50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 3

Câu 1:

Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Vậy từ 1 tế bào sau 10 lần phân chia thì tổng số các tế bào có là:

A. $2^{10}$

B. $2^{11}$

C. $S_{10} = 2^{10} - 1$

D. $S_{10} = 2^{11} - 1$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 2:

Số điểm có tọa độ nguyên của đồ thị hàm số $y = \frac{3 x + 1}{2 x - 1}$ là:

A. 2

B. 0

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 3:

Phương trình $x^{3} + a x + b = 0$ có 3 nghiệm tạo thành 1 cấp số cộng khi:

A. b = 0, a < 0

B. b = 0, a = 1

C. b = 0, a > 1

D. b > 0, a > 0

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 4:

Cho đa giác đều 12 đỉnh. Gọi S là tập các hình tứ giác tạo từ 12 đỉnh trên. Chọn một phần tử từ tập S. Xác suất để tứ giác chọn được là hình chữ nhật.

A. $\frac{1}{165}$

B. $\frac{1}{33}$

C. $\frac{2}{15}$

D. $\frac{4}{195}$

Xem đáp án

Đáp án B

+ Số các tứ giác tạo thành là $C_{12}^{4} = 495$ .

+ Đa giác đều này có 6 đường chéo qua tâm. Cứ 2 đường chéo qua tâm cho ta 1 hình chữ nhật $\Rightarrow$ Số hình chữ nhật tạo thành là $C_{6}^{2} = 15$

Xác suất là $P = \frac{C_{12}^{6}}{C_{12}^{4}} = \frac{15}{495} = \frac{1}{33}$ .

Câu 5:

Cho A, B là các biến cố có liên quan đến một phép thử có hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Chọn mệnh đề sai.

A. $P (\emptyset) = 0$

B. $P (Ω) = 1$

C. $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

D. $P (A) = 1 - P (A)$

Xem đáp án

Đáp án C.

$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ khi A, B là 2 biến cố xung khắc.

Câu 6:

Có 16 đội bóng chia thành 4 bảng A, B, C, D trong đó mỗi bảng có 4 đội. Hỏi có bao nhiêu cách chia?

A. $C_{16}^{4} . C_{12}^{4} . C_{8}^{4} . C_{4}^{4}$

B. $A_{16}^{4} . A_{12}^{4} . A_{8}^{4} . A_{4}^{4}$

C. $4! C_{16}^{4} . C_{12}^{4} . C_{8}^{4} . C_{4}^{4}$

D. $C_{16}^{4}$

Xem đáp án

Đáp án A.

Cách chia thực hiện bởi 4 công đoạn:

- Công đoạn 1: Chia 4 đội cho bảng A có $C_{16}^{4}$ cách.

- Công đoạn 2: Chia 4 đội cho bảng B có $C_{12}^{4}$ cách.

- Công đoạn 3: Chia 4 đội cho bảng C có $C_{8}^{4}$ cách.

- Công đoạn 4: Chia 4 đội cho bảng D có $C_{4}^{4}$ cách.

$\Rightarrow$ Số cách chia bảng là $C_{16}^{4} . C_{12}^{4} . C_{8}^{4} . C_{4}^{4}$ .

Câu 7:

Cho ${(1 - 2 x)}^{12} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + . . . + a_{12} x^{12}$ thì giá trị $S = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + . . . + a_{12}$ là:

A. $3^{12}$

B. 1

C. -1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án A

Chọn $x = - 1 \Rightarrow {(1 + 2)}^{12} = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + . . . + a_{12} \Rightarrow S = 3^{12}$

Câu 8:

Hàm số $y = \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x + 2}$ có bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 0

B. Vô số

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 9:

Dãy số cho bởi công thức nào sau đây không phải là cấp số nhân?

A. $u_{n} = 2 n + 3$

B. $u_{n} = {(- 1)}^{n}$

C. $u_{n} = \frac{3^{n}}{4}$

D. $u_{n} = \frac{2}{3^{n}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 10:

Có bao nhiêu hình chữ nhật ở hình bên

A. 420

B. 540

C. 360

D. 280

Xem đáp án

Đáp án B.

Mỗi hình chữ nhật tạo từ 2 cạnh ngang và 2 cạnh đứng

$\Rightarrow$ Số hình chữ nhật tạo thành là $C_{6}^{2} . C_{9}^{2} = 540$ .

Câu 11:

Số giá trị nguyên của m mà nhỏ hơn 2018 để phương trình $(m + 1) \cos x + 1 = 0$ có nghiệm?

A. 2016

B. 2017

C. 2018

D. 2019

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 12:

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d : y = 3x - 2 để phép tịnh tiến theo $\vec{v}$ biến đường thẳng d thành chính nó thì

A. $\vec{V} = (- 1; - 3)$

B. $\vec{V} = (- 1; 3)$

C. $\vec{V} = (3; 1)$

D. $\vec{V} = (3; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 13:

Cho $∆ A B C$ . Gọi B'C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tam giác ABC biến thành tam giác AB'C' qua phép vị tự nào?

A. $V (A; 2)$

B. $V (A; \frac{1}{2})$

C. $V (A; - 2)$

D. $V (A; - \frac{1}{2})$

Xem đáp án

Đáp án B.

Ta có $\{\begin{array}{l} \vec{A B'} = \frac{1}{2} \vec{A B} \Rightarrow V_{(A; \frac{1}{2})} (B) = B' \\ \vec{A C'} = \frac{1}{2} \vec{A C} \Rightarrow V_{(A; \frac{1}{2})} (C) = C' \end{array} \Rightarrow ∆ A B C \overset{V_{(A; \frac{1}{2})}}{\to} ∆ A B' C'$

Câu 14:

Trong không gian cho đường thẳng $a \subset (α), b \subset (β) / / (β)$ . Kết quả nào sau đây là đúng?

A. a//b

B. a,b chéo nhau

C. a,b cắt nhau

D. a,b không có điểm chung

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 15:

Cho lăng trụ $A B C . A' B' C'$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a , hình chiếu vuông góc của A' lên ABC là trung điểm H của AC. Đường thẳng A'B tạo với (ABC) một góc $45 °$ . Phát biểu nào sua đây là đúng?

A. $A' B ⊥ B' C$

B. Thể tích khối ABC.A'B'C' là $\frac{a^{3}}{3}$

C. $A H = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

D. $\hat{A' B A} = 45 °$

Xem đáp án

Đáp án A.

Ta có $\hat{A' B H} = (A' B, (A B C)) = 45 ° \Rightarrow A' H = B H = a$

Gọi $I = A' B \cap A B' \Rightarrow H I ⊥ A' B$

HI//B'C (tính chất đường trung bình)

$\Rightarrow A' B ⊥ B' C$

Câu 16:

Trong các hình sau, hình nào là hình chóp cụt?

A.

B.

C.

D.

Xem đáp án

Đáp án C.

+ Hình A: Tồn tại mặt bên không phải hình thang.

+ Hình B: Các cạnh bên không đồng quy.

+ Hình D: Các cạnh bên không đồng quy.

+ Hình C: Các mặt bên là các hình thang và các cạnh bên đồng quy nên C là hình chóp cụt.

Câu 17:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SA biết AD= $a \sqrt{3}$ . Khi đó khoảng cách từ C đến (MBD) là:

A. $\frac{2 a \sqrt{15}}{10}$

B. $\frac{a \sqrt{39}}{13}$

C. $\frac{2 a \sqrt{39}}{13}$

D. $\frac{a \sqrt{15}}{10}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi H là trung điểm AB, G là trọng tâm $∆ S A B$

Trong mặt phẳng , gọi $O = A C \cap B D$

Ta có: $d_{(C, (M B D))} = d_{(A, (M B D))} = 2 d_{(H, (M B D))}$

Gọi I là hình chiếu của H lên BD, K là hình chiếu của H lên GI

$H K ⊥ (M B D) \Rightarrow H K = d_{(H, (M B D))}$

Ta có $S H = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow G H = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

$∆ B I H ~ ∆ B A D \Rightarrow \frac{I H}{A D} = \frac{B H}{B D} \Rightarrow I H = \frac{a \sqrt{3} . \frac{a}{2}}{2 a} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

$\Rightarrow \frac{1}{H K^{2}} = \frac{1}{H G^{2}} + \frac{1}{H I^{2}} = \frac{36}{3 a^{2}} + \frac{16}{3 a^{2}} = \frac{52}{3 a^{2}} \Rightarrow H K = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{52}}$

$d_{(C, (M B D))} = \frac{2 \sqrt{3} a}{\sqrt{52}} = \frac{3 a \sqrt{13}}{13} = \frac{a \sqrt{39}}{13}$

Câu 18:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 3 k h i x \geq 2 \\ x + 1 k h i x < 2 \end{cases}$ thì giá trị của $\lim_{x \to 2} f (x)$ là:

A. 1

B. 3

C. -1

D. Không tồn tại

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 19:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 81 m. Mỗi lần chạm đất bóng lại nảy lên $\frac{2}{3}$ độ cao lần trước thì tổng khoảng cách rơi và nảy của quả bóng từ lúc thả bóng cho đến khi bóng không nảy nữa là:

A. 486m

B. 324m

C. 405m

D. 243m

Xem đáp án

Đáp án C

Tổng khoảng cách cần tìm là (với $n \in R^{*}$ )

$S = 81 + 2.81 . \frac{2}{3} + 2.81 . {(\frac{2}{3})}^{2} + . . . + 2.81 . {(\frac{2}{3})}^{n + 1}$
$= 81 + 2 . [81 . \frac{2}{3} + 81 . {(\frac{2}{3})}^{2} + . . . + 81 . {(\frac{2}{3})}^{n + 1} + . . .]$

Do $81 . \frac{2}{3} + 81 . {(\frac{2}{3})}^{2} + . . . + 81 . {(\frac{2}{3})}^{n + 1} + . . .$ l

à tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với

$\{\begin{cases} u_{1} = 81 . \frac{2}{3} = 54 \\ q = \frac{2}{3} \end{cases} \Rightarrow S = 81 + 2 . \frac{u_{1}}{1 - q} = 405 m$

Câu 20:

Cho hàm số f(x)=sin2x+2cosx. Số điểm biểu diễn nghiệm của phương trình $f' (x) = 0$ trên đường tròn lượng giác là:

A. 2

B. 3

C. 4

D. Vô số

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 21:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận, M là một điểm thuộc (C). Tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận tại A và B. Phát biểu nào sau đây là sai?

A. M là trung điểm của AB

B. Diện tích tam giác IAB là một số không đổi

C. Tích khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là một số không đổi

D. Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là một số không đổi

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 22:

Đồ thị hàm số $y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có hai điểm cực trị là $A (0; 0)$ và $B (1; 1)$ . Khi đó $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}$ là:

A. 13

B. 14

C. 11

D. 9

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 23:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên $ℝ$ ?

A. $y = \log_{\sqrt{2}} x^{2}$

B. $y = {(3 x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

C. $y = \sqrt[5]{x^{3} + x}$

D. $y = 2^{- x}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 24:

Cho phương trình $|x^{4} - 4 x^{2} - 5| - m = 0$ có 6 nghiệm phân biệt thỏa mãn $a < m < b$ thì a + b là:

A. -14

B. 9

C. 14

D. 5

Xem đáp án

Đáp án C.

Xét hàm số $x^{4} - 4 x^{2} + 5 \Rightarrow y' = 0$

$\Leftrightarrow 4 x^{3} - 8 x = 0 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = 0 \\ x = \pm 2 \end{cases}$

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} - 5 (C)$

Từ (C) giữ phần đồ thị phía trên, bỏ phía dưới sau khi lấy đối xứng qua Ox

$\Rightarrow$ Đồ thị hàm số $y = |x^{4} - 4 x^{2} - 5|$ (hình vẽ)

$\Rightarrow$ Phương trình $y = |x^{4} - 4 x^{2} - 5| = m$ có 6 nghiệm $\Leftrightarrow 5 < m < 9 \Rightarrow a + b = 14$ .

Câu 25:

Cho hàm số $y = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$ . Tìm khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

B. Đồ thị hàm số có 2 tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

Xem đáp án

Đáp án A

Cách 1: Tập xác định $D = [1; - 1] \ \{0\}$

$\Rightarrow$ Không tồn tại $\lim_{x \to + \infty} y$ và $\lim_{x \to - \infty} y$ nên không có tiệm cận ngang.

Cách 2: Sử dụng MTCT

Tính $\lim_{x \to + \infty} y$ và $\lim_{x \to - \infty} y$ bằng cách nhập vào màn hình.

Biểu thức $\frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$ , sử dụng lệnh CALC gán lần lượt $x = 10^{7}$ và $x = - 10^{7}$ (số rất lớn) $\Rightarrow$ không tồn tại $\lim_{x \to \pm \infty} y$ .

Câu 26:

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. ${(2 - \sqrt{3})}^{2018} > {(2 - \sqrt{3})}^{2019}$

B. ${(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2018} > {(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})}^{2019}$

C. ${(1 + \sqrt{2})}^{2018} > {(1 + \sqrt{2})}^{2019}$

D. $π^{2018} > π^{2019}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 27:

Giá trị của m để phương trình $4^{|x|} - 2^{|x| + 1} - m = 0$ có nghiệm duy nhất là:

A. m = 2

B. m = 0

C. m = 1

D. m = -1

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 28:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log^{2} x - \log x^{3} + 2 \geq 0$ là $S = (a; b] \cup [c; + \infty)$ thì a + b + c là:

A. 10

B. 100

C. 110

D. 2018

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 29:

Cho hàm số $y = \ln \frac{1}{x}$ . Hệ thức nào sau đây đúng?

A. $e^{y} + y' = 0$

B. $e^{y} - y' = 0$

C. $e^{y} . y' = 0$

D. $e^{y} . y' = \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 30:

Ta có: $\int_{0}^{1} f (x) d x = 2; \int_{1}^{3} f (x) d x = 4$ . Tính $\int_{0}^{1} f (3 x) d x$ .

A. $\int_{0}^{1} f (3 x) d x = 6$

B. $\int_{0}^{1} f (3 x) d x = 12$

C. $\int_{0}^{1} f (3 x) d x = 2$

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 31:

Hàm số $f (x) = \frac{1}{x - 2} - \frac{3}{2 x + 1}$ có nguyên hàm là:

A. $\int f (x) d x = \ln |x - 2| - 3 \ln |2 x + 1| + C$

B. $\int f (x) d x = \ln |x - 2| - 6 \ln |2 x + 1| + C$

C. $\int f (x) d x = \ln |x - 2| + \frac{3}{2} \ln |2 x + 1| + C$

D. $\int f (x) d x = \ln |x - 2| - \frac{3}{2} \ln |2 x + 1| + C$

Xem đáp án

Đáp án D.

Bạn có thể dùng MTCT để tính đạo hàm tại 1 điểm với từng đáp án. Tuy nhiên nếu nhớ bảng nguyên hàm biểu thức sẽ nhanh ra kết quả hơn.

Câu 32:

Cho $∆ A B C$ vuông tại A, cạnh AB=4,BC=5. Quay $∆ A B C$ quanh AB được khối nón có thể tích $V_{1}$ , quay $∆ A B C$ quanh AC được khối nón có thể tích $V_{2}$ thì:

A. $V_{1} = V_{2} = 12 π$

B. $V_{1} > V_{2}$

C. $V_{1} = V_{2} = 16 π$

D. $V_{1} < V_{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 33:

Người ta cắt đôi đoạn dây thép dài 10m thành hai phần. Phần 1 lại cắt thành 6 phần bằng nhau và ghép thành một hình tứ diện, phần 2 lại cắt thành 12 phần bằng nhau và ghép thành một hình lập phương sao cho tổng diện tích xung quanh của hai hình là nhỏ nhất.

Gọi a là độ dài cạnh của hình tứ diện, b là độ dài cạnh của hình lập phương thì $a + b$ là:

A. $\frac{5 + 5 \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{- 5 + 5 \sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{- 5 + 20 \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{5 + 20 \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Gọi x là chiều dài đoạn thép thứ nhất, $0 < x < 10$

$\Rightarrow$ Cạnh hình tứ diện là $\frac{x}{6}$ (tứ diện là đều)

$\Rightarrow$ Cạnh hình lập phương là $\frac{10 - x}{12}$

Diện tích xung quanh của tứ diện là $S_{1} = 4 . \frac{1}{2} . {(\frac{x}{6})}^{2} . 60 °$

Diện tích xung quanh của lập phương là $S_{2} = 6 {(\frac{10 - x}{12})}^{2}$

Tổng $S_{1} + S_{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = \frac{\frac{5}{6}}{2 (\frac{\sqrt{3}}{36} + \frac{1}{24})} = \frac{30}{2 \sqrt{3} + 3} = 20 \sqrt{3} - 30$

$\Rightarrow a = \frac{20 \sqrt{3} - 30}{6}; b = \frac{10 - 20 \sqrt{3} + 30}{12} \Rightarrow a + b = \frac{- 5 + 5 \sqrt{3}}{3}$

Câu 34:

Cho $(E) : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ . Khi quay $(E)$ quanh trục Ox ta được một khối tròn xoay (gọi là khối elipxoit). Thể tích của khối elipxoit là:

A. $\frac{4}{3} {πa}^{2} b$

B. $\frac{4}{3} {πab}^{2}$

C. $\frac{3}{4} {πa}^{2} b$

D. $\frac{3}{4} {πab}^{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 35:

Cho các mệnh đề sau:

(I) 3 vecto gọi là đồng phẳng khi và chỉ khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

(II) 3 vecto gọi là đồng phẳng khi và chỉ khi chúng có giá song song với một mặt phẳng.

(III) 3 vecto $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ đồng phẳng nếu tồn tại duy nhất bộ số (m,n) sao cho $\vec{a} = m \vec{b} + n \vec{c}$ .

Số mệnh đề đúng là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C.

Mệnh đề 1 sai.

Câu 36:

Gọi $Z_{1}, Z_{2}$ lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng Oxy (hình bên). Khi đó số phức $Z = \frac{Z_{1}}{Z_{2}}$ là:

A. $Z = - \frac{1}{4} + \frac{4}{5} i$

B. $Z = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$

C. $Z = - \frac{1}{10} + \frac{4}{5} i$

D. $Z = - \frac{2}{5} - \frac{7}{10} i$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 37:

Cho hai số phức $Z_{1}, Z_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{Z_{1}} + \frac{1}{Z_{2}} = \frac{1}{Z_{1} + Z_{2}}$ . Khi đó phần thực của số phức $w = \frac{Z_{1}}{Z_{2}}$ là:

A. $\frac{1}{2}$

B. $- \frac{1}{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 38:

Cho hai số phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $|z_{1} + 2| = 2$ và $|z_{2} - 3 i| = |z_{2} + 1 - 6 i|$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z_{1} + z_{2}|$ .

A. $\frac{- 10 + 6 \sqrt{10}}{5}$

B. $\frac{10 + 6 \sqrt{10}}{5}$

C. 0

D. $\frac{12}{\sqrt{10}}$

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $z_{1} = x + y i$ , $z_{2} = a + b i$ với $x, y, a, b \in R$ . Ta có:

+ $|z_{1} + 2| = 2 \Leftrightarrow |x + 2 + y i| = 2 \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 4$

$\Rightarrow$ Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z_{1}$ là điểm M(x;y) thuộc (C) có tâm I(-2;0) và bán kính R = 2

+ $|z_{2} - 3 i| = |z_{2} + 1 - 6 i| \Leftrightarrow |a + (b - 3) i| = |(a + 1) + (b - 6) i|$

$a^{2} + {(b - 3)}^{2} = {(a + 1)}^{2} + {(b - 6)}^{2} \Leftrightarrow a - 3 b + 4 = 0$

$\Rightarrow$ Điểm biểu diễn số phức $z_{2}$ là $N \in d : x - 3 y + 14 = 0$

+ Có

$|z_{1} - z_{2}| = |(x - a) + (y + b) i| = \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}} = M N \Rightarrow {|z_{1} - z_{2}|}_{m i n} = M N_{m i n}$

$\Rightarrow$ Tìm M, N lần lượt thuộc (C) và d sao cho $M N_{m i n}$

Ta có $d_{(I, d)} = \frac{12}{\sqrt{10}} > R \Rightarrow d$ không cắt (C)

$M N_{m i n} = d_{(I, d)} - R = \frac{12}{\sqrt{10}} - 2 = \frac{- 10 + 6 \sqrt{10}}{5}$

Câu 39:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có cạnh bên AA'=2a,AB=AC =a, góc $\hat{B A C} = 120 °$ . Gọi M là trung điểm của BB' thì cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (AC'M) là:

A. $\frac{\sqrt{3}}{31}$

B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{15}$

D. $\frac{\sqrt{93}}{31}$

Xem đáp án

Đáp án D

Nhận thấy $∆ A B C$ là hình chiếu của $∆ A M C'$ lên mặt phẳng (ABC).

Gọi $φ$ là góc giữa (AMC') và $(A B C) \Rightarrow S_{∆ A B C} = S_{∆ A M C'} . \cos φ \Rightarrow \cos φ = \frac{S_{∆ A B C}}{S_{∆ A M C'}}$

Ta có $S_{∆ A B C} = \frac{1}{2} a^{2} . \sin 120 ° = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

$A' C = a \sqrt{5}; A M = a \sqrt{2}; B C = \sqrt{a^{2} + a^{2} - 2 a \cos 120 °} = a \sqrt{3} \Rightarrow C' M = 2 a$

Đặt $p = \frac{a \sqrt{5} + a \sqrt{2} + 2 a}{2}$

$\Rightarrow S_{∆ A M C'} = \sqrt{p (p - a \sqrt{2}) (p - a \sqrt{5}) (p - 2 a)} = \frac{\sqrt{31}}{4} a^{2}$

$\Rightarrow \cos φ = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} . \frac{4}{\sqrt{31} a^{2}} = \sqrt{\frac{3}{31}} = \frac{\sqrt{93}}{31}$

Câu 40:

Cho khối trụ $(T)$ , AB và CD lần lượt là hai đường kính trên hai mặt đáy của $(T)$ . Biết góc giữa AB và CD là 30°, AB = 6 và thể tích khối ABCD là 30. Khi đó thể tích khối trụ $(T)$ là:

A. $\frac{90 π \sqrt{3}}{270} c m^{3}$

B. $30 {πcm}^{3}$

C. $90 {πcm}^{3}$

D. $45 {πcm}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C.

Ta có

$V_{A B C D} = \frac{1}{6} A B . C D . d_{(A B, C D)} = \sin (\overset{⏜}{A B, C D}) \Rightarrow 30 = \frac{1}{6} 6^{2} . h . \sin 30 ° \Leftrightarrow h = 10 c m \Rightarrow V_{T} = {πr}^{2} h = π . 3^{2} . 10 = 90 π {cm}^{3}$

Câu 41:

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, $∆ S A B$ vuông cân tại S, $∆ S C D$ đều thì thể tích khối S.ABCD là:

A. $\frac{4 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

B. $\frac{4}{3} a^{3}$

C. $2 a^{3} \sqrt{3}$

D. $\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

$\Rightarrow \{\begin{cases} S M ⊥ A B \\ M N ⊥ A B \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (S M N) \Rightarrow (A B C D) ⊥ (S M N)$

Gọi H là hình chiếu của S lên $M N \Rightarrow S H ⊥ (A B C D)$

Ta có $S M = \frac{1}{2} A B = a, S N = 2 a . \frac{\sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}, M N = 2 a$

$\Rightarrow S_{S M N} = \sqrt{p (p - a) (p - a \sqrt{3}) (p - 2 a)} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$

Mà $S_{S M N} = \frac{1}{2} M N . S H \Rightarrow S H = \frac{2 . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}}{2 a} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} . {(2 a)}^{2} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Câu 42:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-1;0;2), B(0;-1;1). Điểm M thỏa mãn $3 \vec{M A} + 4 \vec{M B} - \vec{M C} = \vec{O}$ thì điểm M có tọa độ là:

A. $M (- \frac{5}{6}; \frac{1}{2}; \frac{5}{3})$

B. $M (- \frac{5}{6}; - \frac{1}{2}; \frac{5}{3})$

C. $M (\frac{5}{6}; - \frac{1}{2}; \frac{5}{3})$

D. $M (- \frac{5}{6}; - \frac{1}{2}; - \frac{5}{3})$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 43:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $d_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 3 \\ z = 2 - 2 t \end{cases}$ và $d_{2} : \frac{x + 3}{1} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 4}{3}$ . Viết phương trình mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .

A. (P):2x-2y+z+1=0

B. (P):4x+5y+2z+11=0

C. (P):3x-2y+z+2=0

D. (P):3x+2y+z+6=0

Xem đáp án

Đáp án B

Đường thẳng $d_{1}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; 0; - 2)$ và $M (1; - 3; 2) \in d_{1}$

Đường thẳng $d_{2}$ có vecto chỉ phương $\vec{u_{2}} (1; - 2; 3)$ và $N (- 3; 1; - 4) \in d_{2}$

Trung điểm MN là I(-1;-1;-1); $\vec{u_{1}} \land \vec{u_{2}} = (- 4; - 5; - 2)$

Mặt phẳng (P) cách đều 2 đường thẳng $d_{1}, d_{2}$ khi (P) qua I(-1;-1;-1) và có vecto pháp tuyến $\vec{n} = \vec{n_{1}} \cap \vec{n_{2}}$

$\Rightarrow (P) : - 4 (x + 1) - 5 (y + 1) - 2 z (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 4 x + 5 y + 2 z + 11 = 0$

Câu 44:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x - 2y + z + 3 = 0 và mặt cầu $(S) : {(x - 1)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + z^{2} = 9$ và đường thẳng $d : \frac{x}{- 2} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ . Cho các phát biểu sau đây:

I. Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt.

II. Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S)

III. Mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung

IV. Đường thẳng d cắt mặt phẳng (PA) tại 1 điểm

Số phát biểu đúng là:

A. 4

B. 1

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 45:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(8;1;1). Mặt phẳng (P) qua M cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C thỏa mãn $O A^{2} + O B^{2} + O C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất có dạng là (P): ax + by + cz- 12 = 0. Khi đó a + b + c là:

A. 9

B. -9

C. 11

D. -11

Xem đáp án

Đáp án A

$\Rightarrow (P) : \frac{x}{12} + \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow x + 2 y + 2 z - 12 = 0$

Câu 46:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối SCMN là:

A. $\frac{3 a}{2}$

B. $a \sqrt{3}$

C. $\frac{\sqrt{93}}{6} a$

D. $\frac{31}{12} a$

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của $A D \Rightarrow S H ⊥ (A B C D) \Rightarrow S H = a \sqrt{3}$

Cho hệ trục tọa độ như hình vẽ $\Rightarrow D (a; 0; 0), M (0; 2 a; 0), N (a; a; 0)$

$\Rightarrow$ Trung điểm MN là $I (\frac{a}{2}; \frac{3 a}{2}; 0)$ có $S (0; 0; a \sqrt{3})$ , $C (a; 2 a; 0)$

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (ABCD)

$\Rightarrow$ d có vecto chỉ phương $\vec{k} = (0; 0; 1)$

$∆ N C M$ vuông tại $C$ là tâm đường tròn ngoại tiếp

$\Rightarrow$ d là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN

$\Rightarrow$ Tâm J của mặt cầu ngoại tiếp SCMN thuộc d

Ta có d qua $I (\frac{a}{2}; \frac{3 a}{2}; 0)$ và $\vec{k} = (0; 0; 1)$ là vecto chỉ phương $\Rightarrow d : \{\begin{cases} x = \frac{a}{2} \\ y = \frac{3 a}{2} \\ z = t \end{cases}$

$\Rightarrow J (\frac{a}{2}; \frac{3 a}{2}; t)$ mà $J C = J S \Rightarrow {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} + t^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{3 a}{2})}^{2} + {(a \sqrt{3} - t)}^{2}$

$\Rightarrow t = \frac{5 a \sqrt{3}}{6}$ Bán kính $R = J C = \frac{\sqrt{93}}{6} a$ .

Câu 47:

Cho điểm A cố định trên đường tròn (O) và một điểm C di động trên đường tròn đó. Dựng hình vuông ABCD (thứ tự các đỉnh theo chiều dương). Khi đó quỹ tích điểm D là ảnh của đường tròn (O) qua phép biến hình F có được bằng cách thực hiện liên tiếp:

A. $\{\begin{cases} V_{(A; \frac{\sqrt{2}}{2})} \\ Q_{(A, 45 °)} \end{cases}$

B. $\{\begin{cases} V_{(A; - \frac{\sqrt{2}}{2})} \\ Q_{(A, 45 °)} \end{cases}$

C. $\{\begin{cases} V_{(A; - \frac{\sqrt{2}}{2})} \\ Q_{(A, - 45 °)} \end{cases}$

D. $\{\begin{cases} V_{(A; \frac{\sqrt{2}}{2})} \\ Q_{(A, - 45 °)} \end{cases}$

D

Xem đáp án

Đáp án A.

$V_{(A; \frac{\sqrt{2}}{2})} (A) = K \Rightarrow K$ nằm giữa AC và AK = AD

Từ hình vẽ $Q_{(A; 45^{°})} (K) = D$

Câu 48:

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn: $x + y = \frac{5}{4}$ thì biểu thức $S = \frac{4}{x} + \frac{1}{4 y}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\{\begin{cases} x = a \\ y = b \end{cases}$ thì a.b có giá trị là bao nhiêu?

A. $a b = \frac{3}{8}$

B. $a b = \frac{25}{64}$

C. $a b = 0$

D. $a b = \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Từ $x + y = \frac{5}{4} \Rightarrow y = \frac{5}{4} - x$ vì $y > 0 \Rightarrow 0 < x < \frac{5}{4} \Rightarrow S = \frac{4}{x} + \frac{1}{5 - 4 x} \forall x \in (0; \frac{5}{4})$

Xét $f (x) = \frac{4}{x} - \frac{1}{5 - 4 x}$

$f' (x) = 0 \Leftrightarrow - \frac{4}{x^{2}} + \frac{4}{{(5 - 4 x)}^{2}} = 0 \Rightarrow x = 1 \in (0; \frac{5}{4})$

Bảng biến thiên:

$\Rightarrow m i n S = \underset{(0; \frac{5}{4})}{m i n} f (x) = 5$ khi $\{\begin{array}{l} x = 1 \\ y = 1 \end{array} \Rightarrow a . b = \frac{1}{4}$

Câu 49:

Cho tứ diện ABCD, có bao nhiêu mặt phẳng qua AB và cách đều CD?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số

Xem đáp án

Đáp án C.

Mặt phẳng qua AB và song song với CD $\Rightarrow$ cách đều CD

Mặt phẳng qua AB và trung điểm của CD $\Rightarrow$ cách đều CD

Câu 50:

Một nhóm bạn đi du lịch dựng lều bằng cách gập đôi chiếc bạt hình vuông cạnh là 6 m (hình vẽ), sau đó dùng hai chiếc gậy có chiều dài bằng nhau chống theo phương thẳng đứng vào hai mép gấp để không gian trong lều là lớn nhất thì chiều dài của chiếc gậy là:

A. $\frac{3 \sqrt{3}}{2} m$

B. $\frac{3 \sqrt{2}}{3} m$

C. $\frac{3}{2} m$

D. $1 m$

Xem đáp án

Đáp án B.

Không gian lều là một khối lăng trụ đứng có chiều cao là 6 m, đáy là tam giác cân có cạnh bên là 3 m và góc ở đỉnh là $φ \in (0; 180 °)$ .

Khi đó thể tích của khối lăng trụ là: $V = \frac{1}{3} . \frac{1}{2} . 3.3 \sin φ . 6 = 9 \sin φ (m^{3})$

$\Rightarrow V_{m a x} \Leftrightarrow \sin φ_{m a x} \Rightarrow φ = 90 °$

Gọi chiều cao gậy là $h \Rightarrow h = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ (m)

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải

20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 3

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan