50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 10 - hamchoi.vn

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 10

4101 lượt thi
50 câu hỏi
90 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho hình thang ABCD có $A B // C D, A B = 8, C D = 4.$ Gọi I là giao điểm của hai đường chéo và J là giao điểm của hai cạnh bên. Phép biến hình biến vectơ $\vec{A B}$ thành vectơ $\vec{C D}$ là phép vị tự nào sau đây?

A. $V_{(I; \frac{1}{2})}$

B. $V_{(J; \frac{1}{2})}$

C. $V_{(I; - \frac{1}{2})}$

D. $V_{(J; - \frac{1}{2})}$

Đáp án C

$\frac{A B}{C D} = \frac{1}{2} \Rightarrow \vec{C D} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ . Vậy $V_{(I; - \frac{1}{2})} : \vec{C D} \to \vec{A B}$

Câu 2:

Một hình chóp cụt có đáy là n giác thì hình chóp đó có số mặt và số cạnh là

A. n+2 mặt, 3n cạnh

B. n+2 mặt, 2n cạnh.

C. n+2 mặt, n cạnh.

D. n mặt, 3n cạnh

Đáp án A

Câu 3:

Cho hình hộp $A B C D . A' B' C' D'$ . Xác định các điểm M, N tương ứng trên các đoạn AC’ và B’D’ sao cho $M N // B A'$ và tính tỉ số $\frac{M A}{M C'}$ .

A.1

B.2

C.3

D.4

Đáp án B

Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng $(A' B' C' D')$ theo phương chiếu $B A'$ .

Ta có N là ảnh của M hay $N = B' D' \cap A C'$

Do đó ta xác định M, N như sau:

Trên A'B' kéo dài lấy điểm K sao cho $A' K = A' B$ thì $A B A' K$ là hình bình hành nên $A K // A' B$ .

Gọi $N = B' D' \cap K C'$ . Đường thẳng qua N và song song với AK cắt AC' tại M

Ta có M, N là các điểm cần xác định.

Theo định lý Thales: $\frac{M A}{M C'} = \frac{N K}{N C'} = \frac{K B'}{C' D'} = 2$

Câu 4:

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm BC. Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và DM?

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Đáp án A

Giả sử tứ diện đều cạnh a

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ B C D \Rightarrow A H ⊥ (B C D)$

Gọi E là trung điểm

$\begin{array}{l} A C \Rightarrow M E // A B \\ \Rightarrow (A B, D M) = (M E, M D) \end{array}$

Ta có $M E = \frac{a}{2}, E D = M D = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\begin{array}{l} \cos (A B, D M) \\ = \cos (M E, M D) = |\cos \overset{⏜}{E M D}| \end{array}$
$\cos \overset{⏜}{E M D} = \frac{M E^{2} + M D^{2} - E D^{2}}{2 M E . M D} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $A B = a, A D = a \sqrt{2}$ . Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $(S A C)$ và $(A B C D)$ là $60 °$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CH và SD.

A. $\frac{2 a \sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{2 a \sqrt{10}}{5}$

C. $\frac{a \sqrt{5}}{5}$

D. $\frac{2 a \sqrt{2}}{5}$

Đáp án D

Ta có $S H ⊥ (A B C D) .$

Gọi I là hình chiếu của H trên AC

Góc giữa hai mặt phẳng $(S A C)$ và $(A B C D)$ là góc $\overset{⏜}{S I H} = 60 °$

$\begin{array}{l} Δ A B C ∽ Δ A I H \\ \Rightarrow \frac{I H}{A H} = \frac{B C}{A C} \\ \Leftrightarrow I H = \frac{a \sqrt{6}}{6} \\ \Rightarrow S H = I H \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{2}}{2} \end{array}$

Gọi K đối xứng với H qua $A \Rightarrow C H // (S D K)$

$\Rightarrow d (C H, S D) = d (C H, (S D K)) = d (H, (S D K))$

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H trên DK và $d (H, (S D K)) = H F$

$\begin{array}{l} H E = 2 d (B, H C) \\ = 2 \frac{H B . B C}{\sqrt{B H^{2} + B C^{2}}} = \frac{2 a \sqrt{2}}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow H F = \frac{S H . H E}{\sqrt{S H^{2} + H E^{2}}} \\ = \frac{2 a^{2}}{3} . \frac{3 \sqrt{2}}{5 a} = \frac{2 a \sqrt{2}}{5} \end{array}$

Câu 6:

Phương trình $16 \cos x . \cos 2 x . \cos 4 x . \cos 8 x = 1$ có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình nào sau đây?

A. $\sin x = 0$

B. $\sin x = \sin 8 x$

C. $\sin x = \sin 16 x$

D. $\sin x = \sin 32 x .$

Đáp án C

- Với $\sin x = 0$ không là nghiệm của phương trình đã cho.

- Với $\sin x \neq 0$ : Nhân 2 vế với phương trình đã cho với $\sin x$ ta được:

$\begin{array}{l} \sin x = 8 \sin 2 x . \cos 2 x . \cos 4 x . \cos 8 x \\ \Leftrightarrow \sin x = 4 \sin 4 x . \cos 4 x . \cos 8 x \\ \Leftrightarrow \sin x = \sin 16 x \end{array}$

Câu 7:

Cho $x, y \in (0; \frac{π}{2})$ thỏa mãn $\cos 2 x + \cos 2 y + 2 \sin (x + y) = 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \frac{\sin^{4} x}{y} + \frac{\cos^{4} y}{x} .$

A. $\min P = \frac{3}{π}$

B. $\min P = \frac{2}{π}$

C. $\min P = \frac{2}{3 π}$

D. $\min P = \frac{5}{π}$

Đáp án B

Phương trình đã cho tương đương với

$\begin{array}{l} \sin^{2} x + \sin^{2} y = \sin (x + y) \\ \Rightarrow x + y = \frac{π}{2} \end{array}$

Áp dụng bất đẳng thức

$\begin{array}{l} \frac{a^{2}}{n} + \frac{b^{2}}{m} \geq \frac{{(a + b)}^{2}}{m + n} \\ \Rightarrow P \geq \frac{{(\sin^{2} x + \sin^{2} y)}^{2}}{x + y} = \frac{2}{π} \end{array}$

Đẳng thức xảy ra khi $x = y = \frac{π}{4}$

Câu 8:

Một ban giám khảo gồm 2 giáo viên Văn và 3 giáo viên Toán được chọn từ tổ Văn 5 giáo viên và tổ Toán 6 giáo viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

A.200

B.30

C.140

D.2400

Đáp án A

Chọn 2 giáo viên Văn trong tổ Văn: $C_{5}^{2} = 10$ cách.

Chọn 3 giáo viên Toán trong tổ Toán: $C_{6}^{3} = 20$ cách.

Vậy có $10.20 = 200$ cách.

Câu 9:

Cho tập hợp các chữ số $\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ . Từ chúng có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, tính tổng của tất cả các số đó?

A. 27999720

B. 27979701

C. 39277712

D. 35564120

Đáp án A

Tập $\{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ có 6 số và tạo thành có 5 vị trí. Mỗi số có 5 chữ số tạo thành một chỉnh hợp chập 5 của 6 chữ số trên $A_{6}^{5} = 720$

Trong 720 số đó mỗi vị trí (hàng chục nghìn, nghìn, trăm, chục, đơn vị) mỗi chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có mặt $\frac{720}{6} = 120$ lần. Tổng các chữ số $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$ .

Vậy tổng của 720 số tạo thành là $120.21.11111 = 27999720$

Câu 10:

Cho 6 quả cầu giống hệt nhau được đánh số từ 1 đến 6. Lấy ngẫu nhiên ra lần lượt 4 quả xếp thành một dãy. Tìm xác suất để tổng các chữ số là 10 và dãy số khác với dãy 1234.

A. $\frac{23}{360} .$

B. $\frac{1}{15} .$

C. $\frac{17}{360} .$

D. $\frac{1}{3} .$

Đáp án A

$n (Ω) = A_{6}^{4} = 360$ Xét $x, y, z, t \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ và $x + y + z + t = 10$

Giả sử

$\begin{array}{l} x < y < z < t \\ \Rightarrow 4 x < 10 \\ \Rightarrow x < \frac{5}{2} \Rightarrow x \leq 2 \end{array}$

và

$\begin{array}{l} y \geq x + 1, \\ z \geq x + 2, \\ t \geq x + 3 \end{array}$

Ta chọn được $x = 1, y = 2, z = 3, t = 4$ nên số hoán vị của 4 phần tử $4!$ loại đi 1234 còn lại $4! - 1 = 23$ dãy. Vậy $P = \frac{23}{360}$

Câu 11:

Cho cấp số cộng $(u_{n})$ có $(u_{n})$ và tổng 100 số hạng đầu là 24850. Tính tổng $S = \frac{1}{u_{1} u_{2}} + \frac{1}{u_{2} u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{49} u_{50}}$

A. $S = 124.$

B. $S = \frac{4}{23} .$

C. $S = \frac{49}{246} .$

D. $S = \frac{17}{246} .$

Đáp án C

Ta có $S_{100} = 50 (2 u_{1} + 99 d) \Rightarrow d = 5$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 5 S = \frac{5}{u_{1} u_{2}} + \frac{5}{u_{2} u_{3}} + ... + \frac{5}{u_{49} u_{50}} \\ = \frac{u_{2} - u_{1}}{u_{1} u_{2}} + \frac{u_{3} - u_{3}}{u_{2} u_{3}} + ... + \frac{u_{50} - u_{49}}{u_{49} u_{50}} \end{array}$

$\begin{array}{l} = \frac{1}{u_{1}} - \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{2}} - \frac{1}{u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{49}} - \frac{1}{u_{50}} \\ = \frac{1}{u_{1}} - \frac{1}{u_{1} + 49 d} = \frac{245}{246} \\ \Rightarrow S = \frac{49}{246} \end{array}$

Câu 12:

Tính giới hạn $\lim \frac{1 + 3 + 5 + ... + (2 n + 1)}{3 n^{2} + 4}$

A.0

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{2}{3}$

D.1

Đáp án B

Ta có

$\begin{array}{l} \lim \frac{1 + 3 + 5 + ... + (2 n + 1)}{3 n^{2} + 4} \\ = \lim \frac{n^{2}}{3 n^{2} + 4} = \frac{1}{3} \end{array}$

Câu 13:

Cho hàm số $y = f (x) - \cos^{2} x$ với f(x) là hàm số liên tục trên R. Trong các biểu thức dưới đây, biểu thức nào xác định f(x) thỏa mãn $y' = 1 \forall x .$ .

A. $x + \frac{1}{2} \cos 2 x$

B. $x - \frac{1}{2} \cos 2 x$

C. $x - \sin 2 x$

D. $x + \sin 2 x .$

Đáp án A

Ta có

$\begin{array}{l} y' = f' (x) + 2 \sin x . \cos x \\ = f' (x) + \sin 2 x \end{array}$

$\begin{array}{l} y' = 1 \Leftrightarrow f' (x) + \sin 2 x = 1 \\ \Leftrightarrow f' (x) = 1 - \sin 2 x \\ \Rightarrow f (x) = x + \frac{1}{2} \cos 2 x \end{array}$

Câu 14:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R với bảng xết dấu đào hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số là

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án C

Nhận thấy f ' (x) đổi dấu qua x=-2 và x=3 nên số điểm cực trị của hàm số là 2.

Câu 15:

Hàm số nào không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn $[- 3; 1]$ ?

A. $y = x^{3} + 2$

B. $y = x^{4} + x^{2}$

C. $y = \frac{x - 1}{x + 1}$

D. $y = \frac{x + 1}{x - 2}$

Đáp án C

Nhận thấy hàm số $y = \frac{x - 1}{x + 1}$ không xác định tại $x = - 1 \in [- 3; 1]$

Câu 16:

Tìm m để hàm số $y = \frac{x^{2} - 4}{2 (x + m)}$ đồng biến trên $[1; + \infty)$ .

A. $m \in (- 4; \frac{1}{2}] \ \{0\}$

B. $m \in [- 4; \frac{1}{2}]$

C. $m \in [0; \frac{1}{2}]$

D. $m \in (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$

Đáp án D

Tập xác định

$\begin{array}{l} D = (- \infty; - m) \cup (- m; + \infty), \\ y' = \frac{x^{2} + 2 m x - 4 m}{2 {(x + m)}^{2}} \end{array}$

TH1:

$\begin{array}{l} [1; + \infty) \subset (- m; + \infty) \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ' = m^{2} + 4 m < 0 \\ - m < 1 \end{cases} \\ \Leftrightarrow - 1 < m < 0 \end{array}$

TH2: y'=0 có 2 nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $x_{1} \leq x_{2} \leq 1$ và $[1; + \infty) \subset (- m; + \infty)$

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} \frac{- 2 m}{2} \leq 1 \\ - m < 1 \\ (1 - x_{1}) (1 - x_{2}) \geq 0 \end{cases} \\ \Leftrightarrow 0 \leq m \leq \frac{1}{2} \end{array}$

Kết hợp 2 trường hợp ta được $- 1 \leq m \leq \frac{1}{2}$

Câu 17:

Hình bên là đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2}$ . Sử dụng đồ thị của hàm số đã cho tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $16 {|x|}^{3} - 12 x^{2} (x^{2} + 1) = m {(x^{2} + 1)}^{3}$ có nghiệm.

A. Với mọi m

B. $- 1 \leq m \leq 4$

C. $- 1 \leq m \leq 0$

D. $1 \leq m \leq 4$

Đáp án C

Ta có $16 {|x|}^{3} - 12 x^{2} (x^{2} + 1) = m {(x^{2} + 1)}^{3}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 16 {|\frac{x}{x^{2} + 1}|}^{3} - 12 {(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} = m \\ \Leftrightarrow 2 {|\frac{x}{x^{2} + 1}|}^{3} - 3 {(\frac{x}{x^{2} + 1})}^{2} = m \end{array}$

Đặt $t = |\frac{2 x}{x^{2} + 1}| \geq 0,0 \leq t \leq 1 \Rightarrow$ Phương trình $\Leftrightarrow 2 t^{3} - 3 t^{2} = m (*)$

Xét đồ thị hàm số $y = 2 x^{3} - 3 x^{2}$ với $x \in [0; 1]$ và $y = m$

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình đã cho khi (*) có nghiệm thuộc $[0; 1] \Rightarrow - 1 \leq m \leq 0$

Câu 18:

Đồ thị hàm số $y = \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - |x| - 2}$ có bao nhiêu đường tiệm cận?

A.1

B.2

C.3

D.4

Đáp án C

$\lim_{x \to \infty} y = 1 \Rightarrow y = 1$ là tiệm cận ngang.

$\lim_{x \to 2} = \infty; \lim_{x \to - 2} = \infty \Rightarrow x = \pm 2$ là tiệm cận đứng

Câu 19:

Hãy xác định các hệ số a, b, c để hàm số $y = a x^{4} + b x^{2} + c$ có đồ thị như hình vẽ

A. $a = - 4, b = - 2, c = 2.$

B. $a = \frac{1}{4}, b = - 2, c = 2.$

C. $a = 4, b = 2, c = - 2.$

D. $a = \frac{1}{4}, b = 2, c = 2.$

Đáp án B

- Đồ thị có dạng W nên a > 0, loại A.

- Đồ thị cặt trục tung tại điểm $(0; 2) \Rightarrow c = 2$ , loại C.

Đồ thị hàm số có 3 cực trị nên a, b trái dấu.

Câu 20:

Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh 6m. Người ta cắt ra một hình thang như hình vẽ. Tìm tổng x+y để diện tích hình thang $E F G H$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.7

B.5

C. $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$

D. $4 \sqrt{2}$

Đáp án C

Ta có $S_{E F G H}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow S = S_{Δ A E H} + S_{Δ C G F} + S_{Δ D G H}$ lớn nhất (do $S_{Δ B E F}$ không đổi)

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2 S = 2 x + 3 y + (6 - x) (6 - y) \\ = x y - 4 x - 3 y + 36 (1) \end{array}$

Ta có $E F G H$ là hình thang

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overset{⏜}{A E H} = \overset{⏜}{C G F} \\ \Rightarrow Δ A E H ∽ Δ C G F \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{A E}{C G} = \frac{A H}{C F} \\ \Leftrightarrow \frac{2}{y} = \frac{x}{3} \Rightarrow x y = 6 (2) \end{array}$

Từ (1), (2) $\Rightarrow 2 S = 42 - (4 x + \frac{18}{x})$

Để 2S lớn nhất thì $4 x + \frac{18}{x}$ nhỏ nhất

Mà $4 x + \frac{18}{x} \geq 12 \sqrt{2}$ . Dấu “=” khi

$\begin{array}{l} 4 x + \frac{18}{x} \Leftrightarrow x = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow y = 2 \sqrt{2} \Rightarrow x + y = \frac{7 \sqrt{2}}{2} \end{array}$

Câu 21:

Tập xác định của hàm số $y = \frac{2}{\log_{4} x - 3}$ là

A. $D = (0; 64) \cup (64; + \infty)$

B. $D = (- \infty; 64) \cup (64; + \infty)$

C. $D = (0; + \infty)$

D. $D = (0; + \infty)$

Đáp án A

Câu 22:

Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn $2^{x} = 3^{y} = 6^{z}$ . Rút gọn $P = x y + y z + z x$ .

A. P=0

B.P=xy

C. P=2xy

D. p=3xy

Đáp án C

- Nếu một trong ba số bằng 0 thì P=0

- Nếu $x y z \neq 0$ ta đặt

$\begin{array}{l} 2^{x} = 3^{y} = 6^{z} = k > 0 \\ \Rightarrow 2.3 = 6 \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow k^{\frac{1}{x}} . k^{\frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{z}} \\ \Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z} \\ \Rightarrow P = 2 x y \end{array}$

Câu 23:

Cho $a = \log_{2} 5$ . Ta phân tích được $\log_{4} 1000 = \frac{m a + n}{k} (m, n, k \in ℤ)$ . Tính $m^{2} + n^{2} + k^{2}$ .

A.13

B.10

C.22

D.14

Đáp án C

$\begin{array}{l} \log_{4} 1000 = \log_{2^{2}} 10^{3} \\ = \frac{3}{2} (\log_{2} 5 + \log_{2} 2) \\ = \frac{3}{2} (a + 1) = \frac{3 a + 3}{2} \\ \Rightarrow m^{2} + n^{2} + k^{2} = 22 \end{array}$

Câu 24:

Phương trình $3^{2 x + 1} - {4.3}^{x} + 1 = 0$ có nghiệm $x_{1}, x_{2}$ với $x_{1} < x_{2}$ . Chọn phát biểu đúng?

A. $x_{1} . x_{2} = - 1$

B. $2 x_{1} + x_{2} = 0$

C. $x_{1} + 2 x_{2} = - 1$

D. $x_{1} + x_{2} = 2$

Đáp án C

Phương trình

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {3.3}^{2 x} - {4.3}^{x} + 1 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{x} = 1 \\ 3^{x} = \frac{1}{3} \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 1 = x_{1} \\ x = 0 = x_{2} \end{array} \\ \Rightarrow x_{1} + 2 x_{2} = - 1 \end{array}$

Câu 25:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $f (x) = \frac{4^{\sin x} + 6^{m + \sin x}}{9^{\sin x} + 4^{1 + \sin x}}$ có giá trị lớn nhất không nhỏ hơn $\frac{1}{3}$

A. $m \geq \log_{6} \frac{2}{3}$

B. $m \geq \log_{6} \frac{13}{18}$

C. $m \leq \log_{6} 3$

D. $m \leq \log_{6} \frac{2}{3}$

Đáp án A

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{4^{\sin x} + 6^{m + \sin x}}{9^{\sin x} + 4^{1 + \sin x}} \\ = \frac{{(\frac{2}{3})}^{2 \sin x} + 6^{m} . {(\frac{2}{3})}^{\sin x}}{1 + 4. {(\frac{2}{3})}^{2 \sin x}}, \end{array}$

đặt $t = {(\frac{2}{3})}^{\sin x}$

$\Rightarrow f (t) = \frac{t^{2} + n t}{1 + 4 t^{2}}$ với $\{\begin{cases} \frac{2}{3} \leq t \leq \frac{3}{2} \\ n = 6^{m} > 0 \end{cases}$

Bài toán trở thành tìm n >0 để $f (t) \geq \frac{1}{3}$ với $t \in [\frac{2}{3}; \frac{3}{2}]$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f (t) \geq \frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow \frac{t^{2} + n t}{1 + 4 t^{2}} \geq \frac{1}{3} \\ \Leftrightarrow n \geq \frac{t}{3} + \frac{1}{3 t} \end{array}$

Xét $g (t) = \frac{t}{3} + \frac{1}{3 t}$ trên đoạn $[\frac{2}{3}; \frac{3}{2}]$ có $\min_{[\frac{2}{3}; \frac{3}{2}]} (t) = g (1) = \frac{2}{3}$

Theo bài ra $\Rightarrow g (t) \leq n$ phải có nghiệm trên $[\frac{2}{3}; \frac{3}{2}]$

$\Leftrightarrow n \geq \min_{[\frac{2}{3}; \frac{3}{2}]} g (t) \Leftrightarrow n \geq \frac{2}{3} \Leftrightarrow m \geq \log_{6} \frac{2}{3}$

Câu 26:

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình $\log_{\frac{2}{3}} |x - 2| - \log_{\frac{2}{3}} (x + 1) = m$ có 3 nghiệm phân biệt?

A.m > 3

B. m < 2

C. m > 0

D. m=0

Đáp án B

Điều kiện: $- 1 < x \neq 2$

Phương trình đã cho

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \log_{\frac{3}{2}} [|x - 2| (x + 1)] = m \\ \Leftrightarrow |x - 2| (x + 1) = {(\frac{3}{2})}^{m} (*) \end{array}$

Xét hàm số $f (x) = |x - 2| (x + 1)$ với $x \in (- 1; 2) \cup (2; + \infty)$

$f (x) = \{\begin{cases} h (x) = x^{2} - x - 2 khi x > 2 \\ g (x) = - x^{2} + x + 2 khi - 1 < x < 2 \end{cases}$

Dựa vào đồ thị để phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow 0 < {(\frac{3}{2})}^{m} < \max_{(- 1; 2)} g (x) = \frac{9}{4} \Leftrightarrow m < 2$

Câu 27:

Cho biết sự tăng dân số được tính theo công thức $S (t) = S (0) . e^{r t}$ trong đó S(0) là dân số của năm lấy làm mốc, S(t) là dân số sau t năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Đầu năm 2010, dân số tỉnh A là 1038229 người, tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh A là 1153600 người. Hỏi nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên thì đầu năm 2025 dân số tỉnh A khoảng bao nhiêu người?

A. 1424000 người

B. 1424117 người

C. 1424337 người

D. 1424227 người

Đáp án D

$S (0) = S (2010)$

Theo giả thiết

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} S (2015) = S (2010) . e^{5 r} \\ S (2015) = S (2010) . e^{15 r} \end{cases} \\ \Rightarrow e^{5 r} = \frac{S (2015)}{S (2010)} \end{array}$

$S (2015) = S (2010) . {[\frac{S (2015)}{S (2010)}]}^{3} \approx 1424227$

Câu 28:

Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{1}{\sin^{2} x}$ và đồ thị hàm số $y = F (x)$ đi qua điểm $M (\frac{π}{6}; 0)$ thì F(x) là

A. $F (x) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \cot x$

B. $F (x) = - \frac{\sqrt{3}}{3} + \cot x$

C. $F (x) = - \sqrt{3} + \cot x$

D. $F (x) = \sqrt{3} - \cot x$

Đáp án D

$F (x) = \int \frac{d x}{\sin^{2} x} = - \cot x + C$

Đồ thị $y = F (x)$ đi qua

$\begin{array}{l} M (\frac{π}{6}; 0) \Rightarrow F (\frac{π}{6}) = 0 \\ \Leftrightarrow C = \sqrt{3} \\ \Rightarrow F (x) = - \cot x + \sqrt{3} \end{array}$

Câu 29:

Biết F(x) là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 3 x$ và $5 F (1) + F (2) = 43$ . Tính F(2)?

A. $\frac{151}{4}$

B.23

C. $\frac{45}{2}$

D. $\frac{86}{7}$

Đáp án B

$F (x) = \int (4 x^{3} - \frac{1}{x^{2}} + 3 x) d x = x^{4} + \frac{1}{x} + \frac{3}{2} x^{2} + C$

$\begin{array}{l} 5 F (1) + F (2) = 43 \\ \Leftrightarrow C = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow F (x) = x^{4} + \frac{1}{x} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \\ \Rightarrow F (2) = 23 \end{array}$

Câu 30:

Tính tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{x}{\cos^{2} x} d x = a π - b$ . Phần nguyên của tổng a + b là?

A.0

B.-1

C.1

D.-2

Đáp án C

+ Ta sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = \frac{d x}{\cos^{2} x} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \end{cases}$

Áp dụng công thức tích phân từng phần ta có $I = (x \tan x) |\begin{array}{l} ^{\frac{π}{3}} \\ _{0} \end{array} - \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin x d x}{\cos x}$

$\begin{array}{l} = (x \tan x) |\begin{array}{l} ^{\frac{π}{3}} \\ _{0} \end{array} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{d (\cos x)}{\cos x} \\ \Leftrightarrow I = (x \tan x) |\begin{array}{l} ^{\frac{π}{3}} \\ _{0} \end{array} + \ln (\cos x) |\begin{array}{l} ^{\frac{π}{3}} \\ _{0} \end{array} \\ = \frac{π}{\sqrt{3}} - \ln 2 \end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l} a = \frac{1}{\sqrt{3}}; \\ b = \ln 2, a + b \\ = \frac{1}{\sqrt{3}} + \ln 2 \approx 1,27049745 \end{array}$

Câu 31:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn $\int_{0}^{\frac{1}{3}} f (x) d x = 1, \int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} f (2 x) d x = 13$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} x^{2} f (x^{3}) d x .$

A. I=6

B. I=7

C. I=8

D. I=9

Đáp án D

đặt

$\begin{array}{l} t = 2 x \Rightarrow \frac{1}{2} \int_{\frac{1}{3}}^{1} f (t) d t = 13 \\ \Leftrightarrow \int_{\frac{1}{3}}^{1} f (t) d t = 26 \Rightarrow \int_{\frac{1}{3}}^{1} f (x) d x = 26 \end{array}$

Xét $I = \int_{0}^{1} x^{2} f (x^{3}) d x$ . đặt $u = x^{3} \Rightarrow d u = 3 x^{2} d x$

$\begin{array}{l} \Rightarrow I = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} f (u) d u = \\ \frac{1}{3} \int_{0}^{1} f (x) d x = \frac{1}{3} [\int_{0}^{\frac{1}{3}} f (x) d x + \int_{\frac{1}{3}}^{0} f (x) d x] \\ = \frac{1}{3} (1 + 26) = 9 \end{array}$

Câu 32:

Xét hình phẳng (H)được giới hạn bởi các đường thẳng $y = 0, x = 0$ và đường $y = {(x + 3)}^{2}$ . Gọi $A (0; 9), B (b; 0) (- 3 < b < 0)$ . Tìm giá trị của b để đoạn thẳng AB chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau?

A. $b = - 2$

B. $b = - \frac{1}{2}$

C. $b = - 1$

D. $b = - \frac{3}{2}$

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm ${(x + 3)}^{2} = 0 \Leftrightarrow x = - 3$

$\Rightarrow S_{(H)} = \int_{- 3}^{0} {(x + 3)}^{2} d x = 9; S_{O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{9}{2} |b|$

Theo bài ra

$\frac{9}{2} |b| = \frac{9}{2} \Rightarrow b = - 1 (t / m)$

Câu 33:

Một tàu lữa đang chạy với vận tốc 200 m/s thì người lái tàu đạp phanh. Từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v (t) = 200 + a t (m / s)$ , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh và a là gia tốc. Biết rằng khi đi được 1500m thì tàu dừng. Gia tốc của tàu bằng bao nhiêu?

A. $a = \frac{40}{3} (m / s^{2})$

B. $a = - \frac{200}{13} (m / s^{2})$

C. $a = - \frac{40}{3} (m / s^{2})$

D. $a = - \frac{100}{3} (m / s^{2})$

Đáp án C

Khi tàu dừng lại thì $v = 0 \Leftrightarrow a t = - 200 m / s$

Phương trình chuyển động $S = \int v (t) d t = 200 t + \frac{a t^{2}}{2}$

$\begin{array}{l} S = 1500 \\ \Leftrightarrow 200 t + \frac{a t^{2}}{2} = 1500 \\ \Rightarrow t = 15 \\ \Rightarrow a = - \frac{40}{3} (m / s^{2}) \end{array}$

Câu 34:

Phần ảo của số phức $z = {(2 + i)}^{5}$ là

A. 41.

B. -38.

C. -41

D.38

Đáp án A

$\begin{array}{l} z = {(2 + i)}^{5} = {[{(2 + i)}^{2}]}^{2} (2 + i) \\ = - 38 + 41 i \end{array}$

Câu 35:

Cho số phức $z = a + b i$ thỏa mãn $|z - i| \geq 3, |z - 1| \leq 5$ . Tính $z_{1}, z_{2} \in T$ .

A. P=8

B. P=-4

C. P=-8

D. P=4

Đáp án A

Ta có $\bar{z} = a - b i$ thay vào phương trình :

$(1 + 3 i) (a + b i) + (2 + i) (a - b i) = - 2 + 4 i$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (3 a - 2 b) + (4 a - b) i = - 2 + 4 i \\ \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 \\ b = 4 \end{cases} \Rightarrow a b = 8 \end{array}$

Câu 36:

Gọi T là tập hợp số phức z thỏa mãn $|z - i| \geq 3, |z - 1| \leq 5$ . Gọi $z_{1}, z_{2} \in T$ lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất. Tìm số phức $z_{1} + 2 z_{2}$ ?

A. $12 - 2 i$

B. $- 2 + 12 i$

C. $6 - 4 i$

D. $12 + 4 i$

Đáp án A

Gọi $z = a + b i, a, b \in ℝ$

$+ |z - 1| \leq 5 \Leftrightarrow {(a - 1)}^{2} + b^{2} \leq 5^{2} (C_{1})$

$+ |z - 1| \geq 3 \Leftrightarrow a^{2} + {(b - 1)}^{2} \geq 3^{2} (C_{2})$

$(C_{1})$ là tập hợp số phức nằm trong hoặc trên đường tròn tâm $A (1; 0)$ và bán kính $R_{1} = 5$ .

$(C_{2})$ là tâp hợp số phức nằm ngoài hoặc trên đường tròn tâm $B (0; 1)$ và bán kính $R_{2} = 3$ từ hình vẻ

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} z_{\min} = z_{1} = - 2 i \\ z_{\max} = z_{2} = 6 \end{cases} \\ \Rightarrow z_{1} + 2 z_{2} = 12 - 2 i \end{array}$

Câu 37:

Giả sử M,N,P,Q được cho ở hình vẽ bên là điểm biểu diễn của các số phức $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}$ , trên mặt phẳng tọa độ. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Điểm M là điểm biểu diễn số phức $z_{1} = 2 + i$

B. Điểm Q là điểm biểu diễn số phức $z_{4} = - 1 + 2 i$

C. Điểm N là điểm biểu diễn số phức $z_{2} = 2 - i$

D. Điểm P là điểm biểu diễn số phức $z_{3} = - 1 - 2 i$

Đáp án D

Câu 38:

Hình lăng trụ có thể có số cạnh nào sau đây?

A. 2015

B. 2017.

C. 2018

D. 2016

Đáp án D

Hình trụ có đáy là đa giác n thì tổng số cạnh của hình lăng trụ là $3 n, n \in ℕ * .$

Dễ thấy $\frac{2016}{3} = 672$ .

Câu 39:

Cho hình hộp chữ nhật $A B C D . A' B' C' D'$ có $A B = a, A D = a \sqrt{2}, A B' = a \sqrt{5}$ . Tính theo a thể tích khối hộp đã cho

A. $V = a^{3} \sqrt{10}$

B. $V = \frac{2 a^{3} \sqrt{2}}{3}$

C. $V = a^{3} \sqrt{2}$

D. $V = 2 a^{3} \sqrt{2}$

Đáp án D

$S_{A B C D} = a \sqrt{2}$ Ta có $B B' = \sqrt{A B'^{2} - A B^{2}} = 2 a$

$\begin{array}{l} \Rightarrow V_{A B C D . A' B' C' D'} \\ = S_{A B C D} . B B' \\ = 2 a^{3} \sqrt{2} (d v d t) \end{array}$

Câu 40:

Cho hình tứ diện ABCD có $D A = 1, D A ⊥ (A B C),$ , tam giác ABC đều và có cạnh bằng 1. Trên ba cạnh $D A, D B, D C$ lần lượt lấy M,N,P sao cho $\frac{D M}{D A} = \frac{1}{2},3 D N = D B,4 D P = 3 D C .$ . Khi đó thể tích khối tứ diện MNPD bằng:

A. $\frac{\sqrt{3}}{12} .$

B. $\frac{\sqrt{2}}{12} .$

C. $\frac{\sqrt{3}}{96} .$

D. $\frac{\sqrt{2}}{96} .$

Đáp án C

$V_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{\sqrt{3}}{4} .1 = \frac{\sqrt{3}}{12}$

$\begin{array}{l} \frac{V_{D M N P}}{V_{D A B C}} = \frac{D M}{D A} . \frac{D N}{D B} . \frac{D P}{D C} = \frac{1}{8} \\ \Rightarrow V_{D M N P} = \frac{\sqrt{3}}{96} \end{array}$

Câu 41:

Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều, có thể tích V. Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ bằng:

A. $\sqrt[3]{4 V}$

B. $\sqrt[3]{V}$

C. $\sqrt[3]{2 V}$

D. $\sqrt[3]{6 V}$

Đáp án A

Gọi cạnh đáy hình lăng trụ là a, chiều cao là h

$\begin{array}{l} \Rightarrow V = S_{d a y} . h = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . h \\ \Rightarrow h = \frac{4 V}{a^{2} \sqrt{3}} \end{array}$

Diện tích toàn phần:

S_{toàn phần}=S_{2 đáy} +S_{xung quanh}= $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + 3 a . \frac{4 V}{a^{2} \sqrt{3}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{4 \sqrt{3} V}{a}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si:

S_{toàn phần}= $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{2} + \frac{2 \sqrt{3} V}{a} + \frac{2 \sqrt{3} V}{a} \geq 3 \sqrt[3]{6 \sqrt{2} . V^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi $a = \sqrt[3]{4 V}$

Câu 42:

Một khối nón có độ dài đường sinh là l=13cm và bán kính đáy r=5cm Khi đó thể tích khối nón là

A. $V = 100 π c m^{3}$

B. $V = 300 π c m^{3}$

C. $V = \frac{325}{3} π c m^{3}$

D. $V = 20 π c m^{3}$

Đáp án A

Chiều cao của khối nón là

$\begin{array}{l} h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = 12 c m \\ \Rightarrow V = \frac{1}{3} π 5^{2} .12 = 100 π m^{3} \end{array}$

Câu 43:

Cho hình lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó

A. $\frac{7 π a^{2}}{3}$

B. $\frac{7 π a^{2}}{2}$

C. $\frac{7 π a^{2}}{6}$

D. $7 π a^{2}$

Đáp án A

Gọi OO' lần lượt là tâm các tam giác ABC và A'B'C'

Gọi I là trung điểm OO'=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là R = IA

$\begin{array}{l} \{\begin{cases} A O = \frac{2}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a}{\sqrt{3}} \\ I O = \frac{1}{2} A A' = \frac{a}{2} \end{cases} \\ \Rightarrow R^{2} = A O^{2} + I O^{2} = \frac{7 a^{2}}{12} \end{array}$

Diện tích mặt cầu ngoài tiếp lăng trụ $S = 4 π R^{2} = \frac{7 π a^{2}}{3}$

Câu 44:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với $A B = A C = a,$ cạnh $S A = S B = a$ và có $(S B C) ⊥ (A B C)$ . Tính SC để độ dài bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng a.

A. $S C = a$

B. $S C = a \sqrt{2}$

C. $S C = a \sqrt{3}$

D. $S C = 2 a .$

Đáp án C

Gọi H là trung điểm $B C \Rightarrow A H ⊥ B C \Rightarrow A H ⊥ S H$

Ta có $Δ S H A = Δ B H A, Δ S B C$ vuông tại $S \Rightarrow R_{b} = B H = \frac{B C}{2}$

$R = \sqrt{R_{b}^{2} + R_{d}^{2} - \frac{B C^{2}}{4}} = a$

Xét $Δ A B C$ có

$\begin{array}{l} \sin C = \frac{A B}{2 R} = \frac{1}{2} \\ \Rightarrow \cos C = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \Rightarrow B C = 2 H C = a \sqrt{3} \end{array}$

Ta có trong tam giác vuông $S B C : S C = \sqrt{B C^{2} - S B^{2}} = a \sqrt{2}$

Câu 45:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A (1; - 2; 0)$ và vec tơ pháp tuyến $\vec{n} = (2; - 1; 3)$ là

A. $x - 2 y - 4 = 0$

B. $2 x - y + 3 z - 4 = 0$

C. $2 x - y + 3 z = 0$

D. $2 x - y + 3 z + 4 = 0$

Đáp án B

Câu 46:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 2 t \end{cases}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 2 - 2 t \\ y = 3 \\ z = t \end{cases}$ . Khoảng cách từ điểm $M (- 2; 4; - 1)$ đến mặt phẳng cách đều hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ là:

A. $\frac{\sqrt{15}}{15}$

B. $\frac{2 \sqrt{15}}{15}$

C. $\frac{\sqrt{30}}{15}$

D. $\frac{2 \sqrt{30}}{15}$

Đáp án D

Nhận thấy $d_{1} ⊥ d_{2}$ . Gọi $(α)$ là mặt phẳng cách đều $d_{1}$ và $d_{2}$ nên cả hai đường thẳng đều song song với mặt phẳng $(α)$ . Khi đó, vector pháp tuyến $\vec{a}$ của mặt phẳng $(α)$ cùng phương với vector $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}]$ (với $\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}$ lần lượt là các vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ ).

+ Chọn $\vec{a} = (1; 5; 2)$ , suy ra phương trình mặt phẳng $(α)$ có dạng

$(α) : x + 5 y + 2 z + d = 0$

Chọn $A (2; 1; 0)$ và $B (2; 3; 0)$ lần lượt thuộc đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ , ta có

$\begin{array}{l} d (A; (α)) = d (B; (β)) \\ \Rightarrow d = - 12 \\ \Rightarrow (α) : x + 5 y + 2 z - 12 = 0 \end{array}$

+ Khoảng cách từ điểm $M (- 2; 4; - 1)$ đến mặt phẳng $(α) : d (M; (α)) = \frac{2 \sqrt{30}}{15}$

Câu 47:

Trong không giang với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{m} = \frac{y + 2}{2 m - 1} = \frac{z + 3}{2}$ và mặt phẳng $(P) : x + 3 y - 2 z + 1 = 0$ . Với giá trị nào của m thì đường thẳng d song song với (P)?

A. m=1

B. m=-1

C. m=0

D. m=2

Đáp án A

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\vec{u} = (m; 2 m - 1; 2)$

Vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) là $\vec{n} = (1; 3; - 2)$

Vì $d // (P) \Leftrightarrow \vec{u} . \vec{n} = 0 \Leftrightarrow m = 1$

Câu 48:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho điểm $A (3; 5; 0)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y - z - 7 = 0$ . Gọi điểm $H (a; b; c)$ thuộc (P) sao cho $A H ⊥ (P)$ . Khi đó $a + b + c$ bằng:

A.2

B.1

C.4

D.3

Đáp án C

Phương trình đường thẳng AH qua $A (3; 5; 0)$ , có vectơ chỉ phương

$\vec{u} = (2; 3; - 1)$ là $\{\begin{cases} x = 3 + 2 t \\ y = 5 + 3 t \\ z = - t \end{cases} \Rightarrow H (3 + 2 t; 5 + 3 t; - t)$ vì $H \in (P) \Rightarrow t = - 1$

$\Rightarrow H (1; 2; 1) \Rightarrow a + b + c = 4$

Câu 49:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho các mặt phẳng $(P) : 2 x - y - z - 2 = 0$ . $(Q) : x - 2 y + z + 2 = 0;$ $(R) : x + y - 2 z + 2 = 0,$ $(T) : x + y + z = 0$ . Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc (T) và tiếp xúc với $(P), (Q), (R)$ ?

A.1

B.2

C.3

D.4

Đáp án D

Giả sử mặt cầu (S) có tâm $I (a; b; c) \in T : a + b + c = 0$

Theo bài ra $d (I; (P)) = d (I; (Q)) = d (I; (R))$

$\Leftrightarrow \frac{|2 a - b - c - 2|}{\sqrt{6}} = \frac{|a - 2 b + c + 2|}{\sqrt{6}} = \frac{|a + b - 2 c + 2|}{\sqrt{6}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \{\begin{cases} |3 a - 2| = |3 b - 2| \\ |3 a - 2| = |3 c - 2| \\ a + b + c = 0 \end{cases} \\ \Rightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} a = b \\ 3 a + 3 b = 4 \end{array} \\ [\begin{array}{l} a = c \\ 3 a + 3 c = 4 \end{array} \end{cases} \end{array}$

$M N // B A'$

TH1: $\{\begin{cases} a + b + c = 0 \\ a = b \\ a = c \end{cases} \Rightarrow I (0; 0; 0)$

Tương tự cho các trường hợp còn lại

Câu 50:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho các điểm $O (0; 0; 0), A (1; 0; 0), B (0; 1; 0),$ và $C (0; 0; 1)$ . Hỏi có bao nhiêu điểm các đều mặt phẳng $(O A B), (O B C), (O C A), (A B C)$ ?

A.1

B.4

C.5

D.8

Đáp án D

Ta có $\{\begin{cases} (C A B) \equiv (O x y) \\ (C C D) \equiv (O y z) \\ (C D A) \equiv (O x z) \\ (A B C) : x + y + z = 1 \end{cases}$ . Gọi $P (a; b; c)$ là tọa độ điểm cần tìm.

Theo đề bài, ta cần có $|a| = |b| = |c| = \frac{|a + b + c - 1|}{\sqrt{3}}$

Có tất cả 8 trường hợp và đều có nghiệm. Cụ thể:

$+ |a| = |b| = |c| \to [\begin{array}{l} a = b = c \\ a = b = - c \\ a = - b = c \\ - a = b = c \end{array}$

+Mỗi trường hợp trên kết hợp với $|c| = \frac{|a + b + c - 1|}{\sqrt{3}}$ sinh ra hai trường hợp.

Bắt đầu thi ngay

Bài thi liên quan