Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

G là trọng tâm của tam giác ABC. Trọng tâm được xác định khi cho ba đường trung tuyến giao nhau.

Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh của tam giác xuống trung điểm cạnh đối diện.

Học sinh tự thực hiện gấp giấy theo sự hướng dẫn của giáo viên.

Ba nếp gấp (ba đường trung tuyến) cùng đi qua một điểm.

- BM = MC nên M là trung điểm của BC.

AM là đường thẳng nối A và trung điểm M của cạnh BC nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

- Ta thấy GA chiếm 2 phần, MA chiếm 3 phần nên $\frac{GA}{MA}=\frac{2}{3}$;

GB chiếm 2 phần, NB chiếm 3 phần nên $\frac{GB}{NB}=\frac{2}{3}$;

GC chiếm 2 phần, PC chiếm 3 phần nên $\frac{GC}{PC}=\frac{2}{3}$.

Các cách để tìm trọng tâm của tam giác:

Cách 1: Lấy giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác.

Cách 1. Lấy giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác.

Cách 2. Trên một đường trung tuyến của tam giác, chọn một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đỉnh bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đó.

Học sinh tự cắt tấm bìa và xác định trọng tâm tam giác theo yêu cầu của đề bài.

Ta quan sát được mảnh bìa đó thăng bằng trên giá nhọn.

Mỗi tam giác có ba góc nên có ba đường phân giác.

Học sinh cắt và gấp theo hướng dẫn của giáo viên.

Ba nếp gấp đo cùng đi qua một điểm.

a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (tính chất tam giác cân).

Vì M là trung điểm của AB nên AM = $\frac{1}{2}$AB;

Vì N là trung điểm của AC nên AN = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = AC nên AM = AN

Xét $\Delta ANB$ và $\Delta AMC$ có:

AM = AN (chứng minh trên).

AB = AC (chứng minh trên).

$\widehat{BAC}$ chung

Suy ra $\Delta ANB=\Delta AMC$ (c - g - c).

Do đó BN = MC (2 cạnh tương ứng).

Vậy trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.

G là trọng tâm tam giác ABC nên CG = $\frac{2}{3}$CM, BG = $\frac{2}{3}$BN.

Do CM = BN nên CG = BG.

$\Delta BGC$ có CG = BG nên $\Delta BGC$ cân tại G.

Do đó $\widehat{GBC}=\widehat{GCB}$.

Xét $\Delta MBC$ và $\Delta NCB$ có:

MC = NB (theo giả thiết).

$\widehat{MCB}=\widehat{NBC}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Suy ra $\Delta MBC=\Delta NCB$ (c - g - c).

Do đó $\widehat{MBC}=\widehat{NCB}$ (2 góc tương ứng).

$\Delta ABC$ có $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$  nên $\Delta ABC$ cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Xét $\Delta GBC$ có $\widehat{GBC}>\widehat{GCB}$ nên GC > GB (cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn).

Do G là trọng tâm của $\Delta ABC$ nên CG = $\frac{2}{3}$ CN, BG = $\frac{2}{3}$BM.

Khi đó $\frac{2}{3}$CN > $\frac{2}{3}$BM.

Do đó CN > BM.

Vậy CN > BM.

Xét $\Delta ABC$ có $\widehat{CAB}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°$ (định lí tổng ba góc trong một tam giác).

Do đó:

$\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180°-\widehat{CAB}$ 

= 180^o - 120^o = 60^o.

Do BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{ABC}=2\widehat{IBC}$.

Do CI là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ACB}=2\widehat{ICB}$.

Do đó $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$.

hay 60^o = 2$\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$.

$\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$ = 60^o : 2 = 30^o.

Xét $\Delta IBC$ có $\widehat{BIC}+\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=180°$.

Do đó $\widehat{BIC}=180°-\left(\widehat{IBC}+\widehat{ICB}\right)$ = 180^o - 30^o = 150^o.

Vậy $\widehat{BIC}$ = 150^o.

Do $\Delta ABC$ cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$; AB = AC

Do BE là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{EBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$.

Do CF là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{FCA}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$.

Xét $\Delta AEB$ và $\Delta AFC$ có:

$\widehat{EBA}=\widehat{FCA}$ (chứng minh trên).

$\widehat{BAC}$ chung.

AB = AC (chứng minh trên).

Suy ra $\Delta FBC=\Delta ECB$ (g - c - g).

Do đó CF = BE (2 cạnh tương ứng).

Vậy BE = CF.

a) Do BD là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{DB\text{R}}=\widehat{DBP}=\frac{1}{2}\widehat{PB\text{R}}$.

Xét $\Delta DB\text{R}$ vuông tại R và $\Delta DBP$ vuông tại P có:

$\widehat{DB\text{R}}=\widehat{DBP}$ (chứng minh trên).

BD chung.

Suy ra $\Delta DB\text{R}=\Delta DBP$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó DR = DP (2 cạnh tương ứng).

b) Do CD là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên $\widehat{DCQ}=\widehat{DCP}=\frac{1}{2}\widehat{PCQ}$.

Xét $\Delta DCQ$ vuông tại Q và $\Delta DCP$ vuông tại P có:

$\widehat{DCQ}=\widehat{DCP}$ (chứng minh trên).

CD chung.

Suy ra $\Delta DCQ=\Delta DCP$ (cạnh huyền - góc nhọn).

Do đó DQ = DP (2 cạnh tương ứng).

c) Từ ý a và b ta có DR = DP và DQ = DP nên DR = DQ.

Ta có D nằm trong $\widehat{BAC}$ và D cách đều hai cạnh AB và AC của $\widehat{BAC}$ nên D nằm trên tia phân giác của $\widehat{BAC}$.