50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 24)

Câu 1:

Rút gọn biểu thức $P = \sqrt{x \sqrt[3]{x \sqrt[4]{x ... \sqrt[n]{x}}}}$ với $x > 0, n \in ℕ, n \geq 2$ ta được kết quả . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $α = \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{n!}$

B. $α = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}$

C. $α = \frac{1}{2!} + ... + \frac{1}{(n - 1)!}$

D. $α = \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{n - 1}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $P = \sqrt{x \sqrt[3]{x \sqrt[4]{x ... \sqrt[n]{x}}}} = x^{\frac{1}{2}} . x^{\frac{1}{2.3}} . x^{\frac{1}{2.3.4}} ... x^{\frac{1}{2.3.4... n}} \Rightarrow α = \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... + \frac{1}{n!}$ .

Câu 2:

Cho các số phức $z_{1} = 2 - 3 i, z_{2} = 1 + 4 i$ . Số phức liên hợp với số phức $z_{1} z_{2}$ bằng

A. $- 14 - 5 i$

B. $- 10 - 5 i$

C. $- 10 + 5 i$

D. $14 - 5 i$

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có:

z_{1} z_{2} = (2 - 3 i) (1 + 4 i) = 14 + 5 i \Rightarrow \bar{z_{1} z_{2}} = 14 - 5 i

Câu 3:

Cho mặt phẳng $(α)$ và đường thẳng $d ⊄ (α)$ . Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu $d // (α)$ và $d^{'} ⊄ (α)$ thì d và d' hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau.

B. Nếu

d // (α)

thì trong

(α)

tồn tại đường thẳng a sao cho

a // d

.

C. Nếu

d // c \subset (α)

thì

d // (α)

.

D. Nếu

d // (α)

và

b \subset (α)

thì

d // b

.

Xem đáp án

Đáp án D

Nếu $d // (α)$ và $b \subset (α)$ thì chưa chắc $d // b$ , có thể xảy ra trường hợp d và b chéo nhau.

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với $A (1; 2; - 1), B (2; - 1; 3), C (- 4; 7; 5)$ . Độ dài phân giác trong của tam giác ABC kẻ từ đỉnh B là

A. $\frac{3 \sqrt{73}}{3}$

B. $2 \sqrt{30}$

C. $\frac{2 \sqrt{74}}{5}$

D. $\frac{2 \sqrt{74}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $D (a; b; c)$ là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh B. Ta có:

\frac{B A}{B C} = \frac{A D}{C D} = \frac{1}{2} \Rightarrow \vec{A D} = - \frac{1}{2} \vec{C D} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 (a - 1) = - a - 4 \\ 2 (b - 2) = - b + 7 \\ 2 (c + 1) = - c + 5 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = - \frac{2}{3} \\ b = \frac{11}{3} \\ c = 1 \end{cases} \Rightarrow B D = \frac{2 \sqrt{74}}{3}

.

Câu 5:

Cho hàm số $y = \frac{3 x + 1}{1 - 2 x}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1.

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

y = - \frac{3}{2}

.

C. Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y =3.

D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

Xem đáp án

Đáp án B

Đồ thị hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ có tiệm cận đứng $x = \frac{- d}{c}$ và tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$ nên tiệm cận ngang là $y = - \frac{3}{2}$ .

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 3}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 3}$ . Hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng (Oyz) là một đường thẳng có vectơ chỉ phương là

A. $\vec{u} = (0; 1; 3)$

B. $\vec{u} = (0; 1; - 3)$

C. $\vec{u} = (2; 1; - 3)$

D. $\vec{u} = (2; 0; 0)$

Xem đáp án

Đáp án B

Vectơ chỉ phương của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của xuống là hình chiếu của $\vec{u_{d}} = (2; 1; - 3)$ xuống (Oyz) suy ra $\vec{u} = (0; 1; - 3)$ .

Câu 7:

Nghiệm của phương trình $\cos x + \sin x + \cos x . \sin x = 1$ là

A. $x = \frac{π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$

B. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

C. $[\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = - \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

D. $[\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$

Xem đáp án

Đáp án D

Đặt $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}), - \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ . Khi đó $\sin x . \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2}$ .

Ta được $t + \frac{t^{2} - 1}{2} = 1 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 \end{array}$ ( $t = - 3$ loại).

Với $t = 1 \Rightarrow \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ)$ .

Câu 8:

Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số $f (x) = \frac{m x + 1}{x - m}$ có giá trị lớn nhất trên bằng -2.

A. m = -3

B. m = 2

C. m = 4

D. m = 3

Xem đáp án

Đáp án D

Tập xác định: $D = ℝ \ \{m\} \Rightarrow m \notin [1; 2]$ .

$f^{'} (x) = \frac{- m^{2} - 1}{{(x - m)}^{2}} < 0; \forall x \neq m \Rightarrow \max_{[1; 2]} f (x) = f (1) = \frac{m + 1}{1 - m}$ .

Theo đề bài $\max_{[1; 2]} f (x) = - 2 \Leftrightarrow \frac{m + 1}{1 - m} = - 2 \Rightarrow m + 1 = 2 m - 2 \Leftrightarrow m = 3$ .

Câu 9:

Cho tứ diện ABCD, trên cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho $A M = 2 M B$ , $A N = \frac{1}{3} A C$ . Gọi lần lượt là thể tích của tứ diện ABCD và AMND. Khi đó

A. $V_{2} = \frac{2}{9} V_{1}$

B. $V_{2} = 2 V_{1}$

C. $V_{2} = \frac{2}{3} V_{1}$

D. $V_{2} = \frac{1}{9} V_{1}$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\frac{V_{2}}{V_{1}} = \frac{A M}{A B} . \frac{A N}{A C} = \frac{2}{3} . \frac{1}{3} = \frac{2}{9} \Rightarrow V_{2} = \frac{2}{9} V_{1}$

.

Cho tứ diện ABCD, trên cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm M, N sao cho (ảnh 1)

Câu 10:

Cho hình phẳng (S) giới hạn bởi đồ thị các hàm số: $y = \sin 3 x; y = 0; x = 0$ và $x = \frac{π}{6}$ . Thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi (S) khi quay quanh trục Ox.

A. $\frac{π^{2}}{4}$

B. $\frac{π^{2}}{12}$

C. $\frac{π^{2}}{24}$

D. $\frac{π^{2}}{8}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi V là thể tích cần tính.

Ta có: $V = π \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin^{2} 3 x d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{\frac{π}{6}} (1 - \cos 6 x) d x = {\frac{π}{2} (x - \frac{1}{6} \sin 6 x)|}_{0}^{\frac{π}{6}}$

$= \frac{π}{2} (\frac{π}{6} - \frac{1}{6} \sin π - 0) = \frac{π^{2}}{12} (đvtt)$ .

Câu 11:

Với a, b là hai số thực dương và $a \neq 1$ , $\log_{\sqrt{a}} (a^{2} \sqrt{b})$ bằng

A. $\frac{1}{2} + \log_{a} b$

B. $4 + \log_{a} b$

C. $1 + 2 \log_{a} b$

D. $4 + 2 \log_{a} b$

Xem đáp án

: Đáp án B

Ta có: $\log_{\sqrt{a}} (a^{2} \sqrt{b}) = 2 (2 \log_{a} a + \log_{a} \sqrt{b}) = 2 (2 + \frac{1}{2} \log_{a} b) = 4 + \log_{a} b$ .

Câu 12:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định và liên tục trên R thỏa mãn $f (x^{5} + 4 x + 3) = 2 x + 1$ với mọi $x \in ℝ$ . Tích phân $\int_{- 2}^{8} f (x) d x$ bằng

A. 72

B. $\frac{32}{3}$

C. 10

D.2

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $x = t^{5} + 4 t + 3 \Rightarrow d x = (5 t^{4} + 4) d t$ và $f (x) = f (t^{5} + 4 t + 3) = 2 t + 1$ .

Với ; $x = - 2 \Rightarrow t^{5} + 4 t + 3 = - 2 \Leftrightarrow t = - 1; x = 8 \Rightarrow t^{5} + 4 t + 3 = 8 \Leftrightarrow t = 1$ .

Do đó

\int_{0}^{8} f (x) d x = \int_{- 1}^{1} (2 t + 1) (5 t^{4} + 4) d t = 10

.

Câu 13:

Cho hàm số $y = \frac{m x^{2} - 2 x + m - 1}{2 x + 1}$ . Đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất khi m bằng

A. 0

B. 1

C. -1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $y^{'} = \frac{2 m (x^{2} + x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$ . Để hàm số có hai cực trị thì $m \neq 0$ .

Lại có phương trình qua hai điểm cực trị là $y = m x - 1$ . Đường phân giác góc phần tư thứ nhất là y=x.

Vậy yêu cầu bài toán tương đương $m .1 = - 1$ hay $m = - 1$ .

Câu 14:

Biết $m_{0}$ là giá trị duy nhất của tham số m để phương trình $2^{x^{2}} {.3}^{m x - 1} = 6$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ sao cho $x_{1} + x_{2} = \log_{2} 81$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. $m_{0} \in (- 7; - 2)$

B. $m_{0} \in (- 2; 5)$

C. $m_{0} \in (5; 6)$

D. $m_{0} \in (6; 7)$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $2^{x^{2}} {.3}^{m x - 1} = 6 \Leftrightarrow x^{2} + (m x - 1) \log_{2} 3 = \log_{2} 6$ .

$\Leftrightarrow x^{2} + m (\log_{2} 3) . x - 2 \log_{2} 3 - 1 = 0$

Khi đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ = m^{2} {(\log_{2} 3)}^{2} + 4 (\log_{2} 3 + 1) > 0 \\ x_{1} + x_{2} = 4 \log_{2} 3 \end{cases}$

\Rightarrow - m \log_{2} 3 = 4 \log_{2} 3 \Rightarrow m = - 4

(thỏa mãn)

Câu 15:

Cho hình nón có bán kính đáy bằng 4a và chiều dài đường sinh của hình nón là 5a. Tính thể tích V của khối nón tạo bởi hình nón đã cho

A. $V = 20 π a^{3}$

B. $V = 12 π a^{3}$

C. $V = 16 π a^{3}$

D. $V = 5 π a^{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Đường cao của hình nón là $h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = 3 a$ . Thể tích khối nón $V = \frac{1}{3} . h . π . r^{2} = 16 π a^{3}$ .

Câu 16:

Một hộp sữa có dạng hình trụ và có thể tích bằng 2825cm³. Biết chiều cao của hộp sữa bằng 25cm. Diện tích toàn phần của hộp sữa đó gần với số nào sau đây nhất?

A. 1168cm².

B. 1172cm².

C. 1164cm².

D. 1182cm².

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi bán kính đáy của hình trụ là R. Khi đó theo bài ra ta có:

$V = 2825 \Leftrightarrow π R^{2} .25 = 2825 \Leftrightarrow R^{2} = \frac{113}{π} \Leftrightarrow R = \sqrt{\frac{113}{π}}$ .

Vậy diện tích toàn phần của hộp sữa là: $S_{t p} = 2 π R h + 2 π R^{2} = 2 π . \sqrt{\frac{113}{π}} .25 + 2 π {(\sqrt{\frac{113}{π}})}^{2} \approx 1168 ({cm}^{2})$

.

Câu 17:

Tính tích phân

I = \int_{0}^{2} \frac{{(x - 2)}^{2018}}{{(x + 1)}^{2020}} d x

.

A. $I = \frac{2^{2019}}{3.2020}$

B. $I = \frac{2^{2020}}{3.2019}$

C. $I = \frac{2^{2019}}{3.2019}$

D. $I = \frac{2^{2020}}{3.2021}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có: $I = \int_{0}^{2} \frac{{(x - 2)}^{2018}}{{(x + 1)}^{2020}} d x = \int_{0}^{2} {(\frac{x - 2}{x + 1})}^{2018} . \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$ .

Đặt: $t = \frac{x - 2}{x + 1} \Rightarrow d t = \frac{3}{{(x + 1)}^{2}} d x \Rightarrow \frac{1}{3} d t = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$ .

Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = - 2, x = 2 \Rightarrow t = 0 \Rightarrow I = \frac{1}{3} \int_{- 2}^{0} t^{2018} d t = {\frac{1}{3} . \frac{t^{2019}}{2019}|}_{- 2}^{0} = \frac{2^{2019}}{3.2019}$ .

Câu 18:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \frac{\cot x - 1}{m \cot x - 1}$ đồng biến trên khoảng $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ .

A. $m \in (- \infty; 0) \cup (1; + \infty)$

B. $m \in (- \infty; 0]$

C. $m \in (1; + \infty)$

D. $m \in (- \infty; 1]$

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có: $y^{'} = \frac{- (1 + \cot^{2} x) (m \cot x - 1) + m (1 + \cot^{2} x) (\cot x - 1)}{{(m \cot x - 1)}^{2}} = \frac{(1 + \cot^{2} x) (1 - m)}{{(m \cot x - 1)}^{2}}$ .

Hàm số đồng biến trên khoảng $(\frac{π}{4}; \frac{π}{2})$ khi và chỉ khi:

$\{\begin{cases} m \cot x - 1 \neq 0, \forall x \in (\frac{π}{4}; \frac{π}{2}) \\ y^{'} = \frac{(1 + \cot^{2} x) (1 - m)}{{(m \cot x - 1)}^{2}} > 0, \forall x \in (\frac{π}{4}; \frac{π}{2}) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\begin{array}{l} m \leq 0 \\ m \geq 1 \end{array} \\ 1 - m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \leq 0$ .

Câu 19:

Giá trị của m để hàm số $y = \{\begin{cases} \frac{2 \sqrt[3]{x} - x - 1}{x - 1}, x \neq 1 \\ m x + 1, x = 1 \end{cases}$ liên tục trên R là

A. $\frac{4}{3}$

B. $- \frac{1}{3}$

C. $- \frac{4}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án C

Hàm số liên tục trên các khoảng $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ .

Hàm số liên tục trên R Û hàm số liên tục tại điểm $x = 1 \Leftrightarrow \lim_{x \to 1} \frac{2 \sqrt[3]{x} - x - 1}{x - 1} = m + 1$

\Leftrightarrow \lim_{x \to 1} [\frac{2 (\sqrt[3]{x} - 1)}{x - 1} - 1] = m + 1 \Leftrightarrow \lim_{x \to 1} [\frac{2}{\sqrt[3]{x^{2}} + \sqrt[3]{x} + 1} - 1] = m + 1 \Leftrightarrow - \frac{1}{3} = m + 1 \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}

.

Câu 20:

Biết số phức $z = a + b i, (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn điều kiện $|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i|$ có môđun nhỏ nhất. Tính $M = a^{2} + b^{2}$ .

A. M = 16

B. M = 10

C. M = 8

D. M = 26

Xem đáp án

Đáp án C

Gọi $z = a + b i, (a, b \in ℝ)$ . Ta có $|z - 2 - 4 i| = |z - 2 i| \Leftrightarrow |a + b i - 2 - 4 i| = |a + b i - 2 i|$

$\Leftrightarrow \sqrt{{(a - 2)}^{2} + {(b - 4)}^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(b - 2)}^{2}} \Leftrightarrow a + b - 4 = 0$ .

$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(4 - a)}^{2}} = \sqrt{2 {(a - 2)}^{2} + 8} \geq 2 \sqrt{2}$ .

Vậy |z| nhỏ nhất khi $a = 2, b = 2$ . Khi đó $M = a^{2} + b^{2} = 8$ .

Câu 21:

Hàm số $F (x) = 7 e^{x} - \tan x$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

A. $f (x) = e^{x} (7 - \frac{e^{- x}}{\cos^{2} x})$

B. $f (x) = 7 e^{x} + \frac{1}{\cos^{2} x}$

C. $f (x) = 7 e^{x} + \tan^{2} x - 1$

D. $f (x) = 7 (e^{x} - \frac{1}{\cos^{2} x})$

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $F^{'} (x) = 7 e^{x} - \frac{1}{\cos^{2} x} = e^{x} (7 - \frac{e^{- x}}{\cos^{2} x})$ .

Câu 22:

Đường thẳng $d : y = a x + b$ tiếp xúc với đồ thị $(C) : y = x^{4} + 4 x^{3} - 2 x^{2}$ tại hai điểm phân biệt A, B. Diện tích của tam giác OAB bằng

A. 18

B. 9

C. $4 \sqrt{145}$

D. $\sqrt{145}$

Xem đáp án

Đáp án A

Để tiếp xúc (C) tại 2 điểm phân biệt thì ta phải có $x^{4} + 4 x^{3} - 2 x^{2} - a x - b = {(x - c)}^{2} {(x - e)}^{2}$ .

Đạo hàm hai vế ta được $4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 x - a = 2 (2 x - c - e) (x - e) (x - c)$

$\Rightarrow 4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 x - a = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $x = c, x = e, x = \frac{c + e}{2} \Rightarrow \frac{c + e}{2} = - 1$ .

Khi đó $4 x^{3} + 12 x^{2} - 4 x - a = 0$ có nghiệm

$x = - 1 \Rightarrow a = 12 \Rightarrow \{\begin{cases} c = - 3 \\ e = 1 \end{cases}$

.

Do đó $A (- 3; - 45); B (1; 3)$ . Vì vậy $S_{Δ O A B} = 18$ .

Câu 23:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên [4;9] thỏa mãn $f (x) = \frac{2 f (4 \sqrt{x} - 4)}{\sqrt{x}} + 3 x^{2} \forall x \in [4; 9]$ . Giá trị của $\int_{8}^{9} f (x) d x$ bằng

A. 666

B. 665

C. 333

D. 111

Xem đáp án

Đáp án B

Vì $f (x) = \frac{2 f (4 \sqrt{x} - 4)}{\sqrt{x}} + 3 x^{2}, \forall x \in [4; 9]$ nên $\int_{4}^{9} f (x) d x = \int_{4}^{9} \frac{2 f (4 \sqrt{x} - 4)}{\sqrt{x}} d x + 3 \int_{4}^{9} x^{2} d x$ .

$\Leftrightarrow \int_{4}^{9} f (x) d x = \int_{4}^{8} f (t) d t + 665 (t = 4 \sqrt{x} - 4)$

.

Câu 24:

Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $S A = S B = S C = a$ , cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là

A. $\frac{a^{3}}{2}$

B. $\frac{a^{3}}{8}$

C. $\frac{3 a^{3}}{8}$

D. $\frac{a^{3}}{4}$

Xem đáp án

Đáp án D

Khi SD thay đổi thì AC thay đổi.

Đặt AC = x . Gọi $O = A C \cap B D$ .

Vì $S A = S B = S C$ nên chân đường cao SH trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

$\Rightarrow H \in B O$ .

Ta có $O B = \sqrt{a^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{4 a^{2} - x^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}{2}$ $S_{A B C} = \frac{1}{2} O B . A C = \frac{1}{2} . x . \frac{\sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}{2} = \frac{x \sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}{4}$ .

$H B = R = \frac{a . a . x}{4 S_{A B C}} = \frac{a^{2} x}{4. \frac{x \sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}{4}} = \frac{a^{2}}{\sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}$ .

$S H = \sqrt{S B^{2} - B H^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{a^{4}}{4 a^{2} - x^{2}}} = \frac{a \sqrt{3 a^{2} - x^{2}}}{\sqrt{4 a^{2} - x^{2}}}$ .

$= \frac{1}{6} a (x . \sqrt{3 a^{2} - x^{2}}) \leq \frac{1}{6} a (\frac{x^{2} + 3 a^{2} - x^{2}}{2}) = \frac{a^{3}}{4}$ .

Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a (ảnh 1)

Câu 25:

Cho số phức z thỏa mãn $|z + 2| + |z - 2| = 8$ . Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm M biểu diễn cho số phức z là

A. $(C) : {(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 64$

B. $(E) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$

C. $(E) : \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

D. $(C) : {(x + 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 8$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi $M (x; y), F_{1} (- 2; 0), F_{2} (2; 0)$ .

Ta có $|z + 2| + |z - 2| = 8 \Leftrightarrow \sqrt{x^{2} + {(y + 2)}^{2}} + \sqrt{x^{2} + {(y - 2)}^{2}} = 8 \Leftrightarrow M F_{1} + M F_{2} = 8$ .

Do đó điểm M(x;y) nằm trên elip (E) có 2a=8=> a=4. Ta có $F_{1} F_{2} = 2 c \Leftrightarrow 4 = 2 c \Leftrightarrow c = 2$ .

Ta có

b^{2} = a^{2} - c^{2} = 16 - 4 = 12

. Vậy tập hợp các điểm M là elip

(E) : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1

.

Câu 26:

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Bảng biến thiên của hàm số y=f'(x) được cho như sau.

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R . (ảnh 1)

Hàm số $y = f (1 - \frac{x}{2}) + x$ nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

A. (2;4)

B. (-4;2)

C. (-2;0)

D. (0;2)

Xem đáp án

Đáp án B

Xét hàm số $g (x) = f (1 - \frac{x}{2}) + x, g^{'} (x) = - \frac{1}{2} f^{'} (1 - \frac{x}{2}) + 1$

$g^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{2} f^{'} (1 - \frac{x}{2}) + 1 < 0 \Leftrightarrow f^{'} (1 - \frac{x}{2}) > 2 \Rightarrow 2 < 1 - \frac{x}{2} < 3 \Leftrightarrow - 4 < x < - 2$ .

Vậy hàm số g(x) nghịch biến trên $(- 4; - 2)$ .

Câu 27:

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = (2 m - 1) x - (3 m + 2) \cos x$ nghịch biến trên R.

A. $- 3 \leq m \leq - \frac{1}{5}$

B. $- 3 < m < - \frac{1}{5}$

C. $m < - 3$

D. $m \geq - \frac{1}{5}$

Xem đáp án

Đáp án A

Tập xác định: D=R.

Ta có: $y^{'} = (2 m - 1) + (3 m + 2) \sin x$ .

Để hàm số nghịch biến trên R thì $y^{'} \leq 0, \forall x$ tức là: $(2 m - 1) + (3 m + 2) \sin x \leq 0 (1), \forall x \in ℝ$ .

+) $m = - \frac{2}{3}$ thì (1) thành $- \frac{7}{3} \leq 0, \forall x \in ℝ$ .

+) $m > - \frac{2}{3}$ thì (1) thành $\sin x \leq \frac{1 - 2 m}{3 m + 2} \Rightarrow \frac{1 - 2 m}{3 m + 2} \geq 1 \Leftrightarrow \frac{5 m + 1}{3 m + 2} \leq 0 \Leftrightarrow - \frac{2}{3} < m \leq \frac{- 1}{5}$ .

+) $m < - \frac{2}{3}$ thì (1) thành $\sin x \geq \frac{1 - 2 m}{3 m + 2} \Rightarrow \frac{1 - 2 m}{3 m + 2} \leq - 1 \Leftrightarrow \frac{m + 3}{3 m + 2} \leq 0 \Leftrightarrow - 3 \leq m < - \frac{2}{3}$ .

Kết hợp được: $- 3 \leq m \leq - \frac{1}{5}$ .

Câu 28:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu tâm

I (1; 2; - 3)

cắt đường thẳng

d : \frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{2}

tại hai điểm phân biệt A; B với chu vi tam giác IAB bằng

12 + 2 \sqrt{10}

có phương trình

A. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 36$

B. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 144$

C. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 100$

D. ${(x - 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 10$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d.

Ta có $I H = d (I; d) = \frac{|[\vec{M I}, \vec{u_{d}}]|}{|\vec{u_{d}}|} = \sqrt{26}$ với $M (0; 0; 2) \in d; \vec{u_{d}} = (2; 1; 2)$ .

Trong tam giác vuông IAH ta có: $A H = \sqrt{R^{2} - 26}$ .

Theo giả thiết ta có: $I A + I B + A B = 2 \sqrt{R^{2} - 26} + 2 R = 12 + 2 \sqrt{10}$

$\Leftrightarrow \sqrt{R^{2} - 26} = (6 + \sqrt{10}) - R \Rightarrow 2 R (6 + \sqrt{10}) = 72 + 12 \sqrt{10} \Leftrightarrow R = 6$ .

Vậy phương trình mặt cầu là: ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z + 3)}^{2} = 36$ .

Câu 29:

Cho khai triển nhị thức ${(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} x)}^{10} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ... + a_{10} x^{10}$ . Hệ số lớn nhất trong khai triển trên khi k bằng

A. 5

B. 3

C. 6

D.7

Xem đáp án

Đáp án D

Số hạng tổng quát của khai triển: $C_{10}^{k} {(\frac{1}{3})}^{10 - k} . {(\frac{2}{3} x)}^{k} = C_{10}^{k} \frac{2^{k}}{3^{10}} x^{k} = a_{k} . x^{k} (k \geq 0)$ .

Giả sử là hệ số lớn nhất thì ${\begin{cases} a_{k} \geq a_{k + 1} \\ a_{k} \geq a_{k - 1} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} C_{10}^{k} \frac{2^{k}}{3^{10}} \geq C_{10}^{k + 1} \frac{2^{k + 1}}{3^{10}} \\ C_{10}^{k} \frac{2^{k}}{3^{10}} \geq C_{10}^{k - 1} \frac{2^{k - 1}}{3^{10}} \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} \frac{10!}{(10 - k)! . k!} \geq \frac{2.10!}{(9 - k)! . (k + 1)!} \\ \frac{2.10!}{(10 - k)! . k!} \geq \frac{10!}{(11 - k)! . (k - 1)!} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{10 - k} \geq \frac{2}{k + 1} \\ \frac{2}{k} \geq \frac{1}{11 - k} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k + 1 \geq 2 (10 - k) \\ 2 (11 - k) \geq k \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k \geq \frac{19}{3} \\ k \leq \frac{22}{3} \end{cases} \Rightarrow k = 7$ .

Câu 30:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên và hàm số $y = g (x) = x f (x^{2})$ có đồ thị trên đoạn [0;2] như hình vẽ. Biết diện tích miền tô màu là $S = \frac{5}{2}$ . Tích phân $\int_{1}^{4} f (x) d x$ bằng

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên R và hàm số có đồ thị trên đoạn như hình vẽ. Biết (ảnh 1)

A. 5

B. $\frac{5}{2}$

C. $\frac{5}{4}$

D. 10

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $S = \int_{1}^{2} x f (x^{2}) d x = \frac{5}{2}, t = x^{2} \Rightarrow d t = 2 x d x$ .

Suy ra $S = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f (t) d t \Rightarrow \int_{1}^{4} f (x) d x = 2 S = 5$ .

Câu 31:

Cho a = ln2 và b = ln 5 . Biểu thức $M = \ln \frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + \ln \frac{3}{4} + ... + \ln \frac{999}{1000}$ có giá trị là

A. $M = - 3 (a - b)$

B. $M = 3 (a + b)$

C. $M = - 3 (a + b)$

D. $M = 3 (a - b)$

Xem đáp án

: Đáp án C

Ta có $= \ln \frac{1}{2} + \ln \frac{2}{3} + \ln \frac{3}{4} + ... + \ln \frac{999}{1000} = \ln (\frac{1}{2} . \frac{2}{3} ... \frac{990}{1000}) = \ln \frac{1}{1000} = - \ln 1000 = - \ln (2^{3} {.5}^{3})$

$= - (3 \ln 2 + 3 \ln 5) = - 3 (a + b)$ .

Câu 32:

Cho hình thang ABCD vuông tại A, D với ,

A B = A D = a, D C = 2 a

. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang ABCD quanh AD là

A. $V = \frac{5 π a^{3}}{3}$

B. $V = \frac{7 π a^{3}}{3}$

C. $V = \frac{8 π a^{3}}{3}$

D. $V = \frac{4 π a^{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi S là giao điểm của BC và AD.

Gọi $V_{1}$ là thể tích khối nón đỉnh S, đường sinh SC, bán kính đáy DC $\Rightarrow V_{1} = \frac{1}{3} S D . π . D C^{2} = \frac{8 π a^{3}}{3}$ .

Gọi $V_{2}$ là thể tích khối nón đỉnh S, đường sinh SB, bán kính đáy AB $\Rightarrow V_{2} = \frac{1}{3} S A . π . A B^{2} = \frac{π a^{3}}{3}$ .

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm bằng: $V_{1} - V_{2} = \frac{7 π a^{3}}{3}$ .

Cho hình thang ABCD vuông tại A, D với AB= a , (ảnh 1)

Câu 33:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $f^{'} (x) . {[f (x)]}^{2018} = x . e^{x}$ với mọi $x \in ℝ$ và f(1)=1. Hỏi phương trình $f (x) = - \frac{1}{e}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có: $\int f^{'} (x) {[f (x)]}^{2018} d x = \int x e^{x} d x \Leftrightarrow \int {[f (x)]}^{2018} d f (x) = (x - 1) . e^{x} + C$

$\Leftrightarrow \frac{1}{2019} . {[f (x)]}^{2019} = (x - 1) . e^{x} + C \Leftrightarrow {[f (x)]}^{2019} = 2019 (x - 1) . e^{x} + 2019 C$

Do $f (1) = 1$ nên $2019 C = 1$ hay ${[f (x)]}^{2019} = 2019 (x - 1) . e^{x} + 1$ .

Ta có: $\{\begin{cases} g^{'} (x) = 2019 x . e^{x}; g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0; g (0) = - 2019 + 1 + \frac{1}{e^{2019}} < 0 \\ \lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty; \lim_{x \to - \infty} g (x) = 1 + \frac{1}{e^{2019}} > 0 \end{cases}$ .

Xét hàm số trên .

Ta có .

Bảng biến thiên của hàm số:

Cho hàm số f(x) thỏa mãn f'(x)[f(x)]^2018=xe^x với mọi (ảnh 1)

Do đó phương trình $f (x) = - \frac{1}{e}$ có đúng 2 nghiệm.

Câu 34:

Cho hàm số bậc bốn $y = f (x)$ có đồ thị như hình vẽ. Số nghiệm nguyên của tham số m để phương trình $|f (|x - 2 m|)| = m$ có 10 nghiệm phân biệt là

Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị như hình (ảnh 1)

A. 0

B. 2

C. 1

D. Vô số

Xem đáp án

Đáp án B

Vẽ đồ thị hàm số $y = |f (|x|)|$ như hình bên dưới

Cho hàm số bậc bốn y=f(x) có đồ thị như hình (ảnh 2)

Ta có $|f (|2 - m|)| = m$ có cùng số nghiệm với phương trình $|f (|x|)| = m$ .

Đường thẳng y = m cắt $y = |f (|x|)|$ tại 10 điểm phân biệt khi nên có 2 giá trị nguyên m thỏa mãn.

Câu 35:

Cho hình chóp đều S.ABC có B = 2a, khoảng cách từ A đến (SBC) là $\frac{3 a}{2}$ . Thể tích hình chóp S.ABC là

A. $a^{3} \sqrt{3}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm .

Ta có: $S G ⊥ (A B C) \Rightarrow S G ⊥ B C$ . Mà $A M ⊥ B C$ nên $B C ⊥ (S A M)$ .

Kẻ tại H. Suy ra: $A H ⊥ (S B C)$

$\Rightarrow d (A, (S B C)) = A H = \frac{3 a}{2}$ .

Ta có: $A M = a \sqrt{3}, G M = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ .

Đặt SG = x với x > 0.

Ta có:

Mặt khác: .

$S G . A M = A H . S M \Rightarrow x . a \sqrt{3} = \frac{3 a}{2} . \sqrt{x^{2} + \frac{a^{2}}{3}} \Leftrightarrow x^{2} = \frac{3}{4} (x^{2} + \frac{a^{2}}{3}) \Leftrightarrow \frac{x^{2}}{4} = \frac{a^{2}}{4} \Rightarrow x = a$

Lại có $S_{Δ A B C} = \frac{{(2 a)}^{2} . \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} a^{2}$ .

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S G = \frac{1}{3} . \sqrt{3} a^{2} . a = \frac{\sqrt{3} a^{3}}{3}$ .

Câu 36:

Cho hàm số $f (x) = x^{3} + x^{2} + m x$ với tham số thực m. Biết rằng hàm số có một giá trị cực trị là y = 1 . Giá trị cực trị còn lại của hàm số bằng

A. -1

B. $\frac{- 5}{27}$

C. $\frac{1}{3}$

D.0

Xem đáp án

Đáp án B

Tập xác định: D = R.

Ta có: $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x + m$ . Xét $f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 2 x + m = 0$ .

Để hàm số có cực trị thì $Δ^{'} = 1 - 3 m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{3} (*)$ .

Gọi $x_{0}$ là điểm cực trị của hàm số mà giá trị cực trị tương ứng là 1. Ta có:

$\{\begin{cases} f^{'} (x_{0}) = 3 x_{0}^{2} + 2 x_{0} + m = 0 \\ f (x_{0}) = x_{0}^{3} + x_{0}^{2} + m x_{0} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - (3 x_{0}^{2} + 2 x_{0}) \\ x_{0}^{3} + x_{0}^{2} - (3 x_{0}^{2} + 2 x_{0}) x_{0} = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} m = - 1 \\ x_{0} = - 1 \end{cases}$ .

Với m = -1 hàm số trở thành: $f (x) = x^{3} + x^{2} - x$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = \frac{1}{3} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} f (- 1) = 1 \\ f (\frac{1}{3}) = \frac{- 5}{27} \end{array}$ .

Vậy giá trị cực trị còn lại của hàm số là $\frac{- 5}{27}$ .

Câu 37:

Cho hàm số $y = \frac{x - 2}{x + 1}$ có đồ thị (C) . Từ một điểm A trên trục hoành sao cho từ A có thể kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) . Khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đi qua hai tiếp điểm của đồ thị đạt giá trị lớn nhất bằng

A. $\sqrt{10}$

B. $\sqrt{26}$

C. $\sqrt{12}$

D.6

Xem đáp án

Đáp án B

Ta có tiếp điểm $M (x_{0}; y_{0})$ nên phương trình tiếp tuyến: $y = \frac{3}{{(x_{0} + 1)}^{2}} (x - x_{0}) + \frac{x_{0} - 2}{x_{0} + 1}$

Gọi điểm $A (m; 0)$ thay vào tiếp tuyên ta có: $x_{0}^{2} - 4 x_{0} + 3 m - 2 = 0 \Leftrightarrow x_{0}^{2} - 4 x_{0} = 2 - 3 m$ .

Lại có $y_{0} = \frac{x_{0} - 2}{x_{0} + 1} = 1 - \frac{3}{x_{0} + 1} = 1 - \frac{3 (x_{0} - 5)}{(x_{0} + 1) (x_{0} - 5)} = \frac{m + x_{0} - 4}{m + 1} \Rightarrow x_{0} - y_{0} (m + 1) + m - 4 = 0$ .

Nên phương trình đường thẳng là

x - y (m + 1) + m - 4 = 0 \Rightarrow d (0; Δ) = \frac{|m - 4|}{\sqrt{1 + {(m + 1)}^{2}}} \leq \sqrt{26}

.

Câu 38:

Biết rằng bất phương trình $\log_{2} (5^{x} + 2) + 2. \log_{(5^{x} + 2)} 2 > 3$ có tập nghiệm là $S = (\log_{a} b; + \infty)$ , với a, b là các số nguyên dương nhỏ hơn 6 và $a \neq 1$ . Tính $P = 2 a + 3 b$ .

A. P = 16

B. P = 7

C. P= 11

D. P =18

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $\log_{2} (5^{x} + 2) + 2. \log_{(5^{x} + 2)} 2 > 3 \Leftrightarrow \log_{2} (5^{x} + 2) + 2. \frac{1}{\log_{2} (5^{x} + 2)} > 3 (*)$ .

Đặt $t = \log_{2} (5^{x} + 2) > 1$ . Khi đó (*) trở thành $t + \frac{2}{t} > 3 \Leftrightarrow t^{2} - 3 t + 2 > 0 \Leftrightarrow t > 2 t + \frac{2}{t} > 3 \Leftrightarrow t^{2} - 3 t + 2 > 0 \Leftrightarrow t > 2$ (do t > 1).

Với t > 2 thì $\log_{2} (5^{x} + 2) > 2 = \log_{2} 2^{2} \Leftrightarrow 5^{x} > 2 \Leftrightarrow x > \log_{5} 2$ .

Suy ra $\{\begin{cases} a = 5 \\ b = 2 \end{cases} \Rightarrow P = 2 a + 3 b = 16$ .

Câu 39:

Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng: $d_{1} : \frac{x - 3}{1} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z + 1}{1}$ $d_{2} : \frac{x}{1} = \frac{y}{- 2} = \frac{z - 1}{1}$ , $d_{3} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 1}{1}$ , $d_{4} : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ , . Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là

A. 0

B. 2

C.1

D. Vô số

Xem đáp án

Đáp án C

Đường thẳng $d_{1}$ đi qua $M_{1} = (3; - 1; - 1)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec{u_{1}} = (1; - 2; 1)$ .

Đường thẳng $d_{2}$ đi qua $M_{2} = (0; 0; 1)$ và có một vectơ chỉ phương là $\vec{u_{2}} = (1; - 2; 1)$ .

Do $\vec{u_{1}} = \vec{u_{2}}$ và $M_{1} \notin d_{1}$ nên hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ song song với nhau.

Ta có $\vec{M_{1} M_{2}} = (- 3; 1; 2), [\vec{u_{1}}, \vec{M_{1} M_{2}}] = (- 5; - 5; - 5) = - 5 (1; 1; 1)$ .

Gọi $(α)$ là mặt phẳng chứa $d_{1}$ và $d_{2}$ khi đó $(α)$ có một vectơ pháp tuyến là . Phương trình mặt phẳng $(α)$ là $x + y + z - 1 = 0$ ,

Gọi $A = d_{3} \cap (α)$ thì $A (1; - 1; 1)$ . Gọi $B = d_{4} \cap (α)$ thì $B (- 1; 2; 0)$ .

Do $\vec{A B} = (- 2; 3; - 1)$ không cùng phương với $\vec{u_{1}} = (1; - 2; 1)$ nên đường thẳng AB cắt hai đường thẳng $d_{1}$ và $d_{2}$ .

Câu 40:

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi $y = \sqrt{x}, y = x - 2$ và trục hoành (hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi y= căn X (ảnh 1)

A. $\frac{10}{3}$

B. $\frac{16}{3}$

C. $\frac{7}{3}$

D. $\frac{8}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y = \sqrt{x}$ và $y = x - 2$ .

$\sqrt{x} = x - 2 \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 2 \\ x = {(x - 2)}^{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 2 \\ x^{2} - 5 x + 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = 4$ .

Diện tích hình phẳng (H) là

S = \int_{0}^{2} \sqrt{x} d x + \int_{2}^{4} |\sqrt{x} - (x - 2)| d x = \int_{0}^{2} \sqrt{x} d x + \int_{2}^{4} (\sqrt{x} - x + 2) d x = {\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}|}_{0}^{2} + {(\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + 2 x)|}_{2}^{4} = \frac{10}{3}

.

Câu 41:

Cho hình chóp S.ABC có $S A = S B = S C = a$ , $\hat{A S B} = 60 °; \hat{B S C} = 90 °$ , và . Tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AC và SB.

A. $d = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

B. $d = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $d = \frac{a \sqrt{22}}{11}$

D. $d = \frac{a \sqrt{22}}{22}$

Xem đáp án

Đáp án C

Ta thấy $Δ A B C$ vuông tại B.

Khi đó gọi H là trung điểm AC, do $S A = S B = S C$ nên $S H ⊥ (A B C)$ .

Gọi E là hình chiếu vuông góc của B xuống AC.

Trên đường thẳng d qua B và song song với AC lấy điểm F sao cho $H F // B E$ ta có $A C ⊥ (S H F)$ .

Kẻ $H K ⊥ S F \Rightarrow d (S B, A C) = d (A C, (S B F)) = H K$ .

Ta có: $\{\begin{cases} B E . A C = A B . B C \Rightarrow B E = \frac{a \sqrt{6}}{3} \\ S H = \sqrt{S A^{2} - {(\frac{A C}{2})}^{2}} = \frac{a}{2} \end{cases}$ .

Vậy $H K = \frac{H S . H F}{\sqrt{H S^{2} + H F^{2}}} = \frac{a \sqrt{22}}{11}$ .

Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC= a (ảnh 1)

Câu 42:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c)$ . Gọi lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC. Đặt . Giá trị nhỏ nhất của k thuộc khoảng nào sau đây?

A. (3;4)

B. (5;6)

C. (1;2)

D. (4;5)

Xem đáp án

Đáp án D

Gọi $\{\begin{cases} O A = a \\ O B = b \\ O C = c \end{cases}$ , ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$ .

Bán kính đường tròn nội tiếp: $r = \frac{3 V}{S_{t p}} = \frac{3. \frac{a b c}{6}}{\frac{a b + b c + c a}{2} + S_{Δ A B C}}$

$\Rightarrow \frac{R}{r} = \frac{a b + b c + c a + \sqrt{a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}}}{2 a b c} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} \geq \frac{\sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}} + \sqrt{3 {(\sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}})}^{4}}}{2 a b c} \sqrt{3 {(\sqrt[3]{a^{2} b^{2} c^{2}})}^{4}}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = 3 \Rightarrow \frac{R}{r} = \frac{3 + 3 \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $k_{\min} = \frac{3 + 3 \sqrt{3}}{2} \in (4; 5)$ .

Câu 43:

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A (1; 0; 0), B (0; 2; 0), C (0; 0; 3)$ . Gọi M là một điểm thay đổi nằm trên mặt phẳng (ABC), N là điểm nằm trên OM sao cho . Biết rằng khi M thay đổi, điểm N luôn nằm trên một mặt cầu cố định. Bán kính R của mặt cầu đó bằng

A. 4

B. 6

C. 5

D. 7

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình mặt phẳng $(A B C) : \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1 \Rightarrow 6 x + 3 y + 2 z - 6 = 0$ .

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC).

Khi đó H cố định và có khoảng cách $O H = d (O; (A B C)) = \frac{|- 6|}{\sqrt{6^{2} + 3^{2} + 2^{2}}} = \frac{6}{7}$ .

Từ N dựng mặt phẳng vuông góc với ON tại N, mặt phẳng này cắt OH tại K.

Hai tam giác vuông $Δ O H M; Δ O N K$ đồng dạng với nhau.

Suy ra: $O M . O N = O H . O K = 12 \to O K = \frac{12}{O H} = 14$ .

Nhận thấy đường thẳng OH cố định và OK không đổi nên suy ra K cố định. Vậy điểm N luôn nhìn OK một góc 90° không đổi, suy ra quỹ tích điểm N là mặt cầu (S) có đường kính OK.

Bán kính mặt cầu (S) là: $R = \frac{O K}{2} = 7$ .

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm . A(1;0;0) B(0;2;0) (ảnh 1)

Câu 44:

Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn $u_{1} = 1, u_{n + 1} = \sqrt{a u_{n}^{2} + 1}, \forall n \geq 1, a \neq 1$ . Giá trị của biểu thức T= ab bằng bao nhiêu. Biết rằng $\lim (u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + ... + u_{n}^{2} - 2 n) = b$ .

A. -1

B. - 2

C. 1

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $u_{n + 1} = \sqrt{a u_{n}^{2} + 1} \Leftrightarrow u_{n + 1}^{2} = a u_{n}^{2} + 1 \Leftrightarrow u_{n + 1}^{2} - \frac{1}{1 - a} = a (u_{n}^{2} - \frac{1}{1 - a})$ .

Đặt $v_{n} = u_{n}^{2} - \frac{1}{1 - a} \Rightarrow v_{n + 1} = a v_{n} \Rightarrow (v_{n})$ là cấp số nhân với công bội q = 0.

Suy ra $v_{n} = v_{1} a^{n - 1} = (u_{1}^{2} - \frac{1}{1 - a}) a^{n - 1} = a^{n - 1} . \frac{a}{a - 1} \Rightarrow u_{n}^{2} = a^{n - 1} . \frac{a}{a - 1} + \frac{1}{1 - a}$ .

Ta có: $\{\begin{cases} u_{1}^{2} = \frac{a}{a - 1} + \frac{1}{1 - a} \\ u_{2}^{2} = a . \frac{a}{a - 1} + \frac{1}{1 - a} \\ ............................. \\ u_{n}^{2} = a^{n - 1} . \frac{a}{a - 1} + \frac{1}{1 - a} \end{cases} \Rightarrow u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + ... + u_{n}^{2} = \frac{a}{a - 1} (1 + a + ... + a^{n - 1}) + \frac{1}{1 - a} . n$

. Khi đó $\{\begin{cases} \frac{1}{1 - a} = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2} \\ b = l i m (\frac{a}{a - 1} . \frac{1 - a^{n}}{1 - a}) = - 2 \end{cases} \Rightarrow T = - 1$ .

Câu 45:

Biết rằng khi m thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện

m \neq 0

, tồn tại một đường thẳng

(d)

là tiếp tuyến chung của tất cả các đường cong thuộc họ

(C_{m}) : y = \frac{2 x^{2} - (m - 2) x + m}{x - m + 1}

. Đường thẳng

(d)

đó tạo

Biết rằng khi m thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện m khác 0 , tồn tại một đường thẳng (ảnh 1)

A. $\frac{1}{4}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. 1

Xem đáp án

Đáp án C

Ta xét: $m = 100 \Rightarrow y = \frac{2 x^{2} - 98 x + 100}{x - 99} \Rightarrow y^{'} = \frac{2 x^{2} - 396 x + 9602}{{(x - 99)}^{2}}$ .

Chạy TABLE với $F (x) = \frac{2 x^{2} - 396 x + 9602}{{(x - 99)}^{2}}$ cho chạy từ -9 đến 9 Step 1 ta được:

Biết rằng khi m thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện m khác 0 , tồn tại một đường thẳng (ảnh 2)

Tương tự thay m = 10 ta thực hiện tương tự.

Ta thấy ngay tại x = -1 hệ số góc tiếp tuyến không đổi bằng 1. Mặt khác bấm máy tính: $y = \frac{2 x^{2} - 98 x + 100}{x - 99}; C A L C x = - 1$ được $y = - 2$ .

Vậy ta luôn có một tiếp tuyến cố định tiếp xúc với mọi đường cong trong họ là .

Suy ra $S = \frac{1}{2} .1.1 = \frac{1}{2}$ .

Câu 46:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình $\ln (7 x^{2} + 7) \geq \ln (m x^{2} + 4 x + m)$ nghiệm đúng với mọi x thuộc ?

A. 0

B. 1

C. 3

D. 2

Xem đáp án

Đáp án C

Bất phương trình $\ln (7 x^{2} + 7) \geq \ln (m x^{2} + 4 x + m)$ nghiệm đúng với mọi thuộc .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 7 x^{2} + 7 \geq m x^{2} + 4 x + m \\ m x^{2} + 4 x + m > 0 \end{cases}$ , với mọi $x \in ℝ$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} (m - 7) x^{2} + 4 x + m - 7 \leq 0 \\ m x^{2} + 4 x + m > 0 \end{cases}$ , với mọi $x \in ℝ$ .

Ta nhận thấy, m = 0 hoặc m = 7 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Khi $m \neq 0$ hoặc $m \neq 7$ thì $\{\begin{cases} (m - 7) x^{2} + 4 x + m - 7 \leq 0 \\ m x^{2} + 4 x + m > 0 \end{cases}$ , với mọi $x \in ℝ$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} m - 7 < 0 \\ 4 - {(m - 7)}^{2} \leq 0 \\ m > 0 \\ 4 - m^{2} < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 0 < m < 7 \\ [\begin{array}{l} m \leq 5 \\ m \geq 9 \end{array} \\ [\begin{array}{l} m > 2 \\ m < - 2 \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow 2 < m \leq 5$ .

Vì $m \in ℤ$ nên $m \in \{3; 4; 5\}$ .

Câu 47:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (\tan x) d x = 4$ và $\int_{0}^{1} \frac{x^{2} f (x)}{x^{2} + 1} d x = 2$ . Tính tích phân $I = \int_{0}^{1} f (x) d x$ .

A.I = 6

B.I= 2

C.I= 3

D. I = 1

Xem đáp án

Đáp án A

Đặt $t = \tan x \Rightarrow d t = (1 + \tan^{2} x) d x \Rightarrow \frac{d t}{1 + t^{2}} = d x$ . Đổi cận $x = 0 \Rightarrow t = 0$ ; $x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = 1$ .

Do đó: $\int_{0}^{\frac{π}{4}} f (\tan x) d x = 4 \Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{f (t) d t}{1 + t^{2}} = 4 \Rightarrow \int_{0}^{1} \frac{f (x) d x}{1 + x^{2}} = 4$ .

Vậy $\int_{0}^{1} \frac{f (x) d x}{1 + x^{2}} + \int_{0}^{1} \frac{x^{2} f (x) d x}{1 + x^{2}} = 4 + 2 \Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = 6$ .

Câu 48:

Cho tập hợp $A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ . Gọi B là tập tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập A. Chọn thứ tự 2 số thuộc tập B. Xác suất để trong 2 số vừa chọn có đúng một số có mặt chữ số 3 bằng

A. $\frac{159}{360}$

B. $\frac{160}{359}$

C. $\frac{80}{359}$

D. $\frac{161}{360}$

Xem đáp án

Đáp án B

Có tất cả $A_{6}^{4} = 360$ số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập A.

Tập hợp B có 360 số.

Ta xét phép thử “chọn thứ tự 2 số thuộc tập B”.

Khi đó $n (Ω) = A_{360}^{2}$

Trong tập hợp B ta thấy có tất cả $4. A_{5}^{3} = 240$ số có mặt chữ số 3 và $A_{5}^{4} = 120$ số không có mặt chữ số 3.

Gọi A là biến cố “trong 2 số vừa chọn có đúng một số có mặt chữ số 3”.

Khi đó $n (A) = C_{240}^{1} . C_{120}^{1} .2!$ .

Vậy xác suất cần tìm là

\frac{C_{240}^{1} . C_{120}^{1} .2!}{A_{360}^{2}} = \frac{160}{359}

.

Câu 49:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ. Tập hợp tất cả các giá trị thực của m để phương trình $f (e^{x^{2}}) = m$ có đúng 2 nghiệm thực là

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình (ảnh 1)

A. $[0; 4]$

B. $\{0; 4\}$

C. $\{0\} \cup (4; + \infty)$

D. $[4; + \infty)$

Xem đáp án

Đáp án C

Đặt $g (x) = f (e^{x^{2}})$

Khi đó, số nghiệm phương trình $f (e^{x^{2}}) = m$ hay $g (x) = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số g(x) và đường thẳng y =m.

Ta có: $g^{'} (x) = 2 x e^{x^{2}} f^{'} (e^{x^{2}})$

g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ e^{x^{2}} = 0 \\ e^{x^{2}} = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm \sqrt{\ln 3} \end{array}

Lại có $g (0) = f (1) = 4; g (\pm \sqrt{\ln 3}) = f (3) = 0$ .

Bảng biến thiên:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình (ảnh 2)

Khi đó, $g (x) = m$ có đúng 2 nghiệm $\Leftrightarrow m \in \{0\} \cup (4; + \infty)$ .

Câu 50:

Diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình $\cos^{2} x + 3 \sin x . \cos x = 1$ bằng

A. $\sqrt{3}$

B. $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

C. $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

D.

\sqrt{2}

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có phương trình: $\cos^{2} x + 3 \sin x . \cos x = 1 \Leftrightarrow 3 \sin x . \cos x - \sin^{2} x = 0$

$\Leftrightarrow \sin x (3 \cos x - \sin x) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \tan x = 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = k π \\ x = α + k π \end{array} (k \in ℤ)$ với $\tan α = 3$ .

Gọi A; B là các điểm biểu diễn cho họ nghiệm trên đường tròn lượng giác.

Gọi C; D là các điểm biểu diễn cho họ nghiệm $x = α + k π (k \in ℤ)$ trên đường tròn lượng giác.

Ta cần tính diện tích hình chữ nhật ACBD.

Xét tam giác vuông AOT có: $O T = \sqrt{O A^{2} + A T^{2}} = \sqrt{10}$ $\Rightarrow \sin α = \frac{A T}{O T} = \frac{3}{\sqrt{10}} (*)$

Xét tam giác ACD có: $\hat{A D C} = \frac{α}{2} \Rightarrow \sin \frac{α}{2} = \frac{A C}{2}$ và $\cos \frac{α}{2} = \frac{A D}{2}$

Từ $(*) \Leftrightarrow 2 \sin \frac{α}{2} . \cos \frac{α}{2} = \frac{3}{\sqrt{10}}$

$\Leftrightarrow A C . A D = \frac{6}{\sqrt{10}} \Rightarrow S_{A C B D} = \frac{3 \sqrt{10}}{5}$ .

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết

25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 24)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan