20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 14
-
4106 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho số phức . Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức liên hợp của số phức z?
Đáp án A.
Số phức liên hợp của là .
Do đó là điểm biểu diễn của .
Câu 2:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có và . Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Đáp án A.
Ta có:
.
Chú ý: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC. Khi đó trọng tâm G của tam giác có tọa độ là
Câu 3:
Có 16 đội bóng tham gia thi đấu. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu trận đấu sao cho hai đội bất kì đều gặp nhau đúng một lần?
Đáp án C.
Số trận đấu cần phải tổ chức là số tổ hợp chập 2 của 16, tức là bằng
Câu 4:
Người ta đặt một khối chóp tứ giác đều lên trên một khối lập phương để thu được một khối mới như trong hình. Tính thể tích V của khối mới thu được?
Đáp án B.
+ Thể tích của khối lập phương bằng ().
+ Khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 9 (cm) và chiều cao bằng (cm). Do đó khối chóp có thể tích bằng ().
+ Vậy khối vật thể có thể tích bằng ().
Chú ý:
+ Khối lập phương có cạnh bằng a có thể tích là .
+ Công thức tính thể tích khối chóp: , trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp.
Câu 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với và . Mệnh đề nào dưới đây sai?
Đáp án D.
Ta có . Rõ ràng , nên suy ra D sai.
Câu 6:
Cho đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O, ngoài ra còn cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ lần lượt bằng ‒3 và 4 như hình bên. Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox.
Đáp án C.
Dễ thấy trên đoạn thì , trên đoạn thì .
.
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA=a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).
Đáp án A.
Cách 1: Gọi I là giao điểm của AC và BD.
Ta có . Lại có (tính chất hình vuông).
Suy ra . Do đó hình chiếu của SB trên là SI. Suy ra góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng là góc giữa SB và SI, tức là góc (do tam giác ISB vuông tại I nên là góc nhọn). Ta có:
Do đó
Cách 2: (Phương pháp tọa độ hóa) Không mất tổng quát, gán tọa độ như sau:
Khi đó .
Ta có
Đặt . Khi đó là một VTPT của .
Gọi là góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng , là góc giữa vecto và vecto . Ta có
Câu 8:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên R\{0}, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình f(x) -m=0
Đáp án A.
Ta có . Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng .Do đó để phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì đường thẳng phải cắt đồ thị hàm số tại một điểm duy nhất. Khi đó .
Câu 10:
Cho tam giác ABC đều cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Tính diện tích xung quanh S của hính nón.
Đáp án C.
Hình nón được tạo thành có đường sinh bằng cạnh của tam giác, tức là bằng a.
Bán kính đáy của hính nón bằng một nửa cạnh của tam giác, tức là bằng .
Vậy diện tích xung quanh của hình nón là .
Câu 11:
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án C.
Đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có dạng chữ M nên suy ra a <0 .
Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0;c) nên suy ra c < 0.
Hàm số có ba cực trị nên suy ra ab < 0 , (a, b trái dấu). Mà a < 0 nên suy ra b > 0.
Vậy C là đáp án đúng.
Câu 12:
Có bao nhiêu số nguyên dương x thỏa mãn điều kiện ?
Đáp án B.
Điều kiện: . Khi đó ta có:
(do với mọi x).
Kết hợp với điều kiện ta có .
Suy ra có số nguyên dương thỏa mãn điều kiện đã cho.
Lưu ý: Lỗi sai thường gặp:
thỏa mãn với mọi .
Câu 13:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và mặt phẳng . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và song song với mặt phẳng .
Đáp án B.
Vì song song với nên loại đáp án C và D.
Thử trực tiếp thấy điểm thuộc mặt phẳng .
Do đó đáp án đúng là B.
Câu 14:
Cho phương trình có các nghiệm là . Tính giá trị biểu thức
Đáp án B.
Đặt ta được phương trình (*)
Vì nên suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.
Suy ra .
Theo Vi-ét ta có .
Do đó .
Câu 15:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a. Tính theo a khoảng cách d giữa hai đường thẳng SC và BD.
Đáp án D.
Trong mp gọi O là giao điểm của AC và BD.
Trong mặt phẳng , qua O kẻ đường thẳng vuông góc với SC, cắt SC tại H.
Ta có là đường vuông góc chung của hai đường thẳng SC và BD.
Lại có .
Hai tam giác COH và CSA đồng dạng với nhau. Suy ra
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng .
Chọn đáp án D.
Câu 16:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm và . Gọi M là điểm trên mặt phẳng sao cho t ổng khoảng cách từ M đến A và B là ngắn nhất. Tìm hoành độ của điểm M.
Đáp án B.
Rõ ràng A và B đều nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (do đều có tung độ dương). Gọi A' là điểm đối xứng của A qua thì . Ta có (do và A' là điểm đối xứng của A qua ). Do đó ngắn nhất ngắn nhất thằng hàng, tức M là giao điểm của A'B và .
Ta có . Suy ra phương trình đường thẳng .
Phương trình mặt phẳng là y=0. Giải phương trình .
Suy ra . Do đó M có hoành độ bằng 2. Vậy B là đáp án đúng.
Câu 17:
Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x=0 và x=3, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x () là một hình chữ nhật có hai kích thước là x và .
Đáp án B.
Diện tích thiết diện là
Do đó thể tích của vật thể là
Câu 18:
Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Đó là hàm số nào?
Đáp án C.
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng ; đường tiệm cận ngang .
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ . Từ đây ta loại luôn được A; B; D. Ta chọn C.
Câu 19:
Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để giới hạn là hữu hạn.
Đáp án C
hữu hạn thì . Vậy C đúng
Câu 20:
Một đa giác đều có 54 đường chéo. Tính số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đó.
Đáp án D.
Gọi n là số đỉnh của đa giác đều.
Khi đó số đường chéo của đa giác đều đó là .
Giải phương trình .
Đa giác có 6 đường chéo đi qua tâm .
Cứ hai đường chéo đi qua tâm thì tạo thành một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác đều đã cho là .
Câu 21:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng , mặt phẳng và điểm . Viết phương trình đường thẳng cắt d và lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN
Đáp án A.
Tọa độ
Vì A là trung điểm Tọa độ
Phương trình đường thẳng .
Câu 22:
Cho số tự nhiên x thỏa mãn . Tìm số khác ước tự nhiên của x.
Đáp án B.
Điều kiện: .
Ta có:
Số ước tự nhiên của x là 8+1=9.
Câu 23:
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau. Hỏi trong số đó có bao nhiêu số nhỏ hơn 432000?
Đáp án A.
Gọi là số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được lập thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thỏa mãn .
có thể nhận một trong các giá trị 1, 2, 3, 4.
* là một hoán vị của 5 chữ số thuộc tập . Trường hợp này có 3.5! = 360 số.
* có thể nhận một trong các giá trị 1, 2, 3.
+ là một hoán vị của 4 chữ số thuộc tập . Trường hợp này có số.
+ chỉ có thể nhận giá trị bằng 1. Khi đó là một hoán vị của 3 chữ số thuộc tập . Trường hợp này có số.
Vậy theo quy tắc cộng có tất cả số.
Câu 24:
Sau một trận mưa, cứ một mét vuông mặt đất thì hứng một lít rưỡi nước mưa rơi xuống. Hỏi mực nước trong một bể bơi ngoài trời tăng lên bao nhiêu sau trận mưa?
Đáp án C.
Đổi 1,5 lít = 0,0015 m3.
Ta tưởng tượng có một chiếc hộp không nắp dạng hình hộp chữ nhật để ngoài trời mưa. Đáy của chiếc hộp rộng 1m2. Sau trận mưa, lượng nước trong hộp là 0,0015m3. Suy ra mực nước trong hộp là .
Mực nước trong chiếc hộp này cũng chính là mực nước tăng lên trong bể bơi.
Vậy đáp án là C.
Câu 25:
Cho số phức ; thỏa mãn . Tìm giá trị của biểu thức
Đáp án C.
Đặt . Ta có .
Với . Ta có
Câu 26:
Cho hai số thực a và b sao cho đạt giá trị lớn nhất. Tìm .
Đáp án B.
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu, dễ thấy lớn nhất khi và , tức là
Câu 27:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có và . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A'C' và A'B'. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng và .
Đáp án A.
Cách 1: Gọi P là giao điểm của BN và A'B'=>P là trọng tâm .
Q là giao điểm của CM và A'C'=>Q là trọng tâm
Ta có .
Gọi H là trung điểm của B'C' và I là giao điểm của AH và PQ.
I là trung điểm của PQ.
Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC và MN lần lượt tại J và K
=>J là trung điểm BC và K là trung điểm MN.
Ta có cân tại .
Lại có Góc giữa và là góc giữa IJ và IA.
Ta có:
Lại có
Trong :
.
Cosin của góc giữa và là
Cách 2: (Tọa độ hóa)
Gọi T là trung điểm AC. Đặt
là một vecto pháp tuyến của .
Lại có
là một vecto pháp tuyến của .
Gọi là góc giữa và .
Ta có:
Câu 28:
Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số có hai điểm cực trị () thỏa mãn .
Đáp án C.
Ta có ; (*).
Phương trình (*) có nên luôn có hai nghiệm trái dấu .
Suy ra .
Khi đó là hai điểm cực trị của hàm số.
Câu 29:
Tìm số điểm cực trị của hàm số
Đáp án C.
Cách 1: Tập xác định:
Ta có:
Ta thấy y' không xác định tại x=0.
- Nếu : ; .
- Nếu :
Bảng biến thiên:
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
Cách 2: Đặt . Xét hàm số .
Ta có:
Bảng biến thiên của hàm số f(t):
Ta có hàm số là hàm số chẵn (đồ thị đối xứng qua trục Oy).
Suy ra bảng biến thiên của hàm số :
Do đó hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 30:
Gọi n là tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số . Tìm n.
Đáp án C.
Ta có: mà x = 1 và x= 3 không là nghiệm của tử thức
và là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
Lại có bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận
Câu 31:
Cho phương trình . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có bốn nghiệm phân biệt. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án D.
ta có
Xét hàm số có bảng biến thiên:
Suy ra bảng biến thiên của hàm số :
Phương trình có 4 nghiệm phân biệt
( do )
Vậy , tức là S là hợp của hai khoảng với nhau. Vậy D là đáp án đúng.
Câu 32:
Gọi h(t) (cm) là mức nước ở một bồn chứa sau khi bơm nước vào bồn được t giây. Biết rằng và lúc đầu bồn không có nước. Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 56 giây.
Đáp án C.
Mực nước trong bồn sau khi bơm được 56 giây là: (cm)
Câu 33:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua H, cắt các trục lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
Đáp án C.
Đặt
Ta có
H là trực tâm .
Phương trình mặt phẳng có dạng
Vì đi qua H
Vậy phương trình (P) là .
Câu 34:
Cho ba đường cong a, b, c như hình bên. Đồ thị của các hàm số lần lượt là
Đáp án D.
Ta có .
Quan sát sự biến thiên và dấu của các hàm số dựa vào đồ thị ta suy ra D là đáp án đúng.
Câu 35:
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng .
Đáp án A.
Tập xác định: . Ta có .
Để hàm số nghịch biến trên khoảng thì ta phải có
Lưu ý: Với cách cho đáp án như trong câu hỏi này, ta có làm như sau:
- Thử với . Khi đó . Suy ra với thì hàm số không nghịch biến trên . Từ đó loại được đáp án B và C.
- Thử với . Khi đó . Ta có .
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng và . Vậy A là đáp án đúng.
Câu 36:
Cho hàm số . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của hàm số m để hàm số có hai điểm cực trị () thỏa mãn .
Đáp án C.
(*).
Để hàm số có hai điểm cực trị thì có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó hai điểm cực trị là hai nghiệm của phương trình (*).
Xét các trường hợp sau:
+ Phương trình (*) có nghiệm bằng 0 .
Với , (*) trở thành , không thỏa mãn mà .
+ Phương trình (*) có nghiệm . Khi đó nên trường hợp này không thỏa mãn.
+ Phương trình (*) có nghiệm .
Khi đó ta có
Vậy điều kiện cho trường hợp này là
hệ này vô nghiệm.
+ Phương trình (*) có nghiệm . Khi đó ta có ngay .
Vậy điều kiện cho trường hợp này là
Vậy không có giá trị nguyên dương nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 37:
Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Tính diện tích đáy S của cái lọ.
Đáp án C.
Dễ thấy bán kính đáy của cái lọ bằng 3r.
Do đó diện tích đáy S của cái lọ bằng .
Câu 38:
Một bồn nước inox được thiết kế có dạng hình trụ (có nắp) đựng được 10 mét khối nước. Tìm bán kính r của đáy bồn nước biết lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất?
Đáp án B.
Gọi h(m) là chiều cao của chiếc bồn nước, .
Thể tích của chiếc bồn là .
Diện tích toàn phần của chiếc bồn là:
Cách 1: Theo bất đẳng thức Côsi ta có: .
Dấu “=” xảy ra khi
Vậy với thì lượng inox được sử dụng để làm bồn nước là ít nhất.
Cách 2: Xét hàm số .
Ta có
Bảng biến thiên:
đạt giá trị nhỏ nhất tại .
Câu 39:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng , cạnh SC vuông góc với đáy và SC=1. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của AB và BC. Tính góc giữa hai đường thẳng CD và SE.
Đáp án B.
Gọi F là trung điểm của
Góc giữa SE và CD là góc giữa SE và EF.
Ta có
Lại có
Trong tam giác vuông :
Trong tam giác vuông :
Trong tam giác :
Góc giữa SE và CD bằng .
Câu 40:
Biết , theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và x là một số tự nhiên. Tìm tổng các chữ số của x.
Đáp án B.
Điều kiện: .
Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
Vậy tổng các chữ số của x là 9.
Câu 41:
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn . Khi đó S là
Đáp án C.
Đặt . Phương trình đã cho trở thành (*).
Để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thuộc đoạn thì phương trình (*) phải có đúng một nghiệm thuộc nửa khoảng .
Xét hàm số . Ta có .
Bảng biến thiên của :
Vậy để phương trình (*) có đúng một nghiệm thuộc nửa khoảng thì . Vậy C là đáp án đúng
Câu 42:
Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC'.
Đáp án A.
Đặt
Ta có
;
Câu 43:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị.
Đáp án B.
Hàm số là một hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục Oy. Mặt khác . Ta có phép biến đổi từ đồ thị hàm số thành đồ thị hàm số :
* Nếu m > 0:
- Bước 1: Tịnh tiến đồ thị hàm số sang trái m đơn vị.
- Bước 2: Xóa phần nằm bên trái Oy của đồ thị thu được ở Bước 1.
- Bước 3: Lấy đối xứng đồ thị thu được ở Bước 2 qua Oy.
* Nếu m=0 :
- Bước 1: Tịnh tiến đồ thị hàm số sang phải m đơn vị.
- Bước 2: Xóa phần nằm bên trái Oy của đồ thị thu được ở Bước 1.
- Bước 3: Lấy đối xứng đồ thị thu được ở Bước 2 qua Oy.
Quan sát ta thấy đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị.
Để đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị thì nhánh bên phải Oy của đồ thị hàm số phải có 2 điểm cực trị => Điểm cực trị của đồ thị hàm số phải được tịnh tiến sang phải .
Câu 44:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và điểm . Viết phương trình mặt phẳng , biết rằng điểm B thuộc mặt cầu (S), có hoành độ dương và tam giác OAB đều.
Đáp án C.
Đặt . Ta có đều .
Mà Ta có hệ
Thế (2) vào (1) và (3) ta được: .
Thế vào (2):
Với
Phương trình .
Câu 45:
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Đặt . Tìm số nghiệm của phương trình .
Đáp án D.
Kí hiệu trên đồ thị như hình bên.
Đặt . Ta có .
(nhìn hình để xác định a).
(nhìn vào đồ thị thể hiện bên ta thấy đồ thị hàm số cắt đường thẳng (với ) tại ba điểm phân biệt do vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt .
Rõ ràng là đôi một khác nhau.
Kết hợp lại thì phương trình có 8 nghiệm phân biệt.
Câu 46:
Cho hàm số có đồ thị là (C). Gọi T là tập hợp tất cả các điểm thuộc đường thẳng mà từ điểm đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C). Tìm tổng tung độ của các điểm thuộc T
Đáp án D.
Gọi là một điểm bất kì thuộc (C) . Tiếp tuyến tại M:
Gọi là một điểm bất kì thuộc đường thẳng .
Tiếp tuyến tại M đi qua
(*).
Từ A kẻ được hai tiếp tuyến đến có hai nghiệm phân biệt.
Ta có
Dễ thấy không thỏa mãn .
Với thì .
Xét hàm số . Ta có .
Bảng biến thiên của :
Vậy để (*) có 2 nghiệm phân biệt thì . Suy ra tập
Do đó tổng tung độ các điểm thuộc T bằng 2.
Câu 47:
Để cấp tiền cho con trai tên là Lâm học đại học, ông Anh gửi vào ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất cố định 0,7%/ tháng, số tiền lãi hàng tháng được nhập vào vốn để tính lãi cho tháng tiếp theo (thể thức lãi kép). Cuối mỗi tháng, sau khi chốt lãi, ngân hàng sẽ chuyển vào tài khoản của Lâm một khoản tiền giống nhau. Tính số tiền m mỗi tháng Lâm nhận được từ ngân hàng, biết rằng sau bốn năm (48 tháng), Lâm nhận hết số tiền cả vốn lẫn lãi mà ông Anh đã gửi vào ngân hàng (kết quả làm tròn đến đồng).
Đáp án C.
Gọi M là số tiền ban đầu; r là lãi suất hàng tháng.
Số tiền lãi tháng 1 là M.r.
Số tiền cả vốn lẫn lãi tháng 1 là M(1+r).
Số tiền còn lại sau khi chuyển cho Lâm m đồng là .
Tương tự: Số tiền còn lại sau tháng thứ 2 là:
Số tiền còn lại sau tháng thứ 3 là:
…
Số tiền còn lại sau 48 tháng là: .
Vì sau 48 tháng là hết tiền trong tài khoản nên ta có:
Thay số vào ta tìm được (đồng).
Câu 48:
Cho hai số phức và . Gọi là số phức thỏa mãn . Tìm , biết biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
Đáp án D.
Gọi là điểm biểu diễn số phức . Đặt , và
Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn có tâm I, bán kính sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
Trước tiên, ta tìm điểm sao cho .
Ta có
(*) luôn đúng .
Thử trực tiếp ta thấy thỏa mãn .
Ta cos .
Vì nên B nằm ngoài (C).
Vì nên K nằm trong (C) .
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK . Do đó nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của (C) và đường thẳng BK.
Phương trình đường thẳng .
Phương trình đường tròn .
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
hoặc .
Thử lại thấy thuộc đoạn BK.
Vậy .
Câu 49:
Có 8 người ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn. Mỗi người cầm một đồng xu cân đối, đồng chất. Cả 8 người đồng thời tung đồng xu. Ai tung được mặt ngửa thì phải đứng dậy, ai tung được mặt sấp thì ngồi yên tại chỗ. Tính xác suất sao cho không có hai người nào ngồi cạnh nhau phải đứng dậy?
Đáp án A.
Đặt là không gian mẫu. Ta có .
Gọi A là biến cố “Không có hai người nào ngồi cạnh nhau phải đứng dậy”.
- TH1: Không có ai tung được mặt ngửa. Trường hợp này có 1 khả năng xảy ra.
- TH2: Chỉ có 1 người tung được mặt ngửa. Trường hợp này có 8 khả năng xảy ra.
- TH3: Có 2 người tung được mặt ngửa nhưng không ngồi cạnh nhau: Có khả năng xảy ra (do mỗi người trong vòng tròn thì có 5 người không ngồi cạnh).
- TH4: Có 3 người tung được mặt ngửa nhưng không có 2 người nào trong 3 người này ngồi cạnh nhau. Trường hợp này có khả năng xảy ra.
Thật vậy:
+ Có cách chọn 3 người trong số 8 người.
+ Có 8 khả năng cả ba người này ngồi cạnh nhau.
+ Nếu chỉ có 2 người ngồi cạnh nhau. Có 8 cách chọn ra một người, với mỗi cách chọn ra một người có 4 cách chọn ra hai người ngồi cạnh nhau và không ngồi cạnh người đầu tiên (độc giả vẽ hình để rõ hơn). Vậy có 8.4 khả năng.
- TH5: Có 4 người tung được mặt ngửa nhưng không có 2 người nào trong 4 người này ngồi cạnh nhau. Trường hợp này có 2 khả năng xảy ra.
Suy ra
Câu 50:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' có , , và , trong đó là các số thực dương và thỏa mãn . Khi khoảng cách giữa hai đường thẳng AC' và B'C lớn nhất thì mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có bán kính R bằng bao nhiêu?
Đáp án D.
Gọi O là trung điểm của AB, suy ra .
Ta có .
Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ bên. Với , , , do và .
Có
do .
Với , ta có .
Như vậy .
Dấu “=” xảy ra khi .
Khi đó . Giả sử phương trình mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ là .
Ta có hệ phương trình sau:
Vậy mặt cầu (S) có tâm và bán kính