50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 4)

Câu 1:

Một khối lập phương lớn có thể tích bằng V, diện tích xung quanh bằng S. Người ta lấy đi một khối lập phương nhỏ có thể tích bằng $\frac{1}{4} V$ như hình vẽ bên. Diện tích xung quanh hình còn lại bằng

A. S

B. $\frac{1}{4} S .$

C. $\frac{3}{4} S .$

D. $\frac{1}{2} S .$

Xem đáp án

Đáp án A

Khi mất đi 3 mặt nhỏ lại bù vào đủ 3 mặt có cùng diện tích nên diện tích xung quanh không đổi và bằng S.

Câu 2:

Cho hai số phức $z_{1} = 2 - 3 i$ và $z_{2} = 5 + 2 i$ . Tìm số phức $z = z_{1}^{2} + z_{2}$

A. $z = 7 - 5 i .$

B. $z = 7 + i .$

C. $z = 9 - 10 i .$

D. $z = - 10 i .$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

z = z_{1}^{2} + z_{2} = {(2 - 3 i)}^{2} + (5 + 2 i) = 4 - 12 i + 9 i^{2} + 5 + 2 i = - 10 i

Câu 3:

Cho hàm số y =f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ

.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 1) .$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(0; 1) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; - 1) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng

(0; + \infty)

.

Xem đáp án

: Đáp án B

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty) .$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- 1; 0)$ và $(0; 1) .$

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (1; - 3; 5), B (2; 0; 1), C (0; 9; 3) .$ Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. $G (3; 12; 6) .$

B. $G (1; 2; 4) .$

C. $G (1; 0; 2) .$

D. $G (1; 2; 3) .$

Xem đáp án

Đáp án D

Theo công thức tọa độ trọng tâm ta có $\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} = \frac{1 + 2 + 0}{3} = 1 \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} = \frac{- 3 + 0 + 9}{3} = 2 \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} = \frac{5 + 1 + 3}{3} = 3 \end{cases} \Rightarrow G (1; 2; 3)$

Câu 5:

Họ nguyên hàm của các hàm số

f (x) = e^{4 x} + 1

là

A. $4 e^{4 x + 1} + x + C .$

B. $\frac{1}{4} e^{4 x + 1} + x + C .$

C. $4 e^{4 x} + x + C .$

D. $\frac{1}{4} e^{4 x} + x + C .$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có

\int f (x) d x = \int (e^{4 x} + 1) d x = \frac{1}{4} \int e^{4 x} d (4 x) + \int d x = \frac{1}{4} e^{4 x} + x + C

Câu 6:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(- 1; 3) .$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng

(5; + \infty) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 1) .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng

(- \infty; 3) .

Xem đáp án

Đáp án B

Tập xác định $D = R$

$y' = 3 x^{2} - 6 x - 9$ . Cho $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 3 \end{array}$

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(5; + \infty)$

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{1},$ mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z + 5 = 0$ và $A (1; - 1; 2)$ . Đường thẳng $∆$ cắt d và (P) lần lượt tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN. Một vecto chỉ phương của là

A. $\vec{u} = (2; 3; 2) .$

B. $\vec{u} = (1; - 1; 2) .$

C. $\vec{u} = (- 3; 5; 1) .$

D. $\vec{u} = (4; 5; - 13) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Điểm $M \in d \Rightarrow M (- 1 + 2 t; t; 2 + t),$ A là trung điểm của $M N \Rightarrow N (3 - 2 t; - 2 - t; 2 - t)$

Điểm $N \in (P) \Rightarrow 3 - 2 t - 2 - t - 2 (2 - t) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow M (3; 2; 4), N (- 1; - 4; 0)$

$\Rightarrow \vec{M N} = (- 4; - 6; - 4) = - 2 (2; 3; 2)$

Câu 8:

Thể tích khối chóp S.ABC có độ dài các cạnh $S A = B C = 5, S B = A C = 6, S C = A B = 4$ là

A. $V = 2 \sqrt{95} .$

B. $V = \frac{35 \sqrt{2}}{2} .$

C. $V = \frac{15 \sqrt{6}}{4} .$

D. $V = 2 \sqrt{105} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Áp dụng công thức $V = \frac{\sqrt{2}}{12} \sqrt{(a^{2} + b^{2} - c^{2}) . (a^{2} - b^{2} + c^{2}) . (b^{2} + c^{2} - a^{2})}$

Với

a = S A = 5, b = S B = 6, c = S C = 4 \Rightarrow V = \frac{15 \sqrt{6}}{4}

Câu 9:

Tất cả các giá trị của m để hàm số $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 (m - 1) x^{2} + (m + 2) x + m - 6$ đồng biến trên R là

A. $m \geq 2.$

B.

\frac{1}{4} < m \leq 2.

C.

- \frac{3}{4} \leq m \leq 1.

D.

\frac{1}{4} \leq m \leq 2.

Xem đáp án

Ta có $y' = x^{2} - 4 (m - 1) x + m + 2$

Hàm số đồng biến trên R khi và chỉ khi $\{\begin{cases} a = 1 > 0 \\ Δ' = 4 {(m - 1)}^{2} - (m + 2) = 4 m^{2} - 9 m + 2 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \leq m \leq 2 \end{cases}$

Câu 10:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = e^{x} (x^{2} - x - 5)$ trên [1;3] là

A. $2 e^{2} .$

B. $- 3 e^{2} .$

C. $e^{3} .$

D. $- 7 e^{3} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = e^{x} (x^{2} + x - 6) \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \in (1; 3) \\ x = - 3 \notin (1; 3) \end{array}$

y (1) = - 5 e; y = - 3 e^{2}; y (3) = e^{3} .

Vậy giá trị lớn nhất là

\max_{[1; 3]} y = y (3) = e^{3}

Câu 11:

Tìm nguyên hàm của hàm số

f (x) = x \sqrt{x}

A. $\int x \sqrt{x} d x = \frac{2}{5} x^{2} \sqrt{x} + C .$

B. $\int x \sqrt{x} d x = \frac{2}{5} x \sqrt{x} + C .$

C. $\int x \sqrt{x} d x = \frac{1}{2} x^{2} \sqrt{x} + C .$

D. $\int x \sqrt{x} d x = \frac{3}{2} \sqrt{x} + C .$

Xem đáp án

: Đáp án A

\int x \sqrt{x} d x = \int x^{\frac{3}{2}} d x = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5} x^{2} \sqrt{x} + C

Câu 12:

Cho hình nón có bán kính đáy bằng $\sqrt{2}$ và độ dài đường sinh bằng 3. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho là

A. $S_{x q} = 2 π .$

B. $S_{x q} = 6 π .$

C. $S_{x q} = 3 π \sqrt{2} .$

D. $S_{x q} = 6 π \sqrt{2} .$

Xem đáp án

: Đáp án C

Ta có

S_{x q} = π R l = 3 π \sqrt{2}

Câu 13:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z + 2}{1} .$ Mặt phẳng nào dưới đây vuông góc với đường thẳng d?

A. $x + y + 2 z + 1 = 0.$

B. $z - 2 y + z + 1 = 0.$

C. $x - 2 y - z + 1 = 0.$

D. $x + y + z + 1 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta thấy vecto chỉ phương của đường thẳng d là $\vec{u} = (1; - 2; 1)$ . Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d thì các vecto pháp tuyến có dạng $k . \vec{u} = k (1; - 2; 1), \forall k \neq 0$ .

Câu 14:

Giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{2 x + m}{x + 5}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó là

A. $m \geq 10.$

B. m>10

C.m<10

D. $m \leq 10.$

Xem đáp án

Đáp án B

Tập xác định $D = (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$

Ta có $y' = \frac{10 - m}{{(x - 1)}^{2}}$ . Hàm số $y = \frac{2 x + m}{x - 1}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó

\Leftrightarrow y' < 0, \forall x \in D \Leftrightarrow 10 - m < 0 \Leftrightarrow m > 10

Câu 15:

Biết dãy số $(u_{n})$ có số hạng tổng quát như các đáp án dưới đây. Giả sử các số hạng đầu tiên của dãy số là 4, 7, 10, 13,16… thì khẳng định đúng là

A. $u_{n} = 3.$

B. $u_{n} = n + 1.$

C. $u_{n} = 3 n - 1.$

D. $u_{n} = 3 n + 1.$

Xem đáp án

Đáp án D

Dễ nhận thấy dãy số là cấp số cộng có các số hạng $u_{1} = 4; u_{2} = 7,...;$

Do đó công sai $d = u_{2} - u_{1} = 3.$

Số hạng tổng quát là $u_{n} = 4 + 3. (n - 1) = 3 n + 1$

Câu 16:

Hàm số

y = x^{3} - 3 x^{2} + 1

có đồ thị (C). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (C) có trục đối xứng là trục tung.

B. (C) không cắt trục hoành.

C. (C) có tâm đối xứng.

D. (C) không cắt trục tung.

Xem đáp án

: Đáp án C

Hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ có đồ thị (C) có đặc điểm

+ (C) luôn có tâm đối xứng.

+ (C) luôn cắt trục hoành.

+ (C) luôn cắt trục tung.

Câu 17:

Khối chóp S.ABCD có thể tích bằng $2 a^{3},$ mặt đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SCD có diện tích bằng $3 a^{3},$ . Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng

A. a

B. 2a

C. 3a

D. $a \sqrt{2} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Theo đề bài ta có $V_{S . A B C D} = 2 a^{3},$ mặt đáy ABCD là hình chữ nhật nên $V_{S . A C D} = \frac{1}{2} V_{S . A B C D} = a^{3}$

Mặt khác

$V_{S . A C D} = \frac{1}{3} S_{Δ S C D} . d (A, (S C D)) \Leftrightarrow d (A, (S C D)) = \frac{3 V_{S . A C D}}{S_{Δ S C D}}$

Khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 2a^3 mặt đáy ABCD là hình chữ nhật, (ảnh 1)

\Leftrightarrow d (A, (S C D)) = \frac{3 a^{3}}{3 a^{2}} \Leftrightarrow d (A, (S C D)) = a

Câu 18:

Cho số phức $z = \frac{(2 - 3 i) (4 - i)}{3 + 2 i}$ . Số phức liên hợp của số phức z là

A. $\bar{z} = - 1 + 4 i .$

B. $\bar{z} = - 1 - 4 i .$

C. $\bar{z} = 4 i .$

D. $\bar{z} = - 4 i .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $z = \frac{(2 - 3 i) (4 - i)}{3 + 2 i} = \frac{5 - 14 i}{3 + 2 i} = \frac{(5 - 14 i) (3 - 2 i)}{13} = \frac{- 13 - 52 i}{13} = - 1 - 4 i$

Vậy $\bar{z} = - 1 + 4 i$ .

Câu 19:

Biết đạo hàm của hàm số $y = x^{x}$ có dạng $y' (a \ln b x + c) x^{x}, (a, b, c \in ℤ)$ . Giá trị của biểu thức $T = a b c$ là

A. T=1

B. T=2

C. T=3

D. $T = \frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\ln y = x \ln x \Rightarrow (\ln y)' = (x \ln x)'$

\Rightarrow \frac{y'}{y} = \ln x + 1 \Rightarrow y' = y (\ln x + 1) = (\ln x + 1) x^{x} \Rightarrow a = b = c = 1 \Rightarrow T = 1

Câu 20:

Cho hàm số $f (x) = a x^{4} + b x^{2} + c$ và $g (x) = f (m x^{2} + n x + p), (m, n, p \in ℚ)$ có đồ thị như hình vẽ bên. Giá trị của tổng m+n+p bằng

Cho hàm số f(x)=ax^4+bx^2+c và có đồ thị như hình vẽ bên (ảnh 1)

A. -1

B. 1

C. 0

D. -2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 1; g (x) = {(x^{2} - 1)}^{4} + 2 {(x^{2} - 1)}^{2} - 1$

Thay x=1vào g(x) ta có $g (1) = f (m + n + p)$

Dựa vào đồ thị ta có $g (1) = - 1$ nên $- 1 = f (m + n + p)$

Dựa vào đồ thị f(x) ta có $m + n + p = 0$

Câu 21:

Tìm họ nguyên hàm $\int \cos^{2021} x \sin x d x$ ta được kết quả là

A. $\int \cos^{2021} x \sin x d x = - \frac{1}{2021} \cos^{2021} x + C .$

B. $\int \cos^{2021} x \sin x d x = \frac{1}{2022} \cos^{2022} x + C .$

C. $\int \cos^{2021} x \sin x d x = - \frac{1}{2022} \cos^{2022} x + C .$

D. $\int \cos^{2021} x \sin x d x = \frac{1}{2022} \cos^{2022} x + C .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có

\int \cos^{2021} x \sin x d x = - \int \cos^{2021} x d (\cos x) = - \frac{1}{2022} \cos^{2022} x + C

Câu 22:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có $A B = a, B C = 2 a$ . Hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SC hợp với mặt đáy một góc $60^{o}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD tính theo a bằng

A. $\frac{2 a^{3} \sqrt{15}}{3} .$

B. $2 a^{3} \sqrt{15} .$

C. $2 a^{3} .$

D. $\frac{2 a^{3} \sqrt{15}}{9} .$

Xem đáp án

Câu 23:

Tổng S tất cả các nghiệm của phương trình $7^{3 x} - {3.49}^{x} {.3}^{x} + {8.63}^{x} - {6.27}^{x} = 0$ là

A. $S = - 1.$

B. $S = 0$

C. $S = - 4$

D. $S = 1.$

Xem đáp án

Ta có: $7^{3 x} - {3.49}^{x} {.3}^{x} + {8.63}^{x} - {6.27}^{x} = 0 \Leftrightarrow {(7^{x})}^{3} - 3. {(7^{x})}^{2} {.3}^{x} + {8.7}^{x} . {(3^{x})}^{2} - 6. {(3^{x})}^{3} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{{(7^{x})}^{3}}{{(3^{x})}^{3}} - 3. \frac{{(7^{x})}^{2} {.3}^{x}}{{(3^{x})}^{3}} + 8. \frac{7^{x} . {(3^{x})}^{2}}{{(3^{x})}^{3}} - 6 = 0 \Leftrightarrow {(\frac{7}{3})}^{3 x} - 3. {(\frac{7}{3})}^{2 x} + 8. {(\frac{7}{3})}^{x} - 6 = 0 \Leftrightarrow {(\frac{7}{3})}^{x} = 1 \Leftrightarrow x = 0$

Vậy S=0

Câu 24:

Cho các số thực dương a, b, c với $c \neq 1$ thỏa mãn điều kiện $\log_{a} b = 3, \log_{a} c = - 2$ . Khi đó $\log_{a} (a^{3} b^{3} \sqrt{c})$ bằng

A. 5.

B. 8.

C. 10

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có

\log_{a} (a^{3} b^{2} \sqrt{c}) = \log_{a} a^{3} + \log_{a} b^{2} + \log_{a} \sqrt{c} = 3 + 2 \log_{a} b + \frac{1}{2} \log_{a} c \Rightarrow \log_{a} (a^{3} b^{2} \sqrt{c}) = 8

Câu 25:

Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức

z_{1} = - 1 + i,

z_{1} = - 1 + i,

. Diện tích tứ giác ABCD là

A. $S = \frac{17}{2} .$

B. $S = \frac{19}{2} .$

C. $S = \frac{23}{2} .$

D. $S = \frac{21}{2} .$

Xem đáp án

Câu 26:

Cho hàm số $y = f (x)$ có đạo hàm $f' (x) = x^{2} (x - 1) (x - 4) g (x)$ , trong đó $g (x) > 0, \forall x .$ Hàm số $y = f (x^{2})$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(- \infty; - 2) .$

B. $(- 1; 1) .$

C. $(- 2; - 1) .$

D. $(1; 2) .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 2 x f' (x^{2}) = 2 x {(x^{2})}^{2} (x^{2} - 1) (x^{2} - 4) g (x^{2})$

= 2 x^{5} (x + 1) (x + 2) (x - 1) (x - 2) g (x^{2}) > 0, \forall x \in (- 2; - 1)

Câu 27:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) song song với $(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y - 6 z - 11 = 0$ và tiếp xúc với mặt cầu là

A. $(P) : 2 x - y + 2 z - 9 = 0$ và $2 x - y + 2 z - 21 = 0$

C. $(P) : 2 x - y + 2 z - 9 = 0$ và $2 x - y + 2 z + 21 = 0$

C. $(P) : 2 x - y + 2 z + 9 = 0.$

D. $(P) : 2 x - y + 2 z + 9 = 0$ và $2 x - y + 2 z - 21 = 0$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì (P) // (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng $2 x - y + 2 z + D = 0 (D \neq - 3)$

Mặt cầu (S) có tâm $I (1; 2; 3)$ và R = 5

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên $d (I; (P)) = \frac{|2.1 - 2 + 2.3 + D|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}}} = 5 \Leftrightarrow |D + 6| = 15 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} D = 9 \\ D = - 21 \end{array}$

Vậy có hai mặt phẳng (P) là $2 x - y + 2 z + 9 = 0$ và $2 x - y + 2 z - 21 = 0$

Câu 28:

Có 3 bạn nam và 3 bạn nữ được xếp vào một ghế dài có 6 vị trí. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho nam và nữ ngồi xen kẽ lẫn nhau?

A. 48.

B. 72.

C. 24.

D. 36

Xem đáp án

Đáp án B

Giả sử ghế dài được đánh số như hình vẽ

1

2

3

4

5

6

Có hai trường hợp: Một nữ ngồi ở vị trí số 1 hoặc một nam ngồi ở vị trí số 1.

Ứng với mỗi trường hợp sắp xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi xen kẽ lẫn nhau có 3!.3! cách xếp.

Vậy có 2.3!.3! = 72 cách xếp.

Câu 29:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên tập số thực. Miền hình phẳng trong hình vẽ được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f’(x) và trục hoành đồng thời có diện tích S=a. Biết rằng

\int_{0}^{1} (x + 1) f' (x) d x = b

và

f (3) = c

. Giá trị tích phân

I = \int_{0}^{1} f (x) d x

là

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên tập số thực. Miền hình phẳng trong hình vẽ (ảnh 1)

A. $I = a - b + c .$

B. $I = - a + b - c .$

C. $I = - a + b + c .$

D. $I = a - b - c .$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $b = \int_{0}^{1} (x + 1) f' (x) d x = {(x + 1) f (x)|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} f (x) d x \Leftrightarrow b = 2 f (1) - f (0) - I$

Mặt khác $a = S = \int_{0}^{1} f' (x) d x - \int_{1}^{3} f' (x) d x = f (1) - f (0) - (f (3) - f (1)) = 2 f (1) - f (0) - f (3)$

$\Rightarrow 2 f (1) - f (0) = a + c$

Vậy $I = 2 f (1) - f (0) - b = a - b + c$

Câu 30:

Một khách hàng có 100 000 000 đồng gửi ngân hàng kì hạn 3 tháng (1 quý) với lãi suất 0,65% một tháng theo phương thức lãi kép. Hỏi vị khách này sau bao nhiêu quý mới có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng?

A. 12 quý.

B. 24 quý.

C. 36 quý

D. 48 quý.

Xem đáp án

Đáp án C

Lãi suất 1 quý là $r = 3.0,65 % = 0,0195$

Tổng số tiền thu được sau n quý là $S = A {(1 + r)}^{n}$

Cần tìm giá trị x nguyên nhỏ nhất thỏa mãn $S - A > A \Leftrightarrow S > 2 A \Leftrightarrow {(1 + r)}^{n} > 2 \Leftrightarrow n > \log_{1 + r} + 2$

Vì vậy ta có $n > \log_{1,0195} 2 \geq 36$

Câu 31:

Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào ba quả bóng tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả bóng và chiều cao của hình trụ bằng 3 lần đường kính quả bóng. Gọi $S_{1}$ là tổng diện tích của ba quả bóng, $S_{2}$ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ bằng

A. 1.

B. 2.

C. 5

D. 3.

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi bán kính đáy của hình trụ là R, suy ra đường kính mặt cầu bằng 2R nên chiều cao hình trụ bằng 6R

Diện tích $S_{1} = 3.4 π R^{2} = 12 π R^{2}$

Diện tích $S_{2} = 2 π R .6 R = 12 π R^{2}$

Vậy $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 1$

Câu 32:

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f (1) = 1, \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x = 9$ và $\int_{0}^{1} x^{3} f (x) d x = \frac{1}{2}$ . Tính tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

A. $\frac{2}{3} .$

B. $\frac{5}{2} .$

C. $\frac{7}{4} .$

D. $\frac{6}{5} .$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $\int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x = 9 (1)$

Xét $\int_{0}^{1} x^{3} f (x) d x = \frac{1}{2}$ . Đặt $\{\begin{cases} u = f (x) \\ d v = x^{3} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = f' (x) d x \\ v = \frac{x^{4}}{4} \end{cases}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{3} f (x) d x = {(\frac{x^{4}}{4} f (x))|}_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1} x^{4} f' (x) d x = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1} x^{4} f' (x) d x$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} x^{4} f' (x) d x = - 1 \Rightarrow 18 \int_{0}^{1} x^{4} f' (x) d x = - 18 (2)$

Lại có $\int_{0}^{1} x^{8} d x = {\frac{x^{9}}{9}|}_{0}^{1} = \frac{1}{9} \Rightarrow 81 \int_{0}^{1} x^{8} d x = 9 (3)$

Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được

$\int_{0}^{1} [{[f' (x)]}^{2} + 18 x^{4} f' (x) + 81 x^{8}] d x = 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x) + 9 x^{4}]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow π . \int_{0}^{1} {[f' (x) + 9 x^{4}]}^{2} d x = 0$

Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f' (x) + 9 x^{4}$ , trục hoành Ox, các đường thẳng $x = 0, x = 1$ khi quay quanh Ox bằng 0, suy ra:

$f' (x) + 9 x^{4} = 0 \Leftrightarrow f' (x) = - 9 x^{4} \Rightarrow f (x) = \int f' (x) d x = - \frac{9}{5} x^{4} + C$

Lại do $f (1) = 1 \Rightarrow C = \frac{14}{5} \Rightarrow f (x) = - \frac{9}{5} x^{5} = \frac{14}{5}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (- \frac{9}{5} x^{5} + \frac{14}{4}) d x = {(- \frac{3}{10} x^{6} + \frac{14}{5} x)|}_{0}^{1} = \frac{5}{2}$

Câu 33:

Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có bán kính 40cm, chiều dài của trống là 1m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường parabol. Thể tích của cái trống gần với số nào nhất trong các đáp án sau?

A. $425,2 (d m^{3}) .$

B. $420,3 (d m^{3}) .$

C. $450,3 (d m^{3}) .$

D. $453,3 (d m^{3}) .$

Xem đáp án

Đáp án A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Xét (P) có đỉnh là $I (0; 40)$ và đi qua các điểm

$B (- 50; 30), C (50; 30)$ .

Do đó phương trình của $(P) : y = - \frac{1}{250} x^{2} + 40$

Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30cm, thiết diện vuông góc (ảnh 1)

Có thể coi cái trống được tạo ra bởi phép quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

$\{\begin{cases} (P) : y = \frac{- 1}{250} x^{2} + 40 \\ y = 0 \\ x = - 50 \\ x = 50 \end{cases}$ xung quanh trục Ox.

Khi đó thể tích $V = π \int_{- 50}^{50} {(\frac{- 1}{250} x^{2} + 40)}^{2} d x \approx 425162,2058 (c m^{3}) = 425,2 (d m^{3})$

Câu 34:

Cho các số phức $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ thỏa mãn điều kiện $|25 z_{1} z_{2} + 4 z_{2} z_{3} + 9 z_{1} z_{3}| = 120$ và $|z_{1}| = 2, |z_{2}| = 3, |z_{3}| = 5$ . Giá trị của biểu thức $P = |z_{1} + z_{2} + z_{3}|$ bằng

A. 1.

B. 4

C. 2.

D. 3

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có $|z_{1}| = 2, |z_{2}| = 3, |z_{3}| = 5$ nên $\bar{z_{1}} . z_{1} = {|z_{1}|}^{2} = 4, \bar{z_{2}} . z_{2} = {|z_{2}|}^{2} = 9, \bar{z_{3}} . z_{3} = {|z_{3}|}^{2} = 25$

Khi đó $\bar{z_{1}} . z_{1} = {|z_{1}|}^{2} = 4, \bar{z_{2}} . z_{2} = {|z_{2}|}^{2} = 9, \bar{z_{3}} . z_{3} = {|z_{3}|}^{2} = 25$

$\Leftrightarrow |(\bar{z_{3}} + \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}) z_{1} z_{2} z_{3}| = 120 \Leftrightarrow |\bar{z_{3}} + \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}| = 4$ hay $P = |z_{1} + z_{2} + z_{3}| = 4$

Câu 35:

Cho hàm số

y = \frac{(m + 1) x + 2 m + 2}{x + m}

. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên

(- 1; + \infty) ?

A. m > 1

B. $1 \leq m < 2.$

C. $[\begin{array}{l} m < 1 \\ m > 2 \end{array} .$

D. $m > 2.$

Xem đáp án

Đáp án B

Tập xác định $D = ℝ \ \{- m\}$

Ta có $y' = \frac{m^{2} - m - 2}{{(x + m)}^{2}}$

Hàm số nghịch biến trên $(- 1; + \infty)$ khi và chỉ khi

y' < 0, \forall x \in (- 1; + \infty) \Leftrightarrow \{\begin{cases} m^{2} - m - 2 < 0 \\ - m \leq - 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 < m < 2 \\ m \geq 1 \end{cases} \Leftrightarrow 1 \leq m < 2

Câu 36:

Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số $y = 3 f (x + 2) - 2 x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 3 x + 2020$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(1; + \infty) .$

B. $(- \infty; - 1) .$

C. $(- 1; \frac{1}{2}) .$

D. $(0; 2) .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $y' = 3 f' (x + 2) - 6 x^{2} - 3 x + 3$

Xét $y' \geq 0 \Leftrightarrow f' (x + 2) \geq 2 x^{2} + x - 1$

Từ bảng biên thiên của f(x) ta suy ra bảng biến thiên của $f' (x + 2)$ như sau

Suy ra $f' (x + 2) > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} - 3 < x < 1 \\ x > 2 \end{array} \Rightarrow - 1 < x < \frac{1}{2}$ thì $f' (x + 2) > 0$

Mặt khác $2 x^{2} + x - 1 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < \frac{1}{2}$

Do đó $f' (x + 2) \geq 2 x^{2} + x - 1$ với $- 1 < x < \frac{1}{2}$

Câu 37:

Cho hai đường cong

(C_{1}) : y = 3^{x} (3^{x} - m + 2) + m^{2} - 3 m

và

(C_{2}) : 3^{x} + 1

. Để

C_{1}

và

C_{2}

tiếp xúc nhau thì giá trị của tham số m bằng

A. $m = \frac{5 - 2 \sqrt{10}}{3} .$

B. $m = \frac{5 + 3 \sqrt{2}}{3} .$

C. $m = \frac{5 + 2 \sqrt{10}}{3} .$

D. $m = \frac{5 - 3 \sqrt{2}}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $t = 3^{x} (t > 0)$ suy ra $(C_{1}) : y = 3^{x} (3^{x} - m + 2) + m^{2} - 3 m = t^{2} + (2 - m) t + m^{2} - 3 m = f (t)$ và $(C_{2}) : y = 3^{x} + 1 = t + 1 = g (t)$

Để $C_{1}$ và $C_{2}$ tiếp xúc nhau thì hệ $\{\begin{cases} f (t) = g (t) \\ f' (t) = g' (t) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t^{2} + (2 - m) t + m^{2} - 3 m = t + 1 \\ 2 t + 2 - m = 1 \end{cases}$ có nghiệm t > 0

Ta có $\{\begin{cases} t^{2} + (2 - m) t + m^{2} - 3 m = t + 1 \\ 2 t + 2 - m = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 2 t + 1 \\ 3 t^{2} - 2 t - 3 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = 2 t + 1 \\ t = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{3} \end{cases}$

Do nghiệm t >0 nên $t = \frac{1 + \sqrt{10}}{3} \Rightarrow m = \frac{5 + 2 \sqrt{10}}{3} .$

Câu 38:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (2; 1; 1)$ . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác gốc O sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất là

A. $2 x - y + 2 z - 3 = 0.$

B. $4 x - y - z - 6 = 0.$

C. $2 x + y + 2 z - 6 = 0.$

D. $x + 2 y + 2 z - 6 = 0.$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$

Do A, B, C thuộc ba tia Ox, Oy, Oz nên $a, b, c > 0$

Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn có dạng $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

Vì $M (2; 1; 1) \in (P) \Rightarrow \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương $\frac{2}{a}; \frac{1}{b}; \frac{1}{c}$ ta có: $1 = \frac{2}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{2}{a b c}} \Rightarrow a b c \geq 54$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{2}{a} = \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{1}{3} \Rightarrow \{\begin{cases} a = 6 \\ b = c = 3 \end{cases}$

Suy ra $V_{O . A B C} = \frac{a b c}{6} \geq 9$

Vậy $(P) : \frac{x}{6} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow x + 2 y + 2 z - 6 = 0$

Câu 39:

Cho các hàm số $y = f (x), y = g (x)$ có đạo hàm liên tục trên [0;3]. Đồ thị của hàm số $y = f' (x), y = g' (x)$ được cho như hình vẽ bên. Diện tích các hình phẳng (H), (K) lần lượt là $\frac{5}{12}, \frac{8}{3}$ . Biết $f (0) - g (0) = 1.$ Hiệu $f (3) - g (3)$ bằng

Cho các hàm số y=f(x);y=g(x) có đạo hàm liên tục trên [0;3]. Đồ thị của hàm số (ảnh 1)

A. $- \frac{5}{4} .$

B. $\frac{5}{4} .$

C. $- \frac{2}{3} .$

D. $\frac{2}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Dựa vào đồ thị ta có

$\int_{0}^{1} (f' (x) - g' (x)) d x = \frac{5}{12} \Leftrightarrow (f (1) - g (1)) - (f (0) - g (0)) = \frac{5}{12} (1)$

$- \int_{1}^{3} (f' (x) - g' (x)) d x = \frac{8}{3} \Leftrightarrow (f (1) - g (1)) - (f (3) - g (3)) = \frac{8}{3} (2)$

Từ (1) và (2), suy ra

(f (0) - g (0)) - (f (3) - g (3)) = \frac{8}{3} - \frac{5}{12} \Rightarrow f (3) - g (3) = - \frac{5}{4}

Câu 40:

Cho hình chóp đều S.ABC có $\hat{A S B} = 30^{o}, S A = 1$ . Lấy điểm B’, C’ lần lượt thuộc cạnh SB, SC sao cho chu vi tam giác AB’C’ là nhỏ nhất. Tỉ số $\frac{V_{S . A B' C'}}{V_{S . A B C}} = a + b \sqrt{3}, (a, b \in ℤ)$ . Giá trị 3a+4b bằng

A. 2

B. 3

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Đáp án D

Cắt tứ diện theo các cạnh SA, AC, AB rồi trải lên mặt phẳng (SBC)

Tam giác SBC giữ nguyên, tam giác SAB lật thành tam giác SAB; tam giác SAC thành tam giác SCA’.

Do đó: $A C' = A' C'; S A' = S A = 1$

$\hat{A_{1} S A_{2}} = \hat{A_{1} S B} + \hat{B S C} + \hat{C S A_{2}} = 3.30 = 90^{o}$ và $S A' = S A = 1$ nên $Δ S A A'$ là tam giác vuông cân.

$C_{A B' C'} = A B' + B' C' + A C' = A B' + B' C' + A' C' \geq A A' = \sqrt{2}$ không đổi,

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, B’, C’, A’ thẳng hàng tức là khi $B' \equiv B_{o}, C' \equiv C_{o}$

Ta có $\frac{S B'}{S B} = \frac{S B_{o}}{S B} = \frac{S B_{0}}{S A} = \frac{\sin \hat{S A B_{o}}}{\sin \hat{S B_{o} A}} = \frac{\sin 45^{o}}{\sin 105^{o}} = - 1 + \sqrt{3}$

Vậy $\frac{V_{S . A B' C'}}{V_{S . A B C}} = \frac{S B'}{S B} . \frac{S C'}{S C} = {(\frac{S B'}{S B})}^{2} = 4 - 2 \sqrt{3} \Rightarrow 3 a + 4 b = 4$

Câu 41:

Chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $60^{o}$ . Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB sao cho $\vec{M A} + 2 \vec{M B} = \vec{0}$ . Gọi $(S_{1}), (S_{2})$ lần lượt là giao tuyến của hai mặt cầu ngoại tiếp các khối chóp S.ABCD và S.CDM. Biết rằng $(S_{1})$ và $(S_{2})$ có giao tuyến là một đường tròn. Bán kính của đường tròn đó bằng

A. 2a

B. 3a

C. $\frac{5 a}{8} .$

D. $\frac{3 a}{8} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta dễ thấy đường tròn giao tuyến cần tìm chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác SCD. Gọi I là trung điểm của CD. Từ giả thiết ta suy ra $S I = a$ .

Khi đó $S C = S D = \sqrt{S I^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

Mặt khác

S_{Δ S C D} = \frac{1}{2} S I . C D = \frac{a^{2}}{2} \Rightarrow R_{Δ S C D} = \frac{S C . S D . C D}{4 S_{Δ S C D}} = \frac{5 a}{8}

Câu 42:

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm $A (3; 1; 0), B (2; 0; - 1), C (2; 2; 0), D (3; 7; 3)$ . Với mỗi điểm M tùy ý, đặt $T = M A + M B + M C + M D .$ Gọi $M_{o} (a, b, c)$ là điểm sao cho T đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó tổng $a + 5 b + c$ bằng

A. $\frac{17}{4} .$

B. 11

C. - 7

D. 4

Xem đáp án

Câu 43:

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y =f(x) . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |f (x + 1) + m|$ có 5 điểm cực trị?

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y=f(x). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số (ảnh 1)

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Đồ thị hàm số $y = |f (x + 1) + m|$ được suy ra từ đồ thị (C) ban đầu như sau

+ Tịnh tiến (C) sang trái một đơn vị, sau đó tịnh tiến lên trên (hay xuống dưới) m đơn vị. Ta được đồ thị $(C') : y = f (x + 1) + m$

+ Phần đồ thị $(C')$ nằm dưới trục hoành, lấy đối xứng qua trục Ox ta được đồ thị của hàm số $y = |f (x + 1) + m|$

Ta được bảng biến thiên của hàm số $g (x) = f (x + 1) + m$ như sau:

Để hàm số $y = |f (x + 1) + m|$ có 5 điểm cực trị thì đồ thị của hàm số $(C') : y = f (x + 1) + m$ phải cắt trục Ox tại 2 hoặc 3 giao điểm.

Đề bài yêu cầu tìm m nguyên dương nên ta xét trường hợp $\{\begin{cases} m > 0 \\ - 3 + m \geq 0 \\ - 6 + m < 0 \end{cases} \Leftrightarrow 3 \leq m < 6$

Vậy có ba giá trị nguyên dương của m là

m \in \{3; 4; 5\}

Câu 44:

Tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đường cong $(C_{1}) : y = x^{3}$ và $(C_{2}) : y = x^{2} + x + m$ có 4 tiếp tuyến chung là

A. $\frac{4}{27} < m < \frac{3}{8} .$

B. $\frac{1}{27} < m < \frac{1}{8} .$

C. $\frac{5}{27} < m < \frac{1}{4} .$

D. $\frac{1}{8} < m < \frac{3}{8} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_{o}$ của đồ thị hàm số $y = x^{3}$ là

$y = 3 x_{o}^{2} (x - x_{o}) + x_{o}^{3} = 3 x_{o}^{2} . x - 2 x_{o}^{3} (1)$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x_{1}$ của đồ thị hàm số $y = x^{2} + x + m$ là

$y = (2 x_{1} + 1) (x - x_{1}) + x_{1}^{2} + x_{1} + m = (2 x_{1} + 1) . x - x^{2} + m (2)$

Để hai đồ thị hàm số có tiếp tuyến chung thì $(1) \equiv (2)$

$\Rightarrow \{\begin{cases} 3 x_{o}^{2} = 2 x_{1} + 1 \\ - 2 x_{o}^{3} = - x_{1}^{2} + m \end{cases} \Rightarrow - 2 x_{o}^{3} = - {(\frac{3 x_{o}^{2} - 1}{2})}^{2} + m \Leftrightarrow 4 m = 9 x_{o}^{4} - 8 x_{o}^{3} - 6 x_{o} + 1$

Xét $y = 9 x_{o}^{4} - 8 x_{o}^{3} - 6 x_{o}^{2} + 1; y' = 36 x_{o}^{3} - 24 x_{o}^{2} - 12 x_{o}$

Khi đó $y' = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{o} = 0 \\ 3 x_{o}^{2} - 2 x_{o} - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x_{o} = 0 \\ x_{o} = 1 \\ x_{o} = - \frac{1}{3} \end{array}$

Bảng biến thiên

Do đó phương trình có 4 nghiệm khi $\frac{5}{27} < m < \frac{1}{4}$

Câu 45:

Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5;6}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lấy ra từ tập A sao cho phải có mặt đúng 3 chữ số lẻ và chúng không đứng liền nhau?

A. 728 số.

B. 648 số.

C. 468 số.

D. 180 số.

Xem đáp án

Câu 46:

Số giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2000;21] để phương trình $(x - 3) [\log_{2} (3 x + 1) + \log_{3} (4 x + 1) + \log_{5} (6 x + 1)] = 7 x - m$ có đúng hai nghiệm thực là

A. 2.

B. 2022.

C. 1.

D. 2021

Xem đáp án

Câu 47:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn

f (- x) + 2019 f (x) = x \sin x

. Giá trị tích phân

I = \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x

bằng

A. $\frac{1}{1010} .$

B. $\frac{1}{2019} .$

C. $\frac{1}{1009} .$

D. $\frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = - x \Rightarrow d t = - d x$

Với $x = \frac{- π}{2} \Rightarrow t = \frac{π}{2}; x = \frac{π}{2} \Rightarrow t = \frac{- π}{2} .$ Khi đó $I = - \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{- π}{2}} f (- t) d t = \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- t) d t = \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x$

Suy ra

2020. I = \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (- x) d x + 2019. \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} x \sin x d x = 2 \Rightarrow I = \frac{2}{2020} = \frac{1}{1010}

Câu 48:

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực tiểu của hàm số $g (x) = 2 f^{3} (x) + 4 f^{2} (x) + 1$ là

A. 5

B. 3

C. 4

D. 9

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $g' (x) = 6 f' (x) f^{2} (x) + 8 f' (x) f (x) = 2 f' (x) f (x) (3 f (x) + 4)$

Suy ra $g' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f' (x) = 0 \\ f (x) = 0 \\ f (x) = - \frac{4}{3} \end{array}$ . Từ bảng biến thiên của hàm số y=f(x) ta có

+ $f' (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 1 \\ x = 0 \end{array}$

+ Phương trình $f (x) = 0$ có 2 nghiệm $x_{1}$ và $x_{2}$ (giả sử $x_{1} < x_{2}$ ). Suy ra $x_{1} < - 1$ và $x_{2} > 1.$

+ Phương trình $f (x) = - \frac{4}{3}$ có 4 nghiệm $x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ (giả sử $x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6})$

Có 4 giá trị thỏa mãn yêu cầu sau $x_{1} < x_{3} < - 1; - 1 < x_{4} < 0; 0 < x_{5} < 1; 1 < x_{6} < x_{2}$

Bảng biến thiên của hàm số $y = g (x)$

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau (ảnh 2)

Suy ra hàm số $y = g (x)$ có 5 điểm cực tiểu.

Câu 49:

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \leq 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y$ . Giá trị m + M bằng

A. $60 - 20 \sqrt{10} .$

B. $44 - 20 \sqrt{10} .$

C. $\frac{9}{5} .$

D. $52 - 20 \sqrt{10} .$

Xem đáp án

Gọi $N (x; y)$ là điểm biểu diễn cho số phức $z = x + y i$

Ta có: $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \Leftrightarrow 2 x + y + 2 \leq 0; |z - 2 + i| \leq 5 \Leftrightarrow {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} \leq 25$ (hình tròn tâm $I (2; - 1)$ , bán kính $r = 5)$ . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \leq 5$ thuộc miền (T) (xem hình vẽ với $A (- 2; 2); B (2; - 6)$ ).

Ta có $P + 25 = {(x + 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} \Rightarrow \sqrt{P + 25} = \sqrt{{(x + 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2}} = N J$ (với $J (- 4; - 3))$

Bài toán trở thành tìm điểm N thuộc miền (T) sao cho NJ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

Ta có: $I J - r \leq N J \leq J B \Leftrightarrow 2 \sqrt{10} - 5 \leq \sqrt{P + 25} \leq 3 \sqrt{5} \Leftrightarrow 40 - 20 \sqrt{10} \leq P \leq 20$

Vậy $m + M = 60 - 20 \sqrt{10}$

Cho số phức z=x+yi(x;y thuộc R) thỏa mãn|z ngang +2-3i|<=|z-2+i|<=5 . Gọi m, M lần lượt là giá trị lớn nhất, (ảnh 1)

Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm $I (- 1; 2; 5)$ và đi qua điểm $A (1; 0; 1)$ . Xét các điểm B, C, D thuộc mặt cầu (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng

A. $\frac{32 \sqrt{3}}{9} .$

B. $\frac{64 \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{63 \sqrt{2}}{3} .$

D. $\frac{128 \sqrt{6}}{3} .$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $A B = a, A C = b, A D = c$ thì ABCD là tứ diện vuông đỉnh A nội tiếp mặt cầu (S). Khi đó ABCD là tứ diện đặt ở góc A của hình hộp chữ nhật tương ứng có các cạnh AB, AC, AD và đường chéo AA’ là đường kính của cầu.

Ta có: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 4 R^{2}$ . Xét $V = V_{A B C D} = \frac{1}{6} a b c \Leftrightarrow V^{2} = \frac{1}{36} a^{2} b^{2} c^{2}$ .

Mặt khác $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 3 \sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} \Leftrightarrow (\frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{3}) \geq a^{2} b^{2} c^{2} \Leftrightarrow {(\frac{4 R^{2}}{3})}^{3} \leq 36. V^{2} \Leftrightarrow V \leq R^{3} . \frac{4 \sqrt{3}}{27}$

Với $R = I A = 2 \sqrt{6} .$ Vậy $V_{\max} = \frac{64 \sqrt{2}}{3}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết

25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 4)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan