50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc 25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 14)

Câu 1:

Cho khối cầu có bán kính R=2. Thể tích của khối cầu đã cho là

A. $\frac{32 π}{3}$

B. 256π

C. 64π

D. 16π

Xem đáp án

Chọn A

Câu 2:

Tập xác định D của hàm số $y = f {(x^{2} - 3)}^{- 3}$ là

A. $D = ℝ \ \{\sqrt{3}\}$

B. $D = ℝ \ \{\sqrt{3}; - \sqrt{3}\}$

C. D=R

D. $D = (- \infty; - \sqrt{3}) \cap (\sqrt{3}; + \infty)$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 3:

$\int \frac{1}{x} d x$ bằng

A. $\ln |x| + C$

B. $\ln x + C$

C. $- \frac{1}{x^{2}} + C$

D. $\frac{1}{x^{2}} + C$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 4:

Với a, b là các số thực dương tùy ý, $\log (a^{5} b^{10})$ bằng

A. $5 \log a + 10 \log b$

B. $\frac{1}{2} \log a + \log b$

C. $5 \log (a b)$

D. $10 \log (a b)$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 5:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x - 3 y + 4 z + 2 = 0$ . Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của (P)?

A. $\vec{n_{1}} = (2; 3; 4)$

B. $\vec{n_{2}} = (2; 2; 1)$

C. $\vec{n_{3}} = (2; - 3; 4)$

D. $\vec{n_{4}} = (- 2; 3; 4)$

Xem đáp án

Chọn C

Câu 6:

Hàm số nào trong các hàm số sau đây có đồ thị phù hợp với hình bên?

A. $y = \frac{x - 1}{2 x - 1}$

B. $y = \frac{x + 1}{2 x + 1}$

C. $y = \frac{x - 1}{2 x + 1}$

D. $y = \frac{x + 1}{2 x - 1}$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 7:

Công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng $x = a, x = b (a < b)$ , xung quanh trục Ox là

A. $V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

B. $V = \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$

C. $V = π \int_{a}^{b} f (x) d x$

D. $V \int_{a}^{b} |f (x)| d x$

Xem đáp án

Chọn A

Câu 8:

Tập nghiệm của bất phương trình $\log_{3} (x - 1) < 1$ là

A. $(- \infty; 4]$

B. $(1; 4)$

C. $(- \infty; 4)$

D. $[1; 4)$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 9:

Cho hàm số $y = \frac{- 1 + x}{x + 2}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 2) \cup (- 2; + \infty)$ .

B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số đồng biến trên

ℝ \ \{- 2\}

.

D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ \ \{- 2\}$ .

Ta có $y^{'} = \frac{3}{{(x + 2)}^{2}} > 0, \forall x \in D$ nên hàm số $y = \frac{- 1 + x}{x + 2}$ đồng biến trên từng khoảng xác định.

Câu 10:

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-1;3]. Giá trị của M-m bằng

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [-1;3] và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (ảnh 1)

A. 4

B. 0

C. 5

D. 1

Xem đáp án

Chọn C

Câu 11:

Môđun của số phức $\sqrt{3} + i$ bằng

A. 1

B. 4

C. 2

D. 3

Xem đáp án

Chọn C

Câu 12:

Cho hàm số bậc ba y=f(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại 3.

B. Đồ thị hàm số có cực đại là 3.

C. Hàm số có cực đại là 3.

D. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là (-1;1).

Xem đáp án

Chọn C

Câu 13:

Trong không gian Oxyz cho hai điểm $A (1; 2; 3), B (- 1; 0; 1)$ . Trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ là

A. $(0; 1; 1)$

B. $(0; \frac{2}{3}; \frac{4}{3})$

C. $(0; 2; 4)$

D. $(- 2; - 2; - 2)$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 14:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 2$ . Tâm của (S) có tọa độ là

A. $(3; - 1; 1)$

B. $(- 3; - 1; 1)$

C. $(- 3; 1; - 1)$

D. $(3; 1; - 1)$

Xem đáp án

Chọn B

Câu 15:

Hình lập phương có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng

A. 15

B. 7

C. 9

D. 12

Xem đáp án

Chọn C

Câu 16:

Cho hàm số y(x) có bảng biến thiên như sau

Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y=f(x). Từ bảng biến thiên ta có:

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = 0 \Rightarrow y = 0$ là tiệm cận ngang của (C).

$\lim_{x \to - 2^{+}} f (x) = - \infty \Rightarrow x = - 2$ là tiệm cận đứng của (C).

$\lim_{x \to 0^{-}} f (x) = + \infty \Rightarrow x = 0$ là tiệm cận đứng của (C).

Câu 17:

Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 10 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Số tam giác có 3 đỉnh đều thuộc tập hợp P là

A. $A_{10}^{7}$

B. $10^{3}$

C. $A_{10}^{3}$

D. $C_{10}^{3}$

Xem đáp án

Chọn D

Câu 18:

Cho dãy số

(u_{n})

xác định bởi

u_{n} = 2 n - \frac{3}{2}

. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề

A. Dãy số $(u_{n})$ bị chặn.

B. Dãy số

(u_{n})

bị chặn dưới.

C. Dãy số

(u_{n})

lập thành cấp số cộng.

D. Dãy số

(u_{n})

là dãy số tăng.

Xem đáp án

Dãy số $(u_{n})$ không bị chặn vì nó chỉ bị chặn dưới, không bị chặn trên.

Câu 19:

Hàm số $y = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x + 2}$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A. Có 1 điểm cực trị.

B. Có 2 điểm cực trị.

C. Không có cực trị.

D. Có 3 điểm cực trị.

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = \frac{(2 x + 3) (x + 2) - (x^{2} + 3 x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Xét

y^{'} = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 3 \\ x = - 1 \end{array}

. đổi dấu qua hai nghiệm này nên hàm số có hai cực trị

Câu 20:

Hàm số $y = \ln (x^{2} + m x + 1)$ xác định với mọi giá trị của x khi

A. $[\begin{array}{l} m < - 2 \\ m > 2 \end{array}$

B. m> 2

C. $- 2 < m < 2$

D. m < 2

Xem đáp án

Yêu cầu bài toán tương đương với

x^{2} + m x + 1 > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow m^{2} - 4 < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 2

.

Câu 21:

Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau.

A. $\log_{2} x < 0 \Leftrightarrow x < 1, \forall x > 0$

B. $\log_{\frac{1}{5}} a > \log_{\frac{1}{5}} b \Leftrightarrow a > b; \forall a, b > 0$

C. $\log_{\frac{1}{2}} a = \log_{\frac{1}{2}} b \Leftrightarrow a = b; \forall a, b > 0$

D. $\ln x > 0 \Leftrightarrow x > 1, \forall x > 0$

Xem đáp án

Vì $0 < \frac{1}{5} < 1$ nên $\log_{\frac{1}{5}} a > \log_{\frac{1}{5}} b \Leftrightarrow a < b; \forall a, b > 0$ .

Câu 22:

Cho đa thức bậc bốn y=f(x) đồ thị đạo hàm y=f'(x) như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàm số $y = f (x)$ có ba cực trị.

B. Hàm số

y = f (x)

đạt cực đại tại x= 0.

C. Hàm số

y = f (x)

có một cực tiểu.

D. Hàm số

y = f (x)

có một cực đại.

Xem đáp án

Qua hai điểm f'(x) đổi dấu từ âm sang dương, suy ra hàm số có hai điểm cực tiểu.

Qua điểm x=0 thì f'(x) đổi dấu từ dương sang âm, suy ra hàm số đạt cực đại tại x =0.

Câu 23:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi N là trung điểm của cạnh CC'. Mặt phẳng (NAB0 cắt hình hộp theo thiết diện là hình chữ nhật có chu vi là

A. $2 (2 a + a \sqrt{5})$

B. $2 a + 2 \sqrt{5}$

C. $2 (a + a \sqrt{5})$

D. Cả A, B, C đều sai.

Xem đáp án

Trong (DCC'D') qua N kẻ NN' song song với DC.

Thiết diện là hình chữ nhật ABNN' có: $A B = a, B N = \frac{a}{2} \sqrt{5}$

Suy ra chu vi ABNN' là $2 a + a \sqrt{5}$ .

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi N là trung điểm của cạnh . (ảnh 1)

Câu 24:

Cho hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Tính tổng $S = a + b + c + d$ .

A. S= 0

B. S = 6

C. S= -4

D. S = 2

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ . Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(0; 2)$ , $(2; - 2)$ . Đồng thời đây cũng là hai điểm cực trị của hàm số. Do đó ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} f (2) = - 2 \\ f^{'} (2) = 0 \\ f (0) = 2 \\ f^{'} (0) = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 a + 4 b + 2 c + d = - 2 \\ 12 a + 4 b + c = 0 \\ d = 2 \\ c = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = - 3 \\ c = 0 \\ d = 2 \end{cases}$ .

Vậy $S = a + b + c + d = 1 + (- 3) + 0 + 2 = 0$ .

Câu 25:

Tìm đạo hàm của hàm số

y = \log_{4} (x^{2} + 2)

.

A. $y^{'} = \frac{2 x \ln 4}{x^{2} + 2}$

B. $y^{'} = \frac{1}{(x^{2} + 2) \ln 4}$

C. $y^{'} = \frac{x}{(x^{2} + 2) \ln 2}$

D. $y^{'} = \frac{2 x}{x^{2} + 2}$

Xem đáp án

$y^{'} = \frac{1}{(x^{2} + 2) \ln 4} . {(x^{2} + 2)}^{'} = \frac{2 x}{(x^{2} + 2) \ln 4} = \frac{2 x}{(x^{2} + 2) 2 \ln 2} = \frac{x}{(x^{2} + 2) \ln 2}$

Câu 26:

Tập nghiệm của phương trình $4^{x^{2}} = 2^{x + 1}$ là

A. $S = \{0; 1\}$

B. $S = \{\frac{1 - \sqrt{5}}{2}; \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\}$

C. $S = \{- 1; \frac{1}{2}\}$

D. $S = \{- \frac{1}{2}; 1\}$

Xem đáp án

$4^{x^{2}} = 2^{x + 1} \Leftrightarrow 2^{2 x^{2}} = 2^{x + 1} \Leftrightarrow 2 x^{2} = x + 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} - x - 1 = 0 \Leftrightarrow (2 x + 1) (x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + 1 = 0 \\ x - 1 = 0 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - \frac{1}{2} \\ x = 1 \end{array}$

Câu 27:

Hàm số F(x) nào sau đây không là nguyên hàm của hàm số

f (x) = \sin 2 x

?

A. $F (x) = - \cos^{2} x$

B. $F (x) = \sin^{2} x$

C. $F (x) = - \frac{1}{2} \cos 2 x$

D. $F (x) = - \cos 2 x$

Xem đáp án

Vì ${(- \cos 2 x)}^{'} = 2 \sin 2 x$ nên $F (x) = - \cos 2 x$ không phải là một nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 2 x$ .

Câu 28:

Tính môđun của số phức z thỏa mãn $z (2 + 3 i) + i = z$ .

A. $\frac{1}{\sqrt{10}}$

B. $\sqrt{3}$

C. $\sqrt{10}$

D. 3

Xem đáp án

$z (2 + 3 i) + i = z \Leftrightarrow z (2 + 3 i - 1) = - i \Leftrightarrow z = \frac{- i}{1 + 3 i} = \frac{- i (1 - 3 i)}{1 - 9 i^{2}} = \frac{- 3 - i}{10} = - \frac{3}{10} - \frac{i}{10}$

Câu 29:

Cho hình lăng trụ đứng $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,AC=2 BC=1;AA'=1 . Góc giữa AB' và (BCC'B') bằng

A. $45 °$

B. $90 °$

C. $30 °$

D. $60 °$

Xem đáp án

Ta có: $\{\begin{cases} A B ⊥ B C \\ A B ⊥ B B^{'} \end{cases} \Rightarrow A B ⊥ (B C C^{'} B^{'})$

=>BB' là hình chiếu vuông góc của AB' lên $(B C C^{'} B^{'})$ .

Suy ra góc giữa AB' và $(B C C^{'} B^{'})$ là góc $\hat{A B^{'} B}$ .

Ta có:

\tan \hat{A B^{'} B} = \frac{A B}{B B^{'}} = \frac{\sqrt{A C^{2} - C B^{2}}}{A A^{'}} = \sqrt{3} \Rightarrow \hat{A B^{'} B} = 60 °

.

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam (ảnh 1)

Câu 30:

Gọi

z_{0}

là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình

2 z^{2} - 2 z + 13 = 0

. Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức

w = i z_{0}

?

A. $M (\frac{5}{4}; \frac{1}{4})$

B. $Q (\frac{5}{2}; \frac{1}{2})$

C. $N (\frac{5}{4}; - \frac{1}{4})$

D. $P (\frac{5}{2}; - \frac{1}{2})$

Xem đáp án

Phương trình $2 z^{2} - 2 z + 13 = 0 \Leftrightarrow z = \frac{1}{2} \pm \frac{5}{2} i$ , suy ra $z_{0} = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} i$ .

Do đó, $w = i z_{0} = i (\frac{1}{2} - \frac{5}{2} i) = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} i$ . Vậy điểm biểu diễn số phức $w = i z_{0}$ là $Q (\frac{5}{2}; \frac{1}{2})$

Câu 31:

Nếu các số hữu tỉ a, b thỏa mãn $\int_{0}^{1} (a e^{x} + b) d x = e + 2$ thì giá trị của biểu thức bằng

A. 4

B. 5

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Ta có . $\int_{0}^{1} (a e^{x} + b) d x = {(a e^{x} + b x)|}_{0}^{1} = a e + b - a; \int_{0}^{1} (a e^{x} + b) d x = e + 2$

Suy ra: $\{\begin{cases} a = 1 \\ b - a = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 3 \end{cases}$ .

Câu 32:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(1;-2;2) và mặt phẳng $(P) : x + y - 2 z - 1 = 0$ . Tọa độ hình chiều vuông góc của M lên (P) là

A. $(2; - 1; 0)$

B. $(- 1; 0; 1)$

C. $(1; 2; 1)$

D. $(0; - 3; 4)$

Xem đáp án

Phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P) là $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 + t \\ z = 2 - 2 t \end{cases}$ .

Tọa độ hình chiếu của M trên (P) là nghiệm của hệ $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = - 2 + t \\ z = 2 - 2 t \\ x + y - 2 z - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 1 \\ x = 2 \\ y = - 1 \\ z = 0 \end{cases}$ .

Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc của M lên (P) là $(2; - 1; 0)$ .

Câu 33:

Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có

A B = \sqrt{3}

và

\hat{A C B} = 30 °

. Khi quay tam giác ABC xung quanh cạnh AC thì đường gấp khúc ACB tạo thành một hình nón. Diện tích toàn phần của hình nón đó bằng

A. 9π

B. 3π

C. $3 \sqrt{3} π$

D. $\sqrt{3} π$

Xem đáp án

Quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta được khối nón có:

Đường sinh $l = B C = \frac{A B}{\sin 30 °} = 2 \sqrt{3}$ .

Bán kính đáy $r = A B = \sqrt{3}$ .

Diện tích toàn phần của hình nón:

. $S_{t p} = S_{x q} + S_{d} = π r l + π r^{2} = π r (l + r) = π \sqrt{3} (2 \sqrt{3} + \sqrt{3}) = 9 π$

Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A có AB= căn 3 (ảnh 1)

Câu 34:

Giá trị của tổng

1 + \frac{1}{i} + \frac{1}{i^{2}} + ... + \frac{1}{i^{2019}}

(ở đó

i^{2} = - 1

) bằng

A. 0

B. 1

C.-1

D. i

Xem đáp án

Gọi S là tổng cần tính. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân ta có

$S = \frac{1 - \frac{1}{i^{2020}}}{1 - \frac{1}{i}} = \frac{i^{2020} - 1}{i^{2020} - i^{2019}} = \frac{{(- 1)}^{1010} - 1}{i^{2020} - i^{2019}} = 0$ .

Câu 35:

Tất cả các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{x + m^{2}}{x - 1}$ trên đoạn [2;4] bằng 2 là

A. $m = 0$

B. $m = - 2$

C. $m = 2$

D. $m = - 4$

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = \frac{- 1 - m^{2}}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{(- 1 - m^{2})}{{(x - 1)}^{2}} < 0, \forall x \neq 1$ . Do đó trên [2;4] hàm số đã cho nghịch biến.

Vậy

\max_{[2; 4]} y = y (2) = \frac{2 + m^{2}}{2 - 1} = 2 \Leftrightarrow m = 0

Câu 36:

Cho khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 8. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC và ABCD là hình bình hành. Biết diện tích của tứ giác AMND bằng 2. Tính khoảng cách h từ đỉnh S tới mặt phẳng(AMND) .

A. $h = \frac{3}{2}$

B. $h = \frac{8}{3}$

C. $h = 3$

D. $h = \frac{9}{2}$

Xem đáp án

Ta có: $\frac{V_{S . A D N M}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A D N} + V_{S . A M N}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A D N}}{V_{S . A B C D}} + \frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C D}} = \frac{V_{S . A D N}}{2 V_{S . A C D}} + \frac{V_{S . A M N}}{2 V_{S . A B C}}$

$= \frac{S N}{2 SC} + \frac{S N . S M}{2 S C . S B} = \frac{3}{8}$

$\Rightarrow V_{S . A M N D} = 3 \Rightarrow h = \frac{3 V_{S . A M N D}}{S_{A M N D}} = \frac{9}{2}$

.

Câu 37:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 2}$ . Gọi là mặt phẳng chứa đường thẳng d và song song với trục Ox. Khi đó, mặt phẳng (P) có phương trình là

A. $2 y - 2 z - 5 = 0$

B. $y + z - 4 = 0$

C. $y + z - 5 = 0$

D. $y + z = 0$

Xem đáp án

Đường thẳng $d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 2}$ đi qua điểm và có véctơ chỉ phương là $\vec{u_{1}} (1; 2; - 2)$ .

Xét trục Ox có véctơ chỉ phương là $\vec{u_{2}} (1; 0; 0)$ và đi qua điểm $O (0; 0; 0)$ .

Ta có: $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (0; - 2; - 2)$ .

Gọi là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), khi đó $\{\begin{cases} \vec{n} ⊥ \vec{u_{1}} \\ \vec{n} ⊥ \vec{u_{2}} \end{cases} \Rightarrow \vec{n}$ cùng phương với $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}]$ .

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;2;3) và nhận véctơ $\vec{n} = (0; 1; 1)$ làm véctơ pháp tuyến có phương trình là $0. (x - 1) + 1. (y - 2) + 1. (z - 3) = 0 \Leftrightarrow y + z - 5 = 0$ .

Thay tọa độ điểm O vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là $y + z - 5 = 0$ .

Câu 38:

Cho hình chữ nhật ABCD có $A B = a, \hat{B D C} = 30 °$ . Quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD. Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là

A. $S_{x q} = π a^{2}$

B. $S_{x q} = \frac{2 π a^{2}}{\sqrt{3}}$

C. $S_{x q} = 2 \sqrt{3} a^{2}$

D. $S_{x q} = \sqrt{3} π a^{2}$

Xem đáp án

Từ giả thiết, ta có bán kính đáy của hình trụ $r = A B = C D = a$ , đường sinh $l = B C$ .

Xét tam giác BDC vuông tại C và $\hat{B D C} = 30 °$ suy ra

$\tan 30 ° = \frac{B C}{D C} \Rightarrow B C = \tan 30 ° . C D = \frac{1}{\sqrt{3}} a = \frac{a}{\sqrt{3}} \Rightarrow l = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là

. $S_{x q} = 2 π r l = 2 π a \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2 π a^{2}}{\sqrt{3}}$

Câu 39:

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y = - \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + (2 m - 3) x - m + 2$ nghịch biến trên . Số phần tử của S là

A. 5

B. 4

C. 7

D. 8

Xem đáp án

Ta có $y^{'} = - x^{2} - 2 m x + 2 m - 3$

Hàm số đã cho nghịch biến trên $ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} Δ^{'} = m^{2} + 2 m - 3 \leq 0 \\ a = - 1 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow - 3 \leq m \leq 1$ .

Câu 40:

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A (2; 4; 1), B (- 1; 1; 3)$ và mặt phẳng $(α) : x - 3 y + 2 z - 5 = 0$ . Mặt phẳng $(β)$ đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng $(α)$ có dạng $a x + b y + c z - 11 = 0$ . Giá trị $a - b + c$ bằng

A. 4

B. -4

C. 1

D. -6

Xem đáp án

Ta có $\vec{A B} = (- 3; - 3; 2)$ . Mặt phẳng $(α)$ có véctơ pháp tuyến $\vec{n} = (1; - 3; 2)$ .

Khi đó $[\vec{A B}, \vec{n}] = (0; 8; 12)$

Do mặt phẳng $(β)$ đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng $(α)$ nên $(β)$ nhận

$\vec{n^{'}} = \frac{1}{4} [\vec{A B}, \vec{n}] = (0; 2; 3)$ làm véctơ pháp tuyến.

Phương trình mặt phẳng $(β) : 2 (y - 4) + 3 (z - 1) = 0 \Leftrightarrow 2 y + 3 z - 11 = 0$ .

Câu 41:

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^{3} - x^{2} + x + 1$ song song với đường thẳng $y = 6 x + 4$ ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x^3-x^2+x+1 (ảnh 2)

Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x^3-x^2+x+1 (ảnh 1)

Câu 42:

Đầu tháng một người gửi ngân hàng 400.000.000 đồng (400 triệu đồng) với lãi suất gửi là 0,6% mỗi tháng theo hình thức lãi suất kép. Cuối mỗi tháng người đó đều đặn gửi vào ngân hàng số tiền là 10.000.000 (10 triệu đồng). Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng (kể từ lúc người này ra ngân hàng gửi tiền) thì số tiền người đó tích lũy được lớn hơn 700.000.000 (bảy trăm triệu đồng)?

A. 22 tháng

B. 23 tháng

C. 25 tháng

D. 24 tháng

Xem đáp án

Gọi $T_{0}$ là số tiền người đó gửi ban đầu.

r% là lãi suất mỗi tháng.

a là số tiền người đó gửi vào thêm mỗi tháng.

$S_{n}$ là số tiền người đó nhận được sau n tháng.

Đầu tháng 1, số tiền người đó gửi vào là .

Cuối tháng 1, $S_{1} = T_{0} + T_{0} . r % + a = T_{0} (1 + r %) + a$ .

Cuối tháng 2, $S_{2} = S_{1} + S_{1} . r % + a = S_{1} (1 + r %) + a = T_{0} {(1 + r %)}^{2} + a (1 + r %) + a$ .

Cuối tháng 3, . $S_{3} = T_{0} (1 + r %) + a (1 + r %) + a (1 + r %) + a$

…

Cuối tháng n, $S_{n} = T_{0} (1 + r %) + a [{(1 + r %)}^{n - 1} + {(1 + r %)}^{n - 2} + ... + {(1 + r %)}^{1} + 1]$

$= T_{0} {(1 + r %)}^{n} + a \frac{{(1 + r %)}^{n} - 1}{r %}$ .

Theo yêu cầu bài toán:

$T_{0} {(1 + r %)}^{n} + a \frac{{(1 + r %)}^{n} - 1}{r %} \geq 700.000.000$

$\Leftrightarrow 40 {(1 + 0, 6 %)}^{n} + \frac{{(1 + 0, 6 %)}^{n} - 1}{0, 6 %} \geq 70$

$\Leftrightarrow {(1 + 0, 6 %)}^{n} \geq 1, 14515129 \Leftrightarrow n \geq \log_{(1 + 0, 6 %)} 1, 14515129 \approx 22, 65$

Vậy phải sau ít nhất 23 tháng thì người đó mới tích lũy được lớn hơn 700.000.000 (bảy trăm triệu đồng).

Câu 43:

Để chuẩn bị cho hội trại 26/3 sắp tới, cần chia một tổ gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ, thành ba nhóm, mỗi nhóm 4 người để đi làm ba công việc khác nhau. Xác suất để khi chia ngẫu nhiên, ta được mỗi nhóm có đúng một học sinh nữ bằng

A. $\frac{16}{55}$

B. $\frac{12}{45}$

C. $\frac{24}{65}$

D. $\frac{8}{165}$

Xem đáp án

Số phần tử của không gian mẫu: $n (Ω) = C_{12}^{4} . C_{8}^{4} . C_{4}^{4}$

Gọi A: “mỗi nhóm có đúng một học sinh nữ”.

+) Số cách xếp 3 học sinh nữ vào 3 nhóm là 3! cách.

+) Chọn 3 học sinh nam cho nhóm thứ nhất có $C_{6}^{3}$ cách.

+) Chọn 3 học sinh nam cho nhóm thứ hai có $C_{9}^{3}$ cách.

+) Chọn 3 học sinh nam cho nhóm thứ ba có 1 cách.

Vậy $P (A) = \frac{n (A)}{n (Ω)} = \frac{3! . C_{9}^{3} . C_{6}^{3}}{C_{12}^{4} . C_{8}^{4} . C_{4}^{4}} = \frac{16}{55}$ .

Câu 44:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn $f (x) > 0, \forall x \in ℝ$ . Biết $f (0) = 1$ và $f^{'} (x) = (2 - 3 x) f (x)$ , khi đó giá trị của f(1) bằng

A. 2

B. $e^{\frac{1}{2}}$

C. $e^{2}$

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = (2 - 3 x) f (x) \Leftrightarrow \frac{f^{'} (x)}{f (x)} = 2 - 3 x$ . Lấy nguyên hàm hai vế ta có:

. $\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \int (2 - 3 x) d x \Leftrightarrow \ln |f (x)| = 2 x - \frac{3}{2} x^{2} + C$

Thay x=0 ta có: $\ln |f (0)| = C \Leftrightarrow \ln 1 = C = 0 \Rightarrow \ln |f (x)| = 2 x - \frac{3}{2} x^{2}$ .

Mà $f (x) > 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow \ln f (x) = 2 x - \frac{3}{2} x^{2}$ . Thay ta có . $f (1) = \frac{1}{2} \Rightarrow f (1) = e^{\frac{1}{2}}$

Câu 45:

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AA'và BB' . Đường thẳng CM cắt đường thẳng tại P, đường thẳng CN cắt đường thẳng tại Q. Thể tích của khối đa diện lồi A'MPQB'N bằng

A. 1

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Ta có A' là trung điểm PC'; B' là trung điểm QC'.

Do đó $V_{C . C^{'} P Q} = \frac{S_{C^{'} P Q}}{S_{C^{'} A^{'} B^{'}}} . V_{C . A^{'} B^{'} C^{'}} = 4 V_{C . A^{'} B^{'} C^{'}} = 4 (\frac{1}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}) = \frac{4}{3}$

Mặt khác $V_{A^{'} B^{'} C^{'} . M N C} = \frac{\frac{A^{'} M}{A^{'} A} + \frac{B^{'} N}{B^{'} B} + \frac{C^{'} C}{C^{'} C}}{3} . V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1}{3} . V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{2}{3}$

Do đó . $V_{A^{'} M B^{'} N Q} = V_{C . C^{'} P Q} - V_{A^{'} B^{'} C^{'} . M N C} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$

Câu 46:

Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết $z_{1} = w + 2 i$ và $z_{2} = 2 w - 3$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ . Tìm giá trị $T = |z_{1}| + |z_{2}|$ .

A. $T = \frac{2 \sqrt{97}}{3}$

B. $T = \frac{2 \sqrt{85}}{3}$

C. $T = 2 \sqrt{13}$

D. $T = 4 \sqrt{13}$

Xem đáp án

Đặt $w = m + n i (m, n \in ℝ)$ suy ra $\{\begin{cases} z_{1} = w + 2 i = m + (n + 2) i \\ z_{2} = 2 w - 3 = 2 m - 3 + 2 n i \end{cases}$

Ta có: $z_{1} + z_{2} = 3 m - 3 + (3 n + 2) i = - a$ là số thực $\Rightarrow \{\begin{cases} 3 n + 2 = 0 \\ 3 m - 3 \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow n = - \frac{2}{3} \Rightarrow \{\begin{cases} z_{1} = m + \frac{4}{3} i \\ z_{2} = 2 m - 3 + \frac{4}{3} i \end{cases}$ .

Lại có $z_{1} z_{2} = (m + \frac{4}{3} i) (2 m - 3 + \frac{4}{3} i) = 2 m^{2} - 3 m + \frac{16}{3} + (\frac{4}{3} m - 4) = b$ là số thực

Câu 47:

Cho hàm số y=f(x) xác định trên R\{-1;5} và có bảng biến thiên như sau

$Cho hàm số y=f(x) xác định trên R\{-1;5} và có bảng biến thiên như sau (ảnh 1)$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[- 2019; 2019]$ để phương trình $f (f (x)) - m + 5 = 0$ có nghiệm?

A. 2021

B. 2022

C. 2030

D. 2010

Xem đáp án

Đặt $f (x) = t$ khi đó phương trình trở thành $f (t) = m - 5$ .

Để phương trình $f (f (x)) - m + 5 = 0$ có nghiệm thì phương trình $f (t) = m - 5$ có nghiệm

$t \in (- \infty; 3) \cup (3; 5]$ . Do đó $m - 5 \in (- \infty; 1) \cup (3; 5] \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < 1 \\ 3 < m \leq 5 \end{array}$ .

Mà

\{\begin{cases} m \in [- 2019; 2019] \\ m \in ℤ \end{cases}

nên có 2022 giá trị của m thỏa mãn

Câu 48:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R có $\int_{0}^{3} f (x) d x = 8$ và $\int_{0}^{5} f (x) d x = 4$ . Giá trị của $\int_{- 1}^{1} f (|4 x - 1|) d x$ bằng

A. 3

B. 6

C. $\frac{9}{4}$

D. $\frac{11}{4}$

Xem đáp án

Ta có: $I = \int_{- 1}^{1} f (|4 x - 1|) d x = \int_{- 1}^{\frac{1}{4}} f (- 4 x + 1) d x + \int_{\frac{1}{4}}^{1} f (4 x - 1) d x$ .

Xét $I_{1} = \int_{- 1}^{\frac{1}{4}} f (- 4 x + 1) d x$ . Đặt $- 4 x + 1 = t \Rightarrow d t = - 4 dx$ . Đổi cận: $\{\begin{cases} x = - 1 \Rightarrow t = 5 \\ x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = 0 \end{cases}$

. $I_{1} = - \frac{1}{4} \int_{5}^{0} f (t) d t = \frac{1}{4} \int_{0}^{5} f (t) d t = \frac{1}{4} .4 = 1$

Xét . $I_{2} = \int_{\frac{1}{4}}^{1} f (4 x - 1) d x$ Đặt . $4 x - 1 = t \Rightarrow d t = 4 dx$ Đổi cận: $\{\begin{cases} x = 1 \Rightarrow t = 3 \\ x = \frac{1}{4} \Rightarrow t = 0 \end{cases}$

. $I_{2} = \frac{1}{4} \int_{0}^{3} f (t) d t = \frac{1}{4} \int_{0}^{3} f (t) d t = \frac{1}{4} \int_{0}^{3} f (x) d x = \frac{1}{4} .8 = 2$

Vậy . $I = I_{1} + I_{2} = 1 + 2 = 3$

Câu 49:

Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn $a > 1, b > 1$ và $a^{x - 1} = b^{y} = \sqrt[3]{a b}$ . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 3 x + 4 y$ thuộc tập hợp nào dưới đây?

A. $(11; 13)$

B. $(1; 2)$

C. $(7; 9]$

D. $[5; 7)$

Xem đáp án

Từ giả thiết ta có $\{\begin{cases} a^{x - 1} = \sqrt[3]{a b} \\ b^{y} = \sqrt[3]{a b} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x - 1 = \frac{1}{3} (1 + \log_{a} b) \\ y = \frac{1}{3} (1 + \log_{b} a) \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x = \frac{4}{3} + \frac{1}{3} \log_{a} b \\ y = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \log_{b} a \end{cases}$

Vì $a > 1, b > 1$ nên $\log_{a} b > 0; \log_{b} a > 0$ . Khi đó ta có:

P = 3 x + 4 y = \frac{16}{3} + \log_{a} b + \frac{4}{3} \log_{b} a \geq \frac{16}{3} + 2 \sqrt{\log_{a} b . \frac{4}{3} . \log_{b} a} = \frac{16}{3} + \frac{4 \sqrt{3}}{3} \approx 7, 64 \in (7; 9]

Câu 50:

Cho hàm số $y = f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + m + 4$ . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để $\min_{[- 1; 2]} |f (x)| + \max_{[- 1; 2]} |f (x)| = 11$ . Tổng giá trị các phần tử của S bằng

A. 11

B. -7

C. -11

D. 7

Xem đáp án

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết

25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết (Đề 14)

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan