50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 1

Câu 1:

Cho tập hợp S gồm 15 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Từ 15 điểm thuộc tập hợp S ta xác định được bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 15 điểm đã cho?

A. $A_{15}^{3}$

B. $C_{15}^{3}$

C. $P_{15}$

D. $A_{15}^{12}$

Xem đáp án

Đáp án B.

Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 15 điểm đã cho bằng số cách chọn 3 điểm trong 15 điểm đã cho và bằng $C_{15}^{3}$ (không quan tâm đến thứ tự đỉnh).

Câu 2:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại điểm nào trong các điểm dưới đây?

A. x = -3

B. x = 5

C. x = 4

D. x = 0

Xem đáp án

Đáp án D.

Từ bảng biến thiên của hàm số ta có hàm số đạt cực đại tại x = 0 , $y_{C D} = 5$ hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, $y_{C T} = - 3$ Do đó phương án đúng là D.

Câu 3:

Đồ thị hàm số nào dưới đây có đúng một đường tiệm cận ngang?

A. $y = \frac{2 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

B. $y = \frac{3 x + 1}{x + \sqrt{2 x^{2} - 1}}$

C. $y = \frac{x^{2}}{x + 3}$

D. $y = \frac{4 x - 2}{x^{2} - 3 x + 2}$

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có :

Ta có $\lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 2}{x^{2} - 3 x + 2} = \lim_{x \to - \infty} \frac{4 x - 2}{x^{2} - 3 x + 2} = 0$ nên đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{4 x - 2}{x^{2} - 3 x + 2}$ nên đường thẳng y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Câu 4:

Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị nào của hàm số nào dưới đây?

A. $y = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

B. $y = - x^{3} + 3 x - 2$

C. $y = \frac{1}{3} x^{3} - x - 1$

D. $y = - \frac{1}{3} x^{3} + x - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 5:

Tính $l = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 1}{x + 4}$

A. l=2

B. l = $- \frac{1}{4}$

C. l = -4

D. l = $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có : l = $\lim_{x \to - \infty} \frac{2 x - 1}{x + 4} = \lim_{x \to - \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{4}{x}} = 2$

Câu 6:

Cắt một vật thể $(T)$ bởi hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ vuông góc với trục Ox lần lượt tại $x = a, x = b (a < b)$ . Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x $a \leq x \leq b$ cắt $(T)$ theo thiết diện có diện tích là $S (x)$ . Giả sử $S (x)$ liên tục trên đoạn [a,b]. Thể tích V của phần vật thể $(T)$ giới hạn bởi mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ được cho bởi công thức nào dưới đây?

A. $V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ .

B. $V = π \int_{a}^{b} S (x) d x$

C. $V = π^{2} \int_{a}^{b} S (x) d x$

D. $V = π \int_{a}^{b} S^{2} (x) d x$

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 7:

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây ?

A. $z = 1 - 3 i$

B. $z = - 3 + i$

C. $z = 1 + 3 i$

D. $z = - 3 - i$

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 8:

Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào sai?

A. $\int_{0}^{1} \frac{d x}{2 x + 1} = \frac{1}{2} \ln (2 x + 1) \begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}$

B. $\int_{0}^{4} \frac{d x}{\sqrt{2 x + 1}} = \sqrt{2 x + 1} \begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}$

C. $\int_{- 2}^{- 1} \frac{d x}{x} = \ln x \begin{matrix} - 1 \\ - 2 \end{matrix}$

D. $\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d x}{\cos^{2} x} = \tan x \begin{matrix} \frac{π}{4} \\ 0 \end{matrix}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có $\int_{- 2}^{- 1} \frac{d x}{x} = \ln x \begin{matrix} - 1 \\ - 2 \end{matrix}$ Hơn nữa trên đoạn [-2;-1] thì x < 0 nên một nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ phải là ln(-x). Do vậy phương án sai là C.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A $(2; - 1; 1)$ và B $(1; 1; 3)$ . Đường thẳng AB nhận vectơ nào dưới đây làm vectơ chỉ phương?

A. $\vec{u_{1}} = (1; - 2; - 2)$

B. $\vec{u_{2}} = (3; 0; 4)$

C. $\vec{u_{3}} = (- 1; 0; 2)$

D. $\vec{u_{4}} = (- 1; - 2; 2)$

Xem đáp án

Đáp án A.

Đường thẳng AB nhận vectơ $\vec{A B} = (- 1; 2; 2)$ làm một vectơ chỉ phương. Do đó đường thẳng AB nhận vectơ $\vec{u_{1}} = - \vec{A B} = (- 1; 2; 2)$ làm vectơ chỉ phương.

Câu 10:

Với a là số thực dương bất kỳ, mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $l g (10 a) = 10 l g a$

B. $l g (a^{5}) = 5 + l g a$

C. $l g (10 a) = 1 + l g a$

D. $l g (a^{5}) = \frac{1}{5} l g a$

Xem đáp án

Đáp án C.

Câu 11:

Cho mặt cầu (S) có tâm O và bán kính R. Diện tích mặt cầu (S) được cho bởi công thức nào trong các công thức dưới đây?

A. $4 {πR}^{2}$

B. $4 R^{2}$

C. $\frac{4}{3} {πR}^{2}$

D. ${πR}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 12:

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông. Tính góc giữa hai đường thẳng AC' và BD.

A. $90^{0}$

B. $45 °$

C. $30 °$

D. $60 °$

Xem đáp án

Đáp án A.

Câu 13:

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 17$ trên đoạn $[- 2; 4]$ .

A. 22

B. 55

C. 15

D. 44

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 14:

Biết rằng tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (x^{2} - 3 x + 5) < 2$ là khoảng $(a; b)$ . Giá trị của biểu thức $a^{2} + b^{2}$ bằng

A. 15

B. 7

C. 11

D. 17

Xem đáp án

Đáp án D.

Câu 15:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp có đỉnh $S (2; 3; 5)$ và đáy là một đa giác nằm trong mặt phẳng (P): $2 x + y - 2 z - 3 = 0$ , có diện tích bằng 12. Tính thể tích của khối chóp đó.

A. 4

B. 24

C. 8

D. 72

Xem đáp án

Đáp án C.

Chiều cao của khối chóp có độ dài bằng $d (S, (P)) = 2$ .

Suy ra thể tích khối chóp đã cho là $V = \frac{1}{3} . 12.2 = 8$ .

Câu 16:

Cho hàm số f (x) $= (2 x - 1) \sin \frac{x π}{3}$ . Giá trị của $f' (- \frac{1}{2})$ bằng

A. $\frac{3 - π \sqrt{3}}{3}$

B. $- 1 - \sqrt{3}$

C. $\frac{π \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{3 + π \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 17:

Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số $y = 2 \sin x - 2 \cos x - 5$

A. $M = 9$

B. $M = 2 \sqrt{2} - 5$

C. $M = 7$

D. $M = - 2 \sqrt{2} - 5$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 18:

Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có $A B = a$ và $B C = 2 a$ . Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta thu được khối nón có thể tích bằng

A. ${πa}^{3}$

B. $3 {πa}^{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{3} {πa}^{3}$

D. $\frac{2}{3} {πa}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 19:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=3a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trùng với O, điểm B thuộc tia Ox, điểm D thuộc tia Oy và điểm S thuộc tia Oz. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBD. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. $G (\frac{a}{3}; \frac{a}{3}; a)$

B. $G (a; a; 3 a)$

C. $G (\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; \frac{3 a}{2})$

D. $G (\frac{a}{3}; a; \frac{a}{3})$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 20:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (2; 1; - 3)$ ; $B (1; 0; - 1)$ và đường thẳng . Đường thẳng $∆$ vuông góc với cả hai đường thẳng AB và d thì có vectơ chỉ phương là vectơ nào trong các vectơ dưới đây?

A. ${\vec{u}}_{1} = (1; - 5; 3)$

B. ${\vec{u}}_{2} = (1; 5; 3)$

C. ${\vec{u}}_{3} = (4; 2; 3)$

D. ${\vec{u}}_{4} = (3; 11; 5)$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $\vec{A B} = (- 1; - 1; 2)$ và đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; - 1; 1)$

Ta có $[\vec{A B}, \vec{u}] = (1; - 5; 3)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS tính sai $[\vec{A B}, \vec{u}] = (1; - 5; 3)$ do sắp xếp sai thứ tự trong

công thức tính tích có hướng của hai vectơ.

Phương án C: Sai do HS xác định sai vectơ chỉ phương của d nên tính sai tọa độ vectơ chỉ phương của $∆$ . Cụ thể : $\vec{u} = (- 1; 2; 0)$ là một vectơ chỉ phương của d. Suy ra $∆$ nhận vectơ $- [\vec{A B}, \vec{u}] = (4; 2; 3)$ làm một vectơ chỉ phương.

Phương án D: Sai do HS xác định sai tọa độ của vecto $\vec{A B} = (3; 1; 4)$ nên tính sai tọa độ vectơ chỉ phương của $∆$ . Cụ thể $∆$ nhận vecto $- [\vec{A B}, \vec{u}] = (3; 11; 5)$ làm một vectơ chỉ phương.

Câu 21:

Tìm số giá trị nguyên của tham số thực m để hàm số $y = {(x^{2} + m x + 6)}^{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ xác định trên $ℝ$

A. 9

B. 5

C. 10

D. 6

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 22:

Biết rằng phương trình $3^{x^{2} - 3 x + 4} = 27$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$ và $x_{2}$ . Giá trị của biểu thức $\log_{\sqrt{2}} |{x_{1}}^{3} + {x_{2}}^{3} - 2|$ bằng

A. 4

B. 8

C. $4 + 2 \log_{2} 5$

D. $2 + \log_{2} 1225$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 23:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . Gọi $α$ là góc giữa đường thẳng AC’ với mặt phẳng (ABCD) . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $\frac{2 π}{9} \leq α \leq \frac{π}{4}$

B. $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{3}$

C. $\frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{9}$

D. $\frac{π}{9} \leq α \leq \frac{π}{6}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có AC là hình chiếu vuông góc của AC' trên mặt phẳng (ABCD) .

Lại do $C C' ⊥ (A B C D)$ nên tam giác C'AC vuông tại C .

Suy ra $(A C', A B C D) = (A C', A C) = C' A C = α$ .

Ta có $\tan α = \frac{C C'}{A C} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{π}{6} < α < \frac{2 π}{9}$ .

Phân tích phương án nhiễu

Phương án A: Sai do HS tính được $\tan α \frac{\sqrt{2}}{2}$ và cho rằng $α = \frac{π}{4}$ .

Phương án B: Sai do HS tính sai $\tan α = \frac{A C}{A C'} = \sqrt{2}$ nên suy ra $\frac{π}{4} < α < \frac{π}{3}$ .

Phương án D: Sai do HS tính sai $\tan α = \frac{C C'}{A C'} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ nên suy ra $α = \frac{π}{6}$ .

Câu 24:

Gọi $z_{1}$ và $z_{2}$ là hai nghiệm phức của phương trình $9 z^{2} + 6 z + 4 = 0$ . Giá trị của biểu thức $\frac{1}{|z_{1}|} + \frac{1}{|z_{2}|}$ bằng

A. $\frac{4}{3}$

B. 3

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{9}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

$9 z^{2} + 6 z + 4 \Leftrightarrow {(3 z + 1)}^{2} = - 3 \Leftrightarrow z = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{3}$ hoặc $z = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{3}$

Do vậy, ta có $|z_{1}| = |z_{2}| = |\frac{- 1 + i \sqrt{3}}{3}| = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{1}{|z_{1}|} + \frac{1}{|z_{2}|} = \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 3$

Câu 25:

Tính nguyên hàm $I = \int \frac{d x}{x \sqrt{x^{2} + 4}}$ bằng cách đặt $t = \sqrt{x^{2} + 4}$ , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $I = \int \frac{d t}{t^{2} - 4}$

B. $I = \frac{1}{2} \int \frac{d t}{t^{2} - 4}$

C. $I = \int \frac{d t}{t - 4}$

D. $I = \int \frac{t d t}{t^{2} - 4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 26:

Cho $\int_{0}^{3} f (x) d x = 5$ ; $\int_{0}^{2} f (t) d t = 2; \int_{2}^{3} g (x) d x = 11$ . Tính $I = \int_{2}^{3} [2 f (x) + 6 g (x)] d x$ .

A. I = 72

B. I = 80

C. I = 60

D. I = 63

Xem đáp án

Đáp án A

Từ giả thiết, ta có $\int_{2}^{3} f (x) d x = \int_{0}^{3} f (x) d x - \int_{0}^{2} f (x) d x = 5 - 2 = 3$

Suy ra $2 \int_{2}^{3} f (x) d x + 6 \int_{2}^{3} g (x) d x = 2.3 + 6.11 = 72$ I =

Câu 27:

Người ta xây dựng một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt của mỗi tầng bằng nửa diện tích bề mặt của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt của tầng một bằng $\frac{3}{4}$ diện tích đế tháp. Biết đế tháp có diện tích bằng 12288 $m^{2}$ . Diện tích bề mặt của tầng trên cùng là

A. 4,5 $m^{2}$

B. 18 $m^{2}$

C. 9 $m^{2}$

D. 16 $m^{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 28:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng AB = a , AC = $a \sqrt{3}$ và $\overset{⏞}{S A B} = 60 °$ . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Tính tỷ số thể tích của hai khối SABH và HABC.

A. $\frac{3}{4}$

B. $\frac{1}{12}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{7}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $S A = A B \tan S B A = a \sqrt{3}; A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 2 a$ .

Tam giác SAC vuông tại A có đường cao AH nên $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = a \sqrt{7}$ và $S H . S C = S A^{2}$ .

Do đó $\frac{S H}{S C} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{3}{7}$ .

Mặt khác $\frac{V_{S . A B H}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A}{S A} . \frac{S B}{S B} . \frac{S H}{S C} = \frac{S H}{S C} = \frac{3}{7}$

Suy ra $\frac{V_{H A B C}}{V_{S . A B C}} = \frac{4}{7}$ . Do đó $\frac{V_{S . A B H}}{V_{H A B C}} = \frac{3}{4}$

Câu 29:

Cho hàm số $y = f (x)$ có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình $f (x) - 3 = 0$ là

A. 3

B. 0

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 30:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $5 C_{n}^{n - 1} - C_{n}^{3} = 0$ . Tìm hệ số của số hạng chứa $x^{5}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${(\frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{x})}^{n}, x ≢ 0$

A. $- \frac{35}{16} x^{5}$

B. $- \frac{35}{16}$

C. $- \frac{35}{16} x^{2}$

D. $\frac{35}{16} x^{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 31:

Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn $[- 2 π, 2 π]$ của phương trình

$5 (\sin x + \frac{\cos 3 x + \sin 3 x}{1 + 2 \sin 2 x}) = \cos 2 x + 3$

Giả sử M,m là phần tử lớn nhất và nhỏ nhất của tập hợp S. Tính H=M-m.

A. $H = 2 π$

B. $H = \frac{10 π}{3}$

C. $H = \frac{11 π}{3}$

D. $H = \frac{7 π}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 32:

Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Tính xác suất để ba hộp sữa được chọn có cả ba loại.

A. $\frac{8}{11}$

B. $\frac{3}{7}$

C. $\frac{3}{11}$

D. $\frac{4}{11}$

Xem đáp án

Đáp án C

Số phần tử của không gian mẫu bằng số cách lấy 3 hộp sữa từ 12 hộp và bằng $C_{12}^{3} = 220$ .

Số kết quả thuận lợi cho biến cố bằng số cách lấy 3 hộp sữa từ 12 hộp sao cho có đủ cả ba loại và bằng $C_{5}^{1} C_{4}^{1} C_{3}^{1} = 60$

Do đó xác xuất để ba hộp sữa được chọn có cả ba loại là $\frac{60}{220} = \frac{3}{11}$

Câu 33:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có công sai d = -3 và $u_{2}^{2} + u_{3}^{2} + u_{4}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $s_{100}$ của 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A. $s_{100} = - 14550$

B. $s_{100} = - 14400$

C. $s_{100} = - 14250$

D. $s_{100} = - 15450$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 34:

Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số $y = - x^{3} + 3 x^{2} + 3 (m^{2} - 1) x - 3 m^{2} - 1$ có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời khoảng cách giữa các điểm cực trị đó không vượt quá $30 \sqrt{13}$ . Số phần tử của tập hợp S là

A. 7

B. 4

C. 6

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 35:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có góc giữa đường thẳng A'B với mặt phẳng (ABC) bằng $60 °$ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC) bằng $\frac{a \sqrt{5}}{2}$ . Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC A'B'C'.

A. $V = \frac{125 \sqrt{3}}{96} a^{3}$

B. $V = \frac{125 \sqrt{3}}{288} a^{3}$

C. $V = \frac{125 \sqrt{3}}{384} a^{3}$

D. $V = \frac{125 \sqrt{3}}{48} a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi M là trung điểm của BC thì $B C ⊥ (A' A M)$ .

Từ A kẻ $A H ⊥ A' M$ , $H \in A' M$ . Khi đó $A H ⊥ (A' B C)$ .

Suy ra $d (A, (A' B C)) = A H = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Góc giữa đường thẳng $A' B$ và mặt phẳng (ABC) bằng góc $\overset{⏞}{A' M A}$ .

Theo giả thiết ta có $\overset{⏞}{A' M A} = 60 °$

Đặt AB = 2x thì $A M = x \sqrt{3}; A' A = 2 x \sqrt{3}$ .

Suy ra $A H = \frac{A' A . A M}{\sqrt{A' A^{2} + A M^{2}}} = \frac{2 x \sqrt{15}}{5}$

Từ giả thiết ta có $\frac{2 x \sqrt{15}}{5} = \frac{a \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x = \frac{5 a \sqrt{15}}{12}$ Do đó

$A A' = \frac{5 a}{2}; S_{A B C} = \frac{25 a^{2} \sqrt{3}}{48}$

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là $V = \frac{125 \sqrt{3}}{96} a^{3}$ .

Câu 36:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x + 2 y + z - 3 = 0$ và ba điểm $A (0; 1; 2), B (2; - 2; 1), C (- 2; 0, 1)$ . Biết rằng tồn tại điểm M(a;b;c) thuộc mặt phẳng (P) và cách đều ba điểm A,B,C. Tính giá trị của biểu thức $T = a^{3} + b^{3} + c^{3}$ .

A. T = 308

B. T = 378

C. T = -308

D. T = 27

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 37:

Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{10 x^{3} - 7 x + 2}{\sqrt{2 x - 1}}$ thỏa mãn F(1) = 5. Giả sử rằng F(3) = $a + b \sqrt{5}$ , trong đó a , b là các số nguyên. Tính tổng bình phương của a và b.

A. 121

B. 73

C. 265

D. 361

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 38:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng $a \sqrt{3}$ . Gọi $V_{1}, V_{2}$ lần lượt thể tích khối cầu và khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính tỷ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ .

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{324}{25}$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{18 \sqrt{30}}{25}$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{36}{25}$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{108}{25}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.vì S.ABCD là hình chop đều nên $S O ⊥ (A B C D)$

Từ giả thiết, ta có $S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{2}$ .

Khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có chiều cao $h = S O = \frac{a \sqrt{10}}{2}$ và bán kính đáy là $r = O A = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Suy ra $V_{2} = \frac{1}{3} {πr}^{2} h = \frac{{πa}^{3} \sqrt{10}}{12}$

Ta có SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Đường trung trực của SB nằm trong mặt phẳng (SBD) cắt SB, SO lần lượt tại M, I. Ta có IS = IB = IA = IC = ID nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có SI.IO = SM.SB $\Rightarrow$ SI = $\frac{S B^{2}}{2 S O} = \frac{3 a \sqrt{10}}{10}$

Suy ra $V_{1} = \frac{4}{3} π . {(SI)}^{3} = 9 πa$ ³1025. Do đó $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{108}{25}$

Câu 39:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình $\sqrt[3]{m + 3 \sqrt[3]{m + 3 \sin x}} = \sin x$ có nghiệm thực ?

A. 5

B. 7

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

*Phương trình $\sqrt[3]{m + 3 \sqrt[3]{m + 3 \sin x}} = \sin x \Leftrightarrow m + 3 \sqrt[3]{m + 3 \sin x} = \sin^{3} x$

$\Leftrightarrow (m + 3 \sin x) + 3 \sqrt[3]{m + 3 \sin x} = \sin^{3} x + 3 \sin x (1)$

* Xét hàm số $f (t) = t^{3} + 3 t$ trên $ℝ$ . Ta có $f' (t) = 3 t^{2} + 3 > 0 \forall t \in ℝ$ nên hàm số f(t) đồng biến trên $ℝ$ .

Suy ra (1) $f (\sqrt[3]{3 + 3 \sin x}) f (\sin x) \Leftrightarrow \sqrt[3]{3 + 3 \sin x} = \sin x$

Đặt sin x = t, $t \in [- 1; 1]$ Phương trình trở thành $t^{3} - 3 t = m$

* Xét hàm số g(t) trên $t \in [- 1; 1]$ Ta có $g' (t) = 3 t^{2} - 3 \leq 0, \forall t \in [- 1; 1]$ và $g' (t) = 0 \Leftrightarrow t = \pm 1$ Suy ra hàm số g(t) nghịch biến trên [-1;1]

* Để phương trình có nghiệm đã cho có nghiệm thực $\Leftrightarrow$ Phương trình $t^{3} - 3 t = m$ có nghiệm trên [-1;1]

$\underset{[- 1; 1]}{m i n} g (t) \leq m \leq \underset{[- 1; 1]}{m a x} g (t) \Leftrightarrow g (1) \leq m \leq g (- 1) \Leftrightarrow - 2 \leq m \leq 2$

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn là $m \in \{- 2; - 1; 0; 1; 2\}$

Câu 40:

Tìm số giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng $(- 2; 2018)$ để hàm số

$y = \frac{1}{3} m x^{3} - (m - 1) x^{2} + 3 (m - 2) x + \frac{1}{3}$

đồng biến trên nửa khoảng $[2; + \infty)$ .

A. 2018

B. 2017

C. 2019

D. 2016

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 41:

Cho z là số phức thỏa mãn điều kiện $(2 z - 1) (1 + i) + (z + 1) (1 - i) = 2 - 2 i$ . Tính tổng bình phương phần thực và phần ảo của số phức $w = 9 z^{2} + 6 z + 1$ .

A. 25

B. 1

C. 49

D. 41

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 42:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong có phương trình $y = |x^{2} - 4 x + 3|$ và đường thẳng $y = x + 3$ (phần đô đậm trong hình vẽ). Tính diện tích S của hình phẳng (H).

A. $S = \frac{47}{2}$

B. $S = \frac{39}{2}$

C. $S = \frac{169}{6}$

D. $S = \frac{109}{6}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $M (\frac{59}{9}; - \frac{32}{9}; \frac{2}{9})$ và mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z - 11 = 0$ . Từ điểm M kẻ các tiếp tuyến MA,MB,MC đến mặt cầu (S), trong đó A,B,C là các tiếp điểm. Mặt phẳng (ABC) có phương trình px + qy + z + r = 0. Giá trị của biểu thức p+q+r

A. -4

B. 4

C. 1

D. 36

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 44:

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên $ℝ$ , với f (x) > 0 và f (0) = 1. Biết rằng $f' (x) + 3 x (x - 2) f (x) = 0, \forall x \in ℝ$ . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình $f (|x|) + m = 0$ có bốn nghiệm thực phân biệt.

A. $1 < m < e^{4}$

B. $- e^{6} < m < - 1$

C. $- e^{4} < m < - 1$

D. $0 < m < e^{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Bảng biến thiên của hàm số f(x) là

Hàm số $f (|x|)$ là hàm số chẵn trên $ℝ$ nên đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng. Do đó phương trình $f (|x|) + m = 0$ có bốn nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi phương trình $f (x) + m = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt hay phương trình $f (x) = - m$ có hai nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow 1 < - m < e^{4} \Leftrightarrow - e^{4} < m < - 1$

Câu 45:

Cho các số phức $z_{1}$ và $z_{2}$ thỏa mãn điều kiện $|z_{1}| = |z_{2}| = \frac{\sqrt{3}}{3} |z_{1} + z_{2}| = 1$ . Giả sử $\frac{z_{1}}{z_{2}} = a + b i$ , với $a, b \in ℝ$ và b > 0. Tính giá trị của biểu thức $P = 22 a - 6 \sqrt{3} b + 2018$ .

A. $P = 2038$

B. $P = 8 \sqrt{3} + 2038$

C. $P = 2020$

D. $P = \frac{4049}{2}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 46:

Một người thợ có một khối đá hình trụ có bán kính đáy bằng 30cm. Kẻ hai đường kính MN, PQ của hai đáy sao cho $M N ⊥ P Q$ . Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua ba trong bốn điểm M, N, P,Q để được một khối đá có hình tứ diện (như hình vẽ dưới). Biết rằng khối tứ diện MNPQ có thể tích bằng $30 d m^{3}$ . Thể tích của lượng đá bị cắt bỏ gần với kết quả nào dưới đây nhất?

A. $111, 40 d m^{3}$

B. $111, 39 d m^{3}$

C. $111, 30 d m^{3}$

D. $111, 35 d m^{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 47:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[1; 2]$ thỏa mãn $f (2) = 0, \int_{1}^{2} {[f (x)]}^{2} d x = \frac{1}{45}$ và $\int_{1}^{2} (x - 1) f (x) d x = - \frac{1}{30}$ . Tính I = $\int_{1}^{2} f (x) d x$ .

A. I = $- \frac{1}{12}$

B. I = $- \frac{1}{15}$

C. I = $- \frac{1}{36}$

D. I = $\frac{1}{12}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $- \frac{1}{30} = \int_{1}^{2} (x - 1) f (x) d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} f (x) d ({(x - 1)}^{2})$

$= \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} f (x)_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2} {(x - 1)}^{2} f' (x) d x$

$\Leftrightarrow \int_{1}^{2} {(x - 1)}^{2} f' (x) d x = \frac{1}{15}$

Ta lại có $\int_{1}^{2} {(x - 1)}^{4} d x = \frac{1}{5} {(x - 1)}^{5}_{1}^{2} = \frac{1}{5}$

Từ giả thiết và các kết quả ta có

$9 \int_{1}^{2} {[f' (x)]}^{2} d x - 6 \int_{1}^{2} {(x - 1)}^{2} f' (x) d x + \int_{1}^{2} {(x - 1)}^{4} d x = 0$

Mặt khác:

$9 \int_{1}^{2} {[f' (x)]}^{2} d x - 6 \int_{1}^{2} {(x - 1)}^{2} f' (x) d x + \int_{1}^{2} {(x - 1)}^{4} d x = \int_{1}^{2} {[3 f' (x) - {(x - 1)}^{2}]}^{2}$

Do vậy xét trên đoạn [1;2] , ta có

$3 f' (x) - {(x - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow f' (x) = \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} \Rightarrow f (x) = \frac{1}{9} {(x - 1)}^{3} + c$

Lại do f(2) = 0 nên $C + \frac{1}{9} = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{9} \Rightarrow f (x) = \frac{1}{9} {(x - 1)}^{3} - \frac{1}{9}$

Suy ra $I = \frac{1}{9} \int_{1}^{2} [{(x - 1)}^{3} - 1] d x = \frac{1}{36} {(x - 1)}^{4}_{1}^{2} - \frac{1}{9} {(x - 1)}_{1}^{2} = - \frac{1}{12}$

Câu 48:

Đầu mỗi tháng bác An gửi tiết kiệm vào ngân hàng HD Bank một số tiền như nhau với lãi suất 0,45%/tháng. Giả sử rằng lãi suất hàng tháng không thay đổi trong 3 năm liền kể từ khi bác An gửi tiết kiệm. Hỏi bác An cần gửi một lượng tiền tối thiểu T (đồng) bằng bao nhiêu vào ngân hàng HD Bank để sau 3 năm gửi tiết kiệm số tiền lãi đủ để mua được chiếc xe máy có trị giá 30 triệu đồng?

A. T = 10050000

B. T = 25523000

C. T = 9493000

D. T = 9492000

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 49:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có $A (2; 3; 1), B (- 1; 2; 0), C (1; 1; - 2)$ . Đường thẳng d đi qua trực tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là

A. $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 5}{- 8} = \frac{z - 4}{5}$

B. $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 13}{- 8} = \frac{z - 9}{5}$

C. $\frac{x + 1}{1} = \frac{y - 11}{- 8} = \frac{z + 6}{5}$

D. $\frac{x - 3}{1} = \frac{y + 21}{- 8} = \frac{z - 14}{5}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\vec{A B} = (- 3; - 1; - 1), \vec{A C} = (- 1; - 2; - 3)$ nên mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là $[\vec{A B}, \vec{A C}] = (1; - 8; 5)$

Suy ra (ABC) có phương trình là $x - 8 y + 5 z + 17 = 0$

Gọi H(x;y;z) là trực tâm của tam giác ABC. Ta có:

$\vec{C H} = (x - 1; y - 1; z + 2); \vec{B H} = (x + 1; y - 2; z)$

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên

$\{\begin{cases} B H ⊥ A C \\ C H ⊥ A B \\ H \in (A B C) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \vec{B H} . \vec{A C} = 0 \\ \vec{C H} . \vec{A B} = 0 \\ H \in (A B C) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{array}{l} x + 2 y + 3 z = 3 \\ 3 x + y + z = 2 \\ x - 8 y + 5 z = - 17 \end{array} \Leftrightarrow (x; y; z) = (\frac{2}{15}; \frac{29}{15}; - \frac{1}{3})$

Suy ra $H (\frac{2}{15}; \frac{29}{15}; - \frac{1}{3})$

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên nhận $[\vec{A B}, \vec{A C}] = (1; - 8; 5)$ làm một vectơ chỉ phương. Suy ra phương trình đường thẳng d là $\frac{x - \frac{2}{15}}{1} = \frac{y - \frac{29}{15}}{- 8} = \frac{z + \frac{1}{3}}{5}$

Dễ thấy điểm M(2;13;9) thuộc đường thẳng d nên phương án đúng là B.

Câu 50:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A B = 2, A D = 2 \sqrt{3}$ . Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, CD, CB. Tính côsin góc tạo bởi mặt phẳng (MNP) và (SCD).

A. $\frac{2 \sqrt{435}}{145}$

B. $\frac{11 \sqrt{145}}{145}$

C. $\frac{2 \sqrt{870}}{145}$

D. $\frac{3 \sqrt{145}}{145}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó $S H ⊥ (A B C D)$

Ta có $S H ⊥ A B; A B ⊥ H N; H N ⊥ S H$ và $S H = \sqrt{3}$

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia Oz. Khi đó:

$B (1; 0; 0); A (- 1; 0; 0); N (0; 2 \sqrt{3}; 0); C (1; 2 \sqrt{3}; 0); D (- 1; 2 \sqrt{3}; 0); S (0; 0; \sqrt{3}); M (- \frac{1}{2}; 0; \frac{\sqrt{3}}{2}); P (1; \sqrt{3}; 0)$

Mặt phẳng (SCD) nhận $\vec{n_{1}} = - \frac{\sqrt{3}}{6} [\vec{C D}, \vec{S C}] = (0; 1; 2)$ làm một vectơ pháp tuyến; mặt phẳng (MNP) nhận $\vec{n_{2}} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} [\vec{M N}, \vec{M P}] = (\sqrt{3}; 1; 5)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Gọi $\emptyset$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) thì

$\cos \emptyset = \frac{|\vec{n_{1}} . \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| . |\vec{n_{2}}|} = \frac{11 \sqrt{145}}{145}$

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 1

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan