20 Đề thi thử THPTQG môn Toán mới nhất cực hay có lời giải - đề 15
-
4113 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
90 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Trong các khẳng định sau đây? Khẳng định nào sai?
Đáp án B.
Với mọi biến cố A, xác suất của nó luôn thỏa mãn điều kiện .
Vậy phương án B sai.
Câu 2:
Tính
Đáp án A.
Cách 1. tư duy tự luận
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
vậy
Cách 3: Sử dụng quy tắc L’Hospital và máy tính cầ tay
Vậy
Câu 3:
Cho hàm số . Chọn khẳng định đúng
Đáp án B.
Tập xác định: .
Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất không thể đồng biến (hay nghịch biến) trên R và hàm số không có cực trị. Loại A, C, D.
Câu 4:
Cho hàm số Tính .
Đáp án D.
Cách 1: Tư duy tự luận
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
vậy
Câu 5:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau
Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Đáp án D.
Quan sát bảng biến thiên, ta thấy:
Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng là và . A đúng.
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng . B đúng.
Hàm số không có đạo hàm tại điểm , tuy nhiên vẫn đạt giá trị cực đại y=2 tại x=0 . C đúng.
Hàm số không đạt cực trị tại điểm x=1 . D sai.
Cách 1: Tư duy tự luận
Do nên . Vậy A đúng.
Do nên (hiển nhiên). Vậy B đúng.
Do nên . Vậy C đúng.
Do nên (vô lý). Vậy D sai.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Như vậy nếu thì . Đáp án D sai.
Câu 7:
Tìm các nghiệm của phương trình
Đáp án C.
Cách 1: Tư duy tự luận
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Vậy phương trình có một nghiệm là x=6
Câu 8:
Họ nguyên hàm của hàm số là
Đáp án C.
Cách 1: Tư duy tự luận
Đặt
suy ra
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
vây
Câu 9:
Tính tích phân
Đáp án A.
Cách 1: Tư duy tự luận
đặt
suy ra
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
vậy
Câu 10:
Căn bậc hai của số phức là
Đáp án D.
Cách 1: Tư duy tự luận
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Vậy các căn bậc hai của số phức z là
Câu 11:
Cho hình lăng trụ ABC A'B'C' có AA'=a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Tam giác ABC vuông tại C và góc . Hình chiếu vuông góc của B' lên mặt phẳng trùng với trọng tâm của . Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a
Đáp án D.
Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, từ giả thiết suy ra .
Khi đó
Ta có
Gọi M là trung điểm BC, suy ra .
Đặt .
Lại có
(đvdt).
Vậy (đvtt).
Câu 12:
Một hình nón có diện tích đáy bằng và diện tích xung quanh bằng . Thể tích khối nón là
Đáp án A.
Từ giả thiết ta có
Vậy thể tích khối nón là
Câu 13:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng và . Khẳng định nào sau đây đúng?
Đáp án C.
Phương trình tham số của đường thẳng
Đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương (VTCP) là và . Suy ra và . Loại B, D.
Xét hệ phương trình
cắt nhau
Vậy cắt và vuông góc với .
Câu 14:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng . Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là
Đáp án D.
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến (VTPT) là
Ghi nhớ: Mặt phẳng có VTPT là , với
Câu 15:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu . Tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là
Đáp án B.
Mặt cầu (S) có tâm , bán kính .
Ghi nhớ: Mặt cầu có tâm , bán kính R.
Câu 16:
Tìm hệ số của trong khai triển
Đáp án C.
Cách 1: Tư duy tự luận
Với
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển là
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
trong đó
Sử dụng TABLE, nhập vào máy và . Chọn Start = 0, End = 15, Step = 1.
Quan sát bảng giá trị, ta thấy tại (do ) thì và là hệ số của số hạng chứa trong khai triển.
Cách 3: Sử dụng công thức tính hệ số khai triển n - thức
Ta có hệ phương trình
Vậy hệ số của số hạng chứa trong khai triển là
Câu 17:
Tính tổng
Đáp án C.
Cách 1: Tư duy tự luận
Xét khai triển (*)
Với thay vào (*) ta được
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Câu 18:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, . Khẳng định nào dưới đây là sai?
Đáp án B.
Ta có và . Vậy A, C đúng.
Do vuông tại B nên .
Ta có
Vậy B đúng.
Câu 19:
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, và vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng bằng
Đáp án A.
Ta có nên A là hình chiếu của S trên mặt phẳng . Suy ra AD là hình chiếu của SD trên mặt phẳng .
Khi đó (do ).
Do vuông tại A nên .
Vậy .
Câu 20:
Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng . Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh a và đáy ABCD là hình bình hành. Khoảng cách giữa SA và CD bằng
Đáp án D.
Ta có
Từ giả thiết, ta có và
Lại có
Vậy
Câu 21:
Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân có và
Đáp án B.
Gọi là số hạng đầu và q là công bội của cấp số nhân .
Từ giả thiết ta có:
Câu 22:
Cho hàm số . Chọn khẳng định đúng
Đáp án C.
Tập xác định: .
Nếu thì hàm số liên tục trên mỗi khoảng và .
Nếu thì và
Suy ra và hàm số liên tục tại điểm x=0.
Nếu thì và
Suy ra và hàm số liên tục tại điểm x=1.
Vậy hàm số liên tục trên R .
Câu 23:
Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn?
Đáp án A.
Cách 1: Tư duy tự luận
Các hàm số đã cho đều có tập xác định là , khi đó .
Với A:
Suy ra hàm số chẵn trên . Chọn A.
Với B:
Suy ra hàm số không chẵn, không lẻ trên . Loại B.
Với C:
Suy ra hàm số lẻ trên R . Loại C.
Với D:
Suy ra hàm số lẻ trên R . Loại D.
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Các hàm số đều có tập xác định là R nên .
* Với A: Dùng TABLE, nhập hai hàm số và
Câu 24:
Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
Đáp án A.
Đặt và .
Ta có và không xác định, .
uy ra đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Câu 25:
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số luôn tăng trên R là
Đáp án D.
Tập xác định: Đạo hàm
Do phương trình có tối đa hai nghiệm.
Để hàm số đồng biến (tăng) trên khi và chỉ khi .
Câu 26:
Biết . Khi đó giá trị của được tính theo m là
Đáp án A.
Cách 1: Tư duy tự luận
Ta có
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Câu 27:
Biểu thức , viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ là
Đáp án A.
Cách 1: Tư duy tự luận
Ta có
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Câu 28:
Công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số , liên tục trên đoạn và hai đường thẳng , với là
Đáp án C.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số , liên tục trên đoạn và hai đường thẳng ()được tính theo công thức:
Câu 29:
Biết phương trình , có một nghiệm phức là . Tìm a, b
Đáp án D.
Cách 1: Tư duy tự luận
Do là một nghiệm phức của phương trình nên ta có
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay:
Loại ngay hai phương án A, B vì các giá trị a, b cần tìm phải cùng đồng thời thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 30:
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm . Tọa độ điểm đối xứng với A qua mặt phẳng là
Đáp án C.
Gọi điểm H là hình chiếu của trên mặt phẳng , khi đó .
Điểm A' đối xứng với qua mặt phẳng nên là trung điểm AA' . Khi đó
Câu 31:
Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc
Đáp án C.
Đặt , PT trở thành
(1)
Xét hàm số trên .
Đạo hàm . Suy ra hàm số nghịch biến trên . Như vậy phương trình có không quá một nghiệm trên .
Nhận thấy nên phương trình (1) có duy nhất một nghiệm . Suy ra .
Cho Do nên . Vậy có tất cả giá trị k nguyên thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 1285 nghiệm trên .
Câu 33:
Tính đạo hàm của hàm số
Đáp án B.
Cách 1: Tư duy tự luận
Ta có
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay
Câu 34:
Cho hàm số với a là tham số. Biết là giá trị của tham số a để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Đáp án C.
Ta có . Để hàm số đạt cực trị tại hai điểm thì phương trình phải có hai nghiệm phân biệt .
Có
Theo định lý Vi-ét ta có
Từ
.
Với thì và . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương và ta có:
Dấu “=” xảy ra
Vậy là giá trị cần tìm, suy ra .
Câu 35:
Cho hàm số . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị tạo với gốc tọa độ O một tam giác vuông tại O khi
Đáp án B.
Đạo hàm . Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt
Vậy đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị với mọi m.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là .
Suy ra tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là và .
Yêu cầu bài toán vuông tại
Sử dụng MTCT để xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:
Ta có . Đưa máy tính về chế độ CMPLX và nhập vào máy biểu thức (coi ).
Ấn , máy hỏi X? Nhập . Máy hỏi Y? Nhập
Máy hiện kết quả bằng .
Phân tích kết quả: Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là
Câu 36:
Cho tổng . Khi viết M dưới dạng một số trong hệ thập phân thì số này có bao nhiêu chữ số?
Đáp án D.
Xét khai triển
Chọn ta có:
Vậy số chữ số của là
Nhập vào màn hình :
Máy hiện kết quả bằng 1411.
Câu 37:
Cho hàm số có đồ thị (C), biết rằng (C) đi qua điểm . Tiếp tuyến d tại A của (C) cắt (C) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x=0, x=2 bằng (phần tô đậm trong hình vẽ).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và hai đường thẳng x= -1, x=0 có diện tích bằng
Đáp án D.
Ta có . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm là đường thẳng
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C) là:
(*)
Quan sát đồ thị, ta thấy đường thẳng d cắt đồ thị tại hai điểm có hoành độ nên phương trình (*) có hai nghiệm .
Suy ra
(1)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d, đồ thị (C) và hai đường thẳng là
Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) ta tìm được: .
Suy ra và . Diện tích hình phẳng cần tính là:
(đvdt).
Câu 38:
Chất điểm chuyển động theo một đường thẳng sau t giây đạt được vận tốc (m/s). Tính quãng đường nó đi được trong t giây đầu tiên
Đáp án B.
Gọi là quãng đường mà chất điểm đi được sau t giây đầu tiên. Khi đó là nguyên hàm của vận tốc . Hay .
Đặt
Đặt
Vậy
Câu 39:
Cho hình phẳng D giới hạn bởi parabol và trục hoành . Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng D quanh trục Oy
Đáp án C.
Ta có
với .
Thể tích khối tròn xoay cần tính là:
Câu 40:
Cho hai số phức thỏa mãn . Xét số phức . Tìm
Đáp án A.
Từ
Từ
Ta có hệ phương trình sau
Vậy
Câu 41:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' và bằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD' là . Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho
Đáp án C.
Giả sử các kích thước của hình hộp chữ nhật là , , . Trong đó . Để giải bài toán, ta phân tích từng dữ kiện có trong đề bài.
1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C bằng .
Ta có
với H là hình chiếu của A trên .
Từ (1)
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' bằng .
Tương tự, ta chứng minh được
với K là hình chiếu của B trên AB'.
Từ (2)
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD' là .
Gọi là trung điểm của BD. Gọi I là trung điểm của DD' thì OI là đường trung bình của
Ta thấy DI, DA, DC đôi một vuông góc với nhau nên:
(3)
Giải hệ phương trình gồm (1), (2) và (3) ta tìm được: .
Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là (đvtt).
Câu 42:
Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng 4dm. Người ta cắt ra hình quạt tâm O bán kính dm (hình vẽ) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón (khi đó OA trùng với OB). Chiều cao của chiếc phếu có số đo gần đúng (làm tròn đến 3 chữ số thập phân) là
Đáp án D.
Cung AB có bán kính và số đo bằng nên có độ dài là .
Từ giả thiết ta có đỉnh của hình nón là O, đường sinh và chu vi đáy hình nón là .
Gọi I là tâm đáy, khi đó bán kính đáy của hình nón là (dm).
Do vuông tại I nên ta có
(dm).
Câu 43:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, biết rằng tập hợp các điểm sao cho là một hình đa diện. Tính thể tích V của khối đa diện đó
Đáp án C.
Ta có . Suy ra tập hợp các điểm là 8 mặt chắn có phương trình: ;
Các mặt chắn này cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm , .
Từ đó, tập hợp các điểm thỏa mãn là các mặt bên của bát diện đều (hình vẽ) cạnh bằng .
Thể tích khối bát diện đều là (đvtt).
Câu 44:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình lần lượt là và . Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo một giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng
Đáp án D.
Mặt cầu (S) có tâm và bán kính R=5 . Mặt phẳng nên (Q) có phương trình là .
Mặt phẳng (Q) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính r, chu vi bằng nên .
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (Q) là .
Khi đó
Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là
Câu 45:
Trong một hình tứ diện ta tô màu các đỉnh, trung điểm các cạnh, trọng tâm các mặt và trọng tâm tứ diện. Chọn ngẫu nhiên 4 điểm trong số các điểm đã tô màu. Tính xác suất để 4 điểm được chọn là 4 đỉnh của một hình tứ diện.
Đáp án A.
Có tất cả 15 điểm được tô màu gồm 4 đỉnh của tứ diện, 6 trung điểm của 6 cạnh, 4 trọng tâm của 4 mặt bên và 1 trọng tâm của tứ diện.
Không gian mẫu là “Chọn ngẫu nhiên 4 trong số 15 điểm đã tô màu”. Số phần tử của không gian mẫu là .
Gọi A là biến cố “4 điểm được chọn đồng phẳng”. Suy ra là biến cố “4 điểm được chọn là 4 đỉnh của một hình tứ diện”. Để xác định số kết quả thuận lợi cho biến cố A ta xét các trường hợp sau:
a. 4 điểm cùng thuộc “một mặt bên của tứ diện”
Một mặt bên có 7 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên một mặt bên là (cách).
Có tất cả 4 mặt bên nên số cách chọn thỏa mãn trường hợp a. là (cách).
b. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 1 cạnh của tứ diện và trung điểm của cạnh đối diện:.
Mặt phẳng đó có 7 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên mỗi mặt là (cách).
Hình tứ diện có 6 cạnh nên có tất cả 6 mặt như thế. Số cách chọn 4 điểm thỏa mãn trường hợp b. là (cách).
c. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 1 đỉnh và đường trung bình của tam giác đối diện đỉnh đó”.
Mặt phẳng đó có 5 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) trên mỗi mặt là (cách).
Do mỗi mặt bên là một tam giác có 3 đường trung bình, nên mỗi đỉnh có tương ứng 3 mặt phẳng như thế (chứa đỉnh và đường trung bình). Mà tứ diện có 4 đỉnh nên có tất cả mặt phẳng ở trường hợp c.
Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp c. là (cách).
d. 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng “chứa 2 đường nối 2 trung điểm của các cạnh đối diện”.
Có 3 đường nối 2 trung điểm của các cạnh đối diện. Số mặt phẳng được tạo thành từ 2 trong 3 đường đó là (mặt phẳng).
Mỗi mặt phẳng như thế có 5 điểm được tô màu nên số cách chọn 4 điểm (đồng phẳng) là (cách).
Vậy số cách chọn thỏa mãn trường hợp d. là (cách).
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là .
Vậy xác suất cần tính là
Câu 46:
Cho hình chóp S.ABCD có . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng , góc tạo bởi SC và mặt phẳng đáy bằng 60°, và có diện tích bằng . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là
Đáp án A.
1. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Ta có
vuông tại B.
Lại có
vuông tại D.
Mặt khác vuông tại A.
Gọi I là trung điểm của SC. Các tam giác: lần lượt vuông tại các đỉnh A, B và D nên . Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I, bán kính
2. Tính diện tích mặt cầu
Ta có
Do vuông tại A nên
Mà
Vậy bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là và diện tích mặt cầu là (đvdt).
Câu 47:
Sự tăng trưởng của một loài vi khuẩn tuân theo công thức , trong đó A là số lượng vi khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng và t là thời gian tăng trưởng. Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 250 con và sau 12 giờ là 1500 con. Hỏi sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 216 lần số lượng vi khuẩn ban đầu?
Đáp án D.
Từ giả thiết, ta có số lượng vi khuẩn ban đầu là con và sau giờ thì số lượng vi khuẩn là con.
Áp dụng công thức ta có: .
Sau khoảng thời gian là giờ, số lượng vi khuẩn tăng gấp 216 lần số lượng vi khuẩn ban đầu nên
giờ.
Câu 48:
Cho là bốn nghiệm của phương trình . Tính giá trị của biểu thức
Đáp án C.
Ta có . Đặt . Phương trình có 4 nghiệm nên
Do nên . Từ đó ta có:
Câu 49:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét các điểm với a, b, c khác 0 và . Biết rằng khi a, b, c thay đổi thì quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC thuộc mặt phẳng (P) cố định. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P)
Đáp án A.
1. Tìm tọa độ tâm I ngoại tiếp tứ diện OABC
Gọi M là trung điểm của AB thì . Đường thẳng d là trục của nên d đi qua M và nhận vecto chỉ phương
Phương trình tham số của đường thẳng .
Gọi N là trung điểm của OC thì .
Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của OC nên (P) đi qua M và nhận vecto pháp tuyến là .
Phương trình tổng quát của mặt phẳng .
Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), tức .
2. Tìm mặt phẳng (P) là quỹ tích của tâm I và tính .
Ta có
Mà nên
Vậy điểm I luôn nằm trên một mp cố định có pt là .
Vậy
Câu 50:
Cho hàm số liên tục và không âm trên R thỏa mãn và . Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn . Biết rằng giá trị của biểu thức có dạng , . Tính
Đáp án B.
Từ
(1)
Đặt
Suy ra và
Từ (1) ta suy ra . Do nên .
Như vậy
(do ).
Ta có Hàm số đồng biến trên R nên cũng đồng biến trên .
Khi đó và .
Vậy