50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 2)

Câu 1:

Nghiệm của phương trình $2^{2 x - 1} = 2^{x} {.2}^{2020}$ bằng

A. 2018.

B. 2021.

C. 2019.

D. 2020.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

2^{2 x - 1} = 2^{x} {.2}^{2020} \Leftrightarrow 2^{2 x - 1} = 2^{x + 2020} \Leftrightarrow 2 x - 1 = x + 2020 \Leftrightarrow 2 x - x = 2020 + 1 \Leftrightarrow x = 2021

Câu 2:

Điểm A trong hình vẽ dưới là điểm biểu diễn của số phức

A. $z = 2 - 2 i$

B. $z = - 2 - 2 i$

C. $z = 2 + 2 i$

D. $z = - 2 + 2 i$

Xem đáp án

: Đáp án A

Điểm $A (2; - 2)$ biểu diễn số phức $z = 2 - 2 i$ .

Câu 3:

Cho hàm số

y = f (x)

có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề dưới đây.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$ .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(- 1; 1)

.

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; 1) \cup (1; 2)

.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(5; + \infty)

.

Xem đáp án

Đáp án D

Dựa vào Bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$ .

Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(0; 1)$ và $(1; 2)$ .

Câu 4:

Cho điểm $M (1; 2; 4)$ , hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng $(y O z)$ là điểm

A. $M^{'} (2; 0; 4)$

B. $M^{'} (0; 2; 4)$

C. $M^{'} (1; 0; 0)$

D. $M^{'} (1; 2; 0)$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $(y O z) : x = 0$ Þ Hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng $(y O z)$ là $M^{'} (0; 2; 4)$ .

Câu 5:

Họ nguyên hàm của hàm số $f (x) = - \sin x + e^{x} + 5 x$ là

A. $\cos x + e^{x} + \frac{5}{2} x^{2} + C$

B. $\cos x + e^{x} + 10 x^{2} + C$

C. $- \cos x + e^{x} + \frac{5}{2} x^{2} + C$

D. $- \cos x + \frac{e^{x}}{x + 1} + \frac{5}{2} x^{2} + C$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có

\int (- \sin x + e^{x} + 5 x) d x = - \int \sin x d x + \int e^{x} d x + \int 5 x d x = \cos x + e^{x} + \frac{5}{2} x^{2} + C

Câu 6:

Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Đường cong trong hình vẽ sau là đồ thị của hàm số nào dưới đây? (ảnh 1)

A. $y = x^{3} - 2 x - 1$

B. $y = - x^{3} - 2 x + 1$

C. $y = - x^{3} + x^{2} + 1$

D. $y = x^{3} - 2 x + 1$

Xem đáp án

Đáp án D

Đồ thị hàm số có nhánh ngoài cùng bên phải hướng lên nên loại B và C.

Ta có: $y (0) > 0$ nên loại A Þ Chọn D.

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z}{4}$ có một vectơ chỉ phương là

A. $\vec{u_{3}} = (2; - 3; 0)$

B. $\vec{u_{1}} = (2; - 3; 4)$

C. $\vec{u_{4}} = (1; 2; 4)$

D. $\vec{u_{2}} = (1; 2; 0)$

Xem đáp án

Đáp án B

Đường thẳng d có phương trình chính tắc $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{- 3} = \frac{z}{4}$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; - 3; 4)$ .

Tổng quát: Đường thẳng d có phương trình chính tắc $d : \frac{x - x_{0}}{a} = \frac{y - y_{0}}{b} = \frac{z - z_{0}}{c}$ có một vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ .

Câu 8:

Cho khối chóp S.ABC có $S A ⊥ (A B C), S A = a$ , đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a. Thể tích của khối tứ diện S.ABC là

A. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{12}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{12}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

S_{A B C} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}, V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S A . S_{A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}

.

Câu 9:

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ trên đoạn $[1; 3]$ . Giá trị $T = 2 M + m$ bằng

A. 3

B. 5

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ .

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = 2 \end{array}$ .

Ta có: $\{\begin{cases} y (1) = 1 \\ y (2) = - 1 \\ y (3) = 3 \end{cases}$ và hàm số liên tục trên $[1; 3]$ .

Suy ra $\max_{x \in D} y = 3$ và $\min_{x \in D} y = - 1$ . Suy ra $M = 3$ và $m = - 1$ . Vậy $T = 5$ .

Câu 10:

Với a, b là hai số dương tùy ý. Khi đó $\ln (a^{3} b^{2})$ có giá trị bằng

A. $6 \ln a . \ln b$

B. $2 \ln a + 3 \ln b$

C. $\frac{1}{3} \ln a + \frac{1}{2} \ln b$

D. $3 \ln a + 2 \ln b$

Xem đáp án

Đáp án D

Với a, b là hai số dương tùy ý, ta có: $\ln (a^{3} b^{2}) = \ln a^{3} + \ln b^{2} = 3 \ln a + 2 \ln b$ .

Câu 11:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = \cos 5 x

.

A. $\int f (x) d x = - \frac{1}{5} \sin 5 x + C$

B. $\int f (x) d x = 5 \sin 5 x + C$

C. $\int f (x) d x = \frac{1}{5} \sin 5 x + C$

D. $\int f (x) d x = - 5 \sin 5 x + C$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

\int f (x) d x = \int \cos 5 x d x = \frac{1}{5} \int \cos 5 x d (5 x) = \frac{1}{5} \sin 5 x + C

Câu 12:

Cho hình nón đỉnh S có bán kính

R = a \sqrt{2}

, góc ở đỉnh bằng 60°. Diện tích xung quanh của hình nón bằng

A. $4 π a^{2}$

B. $3 π a^{2}$

C. $2 π a^{2}$

D. $π a^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\hat{B S O} = \frac{1}{2} \hat{A S B} = 30 °$ .

Xét tam giác SOB vuông tại O có: $l = S B = \frac{O B}{\sin \hat{B S O}} = 2 a \sqrt{2}$ .

Diện tích xung quanh của hình nón $S_{x q} = π R l = π . a \sqrt{2} .2 a \sqrt{2} = 4 π a^{2}$

.

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng $(P) : 2 x + 3 y - 4 z - 15 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là

A. $\vec{n} = (- 2; - 3; 4)$

B. $\vec{n} = (2; - 3; 4)$

C. $\vec{n} = (- 2; 3; 4)$

D. $\vec{n} = (- 2; 3; - 4)$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 14:

Cho hàm số f(x)có bảng biến thiên như hình dưới đây.

Hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm

A. $x = - 4$

B. $x = 3$

C. $x = 0$

D. $x = - 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 15:

Cho cấp số nhân

(u_{n})

có công bội

q > 0, u_{2} = 4, u_{4} = 9

, giá trị của

u_{5}

bằng

A. $\frac{81}{4}$

B. $\frac{- 27}{2}$

C. $6$

D. $\frac{27}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có: $\{\begin{cases} u_{4} = u_{1} . q^{3} \\ u_{2} = u_{1} . q \end{cases} \Rightarrow q^{2} = \frac{u_{4}}{u_{1}} = \frac{9}{4} \Rightarrow q = \frac{3}{2}$ .

Suy ra $u_{5} = u_{4} . q = \frac{27}{2}$ .

Câu 16:

Cho hàm số $f (x)$ có bảng biến thiên như sau

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau Số nghiệm thực của phương trình 2f(x) - 8=0 là (ảnh 1)

Số nghiệm thực của phương trình $2 f (x) - 8 = 0$ là

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $2 f (x) - 8 = 0 \Leftrightarrow f (x) = 4$ .

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng $y = 4$ và đồ thị hàm số $y = f (x)$ .

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 17:

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và BD' bằng

A. $\frac{a \sqrt{2}}{2}$

B. a

C. $2 a$

D. $a \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Do

\{\begin{cases} B D / / B^{'} D^{'} \\ B D / / (A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}) \end{cases}

nên

d (B D, B^{'} D^{'}) = d (B, B^{'} D^{'}) = B B^{'} = a

.

Cho hình lập phương ABCDA'B'C'D' có cạnh bằng a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và BD' bằng (ảnh 1)

Câu 18:

Có bao nhiêu số phức z có phần thực bằng 1 và

|z + 1 - 2 i| = \sqrt{5}

A.2

B.1

C.3

D.0

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi số phức có phần thực bằng 1 là $z = 1 + b i, b \in ℝ$ . Khi đó, ta có:

$|1 + b i + 1 - 2 i| = \sqrt{5} \Leftrightarrow |2 + (b - 2) i| = \sqrt{5} \Leftrightarrow 4 + {(b - 2)}^{2} = 5 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} b = 3 \\ b = 1 \end{array}$ .

Vậy chỉ có hai số phức thỏa mãn.

Câu 19:

Đạo hàm của hàm số $y = \log_{2}^{2} (2 x + 1)$ là

A. $\frac{2 \log_{2} (2 x + 1)}{(2 x + 1) \ln 2}$

B. $\frac{4 \log_{2} (2 x + 1)}{(2 x + 1) \ln 2}$

C. $\frac{\log_{2} (2 x + 1)}{(2 x + 1) \ln 2}$

D. $\frac{2}{(2 x + 1) \ln 2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y^{'} = {[\log_{2}^{2} (2 x + 1)]}^{'} = 2 \log_{2} (2 x + 1) . {[\log_{2} (2 x + 1)]}^{'} = 2 \log_{2} (2 x + 1) . \frac{2}{(2 x + 1) . \ln 2} = \frac{4 \log_{2} (2 x + 1)}{(2 x + 1) . \ln 2}$ .

Câu 20:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn $[- 2; 3]$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[- 2; 3]$ . Giá trị của $M^{2} - m$ bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-2;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất (ảnh 1)

A. 7

B.10

C. 8

D. 9

Xem đáp án

Đáp án B

Hàm số liên tục trên $[2; - 3]$ . Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

Giá trị lớn nhất của $f (x)$ trên $[2; - 3]$ bằng 3, đạt được tại x =2. Suy ra M =3.

Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên $[2; - 3]$ bằng -1, đạt được tại x= - 2. Suy ra m=-1.

Vậy $M^{2} - m = 3^{2} - (- 1) = 10$ .

Câu 21:

Tích phân $I = \int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + 2) d x$ bằng

A. $\ln 2 - 1$

B. $\ln 2 + 1$

C. $\ln 2 + 2$

D. $\ln 2 + 3$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $I = \int_{1}^{2} (\frac{1}{x} + 2) d x = {(\ln |x| + 2 x)|}_{1}^{2} = \ln 2 + 4 - 2 = \ln 2 + 2$ .

Câu 22:

Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, $\hat{A B C} = 60 °$ , cạnh BC =a, đường chéo AB’ của mặt bên (ABA’B’) tạo với mặt phẳng (BCB’C’) một góc 30°. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng

A. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

B. $a^{3} \sqrt{6}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

D. $a^{3} \sqrt{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Tam giác ABC vuông tại C có $\hat{A B C} = 60 °; B C = a$ , suy ra $A C = B C \tan 60 ° = a \sqrt{3}$ .

Khi đó: $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A C . B C = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{2}$ .

Mặt khác: $A C ⊥ (B C C^{'} B^{'})$ suy ra góc giữa $A B^{'}$ và mặt phẳng $(B C C^{'} B^{'})$ là $\hat{A B^{'} C} = 30 °$ .

Tam giác AB'C vuông tại C có $\hat{A B^{'} C} = 30 °$ ; $A C = a \sqrt{3}$ suy ra $B^{'} C = \frac{A C}{\tan 30 °} = 3 a$ .

Tam giác BB'C vuông tại B có $B C = a; B^{'} C = 3 a \Rightarrow B B^{'} = 2 \sqrt{2} a$ .

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{Δ A B C} . B B^{'} = a^{3} \sqrt{6}$ .

Câu 23:

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình

3 \log_{3} (x - 1) - \log_{\frac{1}{3}} {(x - 5)}^{3} = 3

bằng

A. $36$

B.32

C. $16 - 6 \sqrt{7}$

D. $16 + 6 \sqrt{7}$

Xem đáp án

Đáp án D

Điều kiện: $x > 5$ .

Ta có: $3 \log_{3} (x - 1) - \log_{\frac{1}{3}} {(x - 5)}^{3} = 3 \Leftrightarrow 3 \log_{3} (x - 1) + 3 \log_{3} (x - 5) = 3$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x - 1) + \log_{3} (x - 5) = 1 \Leftrightarrow \log_{3} [(x - 1) (x - 5)] = 1 \Leftrightarrow (x - 1) (x - 5) = 3$

$\Leftrightarrow x^{2} - 6 x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt{7}$ .

Đối chiếu điều kiện suy ra phương trình có 1 nghiệm $x = 3 + \sqrt{7} \Rightarrow x^{2} = 16 + 6 \sqrt{7}$ .

Câu 24:

Kí hiệu $a = \log_{8} 5, b = \log_{6} 2$ , khi đó giá trị của $\log_{3} 10$ bằng

A. $\frac{b + 3 a b}{1 - b}$

B. $\frac{a + b}{1 - a}$

C. $\frac{a b - a + b}{1 + b}$

D. $\frac{a b - b}{1 - a b}$

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $x = \log_{3} 5, y = \log_{3} 2$ . Khi đó $\{\begin{cases} a = \log_{8} 5 = \frac{\log_{3} 5}{\log_{3} 8} = \frac{x}{3 y} \\ b = \log_{6} 2 = \frac{\log_{3} 2}{\log_{3} 6} = \frac{y}{1 + y} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 a y = x \\ b + b y = y \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x = \frac{3 a b}{1 - b} \\ y = \frac{b}{1 - b} \end{cases}$ .

Mặt khác: $\log_{3} 10 = x + y = \frac{3 a b}{1 - b} + \frac{b}{1 - b} = \frac{3 a b + b}{1 - b}$ .

Câu 25:

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $2 |z - 1| = |z + \bar{z} + 2|$ trên mặt phẳng tọa độ là một

A. đường thẳng.

B. đường tròn.

C. parabol.

D. hypebol.

Xem đáp án

Đáp án C

Giả sử $z = x + y i, (x, y \in ℝ) \Rightarrow \bar{z} = x - y i \Rightarrow z + \bar{z} = 2 x$ .

Bài ra ta có $2 |x - 1 + y i| = |2 x + 2| \Leftrightarrow 2 \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = |2 x + 2|$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} = {(x + 1)}^{2} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x + 1 + y^{2} = x^{2} + 2 x + 1 \Leftrightarrow y^{2} = 4 x$ .

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn $2 |z - 1| = |z + \bar{z} + 2|$ trên mặt phẳng tọa độ là một parabol.

Câu 26:

Cho hàm số $f (x)$ có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: (ảnh 1)

Các khoảng nghịch biến của hàm số $y = 2 f (1 - x)$ là

A. $(4; + \infty)$ và (4;3)

B. $(- \infty; - 3)$ và $(- 2; 0)$

C. $(- 3; 1)$ và (2;4)

D. $(- \infty; 1)$ và (3;4)

Xem đáp án

: Đáp án B

Ta có: $y^{'} - 2. f^{'} (1 - x)$ . Khi đó: $y^{'} = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} 1 - x = 1 \\ 1 - x = 2 \\ 1 - x = 3 \\ 1 - x = 4 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = - 1 \\ x = - 2 \\ x = - 3 \end{array}$ .

Ta có trục xét dấu

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: (ảnh 2)

Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 3)$ và $(- 2; 0)$ .

Câu 27:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 2}{3}$ và $d_{2} : \frac{x + 1}{4} = \frac{y + 5}{2} = \frac{z - 1}{6}$ . Xét vị trí tương đối giữa $d_{1}$ và $d_{2}$ .

A. $d_{1}$ chéo $d_{2}$ .

B.

d_{1}

trùng

d_{2}

.

C.

d_{1}

song song với

d_{2}

.

D.

d_{1}

cắt

d_{2}

.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có:

$d_{1}$ qua $M_{1} (3; 1; - 2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; 1; 3)$ .

$d_{2}$ qua $M_{2} (- 1; - 5; 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (4; 2; 6) = 2. (2; 1; 3)$ .

Ta có $\vec{u_{2}} = 2 \vec{u_{1}}$ nên $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và $M_{1} \notin d_{2}$ nên suy ra $d_{1}$ song song với $d_{2}$ .

Câu 28:

Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $P (x) = {(x^{2} + \frac{1}{x})}^{15}$ là

A. 4000.

B. 2700.

C. 3003.

D. 3600.

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $P (x) = {(x^{2} + \frac{1}{x})}^{15} = \sum_{k = 0}^{15} C_{15}^{k} {(x^{2})}^{15 - k} . {(\frac{1}{x})}^{k} = \sum_{0}^{15} C_{15}^{k} x^{30 - 3 k}$ .

Số hạng cần tìm không chứa x $\Rightarrow 30 - 3 k = 0 \Leftrightarrow k = 10$ .

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển của $P (x)$ là $C_{15}^{10} = 3003$ .

Câu 29:

Diện tích hình phẳng phần màu xám của hình vẽ bên là

Diện tích hình phẳng phần màu xám của hình vẽ bên là (ảnh 1)

A. $\frac{11}{6}$

B. $\frac{61}{3}$

C. $\frac{343}{162}$

D. $\frac{39}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^{2} = - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{4}{3} \\ x = 1 \end{array}; - \frac{1}{3} x + \frac{4}{3} = 0 \Leftrightarrow x = 4$

Vậy diện tích phần gạch sọc trong hình là $S = \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{1}^{4} (- \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}) d x = \frac{11}{6}$ .

Câu 30:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A (- 1; 3; 2), B (2; 0; 5), C (0; - 2; 1)$ . Đường trung tuyến AM của tam giác ABC có phương trình là

A. $\frac{x - 1}{- 2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z + 2}{- 1}$

B. $\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{- 4} = \frac{z + 2}{1}$

C. $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 2}{1}$

D. $\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y + 4}{- 1} = \frac{z + 1}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Do M là trung điểm BC nên ta có: $M (1; - 1; 3)$ .

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng AM là $\vec{A M} = (2; - 4; 1)$ .

Vậy phương trình đường thẳng AM là $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{- 4} = \frac{z - 2}{1}$ .

Câu 31:

Trên mặt phẳng (P) cho ba hình tròn bán kính a tâm là $O_{1}; O_{2}; O_{3}$ đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Ba hình tròn đó là ba đáy của ba hình nón mà các đỉnh tương ứng là ba điểm $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng (P) và cùng cách (P) một khoảng $2 a \sqrt{2}$ . Mặt cầu tiếp xúc với $(S_{1} S_{2} S_{3})$ và tiếp xúc ngoài với ba hình nón trên có bán kính bằng

A. $a \sqrt{2}$

B. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$

C. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Trên mặt phẳng (P) cho ba hình tròn bán kính a tâm là O1;O2;03 đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. B (ảnh 1)

Gọi mặt cầu cần tìm là (O;R) và tiếp điểm của nó với $(S_{1} S_{2} S_{3})$ là I. Thiết diện qua $O, O_{1}, S_{1}$ như hình vẽ trên. Dễ thấy $S_{1} I = \frac{2 a \sqrt{3}}{3}$ .

Mặt khác, ta có: $S_{Δ S_{1} A B} = (\frac{S_{1} A + S_{1} B + 2 a}{2}) . O_{1} K \Leftrightarrow O_{1} K = \frac{2 a^{2} \sqrt{2}}{(a + 3 a)} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ .

Ta có: $Δ S_{1} I O Δ A O_{1} K \Rightarrow \frac{O I}{O_{1} K} = \frac{I S_{1}}{A O_{1}} \Rightarrow R = O I = \frac{\frac{2 a \sqrt{3}}{3} . \frac{a \sqrt{2}}{2}}{a} = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Câu 32:

Cho hàm số $f^{'} (x) = (2 x + 1) . f^{2} (x)$ và $f (1) = - 0,5$ .

Tổng $f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (2017) + f (2018) + f (2019) + f (2020) = \frac{a}{b}; (a \in ℤ; b \in ℕ)$ với $\frac{a}{b}$ tối giản. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\frac{a}{b} < - 1$

B. $a \in (- 2019; 2019)$

C. $b - a = 4041$

D. $a + b = - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $f^{'} (x) = (2 x + 1) . f^{2} (x) \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{f^{2} (x)} = 2 x + 1 \Leftrightarrow \int \frac{f^{'} (x)}{f^{2} (x)} d x = \int (2 x + 1) d x$

$\Leftrightarrow - \frac{1}{f (x)} = x^{2} + x + C \Rightarrow \frac{1}{f (x)} = - x^{2} - x - C$ .

Lại có: $f (1) = - 0,5 \Rightarrow - 2 = - 1^{2} - 1 - C \Rightarrow C = 0$ .

Vậy $\frac{1}{f (x)} = - (x^{2} + x) = - x (x + 1)$ hay $- f (x) = \frac{1}{x (x + 1)}$ .

Ta có: $- f (1) - f (2) - f (3) - ... - f (2017) - f (2018) - f (2019) - f (2020)$

$= \frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + \frac{1}{2018.2019} + \frac{1}{2019.2020} + \frac{1}{2020 - 2021}$

$= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{2018} - \frac{1}{2019} + \frac{1}{2019} - \frac{1}{2020} + \frac{1}{2020} - \frac{1}{2021} = 1 - \frac{1}{2021} = \frac{2020}{2021}$ .

Vậy $f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (2020) = \frac{- 2020}{2021}$ hay $a = - 2020, b = 2021 \Rightarrow b - a = 4042$ .

Câu 33:

Cho parabol $(P) : y = x^{2}$ , điểmA(0;2) . Một đường thẳng đi qua A cắt (P) tại hai điểm B, C sao cho $A C = 2 A B$ như hình vẽ bên. Gọi (H) là hình giới hạn bởi (P) và đường thẳng AB. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục hoành bằng.

Cho parabol (P):y=x^2 , điểm A(0;2) . Một đường thẳng đi qua A cắt (P) tại hai điểm B, C sao cho (ảnh 1)

A. $\frac{138}{5} π$

B. $\frac{72}{5} π$

C. $\frac{12}{5} π$

D. $\frac{78}{5} π$

Xem đáp án

Đáp án B

Đường thẳng đi qua điểm A có phương trình là $y = k x + 2, (k > 0)$ .

Phương trình hoành độ giao điểm giữa parabol và đường thẳng là: $x^{2} = k x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - k x - 2 = 0$ .

Giả sử $B (x_{1}; x_{1}^{2}); C (x_{2}; x_{2}^{2})$ thì $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = k \\ x_{1} . x_{2} = - 2 \end{cases} (1)$ .

Từ giả thiết: $A C = 2 A B \Rightarrow x_{2} = - 2 x_{1}$ thay vào (1) ta được $\{\begin{cases} x_{1} = - 1 \\ x_{2} = 2 \end{cases} \Rightarrow k = 1$ .

Do đó $V = π \int_{- 1}^{3} [{(x + 2)}^{2} - {(x^{2})}^{2}] d x = \frac{72}{5} π$ .

Câu 34:

Xét các số phức z thỏa mãn $|z^{2} - 2 z + 5| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 - 4 i)|$ . Giá trị nhỏ nhất của $|z + 1 - i|$ bằng

A. 1

B. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

C. $\frac{2 \sqrt{6}}{6}$

D. $\frac{3}{4}$

Xem đáp án

: Đáp án B

Ta có: $|z^{2} - 2 z + 5| = |(z - 1 + 2 i) (z + 3 - 4 i)| \Leftrightarrow |z - 1 + 2 i| . |z - 1 - 2 i| = |z - 1 + 2 i| . |z + 3 - 4 i|$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} |z - 1 + 2 i| = 0 \\ |z - 1 - 2 i| = |z + 3 - 4 i| \end{array}$ .

Trường hợp 1: $|z - 1 + 2 i| = 0 \Leftrightarrow z = 1 - 2 i \Rightarrow |z + 1 - i| = |2 - 3 i| = \sqrt{13}$ .

Trường hợp 2: $|z - 1 - 2 i| = |z + 3 - 4 i|$ . Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ .

Khi đó $|z - 1 - 2 i| = |z + 3 - 4 i| \Rightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} = \sqrt{{(x + 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} \Leftrightarrow 2 x - y + 5 = 0 (d)$ .

Gọi $M (x; y), A (- 1; 1)$ lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z và -1+i. Ta có: $|z + 1 - i| = M A$ .

Đoạn thẳng MA đạt giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d.

Mặt khác, $d (A; d) = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ nên $\min M A = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ khi $M (- \frac{9}{5}; \frac{7}{5})$ .

So sánh hai trường hợp ta thấy $\min |z + 1 - i| = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ khi $z = - \frac{9}{5} + \frac{7}{5} i$ .

Câu 35:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = \frac{x + 1}{\sqrt{m {(x - 1)}^{2} + 4}}$ có hai tiệm cận đứng.

A. $m < 0$

B. m = 0

C. $\{\begin{cases} m < 0 \\ m \neq - 1 \end{cases}$

D. m<1

Xem đáp án

: Đáp án C

Đặt $g (x) = m {(x - 1)}^{2} + 4 = m x^{2} - 2 m x + 4 + m$ .

Để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng thì cần tìm m để phương trình $g (x) = 0$ có hai nghiệm phân biệt khác -1.

Điều kiện $\{\begin{cases} m \neq 0 \\ Δ = m^{2} - m (4 + m) > 0 \\ g (- 1) \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m < 0 \\ m \neq - 1 \end{cases}$ .

Câu 36:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = m^{2} x^{4} - (m^{2} - 2020 m) x^{2} + 3$ có đúng một điểm cực trị?

A. 18.

B. 17.

C. 20

D. 19.

Xem đáp án

Đáp án B

Trường hợp 1: Với m=1 ta có y=3 nên hàm số không có cực trị suy ra m=0 loại.

Trường hợp 2: Với $m \neq 0 \Rightarrow m^{2} > 0$ .

Hàm số $y = m^{2} x^{4} - (m^{2} - 2020 m) x^{2} + 3$ có đúng một cực trị

$\Leftrightarrow - m^{2} . (m^{2} - 2020 m) \geq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 2020 m \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq m \leq 2020$ .

Vì $m \neq 0$ nên $0 < m \leq 2020$ .

Do $m \in ℤ$ nên có 2020 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán.

Câu 37:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-15;2020] để phương trình $4^{x} + m {.2}^{x} + 2 m - 4 = 0$ có nghiệm ?

A. 18

B. 17

C. 20

D. 19

Xem đáp án

: Đáp án B

Đặt $t = 2^{x}, t > 0$ . Khi đó phương trình đã cho trở thành

$t^{2} + m t + 2 m - 4 = 0 \Leftrightarrow (t + 2) (t + m - 2) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 2 \\ t = 2 - m \end{array} (*)$ .

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm $t > 0$ .

Từ (*) suy ra $2 - m > 0 \Leftrightarrow m < 2 \to_{m \in [- 15; 5]}^{m \in ℤ} m \in \{- 15; - 14; ...; 0; 1\}$ .

Vậy có 17 số nguyên m thỏa mãn.

Câu 38:

Cho điểm A(0;8;2) và mặt cầu (S) có phương trình $(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 72$ và điểm $B (9; - 7; 23)$ . Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A tiếp xúc với sao cho khoảng cách từ B đến $(P)$ là lớn nhất. Giả sử $\vec{n} = (1; m; n)$ là một vectơ pháp tuyến của (P) . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $m . n = 2$

B. $m . n = - 2$

C. $m . n = 4$

D. $m . n = - 4$

Xem đáp án

: Đáp án D

Mặt phẳng $(P)$ qua A có dạng $a (x - 0) + b (y - 8) + c (z - 2) = 0 \Leftrightarrow a x + b y + c z - 8 b - 2 c = 0$ .

Điều kiện tiếp xúc:

$d (I; (P)) = 6 \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{|5 a - 3 b + 7 c - 8 b - 2 c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 6 \sqrt{2} \Leftrightarrow \frac{|5 a - 11 b + 5 c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 6 \sqrt{2} (*)$

Mà $d (B; (P)) = \frac{|9 a - 7 b + 23 c - 8 b - 2 c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = \frac{|9 a - 15 b + 21 c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

$= \frac{|5 a - 11 b + 5 c + 4 (a - b + 4 c)|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} \leq \frac{|5 a - 11 b + 5 c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} + 4 \frac{|a - b + 4 c|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$

$\leq 6 \sqrt{2} + 4 \frac{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 4^{2}} . \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}} = 18 \sqrt{2}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{a}{1} = \frac{b}{- 1} = \frac{c}{4}$ . Chọn $a = 1; b = - 1; c = 4$ thỏa mãn (*).

Khi đó $(P) : x - y + 4 z = 0$ . Suy ra $m = - 1; n = 4$ . Suy ra: $m . n = - 4$ .

Câu 39:

Ông An có một khu vườn giới hạn bởi một đường parabol và một đường thẳng. Nếu đặt trong hệ tọa độ Oxy như hình vẽ bên thì parabol có phương trình $y = x^{2}$ và đường thẳng $y = 25$ . Ông An dự định dùng một mảnh vườn nhỏ được chia từ khu vườn bởi một đường thẳng đi qua O và điểm M trên parabol để trồng một loại hoa. Tính độ dài OM để diện tích mảnh vườn bằng $\frac{9}{2}$ .

Ông An có một khu vườn giới hạn bởi một đường parabol và một đường thẳng. (ảnh 1)

A. $O M = 2 \sqrt{5}$

B. $O M = 15$

C. $O M = 10$

D. $O M = 3 \sqrt{10}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi điểm $H (a; 0), (a > 0)$ là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox.

Khi đó ta có đường thẳng OM có dạng $y = \tan α . x$ , (với $α = \hat{M O H}$ )

$\Rightarrow \tan α = \frac{M H}{O H} = \frac{a^{2}}{a} = a \Rightarrow y = a x$

Vậy diện tích mảnh vườn cần tính là: $S = \int_{0}^{1} (a x - x^{2}) d x = \frac{a^{3}}{6} \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{6} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow a = 3$ .

Suy ra $O M = \sqrt{3^{2} + 9^{2}} = 3 \sqrt{10}$ .

Câu 40:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc AB sao choBH=2HA. Cạnh SC tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 60°. Khoảng cách từ trung điểm K của HC đến mặt phẳng (SCD) bằng

A. $\frac{a \sqrt{13}}{2}$

B. $\frac{a \sqrt{13}}{8}$

C. $a \sqrt{13}$

D. $\frac{a \sqrt{13}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án B

Kẻ $H M ⊥ C D, H N ⊥ S M \Rightarrow H N ⊥ (S C D) \Rightarrow d (H, (S C D)) = H N$ .

Vì $H M ⊥ C D \Rightarrow H M // A D$ Þ AHMD là hình bình hành $\Rightarrow H M = a$

Tam giác HBC vuông tại B

$\Rightarrow H C = \sqrt{H B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{\frac{4 a^{2}}{9} + a^{2}} = \frac{a \sqrt{13}}{3}$ .

Tam giác SHC vuông tại H

$\Rightarrow S H = H C . \tan \hat{S C H} = \frac{a \sqrt{13}}{3} . \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{39}}{3}$ .

Tam giác SHM vuông tại H, HN là đường cao, suy ra

$\frac{1}{H N^{2}} = \frac{1}{H M^{2}} + \frac{1}{S H^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{3}{13 a^{2}} = \frac{16}{13 a^{2}} \Rightarrow H N = \frac{a \sqrt{13}}{4}$ .

Vì K là trung điểm của HC nên

d (K, (S C D)) = \frac{1}{2} d (H, (S C D)) = \frac{a \sqrt{13}}{8}

.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S (ảnh 1)

Câu 41:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A’B’ vuông góc với mặt phẳng đáy(ABCD); góc giữa đường thẳng AA’ với (ABCD) bằng 45°. Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và DD’ bằng 1. Góc giữa hai mặt phẳng (BC’B’C) và mặt phẳng (CC’DD’) bằng 60°. Thể tích khối hộp đã cho bằng

A. $2 \sqrt{3}$

B.2

C. $\sqrt{3}$

D. $3 \sqrt{3}$

Xem đáp án

Câu 42:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (3; - 4; 5), B (- 5; 6; - 7)$ và mặt phẳng $(P) : 3 x + 2 y + z - 10 = 0$ . Gọi M(a,b,c) là điểm thuộc (P) sao cho có giá trị lớn nhất. Tổng a+b+c bằng

A. 29

B. 1

C. 7

D. 23

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi I(a,b,c) là điểm thỏa mãn $\vec{I A} - 3 \vec{I B} = \vec{0}$ , suy ra $I (- 9; 11; - 13)$ .

Ta có $M A^{2} - 3 M B^{2} = {\vec{M A}}^{2} - 3 {\vec{M B}}^{2} = {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} - 3 {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2}$ ’

$= - 2 M I^{2} + 2 \vec{M I} (\vec{I A} - 3 \vec{I B}) + I A^{2} - 3 I B^{2} = - 2 M I^{2} + (I A^{2} - 3 I B^{2})$ .

Do đó $M A^{2} - 3 M B^{2}$ lớn nhất $\Leftrightarrow - 2 M I^{2}$ lớn nhất Û MI nhỏ nhất

M(a,b,c) là hình chiếu của I trên(P). Do đó $M (- 3; 15; - 11)$ .

Câu 43:

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d, (a, b, c, d \in ℝ)$ thỏa mãn , $a > 0, d > 2020$ $a + b + c + d - 2020 < 0$ . Số điểm cực trị của hàm số $y = |f (x) - 2020|$ là

A. 2

B. 1

C. 3

D. 5

Xem đáp án

Câu 44:

Biết rằng đồ thị hàm số $y = x^{3} - (2 a + 1) x^{2} + (2 a^{2} + 2 a) x + b$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ dương $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x_{1}^{2} x_{2}^{3} x_{3}^{4}$ .

A. 2

B.1

C.3

D.5

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 2 a + 1 \\ x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = 2 a^{2} + 2 a \end{cases} \Rightarrow {(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2} - 2 (x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1}) = 1$ .

Do vậy: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = 1$ . Xét các số thực dương $p, q, r$ sao cho đẳng thức xảy ra khi $x_{1} = p$ , $x_{2} = q$ , $x_{3} = r$ .

Áp dụng AM – GM: $\frac{2 x_{1}}{p} + \frac{3 x_{2}}{q} + \frac{4 x_{3}}{r} = \frac{x_{1}}{p} + \frac{x_{1}}{p} + \frac{x_{2}}{q} + \frac{x_{2}}{q} + \frac{x_{2}}{q} + \frac{x_{3}}{r} + \frac{x_{3}}{r} + \frac{x_{3}}{r} + \frac{x_{3}}{r} \geq 9 \sqrt[9]{\frac{x_{1}^{2} x_{2}^{3} x_{3}^{4}}{p^{2} q^{3} r^{4}}}$ .

Lại có: ${(\frac{2 x_{1}}{p} + \frac{3 x_{2}}{q} + \frac{4 x_{3}}{r})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) (\frac{4}{p^{2}} + \frac{9}{q^{2}} + \frac{16}{r^{2}}) = \frac{4}{p^{2}} + \frac{9}{q^{2}} + \frac{16}{r^{2}}$ .

Khi đó ta có đẳng thức xảy ra khi: $x_{1} : x_{2} : x_{3} = \frac{2}{p} : \frac{3}{q} : \frac{4}{r} \Leftrightarrow \frac{p x_{1}}{2} = \frac{q x_{2}}{3} = \frac{r x_{3}}{4} \Leftrightarrow \frac{p^{2}}{2} = \frac{q^{2}}{3} = \frac{r^{2}}{4}$ .

Mà $p^{2} + q^{2} + r^{2} = 1$ nên $p = \frac{\sqrt{2}}{3}; q = \frac{\sqrt{3}}{3}; r = \frac{2}{3}$ do đó: $\frac{2 x_{1}}{p} + \frac{3 x_{2}}{q} + \frac{4 x_{3}}{r} \leq 9$ nên $\sqrt[9]{\frac{x_{1}^{2} x_{2}^{3} x_{3}^{4}}{p^{2} q^{3} r^{4}}} \leq 1$ .

Câu 45:

Có 32 học sinh làm đề kiểm tra trắc nghiệm. Mỗi câu có 4 phương án trả lời, học sinh chỉ được chọn một phương án cho mỗi câu. Sau khi kiểm tra thấy rằng tất cả các câu đã được học sinh tô đáp án và bất kì 2 học sinh nào cũng có chung nhiều nhất 1 câu trả lời. Tìm giá trị lớn nhất của số câu trắc nghiệm trong đề kiểm tra.

A. 15 câu.

B. 20 câu.

C. 25 câu.

D. 30 câu.

Xem đáp án

Đáp án B

Giả sử đề kiểm tra có n câu $P_{1}, P_{2},..., P_{n}$ ; với mỗi câu $P_{i}$ , gọi $a_{i}$ là số học sinh trả lời đáp án thứ nhất, tương tự có $b_{i}, c_{i}, d_{i}$ . Khi đó $a_{i} + b_{i} + c_{i} + d_{i} = 32$ .

Ta có ít nhất $4. C_{4}^{2} = 24$ cặp với 1 câu trả lời giống nhau cho mỗi câu.

Do có n câu nên có ít nhất $24 n$ cặp, nhưng có nhiều nhất $C_{32}^{2} = 496$ cặp.

Ta có: $24 n \leq 496 \Leftrightarrow n \leq \frac{62}{3}$ . Do số câu là số nguyên nên n=20.

Do đó có nhiều nhất là 20 câu.

Câu 46:

Có tất cả bao nhiêu số nguyên $m \in (- 2020; 2020)$ để phương trình $\log_{2} \frac{3 x^{2} + 3 x + m + 1}{2 x^{2} - x + 1} = x^{2} - 5 x + 2 - m$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ?

A. 2016.

B. 202.

C. 2017.

D. 2019.

Xem đáp án

Đáp án C

Điều kiện: $\log_{2} \frac{3 x^{2} + 3 x + m + 1}{2 x^{2} - x + 1} = x^{2} - 5 x + 2 - m$ .

Ta có: $\Leftrightarrow \log_{2} (\frac{3 x^{2} + 3 x + m + 1}{2 x^{2} - x + 1}) - 1 = x^{2} - 5 x + 1 - m$

$\Leftrightarrow \log_{2} \frac{3 x^{2} + 3 x + m + 1}{4 x^{2} - 2 x + 2} = x^{2} - 5 x + 1 - m$

$\Leftrightarrow \log_{2} (3 x^{2} + 3 x + m + 1) + (3 x^{2} + 3 x + m + 1) = \log_{2} (4 x^{2} - 2 x + 2) + (4 x^{2} - 2 x + 2) . (1)$

Xét hàm số: $f (t) = t + \log_{2} t$ trên $D = (0; + \infty)$ , có $f^{'} (t) = 1 + \frac{1}{t . \ln 2} > 0, \forall t \in D$ .

Do đó hàm số $f (t)$ đồng biến trên D.

Phương trình $(1) \Leftrightarrow f (4 x^{2} - 2 x + 2) = f (3 x^{2} + 3 x + m + 1)$

$\Leftrightarrow 4 x^{2} - 2 x + 2 = 3 x^{2} + 3 x + m + 1 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x - m + 1 = 0 (2)$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow Δ = 25 - 4 (1 - m) > 0 \Leftrightarrow m > \frac{- 21}{4}$ .

Theo định lý Vi-ét ta có $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 5 \\ x_{1} x_{2} = 1 - m \end{cases}$ .

Từ $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} \geq 155 \Leftrightarrow {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) \geq 155 \Rightarrow 125 - 15 (1 - m) \geq 155 \Rightarrow m \geq 3$ .

Kết hợp giả thiết thì

3 \leq m \leq 2020

Þ có tất cả 2017 số nguyên m thỏa mãn

Câu 47:

Giả sử hàm số f(x) liên tục nhận giá trị dương trên $(0; + \infty)$ và thỏa mãn $f (1) = 1$ , $f (x) = f^{'} (x) . \sqrt{3 x + 1}$ với mọi x>0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $3 < f (5) < 4$

B. $1 < f (5) < 2$

C. $4 < f (5) < 5$

D. $2 < f (5) < 3$

Xem đáp án

Đáp án A

Từ $f (x) = f^{'} (x) . \sqrt{3 x + 1}$ ta có $\frac{f^{'} (x)}{f (x)} = \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}}$

Suy ra: $\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \int \frac{1}{\sqrt{3 x + 1}} d x \Rightarrow \ln f (x) = \frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} + C$ .

Ta có $\ln f (1) = \frac{2}{3} \sqrt{3.1 + 1} + C \Leftrightarrow \ln 1 = \frac{4}{3} + C \Leftrightarrow C = - \frac{4}{3}$ .

Nên $\ln f (x) = \frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} - \frac{4}{3} \Leftrightarrow f (x) = e^{\frac{2}{3} \sqrt{3 x + 1} - \frac{4}{3}}$ .

Vậy $f (5) = e^{\frac{2}{3} \sqrt{3.5 + 1} - \frac{4}{3}} = e^{\frac{4}{3}} \in (3; 4)$ .

Câu 48:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu f’(x) như sau

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu f’(x) như sau (ảnh 1)

Hỏi hàm số $y = f (x^{2} - 2 x)$ có bao nhiêu điểm cực tiểu?

A.1

B.2

C.3

D.4

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $y^{'} = {(x^{2} - 2 x)}^{'} f^{'} (x^{2} - 2 x) = (2 x - 2) f^{'} (x^{2} - 2 x)$ .

Khi đó $y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 2 = 0 \\ f^{'} (x^{2} - 2 x) = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x - 2 = 0 \\ x^{2} - 2 x = - 2 \\ x^{2} - 2 x = 1 \\ x^{2} - 2 x = 3 \end{array}$ .

Tại $x = 1$ thì $f^{'} (x)$ không đổi dấu nên ta không cần xét

Từ bảng xét dấu ta thấy $f^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < - 2 \\ x > 3 \end{array}$ .

Khi đó $f^{'} (x^{2} - 2 x) < 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} - 2 x < - 2 \\ x^{2} - 2 x > 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x < - 1 \\ x > 3 \end{array}$ .

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có một cực tiểu

Câu 49:

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}, z$ thỏa mãn $|z_{1}| = |z_{2}| = 2, |z_{1} - z_{2}| = 2 \sqrt{2}$ .

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = |z| + |z - z_{1}| + |z - z_{2}|$ là

A. $2 \sqrt{2 + \sqrt{2}}$

B. $2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

C. $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$

D. $\sqrt{4 + \sqrt{3}}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi A, B, M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức $z_{1}, z_{2}, z$ .

Dựa vào điều kiện $\sqrt{2} |z_{1}| = \sqrt{2} |z_{2}| = |z_{1} - z_{2}| = 2 \sqrt{2} \Rightarrow O A = O B = 2, A B = 2 \sqrt{2}$ .

Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O.

Phép quay tâm B góc quay -60° ta có: $Q_{(B, - 60 °)} : A \mapsto A^{'}; M \mapsto M^{'}$ .

Do tam giác $Δ B M M^{'}$ đều $\Rightarrow A M = A^{'} M^{'}, B M = M M^{'}$ .

Suy ra $P = |z| + |z - z_{1}| + |z - z_{2}| = O M + A M + B M = O M + M M^{'} + A^{'} M^{'} \geq O A^{'}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $O, M, M^{'}, A^{'}$ thẳng hàng.

Khi đó tam giác $O B A^{'}$ có $O B = 2, B A^{'} = B A = 2 \sqrt{2}$ và $\hat{O B A^{'}} = 105 °$ .

Từ đó suy ra $O A^{'} = \sqrt{O B^{2} + B {A^{'}}^{2} - 2 O B . B A^{'} . \cos 105 °} = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ . Vậy $\min P = 2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}$ .

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A (2; 0; 3)$ và mặt phẳng $(P) : x - y + z + 1 = 0$ . Điểm $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ thay đổi thuộc $d : \{\begin{cases} x = 7 + t \\ y = - 2 + 2 t \\ z = - 4 + t \end{cases}$ sao cho A, B cùng phía so với (P), điểm C thay đổi thuộc mặt phẳng (P). Biết rằng tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Giá trị $x_{B} - 4 y_{B} + z_{B}$ bằng

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $A'$ là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng $(P) \Rightarrow A^{'} (- 2; 4; - 1)$ .

Chu vi tam giác ABC là

$A B + A C + B C = A B + A^{'} C + B C \geq A B + A^{'} B$

Gọi $B (7 + t; - 2 + 2 t; - 4 + t) \in d$ .

Ta có: $A B + A^{'} B = \sqrt{6 {(t - 1)}^{2} + 77} = \sqrt{6 {(t - 1)}^{2} + 120}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi ${(t - 1)}^{2} = 0 \Leftrightarrow t = 1$ .

Vậy $B (8; 0; - 3) \Rightarrow x_{B} - 4 y_{B} + z_{B} = 5$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết

25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 2)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan