IMG-LOGO

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 12

  • 4114 lượt thi

  • 50 câu hỏi

  • 90 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x33x2+2  tại điểm Mx0;y0 có hệ số góc k bằng

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có y'=3x26x nên hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm Mx0;y0 k=y'x0=3x026x0.


Câu 2:

Cho hàm số y =f(x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình dưới đây:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án C.


Câu 3:

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y=3x+12x1.

Xem đáp án

Đáp án C.

limx123x+12x1=;limx12+3x+12x1=+ nên x=12 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.


Câu 4:

Cho hàm số y=ax+bcx+d có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó d<0. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?

Xem đáp án

Đáp án A.

Cách 1: Từ đồ thị, ta có bd=y0>0. Suy ra b<0.

Lại có y=0x=ba<0. Suy ra a<0. Do đó đáp án đúng là A.

Cách 2: Từ đồ thị, ta có đường tiệm cận đứng x=dc<0  và tiệm cận ngang y=ac>0. Do d<0 nên c<0. Suy ra a<0.

Lại do bd=y0>0 nên suy ra b<0. Do đó đáp án đúng là A.


Câu 5:

Tìm nghiệm của phương trình log5x+2=2018 .

Xem đáp án

Đáp án A.

 Ta có 

log5x+2=2018x+2=52018x=520182


Câu 7:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, số phức z=72i có điểm biểu diễn là điểm nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án B.

Điểm biểu diễn của số phức z=a+bi,a,b Ma;b.


Câu 9:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S:x+22+y32+z12=16 . Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R mặt cầu (S).

Xem đáp án

Đáp án B.

Mặt cầu  S:xa2+yb2+zc2=R2 có tâm  Ia;b;c và bán kính R.


Câu 10:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phép đối xứng qua trục Ox biến điểm I3;7 thành điểm nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án D.

Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm Ma;b thành điểm M'a;b.


Câu 12:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Xem đáp án

Đáp án D.

Phương án A: Đúng vì BCAB,SABC nên

BCSABSBCSAB.

Phương án B: Đúng vì SAABC SASAB nên SABABC.

Phương án C: Đúng vì SAABC  SASAC nên SACABC.


Câu 13:

Tính đạo hàm của hàm số y=2x14x+3

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có 

y'=2.4x+3+2x1.24x+3=24x+3+22x14x+3=12x+44x+3


Câu 14:

Tính l=limx22x283x26x

Xem đáp án

Đáp án A.

Vì l=limx22x+23x=22+23.2=43


Câu 16:

Tìm số hạng chính giữa trong khai triển của 5x+2y4

Xem đáp án

Đáp án B.

Số hạng chính giữa của khai triển là C425x22y2=600x2y2


Câu 17:

Giải phương trình sin2x=1

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có 

sin2x=12x=π2+k2πx=π4+kπ,k


Câu 18:

Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề nào sai?

Xem đáp án

Đáp án B.

Hàm số y=sinx2 là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 4π.


Câu 20:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm  A2;1;1,B1;2;0C3;2;1. Vecto nào dưới đây là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)?

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có AB=1;3;1,AC=1;3;2 nên ABC có một vecto pháp tuyến là 13AB,AC=1;1;2.


Câu 21:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA=a3,AB=a,AC=a2. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.

Xem đáp án

Đáp án C.

Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) thì mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính r=12.SA2+AB2+AC2. Với giả thiết của bài toán, ta có r=a62.


Câu 23:

Cho số phức z=32i. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức iz¯?

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có z¯=3+2i nên iz¯=i3+2i=2+3i.

Vì điểm biểu diễn của số phức w=a+bi,a,b Ma;b nên điểm biểu diễn của số phức iz¯ M22;3.


Câu 24:

Giải phương trình z2+4z+9=0

Xem đáp án

Đáp án A.

z2+4z+9=0z+22=5z=2i5

hoặc z=2+i5


Câu 25:

Biết rằng fxdx=Fx+C. Tính I=f5x3dx.

Xem đáp án

Đáp án C.

I=f5x3dx=15f5x3d5x3=15F5x3+C

 nên chọn phương án C.

(cần lưu ý trong công thức fxdx=Fx+C thì x trong fx, dx và F(x) phải là như nhau).


Câu 26:

Tính tích phân I=523xx2+4dx bằng cách đặt t=x2+4, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án B

Vì t=x2+4x2=t24xdx=tdtvà x=5t=3;x=23t=4

nên

 I=523x2+4.xdx=34t.tdt=34t2dt


Câu 27:

Bằng cách đặt t=3x, bất phương trình 9x5.3x+1+540 trở thành bất phương trình nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án D.

9x5.3x+1+5403x215.3x+540

 nên ta có bất phương trình t215t+540.


Câu 28:

Cho a, b là các số thực dương và a khác 1, đặt P=loga2b6+2logab4 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có 

P=62logab+2.412logab=3logab+16logab=19logab


Câu 29:

Tìm tập xác định D của hàm số y=2x2825

Xem đáp án

Đáp án B.

Vì do 25 là số không nguyên nên hàm số xác định khi

2x28>0x24>0x<2

 hoặc x>2.

Do đó tập xác định của hàm số là D=;22;+.


Câu 30:

Cho hàm số fx=2xmx+1, với m2. Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có max1;3fx=max2m2;6m4.

Do đó

max1;3fx=6m46m42m2m2

Vậy phương án sai là D.


Câu 31:

Gọi S là tập hợp các nghiệm thuộc đoạn 0;2π của phương trình sin2x+3cos2x=2. Biết rằng tổng các phần tử thuộc S bằng mπn, trong đó m, n là các số nguyên dương và phân số mn tối giản. Tính T=22m+6n+2018.

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có

sin2x+3cos2x=2cos2xπ6=22 .

x=7π24+kπ hoặc x=11π24+kπ,k.

Nghiệm thuộc đoạn 0;2π của phương trình là 11π24;17π24;35π24;41π24.

Suy ra S=11π24;17π24;35π24;41π24.

Do đó tổng các phần tử thuộc S là

11π24+17π24+35π24+41π24=10424π+133π

Ta có m=13 và n=3 nên T=2322.


Câu 32:

Đội thanh niên xung kích của một trường trung học phổ thông có 15 học sinh, gồm 4 học sinh khối 10, 6 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 12. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong đội xung kích để làm nhiệm vụ trực tuần. Tính xác suất để chọn được 4 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh.

Xem đáp án

Đáp án B.

Số cách chọn 4 học sinh trong đội thanh niên xung kích là C154=1365.

Số cách chọn 4 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh là C42C61C51+C41C62C51+C41C61C52=720.

Suy ra xác suất để chọn được 4 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất một học sinh là p=7201365=4891.


Câu 33:

Cho hàm số fx=x66x+5x22x+1 khi x<1x2+ax+b khi x1 , trong đó a, b là các số thực thỏa mãn a2+ab+b2=148. Khi hàm số liên tục trên R, hãy tính giá trị của biểu thức T=a3+b3.

Xem đáp án

Đáp án C.

Hàm số liên tục trên từng khoảng  ;11;+.

Ta có

limx1+fx=limx1+x2+ax+b=a+b+1=f1

limx1fx=limx1x66x+5x22x+1=limx16x562x2=limx130x42=15

Hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi

limx1+fx=limx1fx=f1a+b+1=15a+b=14

 

Suy ra ta có

a+b=14a2+ab+b2=148a2+2ab+b2=196a2+ab+b2=148ab=48a2+b2=100

Do đó 

T=a+ba2ab+b2=14.10048=728


Câu 34:

Biết rằng đồ thị hàm số fx=x3+ax2+bx+c nhận điểm I1;3 làm điểm cực tiểu và cắt đường thẳng y=6x+12 tại điểm có tung độ bằng 24. Tính T=ab2+bc2+ca2.

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta có f'x=3x2+2ax+b.

Giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng y=6x+12 là điểm J2;24.

Như vậy, từ giả thiết ta có

f2=24f1=3f'1=04a2b+c=32a+b+c=42a+b=3a=3b=9c=2

Khi đó đồ thị hàm số fx=x3+3x29x+2 nhận điểm I1;3 làm điểm cực tiểu vì f''1=12>0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x=1.

Do đó a=3,b=9,c=2 thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Suy ra T=3.92+9.22+2.32=225. Vậy phương án đúng là D.


Câu 35:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SCD) bằng a147 và góc giữa đường thẳng SB với mặt đáy bằng 60°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC theo a.

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng (ABCD) chính là góc SBO^ nên SBO^=60°.

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD thì ta có CDSOM.

Từ O kẻ OHSM,HM thì OH=dO,SCD.

Đặt AB=2x thì OM=x và OB=x2.

Tam giác SOB vuông tại O nên SO=OBtanSBO^=x6 .

Ta có OH=SO.OMSO2+OM2 nên OH=x6.x6x2+x2=x427.

Theo giả thiết, ta có x427=a147x=a32. Do đó AB=a3,SO=3a22 .

Vì vậy thể tích của khối chóp S.ABC là V=13.SO.SABC=3a324.

Vậy phương án đúng là B.


Câu 36:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A1;2;3 và hai đường thẳng d1:x22=y+21=z31 d2:x11=y12=z+11.

Gọi Δ là đường thẳng đi qua A, vuông góc với d1 và cắt d2. Đường thẳng Δ không nằm trong mặt phẳng nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án D.

Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương là u1=2;1;1.

Gọi B1t;1+2t;1+td2 là giao điểm của Δ với d2. Khi đó AB=t;2t1;t4 là một vecto chỉ phương của Δ.

Do đó

d1Δu1.AB=02t2t+1+t4=0t=1

Suy ra Δ đi qua điểm A1;2;3 và có vecto chỉ phương u=1;3;5.

Dễ thấy điểm A thuộc cả 4 mặt phẳng còn vecto u vuông góc với vecto pháp tuyến của các mặt phẳng P1,P2,P3 nên Δ thuộc các mặt phẳng P1,P2,P3. Do đó loại các phương án A, B và C.

Suy ra phương án đúng là D.

Phương án D được xây dựng trên sự sai lầ trong giải phương trình 2t2t+1+t4=0t=1.

Do đó tìm được AB=1;1;3. Khi đó thì ΔP4 .


Câu 37:

Biết F(x)  là một nguyên hàm của hàm số fx=6x2+13x+112x2+5x+2 thỏa mãn F2=7. Giả sử rằng F12=52+aln2bln5, trong đó a, b là các số nguyên. Tính trung bình cộng của ab.

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có fx=3+42x+13x+2 nên Fx=3x+2ln2x+13lnx+2+C.

 

Do đó

F2=76+2ln53ln4+C=7C=1+6ln22ln5

Suy ra

Fx=3x+2ln2x+13lnx+2+1+6ln22ln5

Ta có F12=52+11ln25ln5. Từ đó, ta có a=11,b=5.

Vậy trung bình cộng của a và b là 11+52=8. Do đó phương án đúng là A.


Câu 38:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB=AD=1,CD=2 . Cạnh bên SD vuông góc với mặt đáy, còn cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 45°. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE.

Xem đáp án

Đáp án D.

Dễ thấy BECD;SD=AD=1. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho sao E=0, B thuộc tia Ox, C thuộc tia Oy và tia DS cùng hướng với tia Oz.

Với cách chọn hệ trục tọa độ như vậy, ta có B1;0;0,C0;1;0,D0;1;0 , S0;1;1.

Giả sử mặt cầu đi qua bốn điểm S, B, C, E có phương trình là x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0, với điều kiện a2+b2+c2d>0.

Ta có hệ phương trình

d=02a+1=02b+1=02b+2c+2=0a=b=12c=32;d=0 (thỏa mãn).

Vậy, mặt cầu đi qua bốn điểm S, B, C, E có phương trình là x2+y2+z2xy3z=0.

 

Suy ra bán kính của mặt cầu là R=122+122+322=112.


Câu 39:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y=2m+3 cắt đồ thị hàm số y=log52x7log5x2 tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1,x2 thỏa mãn x1x2=625.

Xem đáp án

Đáp án A.

Điều kiện x>0,x25.

Hoành độ giao điểm của hai đường là nghiệm của phương trình

log52x7log5x2=2m+3log52x7=2m+3log5x2 

log52x2m+3log5x+4m1=0

Ta có x1>0,x2>0 nên

log5x1+log5x2=log5x1x2=log5625=4.

Lại có log5x1,log5x2 là hai nghiệm của phương trình t22m+3t+4m1=0 nên log5x1+log5x2=2m+3.

Từ đó ta tìm được m=12. Thử lại thấy m=12 thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 40:

Biết rằng tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số fx=x2+2x+2m1xm đồng biến trên nửa khoảng 2;+ là S=;ab, trong đó a, b là các số nguyên dương và ab là phân số tối giản. Tính tổng bình phương của a và b.

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có f'x=x22mx+14mxm2.

Hàm số đồng biến trên 2;+ khi và chỉ khi f'x0,x2;+

m2;+x22mx+14m0,x2;+m<22mx2+1x+2,x2;+ 

Bằng cách khảo sát hàm số y=x2+1x+2 trên nửa khoảng 2;+, ta được

min2;+y=y2=54 

 

Vì vậy

2mx2+1x+2,2;+2mmin2;+x2+1x+2=54m58.

Suy ra a=5,b=8.

Do đó a2+b2=89.

Vậy phương án đúng là C.


Câu 41:

Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log13log6x2+xx+4>0.

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có

log13log6x2+xx+4>00<log6x2+xx+4<11<x2+xx+4<6 

x24x+4>0x25x24x+4<03<x<22<x<8

 Suy ra S=3;22;8.

Vậy phương án đúng là A.


Câu 42:

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong y=3+x2exxex+1, trục hoành và hai đường thẳng x=0, x=1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V=πa+bln1+1e, trong đó a, b là các số hữu tỷ. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án B.

Đúng. Vì

V=π013+x2exxex+1dx=π0132x+1exxex+1dx 

=3πx012πlnxex+101=3π2πlne+1 

=π2πlne+1lne=π12ln1+1e.

Do đó a=1,b=2 nên a+b=1 còn a2b=5. Suy ra phương án đúng là B.


Câu 43:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có  SCH^=60°

HC=a73;SH=HCtanSCH^=a213

Từ A kẻ tia Ax//CB (như hình vẽ). Khi đó BC//SAx và do BA=32HA nên

dBC,SA=dBC,SAx=dB,SAx=32dH,SAx

Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN.

Do ANSHN và HKSN nên HKSAN. Khi đó dBC,SA=32HK.

Ta có

AH=2a3;HN=AHsinNAH^=a33.

Suy ra HK=HN.HSHN2+HS2=a4212. Vậy dBC,SA=a428.


Câu 44:

Cho hàm số fx=x22x3ex . Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Fx=ax2+bx+cex trên đoạn 1;0 , biết rằng F'x=fx,x. Tính T=am+bM+c

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có F'x=ax2+2abx+bcex.

F'x=fx,xa=12ab=2bc=3a=1b=0c=3Fx=3x2ex

F'x=0fx=0x=11;0x=31;0

Ta có F1=2e;F0=3. Suy ra

M=2e;m=3T=1.3+0.2e+3=0


Câu 45:

Xét các hình chóp S.ABCD thỏa mãn các điều kiện: đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC bằng a. Biết rằng thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất V0 khi cosin góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD bằng pq, trong đó p, q là các số nguyên dương và phân số  pqlà tối giản. Tính T=p+qV0.

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có BCAB;BCSA nên BCSAB.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB.

Khi đó AHSBC và dA,SBC=AH.

Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD là góc SBA^.

Đặt SBA^=α.

Theo giả thiết ta có AB=asinα;SA=acosα.

Thể tích khối chóp S.ABCD là V=13.SA.SABCD=13sin2αcosαa3.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

sin2α.sin2α.2cos2αsin2α+sin2α+2cos2α33=827

 

Suy ra sin2αcosα239. Do đó V32a3.

Dấu bằng xảy ra khi sin2α=2cos2αcosα=13.

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD đạt giá trị nhỏ nhất bằng 32a3 khi cosα=13.

Suy ra V0=32a3;p=1,q=3 

T=p+qV0=23a3.


Câu 46:

Giả sử đường thẳng y=x+m cắt đồ thị (C) của hàm số y=x112x tại hai điểm phân biệt E và F. Gọi k1,k2  lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với C tại E và F. Tìm giá trị nhỏ nhất minS của biểu thức S=k14+k243k1k2.

Xem đáp án

Đáp án A.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng đã cho là

x112x=x+mx1=12xx+m

 (do x=12 không là nghiệm)

 2x2+2mxm1=0 (*).

Đồ thị (C) với đường thẳng đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt m2+2m+2>0 (nghiệm đúng với mọi m).

Giả sử Ex1;y1,Fx2;y2 thì x1,x2 là hai nghiệm của (*).

Suy ra x1+x2=m;x1x2=m+12.

Do đó 2x112x21=4x1x22x1+x2+1=1.

Ta có

k1=12x122;k2=12x212

 nên k1k2=1.

Suy ra S2k12k223k1k2=1. Dấu bằng xảy ra khi k1=1k2=1x1=0x2=1 hoặc x1=1x2=0m=1. Vậy S đạt giá trị nhỏ nhất bằng ‒1.


Câu 47:

Cho khối trụ có bán kính đáy bằng r và chiều cao bằng h. Cắt khối trụ bằng mặt phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng bằng r22. Mặt phẳng (P) chia khối trụ thành hai phần. Gọi V1 là thể tích của phần chứa tâm của đường tròn đáy và V2 thể tích của phần không chứa tâm của đường tròn đáy, tính tỉ số V1V2.

Xem đáp án

Đáp án D.

Mặt phẳng (P) cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài bằng 2r2r222=r2.

Độ dài r2 chính là độ dài cạnh của hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính r.

Xét hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông nội tiếp hình trụ. Khi đó khối hộp chữ nhật đó chia khối trụ thành 5 phần gồm một phần là khối hộp và bốn phần bằng nhau ở ngoài khối hộp nhưng ở trong khối trụ.

Thể tích khối trụ là V=πr2h . Thể tích khối hộp chữ nhật nói trên là V0=r22h=2r2h.

 

Suy ra V2=14VV0=π24r2h và V1=VV2=3π+24r2h.

Do đó V1V2=3π+2π2.


Câu 48:

Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện z3+4i+z+2i=52 . Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z43i . Tính tổng bình phương của M m.

Xem đáp án

Đáp án A.

Giả sử z=a+bi,a,b. Khi đó

z3+4i+z+2i=52a32+b+42+a+22+b12=52

Coi Ia;b,P3;4,Q2;1 và R4;3, với chú ý PQ=52 thì đẳng thức trên trở thành IP+IQ=PQ.

Đẳng thức trên chỉ xảy ra khi I thuộc đoạn PQ. Hơn nữa z43i=IR.

Nhận thấy tam giác PQR là tam giác có ba góc nhọn nên

minRI=dR,PQ;maxRI=maxRP,RQ

 

Bằng tính toán ta có m=42;M=52. Suy ra M2+m2=82.


Câu 49:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có Ax0;0;0, Bx0;0;0, C0;1;0 và B'x0;0;y0, trong đó x0;y0 là các số thực dương và thỏa mãn x0+y0=4 . Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'C lớn nhất thì bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C' bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Đáp án D.

Ta tìm được A'x0;0;y0,C'0;1;y0.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa AC' và song song với B'C thì P:y0x+x0zx0y0=0.

 

Do đó

dAC',B'C=dC,P=x0y0x02+y0222.x0y024x0+y0=2

Dấu bằng xảy ra khi x0=y0=2.

Tam giác ABC có AB=4;AC=BC=5 nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp là r=52. Ta lại có BB'=2 nên mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C' có bán kính R=r2+14BB'2=292.


Câu 50:

Xét các tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi V1,V2  và V3 lần lượt là thể tích của các khối tròn xoay sinh ra khi quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA, quay tam giác OAB quanh trung trực của đoạn thẳng AB và quay tam giác OBC quanh trung trực của đoạn thẳng BC. Tính V3 theo R khi biểu thức V1+V2 đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Đáp án B.

Đặt a=BC,b=CA,c=AB.

Quay tam giác OCA quanh trung trực của đoạn thẳng CA thì khối tròn xoay sinh ra là khối nón có chiều cao h1=R214b2 và bán kính đáy r1=12b nên ta có V1=13πr12h1=124πb24R2b2.

Tương tự, ta có

V2=124πc24R2c2;V3=124πa24R2a2.

Bằng việc khảo sát hàm số ft=t24R2t trên khoảng 0;4R2 hoặc dựa vào bất đẳng thức Cô-si

12b2.12b2.4R2b212b2+12b2+4R2b233=6427R6.

 

Ta được V12π39R3;V22π39R3. Suy ra V1+V24π39R3.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b=c=263R.

Vậy V1+V2 đạt giá trị lớn nhất bằng 4π39R3 khi b=c=263R.

Khi đó tam giác ABC cân tại A và có AB=AC=263R.

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC thì 2R.AH=AB2. Từ đó suy ra AH=AB22R=43R. Do đó OH=AHR=13R và a=2R2OH2=423R.

Suy ra V3=8π81R3.


Bắt đầu thi ngay