1$ và $m > 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số $y = |f (x)|$ gồm 2 phần

Phần 1: là phần của $(C)$ nằm trên Ox

Phần 2: lấy đối xứng phần đồ thị $(C)$ dưới Ox qua Ox

Dựa vào đồ thị ta thấy $|f (x)| = m$ có 2 nghiệm khi và chỉ khi $m > 1$ hoặc $0 < m < 1$

Câu 39:

Biết rằng bất phương trình $\log_{2} (5^{x} + 2) + 2 \log_{(5^{x} + 2)} 2 > 3$ có tập nghiệm là $S = (\log_{a} b; + \infty),$ với a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 và $a \neq 1.$ Tính $P = 2 a + 3 b$

A. $P = 16$

B. $P = 7$

C. $P = 11$

D. $P = 18$

Xem đáp án

Đáp án A

$\log_{2} (5^{x} + 2) + 2 \log_{5^{x} + 2} 2 > 3 \Leftrightarrow \log_{2} (5^{x} + 2) + \frac{2}{\log_{2} (5^{x} + 2)} > 3 (*)$

Đặt: $t = \log_{2} (5^{x} + 2) > 1,$

Khi đó $(*) \Leftrightarrow t + \frac{2}{t} > 3 \Leftrightarrow t > 2$

Khi đó:

$\log_{2} (5^{x} + 2) > 2 \Leftrightarrow 5^{x} > 2 \Leftrightarrow x > \log_{5} 2 = \log_{a} b \Rightarrow \{\begin{cases} a = 5 \\ b = 2 \end{cases}$

Câu 40:

Tìm m để phương trình $\sin (2 x + \frac{5 π}{2}) - m \cos x + 1 = 0$ có đúng 3 nghiệm trên $(0; \frac{4 π}{3}]$

A. $- 2 \leq m \leq - 1$

B. $- 2 < m \leq - 1$

C. $- 2 \leq m < - 1$

D. $- 2 \leq m$

Xem đáp án

Đáp án B

$\begin{array}{l} \sin (2 x + \frac{5 π}{2}) - m \cos x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow c o s 2 x - m \cos x + 1 = 0 \\ \Leftrightarrow 2 c o s^{2} x = m \cos x \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \cos x = \frac{m}{2} \end{array} \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k π \\ \cos x = \frac{m}{2} \end{array} \end{array}$

Mà $x \in (0; \frac{4 π}{3}] \Rightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} \\ \cos x = \frac{m}{2} (*) \end{array}$

Để phương trình có đúng 3 nghiệm trên $(0; \frac{4 π}{3}] \Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm thuộc $(0; \frac{4 π}{3}]$

$\Leftrightarrow - 1 < \frac{m}{2} \leq - \frac{1}{2} \Leftrightarrow - 2 < m \leq - 1$

Câu 41:

Cho hàm số $y = x^{3} - m x^{2} + 3 x + 1$ và $M (1; - 2) .$ Biết có 2 giá trị của m là $m_{1}$ và $m_{2}$ để đường thẳng $Δ : y = x + 1$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt $A (0; 1),$ B, C sao cho $Δ M B C$ có diện tích bằng $4 \sqrt{2} .$ Hỏi $m_{1}^{2} + m_{2}^{2}$ thuộc khoảng nào trong các khoảng nào sau đây

A. $(15; 17)$

B. $(3; 5)$

C. $(31; 33)$

D. $(16; 18)$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là

$\begin{array}{l} x^{3} - m x^{2} + 3 x + 1 = x + 1 \\ \Leftrightarrow x^{3} - m x^{2} + 2 x = 0 \\ \Leftrightarrow x (x^{2} - m x + 2 = 0) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x^{2} - m x + 2 = 0 = 0 (*) \end{array} \end{array}$

Để (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt $\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 2 \sqrt{2} \\ m < - 2 \sqrt{2} \end{array}$

Gọi $A (0; 1), B (x_{1}; y_{1}), C (x_{2}; y_{2})$ là tọa độ giao điểm của (C) và d

Với $x_{1}; x_{2}$ là nghiệm phương trình $(*),$ suy ra $\{\begin{cases} x + x_{2} = m \\ x_{1} . x_{2} = 2 \end{cases} \Rightarrow {(x_{1} - x_{2})}^{2} = m^{2} - 8$

Khoảng cách từ M đến BC là:

$d (M; Δ) = \frac{4}{\sqrt{2}} \Rightarrow S_{M B C} = \frac{1}{2} d (M; Δ) . B C = 4 \sqrt{2} \Rightarrow B C = 4$

Mà:

$B C = {(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} = 2 {(x_{2} - x_{1})}^{2} = 2 m^{2} - 16 \Rightarrow 2 m^{2} - 16 = 16 \Rightarrow m = \pm 4$

Vậy $m_{1}^{2} + m_{2}^{2} = 4^{2} + {(- 4)}^{2} = 32 \in (31; 33)$

Câu 42:

Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi, hình nón (H) bất kỳ nội tiếp mặt cầu (S). Thể tích khối nón (H) là $V_{1}$ thể tích phần còn lại của khối cầu là $V_{2}$ Giá trị lớn nhất của $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ bằng:

A. $\frac{81}{32}$

B. $\frac{76}{32}$

C. $\frac{32}{81}$

D. $\frac{32}{76}$

Xem đáp án

Đáp án D

Kí hiệu như hình vẽ bên

Chuẩn hóa $R = 1$ và gọi r,h lầm lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón

$\Rightarrow$ Thể tích khối nón là $V_{1} = \frac{1}{3} π r^{2} h$

Tam giác AMK vuông tại K, có:

$I K^{2} = I M . I A \Leftrightarrow r^{2} = h (2 R - h) = h (2 - h)$

Để $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ lớn nhất $\Leftrightarrow \frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{V_{C} - V_{1}}{V_{1}} = \frac{V_{C}}{V_{1}} - 1$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow V_{1}$ đạt giá trị lớn nhất

Khi đó $V_{1} = \frac{π}{3} h^{2} (2 - h) \leq \frac{π}{3} . \frac{32}{27} = \frac{32 π}{81}$ (khảo sát hàm số $f (h) = 2 h^{2} - h^{3})$ )

Vậy tỉ số:

$\frac{V_{1}}{V_{2}} = 1 : (\frac{V_{C}}{V_{1}} - 1) = 1 : (\frac{4 π}{3} : \frac{32 π}{81} - 1) = \frac{8}{19}$

Câu 43:

Tìm m để bất phương trình $x + 2 \sqrt{(2 - x) (2 x + 2)} > m + 4 (\sqrt{2 - x} + \sqrt{2 x + 2})$ có nghiệm?

A. $m < - 8$

B. $m < - 1 - 4 \sqrt{3}$

C. $m < - 7$

D. $- 8 < m < - 7$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt:

$t = \sqrt{2 - x} + \sqrt{2 x + 2} \Leftrightarrow t^{2} = x + 4 + 2 \sqrt{(2 - x) (2 x + 2)} \Leftrightarrow x + 2 \sqrt{(2 - x) (2 x + 2)} = t^{2} - 4$

Với $x \in [- 1; 2]$ ta được:

$t' = - \frac{1}{2 \sqrt{2 - x}} + \frac{1}{\sqrt{2 x + 2}} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow \sqrt{3} \leq t \leq 3$

Khi đó bất phương trình trở thành:

$t^{2} - 4 > m + 4 t \Leftrightarrow m < f (t) = t^{2} - 4 t - 4 (*)$

Để (*) có nghiệm trên đoạn $[\sqrt{3}; 3]$ khi và chỉ khi $m < \max_{[\sqrt{3}; 3]} f (t) = - 7$

Câu 44:

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D'$ cạnh bằng a. Lấy điểm M thuộc đoạn AD¢, điểm N thuộc đoạn BD sao cho $A M = D N = x$ với $(0 < x < \frac{a \sqrt{2}}{2}) .$ Tìm x theo a để đoạn MN ngắn nhất

A. $x = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

B. $x = \frac{a \sqrt{2}}{4}$

C. $x = \frac{a}{2}$

D. 0

Xem đáp án

Đáp án A

Kẻ:

$M H ⊥ A D \Rightarrow M H = A H = \frac{x \sqrt{2}}{2} \Rightarrow H D = a - \frac{x \sqrt{2}}{2}$

Tam giác HND có

$H N^{2} = D N^{2} - 2 D N . H D . c o s^{2} \hat{N D H}$

$= {(a - \frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2} + x^{2} - \sqrt{2} x (a - \frac{x \sqrt{2}}{2}) = \frac{5}{2} x^{2} - 2 \sqrt{2} a x + a^{2}$

Vì:

$M H ⊥ A D \Rightarrow M H / / A A' \Rightarrow M H ⊥ (A B C D) \Rightarrow M H ⊥ H N$

Tam giác MHN vuông tại H, có $M N^{2} = M H^{2} + H N^{2}$

$\begin{array}{l} = {(\frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2} + \frac{5}{2} x^{2} - 2 \sqrt{2} a x + a^{2} \\ = 3 x^{2} - 2 \sqrt{2} a x + a^{2} \\ = \frac{1}{3} {(x - \frac{a \sqrt{2}}{3})}^{2} + \frac{a^{2}}{3} \geq \frac{a^{2}}{3} \\ \Rightarrow M N \geq \frac{a \sqrt{3}}{3} \Rightarrow M N_{\min} = \frac{a \sqrt{3}}{3} \end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $x = \frac{a \sqrt{2}}{3}$

Câu 45:

Cho số thực x, y thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + x y = 4 (y - 1) + 3 x$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 3 (x^{3} - y^{3}) + 20 x^{2} + 2 x y + 5 y^{2} + 39 x$

A. $120 \sqrt{2}$

B. 110

C. 100

D. $96 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

$G T \Leftrightarrow \{\begin{cases} x^{2} + (y - 3) x + y^{2} - 4 y + 4 = 0 \\ y^{2} + (x - 4) y + x^{2} - 3 x + 4 = 0 \end{cases}$

có nghiệm $\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ_{x} \geq 0 \\ Δ_{y} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 \leq x \leq \frac{4}{3} \\ 1 \leq y \leq \frac{7}{3} \end{cases}$

Và:

$x y = 3 x + 4 y - x^{2} - y^{2} - 4 \Rightarrow P = \underset{f (x)}{\underset{⏟}{3 x^{3} + 18 x^{2} + 45 x - 8}} + \underset{g (y)}{\underset{⏟}{- 3 y^{3} + 3 y^{2} + 8 y}}$

Xét hàm số $f (x) = 3 x^{3} + 18 x^{2} + 45 x - 8$ trên $[0; \frac{4}{3}] \Rightarrow \max_{[0; \frac{4}{3}]} f (x) = f (\frac{4}{3}) = \frac{820}{9}$

Xét hàm số $g (x) = - 3 y^{3} + 3 y^{2} + 8 y$ trên $[1; \frac{7}{3}] \Rightarrow \max_{[1; \frac{7}{3}]} g (x) = f (\frac{4}{3}) = \frac{80}{9}$

Vật $P \leq \max_{[0; \frac{4}{3}]} f (x) + \max_{[1; \frac{7}{3}]} g (x) = 100$

Dấu “=” xảy ra khi $x = y = \frac{4}{3}$

Câu 46:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 1$ có đồ thị (C) và đường thẳng $(d) : y = x + m .$ Biết rằng đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tạo thành 2 phần hình phẳng có diện tích bằng nhau. Hỏi m thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. $(- 5; - 3)$

B. $(- 3; - 1)$

C. $(- 1; 1)$

D. $(1; 3)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ycbt $\Leftrightarrow$ đường thẳng d đi qua điểm uốn của đồ thị $(C)$ (*)

Ta có:

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x \Rightarrow f'' (x) = 6 x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

suy ra điểm uốn $I (1; - 3)$

Do đó $(*) \Leftrightarrow - 3 = 1 + m \Leftrightarrow m = - 4 \in (- 5; - 3)$

Câu 47:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên.

Đặt $g (x) = f [f (x)] .$ Tìm số nghiệm của phương trình $g' (x) = 0$

A. 2

B. 8

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có:

$g' (x) = f' (x) . f' [f (x)] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f' (x) = 0 \\ f' [f (x)] = 0 \end{array}$

Do đồ thị hàm số $y = f (x)$ có 2 điểm cực trị nên $f' (x) = 0$ có 2 nghiệm phân biệt

Lại có $f' [f (x)] = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 0 \\ f (x) \approx \frac{5}{2} \end{array};$ trong đó $f (x) = 0$ có 3 nghiệm; $f (x) \approx \frac{5}{2}$ có 3 nghiệm

Vậy phương trình $g' (x) = 0$ có 8 nghiệm phân biệt

Câu 48:

Một nhóm gồm 11 bạn học sinh trong đó có An, Bình, Cường tham gia một trò chơi đòi hỏi 11 bạn phải xếp thành một vòng tròn. Tính xác suất để ba bạn An, Bình, Cường không bạn nào xếp cạnh nhau

A. $\frac{4}{15}$

B. $\frac{11}{15}$

C. $\frac{7}{15}$

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Xếp 11 bạn thành một vòng tròn có 10! cách $\Rightarrow n (Ω) = 10! .$

Gọi X là biến cố “Ba bạn An, Bình, Cường xếp cạnh nhau”

THI. Ba bạn An, Bình_, Cường xếp cạnh nhau $\Rightarrow c ó 3! .8!$ cách.

TH2. Hai trong ba bạn An, Bình_, Cường xếp cạnh nhau $\Rightarrow$ có ${C_{3}}^{2} .2.7.8!$ cách.

Suy ra số phẩn tử cùa biến cố $\bar{X}$ là $n (\bar{X}) = 3! .8! + C 3.2.7.8! .$

Vậy xác suất cần tính là:

$P = 1 - \frac{n (\bar{X})}{n (Ω)} = 1 - \frac{3! .8! + C 3.2.7.8!}{10!} = \frac{7}{15}$

Câu 49:

Cho hai chất điểm A và B cùng bắt đầu chuyển động trên trục Ox từ thời điểm $t = 0.$ Tại thời điểm t, vị trí của chất điểm A được cho bởi $x = f (t) = - 6 + 2 t - \frac{1}{2} t^{2}$ và vị trí của chất điểm B được cho bởi $x = g (t) = 4 \sin t .$ Gọi $t_{1}$ là thời điểm đầu tiên và $t_{2}$ là thời điểm thứ hai mà hai chất điểm có vận tốc bằng nhau. Tính theo $t_{1}$ và $t_{2}$ độ dài quãng đường mà chất điểm A đã di chuyển từ thời điểm $t_{1}$ đến thời điểm $t_{2}$

A. $4 - 2 (t_{1} + t_{2}) + \frac{1}{2} (t_{1}^{2} + t_{2}^{2})$

B. $4 + 2 (t_{1} + t_{2}) - \frac{1}{2} (t_{1}^{2} + t_{2}^{2})$

C. $2 (t_{2} - t_{1}) - \frac{1}{2} (t_{2}^{2} - t_{1}^{2})$

D. $2 (t_{1} - t_{2}) - \frac{1}{2} (t_{1}^{2} - t_{2}^{2})$

Xem đáp án

Đáp án A

Khi 2 chất điểm có vận tốc bằng nhau:

$\Rightarrow f' (t) = g' (t) = 1 - t = 4 \cos t \Rightarrow [\begin{array}{l} t = A \\ t = B \end{array} (A < 2 < B)$

Do đó quãng đường mà chất điểm A đã di chuyển là

$S = \int_{A}^{B} |2 - t| d t = \int_{A}^{2} |2 - t| d t + \int_{2}^{B} |2 - t| d t \begin{array}{l} = \int_{A}^{2} (2 - t) d t + \int_{2}^{B} (t - 2) d t \\ = {(2 t - \frac{t^{2}}{2})|}_{A}^{2} + {(\frac{t^{2}}{2} - 2 t)|}_{2}^{B} \\ = 2 - 2 A + \frac{A^{2}}{2} + \frac{B^{2}}{2} - 2 B + 2 \\ = 4 - 2 (A + B) + \frac{1}{2} (A^{2} + B^{2}) \\ = 4 - 2 (t_{1} + t_{2}) + \frac{1}{2} (t_{1}^{2} + t_{2}^{2}) \end{array}$

Câu 50:

Cho số phức z, w khác 0 sao cho $|z - w| = 2 |z| = |w| .$ Phần thực của số phức $u = \frac{z}{w}$ là

A. $a = - \frac{1}{8}$

B. $a = \frac{1}{4}$

C. $a = 1$

D. $a = \frac{1}{8}$

Xem đáp án

Đáp án D

Giả sử $u = a + b i (a, b \in ℝ)$

Từ giả thiết đầu bài $|z - w| = 2 |z| = |w| .$ ta có hệ sau

$\{\begin{cases} |u| = \frac{|z|}{|w|} = \frac{1}{2} \\ \frac{|z - w|}{|w|} = |u - 1| = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = \frac{1}{4} \\ {(a - 1)}^{2} + b^{2} = 1 \end{cases} \Rightarrow {(a - 1)}^{2} + a^{2} = - 2 a + 1 = \frac{3}{4} \Rightarrow a = \frac{1}{8}$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 14

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan